Kanalcodierung/Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Juni 2022 um 12:29 Uhr

2022-06-12T12:29:30Z

Guenter am 12. Juni 2022 um 12:28 Uhr

2022-06-12T12:28:14Z

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2022-06-12T10:33:24Z

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2022-06-07T16:36:15Z

Guenter am 7. Juni 2022 um 16:24 Uhr

2022-06-07T16:24:13Z

Guenter am 7. Juni 2022 um 15:47 Uhr

2022-06-07T15:47:15Z

Guenter am 7. Juni 2022 um 14:54 Uhr

2022-06-07T14:54:22Z

Guenter am 6. Juni 2022 um 15:22 Uhr

2022-06-06T15:22:07Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:24Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 *$N_0$&nbsp; bezeichnet die konstante&nbsp; (einseitige)&nbsp; Rauschleistungsdichte des AWGN&ndash;Kanals.<br><br>
-Hinweis:&nbsp; Der dargelegte Sachverhalt wird mit dem  SWV&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|"Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen"]]&nbsp; verdeutlicht.
+Hinweis:&nbsp; Der dargelegte Sachverhalt wird mit dem  SWF&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|"Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen"]]&nbsp; verdeutlicht.
 == Binary Symmetric Channel – BSC ==

@@ Zeile 286: / Zeile 286: @@
 == Maximum-Likelihood–Entscheidung beim AWGN–Kanal ==
 <br>
-Das AWGN&ndash;Modell für einen&nbsp; $(n, k)$&ndash;Blockcode unterscheidet sich vom&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| Modell]]&nbsp; auf der ersten Kapitelseite dadurch, dass für&nbsp; $x$, &nbsp;$\tilde{x}$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; nun die entsprechenden Vektoren&nbsp; $\underline{x}$, &nbsp;$\underline{\tilde{x}}$&nbsp; und &nbsp;$\underline{y}$&nbsp; verwendet werden müssen, jeweils bestehend aus&nbsp; $n$&nbsp; Elementen.
+Das AWGN&ndash;Modell für einen&nbsp; $(n, k)$&ndash;Blockcode unterscheidet sich vom&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| Modell]]&nbsp; auf der ersten Kapitelseite dadurch,&nbsp; dass für&nbsp; $x$, &nbsp;$\tilde{x}$&nbsp; und &nbsp;$y$&nbsp; nun die entsprechenden Vektoren&nbsp; $\underline{x}$, &nbsp;$\underline{\tilde{x}}$&nbsp; und &nbsp;$\underline{y}$&nbsp; verwendet werden müssen,&nbsp; jeweils bestehend aus&nbsp; $n$&nbsp; Elementen.
 Die Schritte zur Herleitung des Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheiders bei AWGN werden nachfolgend nur stichpunktartig angegeben:
-*Der AWGN&ndash;Kanal ist per se gedächtnislos (hierfür steht das &bdquo;White&rdquo; im Namen). Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann somit geschrieben werden:
+*Der AWGN&ndash;Kanal ist per se gedächtnislos&nbsp; (hierfür steht das &bdquo;White&rdquo; im Namen).&nbsp; Für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann somit geschrieben werden:
 ::<math>f( \underline{y}  \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}} ) =
@@ Zeile 295: / Zeile 295: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Die bedingte WDF ist für jedes einzelne Codeelement&nbsp; $(l = 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, n)$&nbsp; ''gaußisch''. Damit genügt auch die gesamte WDF einer (eindimensionalen) Gaußverteilung:
+*Die bedingte WDF ist für jedes einzelne Codeelement&nbsp; $(l = 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, n)$&nbsp; "gaußisch".&nbsp; Damit genügt auch die gesamte WDF einer&nbsp; (eindimensionalen)&nbsp; Gaußverteilung:
 ::<math>f({y_l \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}\tilde{x}_l }) =
@@ Zeile 304: / Zeile 304: @@
   \right ] \hspace{0.05cm}.</math>
-*Da&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; nun nicht mehr wie beim BSC&ndash;Modell wertdiskret ist, sondern wertkontinuierlich, müssen jetzt nach der ML&ndash;Entscheidungsregel&nbsp; <i>Wahrscheinlichkeitsdichten</i>&nbsp; untersucht werden und nicht mehr Wahrscheinlichkeiten. Das optimale Ergebnis lautet:
+*Da&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; nun nicht mehr wie beim BSC&ndash;Modell wertdiskret ist,&nbsp; sondern wertkontinuierlich,&nbsp; müssen jetzt nach der ML&ndash;Entscheidungsregel&nbsp; Wahrscheinlichkeitsdichten&nbsp; untersucht werden und nicht mehr Wahrscheinlichkeiten.&nbsp; Das optimale Ergebnis lautet:
 ::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
@@ Zeile 310: / Zeile 310: @@
 \underline{y} \in R^n\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}\in {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}.</math>
-*In der Algebra bezeichnet man den Abstand zweier Punkte&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{\tilde{x}}$&nbsp; im&nbsp; $n$&ndash;dimensionalen Raum als die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Abstand Euklidische Distanz], benannt nach dem griechischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid Euklid], der im dritten Jahrhundert vor Christus lebte:
+*In der Algebra bezeichnet man den Abstand zweier Punkte&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{\tilde{x}}$&nbsp; im&nbsp; $n$&ndash;dimensionalen Raum als die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Abstand Euklidische Distanz],&nbsp; benannt nach dem griechischen Mathematiker&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklid Euklid],&nbsp; der im dritten Jahrhundert vor Christus lebte:
 ::<math>d_{\rm E}(\underline{y}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{\tilde{x}}) =
@@ Zeile 317: / Zeile 317: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Damit lautet die ML&ndash;Entscheidungsregel beim AWGN&ndash;Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der erste Faktor der WDF&nbsp; $f( \underline{y}  \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}_i} )$&nbsp; konstant ist:
+*Damit lautet die ML&ndash;Entscheidungsregel beim AWGN&ndash;Kanal für einen jeden Blockcode unter Berücksichtigung der Tatsache,&nbsp; dass der erste Faktor der WDF&nbsp; $f( \underline{y}  \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{\tilde{x}_i} )$&nbsp; konstant ist:
 ::<math>\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm}
@@ Zeile 329: / Zeile 329: @@
 $\text{Maximum&ndash;Likelihood-Entscheidung beim AWGN-Kanal:}$&nbsp;
-Wähle von den&nbsp; $2^k$&nbsp; zulässigen Codeworten&nbsp; $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$&nbsp; dasjenige mit der <i>kleinsten Euklidischen Distanz</i>&nbsp; $d_{\rm E}(\underline{y}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})$&nbsp; zum Empfangsvektor  &nbsp;$\underline{y}$&nbsp; aus:
+Wähle von den&nbsp; $2^k$&nbsp; zulässigen Codeworten&nbsp; $\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}$&nbsp; dasjenige mit der&nbsp; '''kleinsten Euklidischen Distanz'''&nbsp; $d_{\rm E}(\underline{y}  \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i})$&nbsp; zum Empfangsvektor  &nbsp;$\underline{y}$&nbsp; aus:
 ::<math>\underline{z} = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} } \hspace{0.1cm}

@@ Zeile 117: / Zeile 117: @@
 == Binary Symmetric Error & Erasure Channel – BSEC ==
 <br>
-Das BEC&ndash;Modell &nbsp;$($Fehlerwahrscheinlichkeit $0)$&nbsp; ist eher unrealistisch und nur eine Näherung für ein extrem großes Signal&ndash;zu&ndash;Rausch&ndash;Leistungsverhältnis (kurz SNR)&nbsp; $\rho$.
+Das BEC&ndash;Modell &nbsp;$($Kennzeichen:&nbsp; Fehlerwahrscheinlichkeit $0)$&nbsp; ist eher unrealistisch und nur eine Näherung für ein extrem großes Signal&ndash;zu&ndash;Rausch&ndash;Leistungsverhältnis&nbsp; $\rho$.&nbsp; Stärkere Störungen&nbsp; $($das heißt,&nbsp; ein kleineres&nbsp; $\rho)$&nbsp; sollten besser durch den&nbsp; "Binary Symmetric Error & Erasure Channel"&nbsp; $\rm (BSEC)$&nbsp; mit den zwei Parametern
 *Verfälschungswahrscheinlichkeit &nbsp; $\varepsilon = {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=0)= {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=1)$,<br>
@@ Zeile 125: / Zeile 123: @@
-modelliert werden. Wie beim BEC&ndash;Modell gilt auch hier&nbsp; $x &#8712; \{0, \hspace{0.05cm}1\}$ &nbsp;und&nbsp; $y &#8712; \{0, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}\rm E\}$.<br>
+modelliert werden.&nbsp; Wie beim BEC&ndash;Modell gilt auch hier&nbsp; $x &#8712; \{0, \hspace{0.05cm}1\}$ &nbsp;und&nbsp; $y &#8712; \{0, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}\rm E\}$.<br>
-[[Datei:KC_T_1_2_S4_version2.png|center|frame|Binary Symmetric Error & Erasure Channel (BSEC) & Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]
+{{GraueBox|TEXT=
-*für&nbsp; $\sigma = 0.25$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $\rho = 16$:
+Dessen Modellparameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; und&nbsp; $\lambda$&nbsp; werden durch das&nbsp;  $\rm SNR$&nbsp; $\rho=1/\sigma^2$&nbsp; des vergleichbaren AWGN&ndash;Kanals festgelegt.
-::<math>\varepsilon  = {\rm Q}(6) \approx 10^{-10}\hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm}
+:$$\varepsilon  = {\rm Q}(6) \approx 10^{-10}\hspace{0.05cm},$$
-{\it \lambda} = {\rm Q}(2)  \approx 2.27\%\hspace{0.05cm}.</math>
+:$${\it \lambda} = {\rm Q}(2)  \approx 2.27\%\hspace{0.05cm}.$$
-Für die rechts dargestellte WDF wurde&nbsp; $\rho = 4$&nbsp; vorausgesetzt. Für&nbsp; $\rho = 16$&nbsp; könnte das BSEC&ndash;Modell durch die einfachere BEC&ndash;Variante ersetzt werden, ohne dass es zu gravierenden Unterschieden kommt.}}<br>
+:Hier könnte das BSEC&ndash;Modell durch die einfachere BEC&ndash;Variante ersetzt werden,&nbsp; ohne dass es zu gravierenden Unterschieden kommt.}}<br>
 == Maximum-a-posteriori– und Maximum-Likelihood–Kriterium ==

@@ Zeile 94: / Zeile 94: @@
 == Binary Erasure Channel – BEC ==
 <br>
-Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig&rdquo; und &bdquo;falsch&rdquo;. Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision|Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]]&nbsp; &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern, wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen, welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
+Das BSC&ndash;Modell liefert nur die Aussagen &bdquo;richtig&rdquo; und &bdquo;falsch&rdquo;.&nbsp; Manche Empfänger &ndash; so zum Beispiel die so genannten&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision|"Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder"]]&nbsp; &ndash; können jedoch auch gewisse Informationen über die Sicherheit der Entscheidung liefern,&nbsp; wobei sie natürlich darüber informiert werden müssen,&nbsp; welche ihrer Eingangswerte sicher sind und welche eher unsicher.<br>
-[[Datei:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png|center|frame|Binary Erasure Channel (BEC) und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]
+Der&nbsp; "Binary Erasure Channel"&nbsp; $\rm (BEC)$&nbsp; liefert eine solche Information.&nbsp; Anhand der Grafik erkennt man:
-Der&nbsp; <i>Binary Erasure Channel</i>&nbsp; (BEC) liefert eine solche Information. Anhand der Grafik erkennt man:
+[[Datei:P ID2343 KC T 1 2 S3 v2.png|right|frame|BEC und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]
-*Das Eingangsalphabet des BEC&ndash;Kanalmodells ist binär &nbsp; &#8658; &nbsp;  $x &#8712; \{0, \hspace{0.05cm}1\}$ und das Ausgangsalphabet ternär &nbsp; &#8658; &nbsp;  $y &#8712; \{0, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}\rm E\}$. Ein&nbsp; $\rm E$&nbsp; kennzeichnet eine unsichere Entscheidung. Dieses neue &bdquo;Symbol&rdquo; steht für <i>Erasure</i>, zu deutsch: &nbsp;Auslöschung.
+*Das Eingangsalphabet des BEC&ndash;Modells ist binär &nbsp; &#8658; &nbsp;  $x &#8712; \{0, \hspace{0.05cm}1\}$ und das Ausgangsalphabet ternär &nbsp; &#8658; &nbsp;  $y &#8712; \{0, \hspace{0.05cm}1, \hspace{0.05cm}\rm E\}$.
-*Bitfehler werden durch das BEC&ndash;Modell per se ausgeschlossen. Eine unsichere Entscheidung&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; wird mit der Wahrscheinlichkeit $\lambda$ getroffen, während die Wahrscheinlichkeit für  eine richtige (und gleichzeitig sichere) Entscheidung&nbsp; $1-\lambda$&nbsp; beträgt.
+*Ein&nbsp; "$\rm E$"&nbsp; kennzeichnet eine unsichere Entscheidung.&nbsp; Dieses neue &bdquo;Symbol&rdquo; steht für&nbsp; "Erasure",&nbsp; zu deutsch: &nbsp;Auslöschung.
-*Rechts oben ist der Zusammenhang zwischen BEC&ndash; und AWGN&ndash;Kanalmodell dargestellt, wobei das Erasure&ndash;Entscheidungsgebiet&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; grau hinterlegt ist. Im Gegensatz zum BSC&ndash;Modell gibt es nun zwei Entscheidungsgrenzen&nbsp; $G_0 = G$ &nbsp;und&nbsp; $G_1 = -G$. Es gilt:
+*Bitfehler werden durch das BEC&ndash;Modell per se ausgeschlossen.&nbsp; Eine unsichere Entscheidung&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; wird mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda$&nbsp; getroffen,&nbsp; während die Wahrscheinlichkeit für  eine richtige&nbsp; (und gleichzeitig sichere)&nbsp; Entscheidung&nbsp; $1-\lambda$&nbsp; beträgt.
 ::<math>\lambda =  {\rm Q}\big[\sqrt{\rho} \cdot (1 - G)\big]\hspace{0.05cm}.</math>

@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 Das AWGN&ndash;Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell,&nbsp;  wie wir es im Abscnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|"Blockschaltbild und Voraussetzungen"]]&nbsp; zur Einführung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben.&nbsp; Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung,&nbsp; so kommen wir zum digitalen Modell&nbsp; "Binary Symmetric Channel"&nbsp; $\rm (BSC)$:<br>
-[[Datei:P ID2341 KC T 1 2 S2 v2.png|right|frame|BSC–Modell und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]
+[[Datei:P ID2341 KC T 1 2 S2 v2.png|right|frame|BSC–Modell und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell<br> <u>Hinweis:</u>&nbsp; Beim AWGN&ndash;Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße mit&nbsp; $z \in \{0, \hspace{0.05cm}1\}$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Bei den digitalen Kanalmodellen&nbsp; (BSC, BEC, BSEC)&nbsp; bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit&nbsp; $y$.&nbsp; Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir im Folgenden das Ausgangssignal des AWGN&ndash;Modells&nbsp; $y_{\rm A}$,&nbsp; und für das analoge Empfangssignal gilt dann&nbsp; $y_{\rm A} = \tilde{x} +n$.<br>|class=fit]]
-Wählt man die Verfälschungswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=0)$&nbsp;  bzw.&nbsp; ${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=1)$&nbsp; jeweils zu
+*Wir wählen die beiden Verfälschungswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=0)$&nbsp;  bzw.&nbsp; ${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=1)$&nbsp; jeweils zu
-::<math>\varepsilon =  {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},</math>
+::<math>\varepsilon =  {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm}.</math>
-so ist der Zusammenhang zum&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang |AWGN&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; hergestellt.&nbsp; Die Entscheidungsgrenze liegt bei&nbsp; $G = 0$,&nbsp; wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
+*Damit  ist der Zusammenhang zum&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang |AWGN&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; hergestellt.&nbsp;
-<u>Hinweis:</u>&nbsp; Beim AWGN&ndash;Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße mit&nbsp; $z \in \{0, \hspace{0.05cm}1\}$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Bei den digitalen Kanalmodellen&nbsp; (BSC, BEC, BSEC)&nbsp; bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit&nbsp; $y$.&nbsp; Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir im Folgenden
+*Die Entscheidungsgrenze liegt bei&nbsp; $G = 0$,&nbsp; wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>

@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 == Binary Symmetric Channel – BSC ==
 <br>
-Das AWGN&ndash;Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell, wie wir es im Abscnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|Blockschaltbild und Voraussetzungen]]&nbsp; zur einführenden Beschreibung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben. Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung, so kommen wir zum digitalen Modell&nbsp; <i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp; (BSC):<br>
+Das AWGN&ndash;Kanalmodell ist kein digitales Kanalmodell,&nbsp;  wie wir es im Abscnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|"Blockschaltbild und Voraussetzungen"]]&nbsp; zur Einführung der Kanalcodierverfahren vorausgesetzt haben.&nbsp; Berücksichtigen wir aber eine harte Entscheidung,&nbsp; so kommen wir zum digitalen Modell&nbsp; "Binary Symmetric Channel"&nbsp; $\rm (BSC)$:<br>
-[[Datei:P ID2341 KC T 1 2 S2 v2.png|center|frame|BSC–Modell und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]
+[[Datei:P ID2341 KC T 1 2 S2 v2.png|right|frame|BSC–Modell und Zusammenhang mit dem AWGN–Modell|class=fit]]
 Wählt man die Verfälschungswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=0)$&nbsp;  bzw.&nbsp; ${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x=1)$&nbsp; jeweils zu
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 ::<math>\varepsilon =  {\rm Q}(\sqrt{\rho})\hspace{0.05cm},</math>
-so ist der Zusammenhang zum&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang |AWGN&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; hergestellt. Die Entscheidungsgrenze liegt bei&nbsp; $G = 0$, wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
+so ist der Zusammenhang zum&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang |AWGN&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; hergestellt.&nbsp; Die Entscheidungsgrenze liegt bei&nbsp; $G = 0$,&nbsp; wodurch auch die Eigenschaft &bdquo;symmetrisch&rdquo; begründet ist.<br>
-<i>Hinweis:</i>&nbsp; Beim AWGN&ndash;Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße (nach Schwellenwertentscheidung) mit&nbsp; $z \in \{0, \hspace{0.05cm}1\}$&nbsp; bezeichnet. Bei den digitalen Kanalmodellen (BSC, BEC, BSEC) bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit&nbsp; $y$. Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir das Ausgangssignal des AWGN&ndash;Modells nun&nbsp; $y_{\rm A}$. Für das analoge Empfangssignal gilt dann&nbsp; $y_{\rm A} = \tilde{x} +n$.<br>
+<u>Hinweis:</u>&nbsp; Beim AWGN&ndash;Modell haben wir die binäre Ausgangsgröße mit&nbsp; $z \in \{0, \hspace{0.05cm}1\}$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Bei den digitalen Kanalmodellen&nbsp; (BSC, BEC, BSEC)&nbsp; bezeichnen wir nun den wertdiskreten Ausgang wieder mit&nbsp; $y$.&nbsp; Um Verwechslungen zu vermeiden, nennen wir im Folgenden
-Zur Beschreibung gedächtnisbehafteter Kanäle müssen andere Modelle herangezogen werden, die im fünften Hauptkapitel  des Buches &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; behandelt werden, zum Beispiel Bündelfehlerkanäle nach
+Das BSC&ndash;Modell liefert eine statistisch unabhängige Fehlerfolge und eignet sich somit zur Modellierung gedächtnisloser rückkopplungsfreier Kanäle,&nbsp; die in diesem Buch ausnahmslos betrachtet werden.<br>
 *dem&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott| Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell]],<br>
 *dem&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Kanalmodell_nach_McCullough| McCullough&ndash;Modell]].<br><br>
-[[Datei:P ID2342 KC T 1 2 S2b.png|right|frame|Statistisch unabhängige Fehler (links) und Bündelfehler (rechts) |class=fit]]
+{{GraueBox|TEXT=
-{{GraueBox|TEXT=
+[[Datei:P ID2342 KC T 1 2 S2b.png|right|frame|Statistisch unabhängige Fehler (links) und Bündelfehler (rechts) |class=fit]]
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Die Abbildung zeigt
-*statistisch unabhängige Fehler nach dem BSC&ndash;Modell (links), und
+*das Originalbild in der Mitte,
 *so genannte Bündelfehler gemäß Gilbert&ndash;Elliott (rechts).
-Die Bitfehlerrate beträgt in beiden Fällen&nbsp; $10\%$. Aus der rechten Grafik ist anhand der Bündelstörungen zu erkennen, dass das Bild zeilenweise übertragen wurde.}}<br>
+Aus der rechten Grafik ist anhand der Bündelfehlerstruktur zu erkennen,&nbsp; dass das Bild zeilenweise übertragen wurde.}}<br>
 == Binary Erasure Channel – BEC ==

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 :$${\rm Pr}(x = 0) ={\rm Pr}(x = 1) =  1/2.$$
 *Wir transformieren nun die unipolare Variable&nbsp; $x \in \{0,\ 1 \}$&nbsp; in die für die Signalübertragung besser geeignete bipolare Variable&nbsp; $\tilde{x} \in \{+1, -1 \}$.&nbsp; Dann gilt:
 :$${\rm Pr}(\tilde{x} =+1) ={\rm Pr}(\tilde{x} =-1) =  1/2.$$
 *Die Übertragung wird durch&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems#.C3.9Cbertragungskanal_und_St.C3.B6rungen| additives weißes gaußverteiltes Rauschen]]&nbsp; (AWGN)&nbsp; $n$&nbsp; mit der (normierten) Rauschleistung&nbsp; $\sigma^2 = N_0/E_{\rm B}$&nbsp; beeinträchtigt. Die Streuung der Gauß&ndash;WDF ist&nbsp; $\sigma$.<br>
 *Aufgrund der Gaußschen WDF kann das Ausgangssignal&nbsp; $y = \tilde{x} +n$&nbsp; alle reellen Werte im Bereich von&nbsp; $-\infty$&nbsp; bis&nbsp; $+\infty$&nbsp; annehmen. Der Signalwert&nbsp; $y$&nbsp; ist demzufolge zwar wie&nbsp; $x$&nbsp; &nbsp;$($bzw.  $\tilde{x})$&nbsp; zeitdiskret, im Gegensatz zu diesem aber wertkontinuierlich.<br>
+<br clear=all>
+Die rechte Grafik zeigt&nbsp;  (in blau bzw. rot)&nbsp; die zwei bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen:
 ::<math>f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 )\hspace{-0.1cm} =  \hspace{-0.1cm}
@@ Zeile 28: / Zeile 26: @@
 \frac {1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma } \cdot {\rm e}^{ -  (y+1)^2/(2\sigma^2) }\hspace{0.05cm}.</math>
-Nicht dargestellt ist die gesamte (unbedingte) WDF, für die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen gilt:
+Nicht dargestellt ist die gesamte&nbsp; (unbedingte)&nbsp; WDF,&nbsp; für die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen gilt:
 ::<math>f_y(y) = {1}/{2} \cdot  \left [ f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=0 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=0 ) +
 f_{y \hspace{0.03cm}| \hspace{0.03cm}x=1 } \hspace{0.05cm} (y \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}x=1 )\right ]\hspace{0.05cm}.</math>
-Die beiden schraffierten Flächeninhalte  &nbsp;$($jeweils &nbsp;$\varepsilon)$&nbsp; markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung&nbsp; $x=0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\tilde{x} = +1$&nbsp; (blau) &nbsp; bzw. $x=1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\tilde{x} = -1$&nbsp; (rot), wenn harte Entscheidungen getroffen werden:
+Die beiden schraffierten Flächeninhalte  &nbsp;$($jeweils &nbsp;$\varepsilon)$&nbsp; markieren Entscheidungsfehler unter der Voraussetzung&nbsp;
 ::<math>z = \left\{ \begin{array}{c} 0\\
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 {\rm falls} \hspace{0.15cm}y < 0\hspace{0.05cm}.\\ \end{array}</math>
-Bei gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen ist dann die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(z \ne x)$&nbsp; ebenfalls gleich&nbsp; $\varepsilon$. Mit dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementären Gaußschen Fehlerintergral]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$ gilt dabei:
+Bei gleichwahrscheinlichen Eingangssymbolen ist dann die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(z \ne x)$&nbsp; ebenfalls gleich&nbsp; $\varepsilon$.&nbsp; Mit dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementären Gaußschen Fehlerintergral]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$ gilt dabei:
 ::<math>\varepsilon = {\rm Q}(1/\sigma) = {\rm Q}(\sqrt{\rho}) =
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 \hspace{0.05cm}.</math>
-Hierbei bezeichnet&nbsp; $\rho = 1/\sigma^2 =  2 \cdot E_{\rm S}/N_0$&nbsp; das Signal&ndash;zu&ndash;Rauschverhältnis (SNR) vor dem Entscheider, wobei folgende Systemgrößen verwendet werden:
+Hierbei bezeichnet&nbsp; $\rho = 1/\sigma^2 =  2 \cdot E_{\rm S}/N_0$&nbsp; das Signal&ndash;zu&ndash;Rauschverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; vor dem Entscheider,&nbsp; wobei folgende Systemgrößen verwendet werden:
-*$E_{\rm S}$&nbsp; ist die Signalenergie pro Symbol (ohne Codierung gleich &nbsp;$E_{\rm B}$, also gleich der Signalenergie pro Bit),<br>
+*$E_{\rm S}$&nbsp; ist die Signalenergie pro Symbol&nbsp; (ohne Codierung gleich &nbsp;$E_{\rm B}$,&nbsp; also gleich der Signalenergie pro Bit),<br>
-*$N_0$&nbsp; bezeichnet die konstante (einseitige) Rauschleistungsdichte des AWGN&ndash;Kanals.<br><br>
+*$N_0$&nbsp; bezeichnet die konstante&nbsp; (einseitige)&nbsp; Rauschleistungsdichte des AWGN&ndash;Kanals.<br><br>
-''Hinweis'':&nbsp; Der dargelegte Sachverhalt wird mit dem  interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]]&nbsp; verdeutlicht.
+Hinweis:&nbsp; Der dargelegte Sachverhalt wird mit dem  SWV&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|"Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen"]]&nbsp; verdeutlicht.
 == Binary Symmetric Channel – BSC ==

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 <br>
 Wir betrachten das bekannte zeitdiskrete&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualit%C3%A4tskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell| AWGN&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; gemäß der unteren linken Grafik:
-*Das binäre und zeitdiskrete Nachrichtensignal&nbsp; $x$&nbsp; nimmt mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; an, das heißt, es ist&nbsp;  ${\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(\tilde{x} =+1) = 1/2$&nbsp; sowie&nbsp; ${\rm Pr}(x = 1) = {\rm Pr}(\tilde{x} =-1) = 1/2$.<br>
+*Das binäre und zeitdiskrete Nachrichtensignal&nbsp; $x$&nbsp; nimmt mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; an:
+:$${\rm Pr}(x = 0) ={\rm Pr}(x = 1) =  1/2.$$
 *Die Übertragung wird durch&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems#.C3.9Cbertragungskanal_und_St.C3.B6rungen| additives weißes gaußverteiltes Rauschen]]&nbsp; (AWGN)&nbsp; $n$&nbsp; mit der (normierten) Rauschleistung&nbsp; $\sigma^2 = N_0/E_{\rm B}$&nbsp; beeinträchtigt. Die Streuung der Gauß&ndash;WDF ist&nbsp; $\sigma$.<br>

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 Wir weisen hier nochmals auf die folgenden Applets hin:
 *[[Applets:Fehlerwahrscheinlichkeit|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit von Digitalsystemen]],
-*[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]].
+*[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]].