Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Turbocodes - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Juli 2019 um 16:25 Uhr

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 Wir versuchen nun, den flacheren Abfall der Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei größerem&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; zu erklären. Man spricht von einem&nbsp; $\text{Error Floor}$:
-*Der Grund für dieses asymptotisch schlechtere Verhalten bei besserem Kanal&nbsp; $($im Beispiel: &nbsp; ab&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \approx 2 \ \rm dB)$&nbsp; ist die Periode&nbsp; $P$&nbsp; der Coderimpulsantwort&nbsp; $\underline{g}$, wie auf der Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving|Interleaving]]&nbsp; nachgewiesen.<br>
+*Der Grund für dieses asymptotisch schlechtere Verhalten bei besserem Kanal&nbsp; $($im Beispiel: &nbsp; ab&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \approx 2 \ \rm dB)$&nbsp; ist die Periode&nbsp; $P$&nbsp; der Coderimpulsantwort&nbsp; $\underline{g}$, wie auf der Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving|Interleaving]]&nbsp; nachgewiesen und in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.10:_Turbocoder_für_UMTS_und_LTE|Aufgabe 4.10]]&nbsp; an Beispielen erläutert. <br>
-*Für&nbsp; $m = 2$&nbsp; ist die Periode $P = 2^m = 3$. Dadurch ist für $\underline{u} = (1, 1, 1) &#8658; w_{\rm H}(\underline{u}) = 3$ trotz unbegrenzter Impulsantwort $\underline{g}$ die Paritysequenz begrenzt: &nbsp; $\underline{p} = (1, 0, 1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm H}(\underline{p}) = 2$.<br>
+*Für&nbsp; $m = 2$&nbsp; ist die Periode $P = 2^m -1 = 3$. Dadurch ist für $\underline{u} = (1, 1, 1) &#8658; w_{\rm H}(\underline{u}) = 3$&nbsp; trotz unbegrenzter Impulsantwort&nbsp; $\underline{g}$&nbsp; die Paritysequenz begrenzt: &nbsp; $\underline{p} = (1, 0, 1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm H}(\underline{p}) = 2$.<br>
-*Die Sequenz $\underline{u} = (0, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ 0, \ 1, \ 0, \ 0, \ 1, \ 0, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $U(D) = D^x \cdot (1 + D^P)$ führt ebenfalls zu einem kleinen Hamming&ndash;Gewicht $w_{\rm H}(\underline{p})$ am Ausgang, was den iterativen Decodierprozess erschwert.<br>
+*Die Sequenz&nbsp; $\underline{u} = (0, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ 0, \ 1, \ 0, \ 0, \ 1, \ 0, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $U(D) = D^x \cdot (1 + D^P)$&nbsp; führt ebenfalls zu einem kleinen Hamming&ndash;Gewicht&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{p})$&nbsp; am Ausgang, was den iterativen Decodierprozess erschwert.<br>
-*Eine gewisse Abhilfe schafft der Interleaver, der dafür sorgt, dass nicht die beiden Sequenzen $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ gleichzeitig durch sehr kleine Hamming&ndash;Gewichte $w_{\rm H}(\underline{p}_1)$ und $w_{\rm H}(\underline{p}_2)$ belastet sind.<br>
+*Eine gewisse Abhilfe schafft der Interleaver, der dafür sorgt, dass nicht die beiden Sequenzen&nbsp; $\underline{p}_1$&nbsp; und&nbsp; $\underline{p}_2$&nbsp; gleichzeitig durch sehr kleine Hamming&ndash;Gewichte&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{p}_1)$&nbsp; und&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{p}_2)$&nbsp; belastet sind.<br>
-*Aus der Grafik erkennt man auch, dass $\rm Pr(Bitfehler)$ umgekehrt proportional zur Interleavergröße $K$ ist. Das heißt: Bei großem $K$ funktioniert die Entspreizung ungünstiger Eingangssequenzen besser.<br>
+*Aus der Grafik erkennt man auch, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit umgekehrt proportional zur Interleavergröße&nbsp; $K$&nbsp; ist. Das heißt: &nbsp; Bei großem&nbsp; $K$&nbsp; funktioniert die Entspreizung ungünstiger Eingangssequenzen besser.<br>
-*Allerdings gilt die Näherung $K \cdot {\rm Pr(Bitfehler) = const.}$ nur für größere $E_{\rm B}/N_0$&ndash;Werte &nbsp; &#8658; &nbsp; kleine Bitfehlerwahrscheinlichkeiten. Der  beschriebene Effekt tritt zwar auch bei kleinerem $E_{\rm B}/N_0$ auf, doch sind dann die Auswirkungen auf die $\rm Pr(Bitfehler)$ geringer.<br><br>
+*Allerdings gilt die Näherung&nbsp; $K \cdot {\rm Pr(Bitfehler) = const.}$&nbsp; nur für größere&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&ndash;Werte &nbsp; &#8658; &nbsp; kleine Bitfehlerwahrscheinlichkeiten. Der  beschriebene Effekt tritt zwar auch bei kleinerem&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; auf, doch sind dann die Auswirkungen auf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit geringer.<br><br>
-Dagegen gilt der flachere Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit (grüne Kurve) weitgehend unabhängig von der Interleavergröße $K$, also sowohl für $K = 1000$ als auch für $K = 10000$. Im Bereich ab $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 > 2 \ \rm dB$ dominieren nämlich Einzelfehler, so dass hier die Näherung ${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {\rm Pr(Bitfehler)} \cdot K$ gültig ist.<br>
+Dagegen gilt der flachere Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit (grüne Kurve) weitgehend unabhängig von der Interleavergröße&nbsp; $K$, also sowohl für&nbsp; $K = 1000$&nbsp; als auch für&nbsp; $K = 10000$. Im Bereich ab&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 > 2 \ \rm dB$&nbsp; dominieren nämlich Einzelfehler, so dass hier die Näherung&nbsp; ${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {\rm Pr(Bitfehler)} \cdot K$&nbsp; gültig ist.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Die beispielhaft gezeigten Kurven für Bitfehlerwahrscheinlichkeit und Blockfehlerwahrscheinlichkeit gelten qualitativ auch für $m > 2$, zum Beispiel für den Turbocode von UMTS und LTE (jeweils $m = 3$), der in [[Aufgaben:Aufgabe_4.10:_Turbocoder_für_UMTS_und_LTE|Aufgabe 4.10]] analysiert wird. Es ergeben sich aber einige quantitative Unterschiede:
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Die beispielhaft gezeigten Kurven für Bitfehlerwahrscheinlichkeit und Blockfehlerwahrscheinlichkeit gelten qualitativ auch für&nbsp; $m > 2$, zum Beispiel für den Turbocode von UMTS und LTE&nbsp; $($jeweils mit&nbsp; $m = 3)$, der in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.10:_Turbocoder_für_UMTS_und_LTE|Aufgabe 4.10]]&nbsp; analysiert wird. Es ergeben sich aber einige quantitative Unterschiede:
-*Die Kurve verläuft bei  kleinem $E_{\rm B}/N_0$ steiler und der Abstand von der Shannongrenze ist etwas geringer als im hier gezeigten Beispiel für $m = 2$.<br>
+*Die Kurve verläuft bei  kleinem&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; steiler und der Abstand von der Shannongrenze ist etwas geringer als im hier gezeigten Beispiel für&nbsp; $m = 2$.<br>
-*Auch für größeres $m$ gibt es einen <i>Error Floor</i>. Der Knick in den dargestellten Kurven erfolgt aber später, also bei kleineren Fehlerwahrscheinlichkeiten.}}<br>
+*Auch für größeres&nbsp; $m$&nbsp; gibt es einen <i>Error Floor</i>. Der Knick in den dargestellten Kurven erfolgt dann aber später, also bei kleineren Fehlerwahrscheinlichkeiten.}}<br>
 == Seriell verkettete Turbocodes – SCCC ==

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 <br>
 [[Datei:P ID3059 KC T 4 3 S7b v2.png|right|frame|Einige standardisierte Turbocodes im Vergleich zur Shannon–Grenze]]
-In fast allen neueren Kommunikationssystemen werden Turbocodes eingesetzt. Die Grafik zeigt deren Leistungsfähigkeit beim AWGN&ndash;Kanal im Vergleich zur&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Modells_.282.29| Shannonschen Kanalkapazität]]&nbsp; (blaue Kurve).<br>
+In fast allen neueren Kommunikationssystemen werden Turbocodes eingesetzt. Die Grafik zeigt deren Leistungsfähigkeit beim AWGN&ndash;Kanal im Vergleich zur&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Modells| Shannonschen Kanalkapazität]]&nbsp; (blaue Kurve).<br>
 Der  grün hinterlegte Bereich &bdquo;BPSK&rdquo; gibt die Shannongrenze für Nachrichtensysteme mit binärem Eingang an, mit der nach dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t| Kanalcodierungstheorem]]&nbsp; eine fehlerfreie Übertragung gerade noch möglich ist.<br>

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 [[Datei:P ID3049 KC T 4 3 S4a v2.png|center|frame|Iterativer Turbodecoder für die Rate&nbsp; $R = 1/3$|class=fit]]
-Vorausgesetzt ist ein Rate&ndash;$1/3$&ndash;Turbocode entsprechend der Beschreibung auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes_.282.29| ersten Seite  dieses Abschnitts]]. Auch die Farbgebung für die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und die beiden Paritysequenzen&nbsp; $\underline{p}_1$&nbsp; und&nbsp; $\underline{p}_2$&nbsp; sind an die früheren Grafiken angepasst. Weiter ist zu bemerken:
+Vorausgesetzt ist ein Rate&ndash;$1/3$&ndash;Turbocode entsprechend der Beschreibung auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes| ersten Seite  dieses Abschnitts]]. Auch die Farbgebung für die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und die beiden Paritysequenzen&nbsp; $\underline{p}_1$&nbsp; und&nbsp; $\underline{p}_2$&nbsp; sind an die früheren Grafiken angepasst. Weiter ist zu bemerken:
 *Die Empfangsvektoren&nbsp; $\underline{y}_0, \underline{y}_1$&nbsp; und&nbsp; $\underline{y}_2$&nbsp; sind reellwertig und liefern die jeweilige Soft&ndash;Information bezüglich der Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; sowie der Sequenzen&nbsp; $\underline{p}_1$&nbsp; (Parity für Coder 1) und&nbsp; $\underline{p}_2$&nbsp; (Parity für Coder 2).<br>

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 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt die verschiedenen Sequenzen in angepassten Farben. Anzumerken ist:
 #&nbsp;&nbsp; Für&nbsp; $\underline{u}_{\pi}$&nbsp;  ist eine&nbsp; $3×4$&ndash;Interleaver&ndash;Matrix entsprechend&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.08Z:_Grundlegendes_zum_Interleaving|Aufgabe 4.8Z]]&nbsp; berücksichtigt.
-# &nbsp;&nbsp;<sub>&nbsp;</sub>Die Paritysequenzen ergeben sich gemäß&nbsp; $G_1(D) = G_2(D) = 1 + D^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; siehe [[Aufgaben:Aufgabe_4.08:_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe 4.8]].<br>
+# &nbsp;&nbsp;<sub>&nbsp;</sub>Die Paritysequenzen ergeben sich gemäß&nbsp; $G_1(D) = G_2(D) = 1 + D^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.08:_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe 4.8]].<br>
 [[Datei:P ID3037 KC T 4 3 S1d v2.png|center|frame|Beispielhafte Sequenzen beim Rate–$1/3$–Turbocodierer|class=fit]]}}

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 == Grundstruktur eines Turbocodes ==
 <br>
-Alle heute (2017) aktuellen Kommunikationssysteme wie&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_VIERTEN_HAUPTKAPITEL_.23|UMTS]]&nbsp; (<i>Universal Mobile Telecommunications System</i> &nbsp; &rArr; &nbsp;   3. Mobilfunkgeneration) und&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE#.23_.C3.9CBERSICHT_ZUM_VIERTEN_HAUPTKAPITEL_.23|LTE]]&nbsp; (<i>Long Term Evolution</i>&nbsp; &rArr; &nbsp; 4. Mobilfunkgeneration) verwenden das Konzept der&nbsp;  [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung| symbolweisen iterativen Decodierung]]. Dass dies so ist, steht unmittelbar mit der Erfindung der&nbsp; ''Turbocodes''&nbsp; im Jahre 1993 durch&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Berrou C. Berrou],&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Alain_Glavieux A. Glavieux]&nbsp; und&nbsp; [https://scholar.google.com/citations?user=-UZolIAAAAAJ P. Thitimajshima]&nbsp; in Zusammenhang, denn erst mit diesen Codes konnte man sich der Shannon&ndash;Grenze mit vertretbarem Decodieraufwand annähern.<br>
+Alle heute (2017) aktuellen Kommunikationssysteme wie&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_VIERTEN_HAUPTKAPITEL_.23|UMTS]]&nbsp; (<i>Universal Mobile Telecommunications System</i> &nbsp; &rArr; &nbsp;   3. Mobilfunkgeneration) und&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Allgemeines_zum_Mobilfunkstandard_LTE#.23_.C3.9CBERSICHT_ZUM_VIERTEN_HAUPTKAPITEL_.23|LTE]]&nbsp; (<i>Long Term Evolution</i>&nbsp; &rArr; &nbsp; 4. Mobilfunkgeneration) verwenden das Konzept der&nbsp;  [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung| symbolweisen iterativen Decodierung]]. Dass dies so ist, steht unmittelbar mit der Erfindung der&nbsp; ''Turbocodes''&nbsp; im Jahre 1993 durch&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Berrou Claude Berrou],&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Alain_Glavieux Alain Glavieux]&nbsp; und&nbsp; [https://scholar.google.com/citations?user=-UZolIAAAAAJ Punya Thitimajshima]&nbsp; in Zusammenhang, denn erst mit diesen Codes konnte man sich der Shannon&ndash;Grenze mit vertretbarem Decodieraufwand annähern.<br>
 Turbocodes ergeben sich durch die parallele oder serielle Verkettung von Faltungscodes. Die Grafik zeigt die parallele Verkettung zweier Codes, jeweils mit den Parametern&nbsp; $k = 1, \ n = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Rate $R = 1/2$.<br>

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Die beispielhaft gezeigten Kurven für Bitfehlerwahrscheinlichkeit und Blockfehlerwahrscheinlichkeit gelten qualitativ auch für $m > 2$, zum Beispiel für den Turbocode von UMTS und LTE (jeweils $m = 3$), der in [[Aufgabe 4.10]] analysiert wird. Es ergeben sich aber einige quantitative Unterschiede:
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Die beispielhaft gezeigten Kurven für Bitfehlerwahrscheinlichkeit und Blockfehlerwahrscheinlichkeit gelten qualitativ auch für $m > 2$, zum Beispiel für den Turbocode von UMTS und LTE (jeweils $m = 3$), der in [[Aufgaben:Aufgabe_4.10:_Turbocoder_für_UMTS_und_LTE|Aufgabe 4.10]] analysiert wird. Es ergeben sich aber einige quantitative Unterschiede:
 *Die Kurve verläuft bei  kleinem $E_{\rm B}/N_0$ steiler und der Abstand von der Shannongrenze ist etwas geringer als im hier gezeigten Beispiel für $m = 2$.<br>
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 == Seriell verkettete Turbocodes – SCCC ==
 <br>
-Die bisher betrachteten Turbocodes werden manchmal auch als <i>Parallel Concatenated Convolutional Codes</i> (PCCC) bezeichnet. Einige Jahre nach Berrou's Erfindung wurden von anderen Autoren auch <i>Serial Concatenated Convolutional Codes</i> (SCCC)  entsprechend der folgenden Grafik vorgeschlagen.
+Die bisher betrachteten Turbocodes werden manchmal auch als&nbsp; <i>Parallel Concatenated Convolutional Codes</i>&nbsp; (PCCC) bezeichnet.
-*Nach dem Interleaver $(\Pi)$ folgt der innere Faltungscoder $\mathcal{C}_2$. Die Codesequenz wird $\underline{x}$ genannt.<br>
+Einige Jahre nach Berrou's Erfindung wurden von anderen Autoren auch&nbsp; <i>Serial Concatenated Convolutional Codes</i>&nbsp; (SCCC)  entsprechend der folgenden Grafik vorgeschlagen.
-*Die resultierende Coderate ist $R = R_1 \cdot R_2$. Bei Rate&ndash;1/2&ndash;Komponentencodes ist $R = 1/4$.<br><br>
+*Nach dem Interleaver&nbsp; $(\Pi)$&nbsp; folgt der innere Faltungscoder&nbsp; $\mathcal{C}_2$. Die Codesequenz wird hier&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; genannt.<br>
 [[Datei:P ID3058 KC T 4 3 S7a v1.png|center|frame|<i>Serial Concatenated Convolutional Codes</i> (SCCC): Coder und Decoder |class=fit]]
-Die untere Grafik zeigt den SCCC&ndash;Decoder und verdeutlicht die Verarbeitung der $L$&ndash;Werte und den Austausch der extrinsischen Information zwischen den beiden Komponentencoder:
+Die untere Grafik zeigt den SCCC&ndash;Decoder und verdeutlicht die Verarbeitung der&nbsp; $L$&ndash;Werte und den Austausch der extrinsischen Information zwischen den beiden Komponentencoder:
-*Der innere Decoder (für den Code $\mathcal{C}_2$) erhält vom Kanal die intrinsische Information $\underline{L}_{\rm K}(\underline{x})$ und vom äußeren Decoder (nach Interleaving) die Apriori&ndash;Information $\underline{L}_{\rm A}(\underline{w})$ mit $\underline{w} = \pi(\underline{c})$. An den äußeren Decoder wird die extrinsische Information $\underline{L}_{\rm E}(\underline{w})$ abgegeben.<br>
+*Der innere Decoder&nbsp; (für den Code&nbsp; $\mathcal{C}_2)$&nbsp; erhält vom Kanal die intrinsische Information&nbsp; $\underline{L}_{\rm K}(\underline{x})$&nbsp; und vom äußeren Decoder (nach Interleaving) die Apriori&ndash;Information&nbsp; $\underline{L}_{\rm A}(\underline{w})$&nbsp; mit&nbsp; $\underline{w} = \pi(\underline{c})$. An den äußeren Decoder wird die extrinsische Information&nbsp; $\underline{L}_{\rm E}(\underline{w})$&nbsp; abgegeben.<br>
-*Der äußere Decoder (für $\mathcal{C}_1$) verarbeitet die Apriori&ndash;Information $\underline{L}_{\rm A}(\underline{c})$, also die extrinsische Information $\underline{L}_{\rm E}(\underline{w})$ nach dem De&ndash;Interleaving. Er liefert die extrinsische Information $\underline{L}_{\rm E}(\underline{c})$.<br>
+*Der äußere Decoder $($für&nbsp; $\mathcal{C}_1)$&nbsp; verarbeitet die Apriori&ndash;Information&nbsp; $\underline{L}_{\rm A}(\underline{c})$, also die extrinsische Information&nbsp; $\underline{L}_{\rm E}(\underline{w})$&nbsp; nach dem De&ndash;Interleaving. Er liefert die extrinsische Information&nbsp; $\underline{L}_{\rm E}(\underline{c})$.<br>
-*Nach hinreichend vielen Iterationen ergibt sich das  das gewünschte Decodierergebnis in Form der Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werte $\underline{L}_{\rm APP}(\underline{u})$ der Informationssequenz $\underline{u}$.<br><br>
+*Nach hinreichend vielen Iterationen ergibt sich das  das gewünschte Decodierergebnis in Form der Aposteriori&ndash;$L$&ndash;Werte&nbsp; $\underline{L}_{\rm APP}(\underline{u})$&nbsp; der Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$.<br><br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Wichtig für <i>Serial Concatenated Convolutional Codes</i> (SCCC) ist, dass der innere Code $\mathcal{C}_2$ rekursiv ist (also ein RSC&ndash;Code). Der äußere Code $\mathcal{C}_1$ kann auch nichtrekursiv sein. Zur Leistungsfähigkeit solcher Codes ist anzumerken:
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Wichtig für <i>Serial Concatenated Convolutional Codes</i> (SCCC) ist, dass der innere Code&nbsp; $\mathcal{C}_2$&nbsp; rekursiv ist (also ein RSC&ndash;Code). Der äußere Code&nbsp; $\mathcal{C}_1$&nbsp; kann auch nichtrekursiv sein.
-*SCCCs sind bei großem $E_{\rm B}/N_0$ besser als PCCCs &nbsp;&#8658;&nbsp; niedrigerer <i>Error Floor</i>. Die Aussage gilt schon für SCCC&ndash;Komponentencodes mit Gedächtnis $m = 2$ (nur vier Trelliszustände), während bei PCCC das Gedächtnis $m = 3$ bzw. $m = 4$ (acht bzw. sechzehn Trelliszustände) sein sollte.<br>
-*Im unteren Bereich (kleines $E_{\rm B}/N_0$) ist dagegen der beste seriell verkettete Faltungscode (SCCC) um einige Zehntel Dezibel schlechter als der vergleichbare Turbocode gemäß Berrou (PCCC). Entsprechend größer ist auch der Abstand von der Shannongrenze.}}<br><br>
+*Im unteren Bereich $($kleines &nbsp;$E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; ist dagegen der beste seriell verkettete Faltungscode (SCCC) um einige Zehntel Dezibel schlechter als der vergleichbare Turbocode gemäß Berrou (PCCC). Entsprechend größer ist auch der Abstand von der Shannongrenze.}}<br><br>
 == Einige Anwendungsgebiete für Turbocodes ==
 <br>
 [[Datei:P ID3059 KC T 4 3 S7b v2.png|right|frame|Einige standardisierte Turbocodes im Vergleich zur Shannon–Grenze]]
-In fast allen neueren Kommunikationssystemen (nach 1993 standardisiert) werden Turbocodes eingesetzt. Die Grafik zeigt deren Leistungsfähigkeit beim AWGN&ndash;Kanal im Vergleich zur [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Modells_.282.29| Shannonschen Kanalkapazität]] (blaue Kurve).<br>
+In fast allen neueren Kommunikationssystemen werden Turbocodes eingesetzt. Die Grafik zeigt deren Leistungsfähigkeit beim AWGN&ndash;Kanal im Vergleich zur&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Modells_.282.29| Shannonschen Kanalkapazität]]&nbsp; (blaue Kurve).<br>
-Der  grün hinterlegte Bereich &bdquo;BPSK&rdquo; gibt die Shannongrenze für Nachrichtensysteme mit binärem Eingang an, mit der nach dem [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t| Kanalcodierungstheorem]] eine fehlerfreie Übertragung gerade noch möglich ist.<br>
+*Der grüne Kreis steht für einen sehr einfachen&nbsp; <i>Repeat&ndash;Accumulate</i>&nbsp; (RA) Code, einem seriell&ndash;verketteten Turbocode. Nachfolgend ist dessen Struktur skizziert: &nbsp; Der äußere Decoder verwendet einen&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29| Wiederholungscode]]&nbsp; (englisch:&nbsp;  <i>Repetition Code</i>), im gezeichneten Beispiel mit der Rate&nbsp; $R = 1/3$. Nach dem Interleaver folgt ein RSC&ndash;Code mit&nbsp; $G(D) = 1/(1 + D)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Gedächtnis&nbsp; $m = 1$. Bei systematischer Ausführung ist die Gesamtcoderate&nbsp; $R = 1/4$&nbsp; (zu jedem Informationsbit werden noch drei Paritybit hinzugefügt).
-Anzumerken ist, dass hier für die eingezeichneten Kanalcodes von standardisierten Systemen die Fehlerrate $10^{-5}$ zugrunde liegt, während die informationstheoretischen Kapazitätskurven (Shannon, BPSK) für die Fehlerwahrscheinlichkeit $0$ gelten.
+[[Datei:P ID3064 KC T 4 3 S7c v1.png|center|frame|<i>Repeat Accumulate</i> (RA) Code der Rate $1/4$|class=fit]]
-*Die roten Kreuze markieren die Turbocodes nach CCSDS (<i>Consultative Comittee for Space Data Systems</i>), entwickelt für den Einsatz bei Weltraummissionen. Diese Klasse geht von der Interleavergröße $K = 6920$ aus und stellt Codes der Rate $1/6$, $1/4$, $1/3$ und $1/2$ bereit. Die niedrigsten Coderaten erlauben einen Betrieb mit $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) \approx 0 \ \rm dB$.<br>
+Aus der Grafik rechts oben erkennt man, dass dieser einfache RA&ndash;Code überraschend gut ist. Mit der Interleavergröße&nbsp; $K = 300000$&nbsp; beträgt der Abstand von der Shannon&ndash;Grenze lediglich etwa &nbsp;$1.5 \ \rm dB$&nbsp; (grüner Punkt).
-*Der grüne Kreis steht für einen sehr einfachen <i>Repeat&ndash;Accumulate</i> (RA) Code, einem seriell&ndash;verketteten Turbocode. Der äußere Decoder verwendet einen [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes_.281.29| Wiederholungscode]] (englisch:  <i>Repetition Code</i>), im gezeichneten Beispiel mit der Rate $R = 1/3$. Nach dem Interleaver folgt ein RSC&ndash;Code mit $G(D) = 1/(1 + D)$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Gedächtnis $m = 1$. Bei systematischer Ausführung ist die Gesamtcoderate $R = 1/4$ (zu jedem Informationsbit noch drei Paritybits). Aus der oberen Grafik erkennt man, dass dieser einfache RA&ndash;Code überraschend gut ist. Mit der Interleavergröße $K = 300000$ beträgt der Abstand von der Shannon&ndash;Grenze lediglich etwa $1.5 \ \rm dB$.
+Ähnliche <i>Repeat Accumulate Codes</i> sind für den Standard <i>DVB Return Channel Terrestrial</i> (RCS) sowie für den WiMax&ndash;Standard (IEEE 802.16) vorgesehen.
 == Aufgaben zum Kapitel ==

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 == Leistungsfähigkeit der Turbocodes ==
 <br>
-[[Datei:P ID3053 KC T 4 3 S5a v7.png|right|frame|Bit– und Blockfehlerwahrscheinlichkeit von Turbocodes]]
+[[Datei:P ID3053 KC T 4 3 S5a v7.png|right|frame|Bit– und Blockfehlerwahrscheinlichkeit von Turbocodes beim AWGN&ndash;Kanal]]
 Wir betrachten wie auf den letzten Seiten den Rate&ndash;$1/$3&ndash;Turbocode
@@ Zeile 156: / Zeile 156: @@
 *die Codesequenz $\underline{x}$ zu Blöcken mit je&nbsp; $N = 3 \cdot K$&nbsp; Codebits.<br><br>
-Die Grafik zeigt als grüne Kurve in doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung die Blockfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr(Blockfehler)}$&nbsp; beim&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; in Abhängigkeit der Kenngröße&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0)$. Die Daten entstammen dem Vorlesungsskript&nbsp; [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>.
+Alle Ergebnisse gelten für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]]. Die Daten entstammen dem Vorlesungsskript&nbsp; [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>.
-Man erkennt:
+Die Grafik zeigt als grüne Kurve die&nbsp; '''Blockfehlerwahrscheinlichkeit''' &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr(Blockfehler)}$&nbsp; in doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung  in Abhängigkeit der AWGN&ndash;Kenngröße&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0)$. Man erkennt:
-*Die mit Kreuzen markierten Punkte ergaben sich aus den Gewichtsfunktionen des Turbocodes mit Hilfe der&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit| Union Bound]]. Die Simulationsergebnisse &ndash; in der Grafik durch Kreise markiert &ndash;  sind nahezu deckungsgleich mit den analytisch berechneten Werten.<br>
+*Die mit Kreuzen markierten Punkte ergaben sich aus den Gewichtsfunktionen des Turbocodes mit Hilfe der&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit| &bdquo;Union Bound&rdquo;]]. Die Simulationsergebnisse &ndash; in der Grafik durch Kreise markiert &ndash;  sind nahezu deckungsgleich mit den analytisch berechneten Werten.<br>
-*Die Union Bound ist nur eine obere Schranke, basierend auf Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung (&bdquo;ML&rdquo;). Der iterative Decoder ist suboptimal (also schlecher als &bdquo;ML&rdquo;). Diese beiden Effekte heben sich scheinbar auf.<br>
+*Die &bdquo;Union Bound&rdquo; ist nur eine obere Schranke, basierend auf Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung (&bdquo;ML&rdquo;). Der iterative Decoder ist suboptimal (also schlecher als &bdquo;ML&rdquo;). Diese beiden Effekte heben sich scheinbar nahezu auf.<br>
-*Etwa bei $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) = 1 \ \rm dB$ ist ein Knick im (grünen) Kurvenverlauf festzustellen, der mit der Steigungsänderung von ${\rm Pr(Bitfehler)}$ &nbsp;&#8658;&nbsp; blaue Kurve korrespondiert. Die Erklärung folgt unten.<br><br>
+*Etwa bei&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) = 1 \ \rm dB$&nbsp; ist ein Knick im (grünen) Kurvenverlauf festzustellen, der mit der Steigungsänderung von&nbsp; ${\rm Pr(Bitfehler)}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; blaue Kurve korrespondiert. <br><br>
-Die blauen Kreuze (Berechnung) und die blauen Kreise (Simulation) bezeichnen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die Interleavergröße $K = 10000$ . Als Vergleichskurve ist die (strichpunktierte) Kurve für uncodierte Übertragung eingezeichnet.
+Die blauen Kreuze (Berechnung) und die blauen Kreise (Simulation) bezeichnen die&nbsp; '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'''&nbsp; für die Interleavergröße&nbsp; $K = 10000$ . Als Vergleichskurve eingezeichnet ist die (strichpunktierte) Kurve für uncodierte Übertragung. Zu diesen blauen Kurven ist anzumerken:
-Anzumerken ist:
+*Im Vergleich zur&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Modells_.282.29| Shannon&ndash;Grenze]], die sich für die Coderate&nbsp; $R = 1/3$&nbsp; zu&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) \approx \, &ndash;0.55 \ \rm dB$&nbsp; ergibt, liegt unser Standard&ndash;Turbocode&nbsp; $($mit Gedächtnis&nbsp; $m = 2)$&nbsp; nur etwa&nbsp; $1.35 \ \rm dB$&nbsp; entfernt.<br>
-*Im Vergleich zur [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalkapazit.C3.A4t_des_AWGN.E2.80.93Modells_.282.29| Shannon&ndash;Grenze]], die sich für die Coderate $R = 1/3$ zu $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) \approx \, &ndash;0.55 \ \rm dB$ ergibt, liegt unser Standard&ndash;Turbocode (mit Gedächtnis $m = 2$) nur etwa $1.35 \ \rm dB$ entfernt.<br>
+*Ab&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) \approx 0.5 \ \rm dB$&nbsp; verläuft die Kurve flacher. Ab ca.&nbsp; $1.5 \ \rm dB$&nbsp; ist der Verlauf wieder (nahezu) linear mit geringerer Steigung. Für&nbsp; ${\rm Pr(Bitfehler)} = 10^{-7}$&nbsp; benötigt man etwa&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) = 3 \ \rm dB$.<br><br>
-*Ab $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) \approx 0.5 \ \rm dB$ verläuft die Kurve flacher. Ab ca. $1.5 \ \rm dB$ ist der Verlauf wieder (fast) linear mit geringerer Steigung. Für ${\rm Pr(Bitfehler)} = 10^{&ndash;7}$ benötigt man etwa $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) = 3 \ \rm dB$.<br><br>
+Wir versuchen nun, den flacheren Abfall der Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei größerem&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; zu erklären. Man spricht von einem&nbsp; $\text{Error Floor}$:
-Wir versuchen nun, den flacheren Abfall der Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei größerem $E_{\rm B}/N_0$ zu erklären. Man spricht vom <b>Error Floor</b>:
+*Der Grund für dieses asymptotisch schlechtere Verhalten bei besserem Kanal&nbsp; $($im Beispiel: &nbsp; ab&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \approx 2 \ \rm dB)$&nbsp; ist die Periode&nbsp; $P$&nbsp; der Coderimpulsantwort&nbsp; $\underline{g}$, wie auf der Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving|Interleaving]]&nbsp; nachgewiesen.<br>
-*Der Grund für dieses asymptotisch schlechtere Verhalten bei besserem Kanal (im Beispiel: ab $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \approx 2 \ \rm dB$) ist die Periode $P$ der Coderimpulsantwort $\underline{g}$, wie auf der Seite [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Zweite_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Interleaving|Interleaving]] nachgewiesen.<br>
+*Für&nbsp; $m = 2$&nbsp; ist die Periode $P = 2^m = 3$. Dadurch ist für $\underline{u} = (1, 1, 1) &#8658; w_{\rm H}(\underline{u}) = 3$ trotz unbegrenzter Impulsantwort $\underline{g}$ die Paritysequenz begrenzt: &nbsp; $\underline{p} = (1, 0, 1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm H}(\underline{p}) = 2$.<br>
 *Die Sequenz $\underline{u} = (0, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ 0, \ 1, \ 0, \ 0, \ 1, \ 0, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $U(D) = D^x \cdot (1 + D^P)$ führt ebenfalls zu einem kleinen Hamming&ndash;Gewicht $w_{\rm H}(\underline{p})$ am Ausgang, was den iterativen Decodierprozess erschwert.<br>

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 == Leistungsfähigkeit der Turbocodes ==
 <br>
-Wir betrachten wieder wie auf den letzten Seiten den Rate&ndash;1/3&ndash;Turbocode
+[[Datei:P ID3053 KC T 4 3 S5a v7.png|right|frame|Bit– und Blockfehlerwahrscheinlichkeit von Turbocodes]]
-*mit gleichen Filterfunktionen $G_1(D) = G_2(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Gedächtnis $m = 2$,<br>
+Wir betrachten wie auf den letzten Seiten den Rate&ndash;$1/$3&ndash;Turbocode
-*mit der Interleavergröße $K$; zunächst gelte $K = 10000,$<br>
+*mit gleichen Filterfunktionen&nbsp; $G_1(D) = G_2(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Gedächtnis&nbsp; $m = 2$,<br>
-*eine ausreichende Anzahl an Iterationen $(I = 20)$, hier nahezu gleichzusetzen mit &bdquo;$I &#8594; &#8734;$&rdquo;.<br><br>
+*mit der Interleavergröße&nbsp; $K$; zunächst gelte&nbsp; $K = 10000,$<br>
-Die beiden RSC&ndash;Komponentencodes sind jeweils auf $K$ Bit terminiert. Deshalb gruppieren wir
+*eine ausreichende Anzahl an Iterationen&nbsp; $(I = 20)$, vom Ergebnis her nahezu gleichzusetzen mit &bdquo;$I &#8594; &#8734;$&rdquo;.<br><br>
-*die Codesequenz $\underline{x}$ zu Blöcken mit je $N = 3 \cdot K$ Codebits.<br><br>
+Die beiden RSC&ndash;Komponentencodes sind jeweils auf&nbsp; $K$&nbsp; Bit terminiert. Deshalb gruppieren wir
-Die Grafik zeigt als grüne Kurve in doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung die Blockfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr(Blockfehler)}$ beim [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]] in Abhängigkeit der Kenngröße $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0)$. Die Daten entstammen dem Vorlesungsskript [Liv15]<ref>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>.
+* die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; zu Blöcken mit je&nbsp; $K$&nbsp; Informationsbits, und<br>
 Man erkennt:
-*Die mit Kreuzen markierten Punkte ergaben sich aus den Gewichtsfunktionen des Turbocodes mit Hilfe der [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit| Union Bound]]. Simulationsergebnisse &ndash; in der Grafik durch Kreise markiert &ndash;  sind nahezu deckungsgleich mit den berechneten Werten.<br>
+*Die mit Kreuzen markierten Punkte ergaben sich aus den Gewichtsfunktionen des Turbocodes mit Hilfe der&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit| Union Bound]]. Die Simulationsergebnisse &ndash; in der Grafik durch Kreise markiert &ndash;  sind nahezu deckungsgleich mit den analytisch berechneten Werten.<br>
-*Die Union Bound ist nur eine obere Schranke, basierend auf ML&ndash;Decodierung. Der iterative Decoder ist suboptimal (also schlecher als ML). Diese beiden Effekte heben sich scheinbar auf.<br>
+*Die Union Bound ist nur eine obere Schranke, basierend auf Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung (&bdquo;ML&rdquo;). Der iterative Decoder ist suboptimal (also schlecher als &bdquo;ML&rdquo;). Diese beiden Effekte heben sich scheinbar auf.<br>
 *Etwa bei $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0) = 1 \ \rm dB$ ist ein Knick im (grünen) Kurvenverlauf festzustellen, der mit der Steigungsänderung von ${\rm Pr(Bitfehler)}$ &nbsp;&#8658;&nbsp; blaue Kurve korrespondiert. Die Erklärung folgt unten.<br><br>

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 == Zweite Voraussetzung für Turbocodes: Interleaving ==
 <br>
-Es ist offensichtlich, dass bei $G_1(D) = G_2(D)$ ein Interleaver $(\Pi)$ unerlässlich ist. Ein weiterer Grund ist, dass die Apriori&ndash;Information als unabhängig vorausgesetzt wird. Somit sollten benachbarte (und somit möglicherweise stark abhängige) Bits für den jeweils anderen Teilcode weit auseinander liegen.<br>
+Es ist offensichtlich, dass bei&nbsp; $G_1(D) = G_2(D)$&nbsp; ein Interleaver&nbsp; $(\Pi)$&nbsp; unerlässlich ist. Ein weiterer Grund ist, dass die Apriori&ndash;Information als unabhängig vorausgesetzt wird. Somit sollten benachbarte (und somit möglicherweise stark abhängige) Bits für den jeweils anderen Teilcode weit auseinander liegen.<br>
-Für jeden RSC&ndash;Code &nbsp; &#8658; &nbsp; unendliche Impulsantwort $\underline{g}$ &nbsp;&#8658;&nbsp; gebrochen&ndash;rationale Übertragungsfunktion $G(D)$ gibt es nämlich gewisse Eingangssequenzen $\underline{u}$, die zu sehr kurzen Paritysequenzen $\underline{p} = \underline{u} &#8727; \underline{g}$ mit geringem Hamming&ndash;Gewicht $w_{\rm H}(\underline{p})$ führen.
+Für jeden RSC&ndash;Code &nbsp; &#8658; &nbsp; unendliche Impulsantwort&nbsp; $\underline{g}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; gebrochen&ndash;rationale Übertragungsfunktion&nbsp; $G(D)$&nbsp; gibt es nämlich gewisse Eingangssequenzen&nbsp; $\underline{u}$, die zu sehr kurzen Paritysequenzen&nbsp; $\underline{p} = \underline{u} &#8727; \underline{g}$&nbsp; mit geringem Hamming&ndash;Gewicht&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{p})$&nbsp; führen.
-Eine solche Sequenz ist beispielsweise in der unteren Grafik auf der [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Erste_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Rekursive_Komponentencodes| letzten Seite]] angegeben: &nbsp; $\underline{u} = (1, 1, 1, 0, 0, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$. Dann gilt für die Ausgangssequenz:
+Eine solche Sequenz ist beispielsweise in der unteren Grafik auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Erste_Voraussetzung_f.C3.BCr_Turbocodes:_Rekursive_Komponentencodes| letzten Seite]]&nbsp; angegeben: &nbsp; $\underline{u} = (1, 1, 1, 0, 0, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$. Dann gilt für die Ausgangssequenz:
 ::<math>P(D) = U(D) \cdot G(D) = (1+D+D^2) \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2}= 1+D^2\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}  \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. </math>
@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Sinn und Zweck:}$&nbsp;
-Durch '''Interleaving''' (deutsch: <i>Verwürfelung</i>) wird nun mit großer Wahrscheinlichkeit sichergestellt, dass diese Sequenz $\underline{u} = (1, 1, 1, 0, 0, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$ in eine Sequenz $\underline{u}_{\pi}$ gewandelt wird,
+Durch&nbsp; $\rm Interleaving$&nbsp; (deutsch: &nbsp; <i>Verwürfelung</i>) wird nun mit großer Wahrscheinlichkeit sichergestellt, dass diese Sequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, 1, 1, 0, 0, \ \text{...}\hspace{0.05cm})$&nbsp; in eine Sequenz&nbsp; $\underline{u}_{\pi}$&nbsp; gewandelt wird,
 *die zwar ebenfalls nur drei Einsen beinhaltet,<br>
-*deren Ausgangssequenz aber durch ein großes Hamming&ndash;Gewicht $w_{\rm H}(\underline{p})$ gekennzeichnet ist.<br>
+*deren Ausgangssequenz aber durch ein großes Hamming&ndash;Gewicht&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{p})$&nbsp; gekennzeichnet ist.<br>
 Somit gelingt es dem Decoder, solche &bdquo;Problemsequenzen&rdquo; iterativ aufzulösen.}}<br>
 [[Datei:P ID3048 KC T 4 3 S3a v5.png|right|frame|Zur Verdeutlichung von Block–Interleaving]]
 Zur folgenden Beschreibung der Interleaver verwendet wir die Zuordnung $I_{\rm In} &#8594; I_{\rm Out}$. Diese Bezeichnungen stehen für die Indizes von Ausgangs&ndash; bzw. Eingangsfolge. Die Interleavergröße wird mit $I_{\rm max}$ benannt.<br>
 Es gibt mehrere, grundsätzlich verschiedene Interleaver&ndash;Konzepte:<br>
-Bei einem <b>Block&ndash;Interleaver</b> füllt man eine Matrix mit $S$ Spalten und $Z$ Zeilen spaltenweise und liest die Matrix zeilenweise aus. Damit wird ein Informationsblock mit $I_{\rm max} = S \cdot Z \ \rm Bit$ deterministisch verwürfelt.<br>
+Bei einem&nbsp; <b>Block&ndash;Interleaver</b>&nbsp; füllt man eine Matrix mit&nbsp; $S$&nbsp; Spalten und&nbsp; $Z$&nbsp; Zeilen spaltenweise und liest die Matrix zeilenweise aus. Damit wird ein Informationsblock mit&nbsp; $I_{\rm max} = S \cdot Z$&nbsp; Bit deterministisch verwürfelt.<br>
-Die rechte Grafik verdeutlicht das Prinzip für $I_{\rm max} = 64$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 &#8804; I_{\rm In} < 65$ und $1 &#8804; I_{\rm Out} < 65$. Die Reihenfolge der Ausgangsbits lautet dann: &nbsp; $1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 2, 10, 18, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , 48, 56, 64.$
+Die rechte Grafik verdeutlicht das Prinzip für&nbsp; $I_{\rm max} = 64$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $1 &#8804; I_{\rm In} \le 64$&nbsp; und&nbsp; $1 &#8804; I_{\rm Out} \le 64$. Die Reihenfolge der Ausgangsbits lautet dann: &nbsp; $1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 2, 10, 18, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , 48, 56, 64.$
-Mehr Informationen zum Block&ndash;Interleaving gibt es in der[[ Aufgabe 4.8Z]].<br>
+Mehr Informationen zum Block&ndash;Interleaving gibt es in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.08Z:_Grundlegendes_zum_Interleaving| Aufgabe 4.8Z]].<br>
-[[Datei:P ID3050 KC T 4 3 S3b v5.png|left|frame|Zur Verdeutlichung von $S$–Random–Interleaving]]
+[[Datei:P ID3050 KC T 4 3 S3b v5.png|left|frame|Zur Verdeutlichung von&nbsp; $S$–Random–Interleaving]]
-<br><br><br>Turbocodes verwenden oft den '''$S$&ndash;Random&ndash;Interleaver'''.  Dieser pseudozufällige Algorithmus mit dem Parameter &bdquo;$S$&rdquo; garantiert, dass zwei am Eingang weniger als $S$ auseinander liegende Indizes am Ausgang mindestens im Abstand $S + 1$ auftreten. Die linke Grafik zeigt die $S$&ndash;Random&ndash;Kennlinie $I_{\rm Out}(I_{\rm In})$ für $I_{\rm max} = 640$.<br>
+<br><br><br><br>Turbocodes verwenden oft den&nbsp; '''$S$&ndash;Random&ndash;Interleaver'''.  Dieser pseudozufällige Algorithmus mit dem Parameter &bdquo;$S$&rdquo; garantiert, dass zwei am Eingang weniger als&nbsp; $S$&nbsp; auseinander liegende Indizes am Ausgang mindestens im Abstand&nbsp; $S + 1$&nbsp; auftreten. Die linke Grafik zeigt die&nbsp; $S$&ndash;Random&ndash;Kennlinie&nbsp; $I_{\rm Out}(I_{\rm In})$&nbsp; für&nbsp; $I_{\rm max} = 640$.<br>
-Auch dieser Algorithmus ist deterministisch, und man kann die Verwürfelung im Decoder rückgängig machen &#8658; <i>De&ndash;Interleaving</i>. Die Verteilung wirkt trotzdem &bdquo;zufälliger&rdquo; als bei Block&ndash;Interleaving.
+*Auch dieser Algorithmus ist deterministisch, und man kann die Verwürfelung im Decoder rückgängig machen &#8658; <i>De&ndash;Interleaving</i>.
 <br clear=all>
 == Symbolweise iterative Decodierung eines Turbocodes ==
 <br>
-Die Decodierung eines Turbocodes geschieht grundsätzlich wie im Abschnitt [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung|Symbolweise Soft&ndash;in Soft&ndash;out_Decodierung]] beschrieben. Aus der folgenden Grafik erkennt man aber auch einige nur für den Turbodecoder zutreffende Besonderheiten.<br>
+Die Decodierung eines Turbocodes geschieht grundsätzlich wie im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Symbolweise_Soft.E2.80.93in_Soft.E2.80.93out_Decodierung|Symbolweise Soft&ndash;in Soft&ndash;out_Decodierung]]&nbsp; beschrieben. Aus der folgenden Grafik erkennt man aber auch einige nur für den Turbodecoder zutreffende Besonderheiten.<br>
-Vorausgesetzt ist ein Rate&ndash;1/3&ndash;Turbocode entsprechend der Beschreibung auf der [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes_.282.29| ersten Seite]] dieses Abschnitts. Auch die Farbgebung für die Informationssequenz $\underline{u}$ und die beiden Paritysequenzen $\underline{p}_1$ und $\underline{p}_2$ sind an die früheren Grafiken angepasst. Weiter ist zu bemerken:
+[[Datei:P ID3049 KC T 4 3 S4a v2.png|center|frame|Iterativer Turbodecoder für die Rate&nbsp; $R = 1/3$|class=fit]]
-*Der Decoder 1 erhält die erforderliche intrinsische Information in Form der $L$&ndash;Werte $L_{\rm K,\hspace{0.03cm} 0}$ (aus $\underline{y}_0$) und $L_{\rm K,\hspace{0.03cm}1}$ (aus $\underline{y}_1$) über jedes einzelne Bit der Sequenzen $\underline{u}$ und $\underline{p}_1$.<br>
+Vorausgesetzt ist ein Rate&ndash;$1/3$&ndash;Turbocode entsprechend der Beschreibung auf der&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Grundstruktur_eines_Turbocodes_.282.29| ersten Seite  dieses Abschnitts]]. Auch die Farbgebung für die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und die beiden Paritysequenzen&nbsp; $\underline{p}_1$&nbsp; und&nbsp; $\underline{p}_2$&nbsp; sind an die früheren Grafiken angepasst. Weiter ist zu bemerken:
-*Beim zweiten Decoder ist auch die Verwürfelung der Informationssequenz $\underline{u}$ durch den Interleaver zu berücksichtigen. Die zu verarbeitenden $L$&ndash;Werte sind somit $\pi(L_{\rm K, \hspace{0.03cm}0}$ und $L_{\rm K, \hspace{0.03cm}2}$.<br>
+*Der Decoder 1 erhält die erforderliche intrinsische Information in Form der&nbsp; $L$&ndash;Werte $L_{\rm K,\hspace{0.03cm} 0}$&nbsp; $($aus&nbsp; $\underline{y}_0)$&nbsp; und&nbsp; $L_{\rm K,\hspace{0.03cm}1}$ $($aus&nbsp; $\underline{y}_1)$&nbsp; über jedes einzelne Bit der Sequenzen&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{p}_1$. Beim zweiten Decoder ist die Verwürfelung der Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; zu berücksichtigen. Die zu verarbeitenden&nbsp; $L$&ndash;Werte sind somit&nbsp; $\pi(L_{\rm K, \hspace{0.03cm}0})$&nbsp; und&nbsp; $L_{\rm K, \hspace{0.03cm}2}$.<br>
-*Beim allgemeinen [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Grundstruktur_von_verketteten_Codiersystemen| SISO&ndash;Decoder]] wurde der Informationsaustausch zwischen den beiden Komponentendecodern mit $\underline{L}_{\rm A, \hspace{0.03cm}2} = \underline{L}_{\rm E, \hspace{0.03cm}1}$ sowie $\underline{L}_{\rm A, \hspace{0.03cm}1} = \underline{L}_{\rm E, \hspace{0.03cm}2}$ angegeben. Ausgeschrieben auf Bitebene bedeuten diese Gleichungen mit $1 &#8804; i &#8804; n$:
+*Beim allgemeinen&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Grundstruktur_von_verketteten_Codiersystemen| SISO&ndash;Decoder]]&nbsp; wurde der Informationsaustausch zwischen den beiden Komponentendecodern mit&nbsp; $\underline{L}_{\rm A, \hspace{0.03cm}2} = \underline{L}_{\rm E, \hspace{0.03cm}1}$&nbsp; sowie&nbsp; $\underline{L}_{\rm A, \hspace{0.03cm}1} = \underline{L}_{\rm E, \hspace{0.03cm}2}$&nbsp; angegeben. Ausgeschrieben auf Bitebene bedeuten diese Gleichungen mit&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; n$:
 ::<math>L_{\rm A, \hspace{0.03cm}2}(i) = L_{\rm E, \hspace{0.03cm}1}(i)
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 L_{\rm A, \hspace{0.03cm}1}(i) = L_{\rm E, \hspace{0.03cm}2}(i) \hspace{0.03cm}.</math>
-*Beim Turbodecoder muss bei diesem Informationsaustausch auch der Interleaver berücksichtigt werden. Dann gilt wieder für $i = 1, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ n$:
+*Beim Turbodecoder muss bei diesem Informationsaustausch auch der Interleaver berücksichtigt werden. Dann gilt für&nbsp; $i = 1, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ n$:
 ::<math>L_{\rm A, \hspace{0.03cm}2}\left ({\rm \pi}(i) \right ) = L_{\rm E, \hspace{0.03cm}1}(i)