Kanalcodierung/Decodierung von Faltungscodes - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Channel_Coding/Decoding_of_Convolutional_Codes]]

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	<i>Hinweise:</i>		<i>Hinweise:</i>
	*Diese Kurzzusammenfassung basiert auf dem Lehrbüchern  [Bos98]<ref name='Bos98'>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref>  bzw.  [Bos99]<ref name='Bos99'>Bossert, M.: ''Channel Coding for Telecommunications.'' Wiley & Sons, 1999.</ref>.		*Diese Kurzzusammenfassung basiert auf dem Lehrbüchern  [Bos98]<ref name='Bos98'>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref>  bzw.  [Bos99]<ref name='Bos99'>Bossert, M.: ''Channel Coding for Telecommunications.'' Wiley & Sons, 1999.</ref>.
	*Eine etwas ausführlichere Beschreibung des BCJR–Algorithmus' folgt auf der Seite  [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision\| Hard Decision vs. Soft Decision]]  [~~https://www.lntwww.de~~/Kanalcodierung im vierten Hauptkapitel]  &bdquo;Iterative Decodierverfahren”.<br>		*Eine etwas ausführlichere Beschreibung des BCJR–Algorithmus' folgt auf der Seite  [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision\| Hard Decision vs. Soft Decision]]  [/Kanalcodierung im vierten Hauptkapitel]  &bdquo;Iterative Decodierverfahren”.<br>

Guenter am 17. November 2022 um 17:50 Uhr

2022-11-17T17:50:37Z

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	= \sum_{i = 1}^{L} \tilde{x}_i \cdot \tilde{y}_i \hspace{0.3cm}{\rm mit } \hspace{0.2cm} \tilde{x}_i = 1 - 2 \cdot x_i \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tilde{y}_i = 1 - 2 \cdot y_i \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tilde{x}_i, \hspace{0.05cm}\tilde{y}_i \in \hspace{0.1cm}\{ -1, +1\} \hspace{0.05cm}.</math>		= \sum_{i = 1}^{L} \tilde{x}_i \cdot \tilde{y}_i \hspace{0.3cm}{\rm mit } \hspace{0.2cm} \tilde{x}_i = 1 - 2 \cdot x_i \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tilde{y}_i = 1 - 2 \cdot y_i \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tilde{x}_i, \hspace{0.05cm}\tilde{y}_i \in \hspace{0.1cm}\{ -1, +1\} \hspace{0.05cm}.</math>

	Wir bezeichnen dieses innere Produkt manchmal auch als den &~~bdquo~~;Korrelationswert&~~rdquo~~;~~. Die Anführungszeichen sollen darauf hinweisen, dass der Wertebereich eines~~  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Korrelationskoeffizient\| Korrelationskoeffizienten]]  ~~eigentlich~~ $±1$ ~~ist~~.<br>		Wir bezeichnen dieses innere Produkt manchmal auch als den  "'''Korrelationswert'''".  Im Unterschied zum  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Korrelationskoeffizient\| Korrelationskoeffizienten]]  kann der Korrelationswert den Wertebereich  $±1$  durchaus überschreiten.<br>

	[[Datei:KC_T_3_4_S5_neu.png\|right\|frame\|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und ~~„Korrelationswert”~~ \|class=fit]]		[[Datei:KC_T_3_4_S5_neu.png\|right\|frame\|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und Korrelationswert \|class=fit]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten hier zwei Binärfolgen der Länge  $L = 10$.<br>		$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten hier zwei Binärfolgen der Länge  $L = 10$.<br>

Guenter am 25. Juni 2019 um 09:52 Uhr

2019-06-25T09:52:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juni 2019, 11:52 Uhr
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	== Zusammenhang zwischen Hamming–Distanz und Korrelation ==		== Zusammenhang zwischen Hamming–Distanz und Korrelation ==
	<br>		<br>
	Insbesondere beim  [[Kanalcodierung/~~Klassifizierung_von_Signalen~~#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\| BSC–Modell]]  – aber auch bei jedem anderen Binärkanal   ⇒   Eingang  $x_i ∈ \{0,1\}$,  Ausgang $y_i ∈ \{0,1\}$  wie zum Beispiel dem  [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott\| Gilbert–Elliott–Modell]]  – liefert die Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{y})$  genau die gleiche Information über die Ähnlichkeit der Eingangsfolge  $\underline{x}$  und der Ausgangsfolge  $\underline{y}$  wie das  [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Zur_Nomenklatur_im_vierten_Kapitel\| innere Produkt]]. Nimmt man an, dass die beiden Folgen in bipolarer Darstellung vorliegen (gekennzeichnet durch Tilden) und dass die Folgenlänge jeweils  $L$  ist, so gilt für das innere Produkt:		Insbesondere beim  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\| BSC–Modell]]  – aber auch bei jedem anderen Binärkanal   ⇒   Eingang  $x_i ∈ \{0,1\}$,  Ausgang $y_i ∈ \{0,1\}$  wie zum Beispiel dem  [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott\| Gilbert–Elliott–Modell]]  – liefert die Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{y})$  genau die gleiche Information über die Ähnlichkeit der Eingangsfolge  $\underline{x}$  und der Ausgangsfolge  $\underline{y}$  wie das  [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Zur_Nomenklatur_im_vierten_Kapitel\| innere Produkt]]. Nimmt man an, dass die beiden Folgen in bipolarer Darstellung vorliegen (gekennzeichnet durch Tilden) und dass die Folgenlänge jeweils  $L$  ist, so gilt für das innere Produkt:

	::<math><\hspace{-0.1cm}\underline{\tilde{x}}, \hspace{0.05cm}\underline{\tilde{y}} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}		::<math><\hspace{-0.1cm}\underline{\tilde{x}}, \hspace{0.05cm}\underline{\tilde{y}} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}

Guenter am 25. Juni 2019 um 09:48 Uhr

2019-06-25T09:48:38Z

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	\underline{x}= (x_1,\hspace{0.05cm} x_2,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, x_{2L}, \hspace{0.05cm} x_{2L+1} ,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, \hspace{0.05cm} x_{2L+2m} ) \hspace{0.05cm}.</math>		\underline{x}= (x_1,\hspace{0.05cm} x_2,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, x_{2L}, \hspace{0.05cm} x_{2L+1} ,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, \hspace{0.05cm} x_{2L+2m} ) \hspace{0.05cm}.</math>

	*Die Empfangssequenz  $\underline{y} = (y_1, \ y_2, \ \text{...} )$  ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\| Binary Symmetric Channel]]  (BSC) gilt  $y_i ∈ \{0, 1\}$, so dass die Verfälschung von  $\underline{x}$  auf  $\underline{y}$  mit der  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\| Hamming–Distanz]]  $d_{\rm H}(\underline{x}, \underline{y})$  quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den  [[Kanalcodierung/~~Klassifizierung_von_Signalen~~#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\| AWGN–Kanal]]  folgen im Abschnitt  [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken\| Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken]].		*Die Empfangssequenz  $\underline{y} = (y_1, \ y_2, \ \text{...} )$  ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\| Binary Symmetric Channel]]  (BSC) gilt  $y_i ∈ \{0, 1\}$, so dass die Verfälschung von  $\underline{x}$  auf  $\underline{y}$  mit der  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\| Hamming–Distanz]]  $d_{\rm H}(\underline{x}, \underline{y})$  quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\| AWGN–Kanal]]  folgen im Abschnitt  [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken\| Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken]].

	*Der Viterbi–Algorithmus liefert eine Schätzung  $\underline{z}$  für die Codesequenz  $\underline{x}$  und eine weitere Schätzung  $\underline{v}$  für die Informationssequenz  $\underline{u}$. Dabei gilt:		*Der Viterbi–Algorithmus liefert eine Schätzung  $\underline{z}$  für die Codesequenz  $\underline{x}$  und eine weitere Schätzung  $\underline{v}$  für die Informationssequenz  $\underline{u}$. Dabei gilt:

Guenter am 25. Juni 2019 um 09:45 Uhr

2019-06-25T09:45:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juni 2019, 11:45 Uhr
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	\underline{x}= (x_1,\hspace{0.05cm} x_2,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, x_{2L}, \hspace{0.05cm} x_{2L+1} ,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, \hspace{0.05cm} x_{2L+2m} ) \hspace{0.05cm}.</math>		\underline{x}= (x_1,\hspace{0.05cm} x_2,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, x_{2L}, \hspace{0.05cm} x_{2L+1} ,\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm}, \hspace{0.05cm} x_{2L+2m} ) \hspace{0.05cm}.</math>

	*Die Empfangssequenz  $\underline{y} = (y_1, \ y_2, \ \text{...} )$  ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem  [[Kanalcodierung/~~Klassifizierung_von_Signalen~~#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\| Binary Symmetric Channel]]  (BSC) gilt  $y_i ∈ \{0, 1\}$, so dass die Verfälschung von  $\underline{x}$  auf  $\underline{y}$  mit der  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\| Hamming–Distanz]]  $d_{\rm H}(\underline{x}, \underline{y})$  quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\| AWGN–Kanal]]  folgen im Abschnitt  [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken\| Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken]].		*Die Empfangssequenz  $\underline{y} = (y_1, \ y_2, \ \text{...} )$  ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC\| Binary Symmetric Channel]]  (BSC) gilt  $y_i ∈ \{0, 1\}$, so dass die Verfälschung von  $\underline{x}$  auf  $\underline{y}$  mit der  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung\| Hamming–Distanz]]  $d_{\rm H}(\underline{x}, \underline{y})$  quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\| AWGN–Kanal]]  folgen im Abschnitt  [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken\| Viterbi–Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken]].

	*Der Viterbi–Algorithmus liefert eine Schätzung  $\underline{z}$  für die Codesequenz  $\underline{x}$  und eine weitere Schätzung  $\underline{v}$  für die Informationssequenz  $\underline{u}$. Dabei gilt:		*Der Viterbi–Algorithmus liefert eine Schätzung  $\underline{z}$  für die Codesequenz  $\underline{x}$  und eine weitere Schätzung  $\underline{v}$  für die Informationssequenz  $\underline{u}$. Dabei gilt:

Guenter am 25. Juni 2019 um 09:14 Uhr

2019-06-25T09:14:42Z

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Guenter am 24. Juni 2019 um 16:06 Uhr

2019-06-24T16:06:59Z

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Guenter am 24. Juni 2019 um 14:50 Uhr

2019-06-24T14:50:10Z

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Guenter am 25. Juli 2018 um 09:43 Uhr

2018-07-25T09:43:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2018, 11:43 Uhr
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	Wir bezeichnen dieses innere Produkt manchmal auch als &bdquo;Korrelationswert”. Die Anführungszeichen sollen darauf hinweisen, dass der Wertebereich eines [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Korrelationskoeffizient\| Korrelationskoeffizienten]] eigentlich $±1$ ist.<br>		Wir bezeichnen dieses innere Produkt manchmal auch als &bdquo;Korrelationswert”. Die Anführungszeichen sollen darauf hinweisen, dass der Wertebereich eines [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Korrelationskoeffizient\| Korrelationskoeffizienten]] eigentlich $±1$ ist.<br>

	[[Datei:~~KC_T_3_4_S5_version2~~.png\|right\|frame\|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und „Korrelation” \|class=fit]]		[[Datei:KC_T_3_4_S5_neu.png\|right\|frame\|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und „Korrelation” \|class=fit]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten hier zwei Binärfolgen der Länge $L = 10$.<br>		$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten hier zwei Binärfolgen der Länge $L = 10$.<br>