Kanalcodierung/Soft–in Soft–out Decoder - Versionsgeschichte

Guenter am 26. November 2022 um 15:36 Uhr

2022-11-26T15:36:04Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 13:12 Uhr

2019-07-04T13:12:50Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 13:10 Uhr

2019-07-04T13:10:11Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 13:06 Uhr

2019-07-04T13:06:24Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 12:40 Uhr

2019-07-04T12:40:46Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 12:14 Uhr

2019-07-04T12:14:01Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 11:39 Uhr

2019-07-04T11:39:30Z

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Guenter am 3. Juli 2019 um 14:06 Uhr

2019-07-03T14:06:23Z

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Guenter am 30. Januar 2018 um 09:37 Uhr

2018-01-30T09:37:20Z

Hussain am 14. Dezember 2017 um 14:49 Uhr

2017-12-14T14:49:59Z

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 == Zur Berechnung der extrinsischen L–Werte ==
 <br>
-Die Schwierigkeit bei der symbolweisen iterativen Decodierung ist im allgemeinen die Bereitstellung der extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte&nbsp; $L_{\rm E}(i)$. Bei einem Code der Länge&nbsp; $n$&nbsp; gilt hierbei für die Laufvariable:&nbsp; $i = 1, \ \text{...} , \ n$.<br>
+Die Schwierigkeit bei der symbolweisen iterativen Decodierung ist im allgemeinen die Bereitstellung der extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte&nbsp; $L_{\rm E}(i)$.&nbsp; Bei einem Code der Länge&nbsp; $n$&nbsp; gilt hierbei für die Laufvariable:&nbsp; $i = 1, \ \text{...} , \ n$.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;  Der&nbsp; <b> extrinsische $L$&ndash;Wert</b>&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>extrinsic LLR</i> )&nbsp; ist ein Maß für die Informationen, den die anderen Symbole&nbsp; $(j &ne; i)$&nbsp; des Codewortes über das&nbsp; $i$&ndash;te Codesymbol liefern, ausgedrückt als Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnis. Wir benennen diesen Kennwert mit&nbsp; $L_{\rm E}(i)$.}}
+$\text{Definition:}$&nbsp;  Der&nbsp; <b> extrinsische $L$&ndash;Wert</b>&nbsp; (englisch: &nbsp;"extrinsic log likelihood ratio")&nbsp; ist ein Maß für die Informationen,&nbsp; den die anderen Symbole&nbsp; $(j &ne; i)$&nbsp; des Codewortes über das&nbsp; $i$&ndash;te Codesymbol liefern.&nbsp; Wir benennen diesen Kennwert mit&nbsp; $L_{\rm E}(i)$.}}
-Wir berechnen nun die extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte&nbsp; $L_{\rm E}(i)$&nbsp; für zwei beispielhafte Codes.<br>
+Wir berechnen nun die extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte für zwei beispielhafte Codes.<br>
-$\text{Repetition Code}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm RC} \ (n, 1, n)$</b><br>
+$\text{(A) &nbsp; Repetition Code}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm RC} \ (n, 1, n)$</b><br>
-Ein Wiederholungscode zeichnet sich dadurch aus, dass alle&nbsp; $n$&nbsp; Codesymbole&nbsp; $x_i &#8712; \{0, \, 1\}$&nbsp; identisch sind. Der extrinsische&nbsp; $L$&ndash;Wert für das&nbsp; $i$&ndash;ten Symbol ist hier sehr einfach anzugeben und lautet:
+Ein Wiederholungscode zeichnet sich dadurch aus,&nbsp; dass alle&nbsp; $n$&nbsp; Codesymbole&nbsp; $x_i &#8712; \{0, \, 1\}$&nbsp; identisch sind.&nbsp; Der extrinsische&nbsp; $L$&ndash;Wert für das&nbsp; $i$&ndash;ten Symbol ist hier sehr einfach anzugeben und lautet:
 ::<math>L_{\rm E}(i) = \hspace{0.05cm}\sum_{j \ne i} \hspace{0.1cm} L_j
@@ Zeile 212: / Zeile 212: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Ist die Summe über alle&nbsp; $L_{j &ne; i}$&nbsp; positiv, so bedeutet dies aus Sicht der anderen&nbsp; $L$&ndash;Werte eine Präferenz für die Entscheidung &nbsp; $x_i = 0$.
+*Ist die Summe über alle&nbsp; $L_{j &ne; i}$&nbsp; positiv,&nbsp; so bedeutet dies aus Sicht der anderen&nbsp; $L$&ndash;Werte eine Präferenz für die Entscheidung &nbsp; $x_i = 0$.
 *Bei negativer Summe ist dagegen&nbsp; $x_i = 1$&nbsp; wahrscheinlicher.
 *$L_{\rm E}(i) = 0$&nbsp; erlaubt keine Vorhersage.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Wir betrachten die Decodierung des Wiederholungscodes&nbsp; $\text{RC (4, 1,4)}$. Wir gehen dabei von drei verschiedene Annnahmen für das&nbsp; <i>Log Likelihood Ratio</i>&nbsp; $\underline{L}_{\rm A}^{(I=0)} = \underline{L}_{\rm APP}$&nbsp; aus.
+$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Wir betrachten die Decodierung des Wiederholungscodes&nbsp; $\text{RC (4, 1,4)}$.&nbsp;  Wir gehen dabei von drei verschiedene Annnahmen für&nbsp; $ \underline{L}_{\rm APP}^{(I=0)}=\underline{L}_{\rm K}$&nbsp; aus.
-[[Datei:P ID3094 KC T 4 4 S3a neu v2.png|right|frame|Decodierbeispiel &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; für den&nbsp; ${\rm RC} \ (4, 1, 4)$|class=fit]]
+[[Datei:P ID3094 KC T 4 4 S3a neu v2.png|right|frame|Decodierbeispiel &nbsp;$\rm (5a)$&nbsp; für den&nbsp; ${\rm RC} \ (4, 1, 4)$|class=fit]]
-$\text{Decodierbeispiel (A):}$
+$\text{Decodierbeispiel (5a):}$
-:$$\underline{L}_{\rm APP} = (+1,  -1, +3, -1)\text{:}$$
+:$$\underline{L}_{\rm APP}^{(I=0)} = (+1,  -1, +3, -1)\text{:}$$
 ::$$L_{\rm E}(1) = -1+3-1 = +1\hspace{0.05cm},$$
 ::$$L_{\rm E}(2) = +1+3-1 = +3\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 229: / Zeile 231: @@
 :$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{L}_{\rm E}^{(I=0)}= (+1, +3, -1, +3)
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\underline{L}_{\rm A}^{(I=1)}=\underline{L}_{\rm A}^{(I=0)}+ \underline{L}_{\rm E}^{(I=0)}= (+2, +2, +2, +2)$$
-*Zu Beginn&nbsp; $(I=0)$&nbsp; weisen die positiven&nbsp; $L_{\rm E}$&ndash;Werte auf &nbsp;$x_1 = 0$,&nbsp;$x_2 = 0$&nbsp; und &nbsp;$x_4 = 0$&nbsp; hin, während &nbsp;$x_3 =1$&nbsp; wahrscheinlicher ist.
+*Zu Beginn&nbsp; $(I=0)$&nbsp; weisen die positiven&nbsp; $L_{\rm E}$&ndash;Werte auf &nbsp;$x_1 = =x_2 = x_4 = 0$&nbsp; hin,&nbsp; während &nbsp;$x_3 =1$&nbsp; wahrscheinlicher ist.
-*Bereits nach einer Iteration&nbsp; $(I=1)$&nbsp; sind alle&nbsp; $L_{\rm A}$&ndash;Werte positiv  &nbsp; &#8658; &nbsp; Informationsbit wird als&nbsp; $u = 0$&nbsp; decodiert.
 *Weitere Iterationen bringen nichts.<br>
-[[Datei:P ID3096 KC T 4 4 S3c neu v1.png|right|frame|Decodierbeispiel &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; für den&nbsp;  ${\rm RC} \ (4, 1, 4)$]]
+[[Datei:P ID3096 KC T 4 4 S3c neu v1.png|right|frame|Decodierbeispiel &nbsp;$\rm (5b)$&nbsp; für den&nbsp;  ${\rm RC} \ (4, 1, 4)$]]
-$\text{Decodierbeispiel (B):}$
+$\text{Decodierbeispiel (5b):}$
-$$\underline{L}_{\rm APP} = (+1,  +1, -4, +1)\text{:}$$
+:$$\underline{L}_{\rm APP}^{(I=0)} = (+1,  +1, -4, +1)\text{:}$$
-$$\underline{L}_{\rm E}^{(I=0)} = \ (-2,  -2, +3, -2)$$
+:$$\underline{L}_{\rm E}^{(I=0)} = \ (-2,  -2, +3, -2)$$
 * Das Informationsbit wird als&nbsp; $u = 1$&nbsp; decodiert.
-[[Datei:P ID3095 KC T 4 4 S3b neu v1.png|right|frame|Decodierbeispiel &nbsp;$\rm (C)$&nbsp; für den&nbsp;  ${\rm RC} \ (4, 1, 4)$]]<br>
+[[Datei:P ID3095 KC T 4 4 S3b neu v1.png|right|frame|Decodierbeispiel &nbsp;$\rm (5c)$&nbsp; für den&nbsp;  ${\rm RC} \ (4, 1, 4)$]]<br>
 $\text{Decodierbeispiel (C):}$
-$$\underline{L}_{\rm APP} = (+1,  +1, -3, +1)\text{:}$$
+:$$\underline{L}_{\rm APP} = (+1,  +1, -3, +1)\text{:}$$
-$$\underline{L}_{\rm E}^{(I=0)} =  (-1,  -1, +3, -1)$$
+:$$\underline{L}_{\rm E}^{(I=0)} =  (-1,  -1, +3, -1)$$
-*Alle&nbsp; $L_{\rm A}$&ndash;Werte sind schon nach einer Iteration Null.
+*Das Informationsbit kann nicht decodiert werden,&nbsp; obwohl die Ausgangslage nicht viel schlechter war als bei&nbsp;  $\rm (5b)$.
-*Das Informationsbit kann nicht decodiert werden, obwohl die Ausgangslage nicht viel schlechter war als bei&nbsp;  $\rm (B)$.
 *Weitere Iterationen bringen auch hier nichts.<br>}}

@@ Zeile 103: / Zeile 103: @@
 [[Datei:P ID2976 KC T 4 1 S2b v2.png|right|frame|BSC–Modell]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Wir betrachten das  skizzierte&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC&ndash;Modell]]&nbsp; mit bipolarer Darstellung. Hier gilt mit  der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0.1$&nbsp; sowie den beiden Zufallsgrößen&nbsp; $x &#8712; \{+1, \, -1\}$&nbsp; und&nbsp; $y &#8712; \{+1, \, -1\}$&nbsp; am Eingang und Ausgang des Kanals:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Wir betrachten das  skizzierte&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC&ndash;Modell]]&nbsp; mit bipolarer Darstellung. Hier gilt mit  der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0.1$&nbsp; sowie den beiden Zufallsgrößen&nbsp; $x &#8712; \{+1, \, -1\}$&nbsp; und&nbsp; $y &#8712; \{+1, \, -1\}$&nbsp; am Eingang und Ausgang des Kanals:
 ::<math>L(y\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}x) =

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 *Der&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; verändert die Binärsymbole&nbsp; $x_i &#8712; \{+1, \ &ndash;1\}$&nbsp; zu reellwertigen Ausgangswerten&nbsp; $y_i$, zum Beispiel gemäß&nbsp; $\text{Kanal 4}$&nbsp; der unteren Tabelle: &nbsp; $x_1 = +1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $y_1 = +0.9$, &nbsp; $x_2 = \, -1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $y_2 = +0.1$&nbsp; und&nbsp; $x_3 = \, -1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $y_3 = +0.1$.<br>
-*Die Decodierung geschieht gemäß dem Kriterium&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium|Maximum-Likelihood &nbsp;$\text{(blockwise ML)}$]], wobei zwischen&nbsp; <i>Hard Decision</i>&nbsp; $\rm {(ML&ndash;HD)}$&nbsp; und&nbsp; <i>Soft Decision</i>&nbsp; $\rm {(ML&ndash;SD)}$&nbsp; zu unterscheiden ist.<br>
+*Die Decodierung geschieht gemäß dem Kriterium&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium|Maximum-Likelihood]]  &nbsp;$\text{(blockwise ML)}$, wobei zwischen&nbsp; <i>Hard Decision</i>&nbsp; $\rm {(ML&ndash;HD)}$&nbsp; und&nbsp; <i>Soft Decision</i>&nbsp; $\rm {(ML&ndash;SD)}$&nbsp; zu unterscheiden ist.<br>
 *Das gesamte Blockschaltbild entspricht &nbsp;$\rm ML&ndash;HD$. Hier werden zur Decodierung nur die Vorzeichen der AWGN&ndash;Ausgangswerte &nbsp; &rArr; &nbsp; $y_{\rm HD, \ \it i} = {\rm sign}\big [y_{\rm SD, \ \it i}\big ]$&nbsp; ausgewertet. Bei&nbsp; <i>Soft Decision</i>&nbsp; $\rm {(ML&ndash;SD)}$&nbsp; verzichtet man auf den schraffierten Block und wertet direkt die wertkontinuierlichen Eingangsgrößen&nbsp; $y_{\rm SD, \ \it i}$&nbsp; aus.<br>

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 == BCJR–Decodierung: Vorwärts–Rückwärts–Algorithmus ==
 <br>
-Ein Beispiel für die iterative Decodierung von Faltungscodes ist der <i>BCJR&ndash;Algorithmus</i>, benannt nach dessen Erfindern L. R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek und J. Raviv &nbsp;&#8658;&nbsp; [BCJR74]<ref name='BCJR74'>Bahl, L.R.; Cocke, J.; Jelinek, F.; Raviv, J.: ''Optimal Decoding of Linear Codes for Minimizing Symbol Error Rate.'' In: IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-20, S. 284-287, 1974.</ref>. Der Algorithmus weist viele Parallelen zur sieben Jahren älteren Viterbi&ndash;Decodierung auf, doch auch einigesignifikante Unterschiede:
+Ein Beispiel für die iterative Decodierung von Faltungscodes ist der&nbsp; <i>BCJR&ndash;Algorithmus</i>, benannt nach dessen Erfindern L. R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek und J. Raviv &nbsp;&#8658;&nbsp; [BCJR74]<ref name='BCJR74'>Bahl, L.R.; Cocke, J.; Jelinek, F.; Raviv, J.: ''Optimal Decoding of Linear Codes for Minimizing Symbol Error Rate.'' In: IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-20, S. 284-287, 1974.</ref>. Der Algorithmus weist viele Parallelen zur sieben Jahren älteren Viterbi&ndash;Decodierung auf, doch auch einige signifikante Unterschiede:
-*Während Viterbi die Gesamtsequenz schätzt &nbsp;&#8658;&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger| block&ndash;wise Maximum Likelihood]], minimiert der BCJR&ndash;Algorithmus die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger| bit&ndash;wise MAP]].<br>
+*Während Viterbi die Gesamtsequenz schätzt &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger| $\text{block&ndash;wise Maximum Likelihood}$]], minimiert der BCJR&ndash;Algorithmus die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|$\text{ bit&ndash;wise MAP}$]].<br>
 *Der Viterbi&ndash;Algorithmus kann (in seiner ursprünglichen Form) keine Softinformation verarbeiten. Dagegen gibt der BCJR&ndash;Algorithmus bei jeder Iteration für jedes einzelne Symbol (Bit) einen Zuverlässigkeitswert an, der bei späteren Iterationen berücksichtigt wird.<br>
 [[Datei:P ID3024 KC T 4 1 S5 v2.png|center|frame|Gegenüberstellung von Viterbi– und BCJR–Algorithmus|class=fit]]
-Die Abbildung soll &ndash; fast unzulässig vereinfacht &ndash; die unterschiedliche Vorgehensweise von Viterbi&ndash;Algorithmus (links) und BCJR&ndash;Algorithmus (rechts) verdeutlichen. Zugrunde liegt ein Faltungscode mit dem Gedächtnis $m = 1$ und der Länge $L = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Gesamtlänge  (mit Terminierung) $L' = 5$.
+Die Abbildung soll &ndash; fast unzulässig vereinfacht &ndash; die unterschiedliche Vorgehensweise von Viterbi&ndash;Algorithmus (links) und BCJR&ndash;Algorithmus (rechts) verdeutlichen. Zugrunde liegt ein Faltungscode mit dem Gedächtnis&nbsp; $m = 1$&nbsp; und der Länge&nbsp; $L = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Gesamtlänge  (mit Terminierung)&nbsp; $L' = 5$.
-*Der Viterbi&ndash;Algorithmus sucht und findet den wahrscheinlichsten Pfad von ${\it \Gamma}_0(S_0)$ nach ${\it \Gamma}_5(S_0)$, nämlich $S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1&#8594; S_0 $. Wir verweisen auf die Musterlösung zur [[Aufgabe 3.9Z]].<br><br>
+*Der Viterbi&ndash;Algorithmus sucht und findet den wahrscheinlichsten Pfad von&nbsp; ${\it \Gamma}_0(S_0)$&nbsp; nach&nbsp; ${\it \Gamma}_5(S_0)$, nämlich&nbsp; $S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1&#8594; S_0 $. Wir verweisen auf die Musterlösung zur&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_3.09Z:_Nochmals_Viterbi–Algorithmus|Aufgabe 3.9Z]].<br><br>
-Die Skizze für den BCJR&ndash;Algorithmus verdeutlicht die Gewinnung des extrinsischen $L$&ndash;Wertes für das dritte Symbol &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm E}(3)$. Der relevante Bereich im Trellis ist schraffiert:
+Die Skizze für den BCJR&ndash;Algorithmus verdeutlicht die Gewinnung des extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Wertes für das dritte Symbol &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm E}(3)$. Der relevante Bereich im Trellis ist schraffiert:
-* Bei der Abarbeitung des Trellisdiagramms in Vorwärtsrichtung  gewinnt man &ndash; in gleicher Weise wie bei Viterbi &ndash; die Metriken $\alpha_1, \ \alpha_2, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ \alpha_5$. Zur Berechnung von $L_{\rm E}(3)$ benötigt man hiervon $\alpha_2$.<br>
+* Bei der Abarbeitung des Trellisdiagramms in Vorwärtsrichtung  gewinnt man &ndash; in gleicher Weise wie bei Viterbi &ndash; die Metriken&nbsp; $\alpha_1, \ \alpha_2, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ \alpha_5$. Zur Berechnung von&nbsp; $L_{\rm E}(3)$&nbsp; benötigt man hiervon&nbsp; $\alpha_2$.<br>
-* Anschließend durchläuft man das Trellisdiagramm rückwärts (also von rechts nach links) und erhält damit die Metriken $\beta_4, \ \beta_3, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ \beta_0$ entsprechend der unteren Skizze.<br>
+* Anschließend durchläuft man das Trellisdiagramm rückwärts (also von rechts nach links) und erhält damit die Metriken&nbsp; $\beta_4, \ \beta_3, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ \beta_0$&nbsp; entsprechend der unteren Skizze.<br>
-* Der gesuchte extrinsische $L$&ndash;Wert $L_{\rm E}(3)$ ergibt sich aus den Metriken $\alpha_2$ (in Vorwärtsrichtung) und $\beta_3$ (in Rückwärtsrichtung) sowie der Apriori&ndash;Information $\gamma_3$ über das Symbol $i = 3$.<br>
+* Der gesuchte extrinsische&nbsp; $L$&ndash;Wert&nbsp; $L_{\rm E}(3)$&nbsp; ergibt sich aus den Metriken&nbsp; $\alpha_2$&nbsp; (in Vorwärtsrichtung) und&nbsp; $\beta_3$&nbsp; (in Rückwärtsrichtung) sowie der Apriori&ndash;Information&nbsp; $\gamma_3$&nbsp; über das Symbol&nbsp; $i = 3$.<br>
 == Grundstruktur von verketteten Codiersystemen ==
 <br>
-Die wichtigsten Kommunikationssysteme der letzten Jahre verwenden zwei unterschiedliche Kanalcodes. Man spricht dann von '''verketteten Codiersystemen''' (englisch: <i>Concatenated Codes</i>). Auch bei relativ kurzen Komponentencodes $\mathcal{C}_1$ und $\mathcal{C}_2$ ergibt sich für den verketteten Code $\mathcal{C}$ eine hinreichend große Codewortlänge $n$, die ja bekanntlich erforderlich ist, um sich der Kanalkapazität anzunähern.<br>
+Die wichtigsten Kommunikationssysteme der letzten Jahre verwenden zwei unterschiedliche Kanalcodes. Man spricht dann von&nbsp; '''verketteten Codiersystemen'''&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Concatenated Codes</i>). Auch bei relativ kurzen Komponentencodes&nbsp; $\mathcal{C}_1$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}_2$&nbsp; ergibt sich für den verketteten Code&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; eine hinreichend große Codewortlänge&nbsp; $n$, die ja bekanntlich erforderlich ist, um sich der Kanalkapazität anzunähern.<br>
 Zunächst seien einige Beispiele aus dem Mobilfunk genannt:
-*Bei [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_DRITTEN_HAUPTKAPITEL_.23|GSM]] (<i>Global System for Mobile Communications</i>, zweite Mobilfunkgeneration) wird zunächst die Datenbitrate von $9.6 \ \rm kbit/s$ auf $12 \ \rm kbit/s$ erhöht, um auch in leitungsvermittelten Netzen eine Fehlererkennung zu ermöglichen. Anschließend folgt ein punktierter Faltungscode mit der Ausgangsbitrate $22.8 \ \rm kbit/s$. Die Gesamtcoderate beträgt somit etwa $42.1\%$.
+*Bei&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_DRITTEN_HAUPTKAPITEL_.23|GSM]]&nbsp; (<i>Global System for Mobile Communications</i>, zweite Mobilfunkgeneration) wird zunächst die Datenbitrate von&nbsp; $9.6 \ \rm kbit/s$&nbsp; auf&nbsp; $12 \ \rm kbit/s$&nbsp; erhöht, um auch in leitungsvermittelten Netzen eine Fehlererkennung zu ermöglichen. Anschließend folgt ein punktierter Faltungscode mit der Ausgangsbitrate&nbsp; $22.8 \ \rm kbit/s$. Die Gesamtcoderate beträgt somit etwa&nbsp; $42.1\%$.
 [[Datei:P ID2998 KC T 4 1 S6 v1.png|center|frame|Parallel verkettetes Codiersystem|class=fit]]
-Die Grafik zeigt die Grundstruktur eines parallel verketteten Codiersystems. Alle Vektoren bestehen aus $n$ Elementen: $\underline{L} = (L(1), \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ L(n))$. Die Berechnung aller $L$&ndash;Werte geschieht also auf Symbolebene. Nicht dargestellt ist hier der [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving| Interleaver]], der zum Beispiel bei den Turbocodes obligatorisch ist.
+Die Grafik zeigt die Grundstruktur eines parallel verketteten Codiersystems. Alle Vektoren bestehen aus&nbsp; $n$&nbsp; Elementen:&nbsp; $\underline{L} = (L(1), \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ L(n))$. Die Berechnung aller&nbsp; $L$&ndash;Werte geschieht also auf Symbolebene. Nicht dargestellt ist hier der&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving| Interleaver]], der zum Beispiel bei den Turbocodes obligatorisch ist.
-*Die Codesequenzen $\underline{x}_1$ und $\underline{x}_2$ werden zur gemeinsamen Übertragung über den Kanal durch einen Multiplexer zum Vektor $\underline{x}$ zusammengefügt. Am Empfänger wird die Sequenz $\underline{y}$ wieder in die Einzelteile $\underline{y}_1$ und $\underline{y}_2$ zerlegt. Daraus werden die Kanal&ndash;$L$&ndash;Werte $\underline{L}_{\rm K,\hspace{0.05cm}1}$ und $\underline{L}_{K,\hspace{0.05cm}2}$ gebildet.<br>
+*Die Codesequenzen&nbsp; $\underline{x}_1$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}_2$&nbsp; werden zur gemeinsamen Übertragung über den Kanal durch einen Multiplexer zum Vektor&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; zusammengefügt. Am Empfänger wird die Sequenz&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; wieder in die Einzelteile&nbsp; $\underline{y}_1$&nbsp; und&nbsp; $\underline{y}_2$&nbsp; zerlegt. Daraus werden die Kanal&ndash;$L$&ndash;Werte&nbsp; $\underline{L}_{\rm K,\hspace{0.05cm}1}&nbsp;$ und&nbsp; $\underline{L}_{\rm K,\hspace{0.05cm}2}$&nbsp; gebildet.<br>
-*Der symbolweise Decoder ermittelt entsprechend der vorne beschriebenen [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte| Vorgehensweise]] die extrinsischen $L$&ndash;Werte $\underline{L}_{\rm E,\hspace{0.05cm} 1}$ und $\underline{L}_{E,\hspace{0.05cm} 2}$, die gleichzeitig die Apriori&ndash;Informationen $\underline{L}_{\rm A,\hspace{0.05cm} 2}$ und $\underline{L}_{\rm A,\hspace{0.05cm} 1}$ für den jeweils anderen Decoder darstellen. <br>
+*Der symbolweise Decoder ermittelt entsprechend der vorne beschriebenen&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte| Vorgehensweise]]&nbsp; die extrinsischen $L$&ndash;Werte&nbsp; $\underline{L}_{\rm E,\hspace{0.05cm} 1}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{L}_{\rm E,\hspace{0.05cm} 2}$, die gleichzeitig die Apriori&ndash;Informationen&nbsp; $\underline{L}_{\rm A,\hspace{0.05cm} 2}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{L}_{\rm A,\hspace{0.05cm} 1}$&nbsp; für den jeweils anderen Decoder darstellen. <br>
-*Nach ausreichend vielen Iterationen (also dann, wenn ein Abbruchkriterium erfüllt ist) liegt am Decoderausgang der Vektor der Aposteriori&ndash;Werte &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{L}_{\rm APP}$ an. Im Beispiel wird willkürlich der Wert im oberen Zweig genommen. Möglich wäre aber auch der untere $L$&ndash;Wert.<br><br>
+*Nach ausreichend vielen Iterationen (also dann, wenn ein Abbruchkriterium erfüllt ist) liegt am Decoderausgang der Vektor der Aposteriori&ndash;Werte &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{L}_{\rm APP}$&nbsp; an. Im Beispiel wird willkürlich der Wert im oberen Zweig genommen. Möglich wäre aber auch der untere&nbsp; $L$&ndash;Wert.<br><br>
-Das obige Modell gilt insbesondere auch für die Decodierung der Turbo&ndash;Codes gemäß dem Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]].<br>
+Das obige Modell gilt insbesondere auch für die Decodierung der Turbo&ndash;Codes gemäß dem Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]].<br>
 == Aufgaben zum Kapitel==

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-$\text{Single Parity&ndash;check Code}$ &#8658; ${\rm SPC} \ (n, \ n \, -1, \ 2)$
+$\text{Single Parity&ndash;check Code}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm SPC} \ (n, \ n \, -1, \ 2)$
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-Bei jedem <i>Single Parity&ndash;check Code</i> ist die Anzahl der Einsen in jedem Codewort geradzahlig. Oder anders ausgedrückt: Für jedes Codewort $\underline{x}$ ist das [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming&ndash;Gewicht]] $w_{\rm H}(\underline{x})$ geradzahlig.<br>
+Bei jedem&nbsp; <i>Single Parity&ndash;check Code</i>&nbsp; ist die Anzahl der Einsen in jedem Codewort geradzahlig. Oder anders ausgedrückt: &nbsp; Für jedes Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; ist das&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming&ndash;Gewicht]]&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{x})$&nbsp; geradzahlig.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Das Codewort $\underline{x}^{(&ndash;i)}$ beinhalte alle Symbole mit Ausnahme von $x_i$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Vektor der Länge $n -1$. Damit lautet der '''extrinsische $L$&ndash;Wert''' bezüglich dieses $i$&ndash;ten Symbols, wenn $\underline{x}$ empfangen wurde:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Das Codewort&nbsp; $\underline{x}^{(&ndash;i)}$&nbsp; beinhalte alle Symbole mit Ausnahme von&nbsp; $x_i$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Vektor der Länge&nbsp; $n -1$. Damit lautet der &nbsp;$\text{extrinsische }L\text{&ndash;Wert}$&nbsp; bezüglich des&nbsp; $i$&ndash;ten Symbols, wenn&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; empfangen wurde:
 ::<math>L_{\rm E}(i) = {\rm ln} \hspace{0.15cm}\frac{ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} gerade} \hspace{0.05cm} \vert\hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}{ {\rm Pr} \left [w_{\rm H}(\underline{x}^{(-i)})\hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm} ungerade} \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\underline{y} \hspace{0.05cm}\right ]}
   \hspace{0.05cm}.</math>
-Wie in der [[Aufgabe 4.4]] gezeigt werden soll, kann hierfür auch geschrieben werden:
+Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Extrinsische_L–Werte_beim_SPC|Aufgabe 4.4]]&nbsp; gezeigt werden soll, kann hierfür auch geschrieben werden:
 ::<math>L_{\rm E}(i) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.1cm} \left [  \prod\limits_{j \ne i}^{n} \hspace{0.15cm}{\rm tanh}(L_j/2) \right ]
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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 6:}$&nbsp; Wir gehen vom <i>Single Parity&ndash;check Code</i> mit $n = 3, \ k = 2$ &nbsp;&#8658;&nbsp; kurz ${\rm SPC} \ (3, \ 2, \ 2)$ aus.
+$\text{Beispiel 6:}$&nbsp; Wir gehen vom&nbsp; <i>Single Parity&ndash;check Code</i>&nbsp; mit&nbsp; $n = 3, \ k = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; kurz&nbsp; ${\rm SPC} \ (3, \ 2, \ 2)$&nbsp; aus.
 Die $2^k = 4$ gültigen Codeworte $\underline{x} = \{x_1, x_2, x_3\}$ lauten bei bipolarer Beschreibung &nbsp;&#8658;&nbsp; $x_i &#8712; \{&plusmn;1\}$:
-[[Datei:P ID3098 KC T 4 1 S3e v1.png|right|frame|Decodierbeispiel für den ${\rm SPC} \ (3, 2)$|class=fit]]
+Die&nbsp; $2^k = 4$&nbsp; gültigen Codeworte&nbsp; $\underline{x} = \{x_1, x_2, x_3\}$&nbsp; lauten bei bipolarer Beschreibung &nbsp; &#8658; &nbsp; $x_i &#8712; \{&plusmn;1\}$:
 :$$ \underline{x}_0 \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} (+1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm}+1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm}+1)\hspace{-0.05cm}, $$
@@ Zeile 281: / Zeile 282: @@
 :$$\underline{x}_3  \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} (-1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm} -1\hspace{-0.03cm},\hspace{-0.05cm} +1)\hspace{-0.05cm}. $$
-Bei diesem Code ist also das Produkt $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3$ stets positiv.<br>
+Die obige Tabelle zeigt den Decodiervorgang für&nbsp; $\underline{L}_{\rm APP} = (+2.0, +0.4, \, &ndash;1.6)$. Die harte Entscheidung nach den Vorzeichen von&nbsp; $L_{\rm APP}(i)$&nbsp; ergäbe hier&nbsp; $(+1, +1, \, -1)$, also kein gültiges Codewort des&nbsp; ${\rm SP}(3, \ 2, \ 2)$.<br>
-Die obige Tabelle zeigt den Decodiervorgang für $\underline{L}_{\rm APP} = (+2.0, +0.4, \, &ndash;1.6)$. Die harte Entscheidung nach den Vorzeichen von $L_{\rm APP}(i)$ ergäbe hier $(+1, +1, \, &ndash;1)$, also kein gültiges Codewort des ${\rm SP}(3, \ 2, \ 2)$.<br>
+Rechts in der Tabelle sind die dazugehörigen extrinsischen&nbsp; $L$&ndash;Werte eingetragen:<br>
 ::<math>L_{\rm E}(1) = 2 \cdot {\rm tanh}^{-1} \hspace{0.05cm}
@@ Zeile 296: / Zeile 296: @@
 Die zweite Gleichung lässt sich wie folgt interpretieren:
-* $L_{\rm APP}(1) = +2.0$ und $L_{\rm APP}(3) = \, &ndash;1.6$ sagen aus, dass das erste Biteher &bdquo;$+1$&rdquo; als &bdquo;$-1$&rdquo; ist und das dritte Bit eher &bdquo;$-1$&rdquo; als &bdquo;$+1$&rdquo;. Die Zuverlässigkeit (Betrag) ist beim ersten Bit etwas größer als beim dritten.<br>
+* $L_{\rm APP}(1) = +2.0$&nbsp; und&nbsp; $L_{\rm APP}(3) = \, -1.6$&nbsp; sagen aus, dass das erste Bit eher &nbsp;$+1$&nbsp; als &nbsp;$-1$&nbsp; ist und das dritte Bit eher &nbsp;$-1$&nbsp; als &nbsp;$+1$. Die Zuverlässigkeit (der Betrag) ist beim ersten Bit etwas größer als beim dritten.<br>
-*Die extrinsische Information $L_{\rm E}(2) = \, &ndash;0.518$ berücksichtigt nur die Informationen von Bit 1 und Bit 3 über Bit 2. Aus deren Sicht ist das zweite Bit eine &bdquo;$-1$&rdquo; mit der Zuverlässigkeit $0.518$.<br>
+*Die extrinsische Information&nbsp; $L_{\rm E}(2) = \, -0.518$ berücksichtigt nur die Informationen von Bit 1 und Bit 3 über Bit 2. Aus deren Sicht ist das zweite Bit eine &nbsp;$-1$&nbsp; mit der Zuverlässigkeit&nbsp; $0.518$.<br>
-*Der vom Empfangswert $y_2$ abgeleitete $L$&ndash;Wert &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm APP}(2) = +0.4$ hat für das zweite Bit eine &bdquo;$+1$&rdquo; vermuten lassen. Die Diskrepanz wird hier bereits in der Iteration $I = 1$ aufgelöst.<br>
+*Der vom Empfangswert&nbsp; $y_2$&nbsp; abgeleitete&nbsp; $L$&ndash;Wert &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm APP}(2) = +0.4$&nbsp; hat für das zweite Bit eine &nbsp;$+1$&nbsp; vermuten lassen. Die Diskrepanz wird hier bereits in der Iteration&nbsp; $I = 1$&nbsp; aufgelöst.<br>
-*Entschieden wird hier für das Codewort $\underline{x}_1$. Bei $0.518 < L_{\rm APP}(2) < 1.6$ würde das Ergebnis $\underline{x}_1$ erst nach mehreren Iterationen vorliegen. Für $L_{\rm APP}(2) > 1.6$ liefert der Decoder dagegen $\underline{x}_0$.}}<br>
+*Entschieden wird hier für das Codewort&nbsp; $\underline{x}_1$. Bei&nbsp; $0.518 < L_{\rm APP}(2) < 1.6$&nbsp; würde das Ergebnis&nbsp; $\underline{x}_1$&nbsp; erst nach mehreren Iterationen vorliegen. Für&nbsp; $L_{\rm APP}(2) > 1.6$&nbsp; liefert der Decoder dagegen&nbsp; $\underline{x}_0$.}}<br>
 == BCJR–Decodierung: Vorwärts–Rückwärts–Algorithmus ==

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 == Aufgaben zum Kapitel==
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-[[Aufgaben:4.1 Zum „Log Likelihood Ratio”|Aufgabe 4.1: Zum „Log Likelihood Ratio”]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Zum_„Log_Likelihood_Ratio”|Aufgabe 4.1: Zum „Log Likelihood Ratio”]]
-[[Aufgaben:4.1Z_L%E2%80%93Werte_des_BEC%E2%80%93Modells|Zusatzaufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.1Z:_L–Werte_des_BEC–Modells|Aufgabe 4.1Z: L–Werte des BEC–Modells]]
-[[Aufgaben:4.2 Kanal–LLR bei AWGN|Aufgabe 4.2: Kanal–LLR bei AWGN]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.2:_Kanal–LLR_bei_AWGN|Aufgabe 4.2: Kanal–LLR bei AWGN]]
-[[Aufgaben:4.3 Iterative Decodierung beim BSC|Aufgabe 4.3: Iterative Decodierung beim BSC]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.3:_Iterative_Decodierung_beim_BSC|Aufgabe 4.3: Iterative Decodierung beim BSC]]
-[[Aufgaben:4.3Z_Umrechnung_von_L%E2%80%93Wert_und_S%E2%80%93Wert|Zusatzaufgabe 4.3Z: Umrechnung von L–Wert und S–Wert]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.3Z:_Umrechnungen_von_L–Wert_und_S–Wert|Aufgabe 4.3Z: Umrechnungen von L–Wert und S–Wert]]
-[[Aufgaben:4.4 Extrinsische L–Werte beim SPC|Aufgabe 4.4: Extrinsische L–Werte beim SPC]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Extrinsische_L–Werte_beim_SPC|Aufgabe 4.4: Extrinsische L–Werte beim SPC]]
-[[Aufgaben:4.4Z_Erg%C3%A4nzung_zur_Aufgabe_A4.4|Zusatzaufgabe 4.4Z: Ergänzung zur Aufgabe A4.4]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.4Z:_Ergänzung_zur_Aufgabe_4.4|Aufgabe 4.4Z: Ergänzung zur Aufgabe 4.4]]
 ==Quellenverzeichnis==