Kanalcodierung/Zielsetzung der Kanalcodierung - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Channel_Coding/Objective_of_Channel_Coding]]

Guenter am 15. August 2022 um 14:47 Uhr

2022-08-15T14:47:27Z

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	*Bei  '''Spur 3'''  folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,  so dass der Korrekturalgorithmus versagt.  Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>		*Bei  '''Spur 3'''  folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,  so dass der Korrekturalgorithmus versagt.  Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>

	Wir bedanken uns bei  Rainer Bauer,  Manfred Jürgens und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29\|Thomas Hindelang]]  für die Erlaubnis,  diese Audio–Demo in ~~un serem~~  $\rm LNTwww$  verwenden zu dürfen.<br>		Wir bedanken uns bei  Rainer Bauer,  Manfred Jürgens und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29\|Thomas Hindelang]]  für die Erlaubnis,  diese Audio–Demo in unserem  $\rm LNTwww$  verwenden zu dürfen.<br>

	== Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==		== Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==

Guenter am 15. August 2022 um 14:46 Uhr

2022-08-15T14:46:48Z

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	*Bei  '''Spur 3'''  folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,  so dass der Korrekturalgorithmus versagt.  Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>		*Bei  '''Spur 3'''  folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,  so dass der Korrekturalgorithmus versagt.  Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>

	Wir bedanken uns bei  Rainer Bauer,  Manfred Jürgens und~~ ~~  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29\|Thomas Hindelang]],  ~~die~~ diese Audio–Demo in un serem  $\rm LNTwww$  verwenden zu dürfen.<br>		Wir bedanken uns bei  Rainer Bauer,  Manfred Jürgens und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29\|Thomas Hindelang]]  für die Erlaubnis,  diese Audio–Demo in un serem  $\rm LNTwww$  verwenden zu dürfen.<br>

	== Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==		== Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==

Guenter am 15. August 2022 um 14:45 Uhr

2022-08-15T14:45:22Z

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	*Bei  '''Spur 3'''  folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,  so dass der Korrekturalgorithmus versagt.  Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>		*Bei  '''Spur 3'''  folgen die beiden Fehlerblöcke in sehr kurzem Abstand aufeinander,  so dass der Korrekturalgorithmus versagt.  Das Resultat ist ein fast periodisches Klackgeräusch.<br><br>

	Wir bedanken uns bei  Rainer Bauer,  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29\|Thomas Hindelang~~]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Manfred_J.C3.BCrgens_.28am_LNT_von_1981-2010.29\|Manfred Jürgens~~]],  diese Audio–Demo in un serem  $\rm LNTwww$  verwenden zu dürfen.<br>		Wir bedanken uns bei  Rainer Bauer,  Manfred Jürgens und   [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Thomas_Hindelang_.28am_LNT_von_1994-2000_und_2007-2012.29\|Thomas Hindelang]],  die diese Audio–Demo in un serem  $\rm LNTwww$  verwenden zu dürfen.<br>

	== Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==		== Zusammenspiel zwischen Quellen– und Kanalcodierung ==

Guenter am 15. August 2022 um 14:38 Uhr

2022-08-15T14:38:51Z

Guenter am 8. August 2022 um 15:13 Uhr

2022-08-08T15:13:23Z

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	== Die „Geschlitzte CD” – eine Demonstration des LNT der TUM ==		== Die „Geschlitzte CD” – eine Demonstration des LNT der TUM ==
	<br>		<br>
	Ende der 1990er Jahre haben Mitarbeiter des  [https://www.~~lnt~~.ei.tum.de/startseite/ Lehrstuhls für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/die-tum/ TU München]  unter Leitung von Professor  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Joachim_Hagenauer_.281993-2006.29\|Joachim Hagenauer]]  eine Musik–CD gezielt beschädigt,  indem insgesamt drei Schlitze von jeweils mehr als einem Millimeter Breite eingefräst wurden.  Damit fehlen bei jedem Defekt fast  $4000$  fortlaufende Bit der Audiocodierung.<br>		Ende der 1990er Jahre haben Mitarbeiter des  [https://www.ce.cit.tum.de/lnt/startseite/ "Lehrstuhls für Nachrichtentechnik"] der [https://www.tum.de/die-tum/ TU München]  unter Leitung von Professor  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Joachim_Hagenauer_.281993-2006.29\|Joachim Hagenauer]]  eine Musik–CD gezielt beschädigt,  indem insgesamt drei Schlitze von jeweils mehr als einem Millimeter Breite eingefräst wurden.  Damit fehlen bei jedem Defekt fast  $4000$  fortlaufende Bit der Audiocodierung.<br>

	[[Datei:P ID2333 KC T 1 1 S2b.png\|right\|frame\|„Geschlitzte CD” des  $\rm LNT/TUM$]]		[[Datei:P ID2333 KC T 1 1 S2b.png\|right\|frame\|„Geschlitzte CD” des  $\rm LNT/TUM$]]

Guenter am 8. August 2022 um 14:57 Uhr

2022-08-08T14:57:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. August 2022, 16:57 Uhr
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	*den  »Faltungscodes«  (Kapitel 3),		*den  »Faltungscodes«  (Kapitel 3),

	*den  »iterativ decodierbaren Produkt–Codes''« (»Turbo–Codes«),  und		*den  »iterativ decodierbaren Produkt–Codes« (»Turbo–Codes«),  und
	*den  »Low–density Parity–check Codes«  (Kapitel 4).		*den  »Low–density Parity–check Codes«  (Kapitel 4).

Guenter am 8. August 2022 um 14:56 Uhr

2022-08-08T14:56:48Z

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	*den  »Faltungscodes«  (Kapitel 3),		*den  »Faltungscodes«  (Kapitel 3),

	*den  »iterativ decodierbaren Produkt–Codes''« ("Turbo–Codes"),  und		*den  »iterativ decodierbaren Produkt–Codes''« (»Turbo–Codes«),  und
	*den  »Low–density Parity–check Codes«  (Kapitel 4).		*den  »Low–density Parity–check Codes«  (Kapitel 4).

Guenter am 8. August 2022 um 14:55 Uhr

2022-08-08T14:55:50Z

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Guenter am 7. August 2022 um 16:32 Uhr

2022-08-07T16:32:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. August 2022, 18:32 Uhr
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	Im weiteren Verlauf gehen wir von dem skizzierten Blockschaltbild mit Kanalcodierer, Digitalem Kanal und Kanaldecoder aus.		Im weiteren Verlauf gehen wir von dem skizzierten Blockschaltbild mit Kanalcodierer, Digitalem Kanal und Kanaldecoder aus.

	[[Datei:P ID2337 KC T 1 1 S4 v2.png\|~~center~~\|frame\|Blockschaltbild zur Beschreibung der Kanalcodierung\|class=fit]]		[[Datei:P ID2337 KC T 1 1 S4 v2.png\|right\|frame\|Blockschaltbild zur Beschreibung der Kanalcodierung\|class=fit]]

	Dabei gelten folgende Voraussetzungen:		Dabei gelten folgende Voraussetzungen:
	*Der Vektor  $\underline{u} = (u_1, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, u_k)$  kennzeichnet einen  '''Informationsblock'''  mit  $k$  Symbolen.		*Der Vektor  $\underline{u} = (u_1, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, u_k)$  kennzeichnet einen  '''Informationsblock'''  mit  $k$  Symbolen.  Meist beschränken wir uns auf Binärsymbole (Bits)   ⇒   $u_i \in \{0, \, 1\}$ für $i = 1, 2, \text{...} \hspace{0.05cm}, k$  mit gleichen Auftrittswahrscheinlichkeiten für Nullen und Einsen.<br>
	*Meist beschränken wir uns auf Binärsymbole (Bits)   ⇒   $u_i \in \{0, \, 1\}$ für $i = 1, 2, \text{...} \hspace{0.05cm}, k$  mit gleichen Auftrittswahrscheinlichkeiten für Nullen und Einsen.<br>

			*Jeder Informationsblock  $\underline{u}$  wird durch ein  '''Codewort'''  (oder einen  "Codeblock")  $\underline{x} = (x_1, x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, x_n)$  mit  $n \ge k$, $x_i \in \{0, \, 1\}$  dargestellt.  Man spricht dann von einem binären  $(n, k)$–Blockcode  $C$.  Die Zuordnung bezeichnen wir mit  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$,  wobei &bdquo;enc” für &bdquo;Encoder–Funktion” steht.<br>

	*Jeder Informationsblock  $\underline{u}$  wird durch ein  '''Codewort'''  (oder einen  <i>Codeblock</i>)  $\underline{x} = (x_1, x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, x_n)$  mit  $n \ge k$, $x_i \in \{0, \, 1\}$  dargestellt. Man spricht dann von einem binären  $(n, k)$–Blockcode  $C$. Die Zuordnung bezeichnen wir mit  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$, wobei &bdquo;enc” für &bdquo;Encoder–Funktion” steht.<br>		*Das  '''Empfangswort''' $\underline{y}$  ergibt sich aus dem Codewort  $\underline{x}$  durch  [https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic "Modulo–2–Addition"]  mit dem ebenfalls binären Fehlervektor  $\underline{e} = (e_1, e_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, e_n)$,  wobei  "$e= 1$"  für einen Übertragungfehler steht und  "$e= 0$"  anzeigt,  dass das  $i$–te Bit des Codewortes richtig übertragen wurde.  Es gilt also:


	*Das  '''Empfangswort''' $\underline{y}$  ergibt sich aus dem Codewort  $\underline{x}$  durch  [https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic Modulo–2–Addition]  mit dem ebenfalls binären Fehlervektor  $\underline{e} = (e_1, e_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, e_n)$, wobei &~~bdquo~~;$e= 1$&~~rdquo~~; für einen Übertragungfehler steht und &~~bdquo~~;$e= 0$&~~rdquo~~; anzeigt, dass das  $i$–te Bit des Codewortes richtig übertragen wurde. Es gilt also:

	::<math>\underline{y} = \underline{x} \oplus \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} y_i = x_i \oplus e_i \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} i = 1, \text{...} \hspace{0.05cm} , n\hspace{0.05cm}, x_i \hspace{-0.05cm} \in \hspace{-0.05cm} \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.5cm}		::<math>\underline{y} = \underline{x} \oplus \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} y_i = x_i \oplus e_i \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} i = 1, \text{...} \hspace{0.05cm} , n\hspace{0.05cm}, x_i \hspace{-0.05cm} \in \hspace{-0.05cm} \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.5cm}
	\Rightarrow \hspace{0.5cm}y_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}.</math>		\Rightarrow \hspace{0.5cm}y_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}.</math>

			*Die Beschreibung durch das  '''Digitale Kanalmodell'''  – also mit binärem Eingang und Ausgang – ist allerdings nur dann anwendbar,  wenn das Übertragungssystem harte Entscheidungen trifft – siehe  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\| "AWGN–Kanal bei binärem Eingang"]].  Systeme mit  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN\|"Soft Decision"]]  sind mit diesem einfachen Modell nicht modellierbar.<br>

	*Die Beschreibung durch das  '''Digitale Kanalmodell'''  – also mit binärem Eingang und Ausgang – ist allerdings nur dann anwendbar, wenn das Übertragungssystem harte Entscheidungen trifft – siehe  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\| AWGN–Kanal bei binärem Eingang]]. Systeme mit  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN\|Soft Decision]]  sind mit diesem einfachen Modell nicht modellierbar.<br>		*Der Vektor  $\underline{v}$  nach der  '''Kanaldecodierung'''  hat die gleiche Länge  $k$  wie der Informationsblock  $\underline{u}$.  Den Decodiervorgang beschreiben wir mit der  "Decoder–Funktion"  als  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y}) = {\rm dec}(\underline{y})$.  Im fehlerfreien Fall gilt analog zu  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$  auch  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y})$.<br>


	*Der Vektor  $\underline{v}$  nach der  '''Kanaldecodierung'''  hat die gleiche Länge  $k$  wie der Informationsblock  $\underline{u}$. Den Decodiervorgang beschreiben wir mit der &~~bdquo~~;Decoder–Funktion&~~rdquo~~; als  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y}) = {\rm dec}(\underline{y})$. Im fehlerfreien Fall gilt analog zu  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$  auch  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y})$.<br>

			*Ist der Fehlervektor  $\underline{e} \ne \underline{0}$,  so ist  $\underline{y}$  meist kein gültiges Element des verwendeten Blockcodes,  und die Decodierung ist dann keine reine Zuordnung  $\underline{y} \rightarrow \underline{v}$,  sondern eine auf maximale Übereinstimmung  (mimimale Fehlerwahrscheinlichkeit)  basierende Schätzung von  $\underline{v}$.<br>
	*Ist der Fehlervektor  $\underline{e} \ne \underline{0}$, so ist  $\underline{y}$  meist kein gültiges Element des verwendeten Blockcodes, und die Decodierung ist dann keine reine Zuordnung  $\underline{y} \rightarrow \underline{v}$, sondern eine auf maximale Übereinstimmung (mimimale Fehlerwahrscheinlichkeit) basierende Schätzung von  $\underline{v}$.<br>

	== Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung ==		== Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung ==
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	:<math>\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 1, 1) \}\hspace{0.05cm}.</math>		:<math>\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 1, 1) \}\hspace{0.05cm}.</math>

	Dieser Code wäre zum Zwecke der Fehlererkennung oder –korrektur ungeeignet. Aber er ist so konstruiert, dass er die Berechnung wichtiger Beschreibungsgrößen anschaulich verdeutlicht:		Dieser Code wäre zum Zwecke der Fehlererkennung oder –korrektur ungeeignet.  Aber er ist so konstruiert,  dass er die Berechnung wichtiger Beschreibungsgrößen anschaulich verdeutlicht:
	*Jedes einzelne Codewort  $\underline{u}$  wird durch fünf Bit beschrieben. Im gesamten Buch drücken wir diesen Sachverhalt durch die  '''Codewortlänge'''  (englisch:  ~~<i>Code Length</i> ~~)  $n = 5$ ~~aus.~~		*Jedes einzelne Codewort  $\underline{u}$  wird durch fünf Bit beschrieben.  Im gesamten Buch drücken wir diesen Sachverhalt durch die  '''Codewortlänge'''  (englisch:  "code word length")  $n = 5$  aus.


	*Der obige Code beinhaltet vier Elemente. Damit ist der  '''Codeumfang'''  (englisch:   <i>Size</i> )  $\|C\| = 4$. Entsprechend gibt es auch vier eindeutige Zuordnungen (englisch:  <i>Mappings</i> ) zwischen  $\underline{u}$  und  $\underline{x}$.

			*Der obige Code beinhaltet vier Elemente.  Damit ist der  '''Codeumfang'''  (englisch:   "code size")  $\|C\| = 4$.  Entsprechend gibt es auch vier eindeutige Zuordnungen  (englisch:  "mappings")  zwischen  $\underline{u}$  und  $\underline{x}$.

	*Die Länge eines Informationsblocks  $\underline{u}$   ⇒   '''Informationsblocklänge'''  wird mit  $k$  bezeichnet. Da bei allen binären Codes  $\|C\| = 2^k$  gilt, folgt aus  $\|C\| = 4$  der Wert  $k = 2$. Die Zuordnungen zwischen  $\underline{u}$  und  $\underline{x}$  lauten bei obigem Code  $C$:		*Die Länge eines Informationsblocks  $\underline{u}$   ⇒   '''Informationsblocklänge'''  wird mit  $k$  bezeichnet.  Da bei allen binären Codes  $\|C\| = 2^k$  gilt,  folgt aus  $\|C\| = 4$  der Wert  $k = 2$.  Die Zuordnungen zwischen  $\underline{u}$  und  $\underline{x}$  lauten bei obigem Code  $C$:

	::<math>\underline{u_0} = (0, 0) \hspace{0.2cm}\leftrightarrow \hspace{0.2cm}(0, 0, 0, 0, 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}		::<math>\underline{u_0} = (0, 0) \hspace{0.2cm}\leftrightarrow \hspace{0.2cm}(0, 0, 0, 0, 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
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	\underline{u_3} = (1, 1) \hspace{0.2cm} \leftrightarrow \hspace{0.2cm}(1, 1, 1, 1, 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.</math>		\underline{u_3} = (1, 1) \hspace{0.2cm} \leftrightarrow \hspace{0.2cm}(1, 1, 1, 1, 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.</math>

			*Der Code weist die  '''Coderate'''  $R = k/n = 2/5$  auf.  Dementsprechend beträgt seine Redundanz  $1-R$,  also  $60\%$.  Ohne Fehlerschutz  $($also für den Fall  $n = k)$  wäre die Coderate  $R = 1$.<br>

	*Der Code weist die  '''Coderate'''  $R = k/n = 2/5$  auf. Dementsprechend beträgt seine Redundanz  $1-R$, also  $60\%$. Ohne Fehlerschutz  $($also für den Fall  $n = k)$  wäre die Coderate  $R = 1$.<br>		*Eine kleine Coderate zeigt an,  dass von den  $n$  Bits eines Codewortes nur sehr wenige tatsächlich Information tragen.  Beispielsweise hat ein Wiederholungscode  $(k = 1)$  mit  $n = 10$  die Coderate  $R = 0.1$.<br>


	*Eine kleine Coderate zeigt an, dass von den  $n$  Bits eines Codewortes nur sehr wenige tatsächlich Information tragen. Beispielsweise hat ein Wiederholungscode  $(k = 1)$  mit  $n = 10$  die Coderate  $R = 0.1$.<br>


	*Das  '''Hamming–Gewicht'''  $w_{\rm H}(\underline{x})$  des Codewortes  $\underline{x}$  gibt die Zahl der Codewortelemente  $x_i \ne 0$  an. Bei einem binären Code   ⇒   $x_i \in \{0, \, 1\}$  ist $w_{\rm H}(\underline{x})$  gleich der Summe  $x_1 + x_2 + \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}+ x_n$. Im Beispiel:		*Das  '''Hamming–Gewicht'''  $w_{\rm H}(\underline{x})$  des Codewortes  $\underline{x}$  gibt die Zahl der Codewortelemente  $x_i \ne 0$  an.  Bei einem binären Code   ⇒   $x_i \in \{0, \, 1\}$  ist  $w_{\rm H}(\underline{x})$  gleich der Summe  $x_1 + x_2 + \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}+ x_n$.  Im Beispiel:

	::<math>w_{\rm H}(\underline{x}_0) = 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}w_{\rm H}(\underline{x}_1) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} w_{\rm H}(\underline{x}_2) = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}w_{\rm H}(\underline{x}_3) = 5\hspace{0.05cm}.		::<math>w_{\rm H}(\underline{x}_0) = 0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}w_{\rm H}(\underline{x}_1) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} w_{\rm H}(\underline{x}_2) = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}w_{\rm H}(\underline{x}_3) = 5\hspace{0.05cm}.
	</math>		</math>

			*Die  '''Hamming–Distanz'''   $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{x}\hspace{0.03cm}')$   zwischen den Codeworten  $\underline{x}$  und  $\underline{x}\hspace{0.03cm}'$  bezeichnet die Anzahl der Bitpositionen,  in denen sich die beiden Codeworte unterscheiden:
	*Die  '''Hamming–Distanz'''  $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{x}\hspace{0.03cm}')$  zwischen den Codeworten  $\underline{x}$  und  $\underline{x}\hspace{0.03cm}'$  bezeichnet die Anzahl der Bitpositionen, in denen sich die beiden Codeworte unterscheiden:

	::<math>d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}		::<math>d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}
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	d_{\rm H}(\underline{x}_2, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}.</math>		d_{\rm H}(\underline{x}_2, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}.</math>

			*Eine wichtige Eigenschaft eines Codes  $C$,  die seine Korrekturfähigkeit wesentlich beeinflusst,  ist die  '''minimale Distanz'''  zwischen zwei beliebigen Codeworten:
	*Eine wichtige Eigenschaft eines Codes $C$, die seine Korrekturfähigkeit wesentlich beeinflusst, ist die  '''minimale Distanz'''  zwischen zwei beliebigen Codeworten:

	::<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =		::<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =

← Nächstältere Version		Version vom 15. August 2022, 16:38 Uhr
Zeile 258:		Zeile 258:
	== Blockschaltbild und Voraussetzungen ==		== Blockschaltbild und Voraussetzungen ==
	<br>		<br>
	Im weiteren Verlauf gehen wir von dem skizzierten Blockschaltbild mit Kanalcodierer, Digitalem Kanal und Kanaldecoder aus.		Im weiteren Verlauf gehen wir von dem skizzierten Blockschaltbild mit Kanalcodierer,  Digitalem Kanal und Kanaldecoder aus.

	[[Datei:P ID2337 KC T 1 1 S4 v2.png\|right\|frame\|Blockschaltbild zur Beschreibung der Kanalcodierung\|class=fit]]		[[Datei:P ID2337 KC T 1 1 S4 v2.png\|right\|frame\|Blockschaltbild zur Beschreibung der Kanalcodierung\|class=fit]]
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	*Jeder Informationsblock  $\underline{u}$  wird durch ein  '''Codewort'''  (oder einen  "Codeblock")  $\underline{x} = (x_1, x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, x_n)$  mit  $n \ge k$, $x_i \in \{0, \, 1\}$  dargestellt.  Man spricht dann von einem binären  $(n, k)$–Blockcode  $C$.  Die Zuordnung bezeichnen wir mit  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$,  wobei &bdquo;enc” für &bdquo;Encoder–Funktion” steht.<br>		*Jeder Informationsblock  $\underline{u}$  wird durch ein  '''Codewort'''  (oder einen  "Codeblock")  $\underline{x} = (x_1, x_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, x_n)$  mit  $n \ge k$, $x_i \in \{0, \, 1\}$  dargestellt.  Man spricht dann von einem binären  $(n, k)$–Blockcode  $C$.  Die Zuordnung bezeichnen wir mit  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$,  wobei &bdquo;enc” für &bdquo;Encoder–Funktion” steht.<br>

	*Das  '''Empfangswort''' $\underline{y}$  ergibt sich aus dem Codewort  $\underline{x}$  durch  [https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic "Modulo–2–Addition"]  mit dem ebenfalls binären Fehlervektor  $\underline{e} = (e_1, e_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, e_n)$,  wobei  "$e= 1$"  für einen Übertragungfehler steht und  "$e= 0$"  anzeigt,  dass das  $i$–te Bit des Codewortes richtig übertragen wurde.  Es gilt also:		*Das  '''Empfangswort'''  $\underline{y}$  ergibt sich aus dem Codewort  $\underline{x}$  durch  [https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic "Modulo–2–Addition"]  mit dem ebenfalls binären Fehlervektor  $\underline{e} = (e_1, e_2, \text{...} \hspace{0.05cm}, e_n)$,  wobei  "$e= 1$"  für einen Übertragungfehler steht und  "$e= 0$"  anzeigt,  dass das  $i$–te Bit des Codewortes richtig übertragen wurde.  Es gilt also:

	::<math>\underline{y} = \underline{x} \oplus \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} y_i = x_i \oplus e_i \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} i = 1, \text{...} \hspace{0.05cm} , n\hspace{0.05cm}, x_i \hspace{-0.05cm} \in \hspace{-0.05cm} \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.5cm}		::<math>\underline{y} = \underline{x} \oplus \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} y_i = x_i \oplus e_i \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} i = 1, \text{...} \hspace{0.05cm} , n\hspace{0.05cm}, x_i \hspace{-0.05cm} \in \hspace{-0.05cm} \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}e_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.5cm}
	\Rightarrow \hspace{0.5cm}y_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}.</math>		\Rightarrow \hspace{0.5cm}y_i \in \{ 0, 1 \}\hspace{0.05cm}.</math>

	*Die Beschreibung durch das  '''Digitale Kanalmodell'''  – also mit binärem Eingang und Ausgang – ist allerdings nur dann anwendbar,  wenn das Übertragungssystem harte Entscheidungen trifft – siehe  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\| "AWGN–Kanal bei binärem Eingang"]].  Systeme mit  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN\|"Soft Decision"]]  sind mit diesem einfachen Modell nicht modellierbar.<br>		*Die Beschreibung durch das  '''Digitale Kanalmodell'''  – also mit binärem Eingang und Ausgang – ist allerdings nur dann anwendbar,  wenn das Übertragungssystem harte Entscheidungen trifft – siehe  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\| "AWGN–Kanal bei binärem Eingang"]].   Systeme mit  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN\|"Soft Decision"]]  sind mit diesem einfachen Modell nicht modellierbar.<br>

	*Der Vektor  $\underline{v}$  nach der  '''Kanaldecodierung'''  hat die gleiche Länge  $k$  wie der Informationsblock  $\underline{u}$.  Den Decodiervorgang beschreiben wir mit der  "Decoder–Funktion"  als  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y}) = {\rm dec}(\underline{y})$.  Im fehlerfreien Fall gilt analog zu  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$  auch  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y})$.<br>		*Der Vektor  $\underline{v}$  nach der  '''Kanaldecodierung'''  hat die gleiche Länge  $k$  wie der Informationsblock  $\underline{u}$.  Den Decodiervorgang beschreiben wir mit der  "Decoder–Funktion"  als  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y}) = {\rm dec}(\underline{y})$.  Im fehlerfreien Fall gilt analog zu  $\underline{x} = {\rm enc}(\underline{u})$  auch  $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{y})$.<br>
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	*Die Fehlerkorrektur ist für diese aufgrund der minimalen Distanz  $d_{\rm min} = 3$  zwischen den Codeworten möglich.		*Die Fehlerkorrektur ist für diese aufgrund der minimalen Distanz  $d_{\rm min} = 3$  zwischen den Codeworten möglich.

	*Acht Empfangsworte sind nicht decodierbar.  Beispielsweise könnte das Empfangswort  $\underline{y} = (0, 0, 1, 0, 1)$  aus dem Codewort  $\underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)$  entstanden sein, aber auch aus dem Codewort  $\underline{x}_3 = (1, 1, 1, 0, 1)$. In beiden Fällen wären zwei Bitfehler aufgetreten.}}<br>		*Acht Empfangsworte sind nicht decodierbar.  Beispielsweise könnte das Empfangswort  $\underline{y} = (0, 0, 1, 0, 1)$  aus dem Codewort  $\underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)$  entstanden sein,  aber auch aus dem Codewort  $\underline{x}_3 = (1, 1, 1, 0, 1)$.  In beiden Fällen wären zwei Bitfehler aufgetreten.}}<br>

	== Zur Nomenklatur in diesem Buch ==		== Zur Nomenklatur in diesem Buch ==