Kanalcodierung/Klassifizierung von Signalen - Versionsgeschichte

Guenter am 25. Juni 2019 um 09:41 Uhr

2019-06-25T09:41:39Z

Ayush am 25. Januar 2017 um 18:52 Uhr

2017-01-25T18:52:09Z

Ayush am 8. Januar 2017 um 20:32 Uhr

2017-01-08T20:32:36Z

Ayush am 8. Januar 2017 um 20:31 Uhr

2017-01-08T20:31:45Z

Ayush am 8. Januar 2017 um 20:29 Uhr

2017-01-08T20:29:44Z

Ayush am 8. Januar 2017 um 20:22 Uhr

2017-01-08T20:22:59Z

Ayush am 8. Januar 2017 um 20:13 Uhr

2017-01-08T20:13:28Z

Ayush am 8. Januar 2017 um 20:02 Uhr

2017-01-08T20:02:36Z

Ayush am 8. Januar 2017 um 19:14 Uhr

2017-01-08T19:14:13Z

Ayush am 8. Januar 2017 um 19:09 Uhr

2017-01-08T19:09:22Z

@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 *Aufgrund der Gaußschen WDF kann das Ausgangssignal <i>y</i> = <i>x</i>&#x0303; + <i>n</i> alle reellen Werte annehmen. Der Signalwert <i>y</i> ist zwar wie <i>x</i>&#x0303; zeitdiskret, im Gegensatz zu diesem aber wertkontinuierlich.<br>
-[[Datei:P ID2340 KC T 1 2 S1 v2.png|Modell und WDF des AWGN–Kanals|class=fit]]<br>
+[[Datei:P ID2340 KC T 1 2 S1 v2.png|center|Modell und WDF des AWGN–Kanals|class=fit]]<br>
 Die rechte Grafik zeigt die bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (in blau bzw. rot):

@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 == Binary Symmetric Channel – BSC ==
 <br>
-Das AWGN&ndash;Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell, wie wir es im Kapitel 1.1 zur Beschreibung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben. Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung, so kommen wir zum digitalen Modell <i>Binary Symmetric Channel</i> (BSC):<br>
+Das AWGN&ndash;Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell, wie wir es im [http://www.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 1.1] zur Beschreibung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben. Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung, so kommen wir zum digitalen Modell <i>Binary Symmetric Channel</i> (BSC):<br>
 [[Datei:P ID2341 KC T 1 2 S2 v2.png|BSC–Modell und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]<br>
@@ Zeile 59: / Zeile 59: @@
 :<math>\varepsilon =  {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},</math>
-so ist der Zusammenhang zum AWGN&ndash;Kanalmodell hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei <i>G</i> = 0, wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
+so ist der Zusammenhang zum [http://www.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang AWGN&ndash;Kanalmodell] hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt dabei bei <i>G</i> = 0, wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
 <i>Hinweis:</i> Beim AWGN&ndash;Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit <i>z</i> &#8712; {0, 1} bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit <i>y</i>. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN &ndash;Modells nun <i>y</i><sub>A</sub>. Für das analoge Empfangssignal gilt <i>y</i><sub>A</sub> = <i>x</i>&#x0303; + <i>n</i>.<br>
@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im Kapitel 5 des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehler nach
-*dem Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell,<br>
+*dem [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott_.281.29 Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell,]<br>
-*dem McCullough&ndash;Kanalmodell.<br><br>
+*dem [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Kanalmodell_nach_McCullough_.281.29 McCullough&ndash;Kanalmodell.]<br><br>
 Die Abbildung zeigt statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC&ndash;Modell (links) und so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert&ndash;Elliott (rechts), wobei die Bitfehlerrate in beiden Fällen 10% beträgt. Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wird.<br>
@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 == Binary Erasure Channel – BEC ==
 <br>
-Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig&rdquo; und &bdquo;falsch&rdquo;. Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
+Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig&rdquo; und &bdquo;falsch&rdquo;. Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten [http://www.lntwww.de/Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision_.281.29 Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder] &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
 [[Datei:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png|Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]<br>
@@ Zeile 119: / Zeile 119: @@
 == MAP– und ML–Kriterium (1) ==
 <br>
-Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im Kapitel 4.2 des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>
+Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen Kapitel 4.2] des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>
 [[Datei:P ID2345 KC T 1 2 S5 v2.png|Modell zur Beschreibung von MAP– und ML–Decodierung|class=fit]]<br>
@@ Zeile 156: / Zeile 156: @@
 :<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} |\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.</math>
-Pr(<i><u>x</u></i><sub><i>i </i></sub>|<sub> </sub><i><u>y</u></i>) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub> gesendet wurde, wenn <i><u>y</u></i> empfangen wird.{{end}}<br>
+Pr(<i><u>x</u></i><sub><i>i </i></sub>|<sub> </sub><i><u>y</u></i>) ist die [http://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 bedingte Wahrscheinlichkeit,] dass <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub> gesendet wurde, wenn <i><u>y</u></i> empfangen wird.{{end}}<br>
-Nach dem Satz von Bayes kann die Rückschlusswahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt werden:
+Nach dem [http://www.lntwww.de/Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_.281.29 Satz von Bayes] kann die Rückschlusswahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt werden:
 :<math>{\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) =
@@ Zeile 199: / Zeile 199: @@
 Dies lässt sich wie folgt begründen:
-*Die Hamming&ndash;Distanz <i>d</i><sub>H</sub>(<i><u>y</u></i>, <i><u>x</u><sub>i</sub></i>) gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich die beiden Worte <i><u>y</u></i> und <i><u>x<sub>i</sub></u></i> mit jeweils <i>n</i> binären Elementen unterscheiden. Beispielsweise ist die Hamming&ndash;Distanz zwischen <i><u>y</u></i> = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1) und <i><u>x</u><sub>i</sub></i> = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) gleich 2.<br>
+*Die [http://www.lntwww.de/Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung Hamming&ndash;Distanz] <i>d</i><sub>H</sub>(<i><u>y</u></i>, <i><u>x</u><sub>i</sub></i>) gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich die beiden Worte <i><u>y</u></i> und <i><u>x<sub>i</sub></u></i> mit jeweils <i>n</i> binären Elementen unterscheiden. Beispielsweise ist die Hamming&ndash;Distanz zwischen <i><u>y</u></i> = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1) und <i><u>x</u><sub>i</sub></i> = (0, 1, 0, 0, 1, 1, 1) gleich 2.<br>
 *In <i>n</i> &ndash; <i>d</i><sub>H</Sub>(<i><u>y</u></i>, <i><u>x</u><sub>i</sub></i>) Positionen unterscheiden sich demnach die beiden Vektoren  <i><u>y</u></i> und <i><u>x</u><sub>i</sub></i> nicht. Im obigen Beispiel sind 5 der <i>n</i> = 7 Bit identisch. Zu obiger Gleichung kommt man schließlich durch Einsetzen der Verfälschungswahrscheinlichkeit <i>&epsilon;</i> bzw. deren Ergänzung 1 &ndash; <i>&epsilon;</i>.<br><br>
@@ Zeile 236: / Zeile 236: @@
 Anwendungen der ML/BSC&ndash;Entscheidung finden Sie auf den folgenden Seiten:
-*Single Parity&ndash;check Code (SPC)<br>
+*[http://www.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes_.281.29 Single Parity&ndash;check Code] (SPC)<br>
-*Wiederholungscode (englisch: <i>Repetition Code</i>, RC).<br>
+*[http://www.lntwww.de/Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29 Wiederholungscode] (englisch: <i>Repetition Code</i>, RC).<br>
 == ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal ==
 <br>
-Das AWGN&ndash;Modell für einen (<i>n</i>, <i>k</i>)&ndash;Blockcode unterscheidet sich vom Modell auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für <i>x</i>, <i>x</i>&#x0303; und <i>y</i> nun die entsprechenden Vektoren <i><u>x</u></i>, <u><i>x</i></u>&#x0303; und <i><u>y</u></i> verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus <i>n</i> Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML&ndash;Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
+Das AWGN&ndash;Modell für einen (<i>n</i>, <i>k</i>)&ndash;Blockcode unterscheidet sich vom [http://www.lntwww.de/Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang Modell] auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für <i>x</i>, <i>x</i>&#x0303; und <i>y</i> nun die entsprechenden Vektoren <i><u>x</u></i>, <u><i>x</i></u>&#x0303; und <i><u>y</u></i> verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus <i>n</i> Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML&ndash;Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
 *Der AWGN&ndash;Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das <i>White</i> im Namen), so dass für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion geschrieben werden kann:
@@ Zeile 273: / Zeile 273: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Damit lautet die ML&ndash;Entscheidungsregel beim AWGN&ndash;Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF <i>f</i>(<u><i>y</u></i> | <u><i>x</i></u>&#x0303;<sub><i>i</i></sub>) konstant ist:
+*Damit lautet die ML&ndash;Entscheidungsregel beim AWGN&ndash;Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF <i>f</i>(<u><i>y</i></u> | <u><i>x</i></u>&#x0303;<sub><i>i</i></sub>) konstant ist:
 ::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
@@ Zeile 282: / Zeile 282: @@
 Nach einigen weiteren Zwischenschritten kommt man zum Ergebnis:<br>
-ML&ndash;Entscheidung beim AWGN&ndash;Kanal: Wähle von den 2<sup><i>k</i></sup> zulässigen Codeworten <i>x<sub>i</sub></i> dasjenige mit der <i>kleinsten Euklidischen Distanz</i> zum Empfangsvektor <u><i>y</u></i> aus:
+ML&ndash;Entscheidung beim AWGN&ndash;Kanal: Wähle von den 2<sup><i>k</i></sup> zulässigen Codeworten <i>x<sub>i</sub></i> dasjenige mit der <i>kleinsten Euklidischen Distanz</i> zum Empfangsvektor <u><i>y</i></u> aus:
 :<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\right ]\hspace{0.05cm}.</math>
-Die beiden schraffierten Flächen (jeweils <i>&epsilon;</i>) markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung <nobr><i>x</i> = 0</nobr> &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>x</i>&#x0303; = +1 (blau) &nbsp;&nbsp;bzw.&nbsp;&nbsp; <i>x</i> = 1 &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>x</i>&#x0303; = &ndash;1 (rot), wenn harte Entscheidungen getroffen werden:
+Die beiden schraffierten Flächen (jeweils <i>&epsilon;</i>) markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung <i>x</i> = 0 &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>x</i>&#x0303; = +1 (blau) &nbsp;&nbsp;bzw.&nbsp;&nbsp; <i>x</i> = 1 &nbsp;&#8658;&nbsp; <i>x</i>&#x0303; = &ndash;1 (rot), wenn harte Entscheidungen getroffen werden:
 :<math>z = \left\{ \begin{array}{c} 0\\

@@ Zeile 288: / Zeile 288: @@
 \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>
+[[Aufgaben:1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung|A1.4 Maximum–Likelihood–Entscheidung]]
 {{Display}}

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Zeile 240:		Zeile 240:
	*Wiederholungscode (englisch: <i>Repetition Code</i>, RC).<br>		*Wiederholungscode (englisch: <i>Repetition Code</i>, RC).<br>

		+	== ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal ==
		+	<br>
		+	Das AWGN–Modell für einen (<i>n</i>, <i>k</i>)–Blockcode unterscheidet sich vom Modell auf der ersten Seite dieses Kapitels dadurch, dass für <i>x</i>, <i>x</i>̃ und <i>y</i> nun die entsprechenden Vektoren <i><u>x</u></i>, <u><i>x</i></u>̃ und <i><u>y</u></i> verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus <i>n</i> Elementen. Die Schritte zur Herleitung des ML–Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
		+	*Der AWGN–Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das <i>White</i> im Namen), so dass für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion geschrieben werden kann:

		+	::<math>f( \underline{y} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
		+	\prod\limits_{l=1}^{n} f( y_l \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \tilde{x}_l )
		+	\hspace{0.05cm}.</math>

		+	*Die bedingte WDF ist für jedes einzelne Codeelement (<i>l</i> = 1, ... , <i>n</i>) gaußisch. Damit genügt auch die gesamte WDF einer (eindimensionalen) Gaußverteilung:

		+	::<math>f({y_l \hspace{0.03cm}\| \hspace{0.03cm}\tilde{x}_l }) =
		+	\frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot \exp \left [ - \frac {(y_l - \tilde{x}_l)^2}{2\sigma^2} \right ]</math>
		+
		+	::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} f( \underline{y} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
		+	\frac {1}{(2\pi)^{n/2} \cdot \sigma^n } \cdot \exp \left [ - \frac {1}{2\sigma^2} \cdot
		+	\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2
		+	\right ] \hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+
		+	*Da <u><i>y</i></u> nun nicht mehr wie beim BSC–Modell wertdiskret ist, sondern wertkontinuierlich, müssen jetzt entsprechend der ML–Entscheidungsregel <i>Wahrscheinlichkeitsdichten</i> untersucht werden und nicht mehr Wahrscheinlichkeiten. Das optimale Ergebnis lautet:
		+
		+	::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
		+	f( \underline{y} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}}_i )\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
		+	\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+	*In der Algebra bezeichnet man den Abstand zweier Punkte <u><i>y</i></u> und <i>x</i>̃ im <i>n</i>–dimensionalen Raum als die Euklidische Distanz, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid, der im dritten Jahrhundert vor Christus lebte:
		+
		+	::<math>d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}) =
		+	\sqrt{\sum_{l=1}^{n} \hspace{0.2cm}(y_l - \tilde{x}_l)^2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
		+	\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in \mathcal{C}
		+	\hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+	*Damit lautet die ML–Entscheidungsregel beim AWGN–Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF <i>f</i>(<u><i>y</u></i> \| <u><i>x</i></u>̃<sub><i>i</i></sub>) konstant ist:
		+
		+	::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
		+	\exp \left [ - \frac {d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}_i)}{2\sigma^2}
		+	\right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
		+	\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+	Nach einigen weiteren Zwischenschritten kommt man zum Ergebnis:<br>
		+
		+	ML–Entscheidung beim AWGN–Kanal: Wähle von den 2<sup><i>k</i></sup> zulässigen Codeworten <i>x<sub>i</sub></i> dasjenige mit der <i>kleinsten Euklidischen Distanz</i> zum Empfangsvektor <u><i>y</u></i> aus:
		+
		+	:<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
		+	d_{\rm E}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}
		+	\underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>

@@ Zeile 173: / Zeile 173: @@
 Im Folgenden verwenden wir auf Blockebene stets den ML&ndash;Empfänger. Aufgrund der vorausgesetzten gleichwahrscheinlichen Informationsworte liefert auch dieser stets die bestmögliche Entscheidung.<br>
-Anders sieht es jedoch auf Bitebene aus. Ziel einer iterativen Decodierung ist es gerade, für alle Codebits <i>x</i><sub><i>i</i></sub> &in; {0, 1} Wahrscheinlichkeiten zu schätzen und diese an die nächste Stufe weiterzugeben. Hierzu benötigt man einen MAP&ndash;Empfänger.<br>
+Anders sieht es jedoch auf Bitebene aus. Ziel einer iterativen Decodierung ist es gerade, für alle Codebits <i>x</i><sub><i>i</i></sub> &isin; {0, 1} Wahrscheinlichkeiten zu schätzen und diese an die nächste Stufe weiterzugeben. Hierzu benötigt man einen MAP&ndash;Empfänger.<br>
 {{Definition}}''':''' Der Maximum&ndash;a&ndash;posteriori&ndash;Empfänger auf Bitebene (kurz: bit&ndash;wise MAP) wählt für jedes Codebit <i>x</i><sub><i>i</i></sub> den Wert ( 0 oder 1) mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(<i>x</i><sub><i>i </i></sub>|<sub> </sub><i><u>y</u></i>):

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2017, 20:02 Uhr
Zeile 117:		Zeile 117:
	Für die rechts dargestellte WDF wurde <i>ρ</i> = 4 vorausgesetzt. Für <i>ρ</i> = 16 könnte das BSEC–Modell durch die BEC–Variante ersetzt werden, ohne dass es zu einer gravierenden Verfälschung kommt.{{end}}<br>		Für die rechts dargestellte WDF wurde <i>ρ</i> = 4 vorausgesetzt. Für <i>ρ</i> = 16 könnte das BSEC–Modell durch die BEC–Variante ersetzt werden, ohne dass es zu einer gravierenden Verfälschung kommt.{{end}}<br>

		+	== MAP– und ML–Kriterium (1) ==
		+	<br>
		+	Wir gehen nun von dem nachfolgend skizzierten Modell aus und wenden die bereits im Kapitel 4.2 des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung” genannten Entscheidungskriterien auf den Decodiervorgang an.<br>

		+	[[Datei:P ID2345 KC T 1 2 S5 v2.png\|Modell zur Beschreibung von MAP– und ML–Decodierung\|class=fit]]<br>

		+	Aufgabe des Kanaldecoders ist es, den Ausgabevektor <u><i>υ</i></u> so zu bestimmen, dass er &bdquo;möglichst gut” mit dem Informationswort <u><i>u</i></u> übereinstimmt. Etwas genauer formuliert: Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit

		+	:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) </math>

		+	bezogen auf die Vektoren <u><i>u</i></u> und <u><i>υ</i></u> der Länge <i>k</i> soll möglichst gering sein. Aufgrund der eindeutigen Zuordnung <u><i>x</i></u> = enc(<u><i>u</i></u>) durch den Kanalcoder bzw. empfängerseitig <u><i>υ</i></u> = enc<sup>–1</sup>(<u><i>z</i></u>) gilt in gleicher Weise:

		+	:<math>{\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{z} \ne \underline{x})\hspace{0.05cm}. </math>

		+	Der Kanaldecoder in obigem Modell besteht aus zwei Teilen:
		+	*Der <i>Codewortschätzer</i> ermittelt aus dem Empfangsvektor <i><u>y</u></i> einen Schätzwert <i><u>z</u></i> ∈ <i>C</i> gemäß einem vorgegebenen Kriterium.<br>

		+	*Anschließend wird aus dem (empfangenen) Codewort <i><u>z</u></i> das (empfangene) Informationswort <i><u>υ</u></i> durch <i>einfaches Mapping</i> ermittelt, das möglichst mit <i><u>u</u></i> übereinstimmen sollte.<br><br>

		+	Für den Codewortschätzer gibt es insgesamt vier unterschiedliche Varianten, nämlich
		+	*den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für das gesamte Codewort <u><i>x</i></u>,<br>

		+	*den Maximum–a–posteriori–Empfänger (MAP–Empfänger) für die einzelnen Codebits <i>x<sub>i</sub></i>,<br>

		+	*den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für das gesamte Codewort <u><i>x</i></u>,<br>

		+	*den Maximum–Likelihood–Empfänger (ML–Empfänger) für die einzelnen Codebits <i>x<sub>i</sub></i>.<br><br>

		+	Deren Definitionen folgen auf der nächsten Seite. Vorab aber gleich die wichtige Information:
		+	*Ein MAP–Empfängerberücksichtigt im Gegensatz zum ML–Empfänger auch unterschiedliche Auftrittswahrscheinlichkeiten für das gesamte Codewort bzw. für deren einzelne Bits.<br>

		+	*Sind alle Codeworte bzw. alle Codebits <i>x<sub>i</sub></i> der Codeworte gleichwahrscheinlich, so ist der einfachere ML–Empfänger zum entsprechenden MAP–Empfänger äquivalent.<br><br>

		+	== MAP– und ML–Kriterium (2) ==
		+	<br>
		+	{{Definition}}''':''' Der <font><span style="font-weight: bold;">Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Blockebene</span></font> – kurz: <b>block–wise MAP</b> – entscheidet sich unter den 2<sup><i>k</i></sup> zulässigen Codeworten <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub> ∈ <i>C</i> für das Codewort mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit (englisch: <i>a–posteriori probability</i>, APP):

		+	:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}.</math>

		+	Pr(<i><u>x</u></i><sub><i>i </i></sub>\|<sub> </sub><i><u>y</u></i>) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub> gesendet wurde, wenn <i><u>y</u></i> empfangen wird.{{end}}<br>

		+	Nach dem Satz von Bayes kann die Rückschlusswahrscheinlichkeit wie folgt umgeformt werden:

		+	:<math>{\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) =
		+	\frac{{\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.08cm} \|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \cdot {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} )}{{\rm Pr}( \underline{y} )} \hspace{0.05cm}.</math>

		+	Die Wahrscheinlichkeit Pr(<u><i>y</i></u>) ist unabhängig von <i><u>x</u><sub>i</sub></i> und muss bei der Maximierung nicht berücksichtigt werden. Sind zudem alle 2<sup><i>k</i></sup> Informationsworte <i><u>u</u></i><sub><i>i</i></sub> gleichwahrscheinlich, dann kann bei der Maximierung auch auf den Beitrag Pr(<i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub>) = 2<sup>–<i>k</i></sup> im Zähler verzichtet werden.<br>

		+	{{Definition}}''':''' Der Maximum–Likelihood–Empfänger auf Blockebene – kurz: block–wise ML – entscheidet sich unter den 2<sup><i>k</i></sup> zulässigen Codeworten <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub> ∈ <i>C</i> für das Codewort mit der größten Übergangswahrscheinlichkeit:

		+	:<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{y} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} ) \hspace{0.05cm}.</math>

		+	Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr(<i><u>y</u></i><sub> </sub>\| <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub>) ist nun in Vorwärtsrichtung zu verstehen, nämlich, dass der Vektor <i><u>y</u></i> empfangen wird, wenn das Codewort <i><u>x</u></i><sub><i>i</i></sub> gesendet wurde.{{end}}<br>

		+	Im Folgenden verwenden wir auf Blockebene stets den ML–Empfänger. Aufgrund der vorausgesetzten gleichwahrscheinlichen Informationsworte liefert auch dieser stets die bestmögliche Entscheidung.<br>

		+	Anders sieht es jedoch auf Bitebene aus. Ziel einer iterativen Decodierung ist es gerade, für alle Codebits <i>x</i><sub><i>i</i></sub> &in; {0, 1} Wahrscheinlichkeiten zu schätzen und diese an die nächste Stufe weiterzugeben. Hierzu benötigt man einen MAP–Empfänger.<br>
		+
		+	{{Definition}}''':''' Der Maximum–a–posteriori–Empfänger auf Bitebene (kurz: bit–wise MAP) wählt für jedes Codebit <i>x</i><sub><i>i</i></sub> den Wert ( 0 oder 1) mit der größten Rückschlusswahrscheinlichkeit Pr(<i>x</i><sub><i>i </i></sub>\|<sub> </sub><i><u>y</u></i>):
		+
		+	:<math>\underline{z} = {\rm arg}\hspace{-0.1cm}{ \max_{{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.03cm} \in \hspace{0.05cm} \{0, 1\}} \hspace{0.03cm} {\rm Pr}( {x}_{\hspace{0.03cm}i} \|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) \hspace{0.05cm}}.</math>
		+	{{end}}<br>


	{{Display}}		{{Display}}

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2017, 19:14 Uhr
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	*[[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion Please add link and do not upload flash files.]]<br>		*[[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion Please add link and do not upload flash files.]]<br>

		+	== Binary Symmetric Error & Erasure Channel – BSEC ==
		+	<br>
		+	Das BEC–Modell ist aufgrund der Fehlerwahrscheinlichkeit 0 eher unrealistisch und nur eine Näherung für ein extrem großes Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (kurz SNR) <i>ρ</i>. Stärkere Störungen ⇒ ein kleineres <i>ρ</i> sollten besser durch den <i>Binary Symmetric Error & Erasure Channel</i> (BSEC) mit den zwei Parametern
		+	*Verfälschungswahrscheinlichkeit <i>ε</i> = Pr (<i>y</i> = 1 \| <i>x</i> = 0) = Pr (<i>y</i> = 0 \| <i>x</i> = 1),<br>

		+	*Erasure–Wahrscheinlichkeit <i>λ</i> = Pr(<i>y</i> = E \| <i>x</i> = 0) = Pr(<i>y</i> = E \| <i>x</i> = 1)<br><br>

		+	modelliert werden. Es gilt auch hier <i>x</i> ∈ {0, 1} und <i>y</i> ∈ {0, 1, E}.<br>

		+	[[Datei:P ID2344 KC T 1 2 S4 v2.png\|Binary Error & Erasure Channel (BEEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell\|class=fit]]<br>

		+	{{Beispiel}}''':''' Wir betrachten das BSEC–Modell mit den beiden Entscheidungsgeraden <i>G</i><sub>0</sub> = <i>G</i> = 0.5 und <i>G</i><sub>1</sub> = –<i>G</i>, dessen Parameter <i>ε</i> und <i>λ</i> durch das SNR <i>ρ</i> = 1/<i>σ</i><sup>2</sup> des vergleichbaren AWGN–Kanals festgelegt sind. Dann gilt
		+	*für <i>σ</i> = 0.5  ⇒  <i>ρ</i> = 4:
		+	::<math>\varepsilon \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 + G)] = {\rm Q}(3) \approx 0.14\%\hspace{0.05cm},</math>
		+	::<math>{\it \lambda} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)] - \varepsilon = {\rm Q}(1) - {\rm Q}(3) \approx 15.87\% - 0.14\% = 15.73\%\hspace{0.05cm},</math>

		+	*für <i>σ</i> = 0.25  ⇒  <i>ρ</i> = 16:

		+	::<math>\varepsilon = {\rm Q}(6) \approx 10^{-10}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
		+	{\it \lambda} = {\rm Q}(2) \approx 2.27\%\hspace{0.05cm}.</math>

		+	Für die rechts dargestellte WDF wurde <i>ρ</i> = 4 vorausgesetzt. Für <i>ρ</i> = 16 könnte das BSEC–Modell durch die BEC–Variante ersetzt werden, ohne dass es zu einer gravierenden Verfälschung kommt.{{end}}<br>

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2017, 19:09 Uhr
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	Die Abbildung zeigt statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC–Modell (links) und so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert–Elliott (rechts), wobei die Bitfehlerrate in beiden Fällen 10% beträgt. Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wird.<br>		Die Abbildung zeigt statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC–Modell (links) und so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert–Elliott (rechts), wobei die Bitfehlerrate in beiden Fällen 10% beträgt. Aus der rechten Grafik ist zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wird.<br>

		+	== Binary Erasure Channel – BEC ==
		+	<br>
		+	Das BSC–Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig” und &bdquo;falsch”. Manche Empfänger – so zum Beispiel die so genannten Soft–in Soft–out Decoder – können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>

		+	[[Datei:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png\|Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell\|class=fit]]<br>

		+	Der <i>Binary Erasure Channel</i> (BEC) liefert eine solche Information. Anhand der Grafik erkennt man:
		+	*Das Eingangsalphabet des BEC–Kanalmodells ist binär ⇒ <i>x</i> ∈ {0, 1} und das Ausgangsalphabet ternär ⇒ <i>y</i> ∈ {0, 1, E}. Ein &bdquo;E” kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue &bdquo;Symbol” steht für <i>Erasure</i>, zu deutsch: Auslöschung.
		+
		+	*Bitfehler werden durch das BEC–Modell per se ausgeschlossen. Eine unsichere Entscheidung (E) wird mit der Wahrscheinlichkeit <i>λ</i> getroffen, während die Wahrscheinlichkeit für eine richtige (und gleichzeitig sichere) Entscheidung 1 – <i>λ</i> beträgt.
		+
		+	*Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC– und AWGN–Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure–Entscheidungsgebiet (&bdquo;E”) grau hinterlegt ist. Man erkennt, dass es im Gegensatz zum BSC–Modell (<i>G</i> = 0) nun zwei Entscheidungsgrenzen <i>G</i><sub>0</sub> = <i>G</i> und <i>G</i><sub>1</sub> = –<i>G</i> gibt, und es gilt:
		+
		+	::<math>\lambda = {\rm Q}[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)]\hspace{0.05cm}.</math>
		+
		+	Wir weisen hier nochmals auf zwei interaktive Flash–Module hin:
		+	*[[Fehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen Please add link and do not upload flash files.]]<br>
		+
		+	*[[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion Please add link and do not upload flash files.]]<br>
		+