Kanalcodierung/Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:27:34Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:27 Uhr
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Channel_Coding/Definition_and_Properties_of_Reed-Solomon_Codes]]

Maintenance script: Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

2026-02-27T14:00:04Z

Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

← Nächstältere Version		Version vom 27. Februar 2026, 16:00 Uhr
Zeile 349:		Zeile 349:
	:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}W(X) = 1 + 9 \cdot X^2 + 6 \cdot X^3\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}W(X) = 1 + 9 \cdot X^2 + 6 \cdot X^3\hspace{0.05cm}.$$

	:$$\text{RSC (6, 4, 2)}_2\text{:} \hspace{0.3cm} W_0 = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_2 = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_3 = 8		:$$\text{RSC (6, 4, 2)}_2\text{:} \hspace{0.3cm} W_0 = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_2 = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_3 = 8 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_4 = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_6 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}W(X) = 1 + 3 \cdot X^2 + 8 \cdot X^3 + 4 \cdot X^4 + X^6 \hspace{0.05cm}.$$}}
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_4 = 3\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_6 = 1
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}W(X) = 1 + 3 \cdot X^2 + 8 \cdot X^3 + 4 \cdot X^4 + X^6 \hspace{0.05cm}.$$}}

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:11 Uhr

2022-10-07T16:11:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2022, 18:11 Uhr
Zeile 372:		Zeile 372:
	# Ein weiterer Entwurfsparameter ist die Coderate  $R=k/n$,  wobei die Codewortlänge  $n = 2^m -1$  nicht völlig frei wählbar ist.  Durch Erweiterung,  Verkürzung und Punktierung – siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_1.09Z:_Erweiterung_und/oder_Punktierung\|"Aufgabe 1.9Z"]]  – kann die Vielzahl an möglichen Codes weiter vergrößert werden.<br>		# Ein weiterer Entwurfsparameter ist die Coderate  $R=k/n$,  wobei die Codewortlänge  $n = 2^m -1$  nicht völlig frei wählbar ist.  Durch Erweiterung,  Verkürzung und Punktierung – siehe  [[Aufgaben:Aufgabe_1.09Z:_Erweiterung_und/oder_Punktierung\|"Aufgabe 1.9Z"]]  – kann die Vielzahl an möglichen Codes weiter vergrößert werden.<br>
	# Bei Reed–Solomon–Codes ist die Gewichtsverteilung exakt bekannt und es ist eine Anpassung an die Fehlerstruktur des Kanals möglich.  Diese Codes sind insbesondere für Bündelfehlerkanäle gut geeignet,  die bei mobilen Funksystemen aufgrund temporärer Abschattungen häufig vorliegen.<br>		# Bei Reed–Solomon–Codes ist die Gewichtsverteilung exakt bekannt und es ist eine Anpassung an die Fehlerstruktur des Kanals möglich.  Diese Codes sind insbesondere für Bündelfehlerkanäle gut geeignet,  die bei mobilen Funksystemen aufgrund temporärer Abschattungen häufig vorliegen.<br>
	# Im Falle statistisch unabhängiger Fehler sind so genannte   [https://de.wikipedia.org/wiki/BCH-Code BCH–Codes]  $($von $\rm B$ose–$\rm C$haudhuri–$\rm H$ocquenghem$)$  besser geeignet.  Diese sind mit den Reed–Solomon–Codes eng verwandt,  allerdings erfüllen sie nicht immer das Singleton–Kriterium.  Eine ausführliche Beschreibung finden Sie in  [Fri96]<ref name='Fri96'>Friedrichs, B.:  Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.  Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>.<br>		# Im Falle statistisch unabhängiger Fehler sind so genannte   [https://de.wikipedia.org/wiki/BCH-Code "BCH–Codes"]  $($von $\rm B$ose–$\rm C$haudhuri–$\rm H$ocquenghem$)$  besser geeignet.  Diese sind mit den Reed–Solomon–Codes eng verwandt,  allerdings erfüllen sie nicht immer das Singleton–Kriterium.  Eine ausführliche Beschreibung finden Sie in  [Fri96]<ref name='Fri96'>Friedrichs, B.:  Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikations- systemen.  Berlin – Heidelberg: Springer, 1996.</ref>.<br>
	# Die Decodierung nach dem  [https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_problem "BDD–Prinzip"]  ("Bounded Distance Decoding")  kann rechentechnisch sehr einfach erfolgen,  zum Beispiel mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Berlekamp-Massey-Algorithmus "Berlekamp–Massey–Algorithmus"].  Zudem kann der Decoder ohne großen Mehraufwand auch  [https://en.wikipedia.org/wiki/Soft-decision_decoder "Soft Decision Information"]  verarbeiten.<br>		# Die Decodierung nach dem  [https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_problem "BDD–Prinzip"]  ("Bounded Distance Decoding")  kann rechentechnisch sehr einfach erfolgen,  zum Beispiel mit dem  [https://de.wikipedia.org/wiki/Berlekamp-Massey-Algorithmus "Berlekamp–Massey–Algorithmus"].  Zudem kann der Decoder ohne großen Mehraufwand auch  [https://en.wikipedia.org/wiki/Soft-decision_decoder "Soft Decision Information"]  verarbeiten.<br>

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:09 Uhr

2022-10-07T16:09:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2022, 18:09 Uhr
Zeile 283:		Zeile 283:

	[[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png\|right\|frame\|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den  $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$\|class=fit]]		[[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png\|right\|frame\|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den  $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$\|class=fit]]


	⇒   Aus der oberen Tabelle kann unter anderem abgelesen werden:		⇒   Aus der oberen Tabelle kann unter anderem abgelesen werden:
Zeile 289:		Zeile 288:
	:$$W_2 = 9,\ \ W_3 = 6.$$		:$$W_2 = 9,\ \ W_3 = 6.$$
	*Es gibt kein einziges Codewort mit nur einer Null. Das heißt:   Die minimale Distanz beträgt hier		*Es gibt kein einziges Codewort mit nur einer Null. Das heißt:   Die minimale Distanz beträgt hier
	:$$d_{\rm min} = 2.$$ ~~<br>~~		:$$d_{\rm min} = 2.$$


	⇒   Aus der unteren Tabelle erkennt man, dass auch für die Binärdarstellung  $d_{\rm min} = 2$  gilt.}}<br>		⇒   Aus der unteren Tabelle erkennt man, dass auch für die Binärdarstellung  $d_{\rm min} = 2$  gilt.}}<br>

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:07 Uhr

2022-10-07T16:07:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2022, 18:07 Uhr
Zeile 280:		Zeile 280:
	$\text{Beispiel 5:}$  Die Tabelle verdeutlicht die Bestimmung des Distanzspektrums für den  $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$.		$\text{Beispiel 5:}$  Die Tabelle verdeutlicht die Bestimmung des Distanzspektrums für den  $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$.
	*Gegenüber den bisherigen Grafiken wird die Symbolmenge vereinfachend mit  $\{0,\ 1,\ 2,\ 3\}$  anstelle von $\{0,\ \alpha^0,\ \alpha^1,\ \alpha^2\}$  bezeichnet.		*Gegenüber den bisherigen Grafiken wird die Symbolmenge vereinfachend mit  $\{0,\ 1,\ 2,\ 3\}$  anstelle von $\{0,\ \alpha^0,\ \alpha^1,\ \alpha^2\}$  bezeichnet.
	*Die Distanz  $d$  zwischen  $\underline {c}_j$  und dem Nullwort  $\underline {c}_0$  ist identisch dem  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\|Hamming–Gewicht]]  $w_{\rm H}(\underline {c}_j)$.<br>		*Die Distanz  $d$  zwischen  $\underline {c}_j$  und dem Nullwort  $\underline {c}_0$  ist identisch dem  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\|"Hamming–Gewicht"]]  $w_{\rm H}(\underline {c}_j)$.<br>

	[[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png\|right\|frame\|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den  $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$\|class=fit]]		[[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png\|right\|frame\|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den  $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$\|class=fit]]
Zeile 301:		Zeile 301:
	# Bei  "fehlerkorrigierenden Codes"  wählt man meist  $d_{\rm min} $  ungeradzahlig   ⇒   $n-k$  geradzahlig.		# Bei  "fehlerkorrigierenden Codes"  wählt man meist  $d_{\rm min} $  ungeradzahlig   ⇒   $n-k$  geradzahlig.
	# Bei Reed–Solomon–Codes können dann bis zu   $t =(n-k)/2$  Symbolfehler korrigiert werden.<br>		# Bei Reed–Solomon–Codes können dann bis zu   $t =(n-k)/2$  Symbolfehler korrigiert werden.<br>
	# Die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Singleton-Schranke Singleton–Schranke]  besagt,  dass für alle linearen Codes  $d_{\rm min} \le n-k+1$  gilt.		# Die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Singleton-Schranke "Singleton–Schranke"]  besagt,  dass für alle linearen Codes  $d_{\rm min} \le n-k+1$  gilt.
	# Reed–Solomon–Codes erreichen diese Schranke mit Gleichheit;  sie sind so genannte  [https://de.wikipedia.org/wiki/MDS-Code MDS–Codes]  ("Maximum Distance Separable").		# Reed–Solomon–Codes erreichen diese Schranke mit Gleichheit;  sie sind so genannte  [https://de.wikipedia.org/wiki/MDS-Code "MDS–Codes"]  ("Maximum Distance Separable").
	# Das  [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes\| Distanzspektrum]]  setzt sich zusammen aus  $W_0 = 1$  sowie weiteren Gewichtsfaktoren  $W_i$  mit  $d ≤ i ≤ n$,  wobei in der folgenden Gleichung  $d_{\rm min}$  mit  $d$  abgekürzt ist:		# Das  [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes\| "Distanzspektrum"]]  setzt sich zusammen aus  $W_0 = 1$  sowie weiteren Gewichtsfaktoren  $W_i$  mit  $d ≤ i ≤ n$,  wobei in der folgenden Gleichung  $d_{\rm min}$  mit  $d$  abgekürzt ist:

	:::<math>W_i = {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \bigg [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \bigg ]\hspace{0.05cm}.</math>}}		:::<math>W_i = {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \bigg [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \bigg ]\hspace{0.05cm}.</math>}}

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:04 Uhr

2022-10-07T16:04:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2022, 18:04 Uhr
Zeile 271:		Zeile 271:
	== Singleton–Schranke und minimale Distanz ==		== Singleton–Schranke und minimale Distanz ==
	<br>		<br>
	Eine wichtige Kenngröße eines jeden Blockcodes ist die  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\| minimale Distanz]]  zwischen zwei beliebigen Codeworten  $\underline {c}_i$  und  $\underline {c}_j$.		Eine wichtige Kenngröße eines jeden Blockcodes ist die  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\| "minimale Distanz"]]  zwischen zwei beliebigen Codeworten  $\underline {c}_i$  und  $\underline {c}_j$.
	*Die Reed–Solomon–Codes gehören zur Klasse der  '''linearen</i> und  zyklischen'''  Codes.  Bei diesen kann man vom Nullwort  $\underline {c}_0 = (0, 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, 0)$  als Bezugsgröße ausgehen.		*Die Reed–Solomon–Codes gehören zur Klasse der  '''linearen</i> und  zyklischen'''  Codes.  Bei diesen kann man vom Nullwort  $\underline {c}_0 = (0, 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, 0)$  als Bezugsgröße ausgehen.

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:02 Uhr

2022-10-07T16:02:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2022, 18:02 Uhr
Zeile 199:		Zeile 199:

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	⇒   Diee [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix\| "Generatormatrix"]]  $\boldsymbol{\rm G}$  $(k$ Zeilen,  $n$ Spalten$)$  und  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix\| Prüfmatrix]]  $\boldsymbol{\rm H}$  $(n-k$ Zeilen,  $n$  Spalten$)$ müssen gemeinsam folgende Gleichung erfüllen:		⇒   Diee [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix\| "Generatormatrix"]]  $\boldsymbol{\rm G}$  $(k$ Zeilen,  $n$ Spalten$)$  und  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix\| "Prüfmatrix"]]  $\boldsymbol{\rm H}$  $(n-k$ Zeilen,  $n$  Spalten$)$ müssen gemeinsam folgende Gleichung erfüllen:

	:$${\boldsymbol{\rm G} } \cdot { \boldsymbol{\rm H } }^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm 0} }\hspace{0.05cm}.$$		:$${\boldsymbol{\rm G} } \cdot { \boldsymbol{\rm H } }^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm 0} }\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 7. Oktober 2022 um 16:00 Uhr

2022-10-07T16:00:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2022, 18:00 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Definition:}$  Ein  $(n,\ k)$'''–Reed–Solomon–Code'''  für das Galoisfeld  ${\rm GF}(2^m)$  wird festgelegt durch		$\text{Definition:}$  Ein  $(n,\ k)$'''–Reed–Solomon–Code'''  für das Galoisfeld  ${\rm GF}(2^m)$  wird festgelegt durch
	*die  $n= 2^{m-1}$  Elemente von  ${\rm GF}(2^m) \hspace{-0.05cm}\setminus \hspace{-0.05cm} \{0\} =\{ \alpha^0, \alpha^1, \, \text{...} \, , \alpha^{n-1}\}$,  wobei  $\alpha$  ein  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.E2.80.93_Primitive_Polynome\|primitives Element]]  von  ${\rm GF}(2^m)$  bezeichnet,		*die  $n= 2^{m-1}$  Elemente von  ${\rm GF}(2^m) \hspace{-0.05cm}\setminus \hspace{-0.05cm} \{0\} =\{ \alpha^0, \alpha^1, \, \text{...} \, , \alpha^{n-1}\}$,  wobei  $\alpha$  ein  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Bin.C3.A4re_Erweiterungsk.C3.B6rper_.E2.80.93_Primitive_Polynome\|"primitives Element"]]  von  ${\rm GF}(2^m)$  bezeichnet,

	*ein an den Informationsblockt  $\underline{u}$  angepasstes  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|Polynom]]  vom Grad  $k-1$  der Form		*ein an den Informationsblockt  $\underline{u}$  angepasstes  [[Kanalcodierung/Erweiterungskörper#Verallgemeinerte_Definition_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers\|"Polynom"]]  vom Grad  $k-1$  der Form

	::<math>u(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} u_i \cdot x^{i} = u_0 + u_1 \cdot x + u_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ u_{k-1} \cdot x^{k-1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} u_i \in {\rm GF}(2^m)		::<math>u(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} u_i \cdot x^{i} = u_0 + u_1 \cdot x + u_2 \cdot x^2 + \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}+ u_{k-1} \cdot x^{k-1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} u_i \in {\rm GF}(2^m)

Guenter am 7. Oktober 2022 um 15:47 Uhr

2022-10-07T15:47:47Z

Änderungen zeigen

Guenter am 7. Oktober 2022 um 12:21 Uhr

2022-10-07T12:21:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2022, 14:21 Uhr
Zeile 198:		Zeile 198:
	*der Codewortlänge  $n$  (Symbolanzahl pro Codewort).<br><br>		*der Codewortlänge  $n$  (Symbolanzahl pro Codewort).<br><br>

	[[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix\| Generatormatrix]]  $\boldsymbol{\rm G}$  $(k$ Zeilen,  $n$ Spalten$)$  und  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix\| Prüfmatrix]]  $\boldsymbol{\rm H}$  $(n-k$ Zeilen,  $n$  Spalten$)$ müssen gemeinsam folgende Gleichung erfüllen:		{{BlaueBox\|TEXT=
			⇒   Diee [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix\| "Generatormatrix"]]  $\boldsymbol{\rm G}$  $(k$ Zeilen,  $n$ Spalten$)$  und  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Pr.C3.BCfmatrix\| Prüfmatrix]]  $\boldsymbol{\rm H}$  $(n-k$ Zeilen,  $n$  Spalten$)$ müssen gemeinsam folgende Gleichung erfüllen:

	:~~:<math>~~{ \boldsymbol{\rm G}} \cdot { \boldsymbol{\rm H }}^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm 0}}\hspace{0.05cm}.~~</math>~~		:$${\boldsymbol{\rm G} } \cdot { \boldsymbol{\rm H } }^{\rm T}= { \boldsymbol{\rm 0} }\hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei bezeichnet  $\boldsymbol{\rm 0}$  eine Nullmatrix $($alle Elemente gleich $0)$  mit  $k$  Zeilen und  $n-k$  Spalten.<br>		*Hierbei bezeichnet  "$\boldsymbol{\rm 0}$"  eine Nullmatrix:  $($alle Elemente gleich $0)$  mit  $k$  Zeilen und  $n-k$  Spalten.}}<br>

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten den  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$ ~~  ⇒   Codeparameter~~  $n= 7$,  $k= 3$, ~~basierend auf dem Galoisfeld  $\rm GF(2^3 = 8)$  mit der Nebenbedingung  $\alpha^3 =\alpha + 1$. Beachten Sie hinsichtlich der Codebezeichnung:~~		$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten den  $\text{RSC (7, 3, 5)}_8$.
	*Der dritte Parameter der für Blockcodes üblichen Nomenklatur nennt die freie Distanz  $d_{\rm min}= 5$.<br>		*odeparameter  $n= 7$,  $k= 3$,

	*Anders als bei den im Kapitel  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]]  behandelten binären Codes (Single Parity–check Code, Repetition Code, Hamming Code) wird bei den Reed–Solomon–Codes noch der Hinweis  $q$  zum Galoisfeld hinzugefügt  $($hier:   $q = 8)$.<br><br>		*basierend auf dem Galoisfeld  $\rm GF(2^3 = 8)$

			*mit der Nebenbedingung  $\alpha^3 =\alpha + 1$.


			Beachten Sie hinsichtlich der Codebezeichnung:

			# Der dritte Parameter der für Blockcodes üblichen Nomenklatur nennt die freie Distanz  $d_{\rm min}= 5$.<br>
			# Anders als bei den im Kapitel  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|"Beispiele binärer Blockcodes"]]  behandelten binären Codes  $($Single Parity–check Code,  Repetition Code,  Hamming Code$)$  wird bei den Reed–Solomon–Codes noch der Hinweis  $q$  zum Galoisfeld hinzugefügt  $($hier:   $q = 8)$.<br><br>

	Alle Elemente der Generatormatrix und der Prüfmatrix,		Alle Elemente der Generatormatrix und der Prüfmatrix,
Zeile 250:		Zeile 259:

	Dies soll hier nur für zwei Elemente nachgewiesen werden:		Dies soll hier nur für zwei Elemente nachgewiesen werden:
	*Erste Zeile, erste Spalte:		*Erste Zeile,  erste Spalte:

	::<math>1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \big [1 + \alpha^1 + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6 \big ] = 1 + \alpha + \alpha^2 + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + \alpha)+ (\alpha^2 + \alpha +1)+ (\alpha^2 + 1) = 0 \hspace{0.05cm}; </math>		::<math>1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} \big [1 + \alpha^1 + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6 \big ] = 1 + \alpha + \alpha^2 + (\alpha + 1) + (\alpha^2 + \alpha)+ (\alpha^2 + \alpha +1)+ (\alpha^2 + 1) = 0 \hspace{0.05cm}; </math>

	*Letzte Zeile, letzte Spalte:		*Letzte Zeile,  letzte Spalte:

	::<math>1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 + \alpha^2 \cdot \alpha^4 + \alpha^4 \cdot \alpha^1		::<math>1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 + \alpha^2 \cdot \alpha^4 + \alpha^4 \cdot \alpha^1
Zeile 263:		Zeile 272:
	<br>		<br>
	Eine wichtige Kenngröße eines jeden Blockcodes ist die  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\| minimale Distanz]]  zwischen zwei beliebigen Codeworten  $\underline {c}_i$  und  $\underline {c}_j$.		Eine wichtige Kenngröße eines jeden Blockcodes ist die  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\| minimale Distanz]]  zwischen zwei beliebigen Codeworten  $\underline {c}_i$  und  $\underline {c}_j$.
	*Die Reed–Solomon–Codes gehören zur Klasse der  ~~<i>~~linearen</i>~~ ~~ und  ~~<i>~~zyklischen~~</i>~~  Codes. Bei diesen kann man vom Nullwort  $\underline {c}_0 = (0, 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, 0)$  als Bezugsgröße ausgehen.		*Die Reed–Solomon–Codes gehören zur Klasse der  '''linearen</i> und  zyklischen'''  Codes.  Bei diesen kann man vom Nullwort  $\underline {c}_0 = (0, 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, 0)$  als Bezugsgröße ausgehen.
	*Aus der Anzahl der Nullen in den anderen Codeworten  $\underline {c}_j ≠ \underline {c}_0$  lässt sich das [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29\| Distanzspektrum]]  $\{ \hspace{0.05cm}W_j\hspace{0.05cm}\}$  angeben.<br>
			*Aus der Anzahl der Nullen in den anderen Codeworten  $\underline {c}_j ≠ \underline {c}_0$  lässt sich das  [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes_.282.29\| "Distanzspektrum"]]  $\{ \hspace{0.05cm}W_j\hspace{0.05cm}\}$  angeben.<br>


Zeile 272:		Zeile 282:
	*Die Distanz  $d$  zwischen  $\underline {c}_j$  und dem Nullwort  $\underline {c}_0$  ist identisch dem  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\|Hamming–Gewicht]]  $w_{\rm H}(\underline {c}_j)$.<br>		*Die Distanz  $d$  zwischen  $\underline {c}_j$  und dem Nullwort  $\underline {c}_0$  ist identisch dem  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\|Hamming–Gewicht]]  $w_{\rm H}(\underline {c}_j)$.<br>

	[[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png\|~~center~~\|frame\|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den  $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$\|class=fit]]		[[Datei:P ID2520 KC T 2 3 S3 v1.png\|right\|frame\|Zur Herleitung des Distanzspektrums für den  $\text{RSC (3, 2, 2)}_4$\|class=fit]]

	~~Aus der oberen Tabelle kann unter anderem abgelesen werden:~~
	*Neun Codeworte unterscheiden sich vom Nullwort in zwei Symbolen und sechs Codeworte in drei Symbolen:   $W_2 = 9$,  $W_3 = 6$.
	*Es gibt kein einziges Codewort mit nur einer Null. Das heißt:   Die minimale Distanz beträgt hier  $d_{\rm min} = 2$. <br>

			⇒   Aus der oberen Tabelle kann unter anderem abgelesen werden:
			*Neun Codeworte unterscheiden sich vom Nullwort in zwei Symbolen und sechs Codeworte in drei Symbolen:
			:$$W_2 = 9,\ \ W_3 = 6.$$
			*Es gibt kein einziges Codewort mit nur einer Null. Das heißt:   Die minimale Distanz beträgt hier
			:$$d_{\rm min} = 2.$$ <br>

	Aus der unteren Tabelle erkennt man, dass auch für die Binärdarstellung  $d_{\rm min} = 2$  gilt.}}<br>
			⇒   Aus der unteren Tabelle erkennt man, dass auch für die Binärdarstellung  $d_{\rm min} = 2$  gilt.}}<br>

	Dieses empirische Ergebnis soll nun verallgemeinert werden:		Dieses empirische Ergebnis soll nun verallgemeinert werden:
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	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Ohne Beweis:}$		$\text{Ohne Beweis:}$
	*Die  ~~<i>~~minimale Distanz~~</i>~~  eines jeden  $(n, k)$–Reed–Solomon–Codes ist  $d_{\rm min} =n-k+1$   ⇒   es lassen sich  $e = d_{\rm min} -1 =n-k$  Symbolfehler erkennen.<br>		# Die  "minimale Distanz"  eines jeden  $(n, k)$–Reed–Solomon–Codes ist   $d_{\rm min} =n-k+1$   ⇒   es lassen sich   $e = d_{\rm min} -1 =n-k$   Symbolfehler erkennen.<br>
			# Bei  "fehlerkorrigierenden Codes"  wählt man meist  $d_{\rm min} $  ungeradzahlig   ⇒   $n-k$  geradzahlig.
	*Bei  ~~<i>~~fehlerkorrigierenden Codes~~</i>~~  wählt man meist  $d_{\rm min} $  ungeradzahlig   ⇒   $n-k$  geradzahlig. Bei RS–Codes können dann bis zu  $t =(n-k)/2$  Symbolfehler korrigiert werden.<br>		# Bei Reed–Solomon–Codes können dann bis zu   $t =(n-k)/2$  Symbolfehler korrigiert werden.<br>
			# Die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Singleton-Schranke Singleton–Schranke]  besagt,  dass für alle linearen Codes  $d_{\rm min} \le n-k+1$  gilt.
	*Die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Singleton-Schranke Singleton–Schranke]  besagt, dass für alle linearen Codes  $d_{\rm min} \le n-k+1$  gilt. RS–Codes erreichen diese Schranke mit Gleichheit; sie sind so genannte  [https://de.wikipedia.org/wiki/MDS-Code MDS–Codes]  (~~<i>~~Maximum Distance Separable~~</i> ~~).		# Reed–Solomon–Codes erreichen diese Schranke mit Gleichheit;  sie sind so genannte  [https://de.wikipedia.org/wiki/MDS-Code MDS–Codes]  ("Maximum Distance Separable").
			# Das  [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes\| Distanzspektrum]]  setzt sich zusammen aus  $W_0 = 1$  sowie weiteren Gewichtsfaktoren  $W_i$  mit  $d ≤ i ≤ n$,  wobei in der folgenden Gleichung  $d_{\rm min}$  mit  $d$  abgekürzt ist:
	*Das  [[Kanalcodierung/Schranken_f%C3%BCr_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes\| Distanzspektrum]]  setzt sich zusammen aus  $W_0 = 1$  sowie weiteren Gewichtsfaktoren  $W_i$  mit  $d ≤ i ≤ n$, wobei in der folgenden Gleichung  $d_{\rm min}$  mit  $d$  abgekürzt ist:

	::<math>W_i = {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \bigg [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \bigg ]\hspace{0.05cm}.</math>}}		:::<math>W_i = {n \choose i} \cdot \sum_{j = 0}^{i-d}\hspace{0.15cm}(-1)^j \cdot {i \choose j} \cdot \bigg [\hspace{0.03cm}q^{i\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}j\hspace{0.03cm}-\hspace{0.03cm}d\hspace{0.03cm}+\hspace{0.03cm}1}-1 \hspace{0.03cm} \bigg ]\hspace{0.05cm}.</math>}}

	== Codebezeichnung und Coderate ==		== Codebezeichnung und Coderate ==