Kanalcodierung/Decodierung linearer Blockcodes - Versionsgeschichte

Guenter am 20. Juli 2022 um 13:38 Uhr

2022-07-20T13:38:36Z

Guenter am 10. Mai 2019 um 15:52 Uhr

2019-05-10T15:52:43Z

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Guenter am 6. Juli 2018 um 12:48 Uhr

2018-07-06T12:48:36Z

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2018-01-02T18:51:13Z

Guenter am 15. November 2017 um 10:17 Uhr

2017-11-15T10:17:33Z

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 == Blockschaltbild und Voraussetzungen ==
 <br>
-Wir gehen von dem bereits im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]]&nbsp; gezeigten Blockschaltbild aus, wobei als Kanalmodell meist der&nbsp; <i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp; (BSC) verwendet wird. Zur Codewortschätzung verwenden wir den&nbsp; <i>Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheider</i>&nbsp; (ML), der für binäre Codes &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{x}  \in {\rm GF}(2^n)$&nbsp; auf Blockebene das gleiche Ergebnis liefert wie der&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|MAP&ndash;Empfänger]].<br>
+Wir gehen von dem bereits im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und Entscheiderstrukturen|"Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen"]]&nbsp; gezeigten Blockschaltbild aus,&nbsp; wobei als Kanalmodell meist der&nbsp; "Binary Symmetric Channel"&nbsp; $\rm (BSC)$&nbsp; verwendet wird.&nbsp; Zur Codewortschätzung verwenden wir den&nbsp; "Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheider"&nbsp; $\rm (ML)$,&nbsp; der für binäre Codes &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{x}  \in {\rm GF}(2^n)$&nbsp; auf Blockebene das gleiche Ergebnis liefert wie der&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|"MAP&ndash;Empfänger"]].<br>
 [[Datei:P ID2360 KC T 1 5 S1 v2.png|center|frame|Blockschaltbild zur Decodierung von Blockcodes|class=fit]]

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 == Codiergewinn – Bitfehlerrate bei AWGN ==
 <br>
-Wir betrachten nun die [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote| Bitfehlerquote]] (oder Bitfehlerrate, &nbsp; englisch: <i>Bit Error Rate</i>&nbsp;, BER) für folgende Konstellation:
+Wir betrachten nun die [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote| Bitfehlerquote]] &nbsp; (oder Bitfehlerrate, &nbsp; englisch: <i>Bit Error Rate</i>&nbsp;, BER) &nbsp; für folgende Konstellation:
 [[Datei:P ID2364 KC T 1 5 S4 v2.png|right|frame|Bitfehlerrate bei $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Codierung|class=fit]]
 *Hamming&ndash;Code $\text{HC (7, 4, 3)}$,<br>

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 == Codiergewinn – Bitfehlerrate bei AWGN ==
 <br>
-Wir betrachten nun die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Definition_der_Bitfehlerquote_.281.29| Bitfehlerrate]] (englisch: <i>Bit Error Rate</i>&nbsp;, BER) für folgende Konstellation:
+Wir betrachten nun die [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote| Bitfehlerquote]] (oder Bitfehlerrate, &nbsp; englisch: <i>Bit Error Rate</i>&nbsp;, BER) für folgende Konstellation:
 [[Datei:P ID2364 KC T 1 5 S4 v2.png|right|frame|Bitfehlerrate bei $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Codierung|class=fit]]
 *Hamming&ndash;Code $\text{HC (7, 4, 3)}$,<br>

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 == Decodierung beim Binary Erasure Channel ==
 <br>
-Abschließend soll noch gezeigt werden, in wie weit der Decoder zu modifizieren ist, wenn anstelle des [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC&ndash;Modells]] <i>(Binary Symmetrie Channel)</i> das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC| BEC&ndash;Kanalmodell]] <i>(Binary Erasure Channel)</i> zum Einsatz kommt, der keine Fehler produziert, sondern  unsichere Bit als Auslöschungen markiert.<br>
+Abschließend soll noch gezeigt werden, in wie weit der Decoder zu modifizieren ist, wenn anstelle des [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC| BSC&ndash;Modells]] (<i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp;) das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC| BEC&ndash;Kanalmodell]] (<i>Binary Erasure Channel</i>&nbsp;) zum Einsatz kommt, der keine Fehler produziert, sondern  unsichere Bit als Auslöschungen markiert.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit betrachten wir wie im [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Verallgemeinerung_der_Syndromdecodierung|Beispiel 3]] wieder den systematischen (5, 2, 3)&ndash;Blockcode $\mathcal{C} = \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 1, 0)  \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 0, 1) \}$
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit betrachten wir wie im [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Verallgemeinerung_der_Syndromdecodierung|Beispiel 3]] wieder den systematischen $\text{(5, 2, 3)}$&ndash;Blockcode $\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(0, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 0, 1, 1, 0)  \hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}(1, 1, 1, 0, 1) \big \}$.
 [[Datei:P ID2537 KC T 1 5 S5.png|right|frame|Zur Fehlerkorrektur bei BSC und BEC]]
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 Man erkennt:
-*Bei BSC kann wegen $d_{\rm min} = 3$nur ein Bitfehler korrigiert werden  ($t = 1$, rot markiert).  Beschränkt man sich auf Fehlererkennung, so funktioniert diese bis zu $e= d_{\rm min} -1 = 2$ Bitfehler.<br>
+*Bei BSC kann wegen $d_{\rm min} = 3$ nur ein Bitfehler korrigiert werden  ($t = 1$, rot markiert).  Beschränkt man sich auf Fehlererkennung, so funktioniert diese bis zu $e= d_{\rm min} -1 = 2$ Bitfehler.<br>
-*Bei BEC macht Fehlererkennung keinen Sinn, denn bereits der Kanal lokalisiert ein unsicheres Bit als <i>Erasure</i> E (Auslöschung). Die Nullen und Einsen im BEC&ndash;Empfangswort $\underline{y}$ sind sicher. Deshalb funktioniert hier die Fehlerkorrektur bis zu $e = 2$ Auslöschungen mit Sicherheit.<br>
+*Bei BEC macht Fehlererkennung keinen Sinn, denn bereits der Kanal lokalisiert ein unsicheres Bit als <i>Erasure</i> $\rm E$ (Auslöschung). Die Nullen und Einsen im BEC&ndash;Empfangswort $\underline{y}$ sind sicher. Deshalb funktioniert hier die Fehlerkorrektur bis zu $e = 2$ Auslöschungen mit Sicherheit.<br>
-*Auch $e = 3$ Auslöschungen sind manchmal noch korrigierbar. So kann $\underline{y} \rm = (E, E, E, 1, 1)$ zu $\underline{z} \rm = (0, 1, 0, 1, 1)$  korrigiert werden, da kein zweites Codewort mit zwei Einsen endet. Dagegen ist $\underline{y} \rm = (0, E, 0, E, E)$ aufgrund des im Code erlaubten Nullwortes nicht korrigierbar.<br>
+*Auch $e = 3$ Auslöschungen sind manchmal noch korrigierbar. So kann $\underline{y} \rm = (E, E, E, 1, 1)$ zu $\underline{z} \rm = (0, 1, 0, 1, 1)$  korrigiert werden, da kein zweites Codewort mit zwei Einsen endet. $\underline{y} \rm = (0, E, 0, E, E)$ ist aber aufgrund des im Code erlaubten Nullwortes nicht korrigierbar.<br>
 *Wird sichergestellt, dass in keinem Empfangswort mehr als zwei Auslöschungen vorkommen, so ist die BEC&ndash;Blockfehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{z} \ne  \underline{x}) = {\rm Pr}(\underline{v} \ne  \underline{u}) \equiv 0$. Dagegen hat die entsprechende Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim BSC&ndash;Modell stets einen Wert größer als $0$.}}<br>
@@ Zeile 261: / Zeile 261: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 5:}$&nbsp;  Ausgehend vom Empfangswort $\underline{y} \rm = (0, E, 0, E, 1)$ im Beispiel 4 setzen wir den Ausgang des Codewortfinders formal zu $\underline{z} \rm = (0, z_2, 0, z_4, 1)$, wobei die Symbole $z_2 \in \{0, \, 1\}$ und $z_4 \in \{0, \, 1\}$ entsprechend folgender Gleichung zu bestimmen sind:
+$\text{Beispiel 5:}$&nbsp;  Ausgehend vom Empfangswort $\underline{y} \rm = (0, E, 0, E, 1)$ im $\text{Beispiel 4}$ setzen wir den Ausgang des Codewortfinders formal zu $\underline{z} \rm = (0, z_2, 0, z_4, 1)$, wobei die Symbole $z_2 \in \{0, \, 1\}$ und $z_4 \in \{0, \, 1\}$ entsprechend folgender Gleichung zu bestimmen sind:
 ::<math>\underline{z} \cdot { \boldsymbol{\rm H} }^{\rm T}= \underline{0}
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 Es geht nun darum, diese Bestimmungsgleichung möglichst effizient umzusetzen. Es ergeben sich folgende Rechenschritte:
-*Mit der Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ des (5, 2, 3)&ndash;Blockcodes und dem Vektor $\underline{z} \rm = (0, z_2, 0, z_4, 1)$ lautet die obige Bestimmungsgleichung:
+*Mit der Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ des $\text{(5, 2, 3)}$&ndash;Blockcodes und dem Vektor $\underline{z} \rm = (0, z_2, 0, z_4, 1)$ lautet die obige Bestimmungsgleichung:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm H} } \cdot \underline{z}^{\rm T}
@@ Zeile 343: / Zeile 343: @@
 	\hspace{0.05cm}.</math>
-*Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die unbekannten $z_2$ und $z_4$ (jeweils $0$ oder $1$). Aus der letzten Zeile folgt $z_2 = 1$ und aus der zweiten Zeile  $z_2 + z_4 = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $z_4 = 1$. Damit ergibt sich das zulässige Codewort $\underline{z} \rm = (0, 1, 0, 1, 1)$.}}<br>
+*Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die unbekannten $z_2$ und $z_4$ (jeweils $0$ oder $1$).
 == Aufgaben zum Kapitel ==

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 == Blockschaltbild und Voraussetzungen ==
 <br>
-Wir gehen von dem bereits im Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]] gezeigten Blockschaltbild aus, wobei als Kanalmodell meist der <i>Binary Symmetric Channel</i> (BSC) verwendet wird. Zur Codewortschätzung verwenden wir den <i>Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheider</i> (ML), der für binäre Codes &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{x}  \in {\rm GF}(2^n)$ auf Blockebene das gleiche Ergebnis liefert wie der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|MAP&ndash;Empfänger]].<br>
+Wir gehen von dem bereits im Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]] gezeigten Blockschaltbild aus, wobei als Kanalmodell meist der <i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp; (BSC) verwendet wird. Zur Codewortschätzung verwenden wir den <i>Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheider</i>&nbsp; (ML), der für binäre Codes &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{x}  \in {\rm GF}(2^n)$ auf Blockebene das gleiche Ergebnis liefert wie der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Definitionen_der_verschiedenen_Optimalempf.C3.A4nger|MAP&ndash;Empfänger]].<br>
 [[Datei:P ID2360 KC T 1 5 S1 v2.png|center|frame|Blockschaltbild zur Decodierung von Blockcodes|class=fit]]
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 Vorausgesetzt wird hier ein $(n, \, k)$&ndash;Blockcode mit der Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ und den systematischen Codeworten
-::<math>\underline{x}\hspace{0.05cm} = (x_1, x_2, ... \hspace{0.05cm}, x_i, ... \hspace{0.05cm}, x_n)
+::<math>\underline{x}\hspace{0.05cm} = (x_1, x_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, x_i, \hspace{0.05cm}\text{...}  \hspace{0.05cm}, x_n)
-  = (u_1, u_2, ... \hspace{0.05cm}, u_k, p_1, ... \hspace{0.05cm}, p_{n-k})\hspace{0.05cm}. </math>
+  = (u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...}  \hspace{0.05cm}, u_k, p_1, \hspace{0.05cm}\text{...}  \hspace{0.05cm}, p_{n-k})\hspace{0.05cm}. </math>
 Mit dem Fehlervektor $\underline{e}$  gilt dann für das Empfangswort:
-::<math>\underline{y} = \underline{x} + \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} \underline{y} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm} \underline{x} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm} \underline{e} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n)
+::<math>\underline{y} = \underline{x} + \underline{e} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} \underline{y} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} \underline{x} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm} \underline{e} \in \hspace{0.1cm} {\rm GF}(2^n)
 \hspace{0.05cm}.</math>
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Das '''Syndrom''' $\underline{s} = (s_0, s_1, \text{...} , s_{m-1})$ berechnet sich (als Zeilen&ndash; bzw. Spaltenvektor) aus dem Empfangswort $\underline{y}$ und der Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ in folgender Weise:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Das '''Syndrom''' $\underline{s} = (s_0, s_1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, s_{m-1})$ berechnet sich (als Zeilen&ndash; bzw. Spaltenvektor) aus dem Empfangswort $\underline{y}$ und der Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ in folgender Weise:
 ::<math>\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H} }^{\rm T}\hspace{0.3cm}{\rm bzw.}\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 Das Syndrom $\underline{s}$ zeigt folgende Charakteristika:
-*Wegen $\underline{x} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}  = \underline{0}$ hängt $\underline{s}$ nicht vom Codewort $\underline{x}$ ab, sondern allein vom Fehlervektor $\underline{e}$:
+*Wegen der Gleichung $\underline{x} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}  = \underline{0}$ hängt das Syndrom $\underline{s}$ nicht vom Codewort $\underline{x}$ ab, sondern allein vom Fehlervektor $\underline{e}$:
 ::<math>\underline{s} = \underline{y} \cdot { \boldsymbol{\rm H}}^{\rm T}
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Ausgehend vom systematischen [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes|(7,&nbsp;4,&nbsp;3)&ndash;Hamming&ndash;Code]] erhält man beispielsweise für den Empfangsvektor $\underline{y} = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 1)$ das folgende Ergebnis:
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Ausgehend vom systematischen [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes|$\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Hamming&ndash;Code]] erhält man für den Empfangsvektor $\underline{y} = (0, 1, 1, 1, 0, 0, 1)$ das folgende Ergebnis:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm H} } \cdot \underline{y}^{\rm T}
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
 *die Entscheidung nur dann richtig ist, wenn bei der Übertragung nur ein Bit verfälscht wurde.<br><br>
-Nachfolgend sind die erforderlichen Korrekturen für den (7,&nbsp;4,&nbsp;3)&ndash;Hamming&ndash;Code angegeben, die sich aus dem errechneten Syndrom $\underline{s}$  entsprechend den Spalten der Prüfmatrix ergeben:
+Nachfolgend sind die erforderlichen Korrekturen für den $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Hamming&ndash;Code angegeben, die sich aus dem errechneten Syndrom $\underline{s}$  entsprechend den Spalten der Prüfmatrix ergeben:
-::<math>\underline{s} = (0, 0, 0) \hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm}{\rm keine\hspace{0.15cm} Korrektur}\hspace{0.05cm};\hspace{0.4cm}\underline{s} = (1, 0, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm}p_1{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
+::<math>\underline{s} = (0, 0, 0) \hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm}{\rm keine\hspace{0.15cm} Korrektur}\hspace{0.05cm};\hspace{0.8cm}\underline{s} = (1, 0, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm}p_1{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
-::<math>\underline{s} =(0, 0, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} p_3{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{0.82cm}\underline{s} = (1, 0, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_1{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
+::<math>\underline{s} =(0, 0, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} p_3{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{1.22cm}\underline{s} = (1, 0, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_1{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
-::<math>\underline{s} =(0, 1, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} p_2{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{0.82cm}\underline{s} = (1, 1, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_3{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
+::<math>\underline{s} =(0, 1, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} p_2{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{1.22cm}\underline{s} = (1, 1, 0)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_3{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};</math>
-::<math>\underline{s} =(0, 1, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_4{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{0.82cm}\underline{s} = (1, 1, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_2{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm}. </math>}}<br>
+::<math>\underline{s} =(0, 1, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_4{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm};\hspace{1.22cm}\underline{s} = (1, 1, 1)\hspace{0.10cm} \Rightarrow\hspace{0.10cm} u_2{\rm \hspace{0.15cm} invertieren}\hspace{0.05cm}. </math>}}<br>
 == Verallgemeinerung der Syndromdecodierung ==

@@ Zeile 335: / Zeile 335: @@
 [[Aufgaben:1.11_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11: Syndromdecodierung]]
-[[Aufgaben:1.11Z_Nochmals_Syndromdecodierung|Zusatzaufgabe 1.11: Nochmals Syndromdecodierung]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.11Z:_Nochmals_Syndromdecodierung|Aufgabe 1.11Z: Nochmals Syndromdecodierung]]
-[[Aufgaben:1.12_Hard_/_Soft_Decision|Aufgabe 1.12: Hard / Soft Decision]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.12:_Hard_Decision_vs._Soft_Decision|Aufgabe 1.12: Hard Decision vs. Soft_Decision]]
-[[Aufgaben:1.12Z_Vergleich_(7,_4,_3)_und_(8,_4,_4)|Zusatzaufgaben:1.12 Vergleich (7, 4, 3) und (8, 4, 4)]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.12Z:_Vergleich_von_HC_(7,_4,_3)_und_HC_(8,_4,_4)|Aufgabe 1.12Z: Vergleich von HC (7, 4, 3) und HC (8, 4, 4)]]
-[[Aufgaben:1.13_BEC–Decodierung|Aufgabe 1.13: BEC–Decodierung]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.13:_Decodierung_beim_binären_Auslöschungskanal_(BEC)|Aufgabe 1.13: Decodierung beim binären Auslöschungskanal (BEC)]]
-[[Aufgaben:1.13Z_Nochmals_BEC–Decodierung|Zusatzaufgaben:1.13 Nochmals BEC–Decodierung]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_1.13Z:_Nochmals_BEC–Decodierung|Aufgabe 1.13Z: Nochmals BEC–Decodierung]]
 {{Display}}

@@ Zeile 240: / Zeile 240: @@
 *Auch $e = 3$ Auslöschungen sind manchmal noch korrigierbar. So kann $\underline{y} \rm = (E, E, E, 1, 1)$ zu $\underline{z} \rm = (0, 1, 0, 1, 1)$  korrigiert werden, da kein zweites Codewort mit zwei Einsen endet. Dagegen ist $\underline{y} \rm = (0, E, 0, E, E)$ aufgrund des im Code erlaubten Nullwortes nicht korrigierbar.<br>
-*Wird sichergestellt, dass in keinem Empfangswort mehr als zwei Auslöschungen vorkommen, so ist die BEC&ndash;Blockfehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}($\underline{z} \ne  \underline{x}) = {\rm Pr}($\underline{v} \ne  \underline{u}) \equiv 0$. Dagegen hat die entsprechende Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim BSC&ndash;Modell stets einen Wert größer als $0$.}}<br>
+*Wird sichergestellt, dass in keinem Empfangswort mehr als zwei Auslöschungen vorkommen, so ist die BEC&ndash;Blockfehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{z} \ne  \underline{x}) = {\rm Pr}(\underline{v} \ne  \underline{u}) \equiv 0$. Dagegen hat die entsprechende Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim BSC&ndash;Modell stets einen Wert größer als $0$.}}<br>
 Da nach dem BEC ein jedes Empfangswort entweder richtig oder gar nicht decodiert wird, nennen wir hier den Block $\underline{y} &#8594; \underline{z}$  zukünftig &bdquo;Codewortfinder&rdquo;. Eine &bdquo;Schätzung&rdquo; findet nur beim BSC&ndash;Modell statt.<br>