Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

Guenter am 6. August 2022 um 13:24 Uhr

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Guenter am 6. Juli 2018 um 16:19 Uhr

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 *Allerdings ist diese so genannte&nbsp;  "Truncated Union Bound" &nbsp;nicht mehr bei allen Anwendungen eine echte Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit,&nbsp; sondern diese ist als Näherung  zu verstehen.<br>
-*Die Bhattacharyya&ndash;Schranke ist in der Grafik durch rote Punkte markiert.&nbsp; Diese liegt aufgrund der stark vereinfachten&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Chernoff&ndash;Rubin Bound]&nbsp; ${\rm Q}(x) \le  {\rm e}^{-x^2/2}$&nbsp; deutlich über der&nbsp; "Union Bound".
+*Die Bhattacharyya&ndash;Schranke ist in der Grafik durch rote Punkte markiert.&nbsp; Diese liegt aufgrund der stark vereinfachten&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Chernoff&ndash;Rubin Bound]&nbsp; ${\rm Q}(x) \le  {\rm e}^{-x^2/2}$&nbsp; deutlich über der&nbsp; "Union Bound".
 *Zum Beispiel erhält man für &nbsp; $10 \cdot \lg \, E_{\rm B}/N_0 = 8 \, \rm dB$ &nbsp; mit &nbsp; $\beta = {\rm e}^{-R \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}E_{\rm B}/N_0} \approx 0.027$ &nbsp; gegenüber der Union Bound einen mehr als zehnfachen Wert:

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 *Allerdings ist diese so genannte&nbsp;  "Truncated Union Bound" &nbsp;nicht mehr bei allen Anwendungen eine echte Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit,&nbsp; sondern diese ist als Näherung  zu verstehen.<br>
-*Die Bhattacharyya&ndash;Schranke ist in der Grafik durch rote Punkte markiert.&nbsp; Diese liegt aufgrund der stark vereinfachten&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Chernoff&ndash;Rubin Bound]&nbsp; ${\rm Q}(x) \le  {\rm e}^{-x^2/2}$&nbsp; deutlich über der&nbsp; "Union Bound".
+*Die Bhattacharyya&ndash;Schranke ist in der Grafik durch rote Punkte markiert.&nbsp; Diese liegt aufgrund der stark vereinfachten&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Chernoff&ndash;Rubin Bound]&nbsp; ${\rm Q}(x) \le  {\rm e}^{-x^2/2}$&nbsp; deutlich über der&nbsp; "Union Bound".
 *Zum Beispiel erhält man für &nbsp; $10 \cdot \lg \, E_{\rm B}/N_0 = 8 \, \rm dB$ &nbsp; mit &nbsp; $\beta = {\rm e}^{-R \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}E_{\rm B}/N_0} \approx 0.027$ &nbsp; gegenüber der Union Bound einen mehr als zehnfachen Wert:

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 Unter Berücksichtigung obiger Gleichung kommt man sehr viel schneller zum gleichen Ergebnis:
-*Der zu&nbsp;  $\text{SPC (6, 5)}$&nbsp;  duale Code ist der&nbsp;  [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes| Repetition Code]]&nbsp;  $\text{RC (6, 1)}$&nbsp;  mit nur zwei Codeworten&nbsp;  $(0, 0, 0, 0, 0, 0)$&nbsp;  und&nbsp;  $(1, 1, 1, 1, 1, 1)$:
+*Der zu&nbsp;  $\text{SPC (6, 5)}$&nbsp;  duale Code ist der&nbsp;  [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes| "Repetition Code"]]&nbsp;  $\text{RC (6, 1)}$&nbsp;  mit nur zwei Codeworten&nbsp;  $(0, 0, 0, 0, 0, 0)$&nbsp;  und&nbsp;  $(1, 1, 1, 1, 1, 1)$:
 ::<math>W_{\rm RC\hspace{0.03cm}(6,\hspace{0.08cm}1)}(X) = 1 + X^{6}\hspace{0.05cm}.</math>

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 ::$${\rm Pr}\hspace{0.02cm}\big[\underline{x} \mapsto \underline{x}\hspace{0.05cm}'\big] = {\rm Pr} \big [
-f(\underline{x}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}\underline{y}) \le f(\underline{x}\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\underline{y}) \big ]
+p(\underline{x}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}\underline{y}) \le p(\underline{x}\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\underline{y}) \big ]
   \hspace{0.05cm}.$$}}

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 == Schranken für den (7, 4, 3)–Hamming–Code beim AWGN–Kanal ==
 <br>
-Abschließend betrachten wir die Blockfehlerwahrscheinlichkeit und deren Schranken (<i>Union Bound</i> und <i>Bhattacharyya&ndash;Schranke</i>&nbsp;) für die folgende Konfiguration:
+Abschließend betrachten wir die Blockfehlerwahrscheinlichkeit und deren Schranken (&bdquo;Union Bound&rdquo; und &bdquo;Bhattacharyya&ndash;Schranke&rdquo;&nbsp;) für die folgende Konfiguration:
-*AWGN&ndash;Kanal, gekennzeichnet durch den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$,<br>
+*AWGN&ndash;Kanal, gekennzeichnet durch den Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$,<br>
-*Hamming&ndash;Code $\text{HC(7, 4, 3)}$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $R = 4/7$, &nbsp; $W(X)-1 =   7 \cdot X^3 +  7 \cdot X^4 + X^7$,<br>
+*Hamming&ndash;Code&nbsp; $\text{HC(7, 4, 3)}$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $R = 4/7$, &nbsp; $W(X)-1 =   7 \cdot X^3 +  7 \cdot X^4 + X^7$,<br>
-*<i>Soft&ndash;Decision</i> nach dem ML&ndash;Kriterium.<br><br>
+*&bdquo;Soft&ndash;Decision&rdquo; nach dem Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Kriterium.<br><br>
-[[Datei:P ID2369 KC T 1 6 S5 v3.png|right|frame|Blockfehlerwahrscheinlichkeit und Schranken des HC (7, 4, 3)|class=fit]]
+[[Datei:P ID2369 KC T 1 6 S5 v3.png|right|frame|Blockfehlerwahrscheinlichkeit und Schranken des &nbsp; $\text{HC (7, 4, 3)}$|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp;  Die Ergebnisse sind in der Grafik zusammengefasst.
-*Im Gegensatz zur Grafik im Abschnitt [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN| Codiergewinn &ndash; Bitfehlerrate bei AWGN]] ist hier die Blockfehlerrate angegeben und nicht die Bitfehlerrate.
+*Im Gegensatz zur Grafik im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN| Codiergewinn &ndash; Bitfehlerrate bei AWGN]] ist hier die Blockfehlerrate angegeben und nicht die Bitfehlerrate.
-*Näherungsweise ist Letztere um den Faktor $d_{\rm min}/k$ kleiner, falls wie hier $d_{\rm min}< k$  ist. Im vorliegenden Beispiel gilt $d_{\rm min}/k = 0.75$.<br>
+*Näherungsweise ist Letztere um den Faktor&nbsp; $d_{\rm min}/k$&nbsp; kleiner, falls wie hier&nbsp; $d_{\rm min}< k$&nbsp;  ist. Im vorliegenden Beispiel gilt&nbsp; $d_{\rm min}/k = 0.75$.<br>
-*Berechnet wurden nur die Punkte für ganzzahlige dB&ndash;Werte. Die gestrichelten Linien wurden interpoliert.
+*Berechnet wurden nur die Punkte für ganzzahlige&nbsp; $\rm dB$&ndash;Werte. Die gestrichelten Linien wurden interpoliert.
-*Die rechts  angegebenen (blauen) Zahlenwerte gelten für $10 \cdot \lg \, E_{\rm B}/N_0 = 8 \, \rm dB$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $E_{\rm B}/N_0  \approx 6.31$ (blaue Vertikale).
+*Die rechts  angegebenen (blauen) Zahlenwerte gelten für&nbsp; $10 \cdot \lg \, E_{\rm B}/N_0 = 8 \, \rm dB$ &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $E_{\rm B}/N_0  \approx 6.31$ (blaue Vertikale).
-::<math>{\rm Pr(Blockfehler)}   \le  \sum_{i= d_{\rm min} }^{n} W_i \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{i \cdot {2R \cdot E_{\rm B} }/{N_0} } \right ) =
-\cdot {\rm Q} (4.65) + 7 \cdot {\rm Q} (5.37) + {\rm Q} (7.10) </math>
+Die grünen Kreuze markieren die &bdquo;Union Bound&rdquo;. Nach dieser gilt:
-::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \approx
 \cdot 1.66 \cdot 10^{-6} + 7 \cdot 3.93 \cdot 10^{-8}+ 10^{-9} = 1.2 \cdot 10^{-5}
   \hspace{0.05cm}.</math>
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 ::<math>{\rm Pr(Union\hspace{0.15cm} Bound)} \approx W_{d_{\rm min} } \cdot {\rm Q} \left ( \sqrt{d_{\rm min} \cdot {2R \cdot E_{\rm B} }/{N_0} } \right ) = 1.16 \cdot 10^{-5}
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Allerdings ist diese so genannte  <i>Truncated Union Bound</i> nicht mehr bei allen Anwendungen eine echte Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit, sondern ist als Näherung  zu verstehen.<br>
+*Allerdings ist diese so genannte&nbsp;  &bdquo;Truncated Union Bound&rdquo; &nbsp;nicht mehr bei allen Anwendungen eine echte Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit, sondern ist als Näherung  zu verstehen.<br>
-*Die <i>Bhattacharyya&ndash;Schranke</i> ist in der Grafik durch rote Punkte markiert. Diese Schranke liegt aufgrund der stark vereinfachten [https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Chernoff&ndash;Rubin Bound] ${\rm Q}(x) \le  {\rm e}^{-x^2/2}$ deutlich über der ''Union Bound''.
+*Die Bhattacharyya&ndash;Schranke ist in der Grafik durch rote Punkte markiert. Diese liegt aufgrund der stark vereinfachten&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Chernoff&ndash;Rubin Bound]&nbsp; ${\rm Q}(x) \le  {\rm e}^{-x^2/2}$&nbsp; deutlich über der Union Bound.
-*Für $10 \cdot \lg \, E_{\rm B}/N_0 = 8 \, \rm dB$ erhält man mit $\beta = {\rm e}^{-R \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}E_{\rm B}/N_0} \approx 0.027$ gegenüber der Union Bound einen mehr als zehnfachen Wert:
+*Zum Beispiel erhält man für&nbsp; $10 \cdot \lg \, E_{\rm B}/N_0 = 8 \, \rm dB$&nbsp; mit&nbsp; $\beta = {\rm e}^{-R \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}E_{\rm B}/N_0} \approx 0.027$&nbsp; gegenüber der Union Bound einen mehr als zehnfachen Wert:
 ::<math>{\rm Pr(Bhattacharyya)} = W(\beta) -1 = 7 \cdot \beta^3 + 7 \cdot \beta^4 + \beta^7 \approx 1.44 \cdot 10^{-4}

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 == Die obere Schranke nach Bhattacharyya ==
 <br>
-Eine weitere obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit wurde von [https://en.wikipedia.org/wiki/Anil_Kumar_Bhattacharya Bhattacharyya] angegeben:
+Eine weitere obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit wurde von&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Anil_Kumar_Bhattacharya Bhattacharyya]&nbsp; angegeben:
 ::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1 = {\rm Pr(Bhattacharyya)}
@@ Zeile 181: / Zeile 181: @@
 Hierzu ist anzumerken:
-*$W(X)$ ist die oben definierte [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes|Gewichtsfunktion]], die den verwendeten Kanalcode charakterisiert.<br>
+*$W(X)$&nbsp; ist die oben definierte&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes|Gewichtsfunktion]], die den verwendeten Kanalcode charakterisiert.<br>
-*Der <i>Bhattacharyya&ndash;Parameter</i> $\beta$ kennzeichnet den digitalen Kanal. Beispielsweise gilt:
+*Der&nbsp; <i>Bhattacharyya&ndash;Parameter</i>&nbsp; $\beta$&nbsp; kennzeichnet den digitalen Kanal. Beispielsweise gilt:
 ::<math>\beta = \left\{ \begin{array}{c} \lambda \\  \sqrt{4 \cdot \varepsilon \cdot (1- \varepsilon)}\\
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 ::<math>{\rm Pr}\big[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}\big]  =    \sum_{i= \left\lfloor (d-1)/2 \right\rfloor}^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i}  =    \sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i} \cdot \varepsilon^{i} \cdot (1 - \varepsilon)^{d-i}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Hierbei kennzeichnet $\varepsilon = {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.04cm}|\hspace{0.04cm} x = 0) = {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.04cm}|\hspace{0.04cm} x = 1)< 0.5$ das Kanalmodell.
+*Hierbei kennzeichnet&nbsp; $\varepsilon = {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.04cm}|\hspace{0.04cm} x = 0) = {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.04cm}|\hspace{0.04cm} x = 1)< 0.5$&nbsp; das Kanalmodell.
-*$d = d_{\rm H}(\underline{x}_0,\, \underline{x}_1)$ gibt die Hamming&ndash;Distanz der betrachteten Codeworte an.<br>
+*$d = d_{\rm H}(\underline{x}_0,\, \underline{x}_1)$&nbsp; gibt die Hamming&ndash;Distanz der betrachteten Codeworte an.<br>
 Um zur Bhattacharyya&ndash;Schranke zu kommen, müssen folgende Abschätzungen getroffen werden:
-*Für alle $i < d$ gilt $\varepsilon^{i} \cdot  (1 - \varepsilon)^{d-i} \le  (1 - \varepsilon)^{d/2}$:
+*Für alle&nbsp; $i < d$&nbsp; gilt&nbsp; $\varepsilon^{i} \cdot  (1 - \varepsilon)^{d-i} \le  (1 - \varepsilon)^{d/2}$:
 ::<math>{\rm Pr}\big[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}\big]  \le  \big[\varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)\big]^{d/2} \cdot \sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i}   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Änderung bezüglich der unteren Grenze der Laufvariablen $i$:
+*Änderung bezüglich der unteren Grenze der Laufvariablen&nbsp; $i$:
 ::<math>\sum_{i= \left\lceil d/2 \right\rceil }^{d} {d \choose i} \hspace{0.15cm} < \hspace{0.15cm} \sum_{i= 0 }^{d} {d \choose i}  = 2^d\hspace{0.05cm},
@@ Zeile 212: / Zeile 212: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Umsortierung gemäß den Hamming&ndash;Gewichten $W_i$ (Hamming&ndash;Distanz $d = i$ kommt $W_i$ mal vor):
+*Umsortierung gemäß den Hamming&ndash;Gewichten&nbsp; $W_i$&nbsp; (Hamming&ndash;Distanz&nbsp; $d = i$&nbsp; kommt&nbsp; $W_i$&nbsp; mal vor):
 ::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.1cm} \le \hspace{0.1cm} \sum_{i= 1 }^{n} W_i \cdot \beta^{i} = 1 +  W_1 \cdot \beta + W_2 \cdot \beta^2 + \hspace{0.05cm}\text{ ...} \hspace{0.05cm}+ W_n \cdot \beta^n
   \hspace{0.05cm}.</math>
-*Mit der Gewichtsfunktion $W(X)= 1 + W_1 \cdot  X + W_2 \cdot  X^2 + \text{...} + W_n \cdot  X^n$:
+*Mit der Gewichtsfunktion&nbsp; $W(X)= 1 + W_1 \cdot  X + W_2 \cdot  X^2 + \text{...} + W_n \cdot  X^n$:
 ::<math>{\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1= {\rm Pr(Bhattacharyya)}
   \hspace{0.05cm}.</math>
-[[Datei:P ID2370 KC T 1 6 S4.png|right|frame|Vergleich Union Bound vs. Bhattacharyya–Schranke (BSC–Modell)|class=fit]]
+[[Datei:P ID2370 KC T 1 6 S4.png|right|frame|Vergleich zwischen &bdquo;Union Bound&rdquo; und &bdquo;Bhattacharyya–Schranke&rdquo;, gültig für das BSC–Modell|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  In der Tabelle sind die Bhattacharyya–Ergebnisse für verschiedene Werte des BSC&ndash;Parameters $\varepsilon$ zusammengefasst, gültig für den [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes|beispielhaften $\text{(5, 2)}$&ndash;Code]].
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  In der Tabelle sind die Bhattacharyya–Ergebnisse für verschiedene Werte des BSC&ndash;Parameters&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; zusammengefasst, gültig für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes|beispielhaften $\text{(5, 2)}$&ndash;Code]].
 Für diesen gilt:
 :$$W_0 = 1, \ \ W_1 = W_2 = 0,  \ \ W_3 = 2,   \ \ W_4 = 1$$
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp;  Basierend auf [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_f.C3.BCr_das_BSC.E2.80.93Modell|$\text{Beispiel 3}$]] und $\text{Beispiel 4}$ (auf dieser Seite) für den einfachen $\text{(5, 2)}$&ndash;Bolckcode, der allerdings wenig praxisrelevant ist, sowie im Vorgriff auf das $\text{Beispiel 5}$ (auf der nächsten  Seite) für den $\text{(7,&nbsp;4,&nbsp;3)}$&ndash;Hamming&ndash;Code fassen wir zusammen:
+$\text{Fazit:}$&nbsp;  Basierend auf dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_f.C3.BCr_das_BSC.E2.80.93Modell|$\text{Beispiel 3}$]]&nbsp; und dem&nbsp; $\text{Beispiel 4}$&nbsp; (auf dieser Seite) für den einfachen&nbsp; $\text{(5, 2)}$&ndash;Blockcode, der allerdings wenig praxisrelevant ist, sowie im Vorgriff auf das&nbsp; $\text{Beispiel 5}$&nbsp; (auf der nächsten  Seite) für den&nbsp; $\text{(7,&nbsp;4,&nbsp;3)}$&ndash;Hamming&ndash;Code fassen wir zusammen:
 *Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Codiersystems ist oft analytisch nicht angebbar und muss per Simulation ermittelt werden. Gleiches gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.<br>
-*Die <i>Union Bound</i>&nbsp; liefert eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit. Bei vielen Anwendungen (insbesondere bei kurzen Codes) liegt die Union Bound nur geringfügig über der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit.<br>
+*Die&nbsp; '''Union Bound'''&nbsp; liefert eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit. Bei vielen Anwendungen (insbesondere bei kurzen Codes) liegt die Union Bound nur geringfügig über der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit.<br>
-*Die Bhattacharyya&ndash;Schranke liegt beim BEC&ndash;Kanal etwa um den Faktor $2$ oberhalb der <i>Union Bound</i> &ndash; siehe [[Aufgaben:Aufgabe_1.14:_Bhattacharyya–Schranke_für_BEC|Aufgabe 1.14]]. Beim BSC&ndash; und beim AWGN&ndash;Kanal ist der Abstand deutlich größer. Der Faktor $10$ (oder mehr) ist keine Seltenheit.<br>
+*Die &nbsp;'''Bhattacharyya&ndash;Schranke'''&nbsp; liegt beim BEC&ndash;Kanal etwa um den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; oberhalb der&nbsp; Union Bound&nbsp; &ndash; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.14:_Bhattacharyya–Schranke_für_BEC|Aufgabe 1.14]]. Beim BSC&ndash; und beim AWGN&ndash;Kanal ist der Abstand deutlich größer. Der Faktor&nbsp; $10$&nbsp; (und mehr) ist keine Seltenheit.<br>
-*Die Bhattacharyya&ndash;Schranke $W(\beta) - 1$ wirkt auf den ersten Blick sehr einfach. Trotzdem benötigt man auch hier Kenntnis über die genaue  Gewichtsfunktion $W(\xi)$  des Codes.<br>
+*Die Bhattacharyya&ndash;Schranke&nbsp; $W(\beta) - 1$&nbsp; wirkt auf den ersten Blick sehr einfach. Trotzdem benötigt man auch hier Kenntnis über die genaue  Gewichtsfunktion&nbsp; $W(\xi)$&nbsp;  des Codes.<br>
-*Bei Kenntnis des Übertragungskanals (BEC, BSC, AWGN oder Abwandlungen hiervon) und dessen Parameter spricht vom Aufwand her nichts dagegen, die <i>Union Bound</i>&nbsp; als obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit zu verwenden.}}<br>
+*Bei Kenntnis des vorliegenden Übertragungskanals (BEC, BSC, AWGN oder Abwandlungen hiervon) und dessen Parameter spricht somit vom Aufwand her nichts dagegen, gleich die (genauere) &bdquo;Union Bound&rdquo; als obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit zu verwenden.}}<br>
 == Schranken für den (7, 4, 3)–Hamming–Code beim AWGN–Kanal ==

@@ Zeile 288: / Zeile 288: @@
 [[Aufgaben:Aufgabe_1.16:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken_für_AWGN|Aufgabe 1.16:  Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken für AWGN]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|Aufgabe 1.16Z: Schranken für die_Gaußsche Fehlerfunktion]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|Aufgabe 1.16Z: Schranken für die Gaußsche Fehlerfunktion]]
 {{Display}}