Kanalcodierung/Algebraische und polynomische Beschreibung - Versionsgeschichte

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2018-07-11T08:01:39Z

@@ Zeile 454: / Zeile 454: @@
 Die Polynomrepräsentation anhand der Übertragungsfunktionsmtrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; ermöglicht Einblicke in die Struktur eines Faltungscodes.
-*Beispielsweise erkennt man anhand dieser&nbsp; $k &times; n$&ndash;Matrix, ob es sich um einen&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes_.282.29| systematischen Code]]&nbsp; handelt.
+*Beispielsweise erkennt man anhand dieser&nbsp; $k &times; n$&ndash;Matrix, ob es sich um einen&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Systematische_Codes| systematischen Code]]&nbsp; handelt.
 *Darunter versteht man einen Code, bei dem die Codesequenzen&nbsp; $\underline{x}^{(1)}, \ \text{...} \ , \ \underline{x}^{(k)}$&nbsp; mit den Informationssequenzen&nbsp; $\underline{u}^{(1)}, \ \text{...} \ , \ \underline{u}^{(k)}$&nbsp; identisch sind.

@@ Zeile 52: / Zeile 52: @@
 == Generatormatrix eines Faltungscodierers mit Gedächtnis ''m'' ==
 <br>
-Mit den Teilmatrizen $\mathbf{G}_0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \mathbf{G}_m$ lassen sich die $n$ Codebits zum Zeitpunkt $i$ wie folgt ausdrücken:
+Mit den Teilmatrizen&nbsp; $\mathbf{G}_0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \mathbf{G}_m$&nbsp; lassen sich die&nbsp; $n$&nbsp; Codebits zum Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; wie folgt ausdrücken:
 ::<math>\underline{x}_i = \sum_{l = 0}^{m} \hspace{0.15cm}\underline{u}_{i-l} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}_l =
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
   \underline{\it x}_i = \left ( x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, x_i^{(n)}\right )\hspace{0.05cm}.</math>
-Betrachtet man die bei $i = 1$ beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen
+Betrachtet man die bei&nbsp; $i = 1$&nbsp; beginnenden und sich zeitlich bis ins Unendliche erstreckenden Sequenzen
 ::<math>\underline{\it u} = \big( \underline{\it u}_1\hspace{0.05cm}, \underline{\it u}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it u}_i\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...}  \hspace{0.1cm} \big)\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
-  \underline{\it x} = \big( \underline{\it x}_1\hspace{0.05cm}, \underline{\it x}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it x}_i\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}... \hspace{0.1cm} \big)\hspace{0.05cm},</math>
+  \underline{\it x} = \big( \underline{\it x}_1\hspace{0.05cm}, \underline{\it x}_2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm}, \underline{\it x}_i\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} \big)\hspace{0.05cm},</math>
-so kann dieser Zusammenhang durch die Matrixgleichung $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$ ausgedrückt werden. Hierbei ist für die Generatormatrix $\mathbf{G}$ zu setzen:
+so kann dieser Zusammenhang durch die Matrixgleichung&nbsp; $\underline{x} = \underline{u} \cdot \mathbf{G}$&nbsp; ausgedrückt werden. Hierbei ist für die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; wie folgt zu setzen:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm G}}=\begin{pmatrix}
@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Aus der Gleichung erkennt man sofort das Gedächtnis $m$ des Faltungscodes. Die Parameter $k$ und $n$ sind direkt nicht ablesbar.
+*Aus der Gleichung erkennt man sofort das Gedächtnis&nbsp; $m$&nbsp; des Faltungscodes. Die Parameter&nbsp; $k$&nbsp; und&nbsp; $n$&nbsp; sind direkt nicht ablesbar.
-* Sie sind aber durch die Zeilen&ndash; und Spaltenanzahl der Teilmatrizen $\mathbf{G}_l$ festgelegt.<br>
+* Sie sind aber durch die Zeilen&ndash; und Spaltenanzahl der Teilmatrizen&nbsp; $\mathbf{G}_l$&nbsp; festgelegt.<br>
@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Mit den zwei Matrizen $\mathbf{G}_0$ und $\mathbf{G}_1$ &ndash; siehe [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen| $\text{Beispiel 1}$]] &ndash; erhält man die rechts skizzierte Matrix $\mathbf{G}$.
+Mit den zwei Matrizen&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{G}_1$&nbsp; &ndash; siehe&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen| $\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; &ndash; erhält man die rechts skizzierte Matrix&nbsp; $\mathbf{G}$.
 Anzumerken ist:
-*Die Generatormatrix  $\mathbf{G}$ erstreckt sich nach unten und nach rechts eigentlich bis ins Unendliche. Explizit dargestellt sind aber nur acht Zeilen und zwölf Spalten.
+*Die Generatormatrix&nbsp;  $\mathbf{G}$&nbsp; erstreckt sich nach unten und nach rechts eigentlich bis ins Unendliche. Explizit dargestellt sind aber nur acht Zeilen und zwölf Spalten.
-*Für die zeitlich begrenzte Informationssequenz $\underline{u} = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1)$ ist der gezeichnete Matrixteil ausreichend. Die Codesequenz lautet dann:
+*Für die zeitlich begrenzte Informationssequenz&nbsp; $\underline{u} = (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1)$&nbsp; ist der gezeichnete Matrixteil ausreichend. Die Codesequenz lautet dann:
 :$$\underline{x} = (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0).$$
-*Anhand der Beschriftungsfarben lassen sich die $n = 3$ Codewortstränge ablesen.
+*Anhand der Beschriftungsfarben lassen sich die&nbsp; $n = 3$&nbsp; Codewortstränge ablesen.
-*Das gleiche Ergebnis haben wir (auf anderem Wege) im [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_zwei_Eing.C3.A4ngen| $\text{Beispiel 4}$]] am Ende des letzten Kapitels erhalten:
+*Das gleiche Ergebnis haben wir (auf anderem Wege) im&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_zwei_Eing.C3.A4ngen| $\text{Beispiel 4}$]]&nbsp; am Ende des letzten Kapitels erhalten:
 :$$\underline{\it x}^{(1)} = (0\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \underline{\it x}^{(2)} = (1\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm},1\hspace{0.05cm}, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
 == Generatormatrix für Faltungscodierer der Rate 1/''n'' ==
 <br>
-Wir betrachten nun den Sonderfall $k = 1$,
+Wir betrachten nun den Sonderfall&nbsp; $k = 1$,
 *zum einen aus Gründen einer möglichst einfachen Darstellung,
-*aber auch, weil Faltungscodierer der Rate $1/n$ für die Praxis eine große Bedeutung besitzen.<br><br>
+*aber auch, weil Faltungscodierer der Rate&nbsp; $1/n$&nbsp; für die Praxis eine große Bedeutung besitzen.<br><br>
-[[Datei:P ID2602 KC T 3 2 S3a.png|right|frame|Faltungscoder mit  $k = 1, n = 2,  m = 1$]]
+[[Datei:P ID2602 KC T 3 2 S3a.png|right|frame|Faltungscoder mit&nbsp;  $k = 1, \ n = 2,  \ m = 1$]]
-<b>Faltungscodierer mit $k = 1, n = 2, m = 1$</b><br>
+<b>Faltungscodierer mit&nbsp; $k = 1, \ n = 2, \ m = 1$</b><br>
-Aus der nebenstehenden Skizze kann abgeleitet werden:
+Aus nebenstehender Skizze kann abgeleitet werden:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix}
@@ Zeile 123: / Zeile 123: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>
-Für die Eingangssequenz $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$ beginnt die Codesequenz mit $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, \ \text{...})$. Dieses Ergebnis ist gleich der Summe der Zeilen 1, 3 und 4 der Generatormatrix.<br><br>
+Für die Eingangssequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$&nbsp; beginnt die Codesequenz mit&nbsp; $\underline{x} = (1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, \ \text{...})$. <br>Dieses Ergebnis ist gleich der Summe der Zeilen 1, 3 und 4 der Generatormatrix.<br><br>
-[[Datei:P ID2603 KC T 3 2 S3b.png|right|frame|Faltungscoder mit $k = 1,  n = 2,  m = 2$]]
+[[Datei:P ID2603 KC T 3 2 S3b.png|right|frame|Faltungscoder mit&nbsp; $k = 1, \ n = 2, \ m = 2$]]
-<b>Faltungscodierer mit $k = 1, n = 2, m = 2$</b><br>
+<b>Faltungscodierer mit&nbsp; $k = 1, \ n = 2, \ m = 2$</b><br>
-Aufgrund der Gedächtnisordnung $m = 2$ gibt es hier drei Teilmatrizen:
+Aufgrund der Gedächtnisordnung&nbsp; $m = 2$&nbsp; gibt es hier drei Teilmatrizen:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix}
@@ Zeile 150: / Zeile 150: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.</math>
-Hier führt die Eingangsssequenz $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$ zur Codesequenz $\underline{x} = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, \ \text{...})$.<br><br>
+Hier führt die Eingangsssequenz&nbsp; $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$&nbsp; zur Codesequenz&nbsp; $\underline{x} = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, \ \text{...})$.<br><br>
-[[Datei:P ID2604 KC T 3 2 S3c.png|right|frame|Faltungscoder mit $k = 1, \ n = 3, m = 3$]]
+[[Datei:P ID2604 KC T 3 2 S3c.png|right|frame|Faltungscoder mit&nbsp; $k = 1, \ n = 3, \ m = 3$]]
-<b>Faltungscodierer mit $k = 1, n = 3, m = 3$</b>
+<b>Faltungscodierer mit $k = 1, \ n = 3, \ m = 3$</b>
-Wegen $m = 3$ gibt es nun vier Teilmatrizen der jeweiligen Dimension $1 &times; 3$:
+Wegen&nbsp; $m = 3$&nbsp; gibt es nun vier Teilmatrizen der jeweiligen Dimension&nbsp; $1 &times; 3$:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm G}}_0=\begin{pmatrix}
@@ Zeile 180: / Zeile 180: @@
 	\end{pmatrix}\hspace{0.05cm},</math>
-und man erhält für $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$ die Codesequenz $\underline{x} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$.<br>
+und man erhält für&nbsp; $\underline{u} = (1, 0, 1, 1)$&nbsp; die Codesequenz&nbsp; $\underline{x} = (1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, \ \text{...})$.<br>
 == GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters ==

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == Aufteilung der Generatormatrix in Teilmatrizen ==
 <br>
-Entsprechend den Ausführungen im früheren Abschnitt [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Lineare_Codes_und_zyklische_Codes| Lineare Codes und zyklische Codes]] lässt sich das Codewort $\underline{x}$ eines linearen Blockcodes aus dem Informationswort $\underline{u}$ und der Generatormatrix $\mathbf{G}$ in einfacher Weise ermitteln: &nbsp; $\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}$. Dabei gilt:
+Entsprechend den Ausführungen im früheren Abschnitt&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Lineare_Codes_und_zyklische_Codes| Lineare Codes und zyklische Codes]]&nbsp; lässt sich das Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; eines linearen Blockcodes aus dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; in einfacher Weise ermitteln: &nbsp; $\underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}$. Dabei gilt:
-*Die Vektoren $\underline{u}$ und $\underline{x}$ haben die Länge $k$ (Bitanzahl eines Informationswortes) bzw. $n$ (Bitanzahl eines Codewortes) und $\mathbf{G}$ besitzt die Dimension $k &times; n$ ($k$ Zeilen und $n$ Spalten).<br>
+*Die Vektoren&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; haben die Länge&nbsp; $k$&nbsp; (Bitanzahl eines Informationswortes) bzw.&nbsp; $n$&nbsp; (Bitanzahl eines Codewortes) und&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; besitzt die Dimension&nbsp; $k &times; n$&nbsp; $(k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten$)$.<br>
-*Bei Faltungscodierung bezeichnen dagegen $\underline{u}$ und $\underline{x}$ Sequenzen mit $k\hspace{0.05cm}' &#8594; &#8734;$ und $n\hspace{0.05cm}' &#8594; &#8734;$. Deshalb wird auch die Generatormatrix $\mathbf{G}$ in beiden Richtungen unendlich weit ausgedehnt sein.<br><br>
+*Bei Faltungscodierung bezeichnen dagegen&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; Sequenzen mit&nbsp; $k\hspace{0.05cm}' &#8594; &#8734;$&nbsp; und&nbsp; $n\hspace{0.05cm}' &#8594; &#8734;$. Deshalb wird auch die Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; in beiden Richtungen unendlich weit ausgedehnt sein.<br><br>
-Als Vorbereitung für die Einführung der Generatormatrix $\mathbf{G}$ auf der nächsten Seite definieren wir $m + 1$ Teilmatrizen, jeweils mit $k$ Zeilen und $n$ Spalten, die wir mit $\mathbf{G}_l$ bezeichnen, wobei $0 &#8804; l &#8804; m$ gilt.<br>
+Als Vorbereitung für die Einführung der Generatormatrix&nbsp; $\mathbf{G}$&nbsp; auf der nächsten Seite definieren wir&nbsp; $m + 1$&nbsp; Teilmatrizen, jeweils mit&nbsp; $k$&nbsp; Zeilen und&nbsp; $n$&nbsp; Spalten, die wir mit&nbsp; $\mathbf{G}_l$&nbsp; bezeichnen, wobei&nbsp; $0 &#8804; l &#8804; m$&nbsp; gilt.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;  Die '''Teilmatrix''' $\mathbf{G}_l$ beschreibt folgenden Sachverhalt: Ist das Matrixelement $\mathbf{G}_l(\kappa, j) = 1$, so sagt dies aus, dass das Codebit $x_i^{(j)}$ durch das Informationsbit $u_{i-l}^{(\kappa)}$ beeinflusst wird. Andernfalls ist dieses Matrixelement gleich $0$.}}<br>
+$\text{Definition:}$&nbsp;  Die &nbsp;'''Teilmatrix'''&nbsp; $\mathbf{G}_l$&nbsp; beschreibt folgenden Sachverhalt: &nbsp; Ist das Matrixelement&nbsp; $\mathbf{G}_l(\kappa, j) = 1$, so sagt dies aus, dass das Codebit&nbsp; $x_i^{(j)}$&nbsp; durch das Informationsbit&nbsp; $u_{i-l}^{(\kappa)}$&nbsp; beeinflusst wird. Andernfalls ist dieses Matrixelement gleich&nbsp; $0$.}}<br>
 Diese Definition wird nun an einem Beispiel verdeutlicht.
-[[Datei:P ID2600 KC T 3 1 S4 v1.png|right|frame|Faltungscoder mit $k = 2, \ n = 3, \ m = 1$]]
+[[Datei:P ID2600 KC T 3 1 S4 v1.png|right|frame|Faltungscoder mit&nbsp; $k = 2, \ n = 3, \ m = 1$]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
-Wir betrachten wiederum den Faltungscodierer gemäß nebenstehender Grafik mit den folgenden Codebits:
+Wir betrachten wiederum den Faltungscodierer gemäß der Grafik mit folgenden Codebits:
 ::<math>x_i^{(1)} = u_{i}^{(1)} + u_{i-1}^{(1)}+ u_{i-1}^{(2)} \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 ::<math>x_i^{(3)} = u_{i}^{(1)} + u_{i}^{(2)}+ u_{i-1}^{(1)} \hspace{0.05cm}.</math>
-Wegen der Gedächtnisordnung $m = 1$ wird dieser Codierer durch die beiden Teilmatrizen $\mathbf{G}_0$ und $\mathbf{G}_1$ vollständig charakterisiert:
+Wegen der Gedächtnisordnung&nbsp; $m = 1$&nbsp; wird dieser Codierer durch die beiden Teilmatrizen&nbsp; $\mathbf{G}_0$&nbsp; und&nbsp; $\mathbf{G}_1$&nbsp; vollständig charakterisiert:
 ::<math>{ \boldsymbol{\rm G} }_0 =
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 Diese Matrizen sind wie folgt zu interpretieren:
-*Erste Zeile von $\mathbf{G}_0$, rote Pfeile:&nbsp; $\hspace{1.1cm}u_i^{(1)}$ beeinflusst sowohl $x_i^{(1)}$ als auch $x_i^{(3)}$, nicht jedoch $x_i^{(2)}$.<br>
+*Erste Zeile von&nbsp; $\mathbf{G}_0$, rote Pfeile:&nbsp; $\hspace{1.1cm}u_i^{(1)}$&nbsp; beeinflusst sowohl&nbsp; $x_i^{(1)}$&nbsp; als auch&nbsp; $x_i^{(3)}$, nicht jedoch&nbsp; $x_i^{(2)}$.<br>
-*Zweite Zeile von $\mathbf{G}_0$, blaue Pfeile:&nbsp; $\hspace{0.6cm}u_i^{(2)}$ beeinflusst $x_i^{(2)}$ und $x_i^{(3)}$, aber nicht $x_i^{(1)}$.<br>
+*Zweite Zeile von&nbsp; $\mathbf{G}_0$, blaue Pfeile:&nbsp; $\hspace{0.6cm}u_i^{(2)}$&nbsp; beeinflusst&nbsp; $x_i^{(2)}$&nbsp; und&nbsp; $x_i^{(3)}$, aber nicht&nbsp; $x_i^{(1)}$.<br>
-*Erste Zeile von $\mathbf{G}_1$, grüne Pfeile:&nbsp; $\hspace{0.9cm}u_{i-1}^{(1)}$ beeinflusst alle drei Coderausgänge.<br>
+*Erste Zeile von&nbsp; $\mathbf{G}_1$, grüne Pfeile:&nbsp; $\hspace{0.9cm}u_{i-1}^{(1)}$&nbsp; beeinflusst alle drei Coderausgänge.<br>
-*Zweite Zeile von $\mathbf{G}_1$, brauner Pfeil:&nbsp; $\hspace{0.45cm}u_{i-1}^{(2)}$ beeinflusst nur $x_i^{(1)}$.}}<br>
+*Zweite Zeile von&nbsp; $\mathbf{G}_1$, brauner Pfeil:&nbsp; $\hspace{0.45cm}u_{i-1}^{(2)}$&nbsp; beeinflusst nur&nbsp; $x_i^{(1)}$.}}<br>
 == Generatormatrix eines Faltungscodierers mit Gedächtnis ''m'' ==

@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 *Anhand der Beschriftungsfarben lassen sich die $n = 3$ Codewortstränge ablesen.
-*Das gleiche Ergebnis haben wir (auf anderem Wege) im [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_zwei_Eing.C3.A4ngen| Beispiel 4]] am Ende des letzten Kapitels erhalten:
+*Das gleiche Ergebnis haben wir (auf anderem Wege) im [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung#Faltungscodierer_mit_zwei_Eing.C3.A4ngen| $\text{Beispiel 4}$]] am Ende des letzten Kapitels erhalten:
 :$$\underline{\it x}^{(1)} = (0\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm}, 1\hspace{0.05cm}, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 \underline{\it x}^{(2)} = (1\hspace{0.05cm}, 0\hspace{0.05cm},1\hspace{0.05cm}, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
-Mit den zwei Matrizen $\mathbf{G}_0$ und $\mathbf{G}_1$ &ndash; siehe [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen| Beispiel 1]] &ndash; erhält man die rechts skizzierte Matrix $\mathbf{G}$.
+Mit den zwei Matrizen $\mathbf{G}_0$ und $\mathbf{G}_1$ &ndash; siehe [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Aufteilung_der_Generatormatrix_in_Teilmatrizen| $\text{Beispiel 1}$]] &ndash; erhält man die rechts skizzierte Matrix $\mathbf{G}$.
 Anzumerken ist:

@@ Zeile 575: / Zeile 575: @@
 [[Datei:P_ID2620__KC_T_3_2_S8b_neu.png|right|frame|Filter:  $G(D) = (1+D^2)/(1+D +D^2)$|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Die rechts skizzierte Filterstruktur lässt sich wie folgt beschreiben:
+$\text{Beispiel 9:}$&nbsp; Die rechts skizzierte Filterstruktur lässt sich wie folgt beschreiben:
 ::<math>x_i  =  w_i + w_{i-2} \hspace{0.05cm},</math>
@@ Zeile 591: / Zeile 591: @@
 ::<math>G(D) = \frac{X(D)}{U(D)} = \frac{1+D^2}{1+D+D^2} \hspace{0.05cm}. </math>
-Im [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.84quivalenter_systematischer_Faltungscode| Beispiel 8]] zum äquivalenten systematischen Faltungscode hat sich im unteren Zweig genau dieser Ausdruck ergeben.}}<br>
+Im [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.84quivalenter_systematischer_Faltungscode| $\text{Beispiel 8}$]] zum äquivalenten systematischen Faltungscode hat sich im unteren Zweig genau dieser Ausdruck ergeben.}}<br>
 == Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 561: / Zeile 561: @@
 == Filterstruktur bei gebrochen–rationaler Übertragungsfunktion ==
 <br>
-Hat eine Übertragungsfunktion die Form $G(D) = A(D)/B(D)$, so bezeichnet man das zugehörige Filter  als <i>rekursiv</i>. Bei einem rekursiven Faltungscodierer mit dem Gedächtnis $m$ kann für die beiden Polynome $A(D)$ und $B(D)$ allgemein geschrieben werden:
+[[Datei:P ID2619 KC T 3 2 S8 v1.png|right|frame|Rekursives Filter zur Realisierung von $G(D) = A(D)/B(D)$|class=fit]]
-::<math>A(D) =  \sum_{l = 0}^{m} a_l \cdot D^l = a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2 +\  \text{...} \ \hspace{0.05cm} + a_m \cdot D^m \hspace{0.05cm},</math>
+Bei einem rekursiven Faltungscodierer mit dem Gedächtnis $m$ kann für die beiden Polynome $A(D)$ und $B(D)$ allgemein geschrieben werden:
-::<math>B(D) =  1 + \sum_{l = 1}^{m} b_l \cdot D^l = 1 + b_1 \cdot D + b_2 \cdot D^2 + \  \text{...} \  \hspace{0.05cm} + b_m \cdot D^m \hspace{0.05cm}.</math>
+::<math>A(D) =  \sum_{l = 0}^{m} a_l \cdot D\hspace{0.05cm}^l = a_0 + a_1 \cdot D + a_2 \cdot D^2 +\  \text{...} \ \hspace{0.05cm} + a_m \cdot D\hspace{0.05cm}^m \hspace{0.05cm},</math>
 Die Grafik zeigt die entsprechende Filterstruktur in der so genannten <i>Controller Canonical Form</i>:<br>
-*Die Koeffizienten $a_0, \text{...} , \ a_m$ beschreiben den Vorwärtszweig.
+*Die Koeffizienten $a_0, \ \text{...} \ , \ a_m$ beschreiben den Vorwärtszweig.
 * Die Koeffizienten $b_1, \ \text{...} \ , \ b_m$ bilden eine Rückkopplung.
 *Alle Koeffizienten sind binär, also $1$ (durchgehende Verbindung) oder $0$ (fehlende Verbindung).
 <br clear=all>
-[[Datei:P_ID2620__KC_T_3_2_S8b_neu.png|right|frame|Filter für  $G(D) = (1+D^2)/(1+D +D^2)$|class=fit]]
+[[Datei:P_ID2620__KC_T_3_2_S8b_neu.png|right|frame|Filter:  $G(D) = (1+D^2)/(1+D +D^2)$|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 8:}$&nbsp; Die rechts skizzierte Filterstruktur lässt sich wie folgt beschreiben:
@@ Zeile 583: / Zeile 584: @@
 ::<math>X(D) =W(D) + W(D) \cdot D^2 =W(D) \cdot \left ( 1+ D^2 \right ) \hspace{0.05cm},</math>
 ::<math>W(D) = \hspace{0.08cm} U(D) + W(D) \cdot D+ W(D) \cdot D^2</math>
-:::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}
+::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 U(D) = W(D) \cdot \left ( 1+ D + D^2 \right ) \hspace{0.05cm}.</math>