Kanalcodierung/Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Juli 2022 um 13:37 Uhr

2022-07-10T13:37:37Z

Guenter am 10. Juli 2022 um 09:15 Uhr

2022-07-10T09:15:50Z

Guenter am 8. Mai 2019 um 13:23 Uhr

2019-05-08T13:23:52Z

Guenter am 8. Mai 2019 um 13:21 Uhr

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Guenter am 8. Mai 2019 um 12:54 Uhr

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Guenter am 8. Mai 2019 um 12:51 Uhr

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Guenter am 8. Mai 2019 um 12:17 Uhr

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Änderungen zeigen

Guenter am 5. Juli 2018 um 15:46 Uhr

2018-07-05T15:46:33Z

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 <br>
 Alle bisher behandelten Codes,
-*der <i>Single Parity&ndash;check Code</i>,
+*der&nbsp; "Single Parity&ndash;check Code",
-*der <i>Repetition Code</i> und
+*der&nbsp; "Repetition Code"&nbsp; und
-*der <i>Hamming&ndash;Code</i>
+*der&nbsp; Hamming&ndash;Code

@@ Zeile 515: / Zeile 515: @@
 == Einige Eigenschaften des (7, 4, 3)–Hamming–Codes ==
 <br>
-Fassen wir die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels am Beispiel des systematischen Hamming&ndash;Codes nochmals zusammen, der bereits im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes|Beispiele binärer Blockcodes]]&nbsp; ausführlich beschrieben wurde. Dieser&nbsp; $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Code ist gekennzeichnet durch
+Fassen wir die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels am Beispiel des systematischen Hamming&ndash;Codes nochmals zusammen,&nbsp; der bereits im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes|"Beispiele binärer Blockcodes"]]&nbsp; ausführlich beschrieben wurde.&nbsp; Dieser&nbsp; $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Code ist gekennzeichnet durch
 [[Datei:P ID2359 KC T 1 4 S7.png|right|frame|Codeworte des&nbsp; $\text{HC (7, 4, 3)}$|class=fit]]
-*die Anzahl der Prüfgleichungen&nbsp; $m = 3$,<br>
+*die Anzahl der Prüfgleichungen:&nbsp; $m = 3$,<br>
 *die Codelänge&nbsp; $n = 2^m-1 = 7$,<br>
 *die Informationswortlänge&nbsp; $k = n-m = 4$,<br>
 *die Anzahl&nbsp; $2^k =16$&nbsp; der Codeworte (Dimension),<br>
 *die Rate&nbsp; $R= k/n = 4/7$,<br>
 *die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; $($unabhängig von&nbsp; $m$,&nbsp; $n$&nbsp; und&nbsp; $k)$.<br>
@@ Zeile 528: / Zeile 533: @@
 Man erkennt daraus:
-*Der Code  beinhaltet sowohl das Null&ndash;Wort&nbsp; $(0000000)$&nbsp; als auch das Eins&ndash;Wort&nbsp;  $(1111111)$.
+*Der Code  beinhaltet sowohl das Null&ndash;Wort&nbsp; "$0000000$"&nbsp; als auch das Eins&ndash;Wort&nbsp;  "$1111111$".
-*Es gibt sieben Codeworte, die sich aus&nbsp; $(0001011)$&nbsp; jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben&nbsp; (alle gelb hinterlegt).
-*Es gibt sieben Codeworte, die sich aus&nbsp; $(0011101)$&nbsp; jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben&nbsp; (alle grün hinterlegt).
+*Es gibt sieben Codeworte,&nbsp; die sich aus&nbsp; "$0001011$"&nbsp; jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben&nbsp; (alle gelb hinterlegt).
-*Zu jedem Codewort  existiert auch das &bdquo;negierte&rdquo; Codewort, zum Beispiel gibt es neben&nbsp; $(0001011)$&nbsp; auch das Codewort&nbsp; $(1110100)$.
 *Die Prüfmatrix kann wie folgt geschrieben werden:
@@ Zeile 550: / Zeile 559: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>
-Dementsprechend gilt für die Generatormatrix:
+*Dementsprechend gilt für die Generatormatrix:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm G}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_4 \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right)

@@ Zeile 159: / Zeile 159: @@
 *Die hier zur Berechnung herangezogenen Basisvektoren&nbsp; $\underline{g}_1$,&nbsp; $\underline{g}_2$&nbsp; und&nbsp;  $\underline{g}_3$&nbsp; &ndash; jeweils mit der Länge&nbsp; $n = 5$&nbsp; &ndash; entsprechen den&nbsp; $k = 3$&nbsp; Zeilen der Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$.
 *Dieser Code ist wegen&nbsp; $d_{\rm min} = 1$&nbsp; weder zur Fehlerkorrektur noch zur Fehlererkennung geeignet ist. Trotzdem wird dieser Code auch auf den nächsten Seiten beispielhaft betrachtet, weil die Codierergebnisse gut interpretierbar sind.<br>
-* Wir möchten Sie an dieser Stelle auf das Applet&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]]&nbsp; zum Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; aufmerksam machen, das die Berechnung von Basisfunktionen vermittelt, wenn auch in einem anderen als dem hier gebrauchten Zusammenhang.<br>
+* Wir möchten Sie an dieser Stelle auf das Applet&nbsp; [[Applets:Gram-Schmidt-Verfahren|Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]]&nbsp; zum Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; aufmerksam machen, das die Berechnung von Basisfunktionen vermittelt, wenn auch in einem anderen als dem hier gebrauchten Zusammenhang.<br>

@@ Zeile 453: / Zeile 453: @@
 == Darstellung von SPC und RC als duale Codes ==
 <br>
-Nun sollen für die bereits im Kapitel  [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]] behandelten Codes noch jeweils die Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ und die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$ angegeben werden. Die Codelänge sei für die folgenden Beispiele stets $n = 5$, doch lassen sich die Ergebnisse auch für andere Codelängen in gleicher Weise interpretieren. Es gilt für
+Nun sollen für die bereits im Kapitel&nbsp;  [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]]&nbsp; behandelten Codes noch jeweils die Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; und die Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; angegeben werden. Die Codelänge sei für die folgenden Beispiele stets&nbsp; $n = 5$, doch lassen sich die Ergebnisse auch für andere Codelängen in gleicher Weise interpretieren. Es gilt für
-*den [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single&ndash;Parity&ndash;check Code]] &nbsp; &#8658; &nbsp; $\text{SPC (5, 4)}$:
+*den&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single&ndash;Parity&ndash;check Code]] &nbsp; &#8658; &nbsp; $\text{SPC (5, 4)}$:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm H}}
@@ Zeile 467: / Zeile 467: @@
 &0 &0 &1 &1
 	\end{pmatrix}
-	\hspace{0.05cm}.</math>
+	\hspace{0.05cm};</math>
-*den [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes|Wiederholungscode]] (<i>Repetition Code</i>) &nbsp; &#8658; &nbsp; $\text{RC (5, 1)}$:
+*den&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Wiederholungscodes|Wiederholungscode]] (<i>Repetition Code</i>) &nbsp; &#8658; &nbsp; $\text{RC (5, 1)}$:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm G}}
@@ Zeile 484: / Zeile 484: @@
 	\hspace{0.05cm}.</math>
-Die jeweils erste Gleichung lässt sich einfach aus der jeweiligen Definition herleiten und die abgeleitete Gleichung folgt aus der Beziehung $\boldsymbol{\rm H} \cdot \boldsymbol{\rm G}^{\rm T} = \boldsymbol{\rm 0}$.
+Die jeweils erste Gleichung lässt sich einfach aus der jeweiligen Definition herleiten und die abgeleitete Gleichung folgt aus der Beziehung&nbsp; $\boldsymbol{\rm H} \cdot \boldsymbol{\rm G}^{\rm T} = \boldsymbol{\rm 0}$.
 Aus den obigen Matrizen kann verallgemeinert werden:
-*Die Generatormatrix des $\text{RC (5, 1)}$ ist identisch mit der Prüfmatrix des $\text{SPC (5, 4)}$. Es handelt sich jeweils um $(5 \times 1)$&ndash;Matrizen.<br>
+*Die Generatormatrix des&nbsp; $\text{RC (5, 1)}$&nbsp; ist identisch mit der Prüfmatrix des&nbsp; $\text{SPC (5, 4)}$. Es handelt sich jeweils um&nbsp; $(5 \times 1)$&ndash;Matrizen.<br>
-*Die Prüfmatrix des $\text{RC (5, 1)}$ ist identisch mit der Generatormatrix des $\text{SPC (5, 4)}$. Diese beiden Matrizen haben jeweils $5$ Spalten und $4$ Zeilen.<br>
+*Die Prüfmatrix des&nbsp; $\text{RC (5, 1)}$&nbsp; ist identisch mit der Generatormatrix des&nbsp; $\text{SPC (5, 4)}$. Diese beiden Matrizen haben jeweils&nbsp; $5$&nbsp; Spalten und&nbsp; $4$&nbsp; Zeilen.<br>
-*Dieser Sachverhalt ergibt sich, weil es sich hier um '''duale Codes'''  handelt. Zur Erklärung benötigen wir noch zwei Definitionen:<br>
+*Dieser Sachverhalt ergibt sich, weil es sich hier um so genannte &bdquo;duale Codes&rdquo;  handelt. Zur Erklärung benötigen wir noch zwei Definitionen:<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Zwei lineare Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$, beide aus ${\rm GF}(2^n)$, sind ''orthogonal'', wenn alle Codeworte $\underline{x} \in \mathcal{C}$ zu allen Codeworten $\underline{x}\hspace{0.05cm}' \in \mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$ orthogonal sind. Man bezeichnet dann $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$ als '''duale Codes'''.}}<br>
+$\text{Definition:}$&nbsp; Zwei lineare Codes&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$, beide aus&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$, sind&nbsp; ''orthogonal'', wenn alle Codeworte&nbsp; $\underline{x} \in \mathcal{C}$&nbsp; zu allen Codeworten&nbsp; $\underline{x}\hspace{0.05cm}' \in \mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; orthogonal sind. Man bezeichnet dann&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; als '''duale Codes'''.}}<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Zwei Codeworte $\underline{x} \in{\rm GF}(2^n)$ und $\underline{x} \in {\rm GF}(2^n)$ sind immer dann zueinander '''orthogonal''', wenn das [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Zur_Nomenklatur_im_vierten_Kapitel|innere Produkt]] verschwindet:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Zwei Codeworte&nbsp; $\underline{x} \in{\rm GF}(2^n)$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x\hspace{0.05cm}'} \in {\rm GF}(2^n)$&nbsp; sind immer dann zueinander&nbsp; '''orthogonal''', wenn das&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Zur_Nomenklatur_im_vierten_Kapitel|innere Produkt]]&nbsp; verschwindet:
 ::<math>\big \langle \underline{x} \cdot \underline{x}\hspace{0.05cm}' \big \rangle =   \sum_{i=1  }^{n} x_i \cdot x\hspace{0.05cm}'_i = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}
@@ Zeile 504: / Zeile 504: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>}}<br>
-Wegen der Produktbildung in ${\rm GF}(2^n)$ sind auch folgende Codewort&ndash;Paare zueinander orthogonal:
+Wegen der Produktbildung in&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$&nbsp; sind auch folgende Codewort&ndash;Paare zueinander orthogonal:
-::<math>\left \langle \hspace{0.05cm}(0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} (1, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm} \right \rangle = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+::<math>\left \langle \hspace{0.05cm}(0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} (1, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm} \right \rangle = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 \left \langle \hspace{0.1cm}(0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} (0, 1, 1, 0) \hspace{0.1cm}\right \rangle = 0\hspace{0.05cm}.</math>
-*Der Code $\mathcal{C}$ spannt einen $k$&ndash;dimensionalen Untervektorraum in ${\rm GF}(2^n)$ auf.
+*Der Code&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; spannt einen&nbsp; $k$&ndash;dimensionalen Untervektorraum in&nbsp; ${\rm GF}(2^n)$&nbsp; auf.
-*Der Untervektorraum des dualen Codes $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$ ist zu diesem orthogonal und weist die Dimension $n-k$ auf.
+*Der Untervektorraum des dualen Codes&nbsp; $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; ist zu diesem orthogonal und weist die Dimension&nbsp; $n-k$&nbsp; auf.
 * Damit gilt: &nbsp; ${\rm dim} \{ \mathcal{C} \} + {\rm dim} \{ \mathcal{C}\hspace{0.05cm}' \} = n\hspace{0.05cm}.$<br>
 == Einige Eigenschaften des (7, 4, 3)–Hamming–Codes ==
 <br>
-Fassen wir die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels am Beispiel des systematischen Hamming&ndash;Codes nochmals zusammen, der bereits im Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes|Beispiele binärer Blockcodes]] ausführlich beschrieben wurde. Dieser $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Code ist gekennzeichnet durch
+Fassen wir die bisherigen Ergebnisse dieses Kapitels am Beispiel des systematischen Hamming&ndash;Codes nochmals zusammen, der bereits im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_bin%C3%A4rer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes|Beispiele binärer Blockcodes]]&nbsp; ausführlich beschrieben wurde. Dieser&nbsp; $\text{(7, 4, 3)}$&ndash;Code ist gekennzeichnet durch
-[[Datei:P ID2359 KC T 1 4 S7.png|right|frame|Codeworte des $\text{(7, 4, 3)}$–Hamming–Codes|class=fit]]
+[[Datei:P ID2359 KC T 1 4 S7.png|right|frame|Codeworte des&nbsp; $\text{HC (7, 4, 3)}$|class=fit]]
-*die Anzahl der Prüfgleichungen $m = 3$,<br>
+*die Anzahl der Prüfgleichungen&nbsp; $m = 3$,<br>
-*die Codelänge $n = 2^m-1 = 7$,<br>
+*die Codelänge&nbsp; $n = 2^m-1 = 7$,<br>
-*die Informationswortlänge $k = n-m = 4$,<br>
+*die Informationswortlänge&nbsp; $k = n-m = 4$,<br>
-*die Anzahl $2^k =16$ der Codeworte (Dimension),<br>
+*die Anzahl&nbsp; $2^k =16$&nbsp; der Codeworte (Dimension),<br>
-*die Rate $R= k/n = 4/7$,<br>
+*die Rate&nbsp; $R= k/n = 4/7$,<br>
-*die minimale Distanz $d_{\rm min} = 3$ (unabhängig von $m$, $n$ und $k$).<br>
+*die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; $($unabhängig von&nbsp; $m$,&nbsp; $n$&nbsp; und&nbsp; $k)$.<br>
-In obiger Tabelle sind die $2^4 = 16$ Codeworte angegeben ( schwarz: vier Informationsbits, rot: drei Prüfbits).
+In obiger Tabelle sind die&nbsp; $2^4 = 16$&nbsp; Codeworte angegeben <br>(schwarz:&nbsp; vier Informationsbits, rot:&nbsp; drei Prüfbits).
 Man erkennt daraus:
-*Der Code  beinhaltet sowohl das Null&ndash;Wort $(0000000)$ als auch das Eins&ndash;Wort  $(1111111)$.
+*Der Code  beinhaltet sowohl das Null&ndash;Wort&nbsp; $(0000000)$&nbsp; als auch das Eins&ndash;Wort&nbsp;  $(1111111)$.
-*Es gibt sieben Codeworte, die sich aus $(0001011)$ jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben (alle gelb hinterlegt).
+*Es gibt sieben Codeworte, die sich aus&nbsp; $(0001011)$&nbsp; jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben&nbsp; (alle gelb hinterlegt).
-*Es gibt sieben Codeworte, die sich aus $(0011101)$ jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben (alle grün hinterlegt).
+*Es gibt sieben Codeworte, die sich aus&nbsp; $(0011101)$&nbsp; jeweils durch zyklische Verschiebung ergeben&nbsp; (alle grün hinterlegt).
-*Zu jedem Codewort  existiert auch das &bdquo;negierte&rdquo; Codewort, zum Beispiel gibt es neben $(0001011)$ auch das Codewort $(1110100)$.
+*Zu jedem Codewort  existiert auch das &bdquo;negierte&rdquo; Codewort, zum Beispiel gibt es neben&nbsp; $(0001011)$&nbsp; auch das Codewort&nbsp; $(1110100)$.
 *Die Prüfmatrix kann wie folgt geschrieben werden:

@@ Zeile 449: / Zeile 449: @@
 *Dieser Code bietet gegenüber einem Übertragungsfehler hinsichtlich des dritten Bits&nbsp; $(x_3 = u_3)$&nbsp; keinen Schutz.
 *Damit ist natürlich weder eine Fehlererkennung und noch weniger Fehlerkorrektur möglich.
-*Gleiches gilt aber auch für den nichtsystematischen Code auf der letzten Seite.}}<br>
+*Gleiches gilt aber auch für den nichtsystematischen Code entsprechend&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Zusammenhang_zwischen_Generator.E2.80.93_und_Pr.C3.BCfmatrix|$\text{Beispiel 7}$]]&nbsp; auf der letzten Seite.}}<br>
 == Darstellung von SPC und RC als duale Codes ==

@@ Zeile 317: / Zeile 317: @@
 Anzumerken ist, dass in diesen Gleichungen
-*$\underline{0}$ einen Zeilenvektor mit $k$ Elementen bezeichnet und
+*$\underline{0}$&nbsp; einen Zeilenvektor mit&nbsp; $k$&nbsp; Elementen bezeichnet und
-*$\boldsymbol{\rm 0}$ eine Matrix mit $m$ Zeilen und $k$ Spalten angibt,
+*$\boldsymbol{\rm 0}$&nbsp; eine Matrix mit&nbsp; $m$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $k$&nbsp; Spalten angibt,
-wobei alle Elemente von $\underline{0}$ und $\boldsymbol{\rm 0}$ identisch Null sind.<br>
+wobei alle Elemente von&nbsp; $\underline{0}$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{\rm 0}$&nbsp; identisch Null sind.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 7:}$&nbsp; Wir betrachten wie im [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix|Beispiel 4]] den $\text{(5, 3)}$&ndash;Blockcode
+$\text{Beispiel 7:}$&nbsp; Wir betrachten wie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix|$\text{Beispiel 4}$]]&nbsp; den&nbsp; $\text{(5, 3)}$&ndash;Blockcode
 :<math>\mathcal{C}  = \big \{  \hspace{0.15cm} (  \hspace{0.05cm}   0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 335: / Zeile 335: @@
 ::<math> \hspace{0.6cm}(\hspace{0.05cm}1, 1, 1, 1, 1) \big \}\hspace{0.05cm}.</math>
-Aus $n= 5$ und $k = 3$ folgt für die Anzahl der Prüfgleichungen $m = 2$. Durch Analyse der möglichen Codeworte erhält man folgende Ergebnisse:
+Aus&nbsp; $n= 5$&nbsp; und&nbsp; $k = 3$&nbsp; folgt für die Anzahl der Prüfgleichungen&nbsp; $m = 2$. Durch Analyse der möglichen Codeworte erhält man folgende Ergebnisse:
 ::<math>x_1 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
@@ Zeile 361: / Zeile 361: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>
-Die Nullmatrix besteht hier aus $m = 2$ Zeilen und $k = 3$ Spalten. Beispielsweise gilt für das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte:
+Die Nullmatrix besteht hier aus&nbsp; $m = 2$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $k = 3$&nbsp; Spalten. Beispielsweise gilt für das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte:
 ::<math>1 \cdot 1 \hspace{0.05cm}\oplus \hspace{0.05cm}
@@ Zeile 374: / Zeile 374: @@
 == Generatormatrix vs. Prüfmatrix bei systematischen Codes ==
 <br>
-Im allgemeinen Fall können $\boldsymbol{\rm G}$ und $\boldsymbol{\rm H}$  nicht direkt ineinander umgerechnet werden, schon allein aufgrund der unterschiedlichen Dimensionen von Generatormatrix  $(k \times n)$ und  Prüfmatrix $(m \times n)$.<br>
+Im allgemeinen Fall können&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp;  nicht direkt ineinander umgerechnet werden, schon allein aufgrund der unterschiedlichen Dimensionen von Generatormatrix&nbsp;  $(k \times n)$&nbsp; und  Prüfmatrix&nbsp; $(m \times n)$.<br>
-Der Rechengang vereinfacht sich, wenn die $(k \times n)$ &ndash;Generatormatrix in systematischer Form vorliegt: &nbsp; $ \boldsymbol{\rm G_{sys}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_k \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right).$ Dann folgt aus $\boldsymbol{\rm H} \cdot \boldsymbol{\rm G}^{\rm T} = \boldsymbol{\rm 0}$ für die  $(m \times n)$&ndash;Prüfmatrix mit $m = n-k$:
+{{BlaueBox|TEXT=
-::<math>{ \boldsymbol{\rm H}} =\left(-{ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T}  \: ; \: { \boldsymbol{\rm I}}_m \right)
+::<math>{ \boldsymbol{\rm H} } =\left( - { \boldsymbol{\rm P} }^{\rm T}  \: ; \: { \boldsymbol{\rm I} }_m \right)
   \hspace{0.05cm}.</math>
-Diese Gleichung gilt allgemein, also auch im nichtbinären Fall. Da wir uns im gesamten ersten Hauptkapitel auf binäre Codes beschränken &#8658; &nbsp; $\mathcal{C} \in \text{GF}(2^n)$, gilt $-\boldsymbol{\rm P} = +\boldsymbol{\rm P}$, und man erhält die Form, die wir im Weiteren verwenden.<br>
+Diese Gleichung gilt allgemein, also auch im nichtbinären Fall. Da wir uns im gesamten ersten Hauptkapitel auf binäre Codes beschränken &#8658; &nbsp; $\mathcal{C} \in \text{GF}(2^n)$, gilt&nbsp; $ - \boldsymbol{\rm P} = +\boldsymbol{\rm P}$, und man erhält die Form, die wir im Weiteren verwenden.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Wir betrachten weiterhin den beispielhaften  $\text{(5,&nbsp;3)}$&ndash;Blockcode,  gehen aber nun von der systematischen Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ aus, die wir im  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|Beispiel 5]] ermittelt haben:
+$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Wir betrachten weiterhin den beispielhaften&nbsp;  $\text{(5,&nbsp;3)}$&ndash;Blockcode,  gehen aber nun von der systematischen Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$&nbsp; aus, die wir im&nbsp;  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|$\text{Beispiel 5}$]]&nbsp; ermittelt haben:
 ::<math> \boldsymbol{\rm G_{sys} } = \begin{pmatrix}
@@ Zeile 435: / Zeile 438: @@
 (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm}.</math>
-Zusammen mit dem Vektor $\underline{x} = (u_1, u_2, u_3, p_1, p_2) =  (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ lauten dann die Prüfbits:
+Zusammen mit dem Vektor&nbsp; $\underline{x} = (u_1, u_2, u_3, p_1, p_2) =  (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$&nbsp; lauten dann die Prüfbits:
 ::<math>p_1 = u_2	\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_2 = u_1	\hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 444: / Zeile 447: @@
 Man erkennt aus diesen Gleichungen und auch aus obiger Codetabelle:
-*Dieser Code bietet gegenüber einem Übertragungsfehler hinsichtlich des dritten Bits $(x_3 = u_3)$ keinen Schutz.
+*Dieser Code bietet gegenüber einem Übertragungsfehler hinsichtlich des dritten Bits&nbsp; $(x_3 = u_3)$&nbsp; keinen Schutz.
 *Damit ist natürlich weder eine Fehlererkennung und noch weniger Fehlerkorrektur möglich.
 *Gleiches gilt aber auch für den nichtsystematischen Code auf der letzten Seite.}}<br>

@@ Zeile 233: / Zeile 233: @@
 *$\mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; beinhalten die genau gleichen Codeworte. Sie sind damit&nbsp; <i>identische Codes</i>&nbsp; und besitzen beide die gleiche Korrekturfähigkeit (siehe nächste Seite).<br>
-*$\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; ist aber nun ein&nbsp; ''systematischer Code'', da die ersten&nbsp; $k$&nbsp; Binärstellen eines jeden Codewortes&nbsp; $\underline{x}\hspace{0.05cm}'_i$&nbsp; mit den Binärstellen des Informationswortes&nbsp; $\underline{u}_i$&nbsp;  übereinstimmen.}}<br>
+*$\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; ist nun ein&nbsp; ''systematischer Code'', da die ersten&nbsp; $k$&nbsp; Binärstellen eines jeden Codewortes&nbsp; $\underline{x}\hspace{0.05cm}'_i$&nbsp; mit den Binärstellen des Informationswortes&nbsp; $\underline{u}_i$&nbsp;  übereinstimmen.}}<br>
 == Systematische Codes==
@@ Zeile 240: / Zeile 240: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Bei einem $\text{systematischen }(n, k)&ndash;\text{Blockcode} \ \mathcal{C}$ beinhaltet jedes Codewort $\underline{x}$ explizit das Informationswort $\underline{u}$.
+$\text{Definition:}$&nbsp; Bei einem&nbsp; $\text{systematischen }(n, k)&ndash;\text{Blockcode} \ \ \mathcal{C}$&nbsp; beinhaltet jedes Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; explizit das Informationswort&nbsp; $\underline{u}$.
 *Das heißt, es gilt: &nbsp; $\underline{u} =  (u_1, u_2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, u_k) \hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm} =
 (u_1, u_2, ... \hspace{0.05cm}, u_k, x_{k+1}, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}, x_n)\hspace{0.05cm}.$
-*Die Generatormatrix hat in diesem Fall die Form $\boldsymbol{\rm G_{\rm sys} } =\left({ \boldsymbol{\rm I}_{\rm k} \ ; \ \boldsymbol{\rm P} }\right)$ mit der $k&times;k$&ndash;Einheitsmatrix $\boldsymbol{\rm I}_{\rm k}$ und einer geeignet zu wählenden $(n-1)&times;k$&ndash;Matrix $\boldsymbol{\rm P}$.}}<br>
+*Die Generatormatrix hat in diesem Fall die Form&nbsp; $\boldsymbol{\rm G_{\rm sys} } =\left({ \boldsymbol{\rm I}_{\rm k} \ ; \ \boldsymbol{\rm P} }\right)$&nbsp; mit der&nbsp; $k&times;k$&ndash;Einheitsmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm I}_{\rm k}$&nbsp; und einer geeignet zu wählenden&nbsp; $(n-1)&times;k$&ndash;Matrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm P}$.}}<br>
-Für das $\text{Beispiel 5}$ auf der letzten Seite kann also auch geschrieben werden:
+Für das&nbsp; $\text{Beispiel 5}$&nbsp; auf der letzten Seite kann also auch geschrieben werden:
 ::<math> \boldsymbol{\rm G_{sys}} =\left({ \boldsymbol{\rm I}}_3 \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 260: / Zeile 260: @@
 		\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>
-Erfreulich aus Sicht der Kanalcodierung ist, dass für jeden Code $\mathcal{C}$ ein systematischer (identischer oder zumindest äquivalenter) Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$ gefunden werden kann.<br>
+Erfreulich aus Sicht der Kanalcodierung ist, dass für jeden Code&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; ein systematischer (identischer oder zumindest äquivalenter) Code&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$&nbsp; gefunden werden kann.<br>
-Beim ''identischen systematischen Code'' beinhalten $\underline{x}$ und $\underline{x}_{\rm sys}$ die gleichen Codeworte, nur die Zuordnung $\underline{u}  &nbsp; &#8594; &nbsp; \underline{x}$ ist unterschiedlich. Man kommt durch folgende Manipulationen bezüglich der Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ von einem Blockcode $\mathcal{C}$ zum identischen systematischen Code $\mathcal{C}_{\rm sys}$:
+Beim&nbsp; '''identischen systematischen Code'''&nbsp; beinhalten&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}_{\rm sys}$&nbsp; die gleichen Codeworte, nur die Zuordnung&nbsp; $\underline{u}  &nbsp; &#8594; &nbsp; \underline{x}$&nbsp; ist unterschiedlich. Man kommt durch folgende Manipulationen bezüglich der Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; von einem Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; zum identischen systematischen Code&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$:
 *Vertauschen oder Permutieren der Zeilen,<br>
-*Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich $\underline{0}$,<br>
+*Multiplizieren aller Zeilen mit einem konstanten Vektor ungleich&nbsp; $\underline{0}$,<br>
 *Ersetzen einer Zeile durch eine Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.<br>
@@ Zeile 272: / Zeile 272: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Ohne Beweis:}$&nbsp; Ein $\text{identischer systematischer Code }\mathcal{C}_{\rm sys}$ kann immer dann gefunden werden, wenn zu einer Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$ eine Matrix $\boldsymbol{\rm A}$ existiert, so dass $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys} = \boldsymbol{\rm A} \cdot \boldsymbol{\rm G}$ gilt.}}
+$\text{Ohne Beweis:}$&nbsp; Ein $\text{identischer systematischer Code  }\mathcal{C}_{\rm sys}$ kann immer dann gefunden werden, wenn zu einer Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; eine Matrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm A}$&nbsp; existiert, so dass&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys} = \boldsymbol{\rm A} \cdot \boldsymbol{\rm G}$&nbsp; gilt.}}
-Ist dies nicht möglich, so findet man zumindest durch Vertauschen oder Permutieren der Spalten von $\boldsymbol{\rm G}$ einen '''äquivalenten systematischen Code''':
+Ist dies nicht möglich, so findet man zumindest durch Vertauschen oder Permutieren der Spalten von&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; einen&nbsp; '''äquivalenten systematischen Code''':
 ::<math>\mathcal{C}_{\rm sys} = {\rm \pi} (\mathcal{C})\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\rm \pi}():\hspace{0.15cm}{\rm Permutationsoperator}\hspace{0.05cm}.</math>
-Die Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}_{\rm sys}$ beinhalten dann zwar andere Codeworte, aber sie zeigen gleiche Eigenschaften. Beispielsweise weist $\mathcal{C}_{\rm sys}$ in diesem Fall die gleiche minimale Hamming&ndash;Distanz $d_{\rm min}$ auf wie der Code $\mathcal{C}$.<br>
+Die Codes&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$&nbsp; beinhalten dann zwar andere Codeworte, aber sie zeigen gleiche Eigenschaften. Beispielsweise weist&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$&nbsp; in diesem Fall die gleiche minimale Hamming&ndash;Distanz&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; auf wie der Code&nbsp; $\mathcal{C}$.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
@@ Zeile 294: / Zeile 294: @@
 Die Analyse zeigt:
-*Die zugehörigen Codes $\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}_{\rm sys}$ beinhalten unterschiedliche Codeworte und sind somit auch <i>nicht identisch</i>:
+*Die zugehörigen Codes&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}_{\rm sys}$&nbsp; beinhalten unterschiedliche Codeworte und sind somit auch <i>nicht identisch</i>:
 ::<math>\mathcal{C} = \big \{ (0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (0, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},(1, 1, 0, 0) \hspace{0.05cm},(1, 1, 1, 1) \big \}\hspace{0.05cm},</math>
 ::<math>\mathcal{C}_{\rm sys}= \big \{ (0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm}, (0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},(1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},(1, 1, 1, 1) \big \}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Aber sie sind <i>äquivalent</i>: &nbsp; $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$  ergibt sich aus $\boldsymbol{\rm G}$  durch Vertauschen der zweiten und dritten Spalte.
+*Aber sie sind <i>äquivalent</i>: &nbsp; $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$&nbsp;  ergibt sich aus&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp;  durch Vertauschen der zweiten und dritten Spalte.
-*Es handelt sich in beiden Fällen um einen $\text{(4, 2, 2)}$&ndash;Blockcode &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.}}
+*Es handelt sich in beiden Fällen um einen&nbsp; $\text{(4, 2, 2)}$&ndash;Blockcode &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $d_{\rm min} = 2$.}}

@@ Zeile 118: / Zeile 118: @@
 == Codefestlegung durch die Generatormatrix ==
 <br>
-Die Prüfmatrix $\boldsymbol{\rm H}$  eines $(n, k)$&ndash;Blockcodes hat $m = n-k$ Zeilen und $n$ Spalten. Den gleichen Code kann man aber auch durch die Matrix $\boldsymbol{\rm G}$ mit ebenfalls $n$ Spalten, aber $k$ Zeilen beschreiben:<br>
+Die Prüfmatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp;  eines&nbsp; $(n, k)$&ndash;Blockcodes hat&nbsp; $m = n-k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten. Den gleichen Code kann man aber auch durch die Matrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; mit ebenfalls&nbsp; $n$&nbsp; Spalten, aber&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen beschreiben:<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Ein linearer binärer Blockcode $\mathcal{C}$ kann durch die '''Prüfmatrix''' $\boldsymbol{\rm H}$ bzw. mit der '''Generatormatrix''' $\boldsymbol{\rm G}$ wie folgt charakterisiert werden:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Ein linearer binärer Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; kann durch die&nbsp; '''Prüfmatrix'''&nbsp; $\boldsymbol{\rm H}$&nbsp; bzw. mit der&nbsp; '''Generatormatrix'''&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; wie folgt charakterisiert werden:
 ::<math>\mathcal{C} = \{ \underline{x} \in {\rm GF}(2^n)\text{:} \hspace{0.2cm}{ \boldsymbol{\rm H} } \cdot \underline{x}^{\rm T}= \underline{0}^{\rm T} \}\hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 130: / Zeile 130: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten einen linearen $(5, 3)$&ndash;Blockcode mit der Generatormatrix
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten einen linearen&nbsp; $(5, 3)$&ndash;Blockcode mit der Generatormatrix (auch dies ist kein Hamming&ndash;Code)
 ::<math> \boldsymbol{\rm G} = \begin{pmatrix}
@@ Zeile 145: / Zeile 145: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-Damit werden die Informationsworte $\underline{u}= (u_1, u_2, u_3)$  den Codeworten $\underline{x}= (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ gemäß folgenden Gleichungen zugeordnet. Es gilt stets $\underline{x} = \underline{u} \cdot  \boldsymbol{\rm G}$:
+Damit werden die Informationsworte&nbsp; $\underline{u}= (u_1, u_2, u_3)$&nbsp;  den Codeworten&nbsp; $\underline{x}= (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$&nbsp; gemäß folgenden Gleichungen zugeordnet. <br>Es gilt stets&nbsp; $\underline{x} = \underline{u} \cdot  \boldsymbol{\rm G}$:
 ::<math>\underline{u}_0 = (0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 157: / Zeile 157: @@
 ''Anmerkungen'':
-*Die hier zur Berechnung herangezogenen Basisvektoren $\underline{g}_1$, $\underline{g}_2$ und  $\underline{g}_3$ &ndash; jeweils mit der Länge $n = 5$ &ndash; entsprechen den $k = 3$ Zeilen der Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}$.
+*Die hier zur Berechnung herangezogenen Basisvektoren&nbsp; $\underline{g}_1$,&nbsp; $\underline{g}_2$&nbsp; und&nbsp;  $\underline{g}_3$&nbsp; &ndash; jeweils mit der Länge&nbsp; $n = 5$&nbsp; &ndash; entsprechen den&nbsp; $k = 3$&nbsp; Zeilen der Generatormatrix&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$.
-*Dieser Code ist wegen $d_{\rm min} = 1$ weder zur Fehlerkorrektur noch zur Fehlererkennung geeignet ist. Trotzdem wird dieser Code auch auf den nächsten Seiten beispielhaft betrachtet, weil die Codierergebnisse gut interpretierbar sind.<br>
+*Dieser Code ist wegen&nbsp; $d_{\rm min} = 1$&nbsp; weder zur Fehlerkorrektur noch zur Fehlererkennung geeignet ist. Trotzdem wird dieser Code auch auf den nächsten Seiten beispielhaft betrachtet, weil die Codierergebnisse gut interpretierbar sind.<br>
-* Wir möchten Sie an dieser Stelle auf das Applet [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]] zum Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; aufmerksam machen, das die Berechnung von Basisfunktionen vermittelt, wenn auch in völlig anderem als dem hier gebrauchten Zusammenhang.<br>
+* Wir möchten Sie an dieser Stelle auf das Applet&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]]&nbsp; zum Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; aufmerksam machen, das die Berechnung von Basisfunktionen vermittelt, wenn auch in einem anderen als dem hier gebrauchten Zusammenhang.<br>
 == Identische Codes ==
 <br>
-Die im Beispiel 4 auf der letzten Seite verwendeten Vektoren $\underline{g}_1$, $\underline{g}_2$, ... , $\underline{g}_k$ sind die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Orthonormale_Basisfunktionen| Basisvektoren]] des linearen Blockcodes $\mathcal{C}$.
+Die im&nbsp; $\text{Beispiel 4}$&nbsp; auf der letzten Seite verwendeten Vektoren&nbsp; $\underline{g}_1$,&nbsp; $\underline{g}_2$,&nbsp; ... &nbsp;,&nbsp; $\underline{g}_k$&nbsp; sind die&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Orthonormale_Basisfunktionen| Basisvektoren]]&nbsp; des linearen Blockcodes&nbsp; $\mathcal{C}$.
-*Der Code selbst kann als $k$&ndash;dimensionaler <i>Untervektorraum</i> von $\text{GF}(2^n)$ angesehen werden.
+*Der Code selbst kann als&nbsp; $k$&ndash;dimensionaler <i>Untervektorraum</i> von&nbsp; $\text{GF}(2^n)$&nbsp; angesehen werden.
-*Die Basisvektoren $\underline{g}_1$, $\underline{g}_2$, ... , $\underline{g}_k$ sind linear unabhängig.<br>
+*Die Basisvektoren&nbsp; $\underline{g}_1$,&nbsp; $\underline{g}_2$,&nbsp; ... &nbsp;, $\underline{g}_k$&nbsp; sind linear unabhängig.<br>
-Der Untervektorraum $\mathcal{C}$ wird aber nicht nur durch die Basisvektoren
+Der Untervektorraum&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; wird aber nicht nur durch die Basisvektoren
 ::<math>\underline{g}_1 = (1, 1, 0, 1, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 175: / Zeile 175: @@
 \underline{g}_3 = (0, 1, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm}</math>
-aufgespannt, sondern andere Basisvektoren $\underline{g}\hspace{0.05cm}'_1$, $\underline{g}\hspace{0.05cm}'_2$ und $\underline{g}\hspace{0.05cm}'_3$ sind ebenso geeignet, so lange zwischen diesen die lineare Unabhängigkeit gewährleistet ist.<br>
+aufgespannt, sondern andere Basisvektoren&nbsp; $\underline{g}\hspace{0.05cm}'_1$,&nbsp; $\underline{g}\hspace{0.05cm}'_2$&nbsp; und&nbsp; $\underline{g}\hspace{0.05cm}'_3$&nbsp; sind ebenso geeignet, so lange zwischen diesen die lineare Unabhängigkeit gewährleistet ist.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Wir vergleichen den Code $\mathcal{C}$ von Beispiel 4 mit einem zweiten Code $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$.  Die Generatormatrizen lauten:
+$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Wir vergleichen den Code&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; von&nbsp; $\text{Beispiel 4}$&nbsp; mit einem zweiten Code&nbsp; $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$.  Die Generatormatrizen lauten:
 ::<math> \boldsymbol{\rm G} = \begin{pmatrix}
@@ Zeile 201: / Zeile 201: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Die beiden Codes sind identisch: Sie beinhalten die genau gleichen Codeworte; es gilt nur eine andere Zuordnung.
+*Die beiden Codes sind identisch: &nbsp; Sie beinhalten die genau gleichen Codeworte; es gilt nur eine andere Zuordnung.
-*Bei dem Übergang von $\boldsymbol{\rm G}$ auf $\boldsymbol{\rm G}\hspace{0.05cm}'$ wurden folgende erlaubte Operationen ausgeführt:
+*Bei dem Übergang von&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; auf&nbsp; $\boldsymbol{\rm G}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; wurden folgende erlaubte Operationen ausgeführt:
 ::<math>\underline{g}\hspace{0.05cm}'_1 = \underline{g}_1 + \underline{g}_2  \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 208: / Zeile 208: @@
 \underline{g}\hspace{0.05cm}'_3 = \underline{g}_2 + \underline{g}_3 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Zum entsprechenden Code $\mathcal{C}'$ kommt man mit der Gleichung $\underline{x}' = \underline{u} \cdot  \boldsymbol{\rm G}'$:
+*Zum entsprechenden Code&nbsp; $\mathcal{C}'$&nbsp; kommt man mit der Gleichung&nbsp; $\underline{x}' = \underline{u} \cdot  \boldsymbol{\rm G}'$:
 ::<math>\underline{u}_0 = (0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_0 =
@@ Zeile 227: / Zeile 227: @@
 (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_7\hspace{0.05cm}.</math>
-*Die entsprechenden Codeworte $\underline{x}_i = \underline{u}_i \cdot  \boldsymbol{\rm G}$ des Codes $\mathcal{C}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Generatormatrix  $\boldsymbol{\rm G}$ sind im  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix|Beispiel 4]] (vorherige Seite) angegeben.}}<br>
+*Die entsprechenden Codeworte&nbsp; $\underline{x}_i = \underline{u}_i \cdot  \boldsymbol{\rm G}$&nbsp; des Codes&nbsp; $\mathcal{C}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Generatormatrix&nbsp;  $\boldsymbol{\rm G}$&nbsp; sind im&nbsp;  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Codefestlegung_durch_die_Generatormatrix|$\text{Beispiel 4}$]]&nbsp; (vorherige Seite) angegeben.}}<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Codetabellen von $\text{Beispiel 4}$ und $\text{Beispiel 5}$ machen deutlich:
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Codetabellen von&nbsp; $\text{Beispiel 4}$&nbsp; und&nbsp; $\text{Beispiel 5}$&nbsp; machen deutlich:
-*$\mathcal{C}$ und $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$ beinhalten die genau gleichen Codeworte. Sie sind damit <i>identische Codes</i> und besitzen beide die gleiche Korrekturfähigkeit (siehe nächste Seite).<br>
+*$\mathcal{C}$&nbsp; und&nbsp; $\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; beinhalten die genau gleichen Codeworte. Sie sind damit&nbsp; <i>identische Codes</i>&nbsp; und besitzen beide die gleiche Korrekturfähigkeit (siehe nächste Seite).<br>
-*$\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$ ist aber nun ein ''systematischer Code'', da die ersten $k$ Binärstellen eines jeden Codewortes $\underline{x}\hspace{0.05cm}'_i$ mit den Binärstellen des Informationswortes $\underline{u}$  übereinstimmen.}}<br>
+*$\mathcal{C}\hspace{0.05cm}'$&nbsp; ist aber nun ein&nbsp; ''systematischer Code'', da die ersten&nbsp; $k$&nbsp; Binärstellen eines jeden Codewortes&nbsp; $\underline{x}\hspace{0.05cm}'_i$&nbsp; mit den Binärstellen des Informationswortes&nbsp; $\underline{u}_i$&nbsp;  übereinstimmen.}}<br>
 == Systematische Codes==

@@ Zeile 214: / Zeile 214: @@
 ::<math>\underline{u}_1 = (0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_1 =
 (0, 0, 1, 0, 0) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm}\underline{x}_3\hspace{0.05cm},</math>
-::<math>\underline{u}_2 \hspace{-0.15cm} =  \hspace{-0.15cm} (0, 1, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_2 =
+::<math>\underline{u}_2 = (0, 1, 0)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_2 =
 (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.1cm}= \hspace{0.1cm} \underline{x}_2\hspace{0.05cm},</math>
 ::<math>\underline{u}_3 = (0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \rightarrow\hspace{0.3cm} \underline{x}\hspace{0.05cm}'_3 =
@@ Zeile 387: / Zeile 387: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Wir betrachten weiterhin den beispielhaften  $\text{(5,&nbsp;3)}$&ndash;Blockcode,  gehen aber nun von der systematischen Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ aus, die wir im  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|$\text{Beispiel 5}$]] ermittelt haben:
+$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Wir betrachten weiterhin den beispielhaften  $\text{(5,&nbsp;3)}$&ndash;Blockcode,  gehen aber nun von der systematischen Generatormatrix $\boldsymbol{\rm G}_{\rm sys}$ aus, die wir im  [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Identische_Codes|Beispiel 5]] ermittelt haben:
 ::<math> \boldsymbol{\rm G_{sys} } = \begin{pmatrix}