Kanalcodierung/Beispiele binärer Blockcodes - Versionsgeschichte

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 ::<math>{\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u})  \hspace{-0.1cm} =  \hspace{-0.1cm}  \sum_{f=2 \atop f \hspace{0.1cm}{\rm gerade} }^{n} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} =  1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) - {\rm Pr}(s=1)\approx 0.1\,\%\hspace{0.05cm}.</math>
-Wir verweisen hier auf das HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|"Binomial- und Poissonverteilung"]].&nbsp; Die hier gewonnenen Ergebnisse werden auch in&nbsp; [[Aufgaben:1.5_SPC_(5,_4)_und_BEC%E2%80%93Modell|Aufgabe A1.5]]&nbsp; diskutiert.}}<br>
+Wir verweisen hier auf das HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|"Binomial- und Poissonverteilung"]].&nbsp; Die hier gewonnenen Ergebnisse werden auch in&nbsp; [[Aufgaben:1.5_SPC_(5,_4)_und_BEC%E2%80%93Modell|Aufgabe 1.5]]&nbsp; diskutiert.}}<br>
 {{GraueBox|TEXT=

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 *Man erkennt anhand dieser Tabelle, dass sich jeweils zwei der&nbsp; $16$&nbsp; möglichen Codeworte in mindestens&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp;  Binärwerten unterscheiden.}}<br>
-Später wird die&nbsp;  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]]&nbsp; noch ausführlich behandelt. Das folgende Beispiel soll die Decodierung des Hamming&ndash;Codes eher intuitiv  erklären.<br>
+Später wird die&nbsp;  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]]&nbsp; noch ausführlich behandelt.&nbsp; Das folgende Beispiel soll die Decodierung des Hamming&ndash;Codes eher intuitiv  erklären.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
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 <br>
-Wir gehen weiter vom systematischen&nbsp; $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Code aus und betrachten das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = ( y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6, y_7)$. Zur Decodierung bilden wir die drei Paritätsgleichungen
+Wir gehen weiter vom systematischen&nbsp; $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Code aus und betrachten das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = ( y_1,\ y_2,\ y_3,\ y_4,\ y_5,\ y_6,\ y_7)$.
 ::<math> y_1 \oplus y_2 \oplus y_3 \oplus y_5    \hspace{-0.1cm}=  \hspace{-0.1cm}  0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm (I)} </math>
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 ::<math>y_1 \oplus y_2 \oplus y_4 \oplus y_7    \hspace{-0.1cm}=  \hspace{-0.1cm} 0\hspace{0.05cm}.  \hspace{0.5cm}{\rm (III)}</math>
-Unter der Voraussetzung, dass in jedem Codewort höchstens ein Bit verfälscht wird, gelten dann die folgenden Aussagen. Im Folgenden bezeichnet&nbsp; $\underline{v}$&nbsp;  das Decodierergebnis; dieses sollte stets mit&nbsp;  $\underline{u} = (1, 0, 1, 0)$&nbsp; übereinstimmen:
+Im Folgenden bezeichnet&nbsp; $\underline{v}$&nbsp;  das Decodierergebnis;&nbsp;  dieses sollte stets mit&nbsp;  $\underline{u} = (1, 0, 1, 0)$&nbsp; übereinstimmen:
 *Das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1)$&nbsp; erfüllt alle drei Paritätsgleichungen. Das heißt, dass kein einziger Übertragungsfehler aufgetreten ist &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y} = \underline{x}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
-*Werden zwei der drei Paritätsgleichungen erfüllt wie zum Beispiel für das empfangene Wort&nbsp; $\underline{y} =(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)$, so wurde ein Paritätsbit verfälscht und es gilt auch hier&nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
+*Werden zwei der drei Paritätsgleichungen erfüllt wie zum Beispiel für das empfangene Wort&nbsp; $\underline{y} =(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)$,&nbsp; so wurde ein Paritätsbit verfälscht und es gilt auch hier&nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
-*Mit&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1)$&nbsp; wird nur die Gleichung&nbsp; $\rm (I)$&nbsp; erfüllt und die beiden anderen nicht. Somit kann man die Verfälschung des vierten Binärsymbols korrigieren, und es gilt auch hier&nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
+*Mit&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1)$&nbsp; wird nur die Gleichung&nbsp; $\rm (I)$&nbsp; erfüllt und die beiden anderen nicht.&nbsp; Somit kann man die Verfälschung des vierten Binärsymbols korrigieren,&nbsp; und es gilt auch hier&nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
-*Ein Übertragungsfehler des zweiten Bits &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1)$&nbsp; führt dazu, dass alle drei Paritätsgleichungen nicht erfüllt werden. Auch dieser Fehler lässt sich eindeutig korrigieren da nur&nbsp; $u_2$&nbsp; in allen Gleichungen vorkommt.}}<br>
+*Ein Übertragungsfehler des zweiten Bits &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1)$&nbsp; führt dazu,&nbsp; dass alle drei Paritätsgleichungen nicht erfüllt werden.&nbsp; Auch dieser Fehler lässt sich eindeutig korrigieren,&nbsp; da nur&nbsp; $u_2$&nbsp; in allen Gleichungen vorkommt.}}<br>
 == Aufgaben zum Kapitel ==

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 == Single Parity–check Codes==
 <br>
-Der&nbsp; <i>Single Parity&ndash;check Code</i>&nbsp; (SPC) fügt zu dem Informationsblock&nbsp; $\underline{u}= (u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, u_k)$&nbsp; ein Prüfbit (englisch: &nbsp;<i>Parity</i>&nbsp;)&nbsp; $p$&nbsp; hinzu:
+Der&nbsp; '''Single Parity&ndash;check Code'''&nbsp; $\rm (SPC)$&nbsp; fügt zu dem Informationsblock&nbsp; $\underline{u}= (u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, u_k)$&nbsp; ein Prüfbit&nbsp; (englisch: &nbsp;"Parity")&nbsp; $p$&nbsp; hinzu:
-[[Datei:P ID2346 KC T 1 3 S1 v2.png|right|frame|Verschiedene Single Parity–check Codes&nbsp; $(n = k  + 1)$|class=fit]]
+[[Datei:P ID2346 KC T 1 3 S1 v2.png|right|frame|Verschiedene&nbsp; "Single Parity–check Codes"&nbsp; $(n = k  + 1)$|class=fit]]
 :$$\underline{u} = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} \text{...}  \hspace{0.05cm} , u_k)  \hspace{0.3cm}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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 Dieser sehr einfache Code kann wie folgt charakterisiert werden:
-*Aus&nbsp; $n = k  + 1$&nbsp; folgt für die&nbsp; ''Coderate''&nbsp; $R = k/n = (n-1)/n$&nbsp; und für die&nbsp; ''Redundanz''&nbsp; $1-R = 1/n$. Für&nbsp; $k = 2$&nbsp; ergibt sich zum Beispiel die Coderate&nbsp; $2/3$&nbsp; und die relative Redundanz beträgt&nbsp; $33.3\%$.
+*Aus&nbsp; $n = k  + 1$&nbsp; folgt für die&nbsp; '''Coderate'''&nbsp; $R = k/n = (n-1)/n$&nbsp; und für die&nbsp; '''Redundanz'''&nbsp; $1-R = 1/n$.&nbsp; Für&nbsp; $k = 2$&nbsp; ergibt sich zum Beispiel die Coderate&nbsp; $2/3$&nbsp; und die relative Redundanz beträgt&nbsp; $33.3\%$.
-*Das Prüfbit erhält man durch die Modulo&ndash;2&ndash;Addition. Darunter versteht man die Addition im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|Galoisfeld]]&nbsp; zur Basis &nbsp;$2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\rm GF(2)$, sodass&nbsp;  $1 \oplus 1 = 0$&nbsp; ergibt:
+*Das Prüfbit erhält man durch die&nbsp; '''Modulo&ndash;2&ndash;Addition'''.&nbsp; Darunter versteht man die Addition im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|Galoisfeld]]&nbsp; zur Basis &nbsp;$2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\rm GF(2)$,&nbsp; sodass&nbsp;  $1 \oplus 1 = 0$&nbsp; ergibt:
 ::<math>p = u_1 \oplus u_2 \oplus \text{...} \hspace{0.05cm} \oplus u_k
 \hspace{0.05cm}.</math>
+*Damit enthält jedes gültige Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; eine gerade Anzahl von Einsen.&nbsp; Ausgedrückt mit&nbsp; $\oplus$&nbsp; bzw. in vereinfachter Schreibweise gemäß der zweiten Gleichung lautet diese Bedingung:
 ::<math> x_1 \oplus x_2 \oplus \text{...} \hspace{0.05cm} \oplus x_n = 0
 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm oder:}\hspace{0.5cm}
@@ Zeile 38: / Zeile 36: @@
 , \hspace{0.3cm} {\rm Addition\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm}  GF(2)}
 \hspace{0.05cm}. </math>
+*Für&nbsp; $k = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $n = 3$&nbsp; ergeben sich die folgenden vier Codeworte,&nbsp; wobei das Prüfbit&nbsp; $p$&nbsp; jeweils durch einen kleinen Pfeil markiert ist:
 ::<math>\underline{x}_0 = (0, 0_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_1 = (0, 1_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 \underline{x}_2 = (1, 0 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_3 = (1, 1 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}.</math>
-*Dieser Code&nbsp; $\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0), \ (0, 1, 1), \ (1, 0, 1), \ (1, 1, 0) \big \}$&nbsp; ist&nbsp; ''linear'', da die Summe zweier beliebiger Codeworte wieder ein gültiges Codewort ergibt, zum Beispiel
+*Dieser Code&nbsp; $\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0), \ (0, 1, 1), \ (1, 0, 1), \ (1, 1, 0) \big \}$&nbsp; ist&nbsp; '''linear''',&nbsp; da die Summe zweier beliebiger Codeworte wieder ein gültiges Codewort ergibt,&nbsp; zum Beispiel
 :$$\underline{x}_1 \oplus \underline{x}_2 = \underline{x}_3.$$
-*Für beliebiges&nbsp; $k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $n = k+1$&nbsp; unterscheidet sich jedes Codewort von allen anderen an einer geraden Anzahl von Positionen. Die minimale Distanz des Codes ist also&nbsp;
+*Für beliebiges&nbsp; $k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $n = k+1$&nbsp; unterscheidet sich jedes Codewort von allen anderen an einer geraden Anzahl von Positionen.&nbsp; Die minimale Distanz des Codes ist also&nbsp;
 :$$d_{\rm min} = 2.$$
@@ Zeile 55: / Zeile 51: @@
 ::<math>\mathcal{C} = \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n)\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}{\rm mit \hspace{0.15cm}geradzahliger\hspace{0.15cm} Anzahl\hspace{0.15cm} von\hspace{0.15cm} Einsen\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm} } \underline{x} \}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Mit der allgemeinen Codebezeichnung&nbsp; $(n, \ k, \ d_{\rm min})$&nbsp; lässt sich jeder <i>Single Parity&ndash;check Code</i> auch mit&nbsp; $\text{SPC }(n, \ n-1, \ 2)$&nbsp; benennen.
+*Mit der allgemeinen Codebezeichnung&nbsp; $(n, \ k, \ d_{\rm min})$&nbsp; lässt sich jeder&nbsp; "Single Parity&ndash;check Code"&nbsp; auch mit&nbsp; $\text{SPC }(n, \ n-1, \ 2)$&nbsp; benennen.
-*Die obere Grafik zeigt somit den&nbsp; $\text{SPC (3, 2, 2)}$, den&nbsp; $\text{SPC (4, 3, 2)}$ und den&nbsp; $\text{SPC (5, 4, 2)}$.}}<br>
+*Die obere Grafik zeigt somit den&nbsp; $\text{SPC (3, 2, 2)}$,&nbsp; den&nbsp; $\text{SPC (4, 3, 2)}$&nbsp; und den&nbsp; $\text{SPC (5, 4, 2)}$.}}<br>
 Der digitale Kanal ändert möglicherweise das Codewort&nbsp; $\underline{x}= (x_1, x_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, x_n)$&nbsp;  in das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}= (y_1, y_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, y_n)$. Mit dem Fehlervektor&nbsp; $\underline{e}= (e_1, e_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, e_n)$&nbsp; gilt:
 :$$\underline{y}=  \underline{x} \oplus \underline{e}.$$
-Zur Decodierung des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>  bildet man das so genannte&nbsp; '''Syndrom''':
+Zur Decodierung des Single Parity&ndash;check Codes  bildet man das so genannte&nbsp; '''Syndrom''':
 ::<math>s = y_1 \oplus y_2 \oplus \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \oplus y_n = \sum_{i=1}^{n} \hspace{0.2cm} y_i \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.2cm} \{0, 1 \}
 \hspace{0.05cm}.</math>
-Das Ergebnis&nbsp; $s=1$&nbsp; weist dann auf (mindestens) einen Bitfehler innerhalb des Codewortes hin, während&nbsp;  $s=0$&nbsp; wie folgt zu interpretieren ist:
+Das Ergebnis&nbsp; $s=1$&nbsp; weist dann auf&nbsp; (mindestens)&nbsp; einen Bitfehler innerhalb des Codewortes hin,&nbsp; während&nbsp;  $s=0$&nbsp; wie folgt zu interpretieren ist:
-*Die Übertragung war fehlerfrei, oder:<br>
+*Die Übertragung war fehlerfrei,&nbsp; oder:<br>
 *Die Anzahl der Bitfehler ist geradzahlig.<br><br>
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten den&nbsp; $\text{SPC (4, 3, 2)}$&nbsp; und gehen davon aus, dass das Nullwort gesendet wurde. Die Tabelle zeigt alle Möglichkeiten, dass&nbsp; $f$&nbsp; Bit verfälscht werden und gibt das jeweilige Syndrom&nbsp; $s \in \{0, 1\}$&nbsp; an.
 Für das&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC&ndash;Modell]]&nbsp; mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 1\%$&nbsp; ergeben sich dann  folgende Wahrscheinlichkeiten:

@@ Zeile 297: / Zeile 297: @@
 <br>
-Wir gehen weiter vom systematischen (7, 4, 3)&ndash;Code aus und betrachten das Empfangswort $\underline{y} = ( y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6, y_7)$. Zur Decodierung bilden wir die drei Paritätsgleichungen
+Wir gehen weiter vom systematischen&nbsp; $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Code aus und betrachten das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = ( y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, y_6, y_7)$. Zur Decodierung bilden wir die drei Paritätsgleichungen
 ::<math> y_1 \oplus y_2 \oplus y_3 \oplus y_5    \hspace{-0.1cm}=  \hspace{-0.1cm}  0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm (I)} </math>
@@ Zeile 303: / Zeile 303: @@
 ::<math>y_1 \oplus y_2 \oplus y_4 \oplus y_7    \hspace{-0.1cm}=  \hspace{-0.1cm} 0\hspace{0.05cm}.  \hspace{0.5cm}{\rm (III)}</math>
-Unter der Voraussetzung, dass in jedem Codewort höchstens ein Bit verfälscht wird, gelten dann die folgenden Aussagen ($\underline{v}$&nbsp; bezeichnet hierbei das Decodierergebnis; dieses sollte stets mit  $\underline{u} = (1, 0, 1, 0)$ übereinstimmen):
+Unter der Voraussetzung, dass in jedem Codewort höchstens ein Bit verfälscht wird, gelten dann die folgenden Aussagen. Im Folgenden bezeichnet&nbsp; $\underline{v}$&nbsp;  das Decodierergebnis; dieses sollte stets mit&nbsp;  $\underline{u} = (1, 0, 1, 0)$&nbsp; übereinstimmen:
-*Das Empfangswort $\underline{y} = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1)$ erfüllt alle drei Paritätsgleichungen. Das heißt, dass kein einziger Übertragungsfehler aufgetreten ist &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y} = \underline{x}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
+*Das Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 0, 0, 1, 1)$&nbsp; erfüllt alle drei Paritätsgleichungen. Das heißt, dass kein einziger Übertragungsfehler aufgetreten ist &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y} = \underline{x}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
-*Werden zwei der drei Paritätsgleichungen erfüllt wie zum Beispiel für das empfangene Wort $\underline{y} =(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)$, so wurde ein Paritätsbit verfälscht und es gilt auch hier $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
+*Werden zwei der drei Paritätsgleichungen erfüllt wie zum Beispiel für das empfangene Wort&nbsp; $\underline{y} =(1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)$, so wurde ein Paritätsbit verfälscht und es gilt auch hier&nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
-*Mit $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1)$ wird nur die Gleichung (I) erfüllt und die beiden anderen nicht. Somit kann man die Verfälschung des vierten Binärsymbols korrigieren, und es gilt auch hier $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
+*Mit&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 0, 1, 1)$&nbsp; wird nur die Gleichung&nbsp; $\rm (I)$&nbsp; erfüllt und die beiden anderen nicht. Somit kann man die Verfälschung des vierten Binärsymbols korrigieren, und es gilt auch hier&nbsp; $\underline{v} = \underline{u} = (1, 0, 1, 0)$.<br>
-*Ein Übertragungsfehler des zweiten Bits &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1)$ führt dazu, dass alle drei Paritätsgleichungen nicht erfüllt werden. Auch dieser Fehler lässt sich eindeutig korrigieren da nur $u_2$ in allen Gleichungen vorkommt.}}<br>
+*Ein Übertragungsfehler des zweiten Bits &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{y} = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1)$&nbsp; führt dazu, dass alle drei Paritätsgleichungen nicht erfüllt werden. Auch dieser Fehler lässt sich eindeutig korrigieren da nur&nbsp; $u_2$&nbsp; in allen Gleichungen vorkommt.}}<br>
 == Aufgaben zum Kapitel ==

@@ Zeile 234: / Zeile 234: @@
 == Hamming–Codes ==
 <br>
-[https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Hamming Richard Wesley Hamming] hat 1962 eine Klasse binärer Blockcodes angegeben, die sich durch die Anzahl $m = 2, 3, \text{...} $ der zugesetzten <i>Parity Bits</i> unterscheiden. Für diese Codeklasse gilt:
+[https://de.wikipedia.org/wiki/Richard_Hamming Richard Wesley Hamming]&nbsp; hat 1962 eine Klasse binärer Blockcodes angegeben, die sich durch die Anzahl&nbsp; $m = 2, 3, \text{...} $&nbsp; der zugesetzten&nbsp; <i>Parity Bits</i>&nbsp; unterscheiden. Für diese Codeklasse gilt:
-*Die Codelänge ergibt sich stets  zu $n = 2^m -1$. Möglich sind demzufolge beim Hamming&ndash;Code auch nur die Längen $n = 3$, $n = 7$, $n = 15$, $n = 31$, $n = 63$,$n = 127$, $n = 255$, usw.<br>
+*Die Codelänge ergibt sich stets  zu&nbsp; $n = 2^m -1$. Möglich sind demzufolge beim Hamming&ndash;Code auch nur die Längen&nbsp; $n = 3$,&nbsp; $n = 7$,&nbsp; $n = 15$,&nbsp; $n = 31$,&nbsp; $n = 63$,&nbsp; $n = 127$,&nbsp; $n = 255$, usw.<br>
-*Ein Informationswort besteht aus $k = n-m$ Bit. Die Coderate ist somit gleich
+*Ein Informationswort besteht aus&nbsp; $k = n-m$&nbsp; Bit. Die Coderate ist somit gleich
 ::<math>R = \frac{k}{n} = \frac{2^m - 1 - m}{2^m - 1} \in \{1/3, \hspace{0.1cm}4/7,\hspace{0.1cm}11/15,\hspace{0.1cm}26/31,\hspace{0.1cm}57/63,
@@ Zeile 243: / Zeile 243: @@
 \}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Alle Hamming&ndash;Codes weisen die minimale Distanz $d_{\rm min} = 3$ auf. Bei größerer Codelänge $n$ erreicht man $d_{\rm min} = 3$ schon mit weniger Redundanz, also bei größerer Coderate $R$.<br>
+*Alle Hamming&ndash;Codes weisen die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; auf. Bei größerer Codelänge&nbsp; $n$&nbsp; erreicht man&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; schon mit weniger Redundanz, also bei größerer Coderate&nbsp; $R$.<br>
-*Aus der Angabe $d_{\rm min} = 3$ folgt weiter, dass hier $e = d_{\rm min} -1 =2$ Fehler erkannt werden können und man $t = (d_{\rm min} -1)/2  = 1$ Fehler korrigieren kann.<br>
+*Aus der Angabe&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; folgt weiter, dass hier&nbsp; $e = d_{\rm min} -1 =2$&nbsp; Fehler erkannt werden können und man&nbsp; $t = (d_{\rm min} -1)/2  = 1$&nbsp; Fehler korrigieren kann.<br>
-*Der Hamming&ndash;Code $\text{HC (3, 1, 3)}$ ist identisch mit dem Wiederholungscode $\text{RP (3, 1, 3)}$ und lautet:
+*Der Hamming&ndash;Code&nbsp; $\text{HC (3, 1, 3)}$&nbsp; ist identisch mit dem Wiederholungscode&nbsp; $\text{RP (3, 1, 3)}$&nbsp; und lautet:
 ::<math>\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (1, 1, 1)  \big \}\hspace{0.05cm}. </math>
-*Bei systematischer Codierung sind die ersten $k$ Stellen eines jeden Hamming&ndash;Codewortes $\underline{x}$ identisch mit dem Informationswort $\underline{u}$. Anschließend folgen dann  die $m = n-k$ Paritätsbit:
+*Bei systematischer Codierung sind die ersten&nbsp; $k$&nbsp; Stellen eines jeden Hamming&ndash;Codewortes&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; identisch mit dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$. Anschließend folgen dann  die&nbsp; $m = n-k$&nbsp; Paritätsbit:
 ::<math>\underline{x} = ( x_1, x_2,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, x_n) = ( u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, u_k, p_1, p_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, p_{n-k})
@@ Zeile 258: / Zeile 258: @@
 [[Datei:P ID2353 KC T 1 3 S3 v2.png|right|frame|Verdeutlichung des $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Codes ]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 6:  Paritätsgleichungen des (7, 4, 3)-Hamming-Codes}$
+$\text{Beispiel 6:   Paritätsgleichungen des (7, 4, 3)-Hamming-Codes}$
-<br>Im Folgenden betrachten wir stets den $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Hamming&ndash;Code, der durch das nebenstehende Schaubild verdeutlicht wird. Daraus lassen sich die drei Bedingungen ableiten:
+<br>
 ::<math>x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_5    \hspace{-0.1cm} =  \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
 ::<math>x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_6    \hspace{-0.1cm} =  \hspace{-0.1cm} 0 \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 269: / Zeile 270: @@
 [[Datei:P ID2351 KC T 1 3 S3c v2.png|right|frame|Zuordnung $\underline{u} → \underline{x}$ des systematischen $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Codes|class=fit]]
-Bei systematischer Codierung des  $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Hamming&ndash;Codes
+Bei systematischer Codierung des&nbsp;  $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Hamming&ndash;Codes
 ::<math>x_1 = u_1 ,\hspace{0.2cm}
@@ Zeile 285: / Zeile 286: @@
 ::<math>p_3 = u_1 \oplus u_2 \oplus u_4 \hspace{0.05cm}.</math>
-Die Tabelle zeigt die $2^k = 16$ zulässigen Codeworte $\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7) =  ( u_1, u_2, u_3, u_4, p_1, p_2, p_3)$ des systematischen $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Codes.
+Später wird die&nbsp;  [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|Decodierung linearer Blockcodes]]&nbsp; noch ausführlich behandelt. Das folgende Beispiel soll die Decodierung des Hamming&ndash;Codes eher intuitiv  erklären.<br>
 {{GraueBox|TEXT=

@@ Zeile 186: / Zeile 186: @@
 <br>
-Nun betrachten wir den [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN&ndash;Kanal]]. Bei uncodierter Übertragung (oder dem Wiederholungscode mit $n=1$) ist der Empfangswert $y = \tilde{x}+\eta$, wobei $\tilde{x} \in \{+1, -1\}$ das Informationsbit bei bipolarer Signalisierung bezeichnet und $\eta$ den Rauschterm. Um Verwechslungen mit dem Codeparameter $n$ zu vermeiden, haben wir das Rauschen umbenannt: &nbsp; $n &#8594; \eta$.<br>
+Wir betrachten nun den&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN&ndash;Kanal]]. Bei uncodierter Übertragung $($oder dem Wiederholungscode mit&nbsp; $n=1)$&nbsp; ist der Empfangswert&nbsp; $y = \tilde{x}+\eta$, wobei&nbsp; $\tilde{x} \in \{+1, -1\}$ das Informationsbit bei bipolarer Signalisierung bezeichnet und&nbsp; $\eta$&nbsp; den Rauschterm. Um Verwechslungen mit dem Codeparameter&nbsp; $n$&nbsp; zu vermeiden, haben wir das Rauschen umbenannt: &nbsp; $n &#8594; \eta$.<br>
-Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit dem [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementären Gaußschen Fehlerintegral]] ${\rm Q}(x)$
+Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementären Gaußschen Fehlerintegral]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$
 ::<math>{\rm Pr}(v \ne u)  = {\rm Q}(\sqrt{\rho})
@@ Zeile 194: / Zeile 194: @@
 wobei folgende physikalische Größen zu verwenden sind:
-*das ''Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis'' $\rho= 1/\sigma^2 =  2 \cdot E_{\rm S}/N_0$,<br>
+*das Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis&nbsp; $\rho= 1/\sigma^2 =  2 \cdot E_{\rm S}/N_0$,<br>
-*die Energie $E_{\rm S}$ pro Codesymbol &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Symbolenergie'',<br>
+*die Energie&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; pro Codesymbol &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Symbolenergie&rdquo;,<br>
-*die normierte Streuung $\sigma$ des Rauschens, gültig für das bipolare Informationsbit $\tilde{x} \in \{+1, -1\}$, und<br>
+*die normierte Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; des Rauschens, gültig für das bipolare Informationsbit&nbsp; $\tilde{x} \in \{+1, -1\}$, und<br>
-*die konstante (einseitige) Rauschleistungsdichte $N_0$ des AWGN&ndash;Rauschens.<br><br>
+*die konstante (einseitige) Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0$&nbsp; des AWGN&ndash;Rauschens.<br><br>
-Bei einem $(n, 1, n)$&ndash;Wiederholungscode ergibt sich dagegen für den Eingangswert des Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decoders $y \hspace{0.04cm}' = \tilde{x} \hspace{0.04cm}'+\eta \hspace{0.04cm}'$ mit folgenden Eigenschaften:
+Bei einem&nbsp; $(n, 1, n)$&ndash;Wiederholungscode ergibt sich dagegen für den Eingangswert des Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Decoders&nbsp; $y \hspace{0.04cm}' = \tilde{x} \hspace{0.04cm}'+\eta \hspace{0.04cm}'$&nbsp; mit folgenden Eigenschaften:
 ::<math>\tilde{x} \hspace{0.04cm}'   =\sum_{i=1  }^{n} \tilde{x}_i \in \{ +n, -n \}\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}
-n{\rm -fache \hspace{0.15cm}Amplitude}
+n{\rm -fache \hspace{0.15cm}Amplitude}</math>
-\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}n^2{\rm -fache \hspace{0.15cm}Leistung}\hspace{0.05cm},</math>
+::<math>\hspace{4.8cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}n^2{\rm -fache \hspace{0.15cm}Leistung}\hspace{0.05cm},</math>
 ::<math>\eta\hspace{0.04cm}'   = \sum_{i=1  }^{n} \eta_i\hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}
 n{\rm -fache \hspace{0.15cm}Varianz:\hspace{0.15cm} } \sigma^2 \rightarrow n \cdot \sigma^2\hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 212: / Zeile 213: @@
 \hspace{0.2cm} \Rightarrow\hspace{0.2cm}{\rm Pr}(v \ne u)  = {\rm Q}(\sqrt{n \cdot \frac{2E_{\rm S} }{N_0} } )\hspace{0.05cm}.</math>
-[[Datei:P ID2348 KC T 1 3 S2b v2.png|center|frame|Fehlerwahrscheinlichkeit des Wiederholungscodes beim AWGN–Kanal|class=fit]]
+Die Fehlerwahrscheinlichkeit in doppelt logarithmischer Darstellung zeigt die linke Grafik. Als Abszisse ist&nbsp; $10 \cdot \lg \, (E_{\rm S}/N_0)$&nbsp; aufgetragen. Die Energie pro Bit&nbsp; $(E_{\rm B})$&nbsp; ist &nbsp;$n$&nbsp; mal größer als die Symbolenergie&nbsp; $E_{\rm S}$, wie im Schaubild für &nbsp;$n=3$&nbsp; verdeutlicht.
-Die linke Grafik zeigt die Fehlerwahrscheinlichkeit in doppelt logarithmischer Darstellung. Als Abszisse ist $10 \cdot \lg \, (E_{\rm S}/N_0)$ aufgetragen. Diese Kurvenschar  kann wie folgt interpretiert werden:
+*Die Kurve für den Wiederholungsfaktor&nbsp; $n$&nbsp; erhält man durch Linksverschiebung um&nbsp; $10 \cdot \lg \, n$&nbsp;  (in dB) gegenüber der Vergleichskurve. Der Gewinn beträgt&nbsp; $4.77 \ {\rm dB} \ (n = 3)$ bzw. $\approx 5 \ {\rm dB} \ (n = 5)$.<br>
-*Die Kurve für den Wiederholungsfaktor $n$ erhält man durch Linksverschiebung um $10 \cdot \lg \, n$  (in dB) gegenüber der Vergleichskurve. Der Gewinn beträgt $4.77 \ {\rm dB} \ (n = 3)$ bzw. $\approx 5 \ {\rm dB} \ (n = 5)$.<br>
+*Allerdings ist ein Vergleich bei konstantem&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; nicht fair, da man mit dem Repetition Code&nbsp; $\text{RC (5, 1, 5)}$&nbsp; für die Übertragung eines Informationsbits eine um den Faktor&nbsp; $n$&nbsp; größere Energie aufwendet als bei uncodierter Übertragung: &nbsp; $E_{\rm B}  = E_{\rm S}/{R} = n \cdot E_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$
+Aus der rechten Grafik erkennt man, dass alle Kurven genau übereinander liegen, wenn auf der Abszisse&nbsp; $10 \cdot \lg \, (E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; aufgetragen wird.}}<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit bezüglich Wiederholungscodes beim AWGN&ndash;Kanal:}$
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist bei fairem Vergleich unabhängig vom Wiederholungsfaktor $n$: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr}(v \ne u)  = {\rm Q}\left (\sqrt{2E_{\rm B} /{N_0} } \right )
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist bei fairem Vergleich unabhängig vom Wiederholungsfaktor&nbsp; $n$: &nbsp; &nbsp; ${\rm Pr}(v \ne u)  = {\rm Q}\left (\sqrt{2E_{\rm B} /{N_0} } \right )
 \hspace{0.05cm}.$
-*Beim AWGN&ndash;Kanal ist durch einen Wiederholungscode kein [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN| Codiergewinn]] zu erzielen.}}<br>
+*Beim AWGN&ndash;Kanal ist durch einen Wiederholungscode kein&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes#Codiergewinn_.E2.80.93_Bitfehlerrate_bei_AWGN| Codiergewinn]]&nbsp; zu erzielen.}}<br>
 == Hamming–Codes ==

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 <br>
 Der&nbsp; <i>Single Parity&ndash;check Code</i>&nbsp; (SPC) fügt zu dem Informationsblock&nbsp; $\underline{u}= (u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, u_k)$&nbsp; ein Prüfbit (englisch: &nbsp;<i>Parity</i>&nbsp;)&nbsp; $p$&nbsp; hinzu:
-[[Datei:P ID2346 KC T 1 3 S1 v2.png|right|frame|Single Parity–check Code&nbsp; $(n = k  + 1)$|class=fit]]
+[[Datei:P ID2346 KC T 1 3 S1 v2.png|right|frame|Verschiedene Single Parity–check Codes&nbsp; $(n = k  + 1)$|class=fit]]
 :$$\underline{u} = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} \text{...}  \hspace{0.05cm} , u_k)  \hspace{0.3cm}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 133: / Zeile 133: @@
 <br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Ein '''Wiederholungscode''' (englisch: <i>Repetition Code</i>, $\rm RC)$ ist ein linearer binärer $(n, \, k)$&ndash;Blockcode der Form
+$\text{Definition:}$&nbsp; Ein&nbsp; $\text{Wiederholungscode}$&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Repetition Code</i>, $\rm RC)$&nbsp; ist ein linearer binärer&nbsp; $(n, \, k)$&ndash;Blockcode der Form
-::<math>\mathcal{C} = \big \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n): x_i = x_j \hspace{0.15cm}{\rm f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}alle\hspace{0.25cm} } i, j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, n \big \}.</math>
+::<math>\mathcal{C} = \big \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n)\text{:} \ \ x_i = x_j \hspace{0.15cm}{\rm f\ddot{u}r \hspace{0.15cm}alle\hspace{0.25cm} } i, j = 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}, n \big \}.</math>
-*Der Codeparameter $n$ bezeichnet die Codelänge. Unabhängig von  $n$ gilt stets $k = 1$.
+*Der Codeparameter&nbsp; $n$&nbsp; bezeichnet die Codelänge. Unabhängig von&nbsp;  $n$&nbsp; gilt stets&nbsp; $k = 1$.
-*Entsprechend existieren nur die zwei Codeworte $(0, 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , 0)$ und $(1, 1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , 1)$, die sich in $n$ Binärstellen unterscheiden.
+*Entsprechend existieren nur die zwei Codeworte&nbsp; $(0, 0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , 0)$&nbsp; und&nbsp; $(1, 1, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , 1)$, die sich in&nbsp; $n$&nbsp; Binärstellen unterscheiden.
-*Daraus folgt für die minimale Distanz   $d_{\rm min} = n$.}}<br>
+*Daraus folgt für die minimale Distanz&nbsp;   $d_{\rm min} = n$.}}<br>
-[[Datei:P ID2347 KC T 1 3 S2 v2.png|right|frame|Wiederholungscode (<i>Repetition Code</i>)|class=fit]]
+[[Datei:P ID2347 KC T 1 3 S2 v2.png|right|frame|Verschiedene Wiederholungscodes (<i>Repetition Codes</i>)|class=fit]]
 Die Grafik zeigt Wiederholungscodes für
 *$n=3$,
 *$n=4$,
 *$n=5$.
-<br clear=all>
 Ein solcher Wiederholungscode weist folgende Eigenschaften auf:
-*Dieser $(n, \, 1, \, n)$&ndash;Blockcode besitzt die sehr kleine Coderate $R = 1/n$, ist also nur für die Übertragung bzw. Speicherung kleiner Dateien geeignet.
+*Dieser&nbsp; $(n, \, 1, \, n)$&ndash;Blockcode besitzt die sehr kleine Coderate&nbsp; $R = 1/n$, ist also nur für die Übertragung bzw. Speicherung kleiner Dateien geeignet.
 *Andererseits ist der Wiederholungscode sehr robust.
-*Insbesondere beim [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|BEC&ndash;Kanal]] (<i>Binary Erasure Channel</i>) genügt ein einziges richtig übertragenes Bit an beliebiger Position (alle anderen Bit können ausgelöscht sein), um das Informationswort richtig zu decodieren.<br>
+*Insbesondere beim&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|BEC&ndash;Kanal]]&nbsp; (<i>Binary Erasure Channel</i>) genügt ein einziges richtig übertragenes Bit an beliebiger Position (alle anderen Bit können ausgelöscht sein), um das Informationswort richtig zu decodieren.<br>
@@ Zeile 157: / Zeile 158: @@
 <br>
-Es gelte der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC&ndash;Kanal]] mit $\varepsilon = 10\%$. Die Decodierung basiere auf dem Majoritätsprinzip.
+Es gelte der&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC&ndash;Kanal]]&nbsp; mit $\varepsilon = 10\%$. Die Decodierung basiere auf dem Majoritätsprinzip.
-*Bei ungeradem $n$ können $e=n-1$ Bitfehler erkannt und $t=(n-1)/2$ Bitfehler korrigiert werden. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der korrekten Decodierung der Informationsbits $u$:
+*Bei ungeradem&nbsp; $n$&nbsp; können $e=n-1$ Bitfehler erkannt und&nbsp; $t=(n-1)/2$&nbsp; Bitfehler korrigiert werden. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit der korrekten Decodierung der Informationsbits&nbsp; $u$:
 ::<math>{\rm Pr}(v = u) =   \sum_{f=0  }^{(n-1)/2} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} \hspace{0.05cm}.</math>
-*Die nachfolgenden Zahlenwerte gelten für $n = 5$. Das heißt: &nbsp; Es sind $t = 2$ Bitfehler korrigierbar:
+*Die nachfolgenden Zahlenwerte gelten für&nbsp; $n = 5$. Das heißt: &nbsp; Es sind&nbsp; $t = 2$&nbsp; Bitfehler korrigierbar:
 ::<math>{\rm Pr}(v = u) = (1 - \varepsilon)^5 + 5 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^4 + 10 \cdot \varepsilon^2 \cdot (1 - \varepsilon)^3 \approx 99.15\,\%</math>
 ::<math>\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(v \ne u) = 1-  {\rm Pr}(v = u) \approx 0.85\,\%\hspace{0.05cm}.</math>
-*Bei geradem $n$ können dagegen nur $t=n/2-1$ Fehler korrigiert werden. Erhöht man $n$ von $5$ auf $6$, so sind weiterhin auch nur zwei Bitfehler innerhalb eines Codewortes korrigierbar. Einen dritten Bitfehler kann man zwar nicht korrigieren, aber zumindest erkennen:
+*Bei geradem&nbsp; $n$&nbsp; können dagegen nur&nbsp; $t=n/2-1$&nbsp; Fehler korrigiert werden. Erhöht man&nbsp; $n$&nbsp; von&nbsp; $5$&nbsp; auf&nbsp; $6$, so sind weiterhin auch nur zwei Bitfehler innerhalb eines Codewortes korrigierbar. Einen dritten Bitfehler kann man zwar nicht korrigieren, aber zumindest erkennen:
 ::<math>{\rm Pr}({\rm nicht\hspace{0.15cm} korrigierbarer\hspace{0.15cm} Fehler})
@@ Zeile 173: / Zeile 174: @@
 .46\,\%\hspace{0.05cm}. </math>
-*Ein (unerkannter) Decodierfehler $(v \ne u)$ ergibt sich erst, wenn innerhalb des 6 Bit&ndash;Wortes vier oder mehr Bit verfälscht wurden. Als Näherung unter der Annahme, dass fünf oder sechs Bitfehler sehr viel unwahrscheinlicher sind als vier, gilt:
+*Ein (unerkannter) Decodierfehler&nbsp; $(v \ne u)$&nbsp; ergibt sich erst, wenn innerhalb des 6 Bit&ndash;Wortes vier oder mehr Bit verfälscht wurden. Als Näherung unter der Annahme, dass fünf oder sechs Bitfehler sehr viel unwahrscheinlicher sind als vier, gilt:
 ::<math>{\rm Pr}(v \ne u)  \approx {6 \choose 4} \cdot \varepsilon^{4} \cdot (1 - \varepsilon)^{2}=
 .122\,\%\hspace{0.05cm}.</math>
-*Interessant ist, dass beim $\text{RC(6, 1, 6)}$ die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(v = u)$  für eine mögliche und richtige Decodierung mit $98.42\%$ kleiner ist als beim $\text{RC (5, 1, 5)}$ mit $1- 0.00122 \approx 99.88\%$.}}<br>
+*Interessant ist, dass beim&nbsp; $\text{RC(6, 1, 6)}$&nbsp; die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(v = u)$&nbsp;  für eine mögliche und richtige Decodierung mit&nbsp; $98.42\%$&nbsp; kleiner ist als beim&nbsp; $\text{RC (5, 1, 5)}$. Für letzteren gilt:
 {{GraueBox|TEXT=

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Eine Fehlerkorrektur des Single Parity&ndash;check Codes ist beim BSC&ndash;Modell nicht möglich im Unterschied zum [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|BEC&ndash;Kanal]] (<i>Binary Erasure Channel</i>). Bei diesem werden Bitfehler ausgeschlossen. Ist nur ein Bit ausgelöscht (englisch: <i>Erasure</i>, $\rm E$), so ist aufgrund der Tatsache &bdquo;die Anzahl der Einsen im Codewort ist gerade&rdquo;  auch eine Fehlerkorrektur möglich, zum Beispiel für den $\text{SPC (5, 4, 2)}$:
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Eine Fehlerkorrektur des Single Parity&ndash;check Codes ist beim BSC&ndash;Modell nicht möglich im Unterschied zum&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|BEC&ndash;Kanal]]&nbsp; (<i>Binary Erasure Channel</i>).
 :<math>\underline{y} = (1, 0, {\rm E}, 1, 1)   \hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.2cm}\underline{z} =  (1, 0, 1, 1, 1)
@@ Zeile 104: / Zeile 106: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Auch beim [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN&ndash;Kanal]] ist Fehlerkorrektur möglich, wenn man <i>Soft Decision</i> anwendet. Für das Folgende gehen wir von bipolarer Signalisierung aus:
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Auch beim&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; ist Fehlerkorrektur möglich, wenn man&nbsp; <i>Soft Decision</i>&nbsp; anwendet. Für das Folgende gehen wir von bipolarer Signalisierung aus:
-[[Datei:P ID2387 KC T 1 3 S1d v2.png|right|frame|Zur Verdeutlichung von <i>Soft Decision</i> bei AWGN|class=fit]]
+[[Datei:P ID2387 KC T 1 3 S1d v2.png|right|frame|Zur Verdeutlichung von &bdquo;Soft Decision&rdquo; bei AWGN|class=fit]]
-*$x=0$  &nbsp; &rArr; &nbsp; &#8594; $\tilde{x}= +1$, sowie
+*$x=0$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\tilde{x}= +1$, sowie
-*$x=1$  &nbsp; &rArr; &nbsp; &#8594; $\tilde{x}= -1$.<br>
+*$x=1$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $\tilde{x}= -1$.<br>
@@ Zeile 115: / Zeile 117: @@
 ::<math>\underline{y} =  (+0.8, -1.2, -0.1, +0.5, -0.6)  \hspace{0.05cm}.</math>
-*Bei harter Entscheidung (Schwelle $G = 0$, nur die Vorzeichen werden ausgewertet) würde man zu folgendem binären Ergebnis kommen (grüne Quadrate $Y_i = y_i/ \vert y_i \vert$):
+*Bei harter Entscheidung (Schwelle&nbsp; $G = 0$, nur die Vorzeichen werden ausgewertet) würde man zu folgendem binären Ergebnis kommen $($grüne Quadrate&nbsp; $Y_i = y_i/ \vert y_i \vert)$:
 ::<math>\underline{Y} =  (+1, -1, -1, +1, -1)  \hspace{0.05cm}.</math>
 <br clear=all>
-*In Symbolschreibweise ergibt sich daraus $(0, 1, 1, 0, 1)$, was kein gültiges Codewort des $\text{SPC (5, 4, 2)}$ ist &nbsp; &#8658; &nbsp;  Syndrom $s = 1$. Also müssen ein, drei oder fünf Bit verfälscht worden sein.<br>
+*In Symbolschreibweise ergibt sich daraus&nbsp; $(0, 1, 1, 0, 1)$, was kein gültiges Codewort des&nbsp; $\text{SPC (5, 4, 2)}$&nbsp; ist &nbsp; &#8658; &nbsp;  Syndrom&nbsp; $s = 1$. Also müssen ein, drei oder fünf Bit verfälscht worden sein.<br>
 *Die Wahrscheinlichkeit für drei oder fünf Bitfehler ist allerdings um Größenordnungen kleiner als diejenige für einen einzigen Fehler. Die Annahme &bdquo;ein Bitfehler&rdquo; ist deshalb nicht abwegig.<br>
-*Da der Empfangswert $y_3$ sehr nahe an der Schwelle $G = 0$ liegt, geht man davon aus, dass genau dieses Bit verfälscht wurde.
+*Da der Empfangswert&nbsp; $y_3$&nbsp; sehr nahe an der Schwelle&nbsp; $G = 0$&nbsp; liegt, geht man davon aus, dass genau dieses Bit verfälscht wurde.
-*Damit fällt bei <i>Soft Decision</i> die Entscheidung für $\underline{z} = (0, 1, 0, 0, 1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{v} = (0, 1, 0, 0)$.
+*Damit fällt bei <i>Soft Decision</i> die Entscheidung für&nbsp; $\underline{z} = (0, 1, 0, 0, 1)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{v} = (0, 1, 0, 0)$.
-*Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(\underline{v}  \ne  \underline{u})$ ist so am geringsten.}}<br><br>
+*Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(\underline{v}  \ne  \underline{u})$&nbsp; ist so am geringsten.}}<br><br>
 == Wiederholungscodes==

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == Single Parity–check Codes==
 <br>
-Der <i>Single Parity&ndash;check Code</i> (SPC) fügt zu dem Informationsblock $\underline{u}= (u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, u_k)$ ein Prüfbit (englisch: <i>Parity</i>&nbsp;) $p$ hinzu:
+Der&nbsp; <i>Single Parity&ndash;check Code</i>&nbsp; (SPC) fügt zu dem Informationsblock&nbsp; $\underline{u}= (u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, u_k)$&nbsp; ein Prüfbit (englisch: &nbsp;<i>Parity</i>&nbsp;)&nbsp; $p$&nbsp; hinzu:
+[[Datei:P ID2346 KC T 1 3 S1 v2.png|right|frame|Single Parity–check Code&nbsp; $(n = k  + 1)$|class=fit]]
-::<math>\underline{u} = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} \text{...}  \hspace{0.05cm} , u_k)  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
+:$$\underline{u} = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} \text{...}  \hspace{0.05cm} , u_k)  \hspace{0.3cm}$$
 \underline{x} =  (x_1, x_2,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} , x_n) = (u_1, u_2,\hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , u_k, p)
-\hspace{0.05cm}.</math>
+\hspace{0.05cm}.$$
 Die Grafik zeigt drei Coder&ndash;Beispiele mit
-*$|\mathcal{C}| = 4 \ (k = 2)$,
+*$|\hspace{0.05cm}\mathcal{C}\hspace{0.05cm}| = 4 \ (k = 2)$,
 *$|\mathcal{C}| = 8 \ (k = 3)$,
-*$|\mathcal{C}| = 16 \ (k = 4)$.
+*$|\hspace{0.05cm}\mathcal{C}\hspace{0.05cm}| = 8 \ (k = 3)$,
-<br clear = all>
 Dieser sehr einfache Code kann wie folgt charakterisiert werden:
-*Aus $n = k  + 1$ folgt für die ''Coderate''&nbsp; $R = k/n = (n-1)/n$ und für die ''Redundanz''&nbsp; $1-R = 1/n$. Für $k = 2$ ergibt sich zum Beispiel die Coderate $2/3$ und die relative Redundanz beträgt $33.3\%$.
+*Aus&nbsp; $n = k  + 1$&nbsp; folgt für die&nbsp; ''Coderate''&nbsp; $R = k/n = (n-1)/n$&nbsp; und für die&nbsp; ''Redundanz''&nbsp; $1-R = 1/n$. Für&nbsp; $k = 2$&nbsp; ergibt sich zum Beispiel die Coderate&nbsp; $2/3$&nbsp; und die relative Redundanz beträgt&nbsp; $33.3\%$.
-*Das Prüfbit erhält man durch die Modulo&ndash;2&ndash;Addition. Darunter versteht man die Addition im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|Galoisfeld]] zur Basis 2 &nbsp; &#8658; &nbsp; GF(2), sodass  $1 \oplus 1 = 0$ ergibt:
+*Das Prüfbit erhält man durch die Modulo&ndash;2&ndash;Addition. Darunter versteht man die Addition im&nbsp; [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|Galoisfeld]]&nbsp; zur Basis &nbsp;$2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\rm GF(2)$, sodass&nbsp;  $1 \oplus 1 = 0$&nbsp; ergibt:
 ::<math>p = u_1 \oplus u_2 \oplus \text{...} \hspace{0.05cm} \oplus u_k
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Damit enthält jedes gültige Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen. Ausgedrückt mit $\oplus$ bzw. in vereinfachter Schreibweise gemäß der zweiten Gleichung lautet diese Bedingung:
+*Damit enthält jedes gültige Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; eine gerade Anzahl von Einsen. Ausgedrückt mit&nbsp; $\oplus$&nbsp; bzw. in vereinfachter Schreibweise gemäß der zweiten Gleichung lautet diese Bedingung:
 ::<math> x_1 \oplus x_2 \oplus \text{...} \hspace{0.05cm} \oplus x_n = 0
-\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm oder:}\hspace{0.15cm}
+\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}{\rm oder:}\hspace{0.5cm}
 \sum_{i=1}^{n} \hspace{0.2cm} x_i = 0\hspace{0.05cm}
 , \hspace{0.3cm} {\rm Addition\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm}  GF(2)}
 \hspace{0.05cm}. </math>
-*Für $k = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $n = 3$ ergeben sich die folgenden vier Codeworte, wobei das Prüfbit $p$ jeweils durch einen kleinen Pfeil markiert ist:
+*Für&nbsp; $k = 2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $n = 3$&nbsp; ergeben sich die folgenden vier Codeworte, wobei das Prüfbit&nbsp; $p$&nbsp; jeweils durch einen kleinen Pfeil markiert ist:
 ::<math>\underline{x}_0 = (0, 0_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_1 = (0, 1_{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 \underline{x}_2 = (1, 0 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \underline{x}_3 = (1, 1 _{\hspace{0.05cm} \rightarrow}\hspace{0.05cm} 0)\hspace{0.05cm}.</math>
-*Der Code $\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0), \ (0, 1, 1), \ (1, 0, 1), \ (1, 1, 0) \big \}$ ist ''linear'', da die Summe zweier beliebiger Codeworte wieder ein gültiges Codewort ergibt, zum Beispiel
+*Dieser Code&nbsp; $\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0), \ (0, 1, 1), \ (1, 0, 1), \ (1, 1, 0) \big \}$&nbsp; ist&nbsp; ''linear'', da die Summe zweier beliebiger Codeworte wieder ein gültiges Codewort ergibt, zum Beispiel
 :$$\underline{x}_1 \oplus \underline{x}_2 = \underline{x}_3.$$
-*Für beliebiges $k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $n = k+1$ unterscheidet sich jedes Codewort von allen anderen an einer geraden Anzahl von Positionen. Die minimale Distanz des Codes ist $d_{\rm min} = 2$.<br><br>
+*Für beliebiges&nbsp; $k$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $n = k+1$&nbsp; unterscheidet sich jedes Codewort von allen anderen an einer geraden Anzahl von Positionen. Die minimale Distanz des Codes ist also&nbsp;
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Jeder '''Single Parity&ndash;check Code''' $\text{(SPC)}$ lässt sich formal wie folgt beschreiben:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Jeder&nbsp; $\text{Single Parity&ndash;check Code (SPC)}$&nbsp; lässt sich formal wie folgt beschreiben:
 ::<math>\mathcal{C} = \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n)\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}{\rm mit \hspace{0.15cm}geradzahliger\hspace{0.15cm} Anzahl\hspace{0.15cm} von\hspace{0.15cm} Einsen\hspace{0.15cm} in \hspace{0.15cm} } \underline{x} \}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Mit der allgemeinen Codebezeichnung $(n, \ k, \ d_{\rm min})$ lässt sich jeder <i>Single Parity&ndash;check Code</i> auch mit $(n, \ n-1, \ 2)$ benennen.
+*Mit der allgemeinen Codebezeichnung&nbsp; $(n, \ k, \ d_{\rm min})$&nbsp; lässt sich jeder <i>Single Parity&ndash;check Code</i> auch mit&nbsp; $\text{SPC }(n, \ n-1, \ 2)$&nbsp; benennen.
-*Die obere Grafik zeigt somit den $\text{SPC (3, 2, 2)}$, den $\text{SPC (4, 3, 2)}$ und den $\text{SPC (5, 4, 2)}$.}}<br>
+*Die obere Grafik zeigt somit den&nbsp; $\text{SPC (3, 2, 2)}$, den&nbsp; $\text{SPC (4, 3, 2)}$ und den&nbsp; $\text{SPC (5, 4, 2)}$.}}<br>
-Der digitale Kanal ändert möglicherweise das Codewort $\underline{x}= (x_1, x_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, x_n)$  in das Empfangswort $\underline{y}= (y_1, y_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, y_n)$. Mit dem Fehlervektor $\underline{e}= (e_1, e_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, e_n)$ gilt:
+Der digitale Kanal ändert möglicherweise das Codewort&nbsp; $\underline{x}= (x_1, x_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, x_n)$&nbsp;  in das Empfangswort&nbsp; $\underline{y}= (y_1, y_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, y_n)$. Mit dem Fehlervektor&nbsp; $\underline{e}= (e_1, e_2, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, e_n)$&nbsp; gilt:
 :$$\underline{y}=  \underline{x} \oplus \underline{e}.$$
-Zur Decodierung des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>  bildet man das so genannte Syndrom:
+Zur Decodierung des <i>Single Parity&ndash;check Codes</i>  bildet man das so genannte&nbsp; '''Syndrom''':
 ::<math>s = y_1 \oplus y_2 \oplus \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \oplus y_n = \sum_{i=1}^{n} \hspace{0.2cm} y_i \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.2cm} \{0, 1 \}
 \hspace{0.05cm}.</math>
-Das Ergebnis $s=1$ weist dann auf (mindestens) einen Bitfehler innerhalb des Codewortes hin, während  $s=0$ wie folgt zu interpretieren ist:
+Das Ergebnis&nbsp; $s=1$&nbsp; weist dann auf (mindestens) einen Bitfehler innerhalb des Codewortes hin, während&nbsp;  $s=0$&nbsp; wie folgt zu interpretieren ist:
 *Die Übertragung war fehlerfrei, oder:<br>
 *Die Anzahl der Bitfehler ist geradzahlig.<br><br>
-[[Datei:P ID2382 KC T 1 3 S1c.png|right|frame|Mögliche Empfangswerte beim $\text{SPC (4, 3, 2)}$ |class=fit]]
+[[Datei:P ID2382 KC T 1 3 S1c.png|right|frame|Mögliche Empfangswerte beim&nbsp; $\text{SPC (4, 3, 2)}$ |class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten den $\text{SPC (4, 3, 2)}$ und gehen davon aus, dass das Nullwort gesendet wurde.
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten den&nbsp; $\text{SPC (4, 3, 2)}$&nbsp; und gehen davon aus, dass das Nullwort gesendet wurde. Die Tabelle zeigt alle Möglichkeiten, dass&nbsp; $f$&nbsp; Bit verfälscht werden und gibt das jeweilige Syndrom&nbsp; $s \in \{0, 1\}$&nbsp; an.
-Die Tabelle zeigt alle Möglichkeiten, dass $f$ Bit verfälscht werden und gibt das jeweilige Syndrom $s \in \{0, 1\}$ an.
+Für das&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC&ndash;Modell]]&nbsp; mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 1\%$&nbsp; ergeben sich dann  folgende Wahrscheinlichkeiten:
 *Das Informationswort wird richtig decodiert (blaue Hinterlegung):
@@ Zeile 85: / Zeile 87: @@
 ::<math>{\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u})  \hspace{-0.1cm} =  \hspace{-0.1cm}  \sum_{f=2 \atop f \hspace{0.1cm}{\rm gerade} }^{n} {n \choose f} \cdot \varepsilon^{f} \cdot (1 - \varepsilon)^{n-f} =  1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) - {\rm Pr}(s=1)\approx 0.1\,\%\hspace{0.05cm}.</math>
-Wir verweisen hier auf das interaktive Applet [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial- und Poissonverteilung]]. Die hier gewonnenen Ergebnisse werden auch in der [[Aufgaben:1.5_SPC_(5,_4)_und_BEC%E2%80%93Modell|Aufgabe A1.5]] nochmals diskutiert.}}<br>
+Wir verweisen hier auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial- und Poissonverteilung]]. Die hier gewonnenen Ergebnisse werden auch in der&nbsp; [[Aufgaben:1.5_SPC_(5,_4)_und_BEC%E2%80%93Modell|Aufgabe A1.5]]&nbsp; nochmals diskutiert.}}<br>
 {{GraueBox|TEXT=