Kanalcodierung/Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Juli 2019 um 13:25 Uhr

2019-07-01T13:25:06Z

Guenter am 1. Juli 2019 um 13:21 Uhr

2019-07-01T13:21:18Z

Änderungen zeigen

Guenter am 1. Juli 2019 um 10:49 Uhr

2019-07-01T10:49:52Z

Änderungen zeigen

Guenter am 21. Juli 2018 um 09:00 Uhr

2018-07-21T09:00:55Z

Guenter am 21. Juli 2018 um 08:56 Uhr

2018-07-21T08:56:12Z

Guenter am 21. Juli 2018 um 08:55 Uhr

2018-07-21T08:55:07Z

Guenter am 21. Juli 2018 um 08:52 Uhr

2018-07-21T08:52:00Z

Guenter am 21. Juli 2018 um 08:45 Uhr

2018-07-21T08:45:37Z

Änderungen zeigen

Guenter am 20. Juli 2018 um 16:25 Uhr

2018-07-20T16:25:46Z

Änderungen zeigen

Guenter am 20. Juli 2018 um 15:39 Uhr

2018-07-20T15:39:30Z

@@ Zeile 106: / Zeile 106: @@
 Man hätte&nbsp; $W(X)$&nbsp; ebenfalls ohne die &bdquo;$1$&rdquo; definieren können. Damit wäre unter anderem vermieden worden, dass sich die Bhattacharyya&ndash;Schranke für lineare Blockcodes und diejenge für Faltungscodes durch &bdquo;$-1$&rdquo; unterscheiden, wie aus den folgenden Gleichungen hervorgeht:<br>
-*[[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya| Bhattacharyya&ndash;Schranke für die linearen Blockcodes]]: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1
+*[[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya| Bhattacharyya&ndash;Schranke für lineare Blockcodes]]: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1
   \hspace{0.05cm},$
-*[[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Burstfehlerwahrscheinlichkeit_und_Bhattacharyya.E2.80.93Schranke| Bhattacharyya&ndash;Schranke für die Faltungscodes]]: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr(Burstfehler)} \le T(X = \beta)
+*[[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Burstfehlerwahrscheinlichkeit_und_Bhattacharyya.E2.80.93Schranke| Bhattacharyya&ndash;Schranke für Faltungscodes]]: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr(Burstfehler)} \le T(X = \beta)
   \hspace{0.05cm}.$}}

← Nächstältere Version		Version vom 21. Juli 2018, 09:00 Uhr
Zeile 400:		Zeile 400:

	Man spricht von der <b>Viterbi–Schranke</b>. Dabei leitet man die erweiterte Pfadgewichtsfunktion nach dem zweiten Parameter $U$ ab und setzt dann $X = \beta$ und $U = 1$.}}<br>		Man spricht von der <b>Viterbi–Schranke</b>. Dabei leitet man die erweiterte Pfadgewichtsfunktion nach dem zweiten Parameter $U$ ab und setzt dann $X = \beta$ und $U = 1$.}}<br>
−	''Hinweis:'' In [[Aufgaben:Aufgabe_3.14:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken\|Aufgabe 3.14]] werden die ''Viterbi–Schranke'' und die ''Bhattacharyya–Schranke'' für unseren Rate–$1/2$–Standardcode sowie das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\| BSC–Modell]] numerisch ausgewertet.<br>	+	''Hinweis:''   In [[Aufgaben:Aufgabe_3.14:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken\|Aufgabe 3.14]] werden die ''Viterbi–Schranke'' und die ''Bhattacharyya–Schranke'' für unseren Rate–$1/2$–Standardcode sowie das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\| BSC–Modell]] numerisch ausgewertet.<br>

@@ Zeile 164: / Zeile 164: @@
 == Pfadgewichtsfunktion aus Zustandsübergangsdiagramm ==
 <br>
-Es gibt eine elegante Methode, um die Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ und deren Erweiterung direkt aus dem Zustandsübergangsdiagramm zu bestimmen. Dies soll hier und auf den folgenden Seiten am Beispiel unseres [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister_.281.29| Standardcodierers]] demonstriert werden.<br>
+Es gibt eine elegante Methode, um die Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ und deren Erweiterung direkt aus dem Zustandsübergangsdiagramm zu bestimmen. Dies soll hier und auf den folgenden Seiten am Beispiel unseres [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister| Standardcodierers]] demonstriert werden.<br>
 Zunächst muss dazu das Zustandsübergangsdiagramm umgezeichnet werden. Die Grafik zeigt dieses links in der bisherigen Form als Diagramm $\rm (A)$, während rechts das neue Diagramm $\rm (B)$ angegeben ist.<br>

@@ Zeile 109: / Zeile 109: @@
 Man hätte $W(X)$ ebenfalls ohne die &bdquo;$1$&rdquo; definieren können. Damit wäre unter anderem vermieden worden, dass sich die Bhattacharyya&ndash;Schranke für lineare Blockcodes und für Faltungscodes durch &bdquo;$-1$&rdquo; unterscheiden, wie aus den folgenden Gleichungen hervorgeht:<br>
-*[[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya_.281.29| Bhattacharyya&ndash;Schranke für die linearen Blockcodes]]: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1
+*[[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya| Bhattacharyya&ndash;Schranke für die linearen Blockcodes]]: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr(Blockfehler)} \le W(X = \beta) -1
   \hspace{0.05cm},$
-*[[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Burstfehlerwahrscheinlichkeit_und_Bhattacharyya.E2.80.93Schranke_.282.29| Bhattacharyya&ndash;Schranke für die Faltungscodes]]: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr(Burstfehler)} \le T(X = \beta)
+*[[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken#Burstfehlerwahrscheinlichkeit_und_Bhattacharyya.E2.80.93Schranke| Bhattacharyya&ndash;Schranke für die Faltungscodes]]: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr(Burstfehler)} \le T(X = \beta)
   \hspace{0.05cm}.$}}

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 [[Datei:P ID2684 KC T 3 5 S1 neu.png|right|frame| Codewort des $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Die Tabelle zeigt die 16 Codeworte des [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes| $(7, 4, 3)$&ndash;Hamming&ndash;Codes]].<br>
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Die Tabelle zeigt die 16 Codeworte des [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes| $(7, 4, 3)$&ndash;Hamming&ndash;Codes]] ($\text{Beispiel 7}$).<br>
 *Alle Codeworte außer dem Nullwort $(\underline{0})$ beinhalten mindestens drei Einsen &nbsp; &#8658; &nbsp; $d_{\rm min} = 3$.
 *Es gibt sieben Codeworte mit drei Einsen, sieben mit vier Einsen und je eines ohne Einsen bzw. mit sieben Einsen.}}

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == Freie Distanz vs. Minimale Distanz ==
 <br>
-Eine wichtige Kenngröße hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit linearer Blockcodes ist die <i>minimale Distanz</i> zwischen zwei Codeworten:
+Eine wichtige Kenngröße hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit linearer Blockcodes ist die <i>minimale Distanz</i> zwischen zwei Codeworten $\underline{x}$ und $\underline{x}\hspace{0.05cm}'$:
 ::<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =
-			\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')
+			\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}\hspace{0.05cm}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}\hspace{0.05cm}')
+			=
 			\min_{\substack{\underline{x} \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{0}}}\hspace{0.1cm}w_{\rm H}(\underline{x})
 			\hspace{0.05cm}.</math>
-Der zweite Gleichungsteil ergibt sich aus der Tatsache, dass jeder lineare Code auch das Nullwort $(\underline{0})$ beinhaltet. Zweckmäßigerweise setzt man deshalb $\underline{x}' = \underline{0}$, so dass die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| Hamming&ndash;Distanz]] $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{0})$ das gleiche Ergebnis liefert wie das Hamming&ndash;Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x})$.<br>
+Der zweite Gleichungsteil ergibt sich aus der Tatsache, dass jeder lineare Code auch das Nullwort $(\underline{0})$ beinhaltet. Zweckmäßigerweise setzt man deshalb $\underline{x}\hspace{0.05cm}' = \underline{0}$, so dass die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| Hamming&ndash;Distanz]] $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{0})$ das gleiche Ergebnis liefert wie das Hamming&ndash;Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x})$.<br>
 [[Datei:P ID2684 KC T 3 5 S1 neu.png|right|frame| Codewort des $(7, 4, 3)$–Hamming–Codes|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Die Tabelle zeigt die 16 Codeworte des [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes| (7, 4, 3)&ndash;Hamming&ndash;Codes]].<br>
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  Die Tabelle zeigt die 16 Codeworte des [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes| $(7, 4, 3)$&ndash;Hamming&ndash;Codes]].<br>
 *Alle Codeworte außer dem Nullwort $(\underline{0})$ beinhalten mindestens drei Einsen &nbsp; &#8658; &nbsp; $d_{\rm min} = 3$.
 *Es gibt sieben Codeworte mit drei Einsen, sieben mit vier Einsen und je eines ohne Einsen bzw. mit sieben Einsen.}}
 <br clear=all>
-Die <b>freie Distanz</b> $d_{\rm F}$ eines Faltungscodes (<i>Convolution Code</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm CC}$) unterscheidet sich formelmäßig nicht von der minimalen Distanz eines linearen Blockcodes:
+Die <b>freie Distanz</b> $d_{\rm F}$ eines Faltungscodes (<i>Convolution Code</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; $\mathcal{CC}$) unterscheidet sich formelmäßig nicht von der minimalen Distanz eines linearen Blockcodes:
 ::<math>d_{\rm F}(\mathcal{CC}) =
-			\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{CC} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')
+			\min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}\hspace{0.05cm}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{CC} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}\hspace{0.05cm}')
+			=
 			\min_{\substack{\underline{x} \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{CC} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{0}}}\hspace{0.1cm}w_{\rm H}(\underline{x})
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 In der Literatur wird anstelle von $d_{\rm F}$ teilweise auch $d_{&#8734;}$ verwendet.
-*Wesentlicher Unterschied zur minimalen Distanz ist, dass bei Faltungscodes nicht Informations&ndash; und Codeworte zu betrachten sind, sondern Sequenzen mit der Eigenschaft [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Voraussetzungen_und_Definitionen semi&ndash;infinite]].<br>
+*Wesentlicher Unterschied zur minimalen Distanz ist, dass bei Faltungscodes nicht Informations&ndash; und Codeworte zu betrachten sind, sondern Sequenzen mit der Eigenschaft [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Voraussetzungen_und_Definitionen| semi&ndash;infinite]].<br>
 Die Grafik zeigt drei der unendlich vielen Pfade mit dem minimalen Hamming&ndash;Gewicht $w_{\rm H, \ min}(\underline{x}) = d_{\rm F} = 5$.<br>
-[[Datei:P ID2685 KC T 3 5 S1c v1.png|center|frame| Einige Pfade mit $w(\underline{x}) = d_{\rm F}$|class=fit]]
+[[Datei:P ID2685 KC T 3 5 S1c v1.png|center|frame| Einige Pfade mit $w(\underline{x}) = d_{\rm F} = 5$|class=fit]]
 == Pfadgewichtsfunktion==