Kanalcodierung/Einige Grundlagen der Algebra - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:35Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Channel_Coding/Some_Basics_of_Algebra]]

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Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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 Sie sehen nachfolgend die Additions&ndash; und Multiplikationstabelle:
-:$$Z_2 = \{0, 1\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      }
+:$$Z_2 = \{0, 1\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      } \left[ \begin{array}{c|cccccc} + & 0 & 1  \\ \hline 0 & 0 & 1  \\ 1 & 1 & 0   \end{array} \right] \hspace{-0.1cm} ,\hspace{0.25cm}\text{Multiplikation:      } \left[ \begin{array}{c|cccccc} \cdot & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0   \\		                                          1 & 0 & 1  \end{array} \right]\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}{\rm GF}(2) .$$
 Man erkennt aus dieser Darstellung:
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 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Die Zahlenmenge&nbsp; $Z_3 = \{0, 1, 2\}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $q = 3$&nbsp; erfüllt alle acht Kriterien und ist somit ein Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(3)$:
-:$$Z_3 = \{0, 1, 2\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      }
+:$$Z_3 = \{0, 1, 2\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      } \left[ \begin{array}{c {{!}} cccccc} + & 0 & 1  & 2\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 1  \end{array} \right] \hspace{-0.1cm} ,\hspace{0.25cm}\text{Multiplikation:      } \left[ \begin{array}{c {{!}} cccccc} \cdot & 0 & 1  & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2& 0 & 2 & 1 \end{array} \right]\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}{\rm GF}(3) .$$}}
@@ Zeile 144: / Zeile 124: @@
 *In der Multiplikationstabelle gibt es aber in der dritten Zeile und dritten Spalte&nbsp;  $($jeweils gültig für den Multiplikanden&nbsp; $z_2 = 2)$&nbsp; keinen Eintrag mit &bdquo;$1$&rdquo;.
-:$$Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      }
+:$$Z_4 = \{0, 1, 2, 3\}\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{Addition:      } \left[ \begin{array}{c {{!}} cccccc} + & 0 & 1  & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ 3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] \hspace{-0.1cm} ,\hspace{0.25cm}\text{Multiplikation:      } \left[ \begin{array}{c {{!}} cccccc} \cdot& 0 & 1  & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 0 & 2\\ 3 & 0 & 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\hspace{0.25cm} \Rightarrow\hspace{0.25cm}\text{kein }{\rm GF}(4) .$$}}

Guenter am 29. September 2022 um 12:42 Uhr

2022-09-29T12:42:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. September 2022, 14:42 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	*die Fehlerkorrektur eines solchen Codes beim  »Auslöschungskanal«   $\rm (BEC)$,		*die Fehlerkorrektur eines solchen Codes beim  »Auslöschungskanal«   $\rm (BEC)$,

	*die Decodierung mit Hilfe des  »Error Locator Polynoms«   ⇒   "Bounded Distance Decoding" (BDD),		*die Decodierung mit Hilfe des  »Error Locator Polynoms«   ⇒   "Bounded Distance Decoding"   $\rm (BDD)$,

	*die  »Blockfehlerwahrscheinlichkeit«  der Reed–Solomon–Codes und  »typische Anwendungen« .		*die  »Blockfehlerwahrscheinlichkeit«  der Reed–Solomon–Codes und  »typische Anwendungen« .

Guenter am 27. August 2022 um 11:48 Uhr

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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Ein  $\rm Galoisfeld$  ${\rm GF}(q)$  ist ein  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#~~Algebraischer_Ring_und_Beispiele~~\| "endlicher Körper"]]  mit  $q$  Elementen  $z_0$,  $z_1$,  ... ,  $z_{q-1}$,  wenn die acht nachfolgend aufgeführten Aussagen  $\rm (A)$  ...  $\rm (H)$  hinsichtlich  $\rm Addition$  (&bdquo;$+$”)  und  $\rm Multiplikation$  (&bdquo;$\cdot $”)  zutreffen.		$\text{Definition:}$  Ein  $\rm Galoisfeld$  ${\rm GF}(q)$  ist ein  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe\| "endlicher Körper"]]  mit  $q$  Elementen  $z_0$,  $z_1$,  ... ,  $z_{q-1}$,  wenn die acht nachfolgend aufgeführten Aussagen  $\rm (A)$  ...  $\rm (H)$  hinsichtlich  $\rm Addition$  (&bdquo;$+$”)  und  $\rm Multiplikation$  (&bdquo;$\cdot $”)  zutreffen.
	*Addition und Multiplikation sind hierbei modulo  $q$  zu verstehen.		*Addition und Multiplikation sind hierbei modulo  $q$  zu verstehen.

Guenter am 27. August 2022 um 11:39 Uhr

2022-08-27T11:39:40Z

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Guenter am 26. August 2022 um 16:32 Uhr

2022-08-26T16:32:20Z

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Guenter am 16. Mai 2019 um 12:19 Uhr

2019-05-16T12:19:41Z

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Zeile 152:		Zeile 152:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Verallgemeinerung (vorerst ohne Beweis):}$		$\text{Verallgemeinerung (vorerst ohne Beweis):}$
	*Ein Galoisfeld  ${\rm GF}(q)$  kann in der hier beschriebenen Weise als  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#~~Algebraischer_Ring_und_Beispiele~~\| &bdquo;Ring”]]  von Integergrößen modulo  $q$  nur dann gebildet werden, wenn  $q$  eine Primzahl ist:   <br>     $q = 2$,  $q = 3$,  $q = 5$,  $q = 7$,  $q = 11$, ...<br>		*Ein Galoisfeld  ${\rm GF}(q)$  kann in der hier beschriebenen Weise als  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_eines_algebraischen_Rings\| &bdquo;Ring”]]  von Integergrößen modulo  $q$  nur dann gebildet werden, wenn  $q$  eine Primzahl ist:   <br>     $q = 2$,  $q = 3$,  $q = 5$,  $q = 7$,  $q = 11$, ...<br>

	*Kann man aber die Ordnung  $q$  in der Form  $q = P^m$  mit einer Primzahl  $P$  und ganzzahligem  $m$  ausdrücken, so lässt sich das Galoisfeld  ${\rm GF}(q)$  über einen  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Erweiterungskörper]]  finden.}}<br>		*Kann man aber die Ordnung  $q$  in der Form  $q = P^m$  mit einer Primzahl  $P$  und ganzzahligem  $m$  ausdrücken, so lässt sich das Galoisfeld  ${\rm GF}(q)$  über einen  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Erweiterungskörper]]  finden.}}<br>

Guenter am 16. Mai 2019 um 12:16 Uhr

2019-05-16T12:16:00Z

Guenter am 16. Mai 2019 um 10:43 Uhr

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Zeile 183:		Zeile 183:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Eine ~~<b>~~algebraische Gruppe~~</b>~~ $(\mathcal{G}, +)$ ist eine (beliebige) Teilmenge $\mathcal{G} ⊂ \mathcal{M})$ zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung (&bdquo;$+$”), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:		$\text{Definition:}$  Eine  $\text{algebraische Gruppe}$  $(\mathcal{G}, +)$  ist eine (beliebige) Teilmenge  $\mathcal{G} ⊂ \mathcal{M}$  zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung (&bdquo;$+$”), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:
	*Für alle $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$ gilt $(z_i + z_j) ∈ \mathcal{G}$   ⇒   <i>Closure</i>–Kriterium für &bdquo;$+$”.<br>		*Für alle  $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$  gilt  $(z_i + z_j) ∈ \mathcal{G}$   ⇒   <i>Closure</i>–Kriterium für &bdquo;$+$”.<br>
	*Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element $N_{\rm A} ∈ \mathcal{G}$, so dass für alle $z_i ∈ \mathcal{G}$ gilt:   $z_i +N_{\rm A} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist $N_{\rm A} \equiv 0$.<br>		*Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element  $N_{\rm A} ∈ \mathcal{G}$, so dass für alle  $z_i ∈ \mathcal{G}$ gilt:   $z_i +N_{\rm A} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist  $N_{\rm A} \equiv 0$.<br>

	*Für alle $z_i ∈ \mathcal{G}$ gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element ${\rm Inv_A}(z_i) ∈ \mathcal{G}$ mit der Eigenschaft $z_i + {\rm Inv_A}(z_i)= N_{\rm A} $. Bei einer Zahlengruppe ist ${\rm Inv_A}(z_i) =- z_i$.<br>		*Für alle  $z_i ∈ \mathcal{G}$  gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element  ${\rm Inv_A}(z_i) ∈ \mathcal{G}$  mit der Eigenschaft  $z_i + {\rm Inv_A}(z_i)= N_{\rm A} $. <br>Bei einer Zahlengruppe ist  ${\rm Inv_A}(z_i) =- z_i$.<br>

	*Für alle $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{G}$ gilt: $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k)$  ⇒  ''Assoziativgesetz'' für &bdquo;$+$”.<br><br>		*Für alle  $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{G}$  gilt:  $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$   ⇒   ''Assoziativgesetz'' für &bdquo;$+$”.<br><br>

	Wird zusätzlich für alle $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$ das ''Kommutativgesetz'' $z_i + z_j= z_j + z_i$ erfüllt, so spricht man von einer ''kommutativen Gruppe'' oder einer '''Abelschen Gruppe''', benannt nach dem norwegischen Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Hendrik Abel].}}<br>		Wird zusätzlich für alle  $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$  das ''Kommutativgesetz''  $z_i + z_j= z_j + z_i$  erfüllt, so spricht man von einer ''kommutativen Gruppe''  oder einer ''Abelschen Gruppe'', benannt nach dem norwegischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Hendrik Abel].}}<br>

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiele für algebraische Gruppen:}$		$\text{Beispiele für algebraische Gruppen:}$

	'''(1)'''  Die <i>Menge der rationalen Zahlen</i> ist definiert als die Menge aller Quotienten $I/J$ mit ganzen Zahlen $I$ und $J ≠ 0$. Diese Menge ist eine Gruppe $(\mathcal{G}, +)$ hinsichtlich der Addition, da		'''(1)'''  Die <i>Menge der rationalen Zahlen</i> ist definiert als die Menge aller Quotienten  $I/J$  mit ganzen Zahlen  $I$  und  $J ≠ 0$.
	*für alle $a ∈ \mathcal{G}$ und $b ∈ \mathcal{G}$ auch die Summe $a+b$ wieder zu $\mathcal{G}$ gehört,<br>		:Diese Menge ist eine Gruppe  $(\mathcal{G}, +)$  hinsichtlich der Addition, da
	*das Assozitativgesetz gilt,<br>		:*für alle  $a ∈ \mathcal{G}$  und  $b ∈ \mathcal{G}$  auch die Summe  $a+b$  wieder zu  $\mathcal{G}$  gehört,<br>
	*mit $ N_{\rm A} = 0$ das neutrale Element der Addition in $\mathcal{G}$ enthalten ist, und<br>		:*das Assozitativgesetz gilt,<br>
	*es für jedes $a$ die additive Inverse ${\rm Inv_A}(a) = -a$ existiert.<br><br>		:*mit  $ N_{\rm A} = 0$  das neutrale Element der Addition in  $\mathcal{G}$  enthalten ist, und<br>
			:*es für jedes  $a$  die additive Inverse  ${\rm Inv_A}(a) = -a$  existiert.<br>
			:Da zudem das Kommutativgesetz erfüllt ist, handelt es sich um eine <i>Abelsche Gruppe</i>.<br>

	~~Da zudem das Kommutativgesetz erfüllt ist, handelt es sich um eine~~ <i>~~abelsche Gruppe~~</i>.<br>		'''(2)'''  Die <i>Menge der natürlichen Zahlen</i>   ⇒   $\{0, 1, 2, \text{...}\}$  ist hinsichtlich Addition keine algebraische Gruppe,
			:*da es für kein einziges Element  $z_i$  die additive Inverse  ${\rm Inv_A}(z_i) = -z_i$  gibt.<br>

	'''(2)'''  Die <i>~~Menge der natürlichen Zahlen~~</i>, $\{0, 1, 2, \text{...}\}$, ~~ist hinsichtlich Addition keine algebraische Gruppe, da es für kein einziges Element $z_i~~$ die ~~additive Inverse~~ ${~~\rm Inv_A~~}~~(z_i~~) ~~= -z_i~~$ ~~gibt~~.~~<br>~~		'''(3)'''  Die <i>begrenzte natürliche Zahlenmenge</i>   ⇒   $\{0, 1, 2, \text{...}\hspace{0.05cm}, q-1\}$  erfüllt dagegen dann die Bedingungen an eine Gruppe  $(\mathcal{G}, +)$,
			:*wenn man die Addition modulo  $q$  definiert.

	'''(3)'''  Die <i>begrenzte natürliche Zahlenmenge</i>, $\{0, 1, 2, \text{...}\hspace{0.05cm}, q-1\}$, erfüllt dagegen dann die Bedingungen an eine Gruppe $(\mathcal{G}, +)$, wenn man die Addition modulo $q$ definiert.		'''(4)'''  Dagegen ist  $\{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm},q\}$  keine Gruppe, da das neutrale Element der Addition  $(N_{\rm A} = 0)$  fehlt.}}<br>

	~~'''(4)'''~~  ~~Dagegen ist~~ $\{1, 2, 3, \text{...}\hspace{0.05cm},q\}$ keine Gruppe, da das neutrale Element der Addition $(N_{\rm A} = 0)$ fehlt.}}<br>

	== Definition und Beispiele eines algebraischen Rings ==		== Definition und Beispiele eines algebraischen Rings ==

Guenter am 16. Mai 2019 um 10:18 Uhr

2019-05-16T10:18:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2019, 12:18 Uhr
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	== Gruppe, Ring, Körper – algebraische Grundbegriffe ==		== Gruppe, Ring, Körper – algebraische Grundbegriffe ==
	<br>		<br>
	Auf den ersten Seiten sind bereits einige algebraische Grundbegriffe gefallen, ohne dass deren Bedeutungen genauer erläutert wurden. Dies soll nun in aller Kürze aus Sicht eines Nachrichtentechnikers nachgeholt werden, wobei wir uns vorwiegend auf die Darstellung in [Fri96]<ref name='Fri96'>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref> und [KM+08]<ref name='KM+08'>Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref> beziehen. Zusammenfassend lässt sich sagen:<br>		Auf den ersten Seiten sind bereits einige algebraische Grundbegriffe gefallen, ohne dass deren Bedeutungen genauer erläutert wurden. Dies soll nun in aller Kürze aus Sicht eines Nachrichtentechnikers nachgeholt werden, wobei wir uns vorwiegend auf die Darstellung in  [Fri96]<ref name='Fri96'>Friedrichs, B.: ''Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>  und  [KM+08]<ref name='KM+08'>Kötter, R.; Mayer, T.; Tüchler, M.; Schreckenbach, F.; Brauchle, J.: ''Channel Coding.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München, 2008.</ref>  beziehen. Zusammenfassend lässt sich sagen:<br>

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Ein ~~<b>~~Galoisfeld~~</b>~~ ${\rm GF}(q)$ ist ein ''Körper'' (englisch: <i>Field</i>) mit einer begrenzten Anzahl $(q)$ an Elementen   ⇒   <i>endlicher Körper</i>. Jeder Körper ist wieder ein Sonderfall eines ''Rings'' (gleichlautende englische Bezeichnung), der sich selbst wieder als Spezialfall einer ''Abelschen Gruppe'' (englisch: <i>Abelian Group</i>) darstellen lässt.}}<br>		$\text{Definition:}$  Ein  $\rm Galoisfeld$  ${\rm GF}(q)$ ist ein ''Körper''  (englisch:  <i>Field</i>) mit einer begrenzten Anzahl  $(q)$  an Elementen   ⇒   <i>endlicher Körper</i>. Jeder Körper ist wieder ein Sonderfall eines ''Rings''  (gleichlautende englische Bezeichnung), der sich selbst wieder als Spezialfall einer ''Abelschen Gruppe''  (englisch:  <i>Abelian Group</i>) darstellen lässt.}}<br>

	[[Datei:KC_T_2_1_S2_version2.png\|right\|frame\|Algebraische Zusammenhänge zwischen Gruppe, Ring und Körper\|class=fit]]		[[Datei:KC_T_2_1_S2_version2.png\|right\|frame\|Algebraische Zusammenhänge zwischen Gruppe, Ring und Körper\|class=fit]]
	Die Grafik verdeutlicht schrittweise, wie sich aus einer Menge durch Definition von Additition, Multiplikation und Division innerhalb dieser Menge $\mathcal{M}$ folgende untergeordnete Mengen ergeben:		Die Grafik verdeutlicht schrittweise, wie sich aus einer Menge durch Definition von Additition, Multiplikation und Division innerhalb dieser Menge  $\mathcal{M}$  folgende untergeordnete Mengen ergeben:
	*Abelsche Gruppe $\mathcal{G}$ (englisch: <i>Field</i> ) ,		*Abelsche Gruppe  $\mathcal{G}$  (englisch:  <i>Field</i> ) ,
	*Ring $\mathcal{R}$,		*Ring  $\mathcal{R}$,
	*Körper $\mathcal{K}$ (englisch: <i>Field</i> $\mathcal{F}$),		*Körper  $\mathcal{K}$  (englisch:  <i>Field</i> $\mathcal{F}$),
	*endlicher Körper $\mathcal{F}_q$ oder Galoisfeld ${\rm GF}(q)$.		*endlicher Körper  $\mathcal{F}_q$  oder Galoisfeld  ${\rm GF}(q)$.
	~~<br clear=all>~~
	Auf den beiden nächsten Seiten werden die hier genannten algebraischen Begriffe genauer behandelt. Zum Verstehen der Reed–Solomon–Codes sind diese Kenntnisse allerdings nicht unbedingt erforderlich. Sie könnten also ~~auch~~ direkt zum Kapitel [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper\| Erweiterungskörper]] springen.<br>
			Auf den beiden nächsten Seiten werden die hier genannten algebraischen Begriffe genauer behandelt.
			*Zum Verstehen der Reed–Solomon–Codes sind diese Kenntnisse allerdings nicht unbedingt erforderlich.
			*Sie könnten also direkt zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper\| Erweiterungskörper]]  springen.<br>

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2019, 14:16 Uhr
Zeile 184:		Zeile 184:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Eine  $\text{algebraische Gruppe}$  $(\mathcal{G}, +)$  ist eine (beliebige) Teilmenge  $\mathcal{G} ⊂ \mathcal{M}$  zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung (&bdquo;$+$”), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:		$\text{Definition:}$  Eine  $\text{algebraische Gruppe}$  $(\mathcal{G}, +)$  ist eine (beliebige) Teilmenge  $\mathcal{G} ⊂ \mathcal{M}$  zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten additiven Verknüpfung (&bdquo;$+$”), allerdings nur dann, wenn die folgenden Eigenschaften zwingend erfüllt sind:
	*Für alle  $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$  gilt  $(z_i + z_j) ∈ \mathcal{G}$   ⇒   <i>Closure</i>–Kriterium für &bdquo;$+$”.<br>		*Für alle  $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$  gilt  $(z_i + z_j) ∈ \mathcal{G}$   ⇒   <i>Closure</i>–Kriterium für  &bdquo;$+$”.<br>
	*Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element  $N_{\rm A} ∈ \mathcal{G}$, so dass für alle  $z_i ∈ \mathcal{G}$ gilt:   $z_i +N_{\rm A} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist  $N_{\rm A} \equiv 0$.<br>		*Es gibt stets ein hinsichtlich der Addition neutrales Element  $N_{\rm A} ∈ \mathcal{G}$, so dass für alle  $z_i ∈ \mathcal{G}$ gilt:   $z_i +N_{\rm A} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist  $N_{\rm A} \equiv 0$.<br>

	*Für alle  $z_i ∈ \mathcal{G}$  gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element  ${\rm Inv_A}(z_i) ∈ \mathcal{G}$  mit der Eigenschaft  $z_i + {\rm Inv_A}(z_i)= N_{\rm A} $. <br>Bei einer Zahlengruppe ist  ${\rm Inv_A}(z_i) =- z_i$.<br>		*Für alle  $z_i ∈ \mathcal{G}$  gibt es zudem ein hinsichtlich der Addition inverses Element  ${\rm Inv_A}(z_i) ∈ \mathcal{G}$  mit der Eigenschaft  $z_i + {\rm Inv_A}(z_i)= N_{\rm A} $. <br>Bei einer Zahlengruppe ist  ${\rm Inv_A}(z_i) =- z_i$.<br>

	*Für alle  $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{G}$  gilt:  $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$   ⇒   ''Assoziativgesetz'' für &bdquo;$+$”.<br><br>		*Für alle  $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{G}$  gilt:  $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$   ⇒   ''Assoziativgesetz''  für  &bdquo;$+$”.<br><br>

	Wird zusätzlich für alle  $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$  das ''Kommutativgesetz''  $z_i + z_j= z_j + z_i$  erfüllt, so spricht man von einer ''kommutativen Gruppe''  oder einer ''Abelschen Gruppe'', benannt nach dem norwegischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Hendrik Abel].}}<br>		Wird zusätzlich für alle  $z_i, z_j ∈ \mathcal{G}$  das ''Kommutativgesetz''  $z_i + z_j= z_j + z_i$  erfüllt, so spricht man von einer ''kommutativen Gruppe''  oder einer ''Abelschen Gruppe'', benannt nach dem norwegischen Mathematiker  [https://de.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Hendrik Abel].}}<br>
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	== Definition und Beispiele eines algebraischen Rings ==		== Definition und Beispiele eines algebraischen Rings ==
	<br>		<br>
	Entsprechend der [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe \|Übersichtsgrafik]] kommt man von der Gruppe $(\mathcal{G}, +)$ durch Definition einer zweiten Rechenoperation – der Multiplikation (&bdquo;$\cdot$”) – zum Ring $(\mathcal{R}, +, \cdot)$. Man benötigt hierfür also neben einer Additionstabelle auch eine Multiplikationstabelle.<br>		Entsprechend der  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe \|Übersichtsgrafik]]  kommt man von der Gruppe  $(\mathcal{G}, +)$  durch Definition einer zweiten Rechenoperation – der Multiplikation  (&bdquo;$\cdot$”)  – zum Ring  $(\mathcal{R}, +, \cdot)$. Man benötigt hierfür also neben einer Additionstabelle auch eine Multiplikationstabelle.<br>

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  ~~Eine <b>~~algebraischer Ring~~</b>~~ $(\mathcal{R}, +, \cdot)$ ist eine Teilmenge $\mathcal{R} ⊂ \mathcal{G} ⊂ \mathcal{M})$ zusammen mit zwei in dieser Menge definierten Rechenoperationen, der Addition (&bdquo;$+$”) und der Multiplikation (&bdquo;$·$”). Dabei müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt werden:		$\text{Definition:}$  Ein  $\text{algebraischer Ring}$  $(\mathcal{R}, +, \cdot)$ ist eine Teilmenge  $\mathcal{R} ⊂ \mathcal{G} ⊂ \mathcal{M}$  zusammen mit zwei in dieser Menge definierten Rechenoperationen, der Addition  (&bdquo;$+$”)  und der Multiplikation  (&bdquo;$·$”). Dabei müssen die folgenden Eigenschaften erfüllt werden:
	*Hinsichtlich der Addition ist der Ring$(\mathcal{R}, +, \cdot)$ eine [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe\|Abelsche Gruppe]] $(\mathcal{G}, +)$.<br>		*Hinsichtlich der Addition ist der Ring  $(\mathcal{R}, +, \cdot)$  eine  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe\|Abelsche Gruppe]]  $(\mathcal{G}, +)$.<br>
	*Zusätzlich gilt für alle $z_i, z_j ∈ \mathcal{R}$ auch $(z_i \cdot z_j) ∈ \mathcal{R}$   ⇒   <i>Closure</i>–Kriterium für &bdquo;$\cdot$”.<br>		*Zusätzlich gilt für alle  $z_i, z_j ∈ \mathcal{R}$  auch  $(z_i \cdot z_j) ∈ \mathcal{R}$   ⇒   <i>Closure</i>–Kriterium für &bdquo;$\cdot$”.<br>
	*Es gibt stets auch ein hinsichtlich der Multiplikation neutrales Element $N_{\rm M} ∈ \mathcal{R}$, so dass für alle $z_i ∈ \mathcal{R}$ gilt:   $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$. Bei einer Zahlengruppe ist stets $N_{\rm M} = 1$.<br>		*Es gibt stets auch ein hinsichtlich der Multiplikation neutrales Element  $N_{\rm M} ∈ \mathcal{R}$, so dass für alle  $z_i ∈ \mathcal{R}$  gilt:   $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$. <br>Bei einer Zahlengruppe ist stets  $N_{\rm M} = 1$.<br>

	*Für alle $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{R}$ gilt:   $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$   ⇒   ''Assoziativgesetz'' für &bdquo;$\cdot $”.<br>		*Für alle  $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{R}$  gilt:   $z_i + (z_j + z_k)= (z_i + z_j) + z_k$   ⇒   ''Assoziativgesetz''  für  &bdquo;$\cdot $”.<br>

	*Für alle $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{R}$ gilt:   $z_i \cdot (z_j + z_k) = z_i \cdot z_j + z_i \cdot z_k$   ⇒   ''Distributivgesetz'' für &bdquo;$\cdot $”.}}<br>		*Für alle  $z_i, z_j, z_k ∈ \mathcal{R}$ gilt:   $z_i \cdot (z_j + z_k) = z_i \cdot z_j + z_i \cdot z_k$   ⇒   ''Distributivgesetz''  für  &bdquo;$\cdot $”.}}<br>

	Weiter sollen die folgenden Vereinbarungen gelten:		Weiter sollen die folgenden Vereinbarungen gelten:
	*Ein Ring $(\mathcal{R}, +, \cdot)$ ist nicht notwendigerweise kommutativ. Gilt tatsächlich auch für alle Elemente $z_i, z_j ∈ \mathcal{R}$ das ''Kommutativgesetz'' $z_i \cdot z_j= z_j \cdot z_i$ hinsichtlich der Multiplikation, so spricht man in der Fachliteratur von einem '''kommutativen Ring'''.		*Ein Ring  $(\mathcal{R}, +, \cdot)$  ist nicht notwendigerweise kommutativ. Gilt tatsächlich auch für alle Elemente  $z_i, z_j ∈ \mathcal{R}$  das ''Kommutativgesetz''  $z_i \cdot z_j= z_j \cdot z_i$  hinsichtlich der Multiplikation, so spricht man in der Fachliteratur von einem  '''kommutativen Ring'''.
	*Existiert für jedes Element $z_i ∈ \mathcal{R}$ mit Ausnahme von $N_{\rm A}$ (neutrales Element der Addition, Nullelement) ein hinsichtlich der Multiplikation inverses Element ${\rm Inv_M}(z_i)$, so dass $z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 1$ gilt, so liegt ein <b>Divisionsring</b> (englisch: <i>Division Ring</i>) vor.<br>		*Existiert für jedes Element  $z_i ∈ \mathcal{R}$  mit Ausnahme von  $N_{\rm A}$  (neutrales Element der Addition, Nullelement) ein hinsichtlich der Multiplikation inverses Element  ${\rm Inv_M}(z_i)$, so dass  $z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = 1$  gilt, so liegt ein  <b>Divisionsring</b>  (englisch:   <i>Division Ring</i>) vor.<br>
	*Der Ring ist <b>nullteilerfrei</b> (englisch: <i>free of zero devisors</i>), wenn aus $z_i \cdot z_j = 0$ zwingend $z_i = 0$ oder $z_j = 0$ folgt. In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes ein vom Nullelement verschiedenes Element $z_i$, falls es ein Element $z_j \ne 0$ gibt, so dass das Produkt $z_i \cdot z_j = 0$ ist.<br>		*Der Ring ist  <b>nullteilerfrei</b>  (englisch: <i>free of zero devisors</i>), wenn aus  $z_i \cdot z_j = 0$  zwingend  $z_i = 0$  oder  $z_j = 0$  folgt. In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes ein vom Nullelement verschiedenes Element  $z_i$, falls es ein Element  $z_j \ne 0$  gibt, so dass das Produkt  $z_i \cdot z_j = 0$  ist.<br>
	*Ein kommutativer nullteilerfreier Ring wird als <b>Integritätsring</b> oder <b>Integritätsbereich</b> (englisch: <i>Integral Domain</i>) bezeichnet.<br><br>		*Ein kommutativer nullteilerfreier Ring wird als  <b>Integritätsring</b>  oder  <b>Integritätsbereich</b>  (englisch:  <i>Integral Domain</i>) bezeichnet.<br><br>

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$		$\text{Fazit:}$

	Vergleicht man die Definitionen von [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe\| Gruppe]], Ring (siehe oben), [[Aufgaben:2.1_Gruppe,_Ring,_Körper\|Körper]] und [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\| Galoisfeld]], so erkennt man, dass ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$		Vergleicht man die Definitionen von  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe\| Gruppe]],  Ring (siehe oben), [[Aufgaben:2.1_Gruppe,_Ring,_Körper\|Körper]]  und  [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes\| Galoisfeld]], so erkennt man, dass ein Galoisfeld  ${\rm GF}(q)$
	*ein endlicher Körper (englisch: <i>Field</i> ) mit $q$ Elementen ist,<br>		*ein endlicher Körper (englisch:  <i>Field</i> ) mit  $q$  Elementen ist,<br>

	*gleichzeitig als <i>Commutative Division Ring</i> aufgefasst werden kann, und auch <br>		*gleichzeitig als <i>Commutative Division Ring</i>  aufgefasst werden kann, und auch <br>

	*einen Integritätsbereich (englisch: <i>Integral Domain</i> ) beschreibt.}}<br><br>		*einen Integritätsbereich (englisch: <i>Integral Domain</i> ) beschreibt.}}<br><br>