Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete - Versionsgeschichte

Guenter am 31. Oktober 2022 um 16:47 Uhr

2022-10-31T16:47:02Z

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Guenter am 10. Juli 2018 um 12:58 Uhr

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 == Blockfehlerwahrscheinlichkeit für RSC und BDD ==
 <br>
-Zur Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung  gehen wir vom gleichen Blockschaltbild wie im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed–Solomon–Codierung| Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung]]&nbsp; aus, wobei wir uns hier für den Codewortschätzer&nbsp; $(\underline {y} &#8594; \underline {z})$&nbsp; auf&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#M.C3.B6gliche_Codewortsch.C3.A4tzer:_HD.E2.80.93MLD_bzw._BDD_.281.29| Bounded Distance Decoding]]&nbsp; $\rm (BDD)$&nbsp; beschränken. Für <i>Maximum Likelihood Decoding</i>&nbsp; sind die Ergebnisse geringfügig besser.<br>
+Zur Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung  gehen wir vom gleichen Modell wie im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed–Solomon–Codierung| "Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung"]]&nbsp; aus,&nbsp; wobei wir uns hier für den Codewortschätzer &nbsp; $(\underline {y} &#8594; \underline {z})$ &nbsp; auf&nbsp; [[Kanalcodierung/Fehlerkorrektur_nach_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codierung#M.C3.B6gliche_Codewortsch.C3.A4tzer:_HD.E2.80.93MLD_bzw._BDD_.281.29| "Bounded Distance Decoding"]]&nbsp; $\rm (BDD)$&nbsp; beschränken.&nbsp; Für&nbsp; "Maximum Likelihood Decoding"&nbsp; sind die Ergebnisse geringfügig besser.<br>
-[[Datei:P ID2564 KC T 2 6 S1 v2.png|center|frame|Systemmodell mit Reed–Solomon–Codierung,&nbsp; $m$–BSC&nbsp; und&nbsp; ''Bounded Distance Decoding''|class=fit]]
+[[Datei:P ID2564 KC T 2 6 S1 v2.png|right|frame|Systemmodell mit Reed–Solomon–Codierung,&nbsp; $m$–BSC&nbsp; und&nbsp; Bounded Distance Decoding|class=fit]]
 Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit sei wie folgt definiert:
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 ::<math>{ \rm Pr(Blockfehler)} = { \rm Pr}( \underline{v} \ne \underline{u})= { \rm Pr}( \underline{z} \ne \underline{c}) = { \rm Pr}( f >t) \hspace{0.05cm}.</math>
-Aufgrund der BDD&ndash;Annahme ergibt sich das gleiche einfache Ergebnis wie für die binären Blockcodes, nämlich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl&nbsp; $f$&nbsp; der Fehler im Block (Empfangswort) größer ist als die Korrekturfähigkeit&nbsp; $t$&nbsp; des Codes.
+Aufgrund der BDD&ndash;Annahme ergibt sich das gleiche einfache Ergebnis wie für die binären Blockcodes,&nbsp; nämlich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
-Da  für die Zufallsgröße&nbsp; $f$&nbsp; (Fehleranzahl) eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeiten_der_Binomialverteilung| Binominalverteilung]]&nbsp; im Bereich&nbsp; $0 &#8804; f &#8804; n$&nbsp; vorliegt, erhält man:
+*als die Korrekturfähigkeit&nbsp; $t$&nbsp; des Codes.
 ::<math>{\rm Pr(Blockfehler)}  =
 \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.</math>
-Während aber im ersten Hauptkapitel stets&nbsp; $c_i &#8712; \rm GF(2)$&nbsp; gegolten hat und damit die&nbsp; $f$&nbsp; Übertragungsfehler jeweils Bitfehler waren, versteht man bei Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung unter einem Übertragungsfehler&nbsp; $(y_i \ne c_i)$&nbsp; wegen&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$&nbsp; sowie&nbsp; $y_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$&nbsp; einen <i>Symbolfehler</i>.
+*Während aber im ersten Hauptkapitel stets&nbsp; $c_i &#8712; \rm GF(2)$&nbsp; gegolten hat und damit die&nbsp; $f$&nbsp; Übertragungsfehler jeweils&nbsp; '''Bitfehler''' waren,
 Damit ergeben sich folgende Unterschiede:
@@ Zeile 41: / Zeile 47: @@
 *Damit ergibt sich für das 8&ndash;BSC&ndash;Modell die Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon_{\rm S}  &asymp; 0.57$.
 *Mit der weiteren Annahme, dass die Verfälschung von&nbsp; $c_i  = \beta$&nbsp; in jedes andere Symbol&nbsp; $y_i  = \gamma \ne \beta$&nbsp; gleichwahrscheinlich ist, erhält man:
-:$${\rm Pr}(y_i  = \gamma\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}c_i  = \beta = 0.57/255 &asymp; 0.223\%.$$}}<br>
+:$${\rm Pr}(y_i  = \gamma\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm}c_i  = \beta) = 0.57/255 &asymp; 0.223\%.$$}}<br>
 == Anwendung der Reed–Solomon–Codierung bei binären Kanälen ==
 <br>
 Die Voraussetzungen für die folgende Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Systems mit Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung und Umsetzung auf Binärsymbole sind in der Grafik zusammengefasst:
-*Angenommen wird eine&nbsp; $(n, k)$&ndash;Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung mit Symbolen aus&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$. Je kleiner die Coderate&nbsp; $R=k/m$&nbsp; ist, um so weniger Information kann bei fester Datenrate übertragen werden.<br>
+*Angenommen wird eine&nbsp; $(n, k)$&ndash;Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung mit Symbolen aus&nbsp; $c_i &#8712; {\rm GF}(2^m)$. Je kleiner die Coderate&nbsp; $R=k/n$&nbsp; ist, um so weniger Information kann bei fester Datenrate übertragen werden.<br>
 *Jedes Symbol wird durch&nbsp; $m$&nbsp; Bit binär dargestellt &nbsp; &#8658; &nbsp; <i>Binär&ndash;Mapping</i>. Ein Block&nbsp; $($Codewort &nbsp;$\underline {c} )$&nbsp; besteht somit aus&nbsp; $n$&nbsp; Symbolen bzw. aus&nbsp; $n \cdot m$&nbsp; Binärzeichen (Bit), die  in&nbsp;  $\underline {c}_{\rm bin} $&nbsp; zusammengefasst werden.<br>

@@ Zeile 182: / Zeile 182: @@
 [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Aufgabe 2.15Z: Nochmals RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_2.16:_Entscheidungskriterien_bei_BDD|Aufgabe 2.16: BDD–Entscheidungskriterien bei BDD]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.16:_Entscheidungskriterien_bei_BDD|Aufgabe 2.16: Entscheidungskriterien bei BDD]]
 ==Quellenverzeichnis==

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 == Typische Anwendungen mit Reed–Solomon–Codierung==
 <br>
-Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung wird häufig entsprechend der Grafik zusammen mit einem <i>inneren Code</i>&nbsp; in kaskadierter Form angewandt.
+[[Datei:P ID2575 KC T 2 6 S3a v2.png|right|frame|Codeschema mit Kaskadierung|class=fit]]
-*Der innere Code ist fast immer ein Binärcode und in der Satelliten&ndash; und Mobilkommunikation oft ein Faltungscode.
+Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung wird häufig entsprechend der Grafik zusammen mit einem <i>inneren Code</i>&nbsp; in kaskadierter Form angewandt.
 *Will man nur die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung/Decodierung untersuchen, so ersetzt man in einer Simulation die grau hinterlegten Komponenten durch einen einzigen Block, den man &bdquo;Super Channel&rdquo; nennt.<br>
-[[Datei:P ID2575 KC T 2 6 S3a v2.png|center|frame|Codeschema mit Kaskadierung|class=fit]]
+[[Datei:P ID2579 KC T 2 6 S3b v2.png|right|frame|Interleaver–Matrix für&nbsp; $20 &times; 4$ Symbole|class=fit]]
 Der Interleaver wird zeilenweise beschrieben und spaltenweise ausgelesen (blaue Beschriftung). Beim De&ndash;Interleaver  (grüne Beschriftung) ist die Reihenfolge genau umgekehrt.
 *Die Reed&ndash;Solomon&ndash;Symbole werden also nicht fortlaufend an den inneren Coder weitergeleitet, sondern entsprechend der angegebenen Reihenfolge als Symbol 1, 21, 41, 61, 2, 22, usw. .<br>
-*Auf dem Kanal wird ein zusammenhängender Bereich (hier die Symbole 42, 62, 3, 23, 43, 63, 4, 24 &nbsp; &#8658; &nbsp;  um das rot umrandete Rechteck) zerstört, zum Beispiel durch einen Kratzer auf dem Kanal &bdquo;Speichermedium&rdquo;.<br>
+*Auf dem Kanal wird ein zusammenhängender Bereich (hier die Symbole 42, 62, 3, 23, 43, 63, 4, 24 &nbsp; &#8658; &nbsp;  um das unten rot umrandete Rechteck) zerstört, zum Beispiel durch einen Kratzer auf dem Kanal &bdquo;Speichermedium&rdquo;.<br>
 *Nach dem De&ndash;Interleaving ist die Symbolreihenfolge wieder 1, 2, 3, ... &nbsp; &nbsp; Man erkennt an den rot umrandeten Kreisen, dass nun dieses Fehlerbündel weitgehend &bdquo;aufgebrochen&rdquo; wurde.}}
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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Eine sehr weit verbreitete Anwendung von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung &ndash; und zudem die kommerziell erfolgreichste &ndash; ist die <i>Compact Disc</i>&nbsp; $\rm (CD)$, deren Fehlerkorrekturmechanismus bereits im [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Die_.E2.80.9EGeschlitzte_CD.E2.80.9D_.E2.80.93_eine_Demonstration_des_LNT_der_TUM| Einführungkapitel]] dieses Buches beschrieben wurde. Hier ist der innere Code ebenfalls ein Reed&ndash;Solomon&ndash;Code, und das verkette Codiersystem lässt sich wie folgt beschreiben:
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Eine sehr weit verbreitete Anwendung von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung &ndash; und zudem die kommerziell erfolgreichste &ndash; ist die <i>Compact Disc</i>&nbsp; $\rm (CD)$, deren Fehlerkorrekturmechanismus bereits im&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Die_.E2.80.9EGeschlitzte_CD.E2.80.9D_.E2.80.93_eine_Demonstration_des_LNT_der_TUM| Einführungkapitel]]&nbsp; dieses Buches beschrieben wurde. Hier ist der innere Code ebenfalls ein Reed&ndash;Solomon&ndash;Code, und das verkette Codiersystem lässt sich wie folgt beschreiben:
-*Beide Kanäle des Stereo&ndash;Audiosignals werden mit je $\text{44.1 kHz}$ abgetastet und jeder einzelne Abtastwert wird mit $32$ Bit (vier Byte) digital dargestellt.<br>
+*Beide Kanäle des Stereo&ndash;Audiosignals werden mit je&nbsp; $\text{44.1 kHz}$&nbsp; abgetastet und jeder einzelne Abtastwert wird mit&nbsp; $32$&nbsp; Bit (vier Byte) digital dargestellt.<br>
-*Die Gruppierung von sechs Samples ergibt einen Rahmen ($192$ Bit) und damit $24$ Codesymbole aus dem Galoisfeld  $\rm GF(2^8)$. Jedes Codesymbol entspricht somit genau einem Byte.<br>
+*Die Gruppierung von sechs Samples ergibt einen Rahmen&nbsp; $(192$&nbsp; Bit$)$ und damit&nbsp; $24$&nbsp; Codesymbole aus dem Galoisfeld&nbsp;  $\rm GF(2^8)$. Jedes Codesymbol entspricht somit genau einem Byte.<br>
-*Der erste Reed&ndash;Solomon&ndash;Code mit der Rate $R_1 = 24/28$ liefert $28$ Byte, die einem Interleaver der Größe $28 &times; 109$ Byte zugeführt werden. Das Auslesen erfolgt (kompliziert) diagonal.<br>
+*Der erste Reed&ndash;Solomon&ndash;Code mit der Rate&nbsp; $R_1 = 24/28$&nbsp; liefert&nbsp; $28$&nbsp; Byte, die einem Interleaver der Größe&nbsp; $28 &times; 109$&nbsp; Byte zugeführt werden. Das Auslesen erfolgt (kompliziert) diagonal.<br>
-*Der Interleaver verteilt zusammenhängende Bytes großräumig über die gesamte Disk. Dadurch werden so genannte Bursts &bdquo;aufgelöst&rdquo;, die zum Beispiel durch Kratzer auf der $\rm CD$ herrühren.<br>
+*Der Interleaver verteilt zusammenhängende Bytes großräumig über die gesamte Disk. Dadurch werden so genannte Bursts &bdquo;aufgelöst&rdquo;, die zum Beispiel durch Kratzer auf der&nbsp; $\rm CD$&nbsp; herrühren.<br>
-*Zusammen mit dem zweiten Reed&ndash;Solomon&ndash;Code (Rate $R_2 =   28/32$) ergibt sich eine Gesamtrate von $R = (24/28) &middot; (28/32) = 3/4$. Beide Codes können jeweils $t = 2$ Symbolfehler korrigieren.<br>
+*Zusammen mit dem zweiten Reed&ndash;Solomon&ndash;Code&nbsp; $($Rate $R_2 =   28/32)$&nbsp; ergibt sich eine Gesamtrate von&nbsp; $R = (24/28) &middot; (28/32) = 3/4$. Beide Codes können jeweils&nbsp; $t = 2$&nbsp; Symbolfehler korrigieren.<br>
-*Die beiden Komponentencodes $\text{RSC (28, 24, 5)}$ und $\text{RSC (32, 28, 5)}$ basieren jeweils auf dem Galoisfeld $\rm GF(2^8)$, was eigentlich die Codelänge $n = 255$ bedeuten würde.<br>
+*Die beiden Komponentencodes&nbsp; $\text{RSC (28, 24, 5)}$&nbsp; und&nbsp; $\text{RSC (32, 28, 5)}$&nbsp; basieren jeweils auf dem Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2^8)$, was eigentlich die Codelänge&nbsp; $n = 255$&nbsp; bedeuten würde.<br>
-*Die hier benötigten kürzeren Komponentencodes ergeben sich aus aus dem $\text{RSC (255, 251, 5)}_{256}$ durch <i>Shortening</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe [[Aufgaben:Aufgabe_1.09Z:_Erweiterung_und/oder_Punktierung|Aufgabe 1.9Z]]. Durch diese Maßnahme wird die minimale Distanz $d_{\rm min}= 5$ nicht verändert.<br>
+*Die hier benötigten kürzeren Komponentencodes ergeben sich aus aus dem&nbsp; $\text{RSC (255, 251, 5)}_{256}$&nbsp; durch <i>Shortening</i> &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.09Z:_Erweiterung_und/oder_Punktierung|Aufgabe 1.9Z]]. Durch diese Maßnahme wird aber die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min}= 5$&nbsp; nicht verändert.<br>
-*Mit der anschließenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Eight-to-Fourteen-Modulation Eight&ndash;to&ndash;Fourteen&ndash;Modulation] und weiterer Kontrollsymbole kommt man schließlich zur endgültigen Coderate $ R = 192/588 &asymp; 0.326$ der CD&ndash;Datenkomprimierung.<br><br>
+*Mit der anschließenden&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Eight-to-Fourteen-Modulation Eight&ndash;to&ndash;Fourteen&ndash;Modulation]&nbsp; und weiterer Kontrollsymbole kommt man schließlich zur endgültigen Coderate&nbsp; $ R = 192/588 &asymp; 0.326$&nbsp; der CD&ndash;Datenkomprimierung.<br><br>
-Auf der Seite [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Die_.E2.80.9EGeschlitzte_CD.E2.80.9D_.E2.80.93_eine_Demonstration_des_LNT_der_TUM |Geschlitzte CD]] kann man sich anhand eines Audio&ndash;Beispiels von der Korrekturfähigkeit dieser <i>cross&ndash;interleaved Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung</i> überzeugen, aber auch deren Grenzen erkennen.}}<br>
+Auf der Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Die_.E2.80.9EGeschlitzte_CD.E2.80.9D_.E2.80.93_eine_Demonstration_des_LNT_der_TUM |Geschlitzte CD]]&nbsp; kann man sich anhand eines Audio&ndash;Beispiels von der Korrekturfähigkeit dieser <i>cross&ndash;interleaved Reed&ndash;Solomon&ndash;Codierung</i>&nbsp; überzeugen, aber auch deren Grenzen erkennen.}}<br>
 == Aufgaben zum Kapitel==

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 [[Datei:P ID2565 KC T 2 6 S2a v2.png|right|frame|Anwendung der Reed–Solomon–Codierung bei Binärkanälen|class=fit]]
-Die auf der letzten Seite angegebene Gleichung <br>(gültig für <i>Bounded Distance Decoding</i>),
+Die auf der letzten Seite angegebene Gleichung (gültig für <i>Bounded Distance Decoding</i>),
 ::<math>{\rm Pr(Blockfehler)}  =
 \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Für die Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; des BSC&ndash;Modells&nbsp; sowie&nbsp; $\varepsilon_{\rm S}$&nbsp; des 8&ndash;BSC&ndash;Modells erhält man mit
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Man erhält mit
 *&nbsp;$R=k/n = 239/255 = 0.9373$,
 *&nbsp;$10 \cdot \lg  \ E_{\rm B}/N_0 = 7 \, \rm dB$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $E_{\rm B}/N_0 &asymp; 5$,&nbsp;  und
 *&nbsp; $n = 2^8-1$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $m = 8$
-die folgenden Werte:
 :$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{2 \cdot 0.9373 \cdot 5} \big ) =  {\rm Q} \big (3.06\big ) \approx 1.1 \cdot 10^{-3}=0.11 \cdot \%$$
 :$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}  \varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - 1.1 \cdot 10^{-3})^8 = 1 - 0.9989^8 = 1 - 0.9912 \approx 0.88 \cdot \%
-\hspace{0.05cm}.$$
+\hspace{0.2cm}(\approx 8 \cdot \varepsilon)\hspace{0.05cm}.$$
 Jedes einzelne Symbol wird also mit mehr als $99$&ndash;prozentiger Wahrscheinlichkeit fehlerfrei übertragen.}}<br>
@@ Zeile 89: / Zeile 90: @@
 == BER der Reed–Solomon–Codierung bei binären Kanälen ==
 <br>
-Die folgende Grafik zeigt die in [Liv10]<ref name='Liv10'>Liva, G.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref> angegebenen Blockfehlerwahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit des AWGN&ndash;Quotienten $10 \cdot \lg  \ E_{\rm B}/N_0$.
+Die folgende Grafik zeigt die in&nbsp; [Liv10]<ref name='Liv10'>Liva, G.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref>&nbsp; angegebenen Blockfehlerwahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit des AWGN&ndash;Quotienten&nbsp; $10 \cdot \lg  \ E_{\rm B}/N_0$.
-[[Datei:P ID2566 KC T 2 6 S2b v1.png|righr|frame|Blockfehlerwahrscheinlichkeit zweier Reed–Solomon–Codes der Länge $n = 255$|class=fit]]
+[[Datei:P ID2566 KC T 2 6 S2b v1.png|righr|frame|Blockfehlerwahrscheinlichkeit zweier Reed–Solomon–Codes der Länge&nbsp; $n = 255$|class=fit]]
-Dargestellt sind die berechneten Kurvenverläufe ${ \rm Pr}( \underline{v} \ne \underline{u})$ für zwei verschiedene Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes entsprechend den <i>Deep Space Standards</i> nach CCSDS (<i>Consultative Committee for Space Data Systems</i>), nämlich
+Dargestellt sind die berechneten Kurvenverläufe&nbsp; ${ \rm Pr}( \underline{v} \ne \underline{u})$&nbsp; für zwei verschiedene Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes entsprechend den <i>Deep Space Standards</i>&nbsp; nach CCSDS (<i>Consultative Committee for Space Data Systems</i>), nämlich
-*dem $\text{RSC (255, 239, 17)}_{256}$ mit $R=0.9373$, der bis zu $t = 8$ Fehler korrigieren kann, und<br>
+*dem&nbsp; $\text{RSC (255, 239, 17)}_{256}$&nbsp; mit&nbsp; $R=0.9373$, der bis zu&nbsp; $t = 8$&nbsp; Fehler korrigieren kann, und<br>
-*dem $\text{RSC (255, 223, 33)}_{256}$ mit höherer Korrekturfähigkeit $(t = 16)$ aufgrund kleinerer Coderate.
+*dem&nbsp; $\text{RSC (255, 223, 33)}_{256}$&nbsp; mit höherer Korrekturfähigkeit&nbsp; $(t = 16)$&nbsp; aufgrund kleinerer Coderate.
-''Hinweis'': &nbsp; Die nachfolgend nur angedeutete Berechnung sollen Sie in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.15:_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit_bei_AWGN|Aufgabe 2.15]] für den $\text{RSC (7, 3, 5)}_{8}$ &ndash; also für etwas übersichtlichere Parameter &ndash; vollständig durchführen.
+''Hinweis'': &nbsp; Die nachfolgend nur angedeutete Berechnung sollen Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.15:_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit_bei_AWGN|Aufgabe 2.15]]&nbsp; für den&nbsp; $\text{RSC (7, 3, 5)}_{8}$&nbsp; &ndash; also für etwas übersichtlichere Parameter &ndash; vollständig durchführen.
 <br clear=all>
-Wir analysieren den in der Grafik gelb hinterlegten Punkt, gültig für den $\text{RSC (255, 239, 17)}_{256}$, und $10 \cdot \lg  \ E_{\rm B}/N_0 = 7.1 \,\rm dB$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\varepsilon = 0.007$. Die dazugehörige Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich entsprechend der Grafik zu
+Wir analysieren den in der Grafik gelb hinterlegten Punkt, gültig für den&nbsp; $\text{RSC (255, 239, 17)}_{256}$&nbsp; und&nbsp; $10 \cdot \lg  \ E_{\rm B}/N_0 = 7.1 \,\rm dB$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\varepsilon = 0.007$. Die dazugehörige Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich entsprechend der Grafik zu
 ::<math>{\rm Pr(Blockfehler)}  =
 \sum_{f =9}^{255} {255 \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{255-f}\approx 10^{-4} \hspace{0.05cm}.</math>
-Dominant ist hierbei der erste Term (für $f=9$), der bereits etwa $80\%$ ausmacht:
+Dominant ist hierbei der erste Term&nbsp; $($für&nbsp; $f=9)$, der bereits etwa&nbsp; $80\%$&nbsp; ausmacht:
 ::<math>{255 \choose 9} \approx 1.1 \cdot 10^{16}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}
@@ Zeile 115: / Zeile 116: @@
 Die in der Grafik dargestellten Ergebnisse kann man wie folgt zusammenfassen:
-*Für kleines $E_{\rm B}/N_0$ (des AWGN&ndash;Kanals) sind die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes völlig ungeeignet. Beide Codes liegen für $10 \cdot \lg  \ E_{\rm B}/N_0 < 6 \,\rm dB$ über der (schwarzen) Vergleichskurve für uncodierte Übertragung.<br>
+*Für kleines&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (des AWGN&ndash;Kanals) sind die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes völlig ungeeignet. Beide Codes liegen für&nbsp; $10 \cdot \lg  \ E_{\rm B}/N_0 < 6 \,\rm dB$&nbsp; über der (schwarzen) Vergleichskurve für uncodierte Übertragung.<br>
-*Die Berechung für den $\text{RSC (255, 223, 33)}_{256}$ unterscheidet sich von obiger Rechnung nur in der unteren Summationsgrenze $(f_{\rm min} = 17)$ und durch ein etwas größeres $\varepsilon_{\rm S}$ (wegen $R = 0.8745$).<br>
+*Die Berechung für den&nbsp; $\text{RSC (255, 223, 33)}_{256}$&nbsp; unterscheidet sich von obiger Rechnung nur in der unteren Summationsgrenze&nbsp; $(f_{\rm min} = 17)$&nbsp; und durch ein etwas größeres&nbsp; $\varepsilon_{\rm S}$ &nbsp;$($wegen &nbsp;$R = 0.8745)$.<br>
-*Dieser $(t = 16)$&ndash;Code ist für $\rm BER = 10^{-6}$ auch nur um etwa $1 \, \rm dB$ besser als der durch grüne Kreuze gekennzeichnete Code mit $t = 8$. Die Ergebnisse beider Codes sind also eher enttäuschend.<br>
+*Dieser &bdquo;rote&rdquo; Code&nbsp; $($mit&nbsp; $t = 16)$&nbsp; ist für&nbsp; $\rm BER = 10^{-6}$&nbsp; auch nur um etwa&nbsp; $1 \, \rm dB$&nbsp; besser als der durch grüne Kreuze gekennzeichnete Code mit&nbsp; $t = 8$. Die Ergebnisse beider Codes sind also eher enttäuschend.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes sind beim gedächtnislosen Binärkanal (AWGN&ndash;Kanal) nicht sehr gut. Beide Codes liegen mehr als $4 \, \rm dB$ von der informationstheoretischen [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#AWGN.E2.80.93Kanalkapazit.C3.A4t_f.C3.BCr_bin.C3.A4re_Eingangssignale| Shannon&ndash;Grenze]] entfernt.<br>
+*Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes sind beim gedächtnislosen Binärkanal (AWGN&ndash;Kanal) nicht sehr gut. Beide Codes liegen mehr als&nbsp; $4 \, \rm dB$&nbsp; von der informationstheoretischen&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#AWGN.E2.80.93Kanalkapazit.C3.A4t_f.C3.BCr_bin.C3.A4re_Eingangssignale| Shannon&ndash;Grenze]]&nbsp; entfernt.<br>
-*Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes sind dagegen sehr wirkungsvoll bei so genannten [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanälen]]. Sie werden deshalb vorwiegend bei Fadingkanälen, Speichersysteme, usw. eingesetzt.<br>
+*Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes sind dagegen sehr wirkungsvoll bei so genannten&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanälen]]. Sie werden deshalb vorwiegend bei Fadingkanälen, Speichersysteme, usw. eingesetzt.<br>
-*Die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes sind nicht perfekt. Welche Konsequenzen sich daraus ergeben, wird in der [[Aufgaben:Aufgabe_2.16:_Entscheidungskriterien_bei_BDD|Aufgabe 2.16]] behandelt.}}<br>
+*Die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes sind nicht perfekt. Welche Konsequenzen sich daraus ergeben, wird in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_2.16:_Entscheidungskriterien_bei_BDD|Aufgabe 2.16]]&nbsp; behandelt.}}<br>
 == Typische Anwendungen mit Reed–Solomon–Codierung==

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 [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Aufgabe 2.15Z: Nochmals RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit]]
-[[Aufgaben:2.16 BDD–Entscheidungskriterien|Aufgabe 2.16: BDD–Entscheidungskriterien]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.16:_Entscheidungskriterien_bei_BDD|Aufgabe 2.16: BDD–Entscheidungskriterien bei BDD]]
 ==Quellenverzeichnis==

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 [[Aufgaben:Aufgabe_2.15:_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit_bei_AWGN|Aufgabe 2.15: RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN]]
-[[Aufgaben:2.15Z_Nochmals_Pr(υ_≠_u)_für_BDD|Zusatzaufgabe 2.15Z: Nochmals Pr(υ ≠ u) für BDD]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Aufgabe 2.15Z: Nochmals RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit]]
 [[Aufgaben:2.16 BDD–Entscheidungskriterien|Aufgabe 2.16: BDD–Entscheidungskriterien]]