Kanalcodierung/Decodierung von Faltungscodes - Versionsgeschichte

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@@ Zeile 188: / Zeile 188: @@
 = \sum_{i = 1}^{L} \tilde{x}_i \cdot \tilde{y}_i \hspace{0.3cm}{\rm mit } \hspace{0.2cm} \tilde{x}_i = 1 - 2 \cdot x_i  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tilde{y}_i = 1 - 2 \cdot y_i \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \tilde{x}_i, \hspace{0.05cm}\tilde{y}_i \in \hspace{0.1cm}\{ -1, +1\} \hspace{0.05cm}.</math>
-Wir bezeichnen dieses innere Produkt manchmal auch als den &bdquo;Korrelationswert&rdquo;. Die Anführungszeichen sollen darauf hinweisen, dass der Wertebereich eines&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Korrelationskoeffizient| Korrelationskoeffizienten]]&nbsp; eigentlich $&plusmn;1$ ist.<br>
+Wir bezeichnen dieses innere Produkt manchmal auch als den&nbsp; "'''Korrelationswert'''".&nbsp; Im Unterschied zum&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Korrelationskoeffizient| Korrelationskoeffizienten]]&nbsp; kann der Korrelationswert den Wertebereich&nbsp;  $&plusmn;1$&nbsp; durchaus überschreiten.<br>
-[[Datei:KC_T_3_4_S5_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und „Korrelationswert” |class=fit]]
+[[Datei:KC_T_3_4_S5_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und Korrelationswert |class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir betrachten hier zwei Binärfolgen der Länge&nbsp; $L = 10$.<br>

@@ Zeile 183: / Zeile 183: @@
 == Zusammenhang zwischen Hamming–Distanz und Korrelation ==
 <br>
-Insbesondere beim&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC&ndash;Modell]]&nbsp; &ndash; aber auch bei jedem anderen Binärkanal &nbsp; &#8658; &nbsp; Eingang&nbsp; $x_i &#8712; \{0,1\}$,&nbsp; Ausgang $y_i &#8712; \{0,1\}$&nbsp; wie zum Beispiel dem&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott| Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell]]&nbsp; &ndash; liefert die Hamming&ndash;Distanz&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{y})$&nbsp; genau die gleiche Information über die Ähnlichkeit der Eingangsfolge&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; und der Ausgangsfolge&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; wie das&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Zur_Nomenklatur_im_vierten_Kapitel| innere Produkt]]. Nimmt man an, dass die beiden Folgen in bipolarer Darstellung vorliegen (gekennzeichnet durch Tilden) und dass die Folgenlänge jeweils&nbsp; $L$&nbsp; ist, so gilt für das innere Produkt:
+Insbesondere beim&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC&ndash;Modell]]&nbsp; &ndash; aber auch bei jedem anderen Binärkanal &nbsp; &#8658; &nbsp; Eingang&nbsp; $x_i &#8712; \{0,1\}$,&nbsp; Ausgang $y_i &#8712; \{0,1\}$&nbsp; wie zum Beispiel dem&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Kanalmodell_nach_Gilbert.E2.80.93Elliott| Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell]]&nbsp; &ndash; liefert die Hamming&ndash;Distanz&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \ \underline{y})$&nbsp; genau die gleiche Information über die Ähnlichkeit der Eingangsfolge&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; und der Ausgangsfolge&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; wie das&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Zur_Nomenklatur_im_vierten_Kapitel| innere Produkt]]. Nimmt man an, dass die beiden Folgen in bipolarer Darstellung vorliegen (gekennzeichnet durch Tilden) und dass die Folgenlänge jeweils&nbsp; $L$&nbsp; ist, so gilt für das innere Produkt:
 ::<math><\hspace{-0.1cm}\underline{\tilde{x}}, \hspace{0.05cm}\underline{\tilde{y}} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 \underline{x}= (x_1,\hspace{0.05cm} x_2,\hspace{0.05cm} \text{...}  \hspace{0.1cm}, x_{2L}, \hspace{0.05cm} x_{2L+1} ,\hspace{0.05cm} \text{...}  \hspace{0.1cm}, \hspace{0.05cm} x_{2L+2m} ) \hspace{0.05cm}.</math>
-*Die Empfangssequenz&nbsp; $\underline{y} = (y_1, \ y_2, \ \text{...} )$&nbsp; ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| Binary Symmetric Channel]]&nbsp; (BSC) gilt&nbsp; $y_i &#8712; \{0, 1\}$, so dass die Verfälschung von&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; auf&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; mit der&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| Hamming&ndash;Distanz]]&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \underline{y})$&nbsp; quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; folgen im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken| Viterbi&ndash;Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken]].
+*Die Empfangssequenz&nbsp; $\underline{y} = (y_1, \ y_2, \ \text{...} )$&nbsp; ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| Binary Symmetric Channel]]&nbsp; (BSC) gilt&nbsp; $y_i &#8712; \{0, 1\}$, so dass die Verfälschung von&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; auf&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; mit der&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| Hamming&ndash;Distanz]]&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \underline{y})$&nbsp; quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; folgen im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken| Viterbi&ndash;Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken]].
 *Der Viterbi&ndash;Algorithmus liefert eine Schätzung&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; für die Codesequenz&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; und eine weitere Schätzung&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; für die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$. Dabei gilt:

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 \underline{x}= (x_1,\hspace{0.05cm} x_2,\hspace{0.05cm} \text{...}  \hspace{0.1cm}, x_{2L}, \hspace{0.05cm} x_{2L+1} ,\hspace{0.05cm} \text{...}  \hspace{0.1cm}, \hspace{0.05cm} x_{2L+2m} ) \hspace{0.05cm}.</math>
-*Die Empfangssequenz&nbsp; $\underline{y} = (y_1, \ y_2, \ \text{...} )$&nbsp; ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| Binary Symmetric Channel]]&nbsp; (BSC) gilt&nbsp; $y_i &#8712; \{0, 1\}$, so dass die Verfälschung von&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; auf&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; mit der&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| Hamming&ndash;Distanz]]&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \underline{y})$&nbsp; quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; folgen im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken| Viterbi&ndash;Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken]].
+*Die Empfangssequenz&nbsp; $\underline{y} = (y_1, \ y_2, \ \text{...} )$&nbsp; ergibt sich entsprechend dem angenommenen Kanalmodell. Bei einem digitalen Modell wie dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| Binary Symmetric Channel]]&nbsp; (BSC) gilt&nbsp; $y_i &#8712; \{0, 1\}$, so dass die Verfälschung von&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; auf&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; mit der&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| Hamming&ndash;Distanz]]&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}, \underline{y})$&nbsp; quantifiziert werden kann. Die erforderlichen Modifikationen für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang| AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; folgen im Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Viterbi.E2.80.93Algorithmus.2C_basierend_auf_Korrelation_und_Metriken| Viterbi&ndash;Algorithmus, basierend auf Korrelation und Metriken]].
 *Der Viterbi&ndash;Algorithmus liefert eine Schätzung&nbsp; $\underline{z}$&nbsp; für die Codesequenz&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; und eine weitere Schätzung&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; für die Informationssequenz&nbsp; $\underline{u}$. Dabei gilt:

@@ Zeile 192: / Zeile 192: @@
 Wir bezeichnen dieses innere Produkt manchmal auch als &bdquo;Korrelationswert&rdquo;. Die Anführungszeichen sollen darauf hinweisen, dass der Wertebereich eines [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen#Korrelationskoeffizient| Korrelationskoeffizienten]] eigentlich $&plusmn;1$ ist.<br>
-[[Datei:KC_T_3_4_S5_version2.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und „Korrelation” |class=fit]]
+[[Datei:KC_T_3_4_S5_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen Haming–Distanz und „Korrelation” |class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;  Wir betrachten hier zwei Binärfolgen der Länge $L = 10$.<br>

@@ Zeile 297: / Zeile 297: @@
 == Viterbi–Entscheidung bei nicht–terminierten Faltungscodes==
 <br>
-Bisher wurde stets ein terminierter Faltungscode der Länge $L' = L + m$ betrachtet, und das Ergebnis des Viterbi&ndash;Decoders war der durchgehende Trellispfad vom Startzeitpunkt $(i = 0)$ bis zum Ende $(i = L')$.<br>
+Bisher wurde stets ein terminierter Faltungscode der Länge $L\hspace{0.05cm}' = L + m$ betrachtet, und das Ergebnis des Viterbi&ndash;Decoders war der durchgehende Trellispfad vom Startzeitpunkt $(i = 0)$ bis zum Ende $(i = L\hspace{0.05cm}')$.<br>
-*Bei nicht&ndash;terminierten Faltungscodes $(L' &#8594; &#8734;)$ ist diese Entscheidungsstrategie nicht anwendbar.
+*Bei nicht&ndash;terminierten Faltungscodes $(L\hspace{0.05cm}' &#8594; &#8734;)$ ist diese Entscheidungsstrategie nicht anwendbar.
 *Hier muss der Algorithmus abgewandelt werden, um in endlicher Zeit eine bestmögliche Schätzung (gemäß Maximum&ndash;Likelihood) der einlaufenden Bits der Codesequenz liefern zu können.<br>
-Der Grafik zeigt im oberen Teil ein beispielhaftes Trellis für
 *&bdquo;unseren&rdquo; Standard&ndash;Codierer &nbsp; &#8658; &nbsp; $R = 1/2, \ m = 2, \ {\rm G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,<br>
@@ Zeile 313: / Zeile 314: @@
 Der untere Teil der Grafik zeigt die $2^m$ überlebenden Pfade ${\it \Phi}_9(S_{\mu})$ zum Zeitpunkt $i = 9$.
-*Man findet diese Pfade am einfachsten von rechts nach links.
+*Man findet diese Pfade am einfachsten von rechts nach links (Vorwärtsrichtung).
 *Die folgende Angabe zeigt die durchlaufenen Zustände $S_{\mu}$ allerdings in Vorwärtsrichtung:<br>
 :$${\it \Phi}_9(S_0) \text{:} \hspace{0.4cm} S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0,$$
@@ Zeile 320: / Zeile 321: @@
 :$${\it \Phi}_9(S_3) \text{:} \hspace{0.4cm}  S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_3.$$
-Zu früheren Zeitpunkten $i$ würden sich andere überlebende Pfade ${\it \Phi}_i(S_{\mu})$ ergeben. Deshalb definieren wir:
+Zu früheren Zeitpunkten $(i<9)$ würden sich andere überlebende Pfade ${\it \Phi}_i(S_{\mu})$ ergeben. Deshalb definieren wir:
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Zeile 330: / Zeile 331: @@
 Diese Grafik ist wie folgt zu interpretieren:
-*Zum Zeitpunkt $i = 9$ kann noch keine endgültige ML&ndash;Entscheidung über die ersten neun Bit der Informationssequenz getroffen werden. Allerdings ist bereits sicher, dass die wahrscheinlichste Bitfolge durch einen der Pfade ${\it \Phi}_9(S_0), \ \text{...0} \ , \ {\it \Phi}_9(S_3)$ richtig wiedergegeben wird.<br>
+*Zum Zeitpunkt $i = 9$ kann noch keine endgültige ML&ndash;Entscheidung über die ersten neun Bit der Informationssequenz getroffen werden. Allerdings ist bereits sicher, dass die wahrscheinlichste Bitfolge durch einen der Pfade ${\it \Phi}_9(S_0), \ \text{...} \ , \ {\it \Phi}_9(S_3)$ richtig wiedergegeben wird.<br>
 *Da alle vier Pfade bei $i = 3$ zusammenlaufen, ist die Entscheidung &bdquo;$v_1 = 0, v_2 = 0, \ v_3 = 0$&rdquo; die bestmögliche (hellgraue Hinterlegung). Auch zu einem späteren Zeitpunkt würde keine andere Entscheidung getroffen werden. Hinsichtlich der Bits $v_4, \ v_5, \ \text{...}$ sollte man sich zu diesem frühen Zeitpunkt noch nicht festlegen.<br>
@@ Zeile 344: / Zeile 345: @@
 Wir haben uns bisher nur mit dem Viterbi&ndash;Algorithmus in der Form beschäftigt, der 1967 von Andrew J. Viterbi in [Vit67]<ref name'Vit67'>Viterbi, A.J.: ''Error Bounds for Convolutional Codes and an Asymptotically Optimum Decoding Algorithm''. In: IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-13, pp. 260-269, April 1967.</ref> veröffentlicht wurde. Erst 1974 hat [https://de.wikipedia.org/wiki/David_Forney George David Forney] nachgewiesen, dass dieser Algorithmus eine Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung von Faltungscodes durchführt.<br>
-Aber schon in den Jahren zuvor waren viele Wissenschaftler sehr bemüht, effiziente Decodierverfahren für die 1955 erstmals von [https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Elias Peter Elias] beschriebenen Faltungscodes bereitzustellen. Zu nennen sind hier unter Anderem &ndash; genauere Beschreibungen findet man beispielsweise in [Bos98]<ref name='Bos98'>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref> oder der englischsprachigen Ausgabe [Bos99]<ref name='Bos99'>Bossert, M.: ''Channel Coding for Telecommunications.'' Wiley & Sons, 1999.</ref>.
+Aber schon in den Jahren zuvor waren viele Wissenschaftler sehr bemüht, effiziente Decodierverfahren für die 1955 erstmals von [https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Elias Peter Elias] beschriebenen Faltungscodes bereitzustellen. Zu nennen sind hier unter Anderem &ndash; genauere Beschreibungen findet man beispielsweise in [Bos98]<ref name='Bos98'>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref> oder der englischen Ausgabe [Bos99]<ref name='Bos99'>Bossert, M.: ''Channel Coding for Telecommunications.'' Wiley & Sons, 1999.</ref>.
-*[http://ieeexplore.ieee.org/document/1057663/ <i>Sequential Decoding</i>] von J. M. Wozencraft und B. Reiffen aus dem Jahre 1961,<br>
+*[http://ieeexplore.ieee.org/document/1057663/ <i>Sequential Decoding</i>&nbsp;] von J. M. Wozencraft und B. Reiffen aus dem Jahre 1961,<br>
 *der Vorschlag von [https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Fano Robert Mario Fano] (1963), der als <i>Fano&ndash;Algorithmus</i> bekannt wurde,<br>
-*die Arbeiten von Kamil Zigangirov (1966) und Frederick Jelinek (1969), deren Decodierverfahren als <i>Stack&ndash;Algorithmus</i> bezeichnet wird.<br><br>
+*die Arbeiten von Kamil Zigangirov (1966) und [https://en.wikipedia.org/wiki/Frederick_Jelinek Frederick Jelinek] (1969), deren Decodierverfahren als <i>Stack&ndash;Algorithmus</i> bezeichnet wird.<br><br>
 Alle diese Decodierverfahren und auch der Viterbi&ndash;Algorithmus in seiner bisher beschriebenen Form liefern &bdquo;hart&rdquo; entschiedene Ausgangswerte &nbsp; &#8658; &nbsp;  $v_i &#8712; \{0, 1\}$. Oftmals wären jedoch Informationen über die Zuverlässigkeit der getroffenen Entscheidungen wünschenswert, insbesondere dann, wenn ein verkettetes Codierschema mit einem äußeren und einem inneren Code vorliegt.<br>
-Kennt man die Zuverlässigkeit der vom inneren Decoder entschiedenen Bits zumindest grob, so kann durch diese Information die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des äußeren Decoders (signifikant) herabgesetzt werden. Der von J. Hagenauer in [Hag90]<ref name='Hag90'>Hagenauer, J.: ''Soft Output Viterbi Decoder.'' In: Technischer Report, Deutsche Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt (DLR), 1990.</ref> vorgeschlagene <i>Soft&ndash;Output&ndash;Viterbi&ndash;Algorithmus</i> (SOVA) erlaubt es, zusätzlich zu den entschiedenen Symbolen auch jeweils ein Zuverlässigkeitsmaß anzugeben.<br>
+Kennt man die Zuverlässigkeit der vom inneren Decoder entschiedenen Bits zumindest grob, so kann durch diese Information die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des äußeren Decoders (signifikant) herabgesetzt werden. Der von [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr.-Ing._Dr.-Ing._E.h._Joachim_Hagenauer_.281993-2006.29|Joachim Hagenauer]] in [Hag90]<ref name='Hag90'>Hagenauer, J.: ''Soft Output Viterbi Decoder.'' In: Technischer Report, Deutsche Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt (DLR), 1990.</ref> vorgeschlagene <i>Soft&ndash;Output&ndash;Viterbi&ndash;Algorithmus</i> (SOVA) erlaubt es, zusätzlich zu den entschiedenen Symbolen auch jeweils ein Zuverlässigkeitsmaß anzugeben.<br>
-Abschließend gehen wir noch etwas genauer auf den <i>BCJR&ndash;Algorithmus</i> ein, benannt nach dessen Erfindern L. R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek  und J. Raviv [BCJR74]<ref name='BCJR74'>Bahl, L.R.; Cocke, J.; Jelinek, F.; Raviv, J.: ''Optimal Decoding of Linear Codes for Minimizing Symbol Error Rate.'' In: IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-20, S. 284-287, 1974.</ref>. Während der Viterbi&ndash;Algorithmus nur eine Schätzung der Gesamtsequenz vornimmt &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|block&ndash;wise ML]], schätzt der BCJR&ndash;Algorithmus ein einzelnes Symbol (Bit) unter Berücksichtigung der gesamten empfangenen Codesequenz. Es handelt sich hierbei also um eine <i>symbolweise Maximum&ndash;Aposteriori&ndash;Decodierung</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|bit&ndash;wise MAP]].<br>
+Abschließend gehen wir noch etwas genauer auf den <i>BCJR&ndash;Algorithmus</i> ein, benannt nach dessen Erfindern L. R. Bahl, J. Cocke, F. Jelinek  und J. Raviv [BCJR74]<ref name='BCJR74'>Bahl, L.R.; Cocke, J.; Jelinek, F.; Raviv, J.: ''Optimal Decoding of Linear Codes for Minimizing Symbol Error Rate.'' In: IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-20, S. 284-287, 1974.</ref>. Während der Viterbi&ndash;Algorithmus nur eine Schätzung der Gesamtsequenz vornimmt &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|''block&ndash;wise ML'']], schätzt der BCJR&ndash;Algorithmus ein einzelnes Symbol (Bit) unter Berücksichtigung der gesamten empfangenen Codesequenz. Es handelt sich hierbei also um eine <i>symbolweise Maximum&ndash;Aposteriori&ndash;Decodierung</i> &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|''bit&ndash;wise MAP'']].<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Zeile 361: / Zeile 362: @@
 *Der <b>Viterbi&ndash;Algorithmus</b> arbeitet das Trellis nur in einer Richtung &ndash; der  <i>Vorwärtsrichtung</i> &ndash; ab und berechnet für jeden Knoten die Metriken ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$. Nach Erreichen des Endknotens wird der  überlebende Pfad gesucht, der die wahrscheinlichste Codesequenz kennzeichnet.<br>
-*Beim <b>BCJR&ndash;Algorithmus</b> wird das Trellis zweimal abgearbeitet, einmal in Vorwärtsrichtung und anschließend in <i>Rückwärtsrichtung</i>. Für jeden Knoten sind dann zwei Metriken angebbar,  aus denen für jedes Bit die Aposterori&ndash;Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann.}}<br><br>
+*Beim <b>BCJR&ndash;Algorithmus</b> wird das Trellis zweimal abgearbeitet, einmal in Vorwärtsrichtung und anschließend in <i>Rückwärtsrichtung</i>. Für jeden Knoten sind dann zwei Metriken angebbar,  aus denen für jedes Bit die Aposterori&ndash;Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann.}}<br>
-<i>Hinweis:</i> Diese Kurzzusammenfassung basiert auf dem Lehrbüchern  [Bos98]<ref name='Bos98'>Bossert, M.: ''Kanalcodierung.'' Stuttgart: B. G. Teubner, 1998.</ref> bzw. [Bos99]<ref name='Bos99'>Bossert, M.: ''Channel Coding for Telecommunications.'' Wiley & Sons, 1999.</ref>. Eine etwas ausführlichere Beschreibung des BCJR&ndash;Algorithmus' folgt auf der Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision| Hard Decision vs. Soft Decision]] im vierten Hauptkapitel.<br>
+<i>Hinweise:</i>

@@ Zeile 231: / Zeile 231: @@
 $&#9001;\ \text{ ...} \  &#9002;$ bezeichnet einen &bdquo;Korrelationswert&rdquo; entsprechend den Aussagen auf der letzten Seite. Die Tilden weisen wieder auf die bipolare (antipodale) Darstellung hin.}}<br>
-Die Grafik zeigt die diesbezügliche Trellisauswertung.
+Die Grafik zeigt die diesbezügliche Trellisauswertung. Zugrunde liegt wie für die [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Decodierbeispiele_f.C3.BCr_den_fehlerbehafteten_Fall| Trellisauswertung gemäß Beispiel 1]] &ndash; basierend auf der minimalen Hamming&ndash;Distanz und den Fehlergrößen ${\it \Gamma}_i(S_{\mu})$ &ndash; wieder
-[[Datei:P ID2663 KC T 3 4 S6 v1.png|center|frame|Viterbi–Decodierung, basierend auf Korrelation und Metrik|class=fit]]
+[[Datei:P ID2663 KC T 3 4 S6 v1.png|right|frame|Viterbi–Decodierung, basierend auf Korrelation und Metrik|class=fit]]
 *der Standard&ndash;Faltungscodierer: &nbsp; Rate $R = 1/2$, Gedächtnis $m = 2$;
 *die Übertragungsfunktionsmatrix: &nbsp; $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, 1 + D^2)$;
-*Länge der Informationssequenz: $L = 5$;
+*Länge der Informationssequenz: &nbsp; $L = 5$;
-*Berücksichtigung der Terminierung: $L' = 7$;
+*Berücksichtigung der Terminierung: &nbsp;$L' = 7$;
-*der Empfangsvektor $\underline{y} = (11, 11, 10, 00, 01, 01, 11)$
+*der Empfangsvektor &nbsp; $\underline{y} = (11, 11, 10, 00, 01, 01, 11)$
 *Viterbi&ndash;Decodierung mittels Trellisdiagramms:
-::roter Pfeil &rArr; &nbsp; Hypothese $u_i = 0$,
+::(roter Pfeil &rArr; &nbsp; Hypothese $u_i = 0$,
-::blauer Pfeil &rArr; &nbsp; Hypothese $u_i = 1$.
+::blauer Pfeil &rArr; &nbsp; Hypothese $u_i = 1$).
-Beide Darstellungen ähneln sich sehr.<br clear=all>
+Nebenstehendes Trellis und die  [[Kanalcodierung/Decodierung_von_Faltungscodes#Decodierbeispiele_f.C3.BCr_den_fehlerbehafteten_Fall| Trellisauswertung gemäß Beispiel 1]] ähneln sich sehr. Ebenso wie die Suche nach der Sequenz mit der minimalen Hamming&ndash;Distanz geschieht auch die <i>Suche nach dem maximalen Korrelationswert</i> schrittweise:
-Ebenso wie die Suche nach der Sequenz mit der minimalen Hamming&ndash;Distanz geschieht auch die <i>Suche nach dem maximalen Korrelationswert</i> schrittweise:
+*Die Knoten bezeichnet man hier als die Metriken ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$.
-*Die Knoten bezeichnet man hier als die Metriken ${\it \Lambda}_i(S_{\mu})$. Die englische Bezeichnung hierfür ist <i>Cumulative Metric</i>, während  <i>Branch Metric</i> den Metrikzuwachs angibt.<br>
+*Die englische Bezeichnung hierfür ist <i>Cumulative Metric</i>, während  <i>Branch Metric</i> den Metrikzuwachs angibt.<br>
-*Der Endwert ${\it \Lambda}_7(S_0) = 10$ gibt den &bdquo;Korrelationswert&rdquo; zwischen der ausgewählten Folge $\underline{z}$ und dem Empfangsvektor $\underline{y}$ an. Im fehlerfreien Fall ergäbe sich ${\it \Lambda}_7(S_0) = 14$.<br><br>
+*Der Endwert ${\it \Lambda}_7(S_0) = 10$ gibt den &bdquo;Korrelationswert&rdquo; zwischen der ausgewählten Folge $\underline{z}$ und dem Empfangsvektor $\underline{y}$ an.
-Die folgende Detailbeschreibung der Trellisauswertung beziehen sich auf das obige Trellisdiagramm:
+{{GraueBox|TEXT=
 *Die Metriken zum Zeitpunkt $i = 1$ ergeben sich mit $\underline{y}_1 = (11)$ zu
@@ Zeile 283: / Zeile 282: @@
 ::<math>{\it \Lambda}_i(S_{\mu}) = 2 \cdot  \big [ i -  {\it \Gamma}_i(S_{\mu}) \big ] \hspace{0.05cm}.</math>
-Die Auswahl der zu den einzelnen Decodierschritten überlebenden Zweige ist bei beiden Verfahren identisch, und auch die Pfadsuche liefert das gleiche Ergebnis.<br>
+Die Auswahl der zu den einzelnen Decodierschritten überlebenden Zweige ist bei beiden Verfahren identisch, und auch die Pfadsuche liefert das gleiche Ergebnis.<br>}}
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Beim Binärkanal &ndash; zum Beispiel dem BSC&ndash;Modell &ndash; führen die beiden beschriebenen Viterbi&ndash;Varianten <i>Fehlergrößenminimierung</i> und <i>Metrikmaximierung</i> zum gleichen Ergebnis.<br>
+*Beim Binärkanal &ndash; zum Beispiel nach dem BSC&ndash;Modell &ndash; führen die beiden beschriebenen Viterbi&ndash;Varianten <i>Fehlergrößenminimierung</i> und <i>Metrikmaximierung</i> zum gleichen Ergebnis.<br>
-*Beim AWGN&ndash;Kanal ist die Fehlergrößenminimierung nicht anwendbar, da keine Hamming&ndash;Distanz zwischen dem binären Eingang $\underline{x}$ und dem analogen Ausgang $\underline{y}$ angegeben werden kann.<br>
+*Beim AWGN&ndash;Kanal ist dagegen die Fehlergrößenminimierung nicht anwendbar, da keine Hamming&ndash;Distanz zwischen dem binären Eingang $\underline{x}$&nbsp; und dem analogen Ausgang $\underline{y}$&nbsp; angegeben werden kann.<br>
-*Die Metrikmaximierung ist beim AWGN&ndash;Kanal vielmehr identisch mit der Minimierung der [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#ML.E2.80.93Entscheidung_beim_AWGN.E2.80.93Kanal| Euklidischen Distanz]] &ndash; siehe [[Aufgabe 3.10Z]].<br>
+*Die Metrikmaximierung ist beim AWGN&ndash;Kanal vielmehr identisch mit der Minimierung der [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#ML.E2.80.93Entscheidung_beim_AWGN.E2.80.93Kanal| Euklidischen Distanz]] &ndash; siehe [[Aufgaben:Aufgabe_3.10Z:_ML–Decodierung_von_Faltungscodes|Aufgabe 3.10Z]].<br>
-*Ein weiterer Vorteil der Metrikmaximierung ist, dass eine Zuverlässigkeitsinformation über die Empfangswerte $\underline{y}$ in einfacher Weise berücksichtigt werden kann.}}<br>
+*Ein weiterer Vorteil der Metrikmaximierung ist, dass eine Zuverlässigkeitsinformation über die Empfangswerte $\underline{y}$&nbsp; in einfacher Weise berücksichtigt werden kann.}}<br>
 == Viterbi–Entscheidung bei nicht–terminierten Faltungscodes==