Informationstheorie/Weitere Quellencodierverfahren - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Information_Theory/Further_Source_Coding_Methods]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	Die Huffman–Codierung aus dem Jahr 1952 ist ein Sonderfall der &bdquo;Entropiecodierung”.  Dabei wird versucht, das Quellensymbol  $q_μ$  durch ein Codesymbol  $c_μ$  der Länge  $L_μ$  darzustellen, wobei die folgende Konstruktionsvorschrift angestrebt wird:		Die Huffman–Codierung aus dem Jahr 1952 ist ein Sonderfall der &bdquo;Entropiecodierung”.  Dabei wird versucht, das Quellensymbol  $q_μ$  durch ein Codesymbol  $c_μ$  der Länge  $L_μ$  darzustellen, wobei die folgende Konstruktionsvorschrift angestrebt wird:

	:$$L_{\mu} \approx -{\rm log}_2\hspace{0.15cm}(p_{\mu})		:$$L_{\mu} \approx -{\rm log}_2\hspace{0.15cm}(p_{\mu}) \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Da  $L_μ$  im Gegensatz zu  $-{\rm log}_2\hspace{0.15cm}(p_{\mu})$  ganzzahlig ist, gelingt dies nicht immer.		Da  $L_μ$  im Gegensatz zu  $-{\rm log}_2\hspace{0.15cm}(p_{\mu})$  ganzzahlig ist, gelingt dies nicht immer.
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	$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen wie im  [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Der_Huffman.E2.80.93Algorithmus\|Einführungsbeispiel für den Huffman–Algorithmus]]  im letzten Kapitel von  $M = 6$  Symbolen und folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:		$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen wie im  [[Informationstheorie/Entropiecodierung_nach_Huffman#Der_Huffman.E2.80.93Algorithmus\|Einführungsbeispiel für den Huffman–Algorithmus]]  im letzten Kapitel von  $M = 6$  Symbolen und folgenden Wahrscheinlichkeiten aus:

	:$$p_{\rm A} = 0.30 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.24 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm C} = 0.20 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$$p_{\rm A} = 0.30 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.24 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm C} = 0.20 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm D} = 0.12 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm E} = 0.10 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm F} = 0.04 \hspace{0.05cm}.$$
	p_{\rm D} = 0.12 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm E} = 0.10 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm F} = 0.04
	\hspace{0.05cm}.$$

	Dann lautet der Shannon–Fano–Algorithmus:		Dann lautet der Shannon–Fano–Algorithmus:
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	$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten  $M = 5$  Symbole mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:		$\text{Beispiel 2:}$  Wir betrachten  $M = 5$  Symbole mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:

	:$$p_{\rm A} = 0.38 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B}= 0.18 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm C}= 0.16 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$$p_{\rm A} = 0.38 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm B}= 0.18 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm C}= 0.16 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm D}= 0.15 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm E}= 0.13 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} H = 2.19\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}. $$
	p_{\rm D}= 0.15 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm E}= 0.13 \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow\hspace{0.3cm} H = 2.19\,{\rm bit/Quellensymbol}
	\hspace{0.05cm}. $$

	[[Datei:P_ID2461__Inf_T_2_4_S1_ganz_neu.png\|right\|frame\|Baumstrukturen nach Shannon–Fano (links) und Huffman (rechts)]]		[[Datei:P_ID2461__Inf_T_2_4_S1_ganz_neu.png\|right\|frame\|Baumstrukturen nach Shannon–Fano (links) und Huffman (rechts)]]
Zeile 99:		Zeile 93:
	* $B_i = 0.25, {\it Δ}_i = 0.10 \ ⇒ \ I_i = \big[0.25, 0.35\big)\text{:}$		* $B_i = 0.25, {\it Δ}_i = 0.10 \ ⇒ \ I_i = \big[0.25, 0.35\big)\text{:}$

	:$$r_i = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} = 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}		:$$r_i = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} = 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Code} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 01} \in I_i \hspace{0.05cm},$$
	{\rm Code} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 01} \in I_i
	\hspace{0.05cm},$$

	* $B_i = 0.65, {\it Δ}_i = 0.10 \ ⇒ \ I_i = \big[0.65, 0.75\big);$  zu beachten:   $0.75$  gehört nicht zum Intervall:		* $B_i = 0.65, {\it Δ}_i = 0.10 \ ⇒ \ I_i = \big[0.65, 0.75\big);$  zu beachten:   $0.75$  gehört nicht zum Intervall:

	:$$r_i = 1 \cdot 2^{-1} + 0 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} + 1 \cdot 2^{-4} = 0.6875 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}		:$$r_i = 1 \cdot 2^{-1} + 0 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} + 1 \cdot 2^{-4} = 0.6875 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Code} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 1011} \in I_i\hspace{0.05cm}. $$
	{\rm Code} \hspace{0.15cm} \boldsymbol{\rm 1011} \in I_i\hspace{0.05cm}. $$

	Um den sequentiellen Ablauf zu organisieren, wählt man allerdings die Bitanzahl konstant zu  $N_{\rm Bit} = \big\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} ({1}/{\it \Delta_i})\big\rceil+1\hspace{0.05cm}. $		Um den sequentiellen Ablauf zu organisieren, wählt man allerdings die Bitanzahl konstant zu  $N_{\rm Bit} = \big\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} ({1}/{\it \Delta_i})\big\rceil+1\hspace{0.05cm}. $
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	*Oft wird aber einfach nur die Intervallmitte – im Beispiel  $0.25488$ – binär dargestellt:   '''0.01000010011''' .... Die Bitanzahl erhält man daraus wie folgt:		*Oft wird aber einfach nur die Intervallmitte – im Beispiel  $0.25488$ – binär dargestellt:   '''0.01000010011''' .... Die Bitanzahl erhält man daraus wie folgt:

	:$${\it Δ}_5 = 0.2592 - 0.25056 = 0.00864 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.00864} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =		:$${\it Δ}_5 = 0.2592 - 0.25056 = 0.00864 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}N_{\rm Bit} = \left\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} \frac{1}{0.00864} \right\rceil + 1\hspace{0.15cm} =\left\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} 115.7 \right\rceil + 1 = 8\hspace{0.05cm}.$$
	\left\lceil {\rm log}_2 \hspace{0.15cm} 115.7 \right\rceil + 1 = 8
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Damit lautet der arithmetische Code für dieses Beispiel mit  $N = 5$  Eingangszeichen:   '''01000010'''.		*Damit lautet der arithmetische Code für dieses Beispiel mit  $N = 5$  Eingangszeichen:   '''01000010'''.

Guenter am 6. Juli 2021 um 16:31 Uhr

2021-07-06T16:31:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juli 2021, 18:31 Uhr
Zeile 126:		Zeile 126:
	*Nach dem zweiten Symbol  $\rm X$  liegen die Grenzen bei  $B_2 = 0$,  $C_2 = 0.216$,  $D_2 = 0.288$  und  $E_2 = 0.36$.  Da nun das Symbol  $\rm Y$  ansteht, erfolgt die Unterteilung des Bereichs  $0.216$ ... $0.288$.		*Nach dem zweiten Symbol  $\rm X$  liegen die Grenzen bei  $B_2 = 0$,  $C_2 = 0.216$,  $D_2 = 0.288$  und  $E_2 = 0.36$.  Da nun das Symbol  $\rm Y$  ansteht, erfolgt die Unterteilung des Bereichs  $0.216$ ... $0.288$.
	*Nach dem fünften Symbol  $\rm Z$  liegt das Intervall  $I_i$  für die betrachtete Symbolfolge  $Q_i = \rm XXYXZ$  fest.  Es muss nun eine reelle Zahl  $r_i$  gefunden werden, für die gilt:   $0.25056 ≤ r_i < 0.2592$.		*Nach dem fünften Symbol  $\rm Z$  liegt das Intervall  $I_i$  für die betrachtete Symbolfolge  $Q_i = \rm XXYXZ$  fest.  Es muss nun eine reelle Zahl  $r_i$  gefunden werden, für die gilt:   $0.25056 ≤ r_i < 0.2592$.
	*Die einzige reelle Zahl im Intervall  $I_i = \big[0.25056, 0.2592\big)$, mit sieben Bit darstellbar, ist  $r_i = 1 · 2^{–2} + 1 · 2^{–7} = 0.2578125$~~. ~~ Damit liegt die Coderausgabe fest:   '''0100001'''.}}		*Die einzige reelle Zahl im Intervall  $I_i = \big[0.25056, 0.2592\big)$, mit sieben Bit darstellbar, ist
			:$$r_i = 1 · 2^{–2} + 1 · 2^{–7} = 0.2578125.$$
			*Damit liegt die Coderausgabe fest:   '''0100001'''.}}

Guenter am 6. Juli 2021 um 15:34 Uhr

2021-07-06T15:34:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juli 2021, 17:34 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:


	Das folgende interaktive Applet  (in zwei ~~Verrsionen~~)  verdeutlicht die Vorgehensweise bei zwei Varianten einer Entropiecodierung.		Das folgende interaktive Applet  (in zwei Versionen)  verdeutlicht die Vorgehensweise bei zwei Varianten einer Entropiecodierung.
	*  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{HTML 5/JS}$–Version]],		*  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{HTML 5/JS}$–Version]],
	*  [[Applets:Huffman_Shannon_Fano\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{SWF}$–Version]].		*  [[Applets:Huffman_Shannon_Fano\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{SWF}$–Version]].

Guenter am 6. Juli 2021 um 15:31 Uhr

2021-07-06T15:31:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juli 2021, 17:31 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:

	Das folgende interaktive Applet  (in zwei Verrsionen)  verdeutlicht die Vorgehensweise bei zwei Varianten einer Entropiecodierung.		Das folgende interaktive Applet  (in zwei Verrsionen)  verdeutlicht die Vorgehensweise bei zwei Varianten einer Entropiecodierung.
	*  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{HTML 5/JS}$ –Version]],		*  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{HTML 5/JS}$–Version]],
	*  [[Applets:Huffman_Shannon_Fano\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{SWF}$ –Version]].		*  [[Applets:Huffman_Shannon_Fano\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{SWF}$–Version]].

	==Arithmetische Codierung ==		==Arithmetische Codierung ==

Guenter am 6. Juli 2021 um 15:26 Uhr

2021-07-06T15:26:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juli 2021, 17:26 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:

	Das folgende interaktive Applet  (in zwei Verrsionen)  verdeutlicht die Vorgehensweise bei zwei Varianten einer Entropiecodierung.		Das folgende interaktive Applet  (in zwei Verrsionen)  verdeutlicht die Vorgehensweise bei zwei Varianten einer Entropiecodierung.
	*  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]   ⇒ ~~  Version~~   $\text{HTML 5/JS}$,		*  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{HTML 5/JS}$ –Version]],
			*  [[Applets:Huffman_Shannon_Fano\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung  ⇒   $\text{SWF}$ –Version]].

	==Arithmetische Codierung ==		==Arithmetische Codierung ==

Guenter am 6. Juli 2021 um 15:21 Uhr

2021-07-06T15:21:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juli 2021, 17:21 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:


	Das interaktive Applet  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]  ~~verdeutlicht die Vorgehensweise bei diesen beiden Varianten einer Entropiecodierung.~~		Das folgende interaktive Applet  (in zwei Verrsionen)  verdeutlicht die Vorgehensweise bei zwei Varianten einer Entropiecodierung.
			*  [[Applets:Huffman-_und_Shannon-Fano-Codierung\|Huffman- und Shannon-Fano-Codierung]]   ⇒   Version   $\text{HTML 5/JS}$,

	==Arithmetische Codierung ==		==Arithmetische Codierung ==

Guenter am 5. Juli 2021 um 14:32 Uhr

2021-07-05T14:32:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juli 2021, 16:32 Uhr
Zeile 58:		Zeile 58:

	Die Grafik zeigt die jeweiligen Codebäume für Shannon–Fano (links) bzw. Huffman (rechts).  Die Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:		Die Grafik zeigt die jeweiligen Codebäume für Shannon–Fano (links) bzw. Huffman (rechts).  Die Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen:
	* Der Shannon–Fano–Algorithmus führt zum Code  $\rm A$   →   '''11''',   $\rm B$   →   '''10''',   $\rm C$   →   '''01''',   $\rm D$   →   '''001''',   $\rm E$   →   '''000'''  und damit zur mittleren Codewortlänge		* Der Shannon–Fano–Algorithmus führt zum Code
			:    $\rm A$   →   '''11''',   $\rm B$   →   '''10''',   $\rm C$   →   '''01''',   $\rm D$   →   '''001''',   $\rm E$   →   '''000'''
			:und damit zur mittleren Codewortlänge

	:$$L_{\rm M} = (0.38 + 0.18 + 0.16) \cdot 2 + (0.15 + 0.13) \cdot 3 = $$		:$$L_{\rm M} = (0.38 + 0.18 + 0.16) \cdot 2 + (0.15 + 0.13) \cdot 3 = $$
	:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} L_{\rm M} = 2.28\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} L_{\rm M} = 2.28\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$

	*Mit &~~bdquo~~;~~Huffman~~&~~rdquo~~; ~~erhält man~~  $\rm A$   →   '''1''',   $\rm B$   →   '''001''',   $\rm C$   →   '''010''',   $\rm D$   →   '''001''',   $\rm E$   →   '''000'''  und eine etwas kleinere mittlere Codewortlänge:		*Mit dem Huffman–Algorithmus erhält man
			:    $\rm A$   →   '''1''',   $\rm B$   →   '''001''',   $\rm C$   →   '''010''',   $\rm D$   →   '''001''',   $\rm E$   →   '''000'''
			:und eine etwas kleinere mittlere Codewortlänge:

	:$$L_{\rm M} = 0.38 \cdot 1 + (1-0.38) \cdot 3 $$		:$$L_{\rm M} = 0.38 \cdot 1 + (1-0.38) \cdot 3 $$

Guenter am 5. Juli 2021 um 13:03 Uhr

2021-07-05T13:03:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juli 2021, 15:03 Uhr
Zeile 246:		Zeile 246:
	[[Aufgaben:Aufgabe_2.11Z:_Nochmals_Arithmetische_Codierung\|Aufgabe 2.11Z: Nochmals Arithmetische Codierung]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.11Z:_Nochmals_Arithmetische_Codierung\|Aufgabe 2.11Z: Nochmals Arithmetische Codierung]]

	[[Aufgabe_2.12:_Run–Length_Coding_und_RLLC\|Aufgabe 2.12: Run–Length Coding & RLLC]]		[[Aufgabe_2.12:_Run–Length_Coding_und_RLLC\|Aufgabe 2.12: Run–Length Coding und RLLC]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.13:_Burrows-Wheeler-Rücktransformation\|Aufgabe 2.13: Burrows-Wheeler-Rücktransformation]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.13:_Burrows-Wheeler-Rücktransformation\|Aufgabe 2.13: Burrows-Wheeler-Rücktransformation]]

	[[Aufgabe_2.13Z:_Kombination_BWT_und_''Move-to-Front''\|Aufgabe 2.13Z: Kombination BWT ~~& &bdquo;Move-to-Front”~~]]		[[Aufgabe_2.13Z:_Kombination_BWT_und_''Move-to-Front''\|Aufgabe 2.13Z: Kombination BWT und MTF]]

	==Quellenverzeichnis==		==Quellenverzeichnis==

Guenter am 5. Juli 2021 um 13:02 Uhr

2021-07-05T13:02:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juli 2021, 15:02 Uhr
Zeile 226:		Zeile 226:
	==Anwendungsszenario für die Burrows–Wheeler–Transformation==		==Anwendungsszenario für die Burrows–Wheeler–Transformation==
	<br>		<br>
	Als Beispiel für die Einbettung der  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Burrows.E2.80.93Wheeler.E2.80.93Transformation\|Burrows–Wheeler–Transformation]]  (BWT) in eine Kette von Quellencodierverfahren wählen wir eine in  [Abel03]<ref>Abel, J.:  Verlustlose Datenkompression auf Grundlage der Burrows-Wheeler-Transformation.  In: PIK - Praxis der Informationsverarbeitung und Kommunikation, no. 3, vol. 26, S. 140-144, Sept. 2003.</ref>  vorgeschlagene Struktur.  Wir verwenden dabei das gleiche Textbeispiel  $\text{ANNAS_ANANAS}$  wie auf der letzten Seite.  Die entsprechenden Strings nach den einzelnen Blöcken sind in der Grafik ebenfalls angegeben.		Als Beispiel für die Einbettung der  [[Informationstheorie/Weitere_Quellencodierverfahren#Burrows.E2.80.93Wheeler.E2.80.93Transformation\|Burrows–Wheeler–Transformation]]  (BWT) in eine Kette von Quellencodierverfahren wählen wir eine in  [Abel03]<ref>Abel, J.:  Verlustlose Datenkompression auf Grundlage der Burrows-Wheeler-Transformation.  <br>In: PIK - Praxis der Informationsverarbeitung und Kommunikation, no. 3, vol. 26, S. 140-144, Sept. 2003.</ref>  vorgeschlagene Struktur.  Wir verwenden dabei das gleiche Textbeispiel  $\text{ANNAS_ANANAS}$  wie auf der letzten Seite.  Die entsprechenden Strings nach den einzelnen Blöcken sind in der Grafik ebenfalls angegeben.

	[[Datei:P_ID2477__Inf_T_2_4_S5_neu.png\|center\|frame\|Schema für die Burrows–Wheeler–Datenkompression]]		[[Datei:P_ID2477__Inf_T_2_4_S5_neu.png\|center\|frame\|Schema für die Burrows–Wheeler–Datenkompression]]

← Nächstältere Version		Version vom 5. Juli 2021, 15:03 Uhr
Zeile 246:		Zeile 246:
	[[Aufgaben:Aufgabe_2.11Z:_Nochmals_Arithmetische_Codierung\|Aufgabe 2.11Z: Nochmals Arithmetische Codierung]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.11Z:_Nochmals_Arithmetische_Codierung\|Aufgabe 2.11Z: Nochmals Arithmetische Codierung]]

	[[Aufgabe_2.12:_Run–Length_Coding_und_RLLC\|Aufgabe 2.12: Run–Length Coding & RLLC]]		[[Aufgabe_2.12:_Run–Length_Coding_und_RLLC\|Aufgabe 2.12: Run–Length Coding und RLLC]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_2.13:_Burrows-Wheeler-Rücktransformation\|Aufgabe 2.13: Burrows-Wheeler-Rücktransformation]]		[[Aufgaben:Aufgabe_2.13:_Burrows-Wheeler-Rücktransformation\|Aufgabe 2.13: Burrows-Wheeler-Rücktransformation]]

	[[Aufgabe_2.13Z:_Kombination_BWT_und_''Move-to-Front''\|Aufgabe 2.13Z: Kombination BWT ~~& &bdquo;Move-to-Front”~~]]		[[Aufgabe_2.13Z:_Kombination_BWT_und_''Move-to-Front''\|Aufgabe 2.13Z: Kombination BWT und MTF]]

	==Quellenverzeichnis==		==Quellenverzeichnis==