Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Juli 2022 um 15:22 Uhr

2022-07-05T15:22:38Z

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Guenter am 5. Juli 2022 um 13:50 Uhr

2022-07-05T13:50:43Z

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2022-07-05T13:45:19Z

Guenter am 3. Juli 2022 um 16:34 Uhr

2022-07-03T16:34:55Z

Guenter am 3. Juli 2022 um 15:31 Uhr

2022-07-03T15:31:49Z

Guenter am 1. Juli 2022 um 14:43 Uhr

2022-07-01T14:43:17Z

Guenter am 8. März 2019 um 09:08 Uhr

2019-03-08T09:08:39Z

Guenter am 8. März 2019 um 09:06 Uhr

2019-03-08T09:06:24Z

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2019-03-08T09:04:53Z

Guenter am 8. März 2019 um 09:03 Uhr

2019-03-08T09:03:31Z

@@ Zeile 202: / Zeile 202: @@
 *Der obere Zweig beschreibt die minimalen Gesamtfehlergrößen &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}(1)$&nbsp; unter der Annahme&nbsp; $a_{\nu + 1} = 1$&nbsp;  (rote Quadrate).&nbsp; Auch hier sind die Zahlenwerte an das bisherige Beispiel angepasst.<br>
-*Außer &nbsp; ${\it \Gamma}_{\nu}(0)$ &nbsp; und &nbsp; ${\it \Gamma}_{\nu}(1)$ &nbsp; muss der Maximum–Likelihood&ndash;Entscheider auch die dazugehörigen Symbolfolgen&nbsp; (Pfade)&nbsp; abspeichern.&nbsp; Diese Zweige sind in der Grafik rot bzw. blau hervorgehoben.<br>
+*Außer&nbsp; ${\it \Gamma}_{\nu}(0)$&nbsp; und&nbsp; ${\it \Gamma}_{\nu}(1)$&nbsp; muss der ML&ndash;Entscheider auch die zugehörigen Symbolfolgen&nbsp; ("Pfade")&nbsp; abspeichern.&nbsp; Diese Zweige sind in der Grafik rot bzw. blau hervorgehoben.<br>
-*Falls &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}$&nbsp; aus dem Knoten &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu-1}(0)$&nbsp; hervorgeht &ndash; also wenn der untere der beiden ankommenden Zweige hervorgehoben ist &ndash; so ist das dazugehörige Symbol &nbsp;$\rm 0$, andernfalls das Symbol &nbsp;$\rm 1$.<br>
+*Falls &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}$&nbsp; aus dem Knoten &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu-1}(0)$&nbsp; hervorgeht &ndash; also wenn der untere der beiden ankommenden Zweige hervorgehoben ist &ndash; so ist das dazugehörige Symbol &nbsp;"$\rm 0$",&nbsp; andernfalls das Symbol &nbsp;"$\rm 1$".<br>
-*Zur Zeit &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; ergeben sich zum Beispiel sowohl &nbsp;${\it \Gamma}_{3}(0) = 0.14$&nbsp; als auch &nbsp;${\it \Gamma}_{3}(1) = 0.23$&nbsp; aus dem Vorgänger &nbsp;${\it \Gamma}_{2}(0)$, so dass beide ausgewählte Pfade jeweils auf das Symbol &nbsp;$\rm 0$&nbsp; verweisen (blaue Zweige).<br>
+*Zur Zeit &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; ergeben sich   &nbsp;${\it \Gamma}_{3}(0) = 0.14$&nbsp; und  &nbsp;${\it \Gamma}_{3}(1) = 0.23$&nbsp; aus dem Vorgänger &nbsp;${\it \Gamma}_{2}(0)$,&nbsp; so dass beide ausgewählte Pfade jeweils auf das Symbol &nbsp;"$\rm 0$"&nbsp; verweisen (blaue Zweige).<br>
 == Vereinfachtes Trellisdiagramm ==

@@ Zeile 140: / Zeile 140: @@
 [[Datei:P ID1470 Dig T 3 8 S2c version1.png|right|frame|Iterative Berechnung der Gesamtfehlergrößen (Beispiel)|class=fit]]
-<br>
+<br><br>
 *Die minimale Gesamtfehlergröße zum Zeit &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; ist &nbsp;$\gamma_{3}(\rm 1100) = 0.14$.&nbsp; Mit den Signalwerten &nbsp;$d_0 = 0.2$, &nbsp;$d_1 = 0.7$, &nbsp;$d_2 = 0.5$,&nbsp; $d_3 = 0$&nbsp; sind die Koeffizienten der wahrscheinlichsten&nbsp;  (unipolaren)&nbsp; Sendefolge gleich &nbsp;$a_1 = 1$, &nbsp;$a_2 = 1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = 0$&nbsp; (grüner Pfad).
@@ Zeile 153: / Zeile 153: @@
 == Minimale Gesamtfehlergrößen==
 <br>
 Wir gehen weiterhin von den Zahlenwerten der letzten Beispiele aus:
-:$$d_{0}=0.2 ,\hspace{0.1cm}
+:$$d_{0}=0.2 ,\hspace{0.2cm}
-  d_{1}=0.7 ,\hspace{0.1cm}
+  d_{1}=0.7 ,\hspace{0.2cm}
-  d_{2}=0.5 ,\hspace{0.1cm}
+  d_{2}=0.5 ,\hspace{0.2cm}
-  d_{3}=0 ,$$
+  d_{3}=0 ,\hspace{0.1cm} g_{0}=0.7 ,\hspace{0.2cm}
   g_{-1}=0.3 .$$
-Damit ändert sich auch am Baumdiagramm gegenüber dem &nbsp;$\text{Beispiel 3}$&nbsp; nichts. Durch einige farbliche Markierungen in dieser Grafik wird nur angedeutet, in welcher Weise das Baumdiagramm entsprechend den Vorschlägen von Viterbi vereinfacht werden kann.
+Damit ändert sich auch am Baumdiagramm gegenüber dem &nbsp;$\text{Beispiel 3}$&nbsp; nichts.&nbsp; Durch einige farbliche Markierungen in dieser Grafik wird nur angedeutet,&nbsp; in welcher Weise das Baumdiagramm entsprechend den Vorschlägen von Viterbi vereinfacht werden kann.
 Wichtige Eigenschaften des Viterbi&ndash;Entscheiders lassen sich in obiger Grafik beispielsweise zum  Zeitpunkt &nbsp;$\nu = 2$&nbsp; erkennen:
-<br clear=all>
+[[Datei:P ID1471 Dig T 3 8 S3 version1.png|right|frame|Vereinfachung des Baumdiagramms nach Viterbi|class=fit]]
 *Zum  Zeitpunkt &nbsp;$\nu = 2$&nbsp; ist die minimale Gesamtfehlergröße &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 101) = 0.05$&nbsp; (braun hervorgehoben). Das bedeutet: &nbsp; Eine Entscheidung bei &nbsp;$\nu = 2$&nbsp; &ndash; basierend auf  &nbsp;$d_0$, &nbsp;$d_1$&nbsp; und&nbsp; $d_2$&nbsp; &ndash; wäre zugunsten der Folge &nbsp;$\rm 101$&nbsp; anstelle der gesendeten Folge &nbsp;$\rm 110$&nbsp; ausgegangen.<br>
-*Daraus folgt: &nbsp; Eine zu frühe endgültige Festlegung sollte unbedingt vermieden werden. Allerdings kann man zu jedem Zeitpunkt &nbsp;$\nu$&nbsp; bereits mehrere Teilsymbolfolgen ausschließen, die zu späteren Zeitpunkten nicht mehr berücksichtigt werden müssen.<br>
+*Zu  &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 111) = 0.35$&nbsp; werden die gleichen Metriken &nbsp;$\varepsilon_{3}(\rm 11)$&nbsp; bzw.  &nbsp;$\varepsilon_{3}(\rm 10)$&nbsp; addiert wie zu &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 101) = 0.05$.&nbsp; Wegen&nbsp;  $\gamma_{2}(\rm 111) > \gamma_{2}(\rm 101)$&nbsp; steht  bereits bei &nbsp;$\nu = 2$&nbsp; fest,&nbsp; dass &nbsp;"$\rm 111$"&nbsp; nicht Teil der wahrscheinlichsten Folge ist.&nbsp;
-*Zu  &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 111) = 0.35$&nbsp; werden die gleichen Fehlergrößen &nbsp;$\varepsilon_{3}(\rm 11)$&nbsp; bzw.  &nbsp;$\varepsilon_{3}(\rm 10)$&nbsp; hinzuaddiert wie zu &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 101) = 0.05$. Wegen&nbsp;  $\gamma_{2}(\rm 111) > \gamma_{2}(\rm 101)$&nbsp; steht somit bereits bei &nbsp;$\nu = 2$&nbsp; fest, dass &nbsp;$\rm 111$&nbsp; nicht Bestandteil der wahrscheinlichsten Folge sein kann. Gleiches gilt für &nbsp;$\rm 001$&nbsp; und &nbsp;$\rm 011$. Diese Knoten und alle ihre Nachfahren müssen deshalb nicht weiter beachtet werden (braune Überdeckungen).<br>
+*Gleiches gilt für &nbsp;"$\rm 001$"&nbsp; und &nbsp;"$\rm 011$".&nbsp; Diese Knoten und alle ihre Nachfahren müssen deshalb nicht weiter beachtet werden&nbsp; $($braune Überdeckungen$)$.<br>
-*Auch die abgerundeten Knoten &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 000) = 0.78$, &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 010) = 0.24$&nbsp; und&nbsp; $\gamma_{2}(\rm 100) = 0.26$&nbsp; sind nicht Bestandteil der wahrscheinlichsten Folge, da sie  größer sind als der grün markierte Knoten &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 110) = 0.14$. Auch diese und ihre Nachfahren müssen ab dem Zeitpunkt &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; nicht mehr berücksichtigt werden (grüne Überdeckungen).<br>
+*Auch die abgerundeten Knoten &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 000) = 0.78$, &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 010) = 0.24$&nbsp; und&nbsp; $\gamma_{2}(\rm 100) = 0.26$&nbsp; sind nicht Bestandteil der wahrscheinlichsten Folge, da sie  größer sind als der grün markierte Knoten &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 110) = 0.14$.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Von den acht Knoten bei &nbsp;$\nu = 2$&nbsp; müssen nur zwei weiterverfolgt werden, nämlich das Rechteck &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 101) = 0.05$&nbsp; und das abgerundete Rechteck &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 110) = 0.14$.
+*Von den acht Knoten bei &nbsp;$\nu = 2$&nbsp; müssen nur zwei weiterverfolgt werden,&nbsp; nämlich das Rechteck &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 101) = 0.05$&nbsp; und das abgerundete Rechteck &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 110) = 0.14$.
-*Diese beschreiben die minimalen Gesamtfehlergrößen unter der Annahme, dass &nbsp;$a_3 = 0$&nbsp; bzw. &nbsp;$a_3 = 1$&nbsp; wäre.}}
+*Diese beschreiben die minimalen Gesamtfehlergrößen unter der hypothetischen Annahme,&nbsp; dass &nbsp;$a_3 = 0$&nbsp; bzw. &nbsp;$a_3 = 1$&nbsp; wäre.}}
@@ Zeile 184: / Zeile 187: @@
 == Darstellung der minimalen Gesamtfehlergrößen &ndash; Trellisdiagramm ==
 <br>
-Wir verallgemeinern nun das Ergebnis dieses Beispiels. Unter der weiterhin gültigen Annahme, dass der Grundimpuls neben dem Hauptwert &nbsp;$(g_0)$&nbsp; nur einen Vorläufer &nbsp;$(g_{-1})$&nbsp; aufweist, ergeben sich die beiden &nbsp;'''minimalen Gesamtfehlergrößen'''&nbsp; zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu$&nbsp; formal zu
+Wir verallgemeinern nun das Ergebnis dieses Beispiels.&nbsp; Unter der weiterhin gültigen Annahme,&nbsp; dass der Grundimpuls neben dem Hauptwert &nbsp;$(g_0)$&nbsp; nur einen Vorläufer &nbsp;$(g_{-1})$&nbsp; aufweist,&nbsp; ergeben sich die beiden &nbsp; '''minimalen Gesamtfehlergrößen''' &nbsp; zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu$&nbsp; formal zu
 :$${\it \Gamma}_{\nu}(0)  =  {\rm Min}\left[{\it \Gamma}_{\nu-1}(0) + \varepsilon_{\nu}(00),
   \hspace{0.2cm}{\it \Gamma}_{\nu-1}(1) + \varepsilon_{\nu}(10)\right] \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 191: / Zeile 194: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Das Verfahren der <i>Gesamtfehlerminimierung</i>&nbsp; lässt sich im &nbsp;'''Trellisdiagramm'''&nbsp; anschaulich darstellen.<br>
+Das Verfahren der&nbsp; "Gesamtfehlerminimierung"&nbsp; lässt sich im &nbsp;'''Trellisdiagramm'''&nbsp; anschaulich darstellen.&nbsp; Ein Vergleich mit den Bildern auf den letzten Seiten zeigt:<br>
-[[Datei:P ID1472 Dig T 3 8 S3b version1.png|center|frame|Beispielhaftes Trellisdiagramm|class=fit]]
+[[Datei:P ID1472 Dig T 3 8 S3b version1.png|right|frame|Beispielhaftes Trellisdiagramm|class=fit]]
-Ein Vergleich mit den Bildern auf den letzten Seiten zeigt:
+*Der untere Zweig stellt die minimale Gesamtfehlergröße &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}(0)$&nbsp; dar,&nbsp; die zu jedem Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; unter der Hypothese berechnet wird,&nbsp; dass &nbsp;$a_{\nu + 1} = 0$&nbsp; gelten wird&nbsp; (blaue abgerundete Quadrate).<br>
-*Dagegen beschreibt der obere Zweig die minimalen Gesamtfehlergrößen &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}(1)$&nbsp; unter der Annahme&nbsp; $a_{\nu + 1} = 1$&nbsp;  (rote Quadrate). Auch hier sind die Zahlenwerte an das bisherige Beispiel angepasst.<br>
+*Der obere Zweig beschreibt die minimalen Gesamtfehlergrößen &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}(1)$&nbsp; unter der Annahme&nbsp; $a_{\nu + 1} = 1$&nbsp;  (rote Quadrate).&nbsp; Auch hier sind die Zahlenwerte an das bisherige Beispiel angepasst.<br>
-*Außer &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}(0)$&nbsp; und &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}(1)$&nbsp; muss der Maximum–Likelihood&ndash;Entscheider auch die dazugehörigen Symbolfolgen (Pfade) abspeichern. Diese Zweige sind in der Grafik rot bzw. blau hervorgehoben.<br>
+*Außer &nbsp; ${\it \Gamma}_{\nu}(0)$ &nbsp; und &nbsp; ${\it \Gamma}_{\nu}(1)$ &nbsp; muss der Maximum–Likelihood&ndash;Entscheider auch die dazugehörigen Symbolfolgen&nbsp; (Pfade)&nbsp; abspeichern.&nbsp; Diese Zweige sind in der Grafik rot bzw. blau hervorgehoben.<br>
 *Falls &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu}$&nbsp; aus dem Knoten &nbsp;${\it \Gamma}_{\nu-1}(0)$&nbsp; hervorgeht &ndash; also wenn der untere der beiden ankommenden Zweige hervorgehoben ist &ndash; so ist das dazugehörige Symbol &nbsp;$\rm 0$, andernfalls das Symbol &nbsp;$\rm 1$.<br>

@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 Zu dieser Grafik ist weiter anzumerken:
-*Die Knoten des Baumdiagramms stehen für die&nbsp; "Gesamtfehlergrößen"&nbsp; $\gamma_{\nu}(i)$.&nbsp; Deren Anzahl wird mit jedem Iterationsschritt verdoppelt.&nbsp; Zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu$&nbsp; gibt es &nbsp;$2^{\nu+1}$&nbsp; solcher Knoten,&nbsp; und für &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; genau &nbsp;$2^4 = 16$&nbsp; Knoten zu erkennen.<br>
+*Die Knoten des Baumdiagramms stehen für die&nbsp; "Gesamtfehlergrößen"&nbsp; $\gamma_{\nu}(i)$.&nbsp; Deren Anzahl wird mit jedem Iterationsschritt verdoppelt.&nbsp; Zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu$&nbsp; gibt es &nbsp;$2^{\nu+1}$&nbsp; solcher Knoten.&nbsp; Also für &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; genau &nbsp;$2^4 = 16$&nbsp; Knoten.<br>
-*Die zu den Gesamtfehlergrößen &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$&nbsp;  gehörigen <i>Amplitudenkoeffizienten</i>&nbsp; ergeben sich, wenn man den Weg vom Anfangsknoten bis zum betrachteten Knoten verfolgt. Es wird vereinbart, dass einem nach oben gerichteten Zweig der Koeffizient &nbsp;$a_\nu=1$&nbsp; und einem nach unten gerichteten Zweig der Koeffizient &nbsp;$a_\nu=0$&nbsp; zugeordnet wird.<br>
+*Die zu den Gesamtfehlergrößen &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$&nbsp;  gehörigen&nbsp; "Amplitudenkoeffizienten"&nbsp; ergeben sich,&nbsp; wenn man den Weg vom Anfangsknoten bis zum betrachteten Knoten verfolgt.&nbsp; Ein nach oben gerichteten Zweig steht für &nbsp;$a_\nu=1$,&nbsp;  einem nach unten gerichteten Zweig wird der Koeffizient &nbsp;$a_\nu=0$&nbsp; zugewiesen.<br>
-*Beispielsweise kennzeichnet der grün hinterlegte Knoten &nbsp;$\gamma_{3}(\rm 1100)$&nbsp; die Gesamtfehlergröße unter der hypothetischen Annahme, dass die Symbole &nbsp;$a_1=1$, &nbsp;$a_2=1$, &nbsp;$a_3=0$, &nbsp;$a_4=0$ gesendet wurden. Diese Zuordnung kann auch aus den Richtungen der Pfeile im Baumdiagramm abgelesen werden: &nbsp; Zunächst zweimal nach oben, dann zweimal nach unten.<br>
+*Beispielsweise kennzeichnet der grün hinterlegte Knoten &nbsp;$\gamma_{3}(\rm 1100)$&nbsp; die Gesamtfehlergröße unter der hypothetischen Annahme, dass die Symbole &nbsp;$a_1=1$, &nbsp;$a_2=1$, &nbsp;$a_3=0$, &nbsp;$a_4=0$ gesendet wurden.
-*Aufgrund des Vorläufers muss bereits zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; der Koeffizient &nbsp;$a_4$&nbsp; mitberücksichtigt werden. Alle Knoten &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$, die unter der Voraussetzung &nbsp;$a_{\nu +1}=1$&nbsp; berechnet werden, sind im Baumdiagramm durch Rechtecke dargestellt, während die Hypothese &nbsp;$a_{\nu +1}=0$&nbsp; jeweils durch ein abgerundetes Rechteck symbolisiert ist, zum Beispiel &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 110)$&nbsp; oder &nbsp;$\gamma_{3}(\rm 1100)$.<br>
+*Diese Zuordnung kann auch aus den Richtungen der Pfeile im Baumdiagramm abgelesen werden: &nbsp; Zunächst zweimal nach oben, dann zweimal nach unten.<br>
-*Die Zweige im Baumdiagramm sind den <i>Fehlergrößen</i>&nbsp; $\varepsilon_{\nu}(i)$&nbsp; zugeordnet. Beim vorausgesetzten Grundimpuls (nur &nbsp;$g_{0}$&nbsp; und &nbsp;$g_{-1}$&nbsp; sind ungleich Null) gibt es zu jedem Zeitpunkt mit Ausnahme des Startzustandes &nbsp;$(\nu = 0)$&nbsp; genau vier unterschiedliche Größen:
+*Aufgrund des Vorläufers muss bereits zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; der Koeffizient &nbsp;$a_4$&nbsp; mitberücksichtigt werden.&nbsp; Alle Knoten &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$,&nbsp; die unter der Hypothese &nbsp;$a_{\nu +1}=1$&nbsp; berechnet werden,&nbsp; sind im Baumdiagramm durch Rechtecke dargestellt.&nbsp; Die Hypothese &nbsp;$a_{\nu +1}=0$&nbsp; wird jeweils durch ein abgerundetes Rechteck symbolisiert ist,&nbsp; zum Beispiel &nbsp;$\gamma_{2}(\rm 110)$&nbsp; oder &nbsp;$\gamma_{3}(\rm 1100)$.<br>
 :$$\varepsilon_{\nu}(00) = |d_{\nu}|^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\varepsilon_{\nu}(01) = |d_{\nu}-g_{-1}|^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 \varepsilon_{\nu}(10) = |d_{\nu}-g_{0}|^2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\varepsilon_{\nu}(11) = |d_{\nu}-g_{0}-g_{-1}|^2\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Gesamtfehlergröße &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$&nbsp; ist gleich der Summe aus dem vorausgegangenen Knoten &nbsp;$\gamma_{\nu-1}(i\hspace{0.05cm}')$&nbsp; und dem dazwischenliegenden Zweig &nbsp;$\varepsilon_{\nu}(i\hspace{0.05cm}'')$. Beispielsweise gilt für die hervorgehobenen Knoten:
+*Die Gesamtfehlergröße &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$&nbsp; ist gleich der Summe aus dem vorausgegangenen Knoten &nbsp;$\gamma_{\nu-1}(i\hspace{0.05cm}')$&nbsp; und dem dazwischenliegenden Zweig &nbsp;$\varepsilon_{\nu}(i\hspace{0.05cm}'')$.&nbsp; Beispielsweise gilt für die hervorgehobenen Knoten:
 :$$\gamma_{1}(11)=\gamma_{0}(1)+\varepsilon_{1}(11) ,\hspace{0.25cm}
   \gamma_{2}(110)=\gamma_{1}(11)+\varepsilon_{2}(10) ,\hspace{0.25cm}
   \gamma_{3}(1100)=\gamma_{2}(110)+\varepsilon_{3}(00).$$
-*Bei den ersten Knoten &nbsp;$\gamma_{0}(0)$&nbsp; und &nbsp;$\gamma_{0}(1)$&nbsp; wird berücksichtigt, dass vor der eigentlichen Übertragung &nbsp;$(a_1$, &nbsp;$a_2$, ...$)$ vereinbarungsgemäß stets das Symbol &nbsp;$a_0 = 0$&nbsp; übertragen wird. Daraus folgt:
+*Bei den ersten Knoten &nbsp;$\gamma_{0}(0)$&nbsp; und &nbsp;$\gamma_{0}(1)$&nbsp; wird berücksichtigt,&nbsp; dass vor der eigentlichen Übertragung &nbsp;$(a_1$, &nbsp;$a_2$, ...$)$&nbsp; vereinbarungsgemäß stets das Symbol &nbsp;"$a_0 = 0$"&nbsp; übertragen wird.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$\gamma_{0}(0)=\varepsilon_{0}(00)= |d_{0}|^2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
   \gamma_{0}(1)=\varepsilon_{0}(01)=|d_{0}-g_{-1}|^2
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 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Mit den im &nbsp;$\text{Beispiel 2}$&nbsp; ermittelten Fehlergrößen &nbsp;$\varepsilon_{\nu}(i)$&nbsp; können nun auch die Gesamtfehlergrößen &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$&nbsp; berechnet  werden. Nachfolgend ist das Baumdiagramm mit den Gesamtfehlergrößen &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$&nbsp;  als Knoten für die Zeitpunkte &nbsp;$\nu = 0$&nbsp; bis &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; dargestellt.
-[[Datei:P ID1470 Dig T 3 8 S2c version1.png|center|frame|Iterative Berechnung der Gesamtfehlergrößen (Beispiel)|class=fit]]
+[[Datei:P ID1470 Dig T 3 8 S2c version1.png|right|frame|Iterative Berechnung der Gesamtfehlergrößen (Beispiel)|class=fit]]
-Die minimale Gesamtfehlergröße zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; ist &nbsp;$\gamma_{3}(\rm 1100) = 0.14$. Daraus ergeben sich die Koeffizienten der nach den vorliegenden Signalwerten &nbsp;$d_0 = 0.2$, &nbsp;$d_1 = 0.7$, &nbsp;$d_2 = 0.5$&nbsp; und &nbsp;$d_3 = 0$&nbsp; mit größter Wahrscheinlichkeit gesendeten (unipolaren) Folge zu &nbsp;$a_1 = 1$, &nbsp;$a_2 = 1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = 0$ (grüner Pfad).
+*Ist die Folgenlänge &nbsp;$N = 3$&nbsp; $($das heißt: &nbsp; nur drei Symbole werden durch den Viterbi&ndash;Empfänger gemeinsam entschieden$)$,&nbsp; so ist auch die Entscheidung &nbsp;$a_4 = 0$&nbsp; mit Sicherheit die richtige,&nbsp; da alle Koeffizienten &nbsp;$a_{\nu>3}$&nbsp; als Null vorausgesetzt wurden.<br>
-Weiter ist anzumerken:
+*Bei längerer Folge &nbsp;$(N > 3)$&nbsp; kann aus dem minimalen Wert &nbsp;$\gamma_{3}(\rm 1100)$&nbsp; aber nicht unbedingt geschlossen werden,&nbsp; dass &nbsp;$a_1 = 1$, &nbsp;$a_2 = 1$,&nbsp; $a_3 = 0$&nbsp; tatsächlich Teil der wahrscheinlichsten Folge ist.
-*Bei längerer Folge &nbsp;$(N > 3)$&nbsp; kann aber aus dem minimalen Wert &nbsp;$\gamma_{3}(\rm 1100)$&nbsp; nicht unbedingt geschlossen werden, dass &nbsp;$a_1 = 1$, &nbsp;$a_2 = 1$,&nbsp; $a_3 = 0$&nbsp; tatsächlich Teil der wahrscheinlichsten Folge ist. Bei Berücksichtigung weiterer Abtastwerte &nbsp;$(d_4$, &nbsp;$d_5$, ...$)$ könnte sich dieses vorläufige Ergebnis durchaus noch ändern.}}<br><br>
+*Bei Berücksichtigung weiterer Abtastwerte &nbsp;$(d_4$, &nbsp;$d_5$, ...$)$&nbsp; könnte sich dieses vorläufige Ergebnis durchaus noch ändern.}}<br><br>

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 == Fehlergrößen und Gesamtfehlergrößen==
 <br>
-Wie im Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]]&nbsp; gibt &nbsp;$Q \in \{Q_i\}$&nbsp; die begrenzte, aus &nbsp;$N$&nbsp; Binärsymbolen bestehende Quellensymbolfolge an.
+Wie im Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]]&nbsp; gibt &nbsp;$Q \in \{Q_i\}$&nbsp; die begrenzte,&nbsp; aus &nbsp;$N$&nbsp; Binärsymbolen bestehende Quellensymbolfolge an.
 *Die Anzahl der möglichen Symbolfolgen &nbsp;$Q_i$&nbsp; ist somit &nbsp;$2^N$.
 *$V$&nbsp; bezeichnet  die Sinkensymbolfolge der Länge $N$, die vom Viterbi&ndash;Entscheider gleich der wahrscheinlichsten Folge &nbsp;$Q_j$&nbsp; gesetzt wird.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die &nbsp;'''Fehlergröße'''&nbsp; $\varepsilon_{\nu}(i)$&nbsp; bezeichnet die quadratische Abweichung zwischen dem tatsächlichen, verrauschten Abtastwert &nbsp;$d_\nu$&nbsp; und dem zur Folge &nbsp;$Q_i$&nbsp; gehörenden Nutzabtastwert &nbsp;$d_{ {\rm S}\nu}$:
+$\text{Definitionen:}$&nbsp;
 :$$\varepsilon_{\nu}(i) = \vert d_{\nu} - d_{ {\rm S}\nu}(i) \vert^2
   \hspace{0.05cm}.$$
-In der Literatur findet man hierfür auch die Bezeichnung &bdquo;Teilmetrik&rdquo; (englisch: &nbsp;''Metric'').}}
+:In der Literatur findet man hierfür auch die Bezeichnung&nbsp; "Teilmetrik"&nbsp; (englisch: &nbsp;"metric").
+* Die &nbsp;'''Gesamtfehlergröße'''&nbsp; $\gamma_{\nu}(i)$&nbsp; kennzeichnet die Summe aller Fehlergrößen bis zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu$:<br>
 :$$\gamma_{\nu}(i)= \sum_{k=0}^{\nu}\varepsilon_{k}(i)
   \hspace{0.05cm}.$$
-Man  spricht in diesem Zusammenhang auch von der &bdquo;Akkumulierten Metrik&rdquo; (englisch: &nbsp;''Accumulated Metric'').}}
+:Man  spricht in diesem Zusammenhang auch von&nbsp; "akkumulierten Metrik"&nbsp; (englisch: &nbsp;"accumulated metric").}}
-[[Datei:P ID1469 Dig T 3 8 S2b version1.png|right|frame|Darstellung der Fehlergrößen und akkumulierten Fehlergrößen im Baumdiagramm|class=fit]]
+[[Datei:P ID1469 Dig T 3 8 S2b version1.png|right|frame|Fehlergrößen&nbsp; $\varepsilon_{\nu}(i)$&nbsp; und Gesamtfehlergrößen&nbsp; $\gamma_{\nu}(i)= \gamma_{\nu-1}(i\hspace{0.05cm}')+\varepsilon_{\nu}(i\hspace{0.05cm}'')
-Die Grafik verdeutlicht die oben definierten Größen in einer Baumstruktur, woraus zu erkennen ist, dass die Gesamtfehlergrößen iterativ berechnet werden können:
+ \hspace{0.05cm}$&nbsp; im Baumdiagramm.&nbsp; <u>Hinweise:</u> &nbsp; $\bullet$ &nbsp; $i$, &nbsp;$i\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$i\hspace{0.05cm}''$ sind unterschiedliche Laufvariable.<br>&nbsp; $\bullet$ &nbsp; Definition gilt für Grundimpuls mit Hauptwert &nbsp;$g_{0}$&nbsp; und einem Vorläufer &nbsp;$g_{-1}$.<br>&nbsp; $\bullet$ &nbsp; Bei &nbsp;$v$&nbsp; Vorläufern müsste die obige Summe bei &nbsp;$k = 1 -v$&nbsp; beginnen.<br>&nbsp; $\bullet$ &nbsp; Der Parameter &nbsp;$i \in  \{0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, 2^{N+1}-1\}$&nbsp;  wird meist binär dargestellt. <br>&nbsp; $\bullet$ &nbsp; Er beschreibt die Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_1$, ... , &nbsp;$a_{\nu +1}$ $($jeweils &nbsp;$0$&nbsp; oder &nbsp;$1)$.|class=fit]]
 :$$\gamma_{\nu}(i)= \gamma_{\nu-1}(i\hspace{0.05cm}')+\varepsilon_{\nu}(i\hspace{0.05cm}'')
   \hspace{0.05cm}.$$
-''Anmerkungen:''
+Zu dieser Grafik ist weiter anzumerken:
-*$i$, &nbsp;$i\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$i\hspace{0.05cm}''$ sind unterschiedliche Laufvariable.
+*Die Knoten des Baumdiagramms stehen für die&nbsp; "Gesamtfehlergrößen"&nbsp; $\gamma_{\nu}(i)$.&nbsp; Deren Anzahl wird mit jedem Iterationsschritt verdoppelt.&nbsp; Zum Zeitpunkt &nbsp;$\nu$&nbsp; gibt es &nbsp;$2^{\nu+1}$&nbsp; solcher Knoten,&nbsp; und für &nbsp;$\nu = 3$&nbsp; genau &nbsp;$2^4 = 16$&nbsp; Knoten zu erkennen.<br>
 *Die zu den Gesamtfehlergrößen &nbsp;$\gamma_{\nu}(i)$&nbsp;  gehörigen <i>Amplitudenkoeffizienten</i>&nbsp; ergeben sich, wenn man den Weg vom Anfangsknoten bis zum betrachteten Knoten verfolgt. Es wird vereinbart, dass einem nach oben gerichteten Zweig der Koeffizient &nbsp;$a_\nu=1$&nbsp; und einem nach unten gerichteten Zweig der Koeffizient &nbsp;$a_\nu=0$&nbsp; zugeordnet wird.<br>

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 == Betrachtetes Szenario und Voraussetzungen ==
 <br>
-Der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger|Korrelationsempfänger]]&nbsp; ist im Sinne der&nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidung_bei_Gau.C3.9Fscher_St.C3.B6rung| Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel]]&nbsp; optimal, das heißt, er führt bei gleichwahrscheinlichen Quellensymbolen zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit. Nachteilig ist:
+Der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger|"Korrelationsempfänger"]]&nbsp; ist im Sinne der&nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidung_bei_Gau.C3.9Fscher_St.C3.B6rung| Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidungsregel]]&nbsp; optimal,&nbsp; das heißt,&nbsp; er führt bei gleichwahrscheinlichen Quellensymbolen zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.&nbsp; Nachteilig ist:
 *Der Realisierungsaufwand steigt exponentiell mit der Länge &nbsp;$N$&nbsp; der zu detektierenden Symbolfolge.<br>
-*Da die Folge gemeinsam entschieden wird, kommt es bei großem &nbsp;$N$&nbsp; zu langen Verzögerungen.<br><br>
+*Da die Folge gemeinsam entschieden wird,&nbsp; kommt es bei großem &nbsp;$N$&nbsp; zu langen Verzögerungen.<br><br>
 In den 1970er Jahren hat &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_J._Viterbi Andrew J. Viterbi]&nbsp; einen Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfänger vorgeschlagen, der die Detektion von Teilen der empfangenen Nachricht erlaubt und bei dem sich der Realisierungsaufwand auch bei unendlich langen Folgen in Grenzen hält.<br>
 Zu den einzelnen Komponenten des Blockschaltbildes ist anzumerken:
-*Das an den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t)$&nbsp;  und die Störung angepasste &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched&ndash;Filter]]&nbsp; $H_{\rm MF}(f)$&nbsp; dient der ''Störleistungsbegrenzung''. Das MF&ndash;Ausgangssignal &nbsp;$m(t)$&nbsp; bzw. die Folge &nbsp;$\langle m_\nu \rangle$&nbsp; der äquidistanten Signalwerte nach der Abtastung besitzt das bestmögliche Signal&ndash;zu&ndash;Stör&ndash;Leistungsverhältnis.<br>
+*Das an den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t)$&nbsp;  und die Störung angepasste &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|"Matched&ndash;Filter"]]&nbsp; $H_{\rm MF}(f)$&nbsp; dient der&nbsp; "Störleistungsbegrenzung".&nbsp; Das MF&ndash;Ausgangssignal &nbsp;$m(t)$&nbsp; bzw. die Folge &nbsp;$\langle m_\nu \rangle$&nbsp; der äquidistanten Signalwerte nach der Abtastung besitzt das bestmögliche Signal&ndash;zu&ndash;Stör&ndash;Leistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$.<br>
-*Der ''Viterbi&ndash;Entscheider'', der im Mittelpunkt der folgenden Betrachtungen steht, gewinnt aus der Folge &nbsp;$\langle d_\nu \rangle$&nbsp; seiner wertkontinuierlichen Eingangswerte die binäre Ausgangsfolge &nbsp;$\langle v_\nu \rangle$&nbsp; entsprechend der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Regel mit der kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;${\rm Pr}(v_\nu \ne q_\nu)$.<br>
+*Aufgabe des Dekorrelationsfilters &nbsp;$H_{\rm DF}(f)$&nbsp; ist es,&nbsp;  aus der Folge &nbsp; $\langle m_\nu \rangle$ &nbsp; die Detektionsabtastwerte &nbsp; $d_\nu = d_{{\rm S}\nu} + d_{{\rm N}\nu}$ &nbsp; zu gewinnen,&nbsp; deren Störanteile &nbsp;$d_{{\rm N}\nu}$&nbsp; unkorreliert sind.&nbsp; Dieses Filter wird deshalb auch&nbsp; "Whitening&ndash;Filter"&nbsp; genannt.<br>
-*Der Grundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; besteht nur aus dem Hauptwert &nbsp;$g_0 = g_d(t = T_{\rm D})$&nbsp; und einem einzigen Vorläufer &nbsp;$g_{-1} = g_d(t = T_{\rm D}-T)$.<br>
+Um den Viterbi&ndash;Algorithmus möglichst einfach beschreiben zu können,&nbsp; werden hier einige vereinfachende Voraussetzungen getroffen:
-''Hinweis:'' &nbsp; Bei bipolarer Signalisierung ist der Algorithmus nicht aufwändiger. Dagegen steigt der Rechenaufwand, wenn der Detektionsgrundimpuls breiter wird und mehr als nur einen Vorläufer &nbsp;$g_{-1}$&nbsp; aufweist. Die Vernachlässigung von Nachläufern in der Beschreibung stellt keine grundlegende Einschränkung dar, weil jeder Impuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; diese Bedingung durch geeignete Wahl des Detektionszeitpunktes &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; erfüllen kann. Anzumerken ist weiter, dass im Folgenden alle Signalwerte auf &nbsp;$1$&nbsp; normiert werden.<br>
+Bei bipolarer Signalisierung ist der Algorithmus nicht aufwändiger. &nbsp; $\bullet$ &nbsp; Dagegen steigt der Rechenaufwand,&nbsp; wenn der Grundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; breiter wird und mehr als nur einen Vorläufer &nbsp;$g_{-1}$&nbsp; aufweist. &nbsp; $\bullet$ &nbsp; Die Vernachlässigung von Nachläufern in der Beschreibung ist keine grundlegende Einschränkung,&nbsp; weil jeder Impuls  diese Bedingung durch geeignete Wahl des Detektionszeitpunktes &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; erfüllen kann. &nbsp; $\bullet$ &nbsp; Im Folgenden werden alle Signalwerte auf &nbsp;$1$&nbsp; normiert.<br>
 [[Datei:P ID1468 Dig T 3 8 S1b version1.png|right|frame|Abtastwerte zur Verdeutlichung des Viterbi-Algorithmus|class=fit]]

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   \hspace{0.05cm}.$$
-[[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger|Viterbi&ndash;Empfänger]]
+*Dagegen führt die Anwendung der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidung (mit&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger|Korrelations&ndash;Empfänger]]&nbsp; bzw.&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger#Betrachtetes_Szenario_und_Voraussetzungen|Viterbi&ndash;Empfänger]])&nbsp; $\rm (ML)$ zur sehr viel kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit
 :$$p_{\rm ML} = {\rm Q}\left(\frac{g_{0}}{\sigma_d}\right)
   \approx {\rm  Q}(6) = 10^{-9}

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	[[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger\|Viterbi–Empfänger]]		[[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger\|Viterbi–Empfänger]]
		+	[[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger\|Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung]]

	*Dagegen führt die Anwendung der Maximum–Likelihood–Entscheidung (mit  [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger\|Korrelations–Empfänger]]  bzw.  [[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger\|Viterbi–Empfänger]])  $\rm (ML)$ zur sehr viel kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit		*Dagegen führt die Anwendung der Maximum–Likelihood–Entscheidung (mit  [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger\|Korrelations–Empfänger]]  bzw.  [[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger\|Viterbi–Empfänger]])  $\rm (ML)$ zur sehr viel kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit

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   Q}(4)}{4}= 0.16 \cdot 10^{-4}
   \hspace{0.05cm}.$$
 *Dagegen führt die Anwendung der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidung (mit&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Matched.E2.80.93Filter.E2.80.93Empf.C3.A4nger_vs._Korrelationsempf.C3.A4nger|Korrelations&ndash;Empfänger]]&nbsp; bzw.&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger|Viterbi&ndash;Empfänger]])&nbsp; $\rm (ML)$ zur sehr viel kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit