Kanalcodierung/Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:11 Uhr

2022-10-07T16:11:13Z

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:09 Uhr

2022-10-07T16:09:03Z

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:07 Uhr

2022-10-07T16:07:02Z

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:04 Uhr

2022-10-07T16:04:08Z

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:02 Uhr

2022-10-07T16:02:56Z

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:00 Uhr

2022-10-07T16:00:18Z

Guenter am 7. Oktober 2022 um 15:47 Uhr

2022-10-07T15:47:47Z

Änderungen zeigen

Guenter am 7. Oktober 2022 um 12:21 Uhr

2022-10-07T12:21:06Z

Guenter am 5. Oktober 2022 um 16:48 Uhr

2022-10-05T16:48:26Z

Guenter am 5. Oktober 2022 um 16:35 Uhr

2022-10-05T16:35:27Z

Änderungen zeigen

@@ Zeile 372: / Zeile 372: @@
 # Ein weiterer Entwurfsparameter ist die Coderate&nbsp; $R=k/n$,&nbsp; wobei die Codewortlänge&nbsp; $n = 2^m -1$&nbsp; nicht völlig frei wählbar ist.&nbsp; Durch Erweiterung,&nbsp; Verkürzung und Punktierung &ndash; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.09Z:_Erweiterung_und/oder_Punktierung|"Aufgabe 1.9Z"]]&nbsp; &ndash; kann die Vielzahl an möglichen Codes weiter vergrößert werden.<br>
 # Bei Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes ist die Gewichtsverteilung exakt bekannt und es ist eine Anpassung an die Fehlerstruktur des Kanals möglich.&nbsp; Diese Codes sind insbesondere für Bündelfehlerkanäle gut geeignet,&nbsp; die bei mobilen Funksystemen aufgrund temporärer Abschattungen häufig vorliegen.<br>
-# Im Falle statistisch unabhängiger Fehler sind so genannte &nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/BCH-Code BCH&ndash;Codes]&nbsp; $($von $\rm B$ose&ndash;$\rm C$haudhuri&ndash;$\rm H$ocquenghem$)$&nbsp; besser geeignet.&nbsp; Diese sind mit den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes eng verwandt,&nbsp; allerdings erfüllen sie nicht immer das Singleton&ndash;Kriterium.&nbsp; Eine ausführliche Beschreibung finden Sie in&nbsp; [Fri96]<ref name='Fri96'>Friedrichs, B.:&nbsp; Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.&nbsp; Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>.<br>
+# Im Falle statistisch unabhängiger Fehler sind so genannte &nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/BCH-Code "BCH&ndash;Codes"]&nbsp; $($von $\rm B$ose&ndash;$\rm C$haudhuri&ndash;$\rm H$ocquenghem$)$&nbsp; besser geeignet.&nbsp; Diese sind mit den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes eng verwandt,&nbsp; allerdings erfüllen sie nicht immer das Singleton&ndash;Kriterium.&nbsp; Eine ausführliche Beschreibung finden Sie in&nbsp; [Fri96]<ref name='Fri96'>Friedrichs, B.:&nbsp; Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.&nbsp; Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>.<br>
 # Die Decodierung nach dem&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_problem "BDD&ndash;Prinzip"]&nbsp; ("Bounded Distance Decoding")&nbsp; kann rechentechnisch sehr einfach erfolgen,&nbsp; zum Beispiel mit dem&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Berlekamp-Massey-Algorithmus "Berlekamp&ndash;Massey&ndash;Algorithmus"].&nbsp; Zudem kann der Decoder ohne großen Mehraufwand auch&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Soft-decision_decoder "Soft Decision Information"]&nbsp; verarbeiten.<br>

@@ Zeile 283: / Zeile 283: @@
 [[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png|right|frame|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$|class=fit]]
 &rArr; &nbsp; Aus der oberen Tabelle kann unter anderem abgelesen werden:
@@ Zeile 289: / Zeile 288: @@
 :$$W_2 = 9,\ \ W_3 = 6.$$
 *Es gibt kein einziges Codewort mit nur einer Null. Das heißt: &nbsp; Die minimale Distanz beträgt hier&nbsp;
-:$$d_{\rm min} = 2.$$ <br>
+:$$d_{\rm min} = 2.$$
 &rArr; &nbsp; Aus der unteren Tabelle erkennt man, dass auch für die Binärdarstellung&nbsp; $d_{\rm min} = 2$&nbsp; gilt.}}<br>

@@ Zeile 280: / Zeile 280: @@
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Die Tabelle verdeutlicht die Bestimmung des Distanzspektrums für den&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$.
 *Gegenüber den bisherigen Grafiken wird  die Symbolmenge vereinfachend mit&nbsp; $\{0,\ 1,\ 2,\ 3\}$&nbsp; anstelle von $\{0,\ \alpha^0,\ \alpha^1,\ \alpha^2\}$&nbsp; bezeichnet.
-*Die Distanz&nbsp; $d$&nbsp;  zwischen&nbsp; $\underline {c}_j$&nbsp; und dem Nullwort&nbsp;  $\underline {c}_0$&nbsp; ist identisch dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming&ndash;Gewicht]]&nbsp; $w_{\rm H}(\underline {c}_j)$.<br>
+*Die Distanz&nbsp; $d$&nbsp;  zwischen&nbsp; $\underline {c}_j$&nbsp; und dem Nullwort&nbsp;  $\underline {c}_0$&nbsp; ist identisch dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|"Hamming&ndash;Gewicht"]]&nbsp; $w_{\rm H}(\underline {c}_j)$.<br>
 [[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png|right|frame|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$|class=fit]]
@@ Zeile 301: / Zeile 301: @@
 # Bei&nbsp; "fehlerkorrigierenden Codes"&nbsp; wählt man meist&nbsp; $d_{\rm min} $&nbsp; ungeradzahlig &nbsp; &#8658; &nbsp; $n-k$&nbsp; geradzahlig.
 # Bei Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes können dann bis zu &nbsp; $t =(n-k)/2$&nbsp; Symbolfehler korrigiert werden.<br>
-# Die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Singleton-Schranke Singleton&ndash;Schranke]&nbsp; besagt,&nbsp; dass für alle linearen Codes&nbsp; $d_{\rm min} \le n-k+1$&nbsp; gilt.
+# Die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Singleton-Schranke "Singleton&ndash;Schranke"]&nbsp; besagt,&nbsp; dass für alle linearen Codes&nbsp; $d_{\rm min} \le n-k+1$&nbsp; gilt.
-# Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes erreichen diese Schranke mit Gleichheit;&nbsp; sie sind so genannte&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/MDS-Code MDS&ndash;Codes]&nbsp; ("Maximum Distance Separable").
+# Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes erreichen diese Schranke mit Gleichheit;&nbsp; sie sind so genannte&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/MDS-Code "MDS&ndash;Codes"]&nbsp; ("Maximum Distance Separable").
-# Das&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes| Distanzspektrum]]&nbsp; setzt sich zusammen aus&nbsp; $W_0 = 1$&nbsp; sowie weiteren Gewichtsfaktoren&nbsp; $W_i$&nbsp; mit&nbsp; $d &#8804; i &#8804; n$,&nbsp; wobei in der folgenden Gleichung&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; mit&nbsp; $d$&nbsp; abgekürzt ist:
+# Das&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes| "Distanzspektrum"]]&nbsp; setzt sich zusammen aus&nbsp; $W_0 = 1$&nbsp; sowie weiteren Gewichtsfaktoren&nbsp; $W_i$&nbsp; mit&nbsp; $d &#8804; i &#8804; n$,&nbsp; wobei in der folgenden Gleichung&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; mit&nbsp; $d$&nbsp; abgekürzt ist:
 :::<math>W_i =   {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \bigg  [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \bigg ]\hspace{0.05cm}.</math>}}

@@ Zeile 271: / Zeile 271: @@
 == Singleton–Schranke und minimale Distanz ==
 <br>
-Eine wichtige Kenngröße eines jeden Blockcodes ist die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| minimale  Distanz]]&nbsp; zwischen zwei beliebigen Codeworten&nbsp; $\underline {c}_i$&nbsp; und&nbsp; $\underline {c}_j$.
+Eine wichtige Kenngröße eines jeden Blockcodes ist die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| "minimale  Distanz"]]&nbsp; zwischen zwei beliebigen Codeworten&nbsp; $\underline {c}_i$&nbsp; und&nbsp; $\underline {c}_j$.
 *Die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gehören zur Klasse der&nbsp; '''linearen</i> und&nbsp; zyklischen'''&nbsp; Codes.&nbsp; Bei diesen kann man vom Nullwort&nbsp; $\underline {c}_0 = (0,  0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm},  0)$&nbsp; als Bezugsgröße ausgehen.

@@ Zeile 199: / Zeile 199: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-&rArr; &nbsp; Diee&nbsp;[[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix| "Generatormatrix"]]&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; $(k$ Zeilen,&nbsp; $n$ Spalten$)$&nbsp; und&nbsp;  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix| Prüfmatrix]]&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; $(n-k$ Zeilen,&nbsp; $n$&nbsp; Spalten$)$ müssen gemeinsam folgende Gleichung erfüllen:
+&rArr; &nbsp; Diee&nbsp;[[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix| "Generatormatrix"]]&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; $(k$ Zeilen,&nbsp; $n$ Spalten$)$&nbsp; und&nbsp;  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix| "Prüfmatrix"]]&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; $(n-k$ Zeilen,&nbsp; $n$&nbsp; Spalten$)$ müssen gemeinsam folgende Gleichung erfüllen:
 :$${\boldsymbol{\rm G} } \cdot { \boldsymbol{\rm H } }^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm 0} }\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;  Ein&nbsp; $(n,\ k)$'''&ndash;Reed&ndash;Solomon&ndash;Code'''&nbsp; für das Galoisfeld&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$&nbsp; wird festgelegt durch
-*die&nbsp; $n= 2^{m-1}$&nbsp; Elemente von&nbsp; ${\rm GF}(2^m) \hspace{-0.05cm}\setminus \hspace{-0.05cm} \{0\} =\{ \alpha^0, \alpha^1, \, \text{...} \, ,  \alpha^{n-1}\}$,&nbsp; wobei&nbsp; $\alpha$&nbsp; ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.E2.80.93_Primitive_Polynome|primitives Element]]&nbsp; von&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$&nbsp; bezeichnet,
+*die&nbsp; $n= 2^{m-1}$&nbsp; Elemente von&nbsp; ${\rm GF}(2^m) \hspace{-0.05cm}\setminus \hspace{-0.05cm} \{0\} =\{ \alpha^0, \alpha^1, \, \text{...} \, ,  \alpha^{n-1}\}$,&nbsp; wobei&nbsp; $\alpha$&nbsp; ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.E2.80.93_Primitive_Polynome|"primitives Element"]]&nbsp; von&nbsp; ${\rm GF}(2^m)$&nbsp; bezeichnet,
-*ein an den Informationsblockt&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; angepasstes&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Polynom]]&nbsp; vom Grad&nbsp; $k-1$&nbsp; der Form
+*ein an den Informationsblockt&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; angepasstes&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|"Polynom"]]&nbsp; vom Grad&nbsp; $k-1$&nbsp; der Form
 ::<math>u(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} u_i \cdot x^{i}  = u_0 + u_1 \cdot x + u_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ u_{k-1} \cdot x^{k-1}   \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} u_i \in {\rm GF}(2^m)

@@ Zeile 198: / Zeile 198: @@
 *der Codewortlänge&nbsp; $n$&nbsp; (Symbolanzahl pro Codewort).<br><br>
-[[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix| Generatormatrix]]&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; $(k$ Zeilen,&nbsp; $n$ Spalten$)$&nbsp; und&nbsp;  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix| Prüfmatrix]]&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; $(n-k$ Zeilen,&nbsp; $n$&nbsp; Spalten$)$ müssen gemeinsam folgende Gleichung erfüllen:
+{{BlaueBox|TEXT=
-::<math>{ \boldsymbol{\rm G}} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm 0}}\hspace{0.05cm}.</math>
+:$${\boldsymbol{\rm G} } \cdot { \boldsymbol{\rm H } }^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm 0} }\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet&nbsp; $\boldsymbol{\rm 0}$&nbsp; eine Nullmatrix $($alle Elemente gleich $0)$&nbsp; mit&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n-k$&nbsp; Spalten.<br>
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; "$\boldsymbol{\rm 0}$"&nbsp; eine Nullmatrix:&nbsp; $($alle Elemente gleich $0)$&nbsp; mit&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n-k$&nbsp; Spalten.}}<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten den&nbsp; $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Codeparameter&nbsp; $n= 7$,&nbsp; $k= 3$, basierend auf dem Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2^3 = 8)$&nbsp; mit der Nebenbedingung&nbsp; $\alpha^3 =\alpha + 1$. Beachten Sie hinsichtlich der Codebezeichnung:
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten den&nbsp; $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$.
-*Der dritte Parameter der für Blockcodes üblichen Nomenklatur nennt die freie Distanz&nbsp; $d_{\rm min}= 5$.<br>
+*odeparameter&nbsp; $n= 7$,&nbsp; $k= 3$,
-*Anders als bei den im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]]&nbsp; behandelten binären Codes (Single Parity–check Code, Repetition Code, Hamming Code) wird bei den Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes noch der Hinweis&nbsp; $q$&nbsp; zum Galoisfeld hinzugefügt&nbsp; $($hier: &nbsp; $q = 8)$.<br><br>
+*basierend auf dem Galoisfeld&nbsp; $\rm GF(2^3 = 8)$&nbsp;
 Alle Elemente der Generatormatrix und der Prüfmatrix,
@@ Zeile 250: / Zeile 259: @@
 Dies soll hier nur für zwei Elemente nachgewiesen werden:
-*Erste Zeile, erste Spalte:
+*Erste Zeile,&nbsp; erste Spalte:
 ::<math>1 \hspace{0.1cm}  \cdot  \hspace{0.1cm} \big [1 + \alpha^1 + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6 \big ] =   1 + \alpha + \alpha^2 + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + \alpha)+ (\alpha^2 + \alpha +1)+ (\alpha^2 + 1) = 0 \hspace{0.05cm}; </math>
-*Letzte Zeile, letzte Spalte:
+*Letzte Zeile,&nbsp; letzte Spalte:
 ::<math>1 \hspace{0.1cm}  \cdot  \hspace{0.1cm} 1 + \alpha^2 \cdot \alpha^4 + \alpha^4 \cdot \alpha^1
@@ Zeile 263: / Zeile 272: @@
 <br>
 Eine wichtige Kenngröße eines jeden Blockcodes ist die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| minimale  Distanz]]&nbsp; zwischen zwei beliebigen Codeworten&nbsp; $\underline {c}_i$&nbsp; und&nbsp; $\underline {c}_j$.
-*Die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gehören zur Klasse der&nbsp; <i>linearen</i>&nbsp; und&nbsp; <i>zyklischen</i>&nbsp; Codes. Bei diesen kann man vom Nullwort&nbsp; $\underline {c}_0 = (0,  0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm},  0)$&nbsp; als Bezugsgröße ausgehen.
+*Die Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes gehören zur Klasse der&nbsp; '''linearen</i> und&nbsp; zyklischen'''&nbsp; Codes.&nbsp; Bei diesen kann man vom Nullwort&nbsp; $\underline {c}_0 = (0,  0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm},  0)$&nbsp; als Bezugsgröße ausgehen.
 *Aus der Anzahl der Nullen in den anderen Codeworten&nbsp; $\underline {c}_j &ne; \underline {c}_0$&nbsp; lässt sich das [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29| Distanzspektrum]]&nbsp; $\{ \hspace{0.05cm}W_j\hspace{0.05cm}\}$&nbsp; angeben.<br>
@@ Zeile 272: / Zeile 282: @@
 *Die Distanz&nbsp; $d$&nbsp;  zwischen&nbsp; $\underline {c}_j$&nbsp; und dem Nullwort&nbsp;  $\underline {c}_0$&nbsp; ist identisch dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming&ndash;Gewicht]]&nbsp; $w_{\rm H}(\underline {c}_j)$.<br>
-[[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png|center|frame|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$|class=fit]]
+[[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png|right|frame|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$|class=fit]]
 Aus der unteren Tabelle erkennt man, dass auch für die Binärdarstellung&nbsp; $d_{\rm min} = 2$&nbsp; gilt.}}<br>
 Dieses empirische Ergebnis soll nun verallgemeinert werden:
@@ Zeile 285: / Zeile 298: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Ohne Beweis:}$&nbsp;
-*Die&nbsp; <i>minimale Distanz</i>&nbsp; eines jeden&nbsp; $(n, k)$&ndash;Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes ist&nbsp; $d_{\rm min} =n-k+1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; es lassen sich&nbsp; $e = d_{\rm min} -1 =n-k$&nbsp; Symbolfehler erkennen.<br>
+# Die&nbsp; "minimale Distanz"&nbsp; eines jeden&nbsp; $(n, k)$&ndash;Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes ist &nbsp; $d_{\rm min} =n-k+1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; es lassen sich &nbsp; $e = d_{\rm min} -1 =n-k$ &nbsp; Symbolfehler erkennen.<br>
+# Bei&nbsp; "fehlerkorrigierenden Codes"&nbsp; wählt man meist&nbsp; $d_{\rm min} $&nbsp; ungeradzahlig &nbsp; &#8658; &nbsp; $n-k$&nbsp; geradzahlig.
-*Bei&nbsp; <i>fehlerkorrigierenden Codes</i>&nbsp; wählt man meist&nbsp; $d_{\rm min} $&nbsp; ungeradzahlig &nbsp; &#8658; &nbsp; $n-k$&nbsp; geradzahlig. Bei RS&ndash;Codes können dann bis zu&nbsp; $t =(n-k)/2$&nbsp; Symbolfehler korrigiert werden.<br>
+# Bei Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes können dann bis zu &nbsp; $t =(n-k)/2$&nbsp; Symbolfehler korrigiert werden.<br>
+# Die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Singleton-Schranke Singleton&ndash;Schranke]&nbsp; besagt,&nbsp; dass für alle linearen Codes&nbsp; $d_{\rm min} \le n-k+1$&nbsp; gilt.
-*Die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Singleton-Schranke Singleton&ndash;Schranke]&nbsp; besagt, dass für alle linearen Codes&nbsp; $d_{\rm min} \le n-k+1$&nbsp; gilt. RS&ndash;Codes erreichen diese Schranke mit Gleichheit; sie sind so genannte&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/MDS-Code MDS&ndash;Codes]&nbsp; (<i>Maximum Distance Separable</i>&nbsp;).
+# Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes erreichen diese Schranke mit Gleichheit;&nbsp; sie sind so genannte&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/MDS-Code MDS&ndash;Codes]&nbsp; ("Maximum Distance Separable").
+# Das&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes| Distanzspektrum]]&nbsp; setzt sich zusammen aus&nbsp; $W_0 = 1$&nbsp; sowie weiteren Gewichtsfaktoren&nbsp; $W_i$&nbsp; mit&nbsp; $d &#8804; i &#8804; n$,&nbsp; wobei in der folgenden Gleichung&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; mit&nbsp; $d$&nbsp; abgekürzt ist:
-::<math>W_i =   {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \bigg  [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \bigg ]\hspace{0.05cm}.</math>}}
+:::<math>W_i =   {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \bigg  [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \bigg ]\hspace{0.05cm}.</math>}}
 == Codebezeichnung und Coderate ==

@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wir betrachten wie im&nbsp; $\text{Beispiel 2}$&nbsp; (vorherige Seite) den&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$, dessen Generatormatrix folgende Form hat:
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wir betrachten wie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Codierprinzip_und_Codeparameter|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; (vorherige Seite)&nbsp; den&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$, dessen Generatormatrix folgende Form hat:
 :<math> { \boldsymbol{\rm G} } =
@@ Zeile 161: / Zeile 161: @@
 Daneben gilt:
-*Die erste Zeile von&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; gibt das Codewort für das Informationswort&nbsp; $\underline {u}_1 = (1,  0)$&nbsp; an bzw. für die Polynomfunktion $u_1(x) = 1$. Damit erhält man die Matrixelemente der ersten Zeile zu
+*Die erste Zeile von&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; gibt das Codewort für das Informationswort&nbsp; $\underline {u}_1 = (1,  0)$&nbsp; an bzw. für die Polynomfunktion&nbsp; $u_1(x) = 1$.&nbsp; Damit erhält man die Matrixelemente der ersten Zeile zu
-::<math>g_{00} = u_{1}(\alpha^{0}) = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+:$$g_{00} = u_{1}(\alpha^{0}) = 1\hspace{0.05cm},$$
-g_{01} = u_{1}(\alpha^{1}) = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+:$$g_{01} = u_{1}(\alpha^{1}) = 1\hspace{0.05cm},$$
-g_{02} = u_{1}(\alpha^{2}) = 1\hspace{0.05cm}.</math>
+:$$g_{02} = u_{1}(\alpha^{2}) = 1\hspace{0.05cm}.$$
-*Die zweite Zeile ist gleich dem Codewort für das Informationswort $\underline {u}_2 = (0,  1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $u_2(x) = x$. Die Matrixelemente der zweiten Zeile lauten somit:
+*Die zweite Zeile ist gleich dem Codewort für das Informationswort&nbsp; $\underline {u}_2 = (0,\  1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $u_2(x) = x$.&nbsp; Die Matrixelemente der zweiten Zeile lauten somit:
-::<math>g_{10} = u_{2}(\alpha^{0}) = \alpha^{0} = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+:$$g_{10} = u_{2}(\alpha^{0}) = \alpha^{0} = 1\hspace{0.05cm},$$
-g_{11} = u_{2}(\alpha^{1}) =  \alpha \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+:$$g_{11} = u_{2}(\alpha^{1}) =  \alpha \hspace{0.05cm},$$
-g_{12} = u_{2}(\alpha^{2}) = \alpha^{2}\hspace{0.05cm}.</math>
+:$$g_{12} = u_{2}(\alpha^{2}) = \alpha^{2}\hspace{0.05cm}.$$
-::<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm}	 { \boldsymbol{\rm G} } =
+* Somit lautet die komplette Generatormatrix:
 \begin{pmatrix}
 & 1 & 1\\
@@ Zeile 179: / Zeile 180: @@
 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>
-Für das Informationswort $\underline {u}= (u_0, \ u_1)$ mit den Symbolen $u_0, \ u_1 &#8712; \{0, \ \alpha^0, \ \alpha^1 = \alpha, \ \alpha^2\}$&nbsp; erhält man unter Berücksichtigung der beiden Gleichungen&nbsp; $\alpha^2 = \alpha + 1$&nbsp; sowie&nbsp; $\alpha^3 = \alpha^0 = 1$&nbsp; wiederum die Codetabelle des&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$&nbsp; auf Symbolebene.<br>
+[[Datei:P ID2519 KC T 2 3 S2a v1.png|right|frame|Codetabelle des&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$&nbsp; auf Symbolebene|class=fit]]
-[[Datei:P ID2519 KC T 2 3 S2a v1.png|center|frame|Codetabelle des&nbsp; $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$&nbsp; auf Symbolebene|class=fit]]
+# Man erhält natürlich mit der gleichen Generatormatrix genau die gleiche Codetabelle&nbsp; $\underline {u} &nbsp; &#8596; &nbsp; \underline {c}$&nbsp; wie nach der Berechnung über die Funktion&nbsp; $u(x)$.
+# Die entsprechende Codetabelle auf Bitebene&nbsp; $($siehe&nbsp; $\text{Beispiel 2}$&nbsp; auf der vorherigen Seite$)$&nbsp; ergibt sich wieder,&nbsp; wenn man die Elemente nicht in Exponentendarstellung angibt,&nbsp; sondern in Koeffizientenform:
 ::<math>(0, \hspace{0.1cm}\alpha^{0}, \hspace{0.1cm}\alpha^{1}, \hspace{0.1cm}\alpha^{2}) \hspace{0.3cm}\Leftrightarrow\hspace{0.3cm}(00, \hspace{0.1cm}01, \hspace{0.1cm}10, \hspace{0.1cm}11)