Kanalcodierung/Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal - Versionsgeschichte

Guenter am 20. Oktober 2022 um 15:28 Uhr

2022-10-20T15:28:49Z

Guenter am 20. Oktober 2022 um 12:26 Uhr

2022-10-20T12:26:34Z

Guenter am 24. Mai 2019 um 08:31 Uhr

2019-05-24T08:31:54Z

Guenter am 23. Mai 2019 um 09:11 Uhr

2019-05-23T09:11:28Z

Guenter am 22. Mai 2019 um 15:59 Uhr

2019-05-22T15:59:28Z

Guenter am 10. Juli 2018 um 08:01 Uhr

2018-07-10T08:01:10Z

Guenter am 10. Juli 2018 um 07:58 Uhr

2018-07-10T07:58:12Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 16:24 Uhr

2018-01-10T16:24:14Z

Guenter am 10. Januar 2018 um 16:21 Uhr

2018-01-10T16:21:12Z

Wael am 2. Januar 2018 um 19:14 Uhr

2018-01-02T19:14:47Z

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 == Blockschaltbild und Voraussetzungen zur Reed–Solomon&ndash;Fehlererkennung ==
 <br>
-Im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Decodierung beim Binary Erasure Channel]]&nbsp; wurde für die binären Blockcodes gezeigt, welche Berechnungen der Decoder ausführen muss, um aus einem unvollständigen Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das gesendete Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; bestmöglich decodieren zu können. Im Reed&ndash;Solomon&ndash;Kapitel haben wir&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; in&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; umbenannt.
+Im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|"Decodierung beim Binary Erasure Channel"]]&nbsp; wurde für die binären Blockcodes gezeigt,&nbsp; welche Berechnungen der Decoder ausführen muss,&nbsp; um aus einem unvollständigen Empfangswort &nbsp; $\underline{y}$ &nbsp; das gesendete Codewort &nbsp; $\underline{x}$ &nbsp; bestmöglich decodieren zu können.&nbsp; Im Reed&ndash;Solomon&ndash;Kapitel haben wir&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; in&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; umbenannt.
-Zugrunde gelegt wird auch hier das&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC| BEC&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; (<i>Binary Erasure Channel</i>&nbsp;), das ein unsicheres Bit als&nbsp; <i>Erasure</i>&nbsp; $\rm E$&nbsp; (&bdquo;Auslöschung&rdquo;) markiert. Im Gegensatz zu&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC]]&nbsp; (<i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp;) und&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN]]&nbsp; (<i>Additive White Gaussian Noise</i>&nbsp;) sind hier Bitfehler&nbsp; $(y_i &ne; c_i)$&nbsp; ausgeschlossen. Jedes  Bit eines Empfangswortes
+[[Datei:P ID2544 KC T 2 4 S1 v2.png|right|frame|Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung/Decodierung und Auslöschungskanal|class=fit]]
 *stimmt also mit dem entsprechenden Bit des Codewortes überein&nbsp; $(y_i = c_i)$, oder
 *ist bereits als Auslöschung markiert&nbsp; $(y_i = \rm E)$.<br>
-[[Datei:P ID2544 KC T 2 4 S1 v2.png|center|frame|Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung/Decodierung und Auslöschungskanal|class=fit]]
+Die Grafik zeigt das Blockschaltbild,&nbsp; das sich von dem Modell im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|"Decodierung linearer Blockcodes"]]&nbsp; geringfügig unterscheidet:
+*Da Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes lineare Blockcodes sind,&nbsp; stehen auch hier Informationswort &nbsp; $\underline{u}$ &nbsp; und Codewort &nbsp; $\underline{c}$ &nbsp; über die Generatormatrix &nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; und die folgende Gleichung in Zusammenhang:
 ::<math>\underline {c} = {\rm enc}(\underline {u}) = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
-\hspace{0.3cm} {\rm mit}  \hspace{0.3cm}\underline {u} = (u_0, u_1,\hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.1cm}, u_i, \hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.1cm}, u_{k-1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
+\hspace{0.6cm} {\rm mit}  \hspace{0.6cm}\underline {u} = (u_0, u_1,\hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.1cm}, u_i, \hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.1cm}, u_{k-1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 \underline {c} = (c_0, c_1, \hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.1cm}, c_i, \hspace{0.05cm}\text{ ... }\hspace{0.1cm}, c_{n-1})
 \hspace{0.05cm}.</math>
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 *Für die einzelnen Symbole von Informationsblock und Codewort gilt bei Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung:
-::<math>u_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}c_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} q = n+1 = 2^m
+::<math>u_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}c_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.6cm}{\rm mit}\hspace{0.6cm} q = n+1 = 2^m
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} n = 2^m - 1\hspace{0.05cm}. </math>
-*Jedes Codesymbol&nbsp; $c_i$&nbsp; wird somit mit&nbsp; $m &#8805; 2$&nbsp; Binärsymbolen (Bit) dargestellt. Zum Vergleich: &nbsp; Für die binären Blockcodes gilt&nbsp; $q=2$,&nbsp; $m=1$&nbsp; und die Codewortlänge&nbsp; $n$&nbsp; ist frei wählbar.<br>
+*Jedes Codesymbol&nbsp; $c_i$&nbsp; wird somit mit&nbsp; $m &#8805; 2$&nbsp; Binärsymbolen&nbsp; ("Bit")&nbsp; dargestellt.&nbsp; Zum Vergleich: &nbsp; Für die binären Blockcodes gilt &nbsp; $q=2$, &nbsp; $m=1$ &nbsp; und die Codewortlänge&nbsp; $n$&nbsp; ist frei wählbar.<br>
-*Bei Codierung auf Symbolebene muss das BEC&ndash;Modell zum&nbsp; $m$&ndash;BEC&ndash;Modell erweitert werden. Mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda_m  &asymp; m \cdot\lambda$&nbsp; wird ein Codesymbol&nbsp; $c_i$&nbsp; ausgelöscht&nbsp; $(y_i = \rm E)$&nbsp; und es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(y_i = c_i) = 1 - \lambda_m$. Näheres zur Umrechnung der beiden Modelle finden Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.11Z:_Erasure–Kanal_für_Symbole|Aufgabe 2.11Z]].<br>
+:*Näheres zur Umrechnung der beiden Modelle finden Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.11Z:_Erasure–Kanal_für_Symbole|Aufgabe 2.11Z]].<br>
-Im Folgenden beschäftigen wir uns nur mit dem Block&nbsp;  <i>Codewortfinder</i> (CWF), der aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; den Vektor&nbsp; $\underline{z} &#8712; \mathcal{C}_{\rm RS}$&nbsp; gewinnt:
+Im Folgenden beschäftigen wir uns nur mit dem Block&nbsp;  "Codewortfinder"&nbsp; $\rm (CWF)$,&nbsp; der aus dem Empfangsvektor &nbsp; $\underline{y}$ &nbsp; den Vektor &nbsp; $\underline{z} &#8712; \mathcal{C}_{\rm RS}$ &nbsp; gewinnt:
 *Falls die Anzahl&nbsp; $e$&nbsp; der Auslöschungen im Vektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; hinreichend klein ist, lässt sich das gesamte Codewort mit Sicherheit&nbsp; $(\underline{z}=\underline{c})$&nbsp;   finden.<br>

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 }}
-== Blockschaltbild und Voraussetzungen zur RS&ndash;Fehlererkennung ==
+== Blockschaltbild und Voraussetzungen zur Reed–Solomon&ndash;Fehlererkennung ==
 <br>
 Im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Decodierung beim Binary Erasure Channel]]&nbsp; wurde für die binären Blockcodes gezeigt, welche Berechnungen der Decoder ausführen muss, um aus einem unvollständigen Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das gesendete Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; bestmöglich decodieren zu können. Im Reed&ndash;Solomon&ndash;Kapitel haben wir&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; in&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; umbenannt.
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 *Falls die Anzahl&nbsp; $e$&nbsp; der Auslöschungen im Vektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; hinreichend klein ist, lässt sich das gesamte Codewort mit Sicherheit&nbsp; $(\underline{z}=\underline{c})$&nbsp;   finden.<br>
-*Sind zuviele Symbole des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; ausgelöscht, meldet der Decoder, dass dieses Wort nicht decodierbar ist und sendet eventuell die Sequenz noch einmal.<br><br>
+*Sind zuviele Symbole des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; ausgelöscht, meldet der Decoder, dass dieses Wort nicht decodierbar ist. Eventuell muss dann diese Sequenz noch einmal gesendet werden.<br><br>
 Beim Auslöschungskanal&nbsp; ($m$&ndash;BEC)&nbsp; ist im Gegensatz zum &nbsp;$m$&ndash;BSC, der im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed–Solomon–Codierung|Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung]]&nbsp; Anwendung findet,  eine Fehlentscheidung&nbsp; $(\underline{z} \ne \underline{c})$&nbsp; ausgeschlossen &nbsp; &#8658; &nbsp; Blockfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{z}\ne\underline{c})  = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(\underline{v}\ne\underline{u})  = 0$.

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 == Vorgehensweise am Beispiel des RSC (7, 3, 5)<sub>8</sub> ==
 <br>
-Um die Reed&ndash;Solomon&ndash;Decodierung beim Auslöschungskanal so einfach wie möglich darstellen zu können, gehen wir von einer konkreten Aufgabenstellung aus: Verwendet wird ein Reed&ndash;Solomon&ndash;Code mit den Parametern $n= 7$, $k= 3$ und $q= 2^3 = 8$.
+Um die Reed&ndash;Solomon&ndash;Decodierung beim Auslöschungskanal so einfach wie möglich darstellen zu können, gehen wir von einer konkreten Aufgabenstellung aus:
-Somit gilt für das Informationswort $\underline{u}$ und das Codewort $\underline{c}$:
+Verwendet wird ein Reed&ndash;Solomon&ndash;Code mit den Parametern&nbsp; $n= 7$,&nbsp; $k= 3$&nbsp; und&nbsp; $q= 2^3 = 8$.
 ::<math>\underline {u} = (u_0, u_1, u_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
@@ Zeile 60: / Zeile 62: @@
 \hspace{0.05cm},</math>
-und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ lautet:
+und die Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; lautet:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} =
@@ Zeile 70: / Zeile 72: @@
 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}. </math>
-Beispielhaft wird vom  Empfangsvektor $\underline {y}  = (\alpha, \hspace{0.03cm} 1, \hspace{0.03cm}{\rm E}, \hspace{0.03cm}{\rm E}, \hspace{0.03cm}\alpha^2,{\rm E}, \hspace{0.03cm}\alpha^5)$ ausgegangen. Dann gilt:
+Beispielhaft wird hier vom  Empfangsvektor&nbsp; $\underline {y}  = (\alpha, \hspace{0.03cm} 1, \hspace{0.03cm}{\rm E}, \hspace{0.03cm}{\rm E}, \hspace{0.03cm}\alpha^2,{\rm E}, \hspace{0.03cm}\alpha^5)$&nbsp; ausgegangen. Dann gilt:
 *Da der Auslöschungskanal keine Fehler produziert, sind dem Decoder vier der Codesymbole bekannt:
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 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Es ist offensichtlich, dass der Block &bdquo;Codewortfinder&rdquo; &ndash; im Blockschaltbild mit '''CWF''' bezeichnet &ndash; einen Vektor der Form $\underline {z} = (c_0, \hspace{0.03cm}c_1, \hspace{0.03cm}z_2, \hspace{0.03cm}z_3,\hspace{0.03cm}c_4,\hspace{0.03cm}z_5,\hspace{0.03cm}c_6)$ liefern soll mit $z_2,\hspace{0.03cm}z_3,\hspace{0.03cm}z_5 \in \rm GF(2^3)$.<br>
+*Es ist offensichtlich, dass der Block &bdquo;Codewortfinder&rdquo; &ndash; im Blockschaltbild mit&nbsp; '''CWF'''&nbsp; bezeichnet &ndash; einen Vektor der Form&nbsp; $\underline {z} = (c_0, \hspace{0.03cm}c_1, \hspace{0.03cm}z_2, \hspace{0.03cm}z_3,\hspace{0.03cm}c_4,\hspace{0.03cm}z_5,\hspace{0.03cm}c_6)$&nbsp; liefern soll mit&nbsp; $z_2,\hspace{0.03cm}z_3,\hspace{0.03cm}z_5 \in \rm GF(2^3)$.<br>
-*Da das vom Decoder gefundene Codewort $\underline {z}$ aber auch ein gültiges Reed&ndash;Solomon&ndash;Codewort  sein soll &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline {z} &#8712; \mathcal{C}_{\rm RS}$, muss ebenso gelten:
+*Da das vom Decoder gefundene Codewort&nbsp; $\underline {z}$&nbsp; aber auch ein gültiges Reed&ndash;Solomon&ndash;Codewort  sein soll &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline {z} &#8712; \mathcal{C}_{\rm RS}$, muss ebenso gelten:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} \cdot \underline {z}^{\rm T} = \underline {0}^{\rm T}  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 106: / Zeile 108: @@
 \hspace{0.05cm}. </math>
-*Daraus ergeben sich vier Gleichungen für die Unbekannten $z_2$, $z_3$, $z_5$. Bei eindeutiger Lösung &ndash; und nur bei einer solchen &ndash; ist die Decodierung erfolgreich und man kann dann mit Sicherheit sagen, dass tatsächlich $\underline {c} =  \underline {z} $ gesendet wurde.<br><br>
+*Daraus ergeben sich vier Gleichungen für die Unbekannten&nbsp; $z_2$,&nbsp; $z_3$&nbsp; und &nbsp;$z_5$. Bei eindeutiger Lösung &ndash; und nur bei einer solchen &ndash; ist die Decodierung erfolgreich und man kann dann mit Sicherheit sagen, dass tatsächlich&nbsp; $\underline {c} =  \underline {z} $&nbsp; gesendet wurde.<br><br>
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 == Lösung der Matrixgleichungen am Beispiel des RSC (7, 3, 5)<sub>8</sub> ==
 <br>
-Gefunden werden muss also das zulässige Codewort $\underline {z}$, das die Bestimmungsgleichung $\boldsymbol{\rm H} \cdot \underline {z}^{\rm T} $  erfüllt. Zweckmäßigerweise spalten wir dazu den Vektor $\underline {z}$ in zwei Teilvektoren auf, nämlich in
+Gefunden werden muss also das zulässige Codewort&nbsp; $\underline {z}$, das die Bestimmungsgleichung&nbsp; $\boldsymbol{\rm H} \cdot \underline {z}^{\rm T} $&nbsp;  erfüllt. Zweckmäßigerweise spalten wir dazu den Vektor&nbsp; $\underline {z}$&nbsp; in zwei Teilvektoren auf, nämlich in
-*den Vektor $\underline {z}_{\rm E} = (z_2, z_3, z_5)$ der ausgelöschten Symbole (Index &bdquo;E&rdquo; für <i>Erasures</i>&nbsp;),<br>
+*den Vektor&nbsp; $\underline {z}_{\rm E} = (z_2, z_3, z_5)$&nbsp; der ausgelöschten Symbole&nbsp; (Index &bdquo;$\rm E$&rdquo; für <i>Erasures</i>&nbsp;),<br>
-*den Vektor $\underline {z}_{\rm K} = (c_0, c_1,c_4, c_6)$ der bekannten Symbole (Index &bdquo;K&rdquo; für <i>Korrekt</i>&nbsp;).<br><br>
+*den Vektor&nbsp; $\underline {z}_{\rm K} = (c_0, c_1,c_4, c_6)$&nbsp; der bekannten Symbole&nbsp; (Index &bdquo;$\rm K$&rdquo; für <i>Korrekt</i>&nbsp;).<br><br>
-Mit den zugehörigen Teilmatrizen (jeweils mit $n-k = 4$ Zeilen)
+Mit den zugehörigen Teilmatrizen (jeweils mit&nbsp; $n-k = 4$&nbsp; Zeilen)
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} =
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 { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm K} \cdot \underline {z}_{\rm K}^{\rm T}\hspace{0.05cm}.  </math>
-Da für alle Elemente $z_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$ die [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes |additive Inverse]] ${\rm Inv_A}(z_i)= (- z_i) = z_i$ ist, gilt in gleicher Weise
+*Da für alle Elemente&nbsp; $z_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$&nbsp; die&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes |additive Inverse]]&nbsp; ${\rm Inv_A}(z_i)= (- z_i) = z_i$&nbsp; ist, gilt in gleicher Weise
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm E} \cdot \underline {z}_{\rm E}^{\rm T} =
@@ Zeile 166: / Zeile 168: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-Die rechte Gleichungsseite ergibt sich für das betrachtete Beispiel &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline {z}_{\rm K} = (c_0, c_1,c_4, c_6)$ und basiert auf dem Polynom $p(x) = x^3 + x +1$, das zu folgenden Potenzen (in $\alpha$) führt:
+*Die rechte Gleichungsseite ergibt sich für das betrachtete Beispiel &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline {z}_{\rm K} = (c_0, c_1,c_4, c_6)$&nbsp; und basiert auf dem Polynom&nbsp; $p(x) = x^3 + x +1$, das zu folgenden Potenzen $($in&nbsp; &nbsp;$\alpha)$&nbsp; führt:
 ::<math>\alpha^3 =\alpha + 1\hspace{0.05cm},
@@ Zeile 177: / Zeile 179: @@
 \hspace{0.3cm} \alpha^{10} = \alpha^3 =   \alpha + 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \text{...}</math>
-Damit lautet die Matrizengleichung zur Bestimmung des gesuchten Vektors $\underline {z}_{\rm E}$:
+*Damit lautet die Matrizengleichung zur Bestimmung des gesuchten Vektors&nbsp; $\underline {z}_{\rm E}$:
 ::<math>\begin{pmatrix}
@@ Zeile 198: / Zeile 200: @@
 \hspace{0.05cm}. </math>
-Löst man diese Matrizengleichung (am einfachsten per Programm), so erhält man
+*Löst man diese Matrizengleichung (am einfachsten per Programm), so erhält man
 ::<math>z_2 = \alpha^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}z_3 = \alpha^1\hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}z_5 = \alpha^5
@@ Zeile 204: / Zeile 206: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-Das Ergebnis ist richtig, wie die folgenden Kontrollrechnungen zeigen:
+*Das Ergebnis ist richtig, wie die folgenden Kontrollrechnungen zeigen:
 ::<math>\alpha^2 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \cdot \alpha^1 + \alpha^5 \cdot \alpha^5 =
@@ Zeile 215: / Zeile 217: @@
 (\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) + (\alpha^2 + \alpha) = 0\hspace{0.05cm}.</math>
-Das zugehörige Informationswort erhält man mit der [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix| Generatormatrix]] $\boldsymbol{\rm G}$ zu $\underline {v} = \underline {z} \cdot \boldsymbol{\rm G}^{\rm T} = (\alpha^1,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\alpha^3)$.<br>
+*Das zugehörige Informationswort erhält man mit der&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix| Generatormatrix]]&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; zu&nbsp; $\underline {v} = \underline {z} \cdot \boldsymbol{\rm G}^{\rm T} = (\alpha^1,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\alpha^3)$.<br>
 == Aufgaben zum Kapitel ==

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 Im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Decodierung beim Binary Erasure Channel]]&nbsp; wurde für die binären Blockcodes gezeigt, welche Berechnungen der Decoder ausführen muss, um aus einem unvollständigen Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das gesendete Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; bestmöglich decodieren zu können. Im Reed&ndash;Solomon&ndash;Kapitel haben wir&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; in&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; umbenannt.
-Zugrunde gelegt wird auch hier das&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC| BEC&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; (<i>Binary Erasure Channel</i>&nbsp;), das ein unsicheres Bit als&nbsp; <i>Erasure</i>&nbsp; $\rm E$&nbsp; (&bdquo;Auslöschung&rdquo;) markiert. Im Gegensatz zu&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC]]&nbsp; (<i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp;) und&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN]]&nbsp; (<i>Additive White Gaussian Noise</i>&nbsp;) sind hier Bitfehler $(y_i &ne; c_i)$ ausgeschlossen. Jedes  Bit eines Empfangswortes
+Zugrunde gelegt wird auch hier das&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC| BEC&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; (<i>Binary Erasure Channel</i>&nbsp;), das ein unsicheres Bit als&nbsp; <i>Erasure</i>&nbsp; $\rm E$&nbsp; (&bdquo;Auslöschung&rdquo;) markiert. Im Gegensatz zu&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC]]&nbsp; (<i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp;) und&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN]]&nbsp; (<i>Additive White Gaussian Noise</i>&nbsp;) sind hier Bitfehler&nbsp; $(y_i &ne; c_i)$&nbsp; ausgeschlossen. Jedes  Bit eines Empfangswortes
-*stimmt also mit dem entsprechenden Bit des Codewortes überein $(y_i = c_i)$, oder
+*stimmt also mit dem entsprechenden Bit des Codewortes überein&nbsp; $(y_i = c_i)$, oder
-*ist bereits als Auslöschung markiert $(y_i = \rm E)$.<br>
+*ist bereits als Auslöschung markiert&nbsp; $(y_i = \rm E)$.<br>
 [[Datei:P ID2544 KC T 2 4 S1 v2.png|center|frame|Übertragungssystem mit Reed–Solomon–Codierung/Decodierung und Auslöschungskanal|class=fit]]
-Die Grafik zeigt das Blockschaltbild, das sich von dem Modell im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|Decodierung linearer Blockcodes]] geringfügig unterscheidet:
+Die Grafik zeigt das Blockschaltbild, das sich von dem Modell im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|Decodierung linearer Blockcodes]] geringfügig unterscheidet:
-*Da Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes lineare Blockcodes sind, stehen Informationswort $\underline{u}$ und Codewort $\underline{c}$ über die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die folgende Gleichung in Zusammenhang:
+*Da Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes lineare Blockcodes sind, stehen auch hier Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und Codewort&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; über die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die folgende Gleichung in Zusammenhang:
 ::<math>\underline {c} = {\rm enc}(\underline {u}) = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} n = 2^m - 1\hspace{0.05cm}. </math>
-*Jedes Codesymbol $c_i$ wird somit mit $m &#8805; 2$ Binärsymbolen (Bit) dargestellt. Zum Vergleich: &nbsp; Für die binären Blockcodes gilt $q=2$, $m=1$ und die Codewortlänge $n$ ist frei wählbar.<br>
+*Jedes Codesymbol&nbsp; $c_i$&nbsp; wird somit mit&nbsp; $m &#8805; 2$&nbsp; Binärsymbolen (Bit) dargestellt. Zum Vergleich: &nbsp; Für die binären Blockcodes gilt&nbsp; $q=2$,&nbsp; $m=1$&nbsp; und die Codewortlänge&nbsp; $n$&nbsp; ist frei wählbar.<br>
-*Bei Codierung auf Symbolebene muss das BEC&ndash;Modell zum $m$&ndash;BEC&ndash;Modell erweitert werden. Mit der Wahrscheinlichkeit $\lambda_m  &asymp; m \cdot\lambda$ wird ein Codesymbol $c_i$ ausgelöscht $(y_i = \rm E)$ und es gilt ${\rm Pr}(y_i = c_i) = 1 - \lambda_m$. Näheres zur Umrechnung der beiden Modelle finden Sie in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.11Z:_Erasure–Kanal_für_Symbole|Aufgabe 2.11Z]].<br>
+*Bei Codierung auf Symbolebene muss das BEC&ndash;Modell zum&nbsp; $m$&ndash;BEC&ndash;Modell erweitert werden. Mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda_m  &asymp; m \cdot\lambda$&nbsp; wird ein Codesymbol&nbsp; $c_i$&nbsp; ausgelöscht&nbsp; $(y_i = \rm E)$&nbsp; und es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(y_i = c_i) = 1 - \lambda_m$. Näheres zur Umrechnung der beiden Modelle finden Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.11Z:_Erasure–Kanal_für_Symbole|Aufgabe 2.11Z]].<br>
-Im Folgenden beschäftigen wir uns nur mit dem Block  <i>Codewortfinder</i> (CWF), der aus dem Empfangsvektor $\underline{y}$ den Vektor $\underline{z} &#8712; \mathcal{C}_{\rm RS}$ gewinnt:
+Im Folgenden beschäftigen wir uns nur mit dem Block&nbsp;  <i>Codewortfinder</i> (CWF), der aus dem Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; den Vektor&nbsp; $\underline{z} &#8712; \mathcal{C}_{\rm RS}$&nbsp; gewinnt:
-*Falls die Anzahl $e$ der Auslöschungen in Vektor $\underline{y}$ hinreichend klein ist, lässt sich das gesamte Codewort mit Sicherheit $(\underline{z}=\underline{c})$   finden.<br>
+*Falls die Anzahl&nbsp; $e$&nbsp; der Auslöschungen im Vektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; hinreichend klein ist, lässt sich das gesamte Codewort mit Sicherheit&nbsp; $(\underline{z}=\underline{c})$&nbsp;   finden.<br>
-*Sind zuviele Symbole des Empfangswortes $\underline{y}$ ausgelöscht, meldet der Decoder, dass dieses Wort nicht decodierbar ist. Eventuell wird dann die Codesequenz noch einmal gesendet.<br><br>
+*Sind zuviele Symbole des Empfangswortes&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; ausgelöscht, meldet der Decoder, dass dieses Wort nicht decodierbar ist und sendet eventuell die Sequenz noch einmal.<br><br>
-Beim Auslöschungskanal ($m$&ndash;BEC) ist im Gegensatz zum $m$&ndash;BSC, der im Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed–Solomon–Codierung|Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung]] Anwendung findet,  eine Fehlentscheidung $(\underline{z} \ne \underline{c})$ ausgeschlossen &nbsp; &#8658; &nbsp; Blockfehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{z}\ne\underline{c})  = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(\underline{v}\ne\underline{u})  = 0$. Das rekonstruierte Informationswort ergibt sich gemäß dem Blockschaltbild (gelbe Hinterlegung) zu $\underline{v} = {\rm enc}^{-1}(\underline{z})$. Mit der Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+Beim Auslöschungskanal&nbsp; ($m$&ndash;BEC)&nbsp; ist im Gegensatz zum &nbsp;$m$&ndash;BSC, der im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed–Solomon–Codierung|Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung]]&nbsp; Anwendung findet,  eine Fehlentscheidung&nbsp; $(\underline{z} \ne \underline{c})$&nbsp; ausgeschlossen &nbsp; &#8658; &nbsp; Blockfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{z}\ne\underline{c})  = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(\underline{v}\ne\underline{u})  = 0$.
 ::<math>\underline {c} = \underline {u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}

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 == Blockschaltbild und Voraussetzungen zur RS&ndash;Fehlererkennung ==
 <br>
-Im Kapitel [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Decodierung beim Binary Erasure Channel]] wurde für die binären Blockcodes gezeigt, welche Berechnungen der Decoder ausführen muss, um aus einem unvollständigen Empfangswort $\underline{y}$ das gesendete Codewort $\underline{x}$ bestmöglich decodieren zu können.
+Im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Decodierung_beim_Binary_Erasure_Channel|Decodierung beim Binary Erasure Channel]]&nbsp; wurde für die binären Blockcodes gezeigt, welche Berechnungen der Decoder ausführen muss, um aus einem unvollständigen Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; das gesendete Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; bestmöglich decodieren zu können. Im Reed&ndash;Solomon&ndash;Kapitel haben wir&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; in&nbsp; $\underline{c}$&nbsp; umbenannt.
-Zugrunde gelegt war dabei das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC| BEC&ndash;Kanalmodell]] (<i>Binary Erasure Channel</i>&nbsp;), das ein unsicheres Bit als <i>Erasure</i> $\rm E$ (&bdquo;Auslöschung&rdquo;) markiert. Im Gegensatz zu [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC]] (<i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp;) und [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN]] (<i>Additive White Gaussian Noise</i>&nbsp;) sind hier Bitfehler $(y_i &ne; x_i)$ ausgeschlossen. Jedes  Bit eines Empfangswortes
+Zugrunde gelegt wird auch hier das&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC| BEC&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; (<i>Binary Erasure Channel</i>&nbsp;), das ein unsicheres Bit als&nbsp; <i>Erasure</i>&nbsp; $\rm E$&nbsp; (&bdquo;Auslöschung&rdquo;) markiert. Im Gegensatz zu&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC]]&nbsp; (<i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp;) und&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN]]&nbsp; (<i>Additive White Gaussian Noise</i>&nbsp;) sind hier Bitfehler $(y_i &ne; c_i)$ ausgeschlossen. Jedes  Bit eines Empfangswortes
-*stimmt also mit dem entsprechenden Bit des Codewortes überein $(y_i = x_i)$, oder
+*stimmt also mit dem entsprechenden Bit des Codewortes überein $(y_i = c_i)$, oder
 *ist bereits als Auslöschung markiert $(y_i = \rm E)$.<br>

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 Das Ergebnis ist richtig, wie die folgenden Kontrollrechnungen zeigen:
-::<math>\alpha^2 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \cdot \alpha^1 + \alpha^5 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm}
+::<math>\alpha^2 \cdot \alpha^2 + \alpha^3 \cdot \alpha^1 + \alpha^5 \cdot \alpha^5 =
 \alpha^4 + \alpha^4 + \alpha^{10} = \alpha^{10} = \alpha^3\hspace{0.05cm},</math>
-::<math>\alpha^4 \cdot \alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^1 + \alpha^3 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm}
+::<math>\alpha^4 \cdot \alpha^2 + \alpha^6 \cdot \alpha^1 + \alpha^3 \cdot \alpha^5 =
 (\alpha^2 + 1) + (1) + (\alpha) = \alpha^{2} + \alpha = \alpha^4\hspace{0.05cm},</math>
-::<math>\alpha^6 \cdot \alpha^2 + \alpha^2 \cdot \alpha^1 + \alpha^1 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm}
+::<math>\alpha^6 \cdot \alpha^2 + \alpha^2 \cdot \alpha^1 + \alpha^1 \cdot \alpha^5 =
 (\alpha) + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) = \alpha^{2} \hspace{0.05cm},</math>
-::<math>\alpha^1 \cdot \alpha^2 + \alpha^5 \cdot \alpha^1 + \alpha^6 \cdot \alpha^5 \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm}
+::<math>\alpha^1 \cdot \alpha^2 + \alpha^5 \cdot \alpha^1 + \alpha^6 \cdot \alpha^5 =
 (\alpha + 1) + (\alpha^2 + 1) + (\alpha^2 + \alpha) = 0\hspace{0.05cm}.</math>

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 [[Aufgaben:2.11_RS–Decodierung_nach_„Erasures”|Aufgabe 2.11: RS–Decodierung nach „Erasures”]]
-[[Aufgaben:2.11Z_Erasure–Kanal_für_Symbole|Zusatzaufgabe 2.11Z: Erasure–Kanal für Symbole]]
+[[Aufgaben:2.11Z_Erasure–Kanal_für_Symbole|Aufgabe 2.11Z: Erasure–Kanal für Symbole]]
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