Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Information_Theory/AWGN_Channel_Capacity_for_Discrete-Valued_Input]]

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Guenter am 28. August 2021 um 12:24 Uhr

2021-08-28T12:24:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2021, 14:24 Uhr
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	*Um das Jahr 2000 hatten viele Forscher den Ehrgeiz, sich der Shannon–Grenze bis auf Bruchteile von einem  $\rm dB$  anzunähern.  Das gelbe Kreuz markiert ein solches Ergebnis  $(0.0045 \ \rm dB)$  von  [CFRU01]<ref name='CFRU01'>		*Um das Jahr 2000 hatten viele Forscher den Ehrgeiz, sich der Shannon–Grenze bis auf Bruchteile von einem  $\rm dB$  anzunähern.  Das gelbe Kreuz markiert ein solches Ergebnis  $(0.0045 \ \rm dB)$  von  [CFRU01]<ref name='CFRU01'>
	Chung S.Y; Forney Jr., G.D.; Richardson, T.J.; Urbanke, R.: On the Design of Low-Density Parity- Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit. – In: IEEE Communications Letters, vol. 5, no. 2 (2001), pp. 58–60.</ref>  mit einem irregulären LDPC–Code der Rate  $ R =1/2$  und der Länge  $n = 10^7$.}}		Chung S.Y; Forney Jr., G.D.; Richardson, T.J.; Urbanke, R.: On the Design of Low-Density Parity- Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit. – <br>In: IEEE Communications Letters, vol. 5, no. 2 (2001), pp. 58–60.</ref>  mit einem irregulären LDPC–Code der Rate  $ R =1/2$  und der Länge  $n = 10^7$.}}


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	*Die Einheit dieser Kanalkapazität ist „bit/Kanalzugriff” oder „bit/Quellensymbol”.		*Die Einheit dieser Kanalkapazität ist „bit/Kanalzugriff” oder „bit/Quellensymbol”.
	*Die Abszisse bezeichnet das Signal–zu–Störleistungsverhältnis  $10 · \lg (SNR)$  mit  ${SNR} = P_X/σ_N^2$.		*Die Abszisse bezeichnet das Signal–zu–Störleistungsverhältnis  $10 · \lg (SNR)$  mit  ${SNR} = P_X/σ_N^2$.
	*Die Grafik wurde  [Göb10]<ref name='Göb10'>Göbel, B.:  Information–Theoretic Aspects of Fiber–Optic Communication Channels. Dissertation. TU München. Verlag Dr. Hut, Reihe Informationstechnik, ISBN 978-3-86853-713-0, 2010.</ref>  entnommen.  Wir danken unserem ehemaligen Kollegen  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)\|Bernhard Göbel]],  für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.		*Die Grafik wurde  [Göb10]<ref name='Göb10'>Göbel, B.:  Information–Theoretic Aspects of Fiber–Optic Communication Channels. Dissertation. TU München. <br>Verlag Dr. Hut, Reihe Informationstechnik, ISBN 978-3-86853-713-0, 2010.</ref>  entnommen.  Wir danken unserem ehemaligen Kollegen  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)\|Bernhard Göbel]],  für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.

Guenter am 28. August 2021 um 12:20 Uhr

2021-08-28T12:20:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2021, 14:20 Uhr
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	*Der Endwert aller Kurven für wertdiskreten Eingang ist  $K = \log_2 (M)$.  Für  $SNR \to ∞$  erhält man  $C_{\rm BPSK} = 1$  (bit/Kanalzugriff)  sowie  $C_{\rm 4-QAM} = C_{\rm QPSK} = 2$.		*Der Endwert aller Kurven für wertdiskreten Eingang ist  $K = \log_2 (M)$.  Für  $SNR \to ∞$  erhält man  $C_{\rm BPSK} = 1$  (bit/Kanalzugriff)  sowie  $C_{\rm 4-QAM} = C_{\rm QPSK} = 2$.
	*Die blauen Markierungen zeigen, dass eine  $\rm 2^{10}–QAM$  mit  $10 · \lg (SNR) ≈ 27 \ \rm dB$  eine Coderate von  $R ≈ 8.2$  ermöglicht.  Abstand zur Shannon–Kurve:  $1.53\ \rm dB$.		*Die blauen Markierungen zeigen, dass eine  $\rm 2^{10}–QAM$  mit  $10 · \lg (SNR) ≈ 27 \ \rm dB$  eine Coderate von  $R ≈ 8.2$  ermöglicht.  Abstand zur Shannon–Kurve:  $1.53\ \rm dB$.
	*Der  "Shaping Gain"  beträgt  $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.  Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der  $2^{10} = 32^2$  quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt   ⇒  "Signal Shaping".		*Der  "Shaping Gain"  beträgt demnach  $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.  Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der  $2^{10} = 32^2$  quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt   ⇒  "Signal Shaping".

Guenter am 28. August 2021 um 12:08 Uhr

2021-08-28T12:08:38Z

Guenter am 27. August 2021 um 15:56 Uhr

2021-08-27T15:56:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2021, 17:56 Uhr
Zeile 275:		Zeile 275:
	[[Datei:P_ID2949__Inf_T_4_3_S6a.png\|right\|frame\|Raten und erforderliches  $E_{\rm B}/{N_0}$  verschiedener Kanalcodes]]		[[Datei:P_ID2949__Inf_T_4_3_S6a.png\|right\|frame\|Raten und erforderliches  $E_{\rm B}/{N_0}$  verschiedener Kanalcodes]]

	*Die Punkte  $\rm A$,  $\rm B$  und  $\rm C$  markieren  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.~~93Codes_.281.29~~\|Hamming–Codes]]  der Raten  $R = 4/7 ≈ 0.57$,  $R ≈ 0.73$  bzw.  $R ≈ 0.84$.  Für $\text{BER} = 10^{–5}$  benötigen diese sehr frühen Codes  (aus dem Jahr 1950)  alle  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm dB$.		*Die Punkte  $\rm A$,  $\rm B$  und  $\rm C$  markieren  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes\|Hamming–Codes]]  der Raten  $R = 4/7 ≈ 0.57$,  $R ≈ 0.73$  bzw.  $R ≈ 0.84$.  Für $\text{BER} = 10^{–5}$  benötigen diese sehr frühen Codes  (aus dem Jahr 1950)  alle  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm dB$.
	*Die Markierung  $\rm D$  kennzeichnet den binären  [https://de.wikipedia.org/wiki/Golay-Code Golay–Code]  mit der Rate  $R = 1/2$  und der Punkt  $\rm E$  einen  [https://de.wikipedia.org/wiki/Reed-Muller-Code Reed–Muller–Code].  Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Mariner Raumsonde Mariner 9]  zum Einsatz.		*Die Markierung  $\rm D$  kennzeichnet den binären  [https://de.wikipedia.org/wiki/Golay-Code Golay–Code]  mit der Rate  $R = 1/2$  und der Punkt  $\rm E$  einen  [https://de.wikipedia.org/wiki/Reed-Muller-Code Reed–Muller–Code].  Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Mariner Raumsonde Mariner 9]  zum Einsatz.
	*Die  [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29\|Reed–Solomon–Codes]]  (RS–Codes, ca. 1960)  sind eine Klasse zyklischer Blockcodes.  $\rm F$ markiert einen RS–Code der Rate  $223/255 \approx 0.875$  und einem erforderlichen  $E_{\rm B}/N_0 < 6 \ \rm dB$.		*Die  [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29\|Reed–Solomon–Codes]]  (RS–Codes, ca. 1960)  sind eine Klasse zyklischer Blockcodes.  $\rm F$ markiert einen RS–Code der Rate  $223/255 \approx 0.875$  und einem erforderlichen  $E_{\rm B}/N_0 < 6 \ \rm dB$.

Guenter am 27. August 2021 um 15:53 Uhr

2021-08-27T15:53:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2021, 17:53 Uhr
Zeile 250:		Zeile 250:
	<u>Hinweise</u>:		<u>Hinweise</u>:
	*In obiger Grafik ist als zweite, zusätzliche Abszissenachse  $10 · \lg (SNR)$  eingezeichnet.  "SNR"  steht hierbei für  "Signal-to-Noise Ratio".		*In obiger Grafik ist als zweite, zusätzliche Abszissenachse  $10 · \lg (SNR)$  eingezeichnet.  "SNR"  steht hierbei für  "Signal-to-Noise Ratio".
	*Die Funktion  ${\rm Q}(x)$  bezeichnet man als ~~die~~  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\|komplementäre Gaußsche ~~Fehlerfunktion~~]].		*Die Funktion  ${\rm Q}(x)$  bezeichnet man als das  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\|komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]].

Guenter am 27. August 2021 um 15:10 Uhr

2021-08-27T15:10:20Z

Guenter am 27. August 2021 um 14:07 Uhr

2021-08-27T14:07:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2021, 16:07 Uhr
Zeile 183:		Zeile 183:
	Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Blockschaltbild für  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK\|Binary Phase Shift Keying]]  $\rm (BPSK)$  mit binärem Eingang  $U$  und binärem Ausgang  $V$.		Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Blockschaltbild für  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK\|Binary Phase Shift Keying]]  $\rm (BPSK)$  mit binärem Eingang  $U$  und binärem Ausgang  $V$.

	Durch die bestmögliche Codierung soll erreicht werden, dass die ~~Fehlerwahrscheinlichkeit~~  $\text{Pr}(V ≠ U)$  verschwindend klein wird.		Durch die bestmögliche Codierung soll erreicht werden, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $\text{Pr}(V ≠ U)$  verschwindend klein wird.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	*Der Coderausgang ist gekennzeichnet durch die binäre Zufallsgröße  $X \hspace{0.03cm}' = \{0, 1\}$   ⇒   $M_{X'} = 2$, während der Ausgang  $Y$  des AWGN–Kanals weiterhin wertkontinuierlich ist:   $M_Y → ∞$.		*Der Coderausgang ist gekennzeichnet durch die binäre Zufallsgröße  $X \hspace{0.03cm}' = \{0, 1\}$   ⇒   $M_{X'} = 2$, während der Ausgang  $Y$  des AWGN–Kanals weiterhin wertkontinuierlich ist:   $M_Y → ∞$.
Zeile 209:		Zeile 209:

	zum Optimum führen werden.  Gemäß der Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Transinformationsberechnung_bei_additiver_St.C3.B6rung\|Transinformationsberechnung bei additiver Störung]]  gibt es mehrere Berechnungsmöglichkeiten:		zum Optimum führen werden.  Gemäß der Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Transinformationsberechnung_bei_additiver_St.C3.B6rung\|Transinformationsberechnung bei additiver Störung]]  gibt es mehrere Berechnungsmöglichkeiten:
	~~[[Datei:P_ID2946__Inf_T_4_3_S5c_neu.png\|right\|frame\|Die Kanalkapazitätsgrenzen  $C_{\rm BPSK}$  und  $C_{\rm Gauß}$  im Vergleich]]~~
	:$$ \begin{align*}C_{\rm BPSK} & = h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm},\\		:$$ \begin{align*}C_{\rm BPSK} & = h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm},\\
	C_{\rm BPSK} & = h(Y) - h(Y\|X)\hspace{0.05cm},\\		C_{\rm BPSK} & = h(Y) - h(Y\|X)\hspace{0.05cm},\\
Zeile 215:		Zeile 215:

	Alle Ergebnisse sind noch um die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” zu ergänzen.		Alle Ergebnisse sind noch um die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” zu ergänzen.
			[[Datei:P_ID2946__Inf_T_4_3_S5c_neu.png\|right\|frame\|Die Kanalkapazitätsgrenzen  $C_{\rm BPSK}$  und  $C_{\rm Gauß}$  im Vergleich]]
	Wir wählen hier die mittlere Gleichung:		Wir wählen hier die mittlere Gleichung:

Guenter am 27. August 2021 um 13:14 Uhr

2021-08-27T13:14:58Z

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← Nächstältere Version		Version vom 28. August 2021, 14:08 Uhr
Zeile 315:		Zeile 315:
	Höherstufige Modulationsverfahren können jeweils durch eine Inphase– und eine Quadraturkomponente dargestellt werden.  Hierzu gehören zum Beispiel		Höherstufige Modulationsverfahren können jeweils durch eine Inphase– und eine Quadraturkomponente dargestellt werden.  Hierzu gehören zum Beispiel
	*die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen\|M–QAM]]    ⇒   Quadraturamplitudenmodulation;  $M ≥ 4$  quadratisch angeordnete Signalraumpunkte,		*die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen\|M–QAM]]    ⇒   Quadraturamplitudenmodulation;  $M ≥ 4$  quadratisch angeordnete Signalraumpunkte,
	*die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen\|M–PSK]]   ⇒   $M ≥ 4$  Signalraumpunkte in kreisförmiger Anordnung		*die  [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen\|M–PSK]]   ⇒   $M ≥ 4$  Signalraumpunkte in kreisförmiger Anordnung.


	Die beiden Komponenten lassen sich im  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Motivation\|äquivalenten Tiefpassbereich]]  auch als  ''Realteil''  bzw. ''Imaginärteil''  eines komplexen Rauschterms  $N$  beschreiben.		Die beiden Komponenten lassen sich im  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Motivation\|äquivalenten Tiefpassbereich]]  auch als  Realteil  bzw. Imaginärteil  eines komplexen Rauschterms  $N$  beschreiben.
	*Alle oben genannten Verfahren sind zweidimensional.		*Alle oben genannten Verfahren sind zweidimensional.
	*Der (komplexe) AWGN–Kanal stellt somit  $K = 2$  voneinander unabhängige Gaußkanäle zur Verfügung.		*Der (komplexe) AWGN–Kanal stellt somit  $K = 2$  voneinander unabhängige Gaußkanäle zur Verfügung.
	*Entsprechend der Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le\|Parallele Gaußsche Kanäle]]  ergibt sich deshalb für die Kapazität eines solchen Kanals:		*Entsprechend der Seite  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le\|Parallele Gaußsche Kanäle]]  ergibt sich deshalb für die Kapazität eines solchen Kanals:
	[[Datei:P_ID2955__Inf_T_4_3_S7.png\|right\|frame\|2D–WDF des ~~Komplexen~~ Gaußschen Rauschens]]		[[Datei:P_ID2955__Inf_T_4_3_S7.png\|right\|frame\|2D–WDF des komplexen <br>Gaußschen Rauschens]]
	:$$C_{\text{ Gauß, komplex} }= C_{\rm Gesamt} ( K=2)		:$$C_{\text{ Gauß, komplex} }= C_{\rm Gesamt} ( K=2)
	= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_X/2}{\sigma^2})		= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_X/2}{\sigma^2})
Zeile 356:		Zeile 356:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Einheit dieser Kanalkapazität ist „bit/Kanalzugriff” oder „bit/Quellensymbol”.		*Die Einheit dieser Kanalkapazität ist „bit/Kanalzugriff” oder „bit/Quellensymbol”.
	*~~Als~~ Abszisse bezeichnet das Signal–zu–Störleistungsverhältnis  $10 · \lg (SNR)$  mit  ${SNR} = P_X/σ_N^2$.		*Die Abszisse bezeichnet das Signal–zu–Störleistungsverhältnis  $10 · \lg (SNR)$  mit  ${SNR} = P_X/σ_N^2$.
	*Die Grafik wurde  [Göb10]<ref name='Göb10'>Göbel, B.: ''Information–Theoretic Aspects of Fiber–Optic Communication Channels''. Dissertation. TU München. Verlag Dr. Hut, Reihe Informationstechnik, ISBN 978-3-86853-713-0, 2010.</ref>  entnommen.  Wir danken  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)\|Bernhard Göbel]], ~~unserem ehemaligen Kollegen am LÜT,~~ für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.		*Die Grafik wurde  [Göb10]<ref name='Göb10'>Göbel, B.:  Information–Theoretic Aspects of Fiber–Optic Communication Channels. Dissertation. TU München. Verlag Dr. Hut, Reihe Informationstechnik, ISBN 978-3-86853-713-0, 2010.</ref>  entnommen.  Wir danken unserem ehemaligen Kollegen  [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)\|Bernhard Göbel]],  für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.


Zeile 365:		Zeile 365:
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Man erkennt aus dieser Darstellung:		Man erkennt aus dieser Darstellung:
	*~~Die BPSK~~&~~ndash~~;~~Kurve~~ und ~~alle~~  $M$–QAM&~~ndash~~;~~Kurven~~ liegen rechts von der roten Shannon–Grenzkurve.  Bei kleinem  $SNR$  sind ~~allerdings alle~~ Kurven von der roten Kurve fast nicht ~~mehr zu unterscheiden~~.		*Alle Kurven  (BPSK und  $M$–QAM)  liegen rechts von der roten Shannon–Grenzkurve.  Bei kleinem  $SNR$  sind diese Kurven von der roten Kurve fast nicht unterscheidbar.
	*Der Endwert aller Kurven für ~~wertdiskrete Eingangssignale~~ ist  $K = \log_2 (M)$.  Für  $SNR \to ∞$  erhält man ~~beispielsweise~~  $C_{\rm BPSK} = 1 ~~\ \rm~~ bit/~~Symbol$~~  sowie  $C_{\rm 4-QAM} = C_{\rm QPSK} = 2~~\ \rm bit/Symbol~~$.		*Der Endwert aller Kurven für wertdiskreten Eingang ist  $K = \log_2 (M)$.  Für  $SNR \to ∞$  erhält man  $C_{\rm BPSK} = 1$  (bit/Kanalzugriff)  sowie  $C_{\rm 4-QAM} = C_{\rm QPSK} = 2$.
	*Die blauen Markierungen zeigen, dass eine  $\rm 2^{10}–QAM$  mit  $10 · \lg (SNR) ≈ 27 \ \rm dB$  eine Coderate von  $R ≈ 8.2$  ermöglicht.  ~~Der~~ Abstand zur Shannon–Kurve ~~beträgt hier~~  $1.53\ \rm dB$.		*Die blauen Markierungen zeigen, dass eine  $\rm 2^{10}–QAM$  mit  $10 · \lg (SNR) ≈ 27 \ \rm dB$  eine Coderate von  $R ≈ 8.2$  ermöglicht.  Abstand zur Shannon–Kurve:  $1.53\ \rm dB$.
	*Der  ''Shaping Gain''  beträgt  $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.  Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der  $2^{10} = 32^2$  quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt   ⇒  ''Signal Shaping''.		*Der  "Shaping Gain"  beträgt  $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.  Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der  $2^{10} = 32^2$  quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt   ⇒  "Signal Shaping".

← Nächstältere Version		Version vom 27. August 2021, 17:10 Uhr
Zeile 259:		Zeile 259:
	Vorausgesetzt ist:		Vorausgesetzt ist:
	*der AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$ in dB, und		*der AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$ in dB, und
	*für die durch Kreuze markierten realisierten Codes eine  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote\|Bitfehlerrate]]  (BER) von  $10^{–5}$.		*für die durch Kreuze markierten realisierten Codes eine  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote\|Bitfehlerrate]]  $\rm (BER)$  von  $10^{–5}$.


	Zu beachten ist, dass die Kanalkapazitätskurven stets für  $n → ∞$  und  $\rm BER \equiv 0$  gelten.		Zu beachten ist, dass die Kanalkapazitätskurven stets für  $n → ∞$  und  $\rm BER \equiv 0$  gelten.
	*Würde man ~~diese~~ strenge Forderung ~~„feherfrei”~~ auch an die ~~betrachteten~~ Kanalcodes endlicher Codelänge  $n$  anlegen, so wäre hierfür stets  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) \to \infty$ erforderlich.		*Würde man die strenge Forderung „fehlerfrei” auch an die Kanalcodes endlicher Codelänge  $n$  anlegen, so wäre hierfür stets  $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) \to \infty$ erforderlich.
	*Dies ist aber ein eher akademisches Problem, also wenig praxisrelevant.  Für  $\text{BER} = 10^{–10}$  ergäbe sich eine qualitativ ähnliche Grafik.		*Dies ist aber ein eher akademisches Problem, also wenig praxisrelevant.  Für  $\text{BER} = 10^{–10}$  ergäbe sich eine qualitativ ähnliche Grafik.

Zeile 270:		Zeile 270:
	$\text{Beispiel 4:}$		$\text{Beispiel 4:}$
	In der Grafik sind die Kenndaten von frühen Systemen mit Kanalcodierung und klassischer Decodierung angegeben.		In der Grafik sind die Kenndaten von frühen Systemen mit Kanalcodierung und klassischer Decodierung angegeben.
	*Es folgen einige Erläuterungen zu den Daten, die der Vorlesung  [Liv10]<ref name = 'Liv10'>Liva, G.: ''Channel Coding''. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref>  entnommen wurden.		Es folgen einige Erläuterungen zu den Daten, die der Vorlesung  [Liv10]<ref name = 'Liv10'>Liva, G.:  Channel Coding.
	*Die Links bei diesen Erläuterungen beziehen sich oft auf das  $\rm LNTwww$–Buch [[Kanalcodierung]].		Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref>  entnommen wurden.  Die Links bei diesen Erläuterungen beziehen sich oft auf das  $\rm LNTwww$–Buch [[Kanalcodierung]].

	[[Datei:P_ID2949__Inf_T_4_3_S6a.png\|right\|frame\|Raten und erforderliches  $E_{\rm B}/{N_0}$  verschiedener Kanalcodes]]		[[Datei:P_ID2949__Inf_T_4_3_S6a.png\|right\|frame\|Raten und erforderliches  $E_{\rm B}/{N_0}$  verschiedener Kanalcodes]]

	*Die Punkte  $\rm A$,  $\rm B$  und  $\rm C$  markieren  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.281.29\|Hamming–Codes]]  der Raten  $R = 4/7 ≈ 0.57$,  $R ≈ 0.73$  bzw.  $R ≈ 0.84$.  Für $\text{BER} = 10^{–5}$  benötigen diese sehr frühen Codes (aus dem Jahr 1950) alle  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm dB$.		*Die Punkte  $\rm A$,  $\rm B$  und  $\rm C$  markieren  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.281.29\|Hamming–Codes]]  der Raten  $R = 4/7 ≈ 0.57$,  $R ≈ 0.73$  bzw.  $R ≈ 0.84$.  Für $\text{BER} = 10^{–5}$  benötigen diese sehr frühen Codes  (aus dem Jahr 1950)  alle  $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm dB$.
	*Die Markierung  $\rm D$  kennzeichnet den binären  [https://de.wikipedia.org/wiki/Golay-Code Golay–Code]  mit der Rate  $R = 1/2$  und der Punkt  $\rm E$  einen  [https://de.wikipedia.org/wiki/Reed-Muller-Code Reed–Muller–Code].  Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Mariner Raumsonde Mariner 9]  zum Einsatz.		*Die Markierung  $\rm D$  kennzeichnet den binären  [https://de.wikipedia.org/wiki/Golay-Code Golay–Code]  mit der Rate  $R = 1/2$  und der Punkt  $\rm E$  einen  [https://de.wikipedia.org/wiki/Reed-Muller-Code Reed–Muller–Code].  Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Mariner Raumsonde Mariner 9]  zum Einsatz.
	*Die  [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29\|Reed–Solomon–Codes]]  (RS–Codes, ca. 1960)  sind eine Klasse zyklischer Blockcodes.  $\rm F$ markiert einen RS–Code der Rate  $223/255 \approx 0.875$  und einem erforderlichen  $E_{\rm B}/N_0 < 6 \ \rm dB$.		*Die  [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29\|Reed–Solomon–Codes]]  (RS–Codes, ca. 1960)  sind eine Klasse zyklischer Blockcodes.  $\rm F$ markiert einen RS–Code der Rate  $223/255 \approx 0.875$  und einem erforderlichen  $E_{\rm B}/N_0 < 6 \ \rm dB$.
	*$\rm G$  und  $\rm H$  bezeichnen zwei  [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung\|Faltungscodes]]  $($englisch:  ''Convolutional Codes'',  $\rm CC)$  mittlerer Rate.  Der Code  $\rm G$  wurde schon 1972 bei der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Pioneer_10 Pioneer 10–Mission]  eingesetzt.		*$\rm G$  und  $\rm H$  bezeichnen zwei  [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung\|Faltungscodes]]  $($englisch:  "Convolutional Codes",  $\rm CC)$  mittlerer Rate.  Der Code  $\rm G$  wurde schon 1972 bei der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Pioneer_10 Pioneer 10–Mission]  eingesetzt.
	*Die Kanalcodierung der  [https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/ Voyager–Mission]  Ende der 1970er Jahre ist mit  $\rm I$  markiert. Es handelt sich um die  [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Grundstruktur_von_verketteten_Codiersystemen\|Verkettung]]  eines  $\text{(2, 1, 7)}$–Faltungscodes mit einem Reed–Solomon–Code.		*Die Kanalcodierung der  [https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/ Voyager–Mission]  Ende der 1970er Jahre ist mit  $\rm I$  markiert. Es handelt sich um die  [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Grundstruktur_von_verketteten_Codiersystemen\|Verkettung]]  eines  $\text{(2, 1, 7)}$–Faltungscodes mit einem Reed–Solomon–Code.

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	Hier noch einige Erläuterungen zu dieser Grafik:		Hier noch einige Erläuterungen zu dieser Grafik:
	*Rote Kreuze markieren die so genannten  [https://de.wikipedia.org/wiki/Turbo-Code Turbo–Codes]  nach  $\rm CCSDS$  (''Consultative Committee for Space Data Systems'')  mit jeweils  $k = 6920$  Informationsbit und unterschiedlichen Codelängen  $n = k/R$.  Diese von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Berrou Claude Berrou]  um 1990 erfundenen Codes können iterativ decodiert werden.  Die (roten) Markierungen liegen jeweils weniger als  $1 \ \rm dB$  von der Shannon–Grenze entfernt.		*Rote Kreuze markieren die so genannten  [https://de.wikipedia.org/wiki/Turbo-Code Turbo–Codes]  nach  $\rm CCSDS$  ("Consultative Committee for Space Data Systems")  mit jeweils  $k = 6920$  Informationsbit und unterschiedlichen Codelängen  $n = k/R$.  Diese von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Berrou Claude Berrou]  um 1990 erfundenen Codes können iterativ decodiert werden.  Die (roten) Markierungen liegen jeweils weniger als  $1 \ \rm dB$  von der Shannon–Grenze entfernt.
	*Ähnlich verhalten sich die  [https://en.wikipedia.org/wiki/Low-density_parity-check_code LDPC–Codes]  (''Low Density Parity–check Codes'')  mit konstanter Codelänge  $n = 64800$   ⇒   weiße Rechtecke).  Sie werden seit 2006 bei  [https://de.wikipedia.org/wiki/DVB-S DVB–S2]  (''Digital Video Broadcast over Satellite'')  eingesetzt und eignen sich aufgrund der spärlichen Einsen–Belegung der Prüfmatrix sehr gut für die iterative Decodierung mittels  [https://en.wikipedia.org/wiki/Factor_graph Faktor–Graphen]  und  [https://en.wikipedia.org/wiki/EXIT_chart Exit Charts].		*Ähnlich verhalten sich die  [https://en.wikipedia.org/wiki/Low-density_parity-check_code LDPC–Codes]  ("Low Density Parity–check Codes")  mit konstanter Codelänge  $n = 64800$   ⇒   weiße Rechtecke.  Sie werden seit 2006 bei  [https://de.wikipedia.org/wiki/DVB-S DVB–S2]  ("Digital Video Broadcast over Satellite")  eingesetzt und eignen sich aufgrund der spärlichen Einsen–Belegung der Prüfmatrix sehr gut für die iterative Decodierung mittels  [https://en.wikipedia.org/wiki/Factor_graph Faktor–Graphen]  und  [https://en.wikipedia.org/wiki/EXIT_chart Exit Charts].
	*Schwarze Punkte markieren die von  $\rm CCSDS$  spezifizierten  [https://de.wikipedia.org/wiki/Low-Density-Parity-Check-Code LDPC–Codes]  mit konstanter Anzahl an Informationsbits  $(k = 16384)$  und variabler Wortlänge  $n = k/R$.  Diese Codeklasse erfordert ein ähnliches  $E_{\rm B}/N_0$  wie die roten Kreuze und die weißen Rechtecke.		*Schwarze Punkte markieren die von  $\rm CCSDS$  spezifizierten  [https://de.wikipedia.org/wiki/Low-Density-Parity-Check-Code LDPC–Codes]  mit konstanter Anzahl an Informationsbits  $(k = 16384)$  und variabler Wortlänge  $n = k/R$.  Diese Codeklasse erfordert ein ähnliches  $E_{\rm B}/N_0$  wie die roten Kreuze und die weißen Rechtecke.