Kanalcodierung/Grundlegendes zu den Low–density Parity–check Codes - Versionsgeschichte

Guenter am 15. Dezember 2022 um 16:08 Uhr

2022-12-15T16:08:23Z

Guenter am 10. Juli 2019 um 12:28 Uhr

2019-07-10T12:28:55Z

Guenter am 10. Juli 2019 um 12:28 Uhr

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Guenter am 10. Juli 2019 um 12:23 Uhr

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Guenter am 10. Juli 2019 um 09:54 Uhr

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Guenter am 10. Juli 2019 um 09:20 Uhr

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Guenter am 10. Juli 2019 um 08:42 Uhr

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Änderungen zeigen

Guenter am 9. Juli 2019 um 16:51 Uhr

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Hussain am 14. Dezember 2017 um 14:54 Uhr

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Hussain am 14. Dezember 2017 um 14:38 Uhr

2017-12-14T14:38:25Z

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 *Es gibt insgesamt sechs Verbindungslinien (englisch:&nbsp; <i>Edges</i>). Damit sind sechs der zwölf Elemente&nbsp; $h_{j,\hspace{0.05cm}i}$&nbsp; von&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; Einsen.<br>
-*Bei jedem <i>Check Node</i>&nbsp; kommen zwei Linien an &nbsp; &rArr; &nbsp; Die Hamming&ndash;Gewichte aller Zeilen gleich sind:  &nbsp; $w_{\rm S}(j) = 2 = w_{\rm S}$.<br>
+*Bei jedem <i>Check Node</i>&nbsp; kommen zwei Linien an &nbsp; &rArr; &nbsp; Die Hamming&ndash;Gewichte aller Zeilen gleich sind:  &nbsp; $w_{\rm Z}(j) = 2 = w_{\rm Z}$.<br>
 *Von den Knoten&nbsp; $V_1$&nbsp; und&nbsp; $V_4$&nbsp; gibt es jeweils nur einen Übergang zu einem <i>Check Node</i>, von&nbsp; $V_2$&nbsp; und&nbsp; $V_3$&nbsp; dagegen zwei. <br>Aus diesem Grund handelt es sich um einen <i>irregulären Code</i>.<br><br>

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 [[Aufgaben:4.11Z_Coderate_aus_der_Pr%C3%BCfmatrix|Zusatzaufgabe 4.11Z: Coderate aus der Prüfmatrix]]
-[[Aufgaben:4.12 Regulärer/irregulärer Tanner–Graph|Aufgabe 4.12: Regulärer/irregulärer Tanner–Graph]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.12:_Regulärer_und_irregulärer_Tanner–Graph|Aufgabe 4.12: Regulärer/irregulärer Tanner–Graph]]
 [[Aufgaben:4.13 Decodierung von LDPC–Codes|Aufgabe 4.13: Decodierung von LDPC–Codes]]

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−	Die DVB–Codes gehören zu den  <i>Irregular Repeat Accumulate</i>  (IRA) Codes, die erstmals im Jahr 2000 in  [JKE00]<ref name='JKE00'>Jin, H.; Khandekar, A.; McEliece, R.: ''Irregular Repeat–Accumulate Codes.'' Proc. of the 2nd Int. Symp. on Turbo Codes and Related Topics, Best, France, S. 1–8., Sept. 2000.</ref>  vorgestellt wurden.	+	Die DVB–Codes gehören zu den  <i>Irregular Repeat Accumulate</i>  $\rm (IRA)$ Codes, die erstmals im Jahr 2000 in  [JKE00]<ref name='JKE00'>Jin, H.; Khandekar, A.; McEliece, R.: ''Irregular Repeat–Accumulate Codes.'' Proc. of the 2nd Int. Symp. on Turbo Codes and Related Topics, Best, France, S. 1–8., Sept. 2000.</ref>  vorgestellt wurden.

	[[Datei:P ID3082 KC T 4 4 S6a v3.png\|center\|frame\|IRA–Coder bei DVB–S2/T2\|class=fit]]		[[Datei:P ID3082 KC T 4 4 S6a v3.png\|center\|frame\|IRA–Coder bei DVB–S2/T2\|class=fit]]

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 <br>
 [[Datei:P ID3087 KC T 4 4 S5a v3.png|right|frame|LDPC–Codes im Vergleich zur Shannon–Grenze]]
-In diesem Kapitel wurden vorwiegend reguläre LDPC&ndash;Codes behandelt, auch im BER&ndash;Diagramm auf der letzten Seite.<br>
+In diesem Kapitel wurden vorwiegend reguläre LDPC&ndash;Codes behandelt, auch im&nbsp;  $\rm BER$&ndash;Diagramm auf der letzten Seite. Die Ignoranz der irregulären LDPC&ndash;Codes ist nur der Kürze dieses Kapitels geschuldet, nicht deren Leistungsfähigkeit. Im Gegenteil:
 * Irreguläre LDPC&ndash;Codes gehören zu den besten Kanalcodes überhaupt.
-*Das gelbe Kreuz in der Grafik liegt praktisch auf der informationstheoretischen Grenzkurve für binäre Eingangssignale (grüne Kurve, mit BPSK beschriftet).
+*Das gelbe Kreuz in der Grafik liegt praktisch auf der informationstheoretischen Grenzkurve für binäre Eingangssignale (grüne Kurve, mit&nbsp;  $\rm BPSK$ beschriftet).
-*Die Codewortlänge dieses irregulären Rate&ndash;1/2&ndash;Codes von [CFRU01]<ref>Chung S.Y; Forney Jr., G.D.; Richardson, T.J.; Urbanke, R.: ''On the Design of Low-Density Parity- Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit.'' – In: IEEE Communications Letters, vol. 5, no. 2 (2001), pp. 58–60.</ref> beträgt $2 \cdot 10^6$.
+*Die Codewortlänge dieses irregulären Rate&ndash;$1/2$&ndash;Codes von [CFRU01]<ref>Chung S.Y; Forney Jr., G.D.; Richardson, T.J.; Urbanke, R.: ''On the Design of Low-Density Parity- Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit.'' – In: IEEE Communications Letters, vol. 5, no. 2 (2001), pp. 58–60.</ref> beträgt&nbsp; $n = 2 \cdot 10^6$.
-*Daraus ist schon ersichtlich, dass dieser Code nicht für den praktischen Einsatz gedacht war, sondern für einen Rekordversuch getunt wurde.<br>
+*Daraus ist schon ersichtlich, dass dieser Code nicht für den praktischen Einsatz gedacht war, sondern sogar für einen Rekordversuch getunt wurde.<br>
-Bei der LDPC&ndash;Codekonstruktion geht man ja stets von der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ aus. Für den gerade genannten Code hat diese die Dimension $1 \cdot 10^6 &times; 2 \cdot 10^6$, beinhaltet also $2 \cdot 10^{12}$ Matrixelemente.
+Bei der LDPC&ndash;Codekonstruktion geht man ja stets von der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; aus. Für den gerade genannten Code hat diese die Dimension&nbsp; $1 \cdot 10^6 &times; 2 \cdot 10^6$, beinhaltet also&nbsp; $2 \cdot 10^{12}$&nbsp; Matrixelemente.
 <br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Füllt man die Matrix per Zufallsgenerator mit (wenigen) Einsen &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;<i>Low&ndash;density</i>&rdquo;. So spricht man von <b>unstrukturiertem Code&ndash;Design</b>. Dies kann zu langen Codes mit guter Performance führen, manchmal aber auch zu folgenden Problemen:
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Füllt man die Matrix per Zufallsgenerator mit (wenigen) Einsen &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;<i>Low&ndash;density</i>&rdquo;, so spricht man von&nbsp; <b>unstrukturiertem Code&ndash;Design</b>. Dies kann zu langen Codes mit guter Performance führen, manchmal aber auch zu folgenden Problemen:
-*Die Komplexität des Coders kann zunehmen, da trotz Modifikation der Prüfmatrix $\mathbf{H}$ sichergestellt werden muss, dass die Generatormatrix $\mathbf{G}$ systematisch sein muss.<br>
+*Die Komplexität des Coders kann zunehmen, da trotz Modifikation der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; sichergestellt werden muss, dass die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; systematisch ist.<br>
-*Aufwändige Hardware&ndash;Realisierung des iterativen Decoders.<br>
+*Es erfordert eine aufwändige Hardware&ndash;Realisierung des iterativen Decoders.<br>
-*&bdquo;Error Floor&rdquo; durch einzelne Einsen in einer Spalte (oder Zeile) sowie kurze Schleifen &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Beispiel 5..}}<br><br>
+*Es kommt zu einem &bdquo;Error Floor&rdquo; durch einzelne Einsen in einer Spalte (oder Zeile) sowie durch kurze Schleifen &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe nachfolgendes Beispiel.}}<br><br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Im linken Teil der Grafik ist der Tanner&ndash;Graph für einen regulären LDPC&ndash;Code mit der Prüfmatrix $\mathbf{H}_1$ dargestellt. Grün eingezeichnet ist ein Beispiel für die minimale Schleifenlänge (englisch: <i>Girth</i>). Diese Kenngröße gibt an, wieviele Kanten man mindestens durchläuft, bis man von einem <i>Check Node</i> $C_j$ wieder bei diesem landet (oder von $V_i$ zu $V_i$). Im linken Beispiel ergibt sich die minimale Kantenlänge $6$, zum Beispiel der Weg $C_1 &#8594; V_1 &#8594; C_3 &#8594; V_5 &#8594; C_2 &#8594; V_2 &#8594; C_1$.<br>
+$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Im linken Teil der Grafik ist der Tanner&ndash;Graph für einen regulären LDPC&ndash;Code mit der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}_1$&nbsp; dargestellt. Grün eingezeichnet ist ein Beispiel für die minimale Schleifenlänge (englisch:&nbsp; <i>Girth</i>). Diese Kenngröße gibt an, wieviele Kanten man mindestens durchläuft, bis man von einem <i>Check Node</i>&nbsp; $C_j$&nbsp; wieder bei diesem landet $($oder von&nbsp; $V_i$&nbsp; zu&nbsp; $V_i)$. Im linken Beispiel ergibt sich die minimale Kantenlänge&nbsp; $6$, zum Beispiel der Weg&nbsp; $C_1 &#8594; V_1 &#8594; C_3 &#8594; V_5 &#8594; C_2 &#8594; V_2 &#8594; C_1$.<br>
 [[Datei:P ID3088 KC T 4 4 S4c v3.png|center|frame|Zur Definition eines „Girth”|class=fit]]
-Vertauscht man in der Prüfmatrix nur zwei Einsen &nbsp;&#8658;&nbsp; Matrix $\mathbf{H}_2$, so wird der  LDPC&ndash;Code irregulär:
+Vertauscht man in der Prüfmatrix nur zwei Einsen &nbsp; &#8658; &nbsp; Matrix&nbsp; $\mathbf{H}_2$, so wird der  LDPC&ndash;Code irregulär:
-*Die minimale Schleifenlänge ist nun $4$, von $C_1 &#8594; V_4 &#8594; C_4 &#8594; V_6 &#8594; C_1$.
+*Die minimale Schleifenlänge ist nun&nbsp; $4$, von&nbsp; $C_1 &#8594; V_4 &#8594; C_4 &#8594; V_6 &#8594; C_1$.
-*Ein kleiner <i>Girth</i> führt zu einem ausgeprägtrn  &bdquo;Error Floor&rdquo; im BER&ndash;Verlauf.}}<br>
+*Ein kleiner <i>Girth</i>&nbsp; führt zu einem ausgeprägten  &bdquo;Error Floor&rdquo; im BER&ndash;Verlauf.}}<br>
 == Einige Anwendungsgebiete für LDPC–Codes ==
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 Im nebenstehenden Schaubild sind im Vergleich zur AWGN&ndash;Kanalkapazität zwei Kommunikations&ndash;Standards eingetragen, die auf strukturierten  (regulären) LDPC&ndash;Codes basieren.<br>
-Anzumerken ist, dass für die eingezeichneten standardisierten Codes die Bitfehlerrate $10^{-5}$ zugrunde liegt, während die Kapazitätskurven (entsprechend der Informationstheorie) für die Fehlerwahrscheinlichkeit $0$ gelten.
+Anzumerken ist, dass für die eingezeichneten standardisierten Codes die Bitfehlerrate ${\rm BER}=10^{-5}$ zugrunde liegt, während die Kapazitätskurven (entsprechend der Informationstheorie) für die Fehlerwahrscheinlichkeit &bdquo;Null&rdquo; gelten.
-Rote Kreuze zeigen die '''LDPC&ndash;Codes nach CCSDS''' (<i>Consultative Comittee for Space Data Systems</i>), entwickelt für ferne Weltraummissionen:
+Rote Kreuze zeigen die&nbsp; '''LDPC&ndash;Codes nach CCSDS'''&nbsp; (<i>Consultative Comittee for Space Data Systems</i>), entwickelt für ferne Weltraummissionen:
-*Diese Klasse stellt Codes der Rate $1/3$, $1/2$, $2/3$ und $4/5$ bereit.
+*Diese Klasse stellt Codes der Rate&nbsp; $1/3$,&nbsp; $1/2$,&nbsp; $2/3$&nbsp; und&nbsp; $4/5$ bereit.
-*Alle Punkte liegen ca. $1 \ \rm dB$ rechts von der Kapazitätskurve für binären Eingang (grüne Kurve &bdquo;BPSK&rdquo;).<br>
+*Alle Punkte liegen ca.&nbsp; $1 \ \rm dB$&nbsp; rechts von der Kapazitätskurve für binären Eingang (grüne Kurve &bdquo;BPSK&rdquo;).<br>
-Die blauen Rechtecke markieren die '''LDPC&ndash;Codes für DVB&ndash;T2/S2'''. Die Abkürzungen stehen für  &bdquo;Digital Video Broadcasting &ndash; Terrestrial&rdquo; bzw. &bdquo;Digital Video Broadcasting &ndash; Satellite&rdquo;, und die &bdquo;$2$&rdquo; macht deutlich, dass es sich jeweils um die  zweite Generation (von 2005 bzw. 2009)  handelt.
+Die blauen Rechtecke markieren die&nbsp; '''LDPC&ndash;Codes für DVB&ndash;T2/S2'''. Die Abkürzungen stehen für  &bdquo;Digital Video Broadcasting &ndash; Terrestrial&rdquo; bzw. &bdquo;Digital Video Broadcasting &ndash; Satellite&rdquo;, und die Kennzeichnung  &bdquo;$2$&rdquo; macht deutlich, dass es sich jeweils um die  zweite Generation (von 2005 bzw. 2009)  handelt.
-*Der Standard ist durch 22 Prüfmatrizen definiert, die Raten von etwa $0.2$ bis zu $19/20$ zur Verfügung stellen.
+*Der Standard ist durch&nbsp; $22$&nbsp; Prüfmatrizen definiert, die Raten von etwa&nbsp; $0.2$&nbsp; bis zu&nbsp; $19/20$&nbsp; zur Verfügung stellen.
-*Je elf Varianten gelten für die  Codelänge $64800$ Bit (<i>Normal FECFRAME</i>) bzw. $16200$ Bit (<i>Short FECFRAME</i>).
+*Je elf Varianten gelten für die  Codelänge&nbsp; $64800$&nbsp; Bit (<i>Normal FECFRAME</i>) bzw.&nbsp; $16200$&nbsp; Bit (<i>Short FECFRAME</i>).
-*Kombiniert mit [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen| Modulationsverfahren hoher Ordnung]] (8PSK, 16&ndash;ASK/PSK, \text{...}\hspace{0.05cm}) zeichnen sich die Codes durch große spektrale Effizienz aus.<br>
+*Kombiniert mit&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen| Modulationsverfahren hoher Ordnung]]&nbsp; (8PSK, 16&ndash;ASK/PSK, ...&nbsp;) zeichnen sich die Codes durch eine große spektrale Effizienz aus.<br>
-Die DVB&ndash;Codes gehören zu den <i>Irregular Repeat Accumulate</i> (IRA) Codes die erstmals im Jahr 2000 in [JKE00]<ref name='JKE00'>Jin, H.; Khandekar, A.; McEliece, R.: ''Irregular Repeat–Accumulate Codes.'' Proc. of the 2nd Int. Symp. on Turbo Codes and Related Topics, Best, France, S. 1–8., Sept. 2000.</ref> vorgestellt wurden.
+Die DVB&ndash;Codes gehören zu den&nbsp; <i>Irregular Repeat Accumulate</i>&nbsp; (IRA) Codes, die erstmals im Jahr 2000 in&nbsp; [JKE00]<ref name='JKE00'>Jin, H.; Khandekar, A.; McEliece, R.: ''Irregular Repeat–Accumulate Codes.'' Proc. of the 2nd Int. Symp. on Turbo Codes and Related Topics, Best, France, S. 1–8., Sept. 2000.</ref>&nbsp; vorgestellt wurden.
 [[Datei:P ID3082 KC T 4 4 S6a v3.png|center|frame|IRA–Coder bei DVB–S2/T2|class=fit]]
 Die Grafik zeigt die Grundstruktur des Coders.
-*Der grün hinterlegte Teil &ndash; mit Repetition Code (RC), Interleaver, Single Parity&ndash;Code (SPC) sowie Akkumulator &ndash; entspricht exakt einem seriell&ndash;verketteten Turbocode &nbsp;&#8658;&nbsp; siehe [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Einige_Anwendungsgebiete_f.C3.BCr_Turbocodes| RA&ndash;Coder]].
+*Der grün hinterlegte Teil &ndash; mit Repetition Code&nbsp; $\rm (RC)$, Interleaver, Single Parity&ndash;Code&nbsp; $\rm  (SPC)$&nbsp; sowie Akkumulator &ndash; entspricht exakt einem seriell&ndash;verketteten Turbocode &nbsp; &#8658; &nbsp; siehe&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Einige_Anwendungsgebiete_f.C3.BCr_Turbocodes| RA&ndash;Coder]].
-*Die Beschreibung des IRA&ndash;Codes basiert aber allein auf der Prüfmatrix $\mathbf{H}$, die sich durch den <i>irregulären Repetition Code</i> in eine für die Decodierung günstige Form bringen lässt.
+*Die Beschreibung des IRA&ndash;Codes basiert aber allein auf der Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$, die sich durch den&nbsp; <i>irregulären Repetition Code</i>&nbsp; in eine für die Decodierung günstige Form bringen lässt.
-*Als äußerer Code wird zudem ein hochratiger BCH&ndash;Code (von '''B'''ose&ndash;'''C'''haudhuri&ndash;'''H'''ocquenghem) verwendet, der den <i>Error Floor</i> herabsetzen soll.<br>
+*Als äußerer Code wird zudem ein hochratiger BCH&ndash;Code (von $\rm B$ose&ndash;$\rm C$haudhuri&ndash;$\rm H$ocquenghem) verwendet, der den&nbsp; <i>Error Floor</i>&nbsp; herabsetzen soll.<br>
 In der Grafik am Seitenanfang nicht eingetragen sind
-*die LDPC&ndash;Codes für den Standard <i>DVB Return Channel Terrestrial</i> (RCS),
+*die LDPC&ndash;Codes für den Standard&nbsp; <i>DVB Return Channel Terrestrial</i> (RCS),
-*die LDPC&ndash;Codes für den WiMax&ndash;Standard (IEEE 802.16), sowie
+*die LDPC&ndash;Codes für den WiMax&ndash;Standard&nbsp; (IEEE 802.16), sowie
-*die LDPC&ndash;Codes für das 10GBASE&ndash;T&ndash;Ethernet,
+*die LDPC&ndash;Codes für das&nbsp; 10GBASE&ndash;T&ndash;Ethernet,
 die gewisse Ähnlichkeiten mit den IRA&ndash;Codes aufweisen.<br>

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 <br>
 [[Datei:P ID3079 KC T 4 4 S4a v5.png|right|frame|Bitfehlerrate von LDPC–Codes]]
-Wir betrachten nun wie in [Str14]<ref name='Str14'>Strutz, T.: ''Low–density Parity–check Codes – Eine Einführung''. Vorlesungsmaterial.  Hochschule für Telekommunikation, Leipzig, 2014. PDF-Dokument [http://www1.hft-leipzig.de/strutz/Kanalcodierung/ldpc_tutorial.pdf PDF-Dokument].</ref> fünf reguläre LDPC&ndash;Codes. Die Grafik zeigt die Bitfehlerrate (BER) abhängig vom AWGN&ndash;Parameter $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0$. Zum Vergleich ist die Kurve für uncodierte Übertragung  eingezeichnet.<br>
+Wir betrachten nun wie in&nbsp; [Str14]<ref name='Str14'>Strutz, T.: ''Low–density Parity–check Codes – Eine Einführung''. Vorlesungsmaterial.  Hochschule für Telekommunikation, Leipzig, 2014. PDF-Dokument [http://www1.hft-leipzig.de/strutz/Kanalcodierung/ldpc_tutorial.pdf PDF-Dokument].</ref>&nbsp; fünf reguläre LDPC&ndash;Codes. Die Grafik zeigt die Bitfehlerrate&nbsp; $\rm (BER)$&nbsp; abhängig vom AWGN&ndash;Parameter&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0$. Zum Vergleich ist auch die Kurve für uncodierte Übertragung  eingezeichnet.<br>
 Diese LDPC&ndash;Codes  zeigen folgende Eigenschaften:
-*Die Prüfmatrizen $\mathbf{H}$ weisen jeweils $n$ Spalten und $m = n/2$ linear voneinander unabhängige Zeilen auf. In jeder Zeile gibt es $w_{\rm Z} = 6$ Einsen und in jeder Spalte $w_{\rm S} = 3$ Einsen.<br>
+*Die Prüfmatrizen&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; weisen jeweils&nbsp; $n$&nbsp; Spalten und&nbsp; $m = n/2$&nbsp; linear voneinander unabhängige Zeilen auf. In jeder Zeile gibt es&nbsp; $w_{\rm Z} = 6$&nbsp; Einsen und in jeder Spalte&nbsp; $w_{\rm S} = 3$&nbsp; Einsen.<br>
-*Der Einsen&ndash;Anteil beträgt $w_{\rm Z}/n = w_{\rm S}/m$, so dass bei großer Codewortlänge $n$ die Klassifizierung &bdquo;<i>Low&ndash;density</i>&rdquo; gerechtfertigt ist. Für die rote Kurve $(n = 2^{10})$ ist der Einsen&ndash;Anteil $0.6\%$.<br>
+*Der Einsen&ndash;Anteil beträgt&nbsp; $w_{\rm Z}/n = w_{\rm S}/m$, so dass bei großer Codewortlänge&nbsp; $n$&nbsp; die Klassifizierung &bdquo;<i>Low&ndash;density</i>&rdquo; gerechtfertigt ist. Für die rote Kurve&nbsp; $(n = 2^{10})$&nbsp; beträgt der Einsen&ndash;Anteil&nbsp; $0.6\%$.<br>
-*Die Rate aller Codes beträgt $R = 1 \, &ndash;w_{\rm S}/w_{\rm Z} = 1/2$. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Matrixzeilen gilt aber auch $R = k/n$ mit der Informationswortlänge $k = n \, &ndash; m = n/2$.<br><br>
+*Die Rate aller Codes beträgt&nbsp; $R = 1 - w_{\rm S}/w_{\rm Z} = 1/2$. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Matrixzeilen gilt aber auch&nbsp; $R = k/n$&nbsp; mit der Informationswortlänge&nbsp; $k = n - m = n/2$.<br><br>
 Aus der Grafik  erkennt man:
-*Die Bitfehlerrate ist um so kleiner, je länger der  Code ist. Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 2 \ \rm dB$ und $n = 2^8 = 256$ ergibt sich ${\rm BER} \approx 10^{-2}$. Für $n = 2^{12} = 4096$ dagegen nur ${\rm BER} \approx 2 \cdot 10^{-7}$.<br>
+*Die Bitfehlerrate ist um so kleiner, je länger der  Code ist:
-*Mit $n = 2^{15} = 32768$ (violette Kurve) benötigt man $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \approx 1.35 \ \rm dB$ für ${\rm BER} = 10^{-5}$. Der Abstand von der  Shannon&ndash;Grenze ($0.18 \ \rm dB$ für $R = 1/2$ und BPSK) beträgt ca. $1.2 \ \rm dB$.
+*Mit&nbsp; $n = 2^{15} = 32768$&nbsp; (violette Kurve) benötigt man&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \approx 1.35 \ \rm dB$&nbsp; für&nbsp; ${\rm BER} = 10^{-5}$.
 <br clear=all>
-Die Kurven für $n = 2^8$ bis $n = 2^{10}$ weisen zudem auf einen Effekt hin, den wir schon bei den [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Leistungsf.C3.A4higkeit_der_Turbocodes| Turbocodes]] festgestellt haben:
+[[Datei:P ID3080 KC T 4 4 S4b v4.png|right|frame| &bdquo;Waterfall Region & Error Floor&rdquo;]]
-[[Datei:P ID3080 KC T 4 4 S4b v4.png|right|frame| „Waterfall Region” & „Error Floor”]]
+Die Kurven für&nbsp; $n = 2^8$&nbsp; bis&nbsp; $n = 2^{10}$&nbsp; weisen zudem auf einen Effekt hin, den wir schon bei den&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Leistungsf.C3.A4higkeit_der_Turbocodes| Turbocodes]]&nbsp; festgestellt haben:
 Ein (LDPC&ndash;)Code ist immer dann als gut zu bezeichnen, wenn
 * die BER&ndash;Kurve nahe der Shannon&ndash;Grenze steil abfällt,<br>
-* der &bdquo;Error Floor&rdquo;  bei sehr niedrigen BER&ndash;Werten liegt (Ursachen hierfür siehe nächste Seite, Beispiel 5),<br>
+* der &bdquo;Error Floor&rdquo;  bei sehr niedrigen BER&ndash;Werten liegt (Ursachen hierfür siehe nächste Seite,&nbsp; $\text{Beispiel 5)}$,<br>
 * die  Anzahl der erforderlichen Iterationen handhabbar ist, und<br>

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 == Iterative Decodierung von LDPC–Codes ==
 <br>
-Als Beispiel für die iterative LDPC&ndash;Decodierung wird nun der so genannte <i>Message&ndash;passing Algorithm</i> beschrieben. Wir verdeutlichen diesen anhand des rechten Tanner&ndash;Graphen im [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes#Zweiteilige_LDPC.E2.80.93Graphenrepr.C3.A4sentation_.E2.80.93_Tanner|Beispiel 3]] auf der  vorherigen Seite und damit für die dort angegebene reguläre Prüfmatrix.<br>
+Als Beispiel für die iterative LDPC&ndash;Decodierung wird nun der so genannte&nbsp; <i>Message&ndash;passing Algorithm</i>&nbsp; beschrieben. Wir verdeutlichen diesen anhand des rechten Tanner&ndash;Graphen im&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Low%E2%80%93density_Parity%E2%80%93check_Codes#Zweiteilige_LDPC.E2.80.93Graphenrepr.C3.A4sentation_.E2.80.93_Tanner|$\text{Beispiel 3}$]]&nbsp; auf der  vorherigen Seite und damit für die dort angegebene reguläre Prüfmatrix.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Prinzip:}$&nbsp; Beim <b>Message&ndash;passing Algorithm</b>  erfolgt abwechselnd (oder iterativ) ein Informationsaustausch zwischen den <i>Variable Nodes </i> (VNs) $V_1, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ V_n$ und den <i>Check Nodes </i> (CNs) $C_1 , \ \text{...}\hspace{0.05cm}  , \ C_m$.}}<br>
+$\text{Prinzip:}$&nbsp; Beim&nbsp; <b>Message&ndash;passing Algorithm</b>&nbsp;  erfolgt abwechselnd (oder iterativ) ein Informationsaustausch zwischen den <i>Variable Nodes </i>&nbsp; (VNs)&nbsp; $V_1, \ \text{...}\hspace{0.05cm} , \ V_n$&nbsp; und den <i>Check Nodes </i>&nbsp; (CNs)&nbsp; $C_1 , \ \text{...}\hspace{0.05cm}  , \ C_m$.}}<br>
 [[Datei:P ID3075 KC T 4 4 S3a v1.png|center|frame|Iterative Decodierung von LDPC–Codes|class=fit]]
 Für das betrachtete Beispiel gilt:
-*Es gibt $n = 8$ <i>Variable Nodes </i> und $m = 4$ <i>Check Nodes </i>. Da ein regulärer LDPC&ndash;Code vorliegt, gehen von jedem <i>Variable Node </i> $d_{\rm V} = 2$ Verbindungslinien zu einem <i>Check Node </i> und jeder <i>Check Node </i>  ist mit $d_{\rm C} = 4$ <i>Variable Nodes </i> verbunden.
+*Es gibt&nbsp; $n = 8$&nbsp; <i>Variable Nodes </i> und&nbsp; $m = 4$&nbsp; <i>Check Nodes </i>. Da ein regulärer LDPC&ndash;Code vorliegt, gehen von jedem <i>Variable Node </i>&nbsp; $d_{\rm V} = 2$&nbsp; Verbindungslinien zu einem <i>Check Node </i>&nbsp; und jeder <i>Check Node </i>&nbsp;  ist mit&nbsp; $d_{\rm C} = 4$&nbsp; <i>Variable Nodes </i> verbunden.
-*Der <i>Variable Node Degree</i> $d_{\rm V}$ ist gleich dem Hamming&ndash;Gewicht einer jeden Spalte $(w_{\rm S})$ und für den <i>Check Node Degree</i> gilt: &nbsp; $d_{\rm C} = w_{\rm Z}$ (Hamming&ndash;Gewicht einer jeden Zeile).
+*Der <i>Variable Node Degree</i>&nbsp; $d_{\rm V}$&nbsp; ist gleich dem Hamming&ndash;Gewicht einer jeden Spalte&nbsp; $(w_{\rm S})$&nbsp; und für den <i>Check Node Degree</i>&nbsp; gilt: &nbsp; $d_{\rm C} = w_{\rm Z}$ (Hamming&ndash;Gewicht einer jeden Zeile).
-*In der folgenden Beschreibung verwenden wir auch die Begriffe <i>Nachbarn eines Variable Nodes</i> &nbsp;&#8658;&nbsp; $N(V_i)$ sowie <i>Nachbarn eines Check Nodes</i> &nbsp; &#8658;&nbsp; $N(C_j)$, wobei wir uns hier auf  implizite Definitionen beschränken:
+*In der folgenden Beschreibung verwenden wir auch die Begriffe <i>Nachbarn eines Variable Nodes</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; $N(V_i)$&nbsp; sowie <i>Nachbarn eines Check Nodes</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; $N(C_j)$, wobei wir uns hier auf  implizite Definitionen beschränken:
-::<math>N(V_1) \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \{ C_1, C_2\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}N(V_1) = \{ C_3, C_4\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.15cm},\hspace{0.3cm}N(V_8) = \{ C_1, C_4\}\hspace{0.05cm},</math>
+::<math>N(V_1) = \{ C_1, C_2\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}N(V_2) = \{ C_3, C_4\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.15cm},\hspace{0.3cm}N(V_8) = \{ C_1, C_4\}\hspace{0.05cm},</math>
-::<math>N(C_1) \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \{ V_1, V_4, V_5, V_8\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.15cm}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}N(C_4) = \{ V_2, V_3, V_6, V_8\}\hspace{0.05cm}.</math>
+::<math>N(C_1) = \{ V_1, V_4, V_5, V_8\}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.05cm}.\hspace{0.15cm}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}N(C_4) = \{ V_2, V_3, V_6, V_8\}\hspace{0.05cm}.</math>
-[[Datei:P ID3085 KC T 4 4 S3c v2.png|right|frame|Informationsaustausch zwischen VNs und CNs]]
+[[Datei:P ID3085 KC T 4 4 S3c v2.png|right|frame|Informationsaustausch zwischen <i>Variable Nodes</i>&nbsp; und <i>Check Nodes </i>]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Die Skizze aus [Liv15]<ref name='Liv15'>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref> zeigt den Austausch von Information zwischen dem <i>Variable Node</i> $V_i$ und dem <i>Check Node</i> $C_j$ &ndash; ausgedrückt durch [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Log&ndash;Likelihood Ratios]] (kurz: $L$&ndash;Werte). Der Informationsaustausch geschieht in zwei Richtungen:
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Die Skizze aus&nbsp; [Liv15]<ref name='Liv15'>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>&nbsp; zeigt den Austausch von Information zwischen dem <i>Variable Node</i>&nbsp; $V_i$&nbsp; und dem <i>Check Node</i>&nbsp; $C_j$&nbsp; &ndash; ausgedrückt durch&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Log&ndash;Likelihood Ratios]]&nbsp; (kurz: $L$&ndash;Werte).
 *<b>$L(V_i &#8594; C_j)$</b>:&nbsp; Extrinsische Information aus $V_i$&ndash;Sicht, &nbsp;Apriori&ndash;Information aus $C_j$&ndash;Sicht.<br>
 Die Beschreibung des Decodieralgorithmus wird fortgesetzt:<br>
-<b>Initialisierung:</b> Zu Beginn der Decodierung erhalten die <i>Variable Nodes</i> (VNs) keine Apriori&ndash;Information von den <i>Check Nodes</i> (CNs), und es gilt für $1 &#8804; i &#8804; n \text{:} \, \, L(V_i &#8594; C_j) = L_{\rm K}(V_i)$. Wie aus der Grafik am Seitenbeginn ersichtlich, ergeben sich diese Kanal&ndash;$L$&ndash;Werte $L_{\rm K}(V_i)$ aus den Empfangswerten $y_i$.<br><br>
+<b>Initialisierung:</b>&nbsp; Zu Beginn der Decodierung erhalten die <i>Variable Nodes</i>&nbsp; (VNs) keine Apriori&ndash;Information von den <i>Check Nodes</i>&nbsp; (CNs), und es gilt für&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; n \text{:}$ &nbsp;
-<b>Check Node Decoder</b>: Jeder Knoten $C_j$ repräsentiert eine Prüfgleichung. So steht $C_1$ für die Gleichung $V_1 + V_4 + V_5 + V_8 = 0$.  Man erkennt den Zusammenhang zur extrinsischen Information bei der symbolweisen Decodierung des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>. In Analogie zur Seite  [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte| Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]] und [[Aufgabe 4.4]] gilt somit für den extrinsischen $L$&ndash;Wert von $C_j$ und gleichzeitig für die Apriori&ndash;Information bezüglich $V_i$:
+<b>Check Node Decoder</b>:&nbsp; Jeder Knoten&nbsp; $C_j$&nbsp; repräsentiert eine Prüfgleichung. So steht&nbsp; $C_1$&nbsp; für die Gleichung&nbsp; $V_1 + V_4 + V_5 + V_8 = 0$.  Man erkennt den Zusammenhang zur extrinsischen Information bei der symbolweisen Decodierung des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>.
 ::<math>L(C_j \rightarrow V_i) = 2 \cdot  {\rm tanh}^{-1}\left  [ \prod\limits_{V \in N(C_j)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} V \ne V_i} \hspace{-0.35cm}{\rm tanh}\left [L(V \rightarrow C_j \right ] /2) \right ]
   \hspace{0.05cm}.</math>
-In Analogie zu  zur Seite  [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zur_Berechnung_der_extrinsischen_L.E2.80.93Werte| Zur Berechnung der extrinsischen L&ndash;Werte]]  gilt für den extrinsischen $L$&ndash;Wert von $V_i$ und gleichzeitig für die Apriori&ndash;Information bezüglich $C_j$:
+<b>Variable Node Decoder</b>:&nbsp; Im Gegensatz zum <i>Check Node Decoder</i>&nbsp; (CND) besteht beim <i>Variable Node Decoder</i>&nbsp; (VND) eine Verwandtschaft zur Decodierung eines <i>Repetition Codes</i>, weil alle mit&nbsp; $V_i$&nbsp; verbundenen <i>Check Nodes</i>&nbsp; $C_j$&nbsp; demselben Bit  entsprechen &nbsp; &#8658; &nbsp; dieses Bit wird quasi&nbsp; $d_{\rm V}$&nbsp; mal wiederholt.<br>
 ::<math>L(V_i  \rightarrow C_j) = L_{\rm K}(V_i) + \hspace{-0.55cm} \sum\limits_{C \hspace{0.05cm}\in\hspace{0.05cm} N(V_i)\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} C \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} C_j} \hspace{-0.55cm}L(C \rightarrow V_i)
   \hspace{0.05cm}.</math>
-Das folgende Schaubild des beschriebenen Decodieralgorithmus' für LDPC&ndash;Codes zeigt Ähnlichkeiten mit der Vorgehensweise bei [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Seriell_verkettete_Turbocodes_.E2.80.93_SCCC| seriell verketteten Turbocodes]].
+Das folgende Schaubild des beschriebenen Decodieralgorithmus' für LDPC&ndash;Codes zeigt Ähnlichkeiten mit der Vorgehensweise bei&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes#Seriell_verkettete_Turbocodes_.E2.80.93_SCCC| seriell verketteten Turbocodes]].
 * Um eine vollständige Analogie zwischen der LDPC&ndash; und der Turbodecodierung herzustellen, ist auch hier zwischen dem <i>Variable Node Decoder</i> (VND) und dem <i>Check Node Decoder</i> (CND) ein <i>Interleaver</i> sowie ein <i>De&ndash;Interleaver</i> eingezeichnet.
 *Da es sich hierbei nicht um reale Systemkomponenten handelt, sondern nur um Analogien, haben wir diese Begriffe in Hochkommata gesetzt.<br>
 == Leistungsfähigkeit regulärer LDPC–Codes ==

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == Einige Charakteristika der LDPC–Codes ==
 <br>
-Die <i>Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes</i> &ndash; kurz LDPC&ndash;Codes &ndash; wurden bereits Anfang der 1960er Jahre erfunden und gehen auf die Dissertation [Gal63]<ref name ='Gal63'>Gallager, R. G.: ''Low–density Parity–check Codes.'' MIT Press, Cambridge, MA, 1963.</ref> von [https://de.wikipedia.org/wiki/Robert_Gray_Gallager Robert G. Gallager] zurück.<br>
+Die&nbsp; <i>Low&ndash;density Parity&ndash;check Codes</i>&nbsp; &ndash; kurz &nbsp;'''LDPC&ndash;Codes'''&nbsp; &ndash; wurden bereits Anfang der 1960er Jahre erfunden und gehen auf die Dissertation&nbsp; [Gal63]<ref name ='Gal63'>Gallager, R. G.: ''Low–density Parity–check Codes.'' MIT Press, Cambridge, MA, 1963.</ref> von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Robert_Gray_Gallager Robert G. Gallager]&nbsp; zurück.<br>
-Die Idee kam allerdings aufgrund der damaligen Prozessorentechnologie um einige Jahrzehnte zu früh. Schon drei Jahre nach Berrou's Erfindung der Turbocodes 1993 erkannten dann allerdings [https://de.wikipedia.org/wiki/David_MacKay David J. C. MacKay] und [https://en.wikipedia.org/wiki/Radford_M._Neal Radford M. Neal] das riesige Potential der LDPC&ndash;Codes, wenn man diese ebenso wie die Turbocodes iterativ symbolweise decodiert. Sie erfanden die LDPC&ndash;Codes quasi neu.<br>
+Die Idee kam allerdings aufgrund der damaligen Prozessorentechnologie um einige Jahrzehnte zu früh. Schon drei Jahre nach Berrou's Erfindung der Turbocodes 1993 erkannten dann allerdings&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/David_MacKay David J. C. MacKay]&nbsp; und&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Radford_M._Neal Radford M. Neal]&nbsp; das riesige Potential der LDPC&ndash;Codes, wenn man diese ebenso wie die Turbocodes iterativ symbolweise decodiert. Sie erfanden die LDPC&ndash;Codes quasi neu.<br>
-Wie aus dem Namensbestandteil &bdquo;Parity&ndash;check&rdquo; bereits hervorgeht, handelt es sich bei diesen Codes um lineare Blockcodes entsprechend den Ausführungen im [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_ERSTEN_HAUPTKAPITEL_.23|ersten  Hauptkapitel ]]. Deshalb gilt auch hier:
+Wie aus dem Namensbestandteil &bdquo;Parity&ndash;check&rdquo; bereits hervorgeht, handelt es sich bei diesen Codes um lineare Blockcodes entsprechend den Ausführungen im&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_ERSTEN_HAUPTKAPITEL_.23|ersten  Hauptkapitel ]]. Deshalb gilt auch hier:
-*Das Codewort ergibt sich aus dem Informationswort $\underline{u}$ (dargestellt mit $k$ Binärsymbolen) und der [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix| Generatormatrix]] $\mathbf{G}$ der Dimension $k &times; n$ zu $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ &nbsp;&#8658;&nbsp; Codewortlänge $n$.<br>
+*Das Codewort ergibt sich aus dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; (dargestellt mit&nbsp; $k$&nbsp; Binärsymbolen) und der&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix| Generatormatrix]]&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; der Dimension&nbsp; $k &times; n$&nbsp; zu&nbsp; $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Codewortlänge&nbsp; $n$.<br>
-*Die Prüfgleichungen ergeben sich aus der Identität $\underline{x} \cdot \mathbf{H}^{\rm T} &equiv; 0$, wobei $\mathbf{H}$ die Prüfmatrix bezeichnet. Diese besteht aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Während im ersten Kapitel grundsätzlich $m = n -k$ gegolten hat, fordern wir für die LPDC&ndash;Codes lediglich noch $m &#8805; n -k$.<br><br>
+*Die Prüfgleichungen ergeben sich aus der Identität&nbsp; $\underline{x} \cdot \mathbf{H}^{\rm T} &equiv; 0$, wobei&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; die Prüfmatrix bezeichnet. Diese besteht aus&nbsp; $m$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten. Während im ersten Kapitel grundsätzlich&nbsp; $m = n -k$&nbsp; gegolten hat, fordern wir für die LPDC&ndash;Codes lediglich noch&nbsp; $m &#8805; n -k$.<br><br>
-Ein gravierender Unterschied zwischen einem LDPC&ndash;Code und einem herkömmlichen Blockcode nach der Beschreibung im ersten Kapitel ist, dass die Prüfmatrix $\mathbf{H}$ nur spärlich mit Einsen besetzt ist.<br>
+Ein gravierender Unterschied zwischen einem LDPC&ndash;Code und einem herkömmlichen Blockcode nach der Beschreibung im ersten Kapitel ist, dass die Prüfmatrix&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; nur spärlich mit Einsen besetzt ist&nbsp;  (&bdquo;''Low–density''&rdquo;).<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt beispielhaft die Prüfmatrizen $\mathbf{H}$ für
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt beispielhaft die Prüfmatrizen&nbsp; $\mathbf{H}$&nbsp; für
-*den Hamming&ndash;Code mit Codelänge $n = 15, \ m = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $k = 11$ Informationsbits,<br>
+*den Hamming&ndash;Code mit Codelänge&nbsp; $n = 15, \ m = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $k = 11$&nbsp; Informationsbits,<br>
-*den LDPC&ndash;Code aus [Liv15]<ref name='Liv15'>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref> der Länge $n = 12$ und mit $m = 9$ Prüfgleichungen &nbsp; &#8658; &nbsp; $k &#8805; 3$.<br><br>
+*den LDPC&ndash;Code aus&nbsp; [Liv15]<ref name='Liv15'>Liva, G.: ''Channels Codes for Iterative Decoding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2015.</ref>&nbsp; der Länge&nbsp; $n = 12$&nbsp; und mit&nbsp; $m = 9$&nbsp; Prüfgleichungen &nbsp; &#8658; &nbsp; $k &#8805; 3$.<br><br>
 [[Datei:P ID3065 KC T 4 4 S1a v3 einfacher Rahmen.png|center|frame|Prüfmatrizen eines Hamming–Codes und eines LDPC–Codes|class=fit]]
-*In der linken Grafik beträgt der Anteil der Einsen $32/60 \approx 53.3\%$, wohingegen in der rechten Grafik der Einsen&ndash;Anteil mit $36/108 = 33.3\%$ geringer ist.
+*In der linken Grafik beträgt der Anteil der Einsen&nbsp; $32/60 \approx 53.3\%$, wohingegen in der rechten Grafik der Einsen&ndash;Anteil mit&nbsp; $36/108 = 33.3\%$&nbsp; geringer ist.
 *Bei den für die Praxis relevanten LDPC&ndash;Codes (großer Länge) ist der Einsen&ndash;Anteil noch deutlich niedriger.<br>}}<br>
-Wir analysieren nun die beiden Prüfmatrizen anhand der Rate und des Hamming&ndash;Gewichts:<br>
+*Beim betrachteten LDPC&ndash;Code gibt es in allen Zeilen vier Einsen &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm Z} = 4$&nbsp; und in allen Spalten drei Einsen &nbsp; &#8658; &nbsp; $w_{\rm S} = 3$. Die Codebezeichnung&nbsp; $(w_{\rm Z}, \ w_{\rm S})$&nbsp; LDPC&ndash;Code verwendet genau diese Parameter. Beachten Sie die unterschiedliche Nomenklatur zum &bdquo;$(n, \ k, \ m)$ Hamming&ndash;Code&rdquo;.
-*Beim betrachteten LDPC&ndash;Code gibt es in allen Zeilen vier Einsen &nbsp;&#8658;&nbsp; $w_{\rm Z} = 4$ und in allen Spalten drei Einsen &#8658; $w_{\rm S} = 3$. Die Codebezeichnung $(w_{\rm Z}, \ w_{\rm S})$ LDPC&ndash;Code verwendet genau diese Parameter. Beachten Sie die unterschiedliche Nomenklatur zum &bdquo;$(n, \ k, \ m)$ Hamming&ndash;Code&rdquo;.
+*Man spricht hier von einem&nbsp; <b>regulären LDPC&ndash;Code</b>, da alle Zeilengewichte&nbsp; $w_{\rm Z}(j)$&nbsp; für&nbsp; $1 &#8804; j &#8804; m$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $w_{\rm Z}$ sind und auch alle Spaltengewichte $($mit den Indizes&nbsp; $1 &#8804; i &#8804; n)$&nbsp; gleich sind: &nbsp;  $w_{\rm S}(i) = w_{\rm S} = {\rm const.}$ Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so liegt ein <i>irregulärer LDPC&ndash;Code</i> vor.
-*Für die Coderate kann man allgemein (wenn $k$ nicht bekannt ist) nur eine Schranke angeben: &nbsp; <b>$R &#8805; 1 - w_{\rm S}/w_{\rm Z}$</b>. Das Gleichheitszeichen gilt dann, wenn alle Zeilen von $\mathbf{H}$ linear unabhängig sind &nbsp;&#8658;&nbsp; $m = n \, &ndash; k$. Dann ergibt sich die herkömmliche Gleichung:
+{{BlaueBox|TEXT=
 :$$R = 1 -  w_{\rm S}/w_{\rm Z} = 1 - m/n = k/n.$$
@@ Zeile 48: / Zeile 52: @@
 \hspace{0.5cm}{\rm und}\hspace{0.5cm}
 {\rm E}[w_{\rm Z}] =\frac{1}{m} \cdot  \sum_{j = 1}^{ m}w_{\rm Z}(j)
-\hspace{0.05cm}.</math>
+\hspace{0.05cm}.</math>}}
-:Da beim Hamming&ndash;Code die $m = n \, &ndash; k$ Prüfgleichungen linear voneinander unabhängig sind, kann das &bdquo;$&#8805;$&rdquo;&ndash;Zeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden, was gleichzeitig $R = k/n$ bedeutet.<br><br>
+:Da beim Hamming&ndash;Code die $m = n \, &ndash; k$ Prüfgleichungen linear voneinander unabhängig sind, kann das &bdquo;$&#8805;$&rdquo;&ndash;Zeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt werden, was gleichzeitig $R = k/n$ bedeutet.}}<br><br>
 Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie in der  [[Aufgaben:4.11_Analyse_von_Pr%C3%BCfmatrizen| Aufgabe 4.11]] und in der [[Aufgaben:4.11Z_Coderate_aus_der_Pr%C3%BCfmatrix| Aufgabe 4.11Z]].

@@ Zeile 258: / Zeile 258: @@
 == Aufgaben zum Kapitel ==
 <br>
-[[Aufgaben:4.11 Analyse von Prüfmatrizen|Aufgabe 4.11: &nbsp; Analyse von Prüfmatrizen]]
+[[Aufgaben:4.11 Analyse von Prüfmatrizen|Aufgabe 4.11: Analyse von Prüfmatrizen]]
-[[Aufgaben:4.11Z_Coderate_aus_der_Pr%C3%BCfmatrix|Zusatzaufgabe 4.11Z: &nbsp; Coderate aus der Prüfmatrix]]
+[[Aufgaben:4.11Z_Coderate_aus_der_Pr%C3%BCfmatrix|Zusatzaufgabe 4.11Z: Coderate aus der Prüfmatrix]]
-[[Aufgaben:4.12 Regulärer/irregulärer Tanner–Graph|Aufgabe 4.12: &nbsp; Regulärer/irregulärer Tanner–Graph]]
+[[Aufgaben:4.12 Regulärer/irregulärer Tanner–Graph|Aufgabe 4.12: Regulärer/irregulärer Tanner–Graph]]
-[[Aufgaben:4.13 Decodierung von LDPC–Codes|Aufgabe 4.13: &nbsp; Decodierung von LDPC–Codes]]
+[[Aufgaben:4.13 Decodierung von LDPC–Codes|Aufgabe 4.13: Decodierung von LDPC–Codes]]
 ==Quellenverzeichnis==