Kanalcodierung/Codebeschreibung mit Zustands– und Trellisdiagramm - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Juni 2019 um 13:16 Uhr

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Guenter am 7. Juni 2019 um 10:42 Uhr

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 [[Aufgaben:Aufgabe_3.6:_Zustandsübergangsdiagramm|Aufgabe 3.6: Zustandsübergangsdiagramm]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_3.6Z:_Übergangsdiagramm_für_m_%3D_3|Aufgabe 3.6Z: Übergangsdiagramm bei 3 Zuständen]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.6Z:_Übergangsdiagramm_bei_3_Zuständen|Aufgabe 3.6Z: Übergangsdiagramm bei 3 Zuständen]]
 [[Aufgaben:Aufgabe_3.7:_Vergleich_zweier_Faltungscodierer|Aufgabe 3.7: Vergleich zweier Faltungscodierer]]

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 [[Aufgaben:Aufgabe_3.6:_Zustandsübergangsdiagramm|Aufgabe 3.6: Zustandsübergangsdiagramm]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_3.6Z:_Übergangsdiagramm_für_m_%3D_3|Aufgabe 3.6Z: Übergangsdiagramm für ''m'' = 3]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.6Z:_Übergangsdiagramm_für_m_%3D_3|Aufgabe 3.6Z: Übergangsdiagramm bei 3 Zuständen]]
 [[Aufgaben:Aufgabe_3.7:_Vergleich_zweier_Faltungscodierer|Aufgabe 3.7: Vergleich zweier Faltungscodierer]]

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 [[Aufgaben:Aufgabe_3.7Z:_Welcher_Code_ist_katastrophal%3F|Aufgabe 3.7Z: Welcher Code ist katastrophal?]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Rate_Compatible_Punctured_Convolutional_Codes|Aufgabe 3.8: ''Rate Compatible Punctured Convolutional Codes'']]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Rate_Compatible_Punctured_Convolutional_Codes|Aufgabe 3.8: Rate Compatible Punctured Convolutional Codes]]
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	Natürlich erhöht sich durch die Punktierung die Fehlerwahrscheinlichkeit. Dies kann man bereits daran erkennen, dass die freie Distanz nach der Punktierung auf $d_{\rm F} = 3$ sinkt. Demgegenüber besitzt der Muttercode die freie Distanz $d_{\rm F} = 5$.}}<br>		Natürlich erhöht sich durch die Punktierung die Fehlerwahrscheinlichkeit. Dies kann man bereits daran erkennen, dass die freie Distanz nach der Punktierung auf $d_{\rm F} = 3$ sinkt. Demgegenüber besitzt der Muttercode die freie Distanz $d_{\rm F} = 5$.}}<br>

−	Eine Anwendung findet die Punktierung zum Beispiel bei den so genannten RCPC–Codes (<i>Rate Compatible Punctered Convolutional Codes</i>). Näheres hierzu in der [[Aufgaben:3.~~8_RCPC%E2%80%93Codes~~\| Aufgabe 3.8]].<br>	+	Eine Anwendung findet die Punktierung zum Beispiel bei den so genannten RCPC–Codes (<i>Rate Compatible Punctered Convolutional Codes</i>). Näheres hierzu in der [[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Rate_Compatible_Punctured_Convolutional_Codes\| Aufgabe 3.8]].<br>

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 == Definition der freien Distanz ==
 <br>
-Eine wichtige Kenngröße der linearen Blockcodes ist die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| ''minimale Hamming&ndash;Distanz'']] '''zwischen zwei beliebigen Codeworten''' $\underline{x}$ und $\underline{x}\hspace{0.05cm}'$:
+Eine wichtige Kenngröße der linearen Blockcodes ist die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung| minimale Hamming&ndash;Distanz]] '''zwischen zwei beliebigen Codeworten''' $\underline{x}$ und $\underline{x}\hspace{0.05cm}'$:
 ::<math>d_{\rm min}(\mathcal{C}) =

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 Die Grafik zeigt das <b>Zustandsübergangsdiagramm</b> (englisch: <i>State Transition Diagram</i>) für unseren '''&bdquo;Standard&ndash;Codierer&rdquo;'''.
 *Dieses liefert alle Informationen über den $(n = 2, \ k = 1, \ m = 2)$&ndash;Faltungscodierer in kompakter Form.
-*Die Farbgebung ist mit der [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister_.281.29| sequenziellen Darstellung]] auf der vorherigen Seite abgestimmt.
+*Die Farbgebung ist mit der [[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Zustandsdefinition_f.C3.BCr_ein_Speicherregister| sequenziellen Darstellung]] auf der vorherigen Seite abgestimmt.
 *Der Vollständigkeit halber ist auch die Herleitungstabelle nochmals angegeben.<br>

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 == Terminierte Faltungscodes ==
 <br>
-Bei der theoretischen Beschreibung der Faltungscodes geht man stets von Informationssequenzen $\underline{u}$ und Codesequenzen $\underline{x}$ aus, die per Definition unendlich lang sind. In praktischen Anwendungen, siehe zum Beispiel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_GSM|GSM]] und [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|UMTS]] verwendet man dagegen stets eine Informationssequenz endlicher Länge $L$. Bei einem Rate&ndash;$1/n$&ndash;Faltungscode hat dann die Codesequenz mindestens die Länge $n \cdot L$.<br>
+Bei der theoretischen Beschreibung der Faltungscodes geht man stets von Informationssequenzen $\underline{u}$ und Codesequenzen $\underline{x}$ aus, die per Definition unendlich lang sind.
 [[Datei:P ID2641 KC T 3 3 S5 v2.png|center|frame|Terminierter Faltungscode der Rate $R = 128/260$|class=fit]]
-Die Grafik zeigt ohne Hinterlegung das Trellis unseres Standard&ndash;Rate&ndash;$1/2$&ndash;Faltungscodes bei binärer Eingangsfolge $\underline{u}$ der endlichen Länge $L = 128$. Damit hat die Codefolge $\underline{x}$ die Länge $2 \cdot L = 256$. Aufgrund des undefinierten Endzustands ist eine vollständige Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decodierung der gesendeten Folge allerdings nicht möglich. Da man nicht weiß, welcher der Zustände $S_0, \ ... \ , \ S_3$ sich für $i > L$ einstellen würden, wird die Fehlerwahrscheinlichkeit (etwas) größer sein als im Grenzfall $L &#8594; &#8734;$.<br>
+Die Grafik ohne die graue Hinterlegung rechts  zeigt das Trellis unseres Standard&ndash;Rate&ndash;$1/2$&ndash;Faltungscodes bei binärer Eingangsfolge $\underline{u}$ der endlichen Länge $L = 128$. Damit hat die Codefolge $\underline{x}$ die Länge $2 \cdot L = 256$.
 Um dies zu verhindern, terminiert man den Faltungscode entsprechend der Hinterlegung in obiger Grafik:
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 *Das Trellis endet nun stets (also unabhängig von den Daten) im definierten Endzustand $S_0$ und man erreicht so die bestmögliche Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend Maximum&ndash;Likelihood.<br>
-*Die Verbesserung hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit erkauft man sich allerdings auf Kosten einer kleineren Coderate. Bei $L \gg m$ ist dieser Verlust nur gering. Im betrachteten Beispiel ergibt sich mit Terminierung die Coderate $R\hspace{0.03cm}' = 0.5 \cdot L/(L + m) \approx 0.492$ anstelle von $R = 0.5$.<br>
+*Die Verbesserung hinsichtlich der Fehlerwahrscheinlichkeit erkauft man sich allerdings auf Kosten einer kleineren Coderate.
 == Punktierte Faltungscodes ==
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;  Wir gehen von einem Faltungscode der Rate $R_0 = 1/n_0$ aus, den wir <i>Muttercode</i> nennen. Streicht man von dessen Codesequenz einige Bits entsprechend einem vorgegebenen Muster, so spricht man von einem <b>punktierten Faltungscode</b> (englisch: <i>Punctured Convolutional Code</i>) mit der Coderate $R > R_0$.}}<br>
+$\text{Definition:}$&nbsp;
 Die Punktierung geschieht mittels der Punktierungsmatrix $\mathbf{P}$ mit folgenden Eigenschaften:
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 *Die $n_0 \cdot p$ Matrixelemente $P_{ij}$ sind binär ($0$ oder $1$). Bei $P_{ij} = 1$ wird das entsprechende Codebit übernommen, bei $P_{ij} = 0$ punktiert.<br>
-*Die Rate des punktierten Faltungscodes ergibt sich als der Quotient aus der Punktierungsperiode $p$ und der Anzahl $N_1$ der Einsen in der $\mathbf{P}$&ndash;Matrix.<br>
+*Die Rate des punktierten Codes ist gleich dem Quotienten aus der Punktierungsperiode $p$ und der Anzahl $N_1$ der Einsen in der $\mathbf{P}$&ndash;Matrix.<br>
 Man findet günstig punktierte Faltungscodes üblicherweise nur mittels computergestützter Suche. Dabei bezeichnet man einen punktierten Faltungscode dann als günstig, wenn er
-*die gleiche Gedächtnisordnung $m$ aufweist wie der Muttercode (auch die Gesamteinflusslänge ist in beiden Fällen gleich: $\nu = m + 1$),<br>
+*die gleiche Gedächtnisordnung $m$ aufweist wie der Muttercode (auch die Gesamteinflusslänge ist in beiden Fällen gleich: &nbsp; $\nu = m + 1$),<br>
 *eine möglichst große freie Distanz $d_{\rm F}$ besitzt, die natürlich kleiner ist als die des Muttercodes.<br><br>
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 *Informationssequenz: $\hspace{2.5cm} \underline{u} = (1, 0, 0, 1, 1, 0, \ \text{...}\hspace{0.03cm})$,<br>
-*Codesequenz ohne Punktierung: $\hspace{0.7cm} \underline{x} = (11, 1 \color{grey}{0}, \color{gray}{1}1, 11, 0\color{gray}{1}, \color{gray}{0}1, \ \text{...}\hspace{0.03cm}...)$,<br>
+*Codesequenz ohne Punktierung: $\hspace{0.7cm} \underline{x} = (11, 1 \color{grey}{0}, \color{gray}{1}1, 11, 0\color{gray}{1}, \color{gray}{0}1, \ \text{...}\hspace{0.03cm})$,<br>
-*Codesequenz mit Punktierung: $\hspace{0.90cm} \underline{x}' = (11, 1\_, \_1, 11, 0\_, \_1, \ \text{...}\hspace{0.03cm})$,<br>
+*Codesequenz mit Punktierung: $\hspace{0.90cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}' = (11, 1\_, \_1, 11, 0\_, \_1, \ \text{...}\hspace{0.03cm})$,<br>
 *Empfangssequenz ohne Fehler: $\hspace{0.88cm} \underline{y} = (11, 1\_, \_1, 11, 0\_, \_1, \ \text{...}\hspace{0.03cm})$,<br>
-*Modifizierte Empfangssequenz: $\hspace{0.8cm} \underline{y}' = (11, 1\rm E, E1, 11, 0E, E1, \ ...)$.<br>
+*Modifizierte Empfangssequenz: $\hspace{0.8cm} \underline{y}\hspace{0.05cm}' = (11, 1\rm E, E1, 11, 0E, E1, \ \text{...}\hspace{0.03cm})$.<br>