Kanalcodierung/Erweiterungskörper - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:27:36Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:27 Uhr
Zeile 340:		Zeile 340:

	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Channel_Coding/Extension_Field]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:50Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

Änderungen zeigen

Guenter am 20. Mai 2019 um 09:41 Uhr

2019-05-20T09:41:13Z

Änderungen zeigen

Guenter am 20. Mai 2019 um 08:59 Uhr

2019-05-20T08:59:32Z

Änderungen zeigen

Guenter am 20. Mai 2019 um 08:28 Uhr

2019-05-20T08:28:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Mai 2019, 10:28 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:

	<br>		<br>
	Im Abschnitt [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Beispiele_und_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|Beispiel 2]] im Kapitel &bdquo;Einige Grundlagen der Algebra” wurde bereits gezeigt, dass die '''endliche Zahlenmenge''' $\{0, 1, 2, 3\}$   ⇒   $q = 4$ nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes $\rm GF(4)$ erfüllt. Vielmehr ergeben sich für die ''Addition''  modulo 4 und die ''Multiplikation''  modulo 4 folgende Tabellen:		Im Abschnitt  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Beispiele_und_Eigenschaften_von_Galoisfeldern\|$\text{Beispiel 2}$]]  im Kapitel &bdquo;Einige Grundlagen der Algebra” wurde bereits gezeigt, dass die  '''endliche Zahlenmenge'''  $\{0, 1, 2, 3\}$   ⇒   $q = 4$  nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes  $\rm GF(4)$  erfüllt. Vielmehr ergeben sich für die ''Addition''  modulo 4 und die ''Multiplikation''  modulo 4 folgende Tabellen:

	:$$ \begin{array}{c}		:$$ \begin{array}{c}
Zeile 29:		Zeile 29:


	Für $z_i = 2$ gibt es keine multiplikative Inverse ${\rm Inv_M}(z_i)$. Dies erkennt man daran, dass kein einziges Element $z_i ∈ \{0, 1, 2, 3\}$ die Bedingung $2 · z_i = 1$ erfüllt.		Für  $z_i = 2$  gibt es keine multiplikative Inverse  ${\rm Inv_M}(z_i)$. Dies erkennt man daran, dass kein einziges Element  $z_i ∈ \{0, 1, 2, 3\}$  die Bedingung  $2 · z_i = 1$  erfüllt.

	Geht man dagegen vom binären Galoisfeld ${\rm GF}(2) = \{0, 1\}$ aus und erweitert dieses entsprechend der Gleichung		Geht man dagegen vom binären Galoisfeld  ${\rm GF}(2) = \{0, 1\}$  aus und erweitert dieses entsprechend der Gleichung

	::<math>{\rm GF}(2^2)= \big\{k_0+k_1\cdot \alpha \ \big \| \ k_0, k_1\in{\rm GF}(2) = \{ 0, 1\} \big \}\hspace{0.05cm}, </math>		::<math>{\rm GF}(2^2)= \big\{k_0+k_1\cdot \alpha \ \big \| \ k_0, k_1\in{\rm GF}(2) = \{ 0, 1\} \big \}\hspace{0.05cm}, </math>

	so ergibt sich die ebenfalls '''endliche <b>Menge''' $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$</b>   ⇒   die Ordnung ist weiterhin $q=4$. Führt man die Rechenoperationen modulo $p(\alpha) = \alpha^2 + \alpha + 1$ durch, so erhält man das folgende Ergebnis:		so ergibt sich die ebenfalls  '''endliche <b>Menge'''  $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$</b>   ⇒   die Ordnung ist weiterhin  $q=4$.

			Führt man die Rechenoperationen modulo  $p(\alpha) = \alpha^2 + \alpha + 1$  durch, so erhält man das folgende Ergebnis:

	:$$ \begin{array}{c}		:$$ \begin{array}{c}
Zeile 55:		Zeile 57:

	Hierzu ist anzumerken:		Hierzu ist anzumerken:
	*Die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation sind weiterhin $N_{\rm A} = 0$ und $N_{\rm M} = 1$ .		*Die neutralen Elemente der Addition bzw. Multiplikation sind weiterhin  $N_{\rm A} = 0$  und  $N_{\rm M} = 1$.

	*Da bei Modulo–Ausführung kein Unterschied zwischen Addition und Subtraktion besteht, ist $\alpha + \alpha = \alpha - \alpha = 0$.		*Da bei Modulo–Ausführung kein Unterschied zwischen Addition und Subtraktion besteht, ist  $\alpha + \alpha = \alpha - \alpha = 0$.
	*Für alle ~~<i>z<sub>i</sub></i>~~ gilt somit: Die additive Inverse von $z_i$ ist das Element $z_i$ selbst.		*Für alle  $z_i$  gilt somit:   Die additive Inverse von  $z_i$  ist das Element  $z_i$  selbst.

	*Die Einträge in der Multiplikationstabelle ergeben sich nach folgenden Berechnungen:		*Die Einträge in der Multiplikationstabelle ergeben sich nach folgenden Berechnungen:
Zeile 71:		Zeile 73:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Zwischenergebnis:}$		$\text{Zwischenergebnis:}$
	*Die Menge $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$ stellt zusammen mit den ~~zwei~~ Operationen <i>Addition</i> und <i>Multiplikation</i> modulo $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha + 1$ ein <i>Galoisfeld</i> ~~der~~ Ordnung $q = 4$ ~~dar~~.		*Die Menge  $\{0, \ 1, \ \alpha, \ 1 + \alpha\}$  stellt zusammen mit den beiden Operationen <i>Addition</i>  und <i>Multiplikation</i>  modulo  $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha + 1$  ein <i>Galoisfeld</i> dar. Die Ordnung ist  $q = 4$.
	*Dieses mit $\rm GF(2^2) = GF(4)$ bezeichnete Galoisfeld erfüllt alle im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\| vorherigen Kapitel ]] genannten Anforderungen.<br>		*Dieses mit  $\rm GF(2^2) = GF(4)$  bezeichnete Galoisfeld erfüllt alle im  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\| vorherigen Kapitel ]]  genannten Anforderungen.<br>
	*Im Gegensatz zum Zahlenkörper $\rm GF(3) = \{0, 1, 2\}$ mit der Eigenschaft, dass $q = 3$ eine Primzahl ist, nennt man $\rm GF(2^2)$ einen <b>Erweiterungskörper </b>(englisch: <i>Extension Field</i> ).}}<br>		*Im Gegensatz zum Zahlenkörper  $\rm GF(3) = \{0, \ 1, \ 2\}$  mit der Eigenschaft, dass  $q = 3$  eine Primzahl ist, nennt man  $\rm GF(2^2)$  einen  <b>Erweiterungskörper </b>  (englisch:  <i>Extension Field</i> ).}}<br>

	== Reduzible und irreduzible Polynome ==		== Reduzible und irreduzible Polynome ==
	<br>		<br>
	Das Polynom $p(\alpha)$ und damit die Bestimmungsgleichung $p(\alpha) = 0$ darf nicht beliebig vorgegeben werden. Das auf der letzten Seite verwendete Polynom $p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha + 1$ ~~war~~ geeignet. Nun versuchen wir es mit einem anderen Polynom, nämlich $p(\alpha)= \alpha^2 + 1$.		Das Polynom  $p(\alpha)$  und damit die Bestimmungsgleichung  $p(\alpha) = 0$  darf nicht beliebig vorgegeben werden. Das auf der letzten Seite verwendete Polynom
			:$$p(\alpha)= \alpha^2 + \alpha + 1$$
			ist geeignet. Nun versuchen wir es mit einem anderen Polynom, nämlich  $p(\alpha)= \alpha^2 + 1$.

	:$$ \begin{array}{c}		:$$ \begin{array}{c}
Zeile 97:		Zeile 101:

	Die Additionstabelle ist in beiden Fällen identisch und auch die Multiplikationstabellen unterscheiden sich nur durch die vier Einträge in den beiden unteren Zeilen und den beiden hinteren Spalten:		Die Additionstabelle ist in beiden Fällen identisch und auch die Multiplikationstabellen unterscheiden sich nur durch die vier Einträge in den beiden unteren Zeilen und den beiden hinteren Spalten:
	*Aus $p(\alpha) = 0$ folgt nun für das Produkt $\alpha \cdot \alpha = 1$ und das Produkt $(1 +\alpha) \cdot (1 +\alpha) $ ergibt das Nullelement. Das gemischte Produkt ~~ergibt~~ $\alpha \cdot (1 +\alpha) = 1 +\alpha $.<br>		*Aus  $p(\alpha) = 0$  folgt nun für das Produkt  $\alpha \cdot \alpha = 1$  und das Produkt  $(1 +\alpha) \cdot (1 +\alpha) $  ergibt das Nullelement. Das gemischte Produkt ist  $\alpha \cdot (1 +\alpha) = 1 +\alpha $.<br>

	*In der letzten Zeile der ~~Multipliaktionstabelle~~ und auch in der letzten Spalte steht nun keine &bdquo;$1$”   ⇒   Hinsichtlich der Bedingung $p(\alpha)= \alpha^2 + 1= 0$ existiert demzufolge die multiplikative Inverse zu $1 +\alpha$ nicht.<br>		*In der letzten Zeile der Multiplikationstabelle und auch in der letzten Spalte steht nun keine &bdquo;$1$”   ⇒   Hinsichtlich der Bedingung  $p(\alpha)= \alpha^2 + 1= 0$  existiert demzufolge die multiplikative Inverse zu  $1 +\alpha$  nicht.<br>

	*Damit erfüllt aber die endliche Menge $\{0, 1, \alpha, 1 + \alpha\}$ zusammen mit Rechenoperationen modulo $p(\alpha)= \alpha^2 + 1$ auch nicht die Voraussetzungen eines Erweiterungskörpers $\rm GF(2^2) $.<br><br>		*Damit erfüllt aber die endliche Menge  $\{0, \ 1, \ \alpha, \ 1 + \alpha\}$ zusammen mit Rechenoperationen modulo  $p(\alpha)= \alpha^2 + 1$  auch nicht die Voraussetzungen eines Erweiterungskörpers  $\rm GF(2^2) $.<br><br>

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fassen wir zusammen:}$  Aus dem binären Galoisfeld $\rm GF(2) = \{0, 1\}$ lässt sich unter Zuhilfenahme eines Polynoms vom Grad $m = 2$ mit binären Koeffizienten,		$\text{Fassen wir zusammen:}$

			Aus dem binären Galoisfeld  $\rm GF(2) = \{0, \ 1\}$  lässt sich unter Zuhilfenahme eines Polynoms vom Grad  $m = 2$  mit binären Koeffizienten,

	::<math>p(x) = x^2 + k_1 \cdot x + k_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}k_0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}k_1 \in \{0, 1\}		::<math>p(x) = x^2 + k_1 \cdot x + k_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}k_0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}k_1 \in \{0, 1\}
	\hspace{0.05cm},</math>		\hspace{0.05cm},</math>

	ein Erweiterungskörper $\rm GF(2^2)$ formulieren.   <i>Anmerkung:</i>   Die Umbenennung der ~~Funktionsvariablen~~ $\alpha$ in $x$ hat nur formale Bedeutung im Hinblick auf spätere Seiten.<br>		ein Erweiterungskörper  $\rm GF(2^2)$  formulieren.   <i>Anmerkung:</i>   Die Umbenennung der Variablen  $\alpha$  in  $x$  hat nur formale Bedeutung im Hinblick auf spätere Seiten.<br>
	*Im vorliegenden Fall gibt es nur ein geeignetes Polynom $p_1(x)= x^2 + x + 1$. Alle anderen möglichen Polynome vom Grad $m = 2$, nämlich		*Im vorliegenden Fall gibt es nur ein geeignetes Polynom  $p_1(x)= x^2 + x + 1$. Alle anderen möglichen Polynome vom Grad  $m = 2$, nämlich

	::<math>p_2(x) = x^2 + 1 \hspace{0.06cm} = (x+1) \cdot (x+1)\hspace{0.05cm},</math>		::<math>p_2(x) = x^2 + 1 \hspace{0.06cm} = (x+1) \cdot (x+1)\hspace{0.05cm},</math>
	::<math>p_3(x) =x^2 \hspace{0.76cm} = x \cdot x \hspace{0.05cm},</math>		::<math>p_3(x) =x^2 \hspace{0.76cm} = x \cdot x \hspace{0.05cm},</math>
	::<math>p_4(x) = x^2 + x = (x+1) \cdot x\hspace{0.05cm}, </math>		::<math>p_4(x) = x^2 + x = (x+1) \cdot x\hspace{0.05cm}, </math>
			:lassen sich faktorisieren und ergeben keinen Erweiterungskörper.
	lassen sich faktorisieren und ergeben keinen Erweiterungskörper.		*Man nennt die Polynome  $p_2(x)$,  $p_3(x)$  und  $p_4(x)$  ''reduzibel''.
	*Man nennt die Polynome $p_2(x)$, $p_3(x)$ und $p_4(x)$ ''reduzibel''. Der Schluss liegt nahe, dass für einen Erweiterungskörper nur ''irreduzible Polynome'' wie $p_1(x)$ geeignet sind.}}<br>		*Der Schluss liegt nahe, dass für einen Erweiterungskörper nur  ''irreduzible Polynome''  wie  $p_1(x)$  geeignet sind.}}<br>

Guenter am 8. Juli 2018 um 13:47 Uhr

2018-07-08T13:47:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juli 2018, 15:47 Uhr
Zeile 394:		Zeile 394:
	[[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Polynomdivision\|Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Polynomdivision\|Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: GF(2 ~~hoch~~ 2)–Darstellungsformen]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: $\rm GF(2^2)$–Darstellungsformen]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Endliche_und_unendliche_Körper\|Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Endliche_und_unendliche_Körper\|Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 ~~hoch~~ 4)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von $\rm GF(2^4)$]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)\|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 ~~hoch~~ 3)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)\|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über $\rm GF(2^3)$]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F\|Aufgabe 2.6: GF(''P~~'' hoch ''~~m''). Welches ''P'', welches ''m''?]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F\|Aufgabe 2.6: ${\rm GF}(P^m)$. Welches $P$, welches $m$?]]

	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 8. Juli 2018 um 13:09 Uhr

2018-07-08T13:09:16Z

Änderungen zeigen

Guenter am 8. Januar 2018 um 16:45 Uhr

2018-01-08T16:45:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2018, 18:45 Uhr
Zeile 395:		Zeile 395:
	[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)\|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)\|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F\|Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches ''P'', welches ''m''?]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F\|Aufgabe 2.6: GF(''P'' hoch ''m''). Welches ''P'', welches ''m''?]]

	{{Display}}		{{Display}}

Guenter am 8. Januar 2018 um 16:43 Uhr

2018-01-08T16:43:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2018, 18:43 Uhr
Zeile 383:		Zeile 383:
	== Aufgaben zum Kapitel==		== Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:2.~~3_Reduzible_und_irreduzible_Polynome~~\|Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.3:_Reduzible_und_irreduzible_Polynome\|Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome]]

	[[Aufgaben:2.~~3Z_Polynomdivision~~\|~~Zusatzaufgabe~~ 2.3Z: Polynomdivision]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Polynomdivision\|Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]

	[[Aufgaben:2.~~4_GF~~(~~2%5E2~~)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: GF(2^2)–Darstellungsformen]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: GF(2 hoch 2)–Darstellungsformen]]

	[[Aufgaben:2.~~4Z_Endliche_und_unendliche_Körper~~\|~~Zusatzaufgabe~~ 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Endliche_und_unendliche_Körper\|Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]

	[[Aufgaben:2.~~5_Drei_Varianten_von_GF~~(~~2%5E4~~)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2^4)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 hoch 4)]]

	[[Aufgaben:2.~~5Z_Einige_Berechnungen_über_GF~~(~~2%5E3~~)\|~~Zusatzaufgabe~~ 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2^3)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)\|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)]]

	[[Aufgaben:A2.~~6_GF~~(~~P%5Em~~)._Welches_P,_welches_m\|Aufgabe 2.6: GF(P^m). Welches P, welches m?]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F\|Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches ''P'', welches ''m''?]]

	{{Display}}		{{Display}}

Wael am 2. Januar 2018 um 19:07 Uhr

2018-01-02T19:07:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Januar 2018, 21:07 Uhr
Zeile 383:		Zeile 383:
	== Aufgaben zum Kapitel==		== Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:2.~~3 Reduzible und irreduzible Polynome~~\|A2.3 Reduzible und irreduzible Polynome]]		[[Aufgaben:2.3_Reduzible_und_irreduzible_Polynome\|Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome]]

	[[~~Zusatzaufgaben~~:2.3 Polynomdivision]]		[[Aufgaben:2.3Z_Polynomdivision\|Zusatzaufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]

	[[Aufgaben:2.~~4 GF~~(2^2)–Darstellungsformen\|A2.4 GF(2^2)–Darstellungsformen]]		[[Aufgaben:2.4_GF(2%5E2)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: GF(2^2)–Darstellungsformen]]

	[[~~Zusatzaufgaben~~:2.4 Endliche und unendliche Körper]]		[[Aufgaben:2.4Z_Endliche_und_unendliche_Körper\|Zusatzaufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]

	[[Aufgaben:2.~~5 Drei Varianten von GF~~(2^4)\|A2.5 Drei Varianten von GF(2^4)]]		[[Aufgaben:2.5_Drei_Varianten_von_GF(2%5E4)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2^4)]]

	[[~~Zusatzaufgaben~~:2.5 Einige Berechnungen über GF(2^3)]]		[[Aufgaben:2.5Z_Einige_Berechnungen_über_GF(2%5E3)\|Zusatzaufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2^3)]]

	[[Aufgaben:2.~~6 GF~~(P^m). ~~Welches P~~, ~~welches m?~~\|A2.6 GF(P^m). Welches P, welches m?]]		[[Aufgaben:A2.6_GF(P%5Em)._Welches_P,_welches_m\|Aufgabe 2.6: GF(P^m). Welches P, welches m?]]

	{{Display}}		{{Display}}

← Nächstältere Version		Version vom 8. Juli 2018, 15:47 Uhr
Zeile 394:		Zeile 394:
	[[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Polynomdivision\|Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Polynomdivision\|Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: GF(2 ~~hoch~~ 2)–Darstellungsformen]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: $\rm GF(2^2)$–Darstellungsformen]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Endliche_und_unendliche_Körper\|Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Endliche_und_unendliche_Körper\|Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 ~~hoch~~ 4)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von $\rm GF(2^4)$]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)\|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 ~~hoch~~ 3)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)\|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über $\rm GF(2^3)$]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F\|Aufgabe 2.6: GF(''P~~'' hoch ''~~m''). Welches ''P'', welches ''m''?]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F\|Aufgabe 2.6: ${\rm GF}(P^m)$. Welches $P$, welches $m$?]]

	{{Display}}		{{Display}}

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2018, 18:43 Uhr
Zeile 383:		Zeile 383:
	== Aufgaben zum Kapitel==		== Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:2.~~3_Reduzible_und_irreduzible_Polynome~~\|Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.3:_Reduzible_und_irreduzible_Polynome\|Aufgabe 2.3: Reduzible und irreduzible Polynome]]

	[[Aufgaben:2.~~3Z_Polynomdivision~~\|~~Zusatzaufgabe~~ 2.3Z: Polynomdivision]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.3Z:_Polynomdivision\|Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision]]

	[[Aufgaben:2.~~4_GF~~(~~2%5E2~~)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: GF(2^2)–Darstellungsformen]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4:_GF(2_hoch_2)–Darstellungsformen\|Aufgabe 2.4: GF(2 hoch 2)–Darstellungsformen]]

	[[Aufgaben:2.~~4Z_Endliche_und_unendliche_Körper~~\|~~Zusatzaufgabe~~ 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.4Z:_Endliche_und_unendliche_Körper\|Aufgabe 2.4Z: Endliche und unendliche Körper]]

	[[Aufgaben:2.~~5_Drei_Varianten_von_GF~~(~~2%5E4~~)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2^4)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5:_Drei_Varianten_von_GF(2_hoch_4)\|Aufgabe 2.5: Drei Varianten von GF(2 hoch 4)]]

	[[Aufgaben:2.~~5Z_Einige_Berechnungen_über_GF~~(~~2%5E3~~)\|~~Zusatzaufgabe~~ 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2^3)]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.5Z:_Einige_Berechnungen_über_GF(2_hoch_3)\|Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)]]

	[[Aufgaben:A2.~~6_GF~~(~~P%5Em~~)._Welches_P,_welches_m\|Aufgabe 2.6: GF(P^m). Welches P, welches m?]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.6:_GF(P_hoch_m)._Welches_P,_welches_m%3F\|Aufgabe 2.6: GF(P hoch m). Welches ''P'', welches ''m''?]]

	{{Display}}		{{Display}}