Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang - Versionsgeschichte

Guenter am 28. August 2021 um 12:24 Uhr

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 *Um das Jahr 2000 hatten viele Forscher den Ehrgeiz, sich der Shannon–Grenze bis auf Bruchteile von einem&nbsp; $\rm dB$&nbsp; anzunähern.&nbsp; Das gelbe Kreuz markiert ein solches Ergebnis&nbsp; $(0.0045 \ \rm dB)$&nbsp; von&nbsp; [CFRU01]<ref name='CFRU01'>
-Chung S.Y; Forney Jr., G.D.; Richardson, T.J.; Urbanke, R.: On the Design of Low-Density Parity- Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit. – In: IEEE Communications Letters, vol. 5, no. 2 (2001), pp. 58–60.</ref>&nbsp; mit einem irregulären LDPC–Code der Rate&nbsp; $ R =1/2$&nbsp; und der Länge&nbsp; $n = 10^7$.}}
+Chung S.Y; Forney Jr., G.D.; Richardson, T.J.; Urbanke, R.: On the Design of Low-Density Parity- Check Codes within 0.0045 dB of the Shannon Limit. – <br>In: IEEE Communications Letters, vol. 5, no. 2 (2001), pp. 58–60.</ref>&nbsp; mit einem irregulären LDPC–Code der Rate&nbsp; $ R =1/2$&nbsp; und der Länge&nbsp; $n = 10^7$.}}
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 *Die Einheit dieser Kanalkapazität ist „bit/Kanalzugriff” oder „bit/Quellensymbol”.
 *Die Abszisse bezeichnet das Signal–zu–Störleistungsverhältnis&nbsp; $10 · \lg (SNR)$&nbsp; mit&nbsp; ${SNR} = P_X/σ_N^2$.
-*Die Grafik wurde&nbsp; [Göb10]<ref name='Göb10'>Göbel, B.:&nbsp; Information–Theoretic Aspects of Fiber–Optic Communication Channels. Dissertation. TU München. Verlag Dr. Hut, Reihe Informationstechnik, ISBN 978-3-86853-713-0, 2010.</ref>&nbsp; entnommen.&nbsp; Wir danken unserem ehemaligen Kollegen&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)|Bernhard Göbel]],&nbsp; für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.
+*Die Grafik wurde&nbsp; [Göb10]<ref name='Göb10'>Göbel, B.:&nbsp; Information–Theoretic Aspects of Fiber–Optic Communication Channels. Dissertation. TU München. <br>Verlag Dr. Hut, Reihe Informationstechnik, ISBN 978-3-86853-713-0, 2010.</ref>&nbsp; entnommen.&nbsp; Wir danken unserem ehemaligen Kollegen&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)|Bernhard Göbel]],&nbsp; für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.

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 *Der Endwert aller Kurven für wertdiskreten Eingang ist&nbsp; $K = \log_2 (M)$.&nbsp; Für&nbsp; $SNR  \to ∞$&nbsp; erhält man&nbsp; $C_{\rm BPSK} = 1$&nbsp; (bit/Kanalzugriff) &nbsp;sowie&nbsp; $C_{\rm 4-QAM} = C_{\rm QPSK} = 2$.
 *Die blauen Markierungen zeigen, dass eine&nbsp; $\rm 2^{10}–QAM$&nbsp; mit &nbsp;$10 · \lg (SNR) ≈ 27 \ \rm dB$&nbsp; eine Coderate von &nbsp;$R ≈ 8.2$&nbsp; ermöglicht.&nbsp; Abstand zur Shannon–Kurve: &nbsp;$1.53\ \rm dB$.
-*Der&nbsp; "Shaping Gain"&nbsp; beträgt&nbsp; $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.&nbsp; Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der&nbsp; $2^{10} = 32^2$&nbsp; quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt &nbsp; ⇒  &nbsp;"Signal Shaping".
+*Der&nbsp; "Shaping Gain"&nbsp; beträgt demnach&nbsp; $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.&nbsp; Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der&nbsp; $2^{10} = 32^2$&nbsp; quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt &nbsp; ⇒  &nbsp;"Signal Shaping".

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 Höherstufige Modulationsverfahren können jeweils durch eine Inphase– und eine Quadraturkomponente dargestellt werden.&nbsp; Hierzu gehören zum Beispiel
 *die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#QAM.E2.80.93Signalraumkonstellationen|M–QAM]]&nbsp; &nbsp; ⇒  &nbsp; Quadraturamplitudenmodulation;&nbsp; $M ≥ 4$&nbsp; quadratisch angeordnete Signalraumpunkte,
-*die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|M–PSK]]  &nbsp; ⇒  &nbsp;   $M ≥ 4$&nbsp; Signalraumpunkte in kreisförmiger Anordnung
+*die&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Weitere_Signalraumkonstellationen|M–PSK]]  &nbsp; ⇒  &nbsp;   $M ≥ 4$&nbsp; Signalraumpunkte in kreisförmiger Anordnung.
-Die beiden Komponenten lassen sich im&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Motivation|äquivalenten Tiefpassbereich]]&nbsp; auch als&nbsp; ''Realteil'' &nbsp;bzw. ''Imaginärteil'' &nbsp;eines komplexen Rauschterms&nbsp; $N$&nbsp; beschreiben.
+Die beiden Komponenten lassen sich im&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Motivation|äquivalenten Tiefpassbereich]]&nbsp; auch als&nbsp; Realteil &nbsp;bzw. Imaginärteil &nbsp;eines komplexen Rauschterms&nbsp; $N$&nbsp; beschreiben.
 *Alle oben genannten Verfahren sind zweidimensional.
 *Der (komplexe) AWGN–Kanal stellt somit &nbsp;$K = 2$&nbsp; voneinander unabhängige Gaußkanäle zur Verfügung.
 *Entsprechend der Seite&nbsp;  [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Parallele_Gau.C3.9Fsche_Kan.C3.A4le|Parallele  Gaußsche Kanäle]]&nbsp; ergibt sich deshalb für die Kapazität eines solchen Kanals:
-[[Datei:P_ID2955__Inf_T_4_3_S7.png|right|frame|2D–WDF des Komplexen Gaußschen Rauschens]]
+[[Datei:P_ID2955__Inf_T_4_3_S7.png|right|frame|2D–WDF des komplexen <br>Gaußschen Rauschens]]
 :$$C_{\text{ Gauß, komplex} }= C_{\rm Gesamt} ( K=2)
 =  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac{P_X/2}{\sigma^2})
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 \hspace{0.05cm}.$$
 *Die Einheit dieser Kanalkapazität ist „bit/Kanalzugriff” oder „bit/Quellensymbol”.
-*Als Abszisse bezeichnet das Signal–zu–Störleistungsverhältnis&nbsp; $10 · \lg (SNR)$&nbsp; mit&nbsp; ${SNR} = P_X/σ_N^2$.
+*Die Abszisse bezeichnet das Signal–zu–Störleistungsverhältnis&nbsp; $10 · \lg (SNR)$&nbsp; mit&nbsp; ${SNR} = P_X/σ_N^2$.
-*Die Grafik wurde&nbsp; [Göb10]<ref name='Göb10'>Göbel, B.: ''Information–Theoretic Aspects of Fiber–Optic Communication Channels''. Dissertation. TU München. Verlag Dr. Hut, Reihe Informationstechnik, ISBN 978-3-86853-713-0, 2010.</ref>&nbsp; entnommen.&nbsp; Wir danken&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)|Bernhard Göbel]], unserem ehemaligen Kollegen am LÜT, für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.
+*Die Grafik wurde&nbsp; [Göb10]<ref name='Göb10'>Göbel, B.:&nbsp; Information–Theoretic Aspects of Fiber–Optic Communication Channels. Dissertation. TU München. Verlag Dr. Hut, Reihe Informationstechnik, ISBN 978-3-86853-713-0, 2010.</ref>&nbsp; entnommen.&nbsp; Wir danken unserem ehemaligen Kollegen&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_Übertragungstechnik#Dr.-Ing._Bernhard_Göbel_(bei_LÜT_von_2004-2010)|Bernhard Göbel]],&nbsp; für sein Einverständnis, diese Abbildung verwenden zu dürfen, sowie für die große Unterstützung unseres Lerntutorials während seiner gesamten aktiven Zeit.
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 <br clear=all>
 Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Die BPSK&ndash;Kurve und alle&nbsp; $M$–QAM&ndash;Kurven liegen rechts von der roten Shannon–Grenzkurve.&nbsp; Bei kleinem&nbsp; $SNR$&nbsp; sind allerdings alle Kurven von der roten Kurve fast nicht mehr zu unterscheiden.
+*Alle Kurven&nbsp; (BPSK und&nbsp; $M$–QAM)&nbsp; liegen rechts von der roten Shannon–Grenzkurve.&nbsp; Bei kleinem&nbsp; $SNR$&nbsp; sind diese Kurven von der roten Kurve fast nicht unterscheidbar.
-*Der Endwert aller Kurven für wertdiskrete Eingangssignale ist&nbsp; $K = \log_2 (M)$.&nbsp; Für&nbsp; $SNR  \to ∞$&nbsp; erhält man beispielsweise&nbsp; $C_{\rm BPSK} = 1 \ \rm bit/Symbol$ &nbsp;sowie&nbsp; $C_{\rm 4-QAM} = C_{\rm QPSK} = 2\ \rm bit/Symbol$.
+*Der Endwert aller Kurven für wertdiskreten Eingang ist&nbsp; $K = \log_2 (M)$.&nbsp; Für&nbsp; $SNR  \to ∞$&nbsp; erhält man&nbsp; $C_{\rm BPSK} = 1$&nbsp; (bit/Kanalzugriff) &nbsp;sowie&nbsp; $C_{\rm 4-QAM} = C_{\rm QPSK} = 2$.
-*Die blauen Markierungen zeigen, dass eine&nbsp; $\rm 2^{10}–QAM$&nbsp; mit &nbsp;$10 · \lg (SNR) ≈ 27 \ \rm dB$&nbsp; eine Coderate von &nbsp;$R ≈ 8.2$&nbsp; ermöglicht.&nbsp; Der Abstand zur Shannon–Kurve beträgt hier &nbsp;$1.53\ \rm dB$.
+*Die blauen Markierungen zeigen, dass eine&nbsp; $\rm 2^{10}–QAM$&nbsp; mit &nbsp;$10 · \lg (SNR) ≈ 27 \ \rm dB$&nbsp; eine Coderate von &nbsp;$R ≈ 8.2$&nbsp; ermöglicht.&nbsp; Abstand zur Shannon–Kurve: &nbsp;$1.53\ \rm dB$.
-*Der&nbsp; ''Shaping Gain''&nbsp; beträgt&nbsp; $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.&nbsp; Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der&nbsp; $2^{10} = 32^2$&nbsp; quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt &nbsp; ⇒  &nbsp;''Signal Shaping''.
+*Der&nbsp; "Shaping Gain"&nbsp; beträgt&nbsp; $10 · \lg (π \cdot {\rm e}/6) = 1.53 \ \rm dB$.&nbsp; Diese Verbesserung lässt sich erzielen, wenn man die Lage der&nbsp; $2^{10} = 32^2$&nbsp; quadratisch angeordneten Signalraumpunkte so ändert, dass sich eine gaußähnliche Eingangs–WDF ergibt &nbsp; ⇒  &nbsp;"Signal Shaping".

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 [[Datei:P_ID2949__Inf_T_4_3_S6a.png|right|frame|Raten und erforderliches &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; verschiedener Kanalcodes]]
-*Die Punkte&nbsp; $\rm A$,&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$&nbsp; markieren&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.281.29|Hamming–Codes]]&nbsp; der Raten&nbsp; $R = 4/7 ≈ 0.57$,&nbsp; $R ≈ 0.73$&nbsp; bzw.&nbsp; $R ≈ 0.84$.&nbsp; Für $\text{BER} = 10^{–5}$&nbsp; benötigen diese sehr frühen Codes&nbsp; (aus dem Jahr 1950)&nbsp; alle&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm  dB$.
+*Die Punkte&nbsp; $\rm A$,&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$&nbsp; markieren&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes|Hamming–Codes]]&nbsp; der Raten&nbsp; $R = 4/7 ≈ 0.57$,&nbsp; $R ≈ 0.73$&nbsp; bzw.&nbsp; $R ≈ 0.84$.&nbsp; Für $\text{BER} = 10^{–5}$&nbsp; benötigen diese sehr frühen Codes&nbsp; (aus dem Jahr 1950)&nbsp; alle&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm  dB$.
 *Die Markierung&nbsp; $\rm D$&nbsp; kennzeichnet den binären&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Golay-Code Golay–Code]&nbsp; mit der Rate&nbsp; $R = 1/2$&nbsp; und der Punkt&nbsp; $\rm E$&nbsp; einen&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Reed-Muller-Code Reed–Muller–Code].&nbsp; Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Mariner Raumsonde Mariner 9]&nbsp; zum Einsatz.
 *Die&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29|Reed–Solomon–Codes]]&nbsp; (RS–Codes, ca. 1960)&nbsp; sind eine Klasse zyklischer Blockcodes.&nbsp; $\rm F$ markiert einen RS–Code der Rate&nbsp; $223/255 \approx 0.875$&nbsp; und einem erforderlichen&nbsp; $E_{\rm B}/N_0 < 6 \ \rm  dB$.

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 <u>Hinweise</u>:
 *In obiger Grafik ist als zweite, zusätzliche Abszissenachse&nbsp; $10 · \lg (SNR)$&nbsp; eingezeichnet.&nbsp; "SNR"&nbsp; steht hierbei für&nbsp; "Signal-to-Noise Ratio".
-*Die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; bezeichnet man als die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]].
+*Die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; bezeichnet man als das&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]].

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 Vorausgesetzt ist:
 *der AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$ in dB, und
-*für die durch Kreuze markierten realisierten Codes eine&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|Bitfehlerrate]]&nbsp; (BER) von&nbsp; $10^{–5}$.
+*für die durch Kreuze markierten realisierten Codes eine&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|Bitfehlerrate]]&nbsp; $\rm (BER)$&nbsp; von&nbsp; $10^{–5}$.
 Zu beachten ist, dass die Kanalkapazitätskurven stets für &nbsp;$n → ∞$&nbsp; und &nbsp;$\rm BER \equiv 0$&nbsp; gelten.
-*Würde man diese strenge Forderung „feherfrei” auch an die betrachteten Kanalcodes endlicher Codelänge &nbsp;$n$&nbsp; anlegen, so wäre hierfür stets &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) \to \infty$  erforderlich.
+*Würde man die strenge Forderung „fehlerfrei” auch an die Kanalcodes endlicher Codelänge &nbsp;$n$&nbsp; anlegen, so wäre hierfür stets &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) \to \infty$  erforderlich.
 *Dies ist aber ein eher akademisches Problem, also wenig praxisrelevant.&nbsp; Für &nbsp;$\text{BER} = 10^{–10}$&nbsp; ergäbe sich eine qualitativ ähnliche Grafik.
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 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp;
 In der Grafik sind die Kenndaten von frühen Systemen mit  Kanalcodierung und klassischer Decodierung angegeben.
-*Es folgen einige Erläuterungen zu den Daten, die der Vorlesung&nbsp; [Liv10]<ref name = 'Liv10'>Liva, G.: ''Channel Coding''. Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref>&nbsp; entnommen wurden.
+Es folgen einige Erläuterungen zu den Daten, die der Vorlesung&nbsp; [Liv10]<ref name = 'Liv10'>Liva, G.:&nbsp; Channel Coding.
-*Die Links bei diesen Erläuterungen beziehen sich oft auf das&nbsp; $\rm LNTwww$&ndash;Buch [[Kanalcodierung]].
+ Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.</ref>&nbsp; entnommen wurden.&nbsp; Die Links bei diesen Erläuterungen beziehen sich oft auf das&nbsp; $\rm LNTwww$&ndash;Buch [[Kanalcodierung]].
 [[Datei:P_ID2949__Inf_T_4_3_S6a.png|right|frame|Raten und erforderliches &nbsp;$E_{\rm B}/{N_0}$&nbsp; verschiedener Kanalcodes]]
-*Die Punkte&nbsp; $\rm A$,&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$&nbsp; markieren&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.281.29|Hamming–Codes]]&nbsp; der Raten&nbsp; $R = 4/7 ≈ 0.57$,&nbsp; $R ≈ 0.73$&nbsp; bzw.&nbsp; $R ≈ 0.84$.&nbsp; Für $\text{BER} = 10^{–5}$&nbsp; benötigen diese sehr frühen Codes (aus dem Jahr 1950) alle&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm  dB$.
+*Die Punkte&nbsp; $\rm A$,&nbsp; $\rm B$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$&nbsp; markieren&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Hamming.E2.80.93Codes_.281.29|Hamming–Codes]]&nbsp; der Raten&nbsp; $R = 4/7 ≈ 0.57$,&nbsp; $R ≈ 0.73$&nbsp; bzw.&nbsp; $R ≈ 0.84$.&nbsp; Für $\text{BER} = 10^{–5}$&nbsp; benötigen diese sehr frühen Codes&nbsp; (aus dem Jahr 1950)&nbsp; alle&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) > 8\ \rm  dB$.
 *Die Markierung&nbsp; $\rm D$&nbsp; kennzeichnet den binären&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Golay-Code Golay–Code]&nbsp; mit der Rate&nbsp; $R = 1/2$&nbsp; und der Punkt&nbsp; $\rm E$&nbsp; einen&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Reed-Muller-Code Reed–Muller–Code].&nbsp; Dieser sehr niederratige Code kam bereits 1971 bei der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Mariner Raumsonde Mariner 9]&nbsp; zum Einsatz.
 *Die&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed–Solomon–Codes#Konstruktion_von_Reed.E2.80.93Solomon.E2.80.93Codes_.281.29|Reed–Solomon–Codes]]&nbsp; (RS–Codes, ca. 1960)&nbsp; sind eine Klasse zyklischer Blockcodes.&nbsp; $\rm F$ markiert einen RS–Code der Rate&nbsp; $223/255 \approx 0.875$&nbsp; und einem erforderlichen&nbsp; $E_{\rm B}/N_0 < 6 \ \rm  dB$.
-*$\rm G$&nbsp; und&nbsp; $\rm H$&nbsp; bezeichnen zwei&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung|Faltungscodes]] &nbsp;$($englisch:&nbsp; ''Convolutional Codes'',&nbsp; $\rm CC)$&nbsp; mittlerer Rate.&nbsp; Der Code&nbsp; $\rm G$&nbsp; wurde schon 1972 bei der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pioneer_10 Pioneer 10–Mission]&nbsp; eingesetzt.
+*$\rm G$&nbsp; und&nbsp; $\rm H$&nbsp; bezeichnen zwei&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung|Faltungscodes]] &nbsp;$($englisch:&nbsp; "Convolutional Codes",&nbsp; $\rm CC)$&nbsp; mittlerer Rate.&nbsp; Der Code&nbsp; $\rm G$&nbsp; wurde schon 1972 bei der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pioneer_10 Pioneer 10–Mission]&nbsp; eingesetzt.
 *Die Kanalcodierung der&nbsp; [https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/ Voyager–Mission]&nbsp; Ende der 1970er Jahre ist mit &nbsp;$\rm I$&nbsp; markiert. Es handelt sich um die&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Grundstruktur_von_verketteten_Codiersystemen|Verkettung]]&nbsp; eines&nbsp; $\text{(2, 1, 7)}$–Faltungscodes mit einem Reed–Solomon–Code.
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 <br clear=all>
 Hier noch einige Erläuterungen zu dieser Grafik:
-*Rote Kreuze markieren die so genannten&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Turbo-Code Turbo–Codes]&nbsp; nach&nbsp; $\rm CCSDS$&nbsp; (''Consultative Committee for Space Data Systems'')&nbsp; mit jeweils&nbsp; $k = 6920$&nbsp; Informationsbit und unterschiedlichen Codelängen&nbsp; $n = k/R$.&nbsp; Diese von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Berrou Claude Berrou]&nbsp; um 1990 erfundenen Codes können iterativ decodiert werden.&nbsp; Die (roten) Markierungen liegen jeweils weniger als&nbsp; $1 \ \rm dB$&nbsp; von der Shannon–Grenze entfernt.
+*Rote Kreuze markieren die so genannten&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Turbo-Code Turbo–Codes]&nbsp; nach&nbsp; $\rm CCSDS$&nbsp; ("Consultative Committee for Space Data Systems")&nbsp; mit jeweils&nbsp; $k = 6920$&nbsp; Informationsbit und unterschiedlichen Codelängen&nbsp; $n = k/R$.&nbsp; Diese von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Claude_Berrou Claude Berrou]&nbsp; um 1990 erfundenen Codes können iterativ decodiert werden.&nbsp; Die (roten) Markierungen liegen jeweils weniger als&nbsp; $1 \ \rm dB$&nbsp; von der Shannon–Grenze entfernt.
-*Ähnlich verhalten sich die&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Low-density_parity-check_code LDPC–Codes]&nbsp; (''Low Density Parity–check Codes'')&nbsp; mit konstanter Codelänge&nbsp; $n = 64800$ &nbsp;  ⇒ &nbsp; weiße Rechtecke).&nbsp; Sie werden seit 2006 bei&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/DVB-S DVB–S2]&nbsp; (''Digital Video Broadcast over Satellite'')&nbsp; eingesetzt und eignen sich aufgrund der spärlichen Einsen–Belegung der Prüfmatrix sehr gut für die iterative Decodierung mittels&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Factor_graph Faktor–Graphen]&nbsp; und&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/EXIT_chart Exit Charts].
+*Ähnlich verhalten sich die&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Low-density_parity-check_code LDPC–Codes]&nbsp; ("Low Density Parity–check Codes")&nbsp; mit konstanter Codelänge&nbsp; $n = 64800$ &nbsp;  ⇒ &nbsp; weiße Rechtecke.&nbsp; Sie werden seit 2006 bei&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/DVB-S DVB–S2]&nbsp; ("Digital Video Broadcast over Satellite")&nbsp; eingesetzt und eignen sich aufgrund der spärlichen Einsen–Belegung der Prüfmatrix sehr gut für die iterative Decodierung mittels&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Factor_graph Faktor–Graphen]&nbsp; und&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/EXIT_chart Exit Charts].
 *Schwarze Punkte markieren die von&nbsp; $\rm CCSDS$&nbsp; spezifizierten&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Low-Density-Parity-Check-Code LDPC–Codes]&nbsp; mit konstanter Anzahl an Informationsbits&nbsp; $(k = 16384)$&nbsp; und variabler Wortlänge&nbsp; $n = k/R$.&nbsp; Diese Codeklasse erfordert ein ähnliches&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&nbsp; wie die roten Kreuze und die weißen Rechtecke.

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 Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Blockschaltbild für &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; $\rm (BPSK)$&nbsp; mit binärem Eingang&nbsp; $U$&nbsp; und binärem Ausgang&nbsp; $V$.&nbsp;
-Durch die bestmögliche Codierung soll erreicht werden, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$\text{Pr}(V ≠ U)$&nbsp; verschwindend klein wird.
+Durch die bestmögliche Codierung soll erreicht werden, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$\text{Pr}(V ≠ U)$&nbsp; verschwindend klein wird.
 <br clear=all>
 *Der Coderausgang ist gekennzeichnet durch die binäre Zufallsgröße&nbsp; $X \hspace{0.03cm}' = \{0, 1\}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $M_{X'} = 2$, während der Ausgang&nbsp; $Y$&nbsp; des AWGN–Kanals weiterhin wertkontinuierlich ist: &nbsp; $M_Y → ∞$.
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 zum Optimum führen werden.&nbsp; Gemäß der Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Transinformationsberechnung_bei_additiver_St.C3.B6rung|Transinformationsberechnung bei additiver Störung]]&nbsp; gibt es mehrere Berechnungsmöglichkeiten:
-[[Datei:P_ID2946__Inf_T_4_3_S5c_neu.png|right|frame|Die Kanalkapazitätsgrenzen&nbsp; $C_{\rm BPSK}$&nbsp;  und&nbsp; $C_{\rm Gauß}$&nbsp;   im Vergleich]]
 :$$ \begin{align*}C_{\rm BPSK} & =    h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm},\\
 C_{\rm BPSK} & =   h(Y) - h(Y|X)\hspace{0.05cm},\\
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 Alle Ergebnisse sind noch um die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” zu ergänzen.&nbsp;
+[[Datei:P_ID2946__Inf_T_4_3_S5c_neu.png|right|frame|Die Kanalkapazitätsgrenzen&nbsp; $C_{\rm BPSK}$&nbsp;  und&nbsp; $C_{\rm Gauß}$&nbsp;   im Vergleich]]
 Wir wählen hier die mittlere Gleichung:

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 ==AWGN–Kanalkapazität für binäre Eingangssignale ==
 <br>
-Auf den bisherigen Seiten dieses Kapitels wurde stets gemäß der Shannon–Theorie von einem gaußverteilten, also wertkontinuierlichen AWGN–Eingang&nbsp; $X$&nbsp; ausgegangen.&nbsp; Nun betrachten wir den binären Fall und werden somit erst jetzt der Kapitel&ndash;Überschrift „AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang” gerecht.
+[[Datei:P_ID2941__Inf_T_4_3_S5a_neu.png|right|frame|Zur Berechnung der AWGN–Kanalkapazität für BPSK]]
-[[Datei:P_ID2941__Inf_T_4_3_S5a_neu.png|center|frame|Zur Berechnung der AWGN–Kanalkapazität für BPSK]]
+Auf den bisherigen Seiten dieses Kapitels wurde stets gemäß der Shannon–Theorie von einem gaußverteilten, also wertkontinuierlichen AWGN–Eingang&nbsp; $X$&nbsp; ausgegangen.&nbsp;
-Die Grafik zeigt das zugrundeliegende Blockschaltbild für &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Binary Phase Shift Keying]]&nbsp; (BPSK) mit binärem Eingang&nbsp; $U$&nbsp; und binärem Ausgang&nbsp; $V$.&nbsp; Durch die bestmögliche Codierung soll erreicht werden, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$\text{Pr}(V ≠ U)$&nbsp; verschwindend klein wird.
+Nun betrachten wir den binären Fall und werden somit erst jetzt der Kapitel&ndash;Überschrift „AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang” gerecht.
 *Der Coderausgang ist gekennzeichnet durch die binäre Zufallsgröße&nbsp; $X \hspace{0.03cm}' = \{0, 1\}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $M_{X'} = 2$, während der Ausgang&nbsp; $Y$&nbsp; des AWGN–Kanals weiterhin wertkontinuierlich ist: &nbsp; $M_Y → ∞$.
 *Durch das Mapping&nbsp; $X = 1 - 2X\hspace{0.03cm} '$&nbsp; kommt man von der unipolaren Darstellung zu der für BPSK besser geeigneten bipolaren (antipodalen) Beschreibung: &nbsp; $X\hspace{0.03cm} ' = 0 → \ X = +1; \hspace{0.5cm} X\hspace{0.03cm} ' = 1 → X = -1$.
-[[Datei:P_ID2942__Inf_T_4_3_S5b_neu.png|right|frame|Bedingte WDF für <br>$-1$ (rot) und $+1$ (blau) ]]
+[[Datei:P_ID2942__Inf_T_4_3_S5b_neu.png|right|frame|Bedingte WDF für &nbsp;$X=-1$&nbsp; (rot)&nbsp; und&nbsp; $X=+1$&nbsp; (blau) ]]
 *Der AWGN–Kanal wird durch zwei bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen charakterisiert:
-:$$f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}=+1) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot {\rm exp}\left [-\frac{(y -  1)^2}   { 2 \sigma^2})\right ] \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\text{Kurzform:} \ \ f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}+1)\hspace{0.05cm},$$
+:$$f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}=+1) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot {\rm e}^{-{(y -  1)^2}/(2 \sigma^2)} \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\text{Kurzform:} \ \ f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}+1)\hspace{0.05cm},$$
-:$$f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}=-1) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot {\rm exp}\left [-\frac{(y +  1)^2}   { 2 \sigma^2})\right ] \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\text{Kurzform:} \ \ f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}-1)\hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}=-1) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \cdot {\rm e}^{-{(y +  1)^2}/(2 \sigma^2)} \hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\text{Kurzform:} \ \ f_{Y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.03cm}-1)\hspace{0.05cm}.$$
-*Da hier das Nutzsignal &nbsp;$X$&nbsp; auf &nbsp;$±1$&nbsp; normiert ist &nbsp; ⇒ &nbsp; Leistung&nbsp; $1$&nbsp; anstelle von &nbsp;$P_X$, muss die Varianz des AWGN–Rauschens&nbsp; $N$&nbsp; in gleicher Weise normiert werden: &nbsp;  $σ^2 = P_N/P_X$.
+*Da hier das Nutzsignal &nbsp;$X$&nbsp; auf &nbsp;$±1$&nbsp; normiert ist &nbsp; ⇒ &nbsp; Leistung&nbsp; $1$&nbsp; anstelle von &nbsp;$P_X$,&nbsp; muss die Varianz des AWGN–Rauschens&nbsp; $N$&nbsp; in gleicher Weise normiert werden: &nbsp;  $σ^2 = P_N/P_X$.
 *Der Empfänger trifft aus der reellwertigen Zufallsgröße &nbsp;$Y$&nbsp; (am AWGN–Kanalausgang) eine&nbsp; [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#ML.E2.80.93Entscheidung_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Entscheidung]].&nbsp; Der Empfängerausgang &nbsp;$V$&nbsp; ist binär&nbsp; $(0$ &nbsp;oder&nbsp; $1)$.
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 zum Optimum führen werden.&nbsp; Gemäß der Seite&nbsp; [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertkontinuierlichem_Eingang#Transinformationsberechnung_bei_additiver_St.C3.B6rung|Transinformationsberechnung bei additiver Störung]]&nbsp; gibt es mehrere Berechnungsmöglichkeiten:
+[[Datei:P_ID2946__Inf_T_4_3_S5c_neu.png|right|frame|Die Kanalkapazitätsgrenzen&nbsp; $C_{\rm BPSK}$&nbsp;  und&nbsp; $C_{\rm Gauß}$&nbsp;   im Vergleich]]
 :$$ \begin{align*}C_{\rm BPSK} & =    h(X) + h(Y) - h(XY)\hspace{0.05cm},\\
 C_{\rm BPSK} & =   h(Y) - h(Y|X)\hspace{0.05cm},\\
 C_{\rm BPSK} & = h(X) - h(X|Y)\hspace{0.05cm}. \end{align*}$$
-Alle Ergebnisse sind noch um die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” zu ergänzen.&nbsp; Wir wählen hier die mittlere Gleichung:
+Alle Ergebnisse sind noch um die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” zu ergänzen.&nbsp;
 *Die hierfür benötigte bedingte differentielle Entropie ist gleich
 :$$h(Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}X) = h(N) = 1/2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm}(2\pi{\rm e}\cdot \sigma^2)
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 *Die differentielle Entropie &nbsp;$h(Y)$&nbsp; ist vollständig durch die WDF &nbsp;$f_Y(y)$&nbsp; gegeben.&nbsp; Mit den vorne definierten und skizzierten bedingten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen erhält man:
-:$$f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \big [ f_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}=-1) + f_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}=+1) \big  ]\hspace{0.3cm}
+:$$f_Y(y) = {1}/{2} \cdot \big [ f_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}=-1) + f_{Y\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}{X}}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}{X}=+1) \big  ]$$
-\Rightarrow \hspace{0.3cm}  h(Y) \hspace{-0.01cm}=\hspace{0.05cm}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  h(Y) \hspace{-0.01cm}=\hspace{0.05cm}
 -\hspace{-0.7cm}  \int\limits_{y \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm}{\rm supp}(f_Y)} \hspace{-0.65cm}  f_Y(y) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} [f_Y(y)] \hspace{0.1cm}{\rm d}y
 \hspace{0.05cm}.$$
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 Es ist offensichtlich, dass &nbsp;$h(Y)$&nbsp; nur durch numerische Integration ermittelt werden kann, insbesondere, wenn man berücksichtigt, dass sich &nbsp;$f_Y(y)$&nbsp; im Überlappungsbereich aus der Summe der beiden bedingten Gauß–Funktionen ergibt.
-In der folgenden Grafik sind über der Abszisse &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; drei Kurven dargestellt:
+In der obigen Grafik sind über der Abszisse &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; drei Kurven dargestellt:
 *die blau gezeichnete Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm Gauß}$, gültig für eine Gaußsche Eingangsgröße&nbsp; $X$  &nbsp; ⇒ &nbsp;   $M_X → ∞$,
 *die grün gezeichnete Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp; für die Zufallsgröße&nbsp; $X = (+1, –1)$, sowie
 *die mit „BPSK ohne Codierung” bezeichnete rote Horizontale.
 Diese Kurvenverläufe sind wie folgt zu interpretieren:
-*Die grüne Kurve &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp; gibt die maximal zulässige Coderate &nbsp;$R$&nbsp; von&nbsp; ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK) an, bei der für das gegebene &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; durch bestmögliche Codierung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} \equiv 0$&nbsp; möglich ist.
+*Die grüne Kurve &nbsp;$C_{\rm BPSK}$&nbsp; gibt die maximal zulässige Coderate &nbsp;$R$&nbsp; von&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; (BPSK) an, bei der für das gegebene &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; durch bestmögliche Codierung die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} \equiv 0$&nbsp; möglich ist.
-*Für alle BPSK–Systeme mit den Koordinaten &nbsp;$(10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0, \ R)$&nbsp; im „grünen Bereich” ist &nbsp;$p_{\rm B} \equiv 0$&nbsp; prinzipiell erreichbar.&nbsp; Aufgabe der Nachrichtentechniker ist es, hierfür geeignete Codes zu finden.
+*Für alle BPSK–Systeme mit den Koordinaten &nbsp;$(10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0, \ R)$&nbsp; im „grünen Bereich” ist &nbsp; $p_{\rm B} \equiv 0$ &nbsp; prinzipiell erreichbar.&nbsp; Aufgabe der Nachrichtentechniker ist es, hierfür geeignete Codes zu finden.
 *Die BPSK–Kurve liegt stets unter der absoluten Shannon–Grenzkurve &nbsp;$C_{\rm Gauß}$&nbsp; für &nbsp;$M_X → ∞$&nbsp;(blaue Kurve).&nbsp; Im unteren Bereich gilt &nbsp;$C_{\rm BPSK} ≈ C_{\rm Gauß}$.&nbsp; Zum Beispiel muss ein BPSK–System mit &nbsp;$R = 1/2$&nbsp; nur ein um&nbsp; $0.1\ \rm  dB$&nbsp; größeres &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; bereitstellen, als es die (absolute) Kanalkapazität &nbsp;$C_{\rm Gauß}$&nbsp; fordert.
 *Ist &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; endlich, so gilt stets &nbsp;$C_{\rm BPSK} < 1$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  siehe&nbsp; [[Aufgaben:4.9Z_Ist_bei_BPSK_die_Kanalkapazität_C_≡_1_möglich%3F|Aufgabe 4.9Z]].&nbsp; Eine BPSK mit &nbsp;$R = 1$&nbsp; (und somit ohne Codierung) wird also stets eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B} > 0$&nbsp; zur Folge haben.
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeiten eines solchen BPSK–Systems ohne Codierung&nbsp; $($mit  &nbsp;$R = 1)$&nbsp; sind auf der roten Horizontalen angegeben.&nbsp; Um &nbsp;$p_{\rm B} ≤ 10^{–5}$&nbsp; zu erreichen, benötigt man mindestens &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 9.6\ \rm  dB$.
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeiten eines solchen BPSK–Systems ohne Codierung&nbsp; $($mit  &nbsp;$R = 1)$&nbsp; sind auf der roten Horizontalen angegeben.&nbsp; Um &nbsp;$p_{\rm B} ≤ 10^{–5}$&nbsp; zu erreichen, benötigt man demnach mindestens &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 9.6\ \rm  dB$.
 *Diese Wahrscheinlichkeiten ergeben sich gemäß dem  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Fehlerwahrscheinlichkeit_des_optimalen_BPSK.E2.80.93Systems|Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK-Systems]]&nbsp; im Buch &bdquo;Digitalsignalübertragung&rdquo; zu
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 \hspace{0.05cm}. $$
-''Hinweise'':
+<u>Hinweise</u>:
-*In obiger Grafik ist als zweite, zusätzliche Abszissenachse&nbsp; $10 · \lg (SNR)$&nbsp; eingezeichnet.
+*In obiger Grafik ist als zweite, zusätzliche Abszissenachse&nbsp; $10 · \lg (SNR)$&nbsp; eingezeichnet.&nbsp; "SNR"&nbsp; steht hierbei für&nbsp; "Signal-to-Noise Ratio".
 *Die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; bezeichnet man als die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]].

@@ Zeile 157: / Zeile 157: @@
 \hspace{1.0cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}:  \hspace{0.05cm}bit/Symbol}
 \hspace{0.05cm}.$$
-:Rote Zahlenwerte:&nbsp; Kapazität&nbsp; $C$&nbsp; in&nbsp; „$\rm bit/Symbol$”&nbsp; für Abszissen&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = -20 \ \rm dB, -15 \ \rm dB$, ... , $+30\ \rm dB$;
+:Rote Zahlenwerte:&nbsp; Kapazität&nbsp; $C$&nbsp; in&nbsp; „bit/Symbol”&nbsp; für Abszissen <br>&nbsp; &nbsp;  $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = -20 \ \rm dB, -15 \ \rm dB$, ... , $+30\ \rm dB$;
 *als Funktion von&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  <u>grüner Kurvenverlauf</u>:
 ::$$C = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R  \cdot E_{\rm B} }{N_0})

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 ==Die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; als Funktion von&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$==
 <br>
-[[Datei:P_ID2938__Inf_T_4_3_S4.png|right|frame|Die AWGN–Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; in zwei unterschiedlichen Darstellungen;<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp;Die Preudo&ndash;Einheit&nbsp; "bit/Symbol"&nbsp; ist identisch mit&nbsp; "bit/Kanalzugriff".]]
+[[Datei:P_ID2938__Inf_T_4_3_S4.png|right|frame|Die AWGN–Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; in zwei unterschiedlichen Darstellungen.<br>&nbsp; &nbsp; &nbsp;Die Preudo&ndash;Einheit&nbsp; "bit/Symbol"&nbsp; ist identisch mit&nbsp; "bit/Kanalzugriff".]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik zu diesem Beispiel zeigt die AWGN–Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp;
-*als Funktion von&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0)$  &nbsp; ⇒  &nbsp; roter Kurvenverlauf:
+*als Funktion von&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0)$  &nbsp; ⇒  &nbsp; <u>roter Kurvenverlauf</u>:
 ::$$C = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot E_{\rm S} }{N_0});
 \hspace{1.0cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}:  \hspace{0.05cm}bit/Symbol}
 \hspace{0.05cm}.$$
-:Die roten Zahlenwerte geben die &nbsp; Kapazität&nbsp; $C$&nbsp; in&nbsp; „$\rm bit/Symbol$”&nbsp; für&nbsp; &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = -20 \ \rm dB, -15 \ \rm dB$, ... , $+30\ \rm dB$.
+:Rote Zahlenwerte:&nbsp; Kapazität&nbsp; $C$&nbsp; in&nbsp; „$\rm bit/Symbol$”&nbsp; für Abszissen&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = -20 \ \rm dB, -15 \ \rm dB$, ... , $+30\ \rm dB$;
-*als Funktion von&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  grüner Kurvenverlauf:
+*als Funktion von&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  <u>grüner Kurvenverlauf</u>:
 ::$$C = {1}/{2} \cdot  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R  \cdot E_{\rm B} }{N_0})
-\hspace{1.2cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Kanalzugriff\hspace{0.1cm} (oder \hspace{-0.15cm}: \hspace{0.05cm}bit/Symbol)}
+; \hspace{0.8cm}{\rm Einheit\hspace{-0.15cm}:  \hspace{0.05cm}bit/Symbol}
-\hspace{0.05cm}.$$
+\hspace{0.05cm}; $$
-&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; $\text{Grüne Zahlen:}$ &nbsp; Erforderliches&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; in&nbsp; „$\rm dB$” für&nbsp; &nbsp; $C = 0,\ 1$,&nbsp; ... ,&nbsp; $5$&nbsp; in „$\rm bit/Symbol$”.
+:Grüne Zahlenwerte:&nbsp; Erforderliches&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; in&nbsp; „dB” für&nbsp; Ordinate&nbsp; $C = 0,\ 1$,&nbsp; ... ,&nbsp; $5$&nbsp; in „bit/Symbol”.
+:Die ausführliche&nbsp;  $C(E_{\rm B}/N_0)$–Berechnung finden Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:4.8_Numerische_Auswertung_der_AWGN-Kanalkapazität|Aufgabe 4.8]]&nbsp; und der zugehörigen Musterlösung.
-Die ausführliche&nbsp;  $C(E_{\rm B}/N_0)$–Berechnung finden Sie in der&nbsp; [[Aufgaben:4.8_Numerische_Auswertung_der_AWGN-Kanalkapazität|Aufgabe 4.8]]&nbsp; und der zugehörigen Musterlösung.
+<br clear=all>
 Im Folgenden interpretieren wir das (grüne) &nbsp;$C(E_{\rm B}/N_0)$–Ergebnis im Vergleich zur (roten) &nbsp;$C(E_{\rm S}/N_0)$–Kurve:
-*Wegen &nbsp;$E_{\rm S} = R · E_{\rm B}$&nbsp; liegt der Schnittpunkt beider Kurven bei &nbsp;$C (= R) = 1$ (bit/Symbol).&nbsp; Erforderlich sind  &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = 1.76\ \rm  dB$ &nbsp;bzw.&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 1.76\ \rm  dB$&nbsp; gleichermaßen.
+*Wegen &nbsp;$E_{\rm S} = R · E_{\rm B}$&nbsp; liegt der Schnittpunkt beider Kurven bei &nbsp;$C (= R) = 1$&nbsp; bit/Symbol.&nbsp; Erforderlich sind  &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = 1.76$&nbsp; dB &nbsp;bzw.&nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 1.76$&nbsp; dB gleichermaßen.
-*Im Bereich &nbsp;$C > 1$&nbsp; liegt die grüne Kurve stets über der roten.&nbsp; Beispielsweise ergibt sich für &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 20\ \rm  dB$&nbsp; die Kanalkapazität &nbsp;$C ≈ 5$, für &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = 20\ \rm  dB$ &nbsp;nur&nbsp; $C = 3.83$.
+*Im Bereich &nbsp;$C > 1$&nbsp; liegt die grüne Kurve stets über der roten.&nbsp; Beispielsweise ergibt sich für &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) = 20$&nbsp; dB die Kanalkapazität &nbsp;$C ≈ 5$, für &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) = 20$&nbsp; dB &nbsp;nur&nbsp; $C = 3.83$.
-*Ein Vergleich in horizontaler Richtung zeigt, dass die Kanalkapazität &nbsp;$C = 3$&nbsp; bit/Symbol schon mit &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) \approx 10\ \rm  dB$&nbsp; erreichbar ist, man aber &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) \approx 15\ \rm  dB$&nbsp; benötigt.
+*Ein Vergleich in horizontaler Richtung zeigt, dass die Kanalkapazität &nbsp;$C = 3$&nbsp; bit/Symbol schon mit &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm B}/N_0) \approx 10$&nbsp; dB erreichbar ist, man aber &nbsp;$10 · \lg (E_{\rm S}/N_0) \approx 15$&nbsp; dB benötigt.
 *Im Bereich &nbsp;$C < 1$&nbsp; liegt die rote Kurve stets über der grünen.&nbsp; Für jedes &nbsp;$E_{\rm S}/N_0 > 0$&nbsp; gilt &nbsp;$C > 0$.&nbsp; Bei logarithmischer Abszisse wie in der vorliegenden Darstellung reicht somit die rote Kurve bis ins „Minus–Unendliche”.
-*Dagegen endet die grüne Kurve bei &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = \ln (2) = 0.693$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)= -1.59 \rm  dB$   &nbsp; ⇒ &nbsp;   absolute Grenze für die (fehlerfreie) Übertragung über den AWGN–Kanal.}}
+*Dagegen endet die grüne Kurve bei &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = \ln (2) = 0.693$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $10 · \lg (E_{\rm B}/N_0)= -1.59$&nbsp;  dB   &nbsp; ⇒ &nbsp;   absolute Grenze für die (fehlerfreie) Übertragung über den AWGN–Kanal.}}