Kanalcodierung/Erweiterungskörper - Versionsgeschichte

Guenter am 20. Mai 2019 um 09:41 Uhr

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Guenter am 20. Mai 2019 um 08:59 Uhr

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Guenter am 8. Juli 2018 um 13:47 Uhr

2018-07-08T13:47:53Z

Guenter am 8. Juli 2018 um 13:09 Uhr

2018-07-08T13:09:16Z

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Guenter am 8. Januar 2018 um 16:45 Uhr

2018-01-08T16:45:08Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 16:43 Uhr

2018-01-08T16:43:48Z

Wael am 2. Januar 2018 um 19:07 Uhr

2018-01-02T19:07:12Z

Guenter am 22. November 2017 um 08:48 Uhr

2017-11-22T08:48:17Z

Guenter am 22. November 2017 um 08:45 Uhr

2017-11-22T08:45:41Z

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 == Interpretation des neuen Elementes &bdquo;alpha&rdquo; ==
 <br>
-Wir betrachten weiterhin den Körper ${\rm GF}(2^2) =  \{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$ entsprechend den beiden folgenden Operationstabellen, basierend auf der Nebenbedingung&nbsp; $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha +  1 = 0$ (irreduzibles Ploynom):
+Wir betrachten weiterhin den Körper&nbsp; ${\rm GF}(2^2) =  \{0, \ 1,\ \alpha,\ 1 + \alpha\}$&nbsp; entsprechend den beiden folgenden Operationstabellen, basierend auf der Nebenbedingung&nbsp; $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha +  1 = 0$&nbsp; (irreduzibles Ploynom):
 :$$ \begin{array}{c}
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-[[Datei:P ID2552 KC T 2 2 S1 v2.png|right|frame|Übergang von ${\rm GF}(2)$ auf  ${\rm GF}(2^2)$ |class=fit]]
+[[Datei:P ID2552 KC T 2 2 S1 v2.png|right|frame|Übergang von&nbsp; ${\rm GF}(2)$&nbsp; auf&nbsp;  ${\rm GF}(2^2)$ |class=fit]]
 Welche Bedeutung hat aber nun das neue Element $\alpha$?
-*Das Polynom $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha +  1 $ hat in ${\rm GF}(2) =  \{0, 1\}$ keine Nullstelle. Das bedeutet weiter, dass  $\alpha$ weder $0$ noch $1$ sein kann.<br>
+*Das Polynom&nbsp; $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha +  1 $&nbsp; hat in&nbsp; ${\rm GF}(2) =  \{0, \ 1\}$&nbsp; keine Nullstelle. Das bedeutet weiter, dass&nbsp;  $\alpha$&nbsp; weder&nbsp; $0$&nbsp; noch&nbsp; $1$&nbsp; sein kann.<br>
-*Wäre $\alpha= 0$ bzw. $\alpha= 1$, so wären zudem zwei der vier Mengenelemente $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$ jeweils identisch: Entweder &bdquo;$0$&rdquo; und &bdquo;$\alpha$&rdquo; sowie &bdquo;$1$&rdquo; und &bdquo;$1+\alpha$&rdquo; oder &bdquo;$1$&rdquo; und &bdquo;$\alpha$&rdquo; sowie &bdquo;$0$&rdquo; und &bdquo;$1+\alpha$&rdquo;.
+*Wäre&nbsp; $\alpha= 0$&nbsp; bzw.&nbsp; $\alpha= 1$, so wären zudem zwei der vier Mengenelemente&nbsp; $\{0,\ 1,\ \alpha,\ 1 + \alpha\}$&nbsp; jeweils identisch: &nbsp; Entweder &bdquo;$0$&rdquo; und &bdquo;$\alpha$&rdquo; sowie &bdquo;$1$&rdquo; und &bdquo;$1+\alpha$&rdquo; oder &bdquo;$1$&rdquo; und &bdquo;$\alpha$&rdquo; sowie &bdquo;$0$&rdquo; und &bdquo;$1+\alpha$&rdquo;.
-*Vielmehr erhält der eindimensionale Körper ${\rm GF}(2)$ durch die Einführung des Elementes $\alpha$ eine zweite Dimension. Er wird also zum Galoisfeld ${\rm GF}(2^2)$ erweitert, wie die nebenstehende Grafik zeigt.
+*Vielmehr erhält der eindimensionale Körper&nbsp; ${\rm GF}(2)$&nbsp; durch die Einführung des Elementes&nbsp; $\alpha$&nbsp; eine zweite Dimension. Er wird also zum Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(2^2)$&nbsp; erweitert, wie die nebenstehende Grafik zeigt.
-*Das Element $\alpha$ hat ähnliche Bedeutung wie die imaginäre Einheit ${\rm j}$, durch die man die Menge der reellen Zahlen unter der Nebenbedingung ${\rm j}^2 + 1 = 0$ zur Menge der komplexen Zahlen erweitert.
+*Das Element&nbsp; $\alpha$&nbsp; hat ähnliche Bedeutung wie die imaginäre Einheit&nbsp; ${\rm j}$, durch die man die Menge der reellen Zahlen unter der Nebenbedingung&nbsp; ${\rm j}^2 + 1 = 0$&nbsp; zur Menge der komplexen Zahlen erweitert.
 <br clear=all>
@@ Zeile 163: / Zeile 163: @@
 $\text{Übliche Darstellung des binären Erweiterungskörpers}\ {\rm GF}(2^2)\text{:}$
-Aufgrund der Identität $\alpha^2 = 1 + \alpha$,  die aus der Nebenbedingung &nbsp;$p(\alpha) = 0$ folgt,  kann man in gleicher Weise ${\rm GF}(2^2) =  \{0, 1, \alpha, \alpha^2\}$ schreiben, wobei nun folgende Operationstabellen gelten:
+Aufgrund der Identität&nbsp; $\alpha^2 = 1 + \alpha$,  die aus der Nebenbedingung &nbsp;$p(\alpha) = 0$&nbsp; folgt,  kann man in gleicher Weise&nbsp; ${\rm GF}(2^2) =  \{0,\ 1,\ \alpha,\ \alpha^2\}$&nbsp; schreiben, wobei nun folgende Operationstabellen gelten:
 :$$ \begin{array}{c}
@@ Zeile 187: / Zeile 187: @@
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Ein '''Polynom''' in einem endlichen Körper ${\rm GF}(P)$, wobei $P$ eine Primzahl angibt, hat folgende Form:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Ein&nbsp; '''Polynom'''&nbsp; in einem endlichen Körper&nbsp; ${\rm GF}(P)$, wobei&nbsp; $P$&nbsp; eine Primzahl angibt, hat folgende Form:
 ::<math>a(x) = \sum_{i = 0}^{m} a_i \cdot x^{i}  = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm} + a_m \cdot x^{m}
 \hspace{0.05cm}.</math>
 Anzumerken ist:
-*Alle Koeffizienten $a_i $ sind Elemente des Körpers: &nbsp; $a_i \in {\rm GF}(P)$.<br>
+*Alle Koeffizienten&nbsp; $a_i $&nbsp; sind Elemente des Körpers: &nbsp; $a_i \in {\rm GF}(P)$.<br>
-*Ist der führende Koeffizient $a_m &ne; 0$, so gibt $m$ den '''Grad''' des Polynoms an.}}<br>
+*Ist der führende Koeffizient&nbsp; $a_m &ne; 0$, so gibt&nbsp; $m$ den&nbsp; '''Grad'''&nbsp; des Polynoms an.}}<br>
-Betrachten wir ein dazu zweites Polynom mit Grad $M$,
+Betrachten wir ein dazu zweites Polynom mit Grad&nbsp; $M$,
 ::<math>b(x) = \sum_{i = 0}^{M} b_i \cdot x^{i}  = b_0 + b_1 \cdot x + b_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm} + b_M \cdot x^{M}
 \hspace{0.05cm},</math>
-so erhält man für die Summe (bzw. Differenz) und das Produkt jeweils in ${\rm GF}(P)$:
+so erhält man für die Summe (bzw. Differenz) und das Produkt jeweils in&nbsp; ${\rm GF}(P)$:
 ::<math>a(x) \pm b(x)  = \sum_{i = 0}^{{\rm max}\hspace{0.05cm}(m, \hspace{0.05cm}M)} \hspace{0.15cm}(a_i \pm b_i) \cdot x^{i} \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 209: / Zeile 209: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Es gelte $a(x) = x^3 + x + 1$ &nbsp;und&nbsp; $b(x) = x^2 + x + 1$. Im binären Galoisfeld &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm GF}(2)$ ergibt sich nach den obigen Gleichungen für die Summe, die Differenz und das Produkt der beiden Polynome:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Es gelte&nbsp; $a(x) = x^3 + x + 1$&nbsp; &nbsp;und&nbsp; $b(x) = x^2 + x + 1$.
-::<math>s(x)  = a(x) + b(x) = x^3 + x^2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
+Im binären Galoisfeld&nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm GF}(2)$&nbsp; ergibt sich nach den obigen Gleichungen für die Summe, die Differenz und das Produkt der beiden Polynome:
 ::<math>c(x) = a(x) \cdot b(x)  =\sum_{i = 0}^{3 + 2} \hspace{0.15cm}c_i \cdot x^{i}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 c_i = \sum_{j = 0}^{i}\hspace{0.15cm}a_j \cdot b_{i-j}
 \hspace{0.05cm}.</math>
-Mit&nbsp; $a_0 =  a_1 = a_3 = b_0 =  b_1 =b_2 = 1$ &nbsp;und&nbsp;  $a_2 =  a_4 = a_5 = b_3 =  b_4 =b_5 = 0$  &nbsp;erhält man:
+Mit&nbsp; $a_0 =  a_1 = a_3 = b_0 =  b_1 =b_2 = 1$ &nbsp; und &nbsp;  $a_2 =  a_4 = a_5 = b_3 =  b_4 =b_5 = 0$  &nbsp;erhält man:
 ::<math>c_0 = a_0 \cdot b_0 = 1 \cdot 1 = 1 \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 232: / Zeile 233: @@
 ::<math>\Rightarrow  \hspace{0.3cm} c(x) = x^5 + x^4 +1 \hspace{0.05cm}.</math>
-Im Galoisfeld ${\rm GF}(3)$ erhält man aufgrund der Modulo&ndash;3&ndash;Operationen andere Ergebnisse:
+Im Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(3)$&nbsp; erhält man aufgrund der Modulo&ndash;3&ndash;Operationen andere Ergebnisse:
 ::<math>s(x)  = (x^3 + x + 1) + (x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + 2x + 2\hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 239: / Zeile 240: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Ein Polynom $a(x)$ bezeichnet man als '''reduzibel''' (englisch: <i>reducible</i>), wenn es als Produkt zweier Polynome $p(x)$ und $q(x)$ mit jeweils niedrigerem Grad dargestellt werden kann:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Ein Polynom&nbsp; $a(x)$&nbsp; bezeichnet man als&nbsp; '''reduzibel'''&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>reducible</i>), wenn es als Produkt zweier Polynome&nbsp; $p(x)$&nbsp; und&nbsp; $q(x)$&nbsp; mit jeweils niedrigerem Grad dargestellt werden kann:
 ::<math>a(x) = p(x) \cdot q(x)
@@ Zeile 248: / Zeile 249: @@
 ::<math>a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r(x) \ne 0</math>
-gilt, so spricht man von einem '''irreduziblen''' (englisch: <i>irreducible</i> oder <i>prime</i>) Polynom.}}<br>
+gilt, so spricht man von einem&nbsp; '''irreduziblen'''&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>irreducible</i> oder <i>prime</i>) Polynom.}}<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Es gelte&nbsp; $b(x) = x^3 + x + 1$, $p_1(x) = x^2 + x + 1$ &nbsp;und&nbsp; $p_2(x) = x^2 + 1$. Die Grafik verdeutlicht links die Modulo&ndash;2&ndash;Multiplikation&nbsp; $a(x)= b(x) \cdot p_1(x)$. Das Ergebnis ist &nbsp;$a(x) = x^5 + x^4 + 1$.<br>
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Es gelte&nbsp; $b(x) = x^3 + x + 1$,&nbsp; &nbsp; $p_1(x) = x^2 + x + 1$ &nbsp; und &nbsp; $p_2(x) = x^2 + 1$.
 [[Datei:P ID2538 KC T 2 2 S2 v2.png|center|frame|Beispiel für Polynom–Multiplikation und –Division|class=fit]]
@@ Zeile 261: / Zeile 264: @@
 ::<math>p(x) = \sum_{i = 0}^{m} a_i \cdot x^{i}  = a_m \cdot x^{m} + a_{m-1} \cdot x^{m-1} + \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}+ a_2 \cdot x^2  + a_1 \cdot x +  a_0 \hspace{0.05cm}</math>
-einen Rest &nbsp;$r(x)  &ne; 0$&nbsp; liefert. Dies würde im vorliegenden Beispiel (nahezu) $2^5 = 32$ Divisionen erfordern.<br>
+einen Rest &nbsp;$r(x)  &ne; 0$&nbsp; liefert. Dies würde im vorliegenden Beispiel (nahezu)&nbsp; $2^5 = 32$&nbsp; Divisionen erfordern.<br>
 Aufgrund unserer linken Berechnung können wir hier sofort erkennen, dass  &nbsp;$a(x)$&nbsp; mit Sicherheit kein irreduzibles Polynom ist, da zum Beispiel &nbsp;$a(x) = x^5 + x^4 + 1$&nbsp; dividiert durch &nbsp;$p_1(x) = x^2 + x + 1$&nbsp; das Polynom &nbsp;$b(x) = x^3 + x + 1$&nbsp; ohne Rest ergibt.}}<br>

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 <br>
-Im Abschnitt [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Beispiele_und_Eigenschaften_von_Galoisfeldern|Beispiel 2]] im Kapitel &bdquo;Einige Grundlagen der Algebra&rdquo; wurde bereits gezeigt, dass die '''endliche Zahlenmenge''' $\{0, 1, 2, 3\}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $q = 4$ nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes $\rm GF(4)$ erfüllt. Vielmehr ergeben sich für die ''Addition''&nbsp; modulo 4 und die ''Multiplikation''&nbsp; modulo 4 folgende Tabellen:
+Im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Beispiele_und_Eigenschaften_von_Galoisfeldern|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; im Kapitel &bdquo;Einige Grundlagen der Algebra&rdquo; wurde bereits gezeigt, dass die&nbsp; '''endliche Zahlenmenge'''&nbsp; $\{0, 1, 2, 3\}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $q = 4$&nbsp; nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes&nbsp; $\rm GF(4)$&nbsp; erfüllt. Vielmehr ergeben sich für die ''Addition''&nbsp; modulo 4 und die ''Multiplikation''&nbsp; modulo 4 folgende Tabellen:
 :$$ \begin{array}{c}
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
-Für $z_i = 2$ gibt es keine multiplikative Inverse ${\rm Inv_M}(z_i)$. Dies erkennt man daran, dass kein einziges Element $z_i &#8712; \{0, 1, 2, 3\}$ die Bedingung $2 &middot; z_i = 1$ erfüllt.
+Für&nbsp; $z_i = 2$&nbsp; gibt es keine multiplikative Inverse&nbsp; ${\rm Inv_M}(z_i)$. Dies erkennt man daran, dass kein einziges Element&nbsp; $z_i &#8712; \{0, 1, 2, 3\}$&nbsp; die Bedingung&nbsp; $2 &middot; z_i = 1$&nbsp; erfüllt.
-Geht man dagegen vom binären Galoisfeld ${\rm GF}(2) = \{0, 1\}$ aus und erweitert dieses entsprechend der Gleichung
+Geht man dagegen vom binären Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(2) = \{0, 1\}$&nbsp; aus und erweitert dieses entsprechend der Gleichung
 ::<math>{\rm GF}(2^2)=  \big\{k_0+k_1\cdot \alpha \ \big | \ k_0, k_1\in{\rm GF}(2) = \{ 0, 1\} \big \}\hspace{0.05cm}, </math>
-so ergibt sich die ebenfalls '''endliche <b>Menge''' $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$</b> &nbsp; &#8658; &nbsp; die Ordnung ist weiterhin $q=4$. Führt man die Rechenoperationen modulo $p(\alpha) = \alpha^2 + \alpha +  1$ durch, so erhält man das folgende Ergebnis:
+so ergibt sich die ebenfalls&nbsp; '''endliche <b>Menge'''&nbsp; $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$</b> &nbsp; &#8658; &nbsp; die Ordnung ist weiterhin&nbsp; $q=4$.
 :$$ \begin{array}{c}
@@ Zeile 55: / Zeile 57: @@
 Hierzu ist anzumerken:
-*Die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation sind weiterhin $N_{\rm A} = 0$ und  $N_{\rm M} = 1$ .
+*Die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation sind weiterhin&nbsp; $N_{\rm A} = 0$&nbsp; und  &nbsp;$N_{\rm M} = 1$.
-*Da bei Modulo&ndash;Ausführung kein Unterschied zwischen Addition und Subtraktion besteht, ist $\alpha + \alpha = \alpha - \alpha = 0$.
+*Da bei Modulo&ndash;Ausführung kein Unterschied zwischen Addition und Subtraktion besteht, ist&nbsp; $\alpha + \alpha = \alpha - \alpha = 0$.
-*Für alle <i>z<sub>i</sub></i> gilt somit: Die additive Inverse von $z_i$ ist das Element  $z_i$ selbst.
+*Für alle &nbsp;$z_i$&nbsp; gilt somit: &nbsp; Die additive Inverse von&nbsp; $z_i$&nbsp; ist das Element&nbsp;  $z_i$&nbsp; selbst.
 *Die Einträge in der Multiplikationstabelle ergeben sich nach folgenden Berechnungen:
@@ Zeile 71: / Zeile 73: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Zwischenergebnis:}$&nbsp;
-*Die Menge $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$ stellt zusammen mit den zwei Operationen <i>Addition</i> und <i>Multiplikation</i> modulo $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha +  1$ ein <i>Galoisfeld</i> der Ordnung $q = 4$  dar.
+*Die Menge&nbsp; $\{0, \ 1, \ \alpha, \ 1 + \alpha\}$&nbsp; stellt zusammen mit den beiden Operationen <i>Addition</i>&nbsp; und <i>Multiplikation</i>&nbsp; modulo&nbsp; $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha +  1$&nbsp; ein <i>Galoisfeld</i> dar. Die Ordnung ist&nbsp; $q = 4$.
-*Dieses mit $\rm GF(2^2) = GF(4)$ bezeichnete  Galoisfeld  erfüllt alle im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes| vorherigen Kapitel ]] genannten Anforderungen.<br>
+*Dieses mit&nbsp; $\rm GF(2^2) = GF(4)$&nbsp; bezeichnete  Galoisfeld  erfüllt alle im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes| vorherigen Kapitel ]]&nbsp; genannten Anforderungen.<br>
-*Im Gegensatz zum Zahlenkörper $\rm GF(3) = \{0, 1, 2\}$ mit der Eigenschaft, dass  $q = 3$ eine Primzahl ist, nennt man $\rm GF(2^2)$ einen <b>Erweiterungskörper </b>(englisch: <i>Extension Field</i>&nbsp;).}}<br>
+*Im Gegensatz zum Zahlenkörper&nbsp; $\rm GF(3) = \{0, \ 1, \ 2\}$&nbsp; mit der Eigenschaft, dass&nbsp;  $q = 3$&nbsp; eine Primzahl ist, nennt man&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; einen &nbsp;<b>Erweiterungskörper </b>&nbsp; (englisch: &nbsp;<i>Extension Field</i>&nbsp;).}}<br>
 == Reduzible und irreduzible Polynome ==
 <br>
-Das Polynom $p(\alpha)$ und damit die Bestimmungsgleichung $p(\alpha) = 0$ darf nicht beliebig vorgegeben werden. Das auf der letzten Seite verwendete Polynom  $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha +  1$ war geeignet. Nun versuchen wir es mit einem anderen Polynom, nämlich  $p(\alpha)= \alpha^2  +  1$.
+Das Polynom&nbsp; $p(\alpha)$&nbsp; und damit die Bestimmungsgleichung&nbsp; $p(\alpha) = 0$&nbsp; darf nicht beliebig vorgegeben werden. Das auf der letzten Seite verwendete Polynom&nbsp;
 :$$ \begin{array}{c}
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 Die Additionstabelle ist in beiden Fällen identisch und auch die Multiplikationstabellen unterscheiden sich nur durch die vier Einträge in den beiden unteren Zeilen und den beiden hinteren Spalten:
-*Aus $p(\alpha) = 0$ folgt nun für das Produkt $\alpha \cdot \alpha = 1$ und das Produkt $(1 +\alpha) \cdot (1 +\alpha) $ ergibt das Nullelement. Das gemischte Produkt ergibt $\alpha \cdot  (1 +\alpha)  =  1 +\alpha $.<br>
+*Aus&nbsp; $p(\alpha) = 0$&nbsp; folgt nun für das Produkt&nbsp; $\alpha \cdot \alpha = 1$&nbsp; und das Produkt&nbsp; $(1 +\alpha) \cdot (1 +\alpha) $&nbsp; ergibt das Nullelement. Das gemischte Produkt ist&nbsp; $\alpha \cdot  (1 +\alpha)  =  1 +\alpha $.<br>
-*In der letzten Zeile der Multipliaktionstabelle und auch in der letzten Spalte steht nun keine &bdquo;$1$&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; Hinsichtlich der Bedingung $p(\alpha)= \alpha^2 +   1= 0$ existiert demzufolge die multiplikative Inverse zu $1 +\alpha$ nicht.<br>
+*In der letzten Zeile der Multiplikationstabelle und auch in der letzten Spalte steht nun keine &bdquo;$1$&rdquo; &nbsp; &#8658; &nbsp; Hinsichtlich der Bedingung&nbsp; $p(\alpha)= \alpha^2 +   1= 0$&nbsp; existiert demzufolge die multiplikative Inverse zu&nbsp; $1 +\alpha$&nbsp; nicht.<br>
-*Damit erfüllt aber die endliche Menge $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$ zusammen mit Rechenoperationen modulo $p(\alpha)= \alpha^2 +   1$ auch nicht die Voraussetzungen eines Erweiterungskörpers $\rm GF(2^2) $.<br><br>
+*Damit erfüllt aber die endliche Menge&nbsp; $\{0, \ 1, \ \alpha, \ 1 + \alpha\}$ zusammen mit Rechenoperationen modulo&nbsp; $p(\alpha)= \alpha^2 +   1$&nbsp; auch nicht die Voraussetzungen eines Erweiterungskörpers&nbsp; $\rm GF(2^2) $.<br><br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fassen wir zusammen:}$&nbsp;  Aus dem binären Galoisfeld $\rm GF(2) = \{0, 1\}$ lässt sich unter Zuhilfenahme eines Polynoms vom Grad $m = 2$ mit binären Koeffizienten,
+$\text{Fassen wir zusammen:}$&nbsp;
 ::<math>p(x) = x^2 + k_1 \cdot x + k_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}k_0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}k_1 \in \{0, 1\}
 \hspace{0.05cm},</math>
-ein Erweiterungskörper $\rm GF(2^2)$ formulieren. &nbsp; <i>Anmerkung:</i> &nbsp; Die Umbenennung der Funktionsvariablen $\alpha$ in $x$ hat nur formale Bedeutung im Hinblick auf spätere Seiten.<br>
+ein Erweiterungskörper&nbsp; $\rm GF(2^2)$&nbsp; formulieren. &nbsp; <i>Anmerkung:</i> &nbsp; Die Umbenennung der Variablen&nbsp; $\alpha$&nbsp; in&nbsp; $x$&nbsp; hat nur formale Bedeutung im Hinblick auf spätere Seiten.<br>
-*Im vorliegenden Fall gibt es nur ein geeignetes Polynom $p_1(x)= x^2 + x + 1$. Alle anderen möglichen Polynome vom Grad $m = 2$, nämlich
+*Im vorliegenden Fall gibt es nur ein geeignetes Polynom&nbsp; $p_1(x)= x^2 + x + 1$. Alle anderen möglichen Polynome vom Grad&nbsp; $m = 2$, nämlich
 ::<math>p_2(x) = x^2 + 1 \hspace{0.06cm} = (x+1) \cdot (x+1)\hspace{0.05cm},</math>
 ::<math>p_3(x) =x^2  \hspace{0.76cm} = x \cdot x \hspace{0.05cm},</math>
 ::<math>p_4(x) = x^2 + x = (x+1) \cdot x\hspace{0.05cm}, </math>
+:lassen sich faktorisieren und ergeben keinen Erweiterungskörper.
-lassen sich faktorisieren und ergeben keinen Erweiterungskörper.
+*Man nennt die Polynome&nbsp; $p_2(x)$,&nbsp; $p_3(x)$&nbsp; und&nbsp; $p_4(x)$&nbsp; ''reduzibel''.
-*Man nennt die Polynome $p_2(x)$, $p_3(x)$ und $p_4(x)$ ''reduzibel''. Der Schluss liegt nahe, dass für einen Erweiterungskörper nur ''irreduzible Polynome'' wie $p_1(x)$ geeignet sind.}}<br>
+*Der Schluss liegt nahe, dass für einen Erweiterungskörper nur&nbsp; ''irreduzible Polynome''&nbsp; wie&nbsp; $p_1(x)$&nbsp; geeignet sind.}}<br>

@@ Zeile 394: / Zeile 394: @@
 [[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Polynomdivision|Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen|Aufgabe 2.4: GF(2 hoch 2)–Darstellungsformen]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen|Aufgabe 2.4: $\rm GF(2^2)$–Darstellungsformen]]
 [[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Endliche_und_unendliche_Körper|Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 hoch 4)]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von $\rm GF(2^4)$]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über $\rm GF(2^3)$]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F|Aufgabe 2.6: GF(''P'' hoch ''m''). Welches ''P'', welches ''m''?]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F|Aufgabe 2.6: ${\rm GF}(P^m)$. Welches $P$, welches $m$?]]
 {{Display}}

@@ Zeile 395: / Zeile 395: @@
 [[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F|Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches ''P'', welches ''m''?]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F|Aufgabe 2.6: GF(''P'' hoch ''m''). Welches ''P'', welches ''m''?]]
 {{Display}}

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 == Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:2.3_Reduzible_und_irreduzible_Polynome|Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.3:_Reduzible_und_irreduzible_Polynome|Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome]]
-[[Aufgaben:2.3Z_Polynomdivision|Zusatzaufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Polynomdivision|Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]
-[[Aufgaben:2.4_GF(2%5E2)–Darstellungsformen|Aufgabe 2.4: GF(2^2)–Darstellungsformen]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen|Aufgabe 2.4: GF(2 hoch 2)–Darstellungsformen]]
-[[Aufgaben:2.4Z_Endliche_und_unendliche_Körper|Zusatzaufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Endliche_und_unendliche_Körper|Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]
-[[Aufgaben:2.5_Drei_Varianten_von_GF(2%5E4)|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2^4)]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 hoch 4)]]
-[[Aufgaben:2.5Z_Einige_Berechnungen_über_GF(2%5E3)|Zusatzaufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2^3)]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)]]
-[[Aufgaben:A2.6_GF(P%5Em)._Welches_P,_welches_m|Aufgabe 2.6: GF(P^m). Welches P, welches m?]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F|Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches ''P'', welches ''m''?]]
 {{Display}}

@@ Zeile 358: / Zeile 358: @@
 *als Polynome der Form $k_2 \cdot \alpha^2 + k_1 \cdot \alpha + k_0$ mit binären Koeffizienten  $k_2$, $k_1$, $k_0$ (jeweils $0$ oder $1$)   &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Polynomdarstellung''',<br>
-*als Vektoren der Koeffizienten $(k_2, \ k_1, \ k_0)$  &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Vektordarstellung'''.<br><br>
+*als Vektoren der Koeffizienten $(k_2, \ k_1, \ k_0)$  &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Koeffizientendarstellung'''.<br><br>
 Für Addition (oder Subtraktion) zweier Elemente eignen sich Polynom&ndash; und Vektordarstellung gleichermaßen, wobei die Komponenten modulo 2 zu addieren sind, zum Beispiel:
@@ Zeile 373: / Zeile 373: @@
 =  1 \cdot \alpha^{3}= z_4 \hspace{0.05cm}.</math>
-Man erkennt, dass sich die Exponenten modulo $q-1$ ergeben /im Beispiel modulo $7$).<br>
+Man erkennt, dass sich die Exponenten modulo $q-1$ ergeben (im Beispiel modulo $7$).<br>
 Die Grafik zeigt den endlichen Erweiterungskörper $\rm GF(2^3)$ in einer 3D&ndash;Darstellung:

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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Übliche Darstellung des binären Erweiterungskörpers {\rm GF}(2^2):}$
+$\text{Übliche Darstellung des binären Erweiterungskörpers}\ {\rm GF}(2^2)\text{:}$
 Aufgrund der Identität $\alpha^2 = 1 + \alpha$,  die aus der Nebenbedingung $p(\alpha) = 0$ folgt,  kann man in gleicher Weise ${\rm GF}(2^2) =  \{0, 1, \alpha, \alpha^2\}$schreiben, wobei nun folgende Operationstabellen gelten:
@@ Zeile 159: / Zeile 159: @@
 		{\rm modulo}\hspace{0.15cm} p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha +  1\\
 		\end{array}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}
-\left[ \begin{array}{c\vertcccccc} + & 0 & 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \hline
+\left[ \begin{array}{c {{!}} cccccc} + & 0 & 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \hline
 & 0 & 1 & \alpha & \alpha^2 \\
 & 1 & 0 & \alpha^2 & \alpha \\
@@ Zeile 165: / Zeile 165: @@
 			\alpha^2 & \alpha^2 & \alpha & 1 & 0
 \end{array} \right] \hspace{-0.1cm} ,\hspace{0.5cm}
-\left[ \begin{array}{c\vertcccccc} \cdot & 0 & 1 & \alpha & \alpha^2 \\
+\left[ \begin{array}{c {{!}} cccccc} \cdot & 0 & 1 & \alpha & \alpha^2 \\
 			\hline
 & 0 & 0 & 0 & 0 \\