Kanalcodierung/Zielsetzung der Kanalcodierung - Versionsgeschichte

Guenter am 15. August 2022 um 14:47 Uhr

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Guenter am 15. August 2022 um 14:46 Uhr

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Guenter am 15. August 2022 um 14:38 Uhr

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Guenter am 8. August 2022 um 15:13 Uhr

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Guenter am 8. August 2022 um 14:57 Uhr

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Guenter am 7. August 2022 um 16:32 Uhr

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 *Bei&nbsp; '''Spur 3'''&nbsp; folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,&nbsp; so dass der Korrekturalgorithmus versagt.&nbsp; Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>
-Wir bedanken uns bei&nbsp; Rainer Bauer,&nbsp; Manfred Jürgens und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|Thomas Hindelang]]&nbsp; für die Erlaubnis,&nbsp; diese Audio&ndash;Demo in un serem&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; verwenden zu dürfen.<br>
+Wir bedanken uns bei&nbsp; Rainer Bauer,&nbsp; Manfred Jürgens und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|Thomas Hindelang]]&nbsp; für die Erlaubnis,&nbsp; diese Audio&ndash;Demo in unserem&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; verwenden zu dürfen.<br>
 == Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==

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 *Bei&nbsp; '''Spur 3'''&nbsp; folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,&nbsp; so dass der Korrekturalgorithmus versagt.&nbsp; Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>
-Wir bedanken uns bei&nbsp; Rainer Bauer,&nbsp; Manfred Jürgens und&nbsp; &nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|Thomas Hindelang]],&nbsp; die diese Audio&ndash;Demo in un serem&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; verwenden zu dürfen.<br>
+Wir bedanken uns bei&nbsp; Rainer Bauer,&nbsp; Manfred Jürgens und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|Thomas Hindelang]]&nbsp; für die Erlaubnis,&nbsp; diese Audio&ndash;Demo in un serem&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; verwenden zu dürfen.<br>
 == Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==

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 *Bei&nbsp; '''Spur 3'''&nbsp; folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,&nbsp; so dass der Korrekturalgorithmus versagt.&nbsp; Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>
-Wir bedanken uns bei&nbsp; Rainer Bauer,&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|Thomas Hindelang]]&nbsp; und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Manfred_J.C3.BCrgens_.28am_LNT_von_1981-2010.29|Manfred Jürgens]],&nbsp; diese Audio&ndash;Demo in un serem&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; verwenden zu dürfen.<br>
+Wir bedanken uns bei&nbsp; Rainer Bauer,&nbsp; Manfred Jürgens und&nbsp; &nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29|Thomas Hindelang]],&nbsp; die diese Audio&ndash;Demo in un serem&nbsp; $\rm LNTwww$&nbsp; verwenden zu dürfen.<br>
 == Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==

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 == Blockschaltbild und Voraussetzungen ==
 <br>
-Im weiteren Verlauf gehen wir von dem skizzierten Blockschaltbild mit Kanalcodierer, Digitalem Kanal und Kanaldecoder aus.
+Im weiteren Verlauf gehen wir von dem skizzierten Blockschaltbild mit Kanalcodierer,&nbsp; Digitalem Kanal und Kanaldecoder aus.
 [[Datei:P ID2337 KC T 1 1 S4 v2.png|right|frame|Blockschaltbild zur Beschreibung der Kanalcodierung|class=fit]]
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 *Jeder Informationsblock&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird durch ein&nbsp; '''Codewort'''&nbsp; (oder einen&nbsp; "Codeblock")&nbsp; $\underline{x} = (x_1, x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, x_n)$&nbsp; mit&nbsp; $n \ge k$, $x_i \in  \{0, \, 1\}$&nbsp;  dargestellt.&nbsp; Man spricht dann von einem binären&nbsp; $(n, k)$&ndash;Blockcode&nbsp; $C$.&nbsp; Die Zuordnung bezeichnen wir mit&nbsp; $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$,&nbsp; wobei &bdquo;enc&rdquo; für &bdquo;Encoder&ndash;Funktion&rdquo; steht.<br>
-*Das&nbsp; '''Empfangswort''' $\underline{y}$&nbsp; ergibt sich aus dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; durch&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic "Modulo&ndash;2&ndash;Addition"]&nbsp; mit dem ebenfalls binären Fehlervektor&nbsp; $\underline{e} = (e_1, e_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, e_n)$,&nbsp; wobei&nbsp; "$e= 1$"&nbsp; für einen Übertragungfehler steht und&nbsp; "$e= 0$"&nbsp; anzeigt,&nbsp; dass das&nbsp; $i$&ndash;te Bit des Codewortes richtig übertragen wurde.&nbsp; Es gilt also:
+*Das&nbsp; '''Empfangswort'''&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; ergibt sich aus dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; durch&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic "Modulo&ndash;2&ndash;Addition"]&nbsp; mit dem ebenfalls binären Fehlervektor&nbsp; $\underline{e} = (e_1, e_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, e_n)$,&nbsp; wobei&nbsp; "$e= 1$"&nbsp; für einen Übertragungfehler steht und&nbsp; "$e= 0$"&nbsp; anzeigt,&nbsp; dass das&nbsp; $i$&ndash;te Bit des Codewortes richtig übertragen wurde.&nbsp; Es gilt also:
 ::<math>\underline{y} = \underline{x} \oplus \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} y_i  =   x_i \oplus e_i \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} i = 1, \text{...} \hspace{0.05cm}  , n\hspace{0.05cm}, x_i \hspace{-0.05cm} \in  \hspace{-0.05cm} \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e_i \in  \{ 0, 1 \}\hspace{0.5cm}
 \Rightarrow \hspace{0.5cm}y_i  \in   \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Die Beschreibung durch das&nbsp; '''Digitale Kanalmodell'''&nbsp; &ndash; also mit binärem Eingang und Ausgang &ndash; ist allerdings nur dann anwendbar,&nbsp; wenn das Übertragungssystem harte Entscheidungen trifft &ndash; siehe&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| "AWGN&ndash;Kanal bei binärem Eingang"]].&nbsp; Systeme mit&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN|"Soft Decision"]]&nbsp; sind mit diesem einfachen Modell nicht modellierbar.<br>
+*Die Beschreibung durch das&nbsp; '''Digitale Kanalmodell'''&nbsp; &ndash; also mit binärem Eingang und Ausgang &ndash; ist allerdings nur dann anwendbar,&nbsp; wenn das Übertragungssystem harte Entscheidungen trifft &ndash; siehe&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| "AWGN&ndash;Kanal bei binärem Eingang"]]. &nbsp; Systeme mit&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN|"Soft Decision"]]&nbsp; sind mit diesem einfachen Modell nicht modellierbar.<br>
 *Der Vektor&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; nach der&nbsp; '''Kanaldecodierung'''&nbsp; hat die gleiche Länge&nbsp; $k$&nbsp; wie der Informationsblock&nbsp;  $\underline{u}$.&nbsp; Den Decodiervorgang beschreiben wir mit der&nbsp; "Decoder&ndash;Funktion"&nbsp; als&nbsp; $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y}) = {\rm dec}(\underline{y})$.&nbsp; Im fehlerfreien Fall gilt analog zu&nbsp; $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$&nbsp; auch&nbsp;  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y})$.<br>
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 *Die Fehlerkorrektur ist für diese aufgrund der minimalen Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; zwischen den Codeworten möglich.
-*Acht Empfangsworte sind nicht decodierbar.&nbsp; Beispielsweise könnte das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 1, 0, 1)$&nbsp; aus dem Codewort&nbsp; $\underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)$&nbsp; entstanden sein, aber auch aus dem Codewort&nbsp;  $\underline{x}_3 = (1, 1, 1, 0, 1)$. In beiden Fällen wären zwei Bitfehler aufgetreten.}}<br>
+*Acht Empfangsworte sind nicht decodierbar.&nbsp; Beispielsweise könnte das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 1, 0, 1)$&nbsp; aus dem Codewort&nbsp; $\underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)$&nbsp; entstanden sein,&nbsp; aber auch aus dem Codewort&nbsp;  $\underline{x}_3 = (1, 1, 1, 0, 1)$.&nbsp; In beiden Fällen wären zwei Bitfehler aufgetreten.}}<br>
 == Zur Nomenklatur in diesem Buch ==

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 == Die „Geschlitzte CD” – eine Demonstration des LNT der TUM ==
 <br>
-Ende der 1990er Jahre haben Mitarbeiter des&nbsp;  [https://www.lnt.ei.tum.de/startseite/ Lehrstuhls für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/die-tum/ TU München]&nbsp; unter Leitung von Professor&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Joachim_Hagenauer_.281993-2006.29|Joachim Hagenauer]]&nbsp; eine Musik&ndash;CD gezielt beschädigt,&nbsp; indem insgesamt drei Schlitze von jeweils mehr als einem Millimeter Breite eingefräst wurden.&nbsp; Damit fehlen bei jedem Defekt fast&nbsp; $4000$&nbsp; fortlaufende Bit der Audiocodierung.<br>
+Ende der 1990er Jahre haben Mitarbeiter des&nbsp;  [https://www.ce.cit.tum.de/lnt/startseite/ "Lehrstuhls für Nachrichtentechnik"] der [https://www.tum.de/die-tum/ TU München]&nbsp; unter Leitung von Professor&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Joachim_Hagenauer_.281993-2006.29|Joachim Hagenauer]]&nbsp; eine Musik&ndash;CD gezielt beschädigt,&nbsp; indem insgesamt drei Schlitze von jeweils mehr als einem Millimeter Breite eingefräst wurden.&nbsp; Damit fehlen bei jedem Defekt fast&nbsp; $4000$&nbsp; fortlaufende Bit der Audiocodierung.<br>
 [[Datei:P ID2333 KC T 1 1 S2b.png|right|frame|„Geschlitzte CD”  des&nbsp; $\rm LNT/TUM$]]

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 *den&nbsp; &raquo;Faltungscodes&laquo;&nbsp; (Kapitel 3),
-*den&nbsp; &raquo;iterativ decodierbaren Produkt–Codes''&laquo; (&raquo;Turbo–Codes&laquo;),&nbsp; und
+*den&nbsp; &raquo;iterativ decodierbaren Produkt–Codes&laquo; (&raquo;Turbo–Codes&laquo;),&nbsp; und
 *den&nbsp; &raquo;Low–density Parity–check Codes&laquo;&nbsp; (Kapitel 4).

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 Im weiteren Verlauf gehen wir von dem skizzierten Blockschaltbild mit Kanalcodierer, Digitalem Kanal und Kanaldecoder aus.
-[[Datei:P ID2337 KC T 1 1 S4 v2.png|center|frame|Blockschaltbild zur Beschreibung der Kanalcodierung|class=fit]]
+[[Datei:P ID2337 KC T 1 1 S4 v2.png|right|frame|Blockschaltbild zur Beschreibung der Kanalcodierung|class=fit]]
 Dabei gelten folgende Voraussetzungen:
-*Der Vektor&nbsp; $\underline{u} = (u_1, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, u_k)$&nbsp;  kennzeichnet einen&nbsp; '''Informationsblock'''&nbsp; mit&nbsp; $k$&nbsp; Symbolen.
+*Der Vektor&nbsp; $\underline{u} = (u_1, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, u_k)$&nbsp;  kennzeichnet einen&nbsp; '''Informationsblock'''&nbsp; mit&nbsp; $k$&nbsp; Symbolen.&nbsp; Meist beschränken wir uns auf Binärsymbole (Bits) &nbsp; &#8658; &nbsp; $u_i \in  \{0, \, 1\}$ für $i = 1, 2, \text{...} \hspace{0.05cm}, k$&nbsp; mit gleichen Auftrittswahrscheinlichkeiten für Nullen und Einsen.<br>
-*Jeder Informationsblock&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird durch ein&nbsp; '''Codewort'''&nbsp; (oder einen&nbsp; <i>Codeblock</i>)&nbsp; $\underline{x} = (x_1, x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, x_n)$&nbsp; mit&nbsp; $n \ge k$, $x_i \in  \{0, \, 1\}$&nbsp;  dargestellt. Man spricht dann von einem binären&nbsp; $(n, k)$&ndash;Blockcode&nbsp; $C$. Die Zuordnung bezeichnen wir mit&nbsp; $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$, wobei &bdquo;enc&rdquo; für &bdquo;Encoder&ndash;Funktion&rdquo; steht.<br>
+*Das&nbsp; '''Empfangswort''' $\underline{y}$&nbsp; ergibt sich aus dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; durch&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic "Modulo&ndash;2&ndash;Addition"]&nbsp; mit dem ebenfalls binären Fehlervektor&nbsp; $\underline{e} = (e_1, e_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, e_n)$,&nbsp; wobei&nbsp; "$e= 1$"&nbsp; für einen Übertragungfehler steht und&nbsp; "$e= 0$"&nbsp; anzeigt,&nbsp; dass das&nbsp; $i$&ndash;te Bit des Codewortes richtig übertragen wurde.&nbsp; Es gilt also:
 ::<math>\underline{y} = \underline{x} \oplus \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} y_i  =   x_i \oplus e_i \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} i = 1, \text{...} \hspace{0.05cm}  , n\hspace{0.05cm}, x_i \hspace{-0.05cm} \in  \hspace{-0.05cm} \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e_i \in  \{ 0, 1 \}\hspace{0.5cm}
 \Rightarrow \hspace{0.5cm}y_i  \in   \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Die Beschreibung durch das&nbsp; '''Digitale Kanalmodell'''&nbsp; &ndash; also mit binärem Eingang und Ausgang &ndash; ist allerdings nur dann anwendbar, wenn das Übertragungssystem harte Entscheidungen trifft &ndash; siehe&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal bei binärem Eingang]]. Systeme mit&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN|Soft Decision]]&nbsp; sind mit diesem einfachen Modell nicht modellierbar.<br>
+*Der Vektor&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; nach der&nbsp; '''Kanaldecodierung'''&nbsp; hat die gleiche Länge&nbsp; $k$&nbsp; wie der Informationsblock&nbsp;  $\underline{u}$.&nbsp; Den Decodiervorgang beschreiben wir mit der&nbsp; "Decoder&ndash;Funktion"&nbsp; als&nbsp; $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y}) = {\rm dec}(\underline{y})$.&nbsp; Im fehlerfreien Fall gilt analog zu&nbsp; $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$&nbsp; auch&nbsp;  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y})$.<br>
+*Ist der Fehlervektor&nbsp; $\underline{e} \ne \underline{0}$,&nbsp; so ist&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; meist kein gültiges Element des verwendeten Blockcodes,&nbsp; und die Decodierung ist dann keine reine Zuordnung&nbsp; $\underline{y} \rightarrow  \underline{v}$,&nbsp; sondern eine auf maximale Übereinstimmung&nbsp; (mimimale Fehlerwahrscheinlichkeit)&nbsp; basierende Schätzung von&nbsp; $\underline{v}$.<br>
 == Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung ==
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 :<math>\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 1, 1) \}\hspace{0.05cm}.</math>
-Dieser Code wäre zum Zwecke der Fehlererkennung oder &ndash;korrektur ungeeignet. Aber er ist so konstruiert, dass er die Berechnung wichtiger Beschreibungsgrößen anschaulich verdeutlicht:
+Dieser Code wäre zum Zwecke der Fehlererkennung oder &ndash;korrektur ungeeignet.&nbsp; Aber er ist so konstruiert,&nbsp; dass er die Berechnung wichtiger Beschreibungsgrößen anschaulich verdeutlicht:
-*Jedes einzelne Codewort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird durch fünf Bit beschrieben. Im gesamten Buch drücken wir diesen Sachverhalt durch die&nbsp; '''Codewortlänge'''&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>Code Length</i>&nbsp;)&nbsp; $n = 5$ aus.
+*Jedes einzelne Codewort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird durch fünf Bit beschrieben.&nbsp; Im gesamten Buch drücken wir diesen Sachverhalt durch die&nbsp; '''Codewortlänge'''&nbsp; (englisch: &nbsp;"code word length")&nbsp; $n = 5$&nbsp; aus.
-*Die Länge eines  Informationsblocks&nbsp;  $\underline{u}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Informationsblocklänge'''&nbsp; wird mit&nbsp; $k$&nbsp; bezeichnet. Da bei allen binären Codes&nbsp; $|C| = 2^k$&nbsp; gilt, folgt aus&nbsp; $|C| = 4$&nbsp; der Wert&nbsp; $k = 2$. Die Zuordnungen zwischen&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; lauten bei obigem Code&nbsp; $C$:
+*Die Länge eines  Informationsblocks&nbsp;  $\underline{u}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Informationsblocklänge'''&nbsp; wird mit&nbsp; $k$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Da bei allen binären Codes&nbsp; $|C| = 2^k$&nbsp; gilt,&nbsp; folgt aus&nbsp; $|C| = 4$&nbsp; der Wert&nbsp; $k = 2$.&nbsp; Die Zuordnungen zwischen&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; lauten bei obigem Code&nbsp; $C$:
 ::<math>\underline{u_0} = (0, 0) \hspace{0.2cm}\leftrightarrow \hspace{0.2cm}(0, 0, 0, 0, 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
@@ Zeile 305: / Zeile 297: @@
 \underline{u_3} = (1, 1) \hspace{0.2cm} \leftrightarrow \hspace{0.2cm}(1, 1, 1, 1, 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Der Code weist die&nbsp; '''Coderate'''&nbsp; $R = k/n = 2/5$&nbsp; auf. Dementsprechend beträgt seine Redundanz&nbsp; $1-R$, also&nbsp; $60\%$. Ohne Fehlerschutz &nbsp;$($also für den Fall&nbsp; $n = k)$&nbsp; wäre die Coderate&nbsp; $R = 1$.<br>
+*Eine kleine Coderate  zeigt an,&nbsp; dass von den&nbsp; $n$&nbsp; Bits eines Codewortes nur sehr wenige tatsächlich Information tragen.&nbsp; Beispielsweise hat ein Wiederholungscode&nbsp; $(k = 1)$&nbsp; mit&nbsp; $n = 10$&nbsp; die  Coderate&nbsp; $R = 0.1$.<br>
-*Das&nbsp; '''Hamming&ndash;Gewicht'''&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{x})$&nbsp; des Codewortes&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; gibt die Zahl der Codewortelemente&nbsp; $x_i \ne 0$&nbsp; an. Bei einem binären Code &nbsp; &#8658; &nbsp; $x_i \in  \{0, \, 1\}$&nbsp; ist $w_{\rm H}(\underline{x})$&nbsp; gleich der Summe&nbsp; $x_1 + x_2 + \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}+ x_n$. Im Beispiel:
+*Das&nbsp; '''Hamming&ndash;Gewicht'''&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{x})$&nbsp; des Codewortes&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; gibt die Zahl der Codewortelemente&nbsp; $x_i \ne 0$&nbsp; an.&nbsp; Bei einem binären Code &nbsp; &#8658; &nbsp; $x_i \in  \{0, \, 1\}$&nbsp; ist&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{x})$&nbsp; gleich der Summe&nbsp; $x_1 + x_2 + \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}+ x_n$.&nbsp; Im Beispiel:
 ::<math>w_{\rm H}(\underline{x}_0) = 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}w_{\rm H}(\underline{x}_1) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} w_{\rm H}(\underline{x}_2) = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}w_{\rm H}(\underline{x}_3) = 5\hspace{0.05cm}.
 </math>
+*Die&nbsp; '''Hamming&ndash;Distanz''' &nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{x}\hspace{0.03cm}')$ &nbsp; zwischen den Codeworten&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}\hspace{0.03cm}'$&nbsp; bezeichnet die Anzahl der Bitpositionen,&nbsp; in denen sich die beiden Codeworte unterscheiden:
 ::<math>d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}
@@ Zeile 327: / Zeile 315: @@
 d_{\rm H}(\underline{x}_2, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}.</math>
+*Eine wichtige Eigenschaft eines Codes&nbsp; $C$,&nbsp; die seine Korrekturfähigkeit wesentlich beeinflusst,&nbsp; ist die&nbsp; '''minimale Distanz'''&nbsp; zwischen zwei beliebigen Codeworten:
 ::<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =

@@ Zeile 205: / Zeile 205: @@
 <br>
 Die Nachrichtenübertragung natürlicher Quellen wie Sprache, Musik, Bilder, Videos, usw. geschieht meist entsprechend dem im nachfolgenden&nbsp; $\text{Beispiel 8}$&nbsp; skizzierten zeitdiskreten Modell.&nbsp; Zu dieser aus&nbsp; [Liv10]<ref name ='Liv10'>Liva, G.:&nbsp; Channel Coding.&nbsp; Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref>&nbsp; entnommenen Grafik ist Folgendes anzumerken:
-*Quelle und Sinke sind digitalisiert und werden durch (etwa gleich viele ) Nullen und Einsen repräsentiert.<br>
+*Quelle und Sinke sind digitalisiert und werden durch&nbsp; (etwa gleich viele)&nbsp; Nullen und Einsen repräsentiert.<br>
 *Der Quellencodierer komprimiert die binären Daten &ndash; im Beispiel ein Digitalfoto &ndash; und reduziert somit die Redundanz der Quelle.<br>
-*Der Kanalcodierer fügt wieder Redundanz hinzu und zwar gezielt, so dass einige der auf dem Kanal entstandenen Fehler im Kanaldecoder korrigiert werden können.<br>
+*Der Kanalcodierer fügt wieder Redundanz hinzu und zwar gezielt,&nbsp; so dass einige der auf dem Kanal entstandenen Fehler im Kanaldecoder korrigiert werden können.<br>
-*Für den Kanal wird hier ein zeitdiskretes Modell mit binärem Eingang und Ausgang verwendet, das auch die Komponenten der technischen Sende&ndash; und Empfangseinrichtungen (Modulator, Entscheider, Taktwiedergewinnung) geeignet berücksichtigen sollte.<br><br>
+*Für den Kanal wird hier ein zeitdiskretes Modell mit binärem Eingang und Ausgang verwendet,&nbsp; das auch die Komponenten der technischen Sende&ndash; und Empfangseinrichtungen&nbsp; (Modulator, Entscheider, Taktwiedergewinnung) geeignet berücksichtigen sollte.<br><br>
-Bei richtiger Dimensionierung von Quellen&ndash; und Kanalcodierung ist die Qualität des empfangenen Fotos hinreichend gut, auch wenn die Sinkensymbolfolge aufgrund nicht korrigierbarer Fehlermuster nicht exakt mit der Quellensymbolfolge übereinstimmen wird. Man erkennt innerhalb der Sinkensymbolfolge einen (rot markierten) Bitfehler.<br>
+Bei richtiger Dimensionierung von Quellen&ndash; und Kanalcodierung ist die Qualität des empfangenen Fotos hinreichend gut,&nbsp; auch wenn die Sinkensymbolfolge aufgrund nicht korrigierbarer Fehlermuster nicht exakt mit der Quellensymbolfolge übereinstimmen wird.&nbsp; Man erkennt innerhalb der Sinkensymbolfolge einen (rot markierten) Bitfehler.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Für obige Grafik wurde beispielhaft und stark vereinfachend angenommen, dass
+$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Für die Grafik wurde beispielhaft und stark vereinfachend angenommen,&nbsp; dass
 [[Datei:P ID2334 KC T 1 1 S3a v2.png|right|frame|Bildübertragung mit Quellen– und Kanalcodierung|class=fit]]
 *die Quellensymbolfolge nur die Länge&nbsp; $40$&nbsp; hat,
 *der Quellencodierer die Daten um den Faktor&nbsp; $40/16 = 2.5$&nbsp; komprimiert, und
 *der Kanalcoder&nbsp; $50\%$&nbsp; Redundanz hinzufügt.
-Übertragen werden müssen also nur&nbsp; $24$&nbsp; Codersymbole statt&nbsp; $40$&nbsp; Quellensymbole, was die Übertragungsrate insgesamt um&nbsp; $40\%$&nbsp; reduziert.<br>
+Übertragen werden müssen also nur&nbsp; $24$&nbsp; Codersymbole statt der&nbsp; $40$&nbsp; Quellensymbole,&nbsp; was die Übertragungsrate insgesamt um&nbsp; $40\%$&nbsp; reduziert.<br>
-Würde man auf die Quellencodierung verzichten, in dem man das ursprüngliche Foto im BMP&ndash;Format übertragen würde und nicht das komprimierte JPG&ndash;Bild, so wäre die Qualität vergleichbar, aber eine um den Faktor&nbsp; $2.5$&nbsp; höhere Bitrate und damit sehr viel mehr Aufwand erforderlich.}}<br>
+Würde man auf die Quellencodierung verzichten,&nbsp; in dem man das ursprüngliche Foto im BMP&ndash;Format übertragen würde und nicht das komprimierte JPG&ndash;Bild,&nbsp;
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 9:}$&nbsp; Würde man sowohl auf die Quellen&ndash; als auch auf die Kanalcodierung verzichten, also direkt die BMP&ndash;Daten ohne Fehlerschutz übertragen, so wäre das Ergebnis trotz&nbsp; $($um den Faktor&nbsp; $40/24)$&nbsp; größerer Bitrate äußerst dürftig.<br>
+$\text{Beispiel 9:}$&nbsp;
-[[Datei:P ID2336 KC T 1 1 S3c v2.png|center|frame|Bildübertragung mit Quellencodierung, ohne Kanalcodierung |class=fit]]
+'''Quellencodierung, aber keine Kanalcodierung'''
-*Da die komprimierte Quelle nur noch wenig Redundanz besitzt, führt jeder einzelne Übertragungsfehler dazu, dass ganze Bildblöcke falsch decodiert werden.<br>
+#Die komprimierte Quelle besitzt nur noch wenig Redundanz.
-*Dieses Codierschema (Quellencodierung, aber keine Kanalcodierung) sollte auf jeden Fall vermieden werden.}}
+#Deshalb  führt jeder einzelne Übertragungsfehler dazu,&nbsp; dass ganze Bildblöcke falsch decodiert werden.<br>
 == Blockschaltbild und Voraussetzungen ==