Digitalsignalübertragung/Struktur des optimalen Empfängers - Versionsgeschichte

Guenter am 18. Juli 2022 um 14:31 Uhr

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2022-07-14T15:56:53Z

Guenter am 12. März 2019 um 13:01 Uhr

2019-03-12T13:01:33Z

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 *Die Vektoren&nbsp; $\boldsymbol{r}_1$&nbsp; und &nbsp;$\boldsymbol{r}_2$&nbsp; sind Zufallsgrößen.&nbsp; Ihre Realisierungen werden hier und im Folgenden mit&nbsp; $\boldsymbol{\rho}_1$&nbsp; und &nbsp;$\boldsymbol{\rho}_2$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Zur Hervorhebung sind alle Vektoren in der Grafik rot eingetragen.
-*Die Voraussetzungen für die Anwendung des&nbsp; "Theorems der Irrelevanz"&nbsp; sind die gleichen wie die an eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Betrachtetes_Szenario| Markovkette]]&nbsp; erster Ordnung.&nbsp; Die Zufallsvariablen&nbsp; $x$,&nbsp; $y$,&nbsp; $z$&nbsp; formen dann eine Markovkette erster Ordnung,&nbsp; falls die Verteilung von&nbsp; $z$&nbsp; bei gegebenem &nbsp;$y$&nbsp; unabhängig von&nbsp; $x$&nbsp; ist:
+*Die Voraussetzungen für die Anwendung des&nbsp; "Theorems der Irrelevanz"&nbsp; sind die gleichen wie die an eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Betrachtetes_Szenario| "Markovkette"]]&nbsp; erster Ordnung.&nbsp; Die Zufallsvariablen&nbsp; $x$,&nbsp; $y$,&nbsp; $z$&nbsp; formen dann eine Markovkette erster Ordnung,&nbsp; falls die Verteilung von&nbsp; $z$&nbsp; bei gegebenem &nbsp;$y$&nbsp; unabhängig von&nbsp; $x$&nbsp; ist:
 :$$p(x, y, z) = p(x) \cdot p(y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}x) \cdot p(z\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}y) \hspace{0.25cm} {\rm anstelle \hspace{0.15cm}von} \hspace{0.25cm}p(x, y, z) = p(x) \cdot p(y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}x) \cdot p(z\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}x, y) \hspace{0.05cm}.$$

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 == Implementierungsaspekte ==
 <br>
-Wesentliche Bestandteile des optimalen Empfängers sind die Berechnungen der inneren Produkte gemäß den Gleichungen&nbsp; $r_j \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm}r(t), \hspace{0.1cm} \varphi_j(t) \hspace{-0.05cm} >$. Diese können auf verschiedene Art und Weise implementiert werden:
+Wesentliche Bestandteile des optimalen Empfängers sind die Berechnungen der inneren Produkte gemäß den Gleichungen &nbsp; $r_j \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm}r(t), \hspace{0.1cm} \varphi_j(t) \hspace{-0.05cm} >$.
 *Beim &nbsp;'''Korrelationsempfänger'''&nbsp; (Näheres zu dieser Implementierung finden Sie im&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimale Empf%C3%A4ngerstrategien#Korrelationsempf.C3.A4nger|gleichnamigen Kapitel]])&nbsp; werden die inneren Produkte direkt entsprechend der Definition mit analogen Multiplizierern und Integratoren realisiert:
 :$$r_j = \int_{-\infty}^{+\infty}r(t) \cdot \varphi_j(t) \,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$
-*Der &nbsp;'''Matched&ndash;Filter&ndash;Empfänger''', der  bereits im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_-_Realisierung_mit_Matched-Filter|Optimaler Binärempfänger]]&nbsp; zu Beginn dieses Buches hergeleitet wurde, erzielt mit einem linearen Filter mit der Impulsantwort&nbsp;  $h_j(t) = \varphi_j(t) \cdot (T-t)$&nbsp;  und anschließender  Abtastung zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T$&nbsp; das gleiche Ergebnis:
+*Der &nbsp;'''Matched&ndash;Filter&ndash;Empfänger''',&nbsp; der  bereits im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_-_Realisierung_mit_Matched-Filter|"Optimaler Binärempfänger"]]&nbsp; zu Beginn dieses Buches hergeleitet wurde,&nbsp; erzielt mit einem linearen Filter mit der Impulsantwort&nbsp;  $h_j(t) = \varphi_j(t) \cdot (T-t)$&nbsp;  und anschließender  Abtastung zum Zeitpunkt&nbsp; $t = T$&nbsp; das gleiche Ergebnis:
 :$$r_j = \int_{-\infty}^{+\infty}r(\tau) \cdot h_j(t-\tau) \,{\rm d} \tau
 = \int_{-\infty}^{+\infty}r(\tau) \cdot \varphi_j(T-t+\tau) \,{\rm d} \tau \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} r_j (t = \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty}r(\tau) \cdot \varphi_j(\tau) \,{\rm d} \tau = r_j
 \hspace{0.05cm}.$$
 == Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Empfangswerte ==

@@ Zeile 265: / Zeile 265: @@
 #Basiert die Entscheidung auf sämtlichen  Koeffizienten&nbsp; $r_j$,&nbsp; so ist die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung minimal und der Empfänger optimal.<br>
 #Die reellwertigen Koeffizienten&nbsp; $r_j$&nbsp; wurden oben wie folgt berechnet:
-:$$r_j =
+::$$r_j =
   \left\{ \begin{array}{c}  s_{ij} + n_j\\
     n_j \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 271: / Zeile 271: @@
 \\  {j > N}   \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
-Nach dem&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Struktur_des_optimalen_Empfängers#Das_Theorem_der_Irrelevanz|Theorem der Irrelevanz]]&nbsp; lässt sich zeigen, dass für additives weißes Gaußsches Rauschen
+Nach dem&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Struktur_des_optimalen_Empfängers#Das_Theorem_der_Irrelevanz|"Theorem der Irrelevanz"]]&nbsp; lässt sich zeigen,&nbsp; dass für additives weißes Gaußsches Rauschen
-*die Optimalität nicht herabgesetzt wird, wenn man die Koeffizienten &nbsp;$r_{N+1}$,&nbsp; $r_{N+2}$,&nbsp;  ... &nbsp;,  die nicht von der Nachricht&nbsp; $(s_{ij})$&nbsp; abhängigen,&nbsp; nicht in den Entscheidungsprozess einbindet,&nbsp; und somit <br>
+*die Optimalität nicht herabgesetzt wird,&nbsp; wenn man die Koeffizienten &nbsp;$r_{N+1}$,&nbsp; $r_{N+2}$,&nbsp;  ... &nbsp;,  die nicht von der Nachricht&nbsp; $(s_{ij})$&nbsp; abhängigen,&nbsp; nicht in den Entscheidungsprozess einbindet,&nbsp; und somit <br>
 *der Detektor nur die Projektionen des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; auf die&nbsp; $N$&nbsp; durch das Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; vorgegebenen Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{1}(t)$, ... , $\varphi_{N}(t)$&nbsp; bilden muss.<br>
@@ Zeile 279: / Zeile 279: @@
 In der Grafik ist diese signifikante Vereinfachung durch die graue Hinterlegung angedeutet.<br>
-Im Fall von &nbsp;'''farbigem Rauschen''' &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_n(f) \ne {\rm const.}$&nbsp; ist lediglich zusätzlich ein Vorfilter mit dem Amplitudengang&nbsp; $|W(f)| = {1}/{\sqrt{\it \Phi}_n(f)}$&nbsp; erforderlich. Man nennt dieses Filter auch &bdquo;<i>Whitening Filter&rdquo;</i>, da die Rauschleistungsdichte am Ausgang wieder konstant &ndash; also &bdquo;weiß&rdquo; &ndash; ist.
+Bei &nbsp;'''farbigem Rauschen''' &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi}_n(f) \ne {\rm const.}$&nbsp; ist lediglich zusätzlich ein Vorfilter mit Amplitudengang&nbsp; $|W(f)| = {1}/{\sqrt{\it \Phi}_n(f)}$&nbsp; erforderlich.
+#Man nennt dieses Filter auch&nbsp; "Whitening Filter",&nbsp; da die Rauschleistungsdichte am Ausgang wieder konstant &ndash; also &bdquo;weiß&rdquo; &ndash; ist.
-Genaueres hierzu finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter#Verallgemeinertes_Matched-Filter_f.C3.BCr_den_Fall_farbiger_St.C3.B6rungen|Matched-Filter bei farbigen Störungen]]&nbsp; des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.<br>
+#Genaueres hierzu finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter#Verallgemeinertes_Matched-Filter_f.C3.BCr_den_Fall_farbiger_St.C3.B6rungen|"Matched-Filter bei farbigen Störungen"]]&nbsp; des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.<br>
 == Implementierungsaspekte ==

@@ Zeile 180: / Zeile 180: @@
 == Einige Eigenschaften des AWGN-Kanals==
 <br>
-Um weitere Aussagen über die Art der optimalen Messungen des Vektors&nbsp; $\boldsymbol{ r}$&nbsp; machen zu können, ist es notwendig, die den Kanal charakterisierende (bedingte) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $p_{\hspace{0.02cm}r(t)\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}s(t)}$&nbsp; weiter zu spezifizieren. Im Folgenden wird die Kommunikation über den&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualit%C3%A4tskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell| AWGN&ndash;Kanal]]&nbsp; betrachtet, dessen wichtigste Eigenschaften hier nochmals kurz zusammengestellt werden:
+Um weitere Aussagen über die Art der optimalen Messungen des Vektors&nbsp; $\boldsymbol{ r}$&nbsp; machen zu können,&nbsp; ist es notwendig,&nbsp; die den Kanal charakterisierende (bedingte) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $p_{\hspace{0.02cm}r(t)\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}s(t)}$&nbsp; weiter zu spezifizieren.&nbsp; Im Folgenden wird die Kommunikation über den&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualit%C3%A4tskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell| "AWGN&ndash;Kanal"]]&nbsp; betrachtet,&nbsp; dessen wichtigste Eigenschaften hier nochmals kurz zusammengestellt werden:
-*Das Ausgangssignal des AWGN&ndash;Kanals ist&nbsp; $r(t) = s(t)+n(t)$, wobei&nbsp; $s(t)$&nbsp; das Sendesignal angibt und&nbsp; $n(t)$&nbsp; durch einen Gaußschen Rauschprozess dargestellt wird.<br>
+*Das Ausgangssignal des AWGN&ndash;Kanals ist&nbsp; $r(t) = s(t)+n(t)$,&nbsp; wobei&nbsp; $s(t)$&nbsp; das Sendesignal angibt und&nbsp; $n(t)$&nbsp; durch einen Gaußschen Rauschprozess dargestellt wird.<br>
-*Einen Zufallsprozess&nbsp; $\{n(t)\}$&nbsp; bezeichnet man als gaußisch, wenn die Elemente der&nbsp; $k$&ndash;dimensionalen Zufallsvariablen&nbsp; $\{n_1(t)\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}n_k(t)\}$&nbsp; gemeinsam gaußverteilt sind &nbsp; &rArr; &nbsp; <i>&bdquo;Jointly Gaussian&rdquo;</i>.<br>
+*Einen Zufallsprozess&nbsp; $\{n(t)\}$&nbsp; bezeichnet man als gaußisch,&nbsp; wenn die Elemente der&nbsp; $k$&ndash;dimensionalen Zufallsvariablen&nbsp; $\{n_1(t)\hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}n_k(t)\}$&nbsp; gemeinsam gaußverteilt sind &nbsp; &rArr; &nbsp; "jointly Gaussian".<br>
-*Der Mittelwert des AWGN&ndash;Rauschens ist&nbsp; ${\rm E}\big[n(t)\big] = 0$. Außerdem ist&nbsp; $n(t)$&nbsp; &bdquo;weiß&rdquo;, was bedeutet, dass das&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; (LDS) für alle Frequenzen &nbsp;$($von &nbsp;$-\infty$ bis $+\infty)$&nbsp; konstant ist: &nbsp;
+*Der Mittelwert des AWGN&ndash;Rauschens ist&nbsp; ${\rm E}\big[n(t)\big] = 0$.&nbsp; Außerdem ist&nbsp; $n(t)$&nbsp; "weiß",&nbsp; was bedeutet,&nbsp; dass das&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; für alle Frequenzen &nbsp;$($von &nbsp;$-\infty$ bis $+\infty)$&nbsp; konstant ist: &nbsp;
 :$${\it \Phi}_n(f) = {N_0}/{2}
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Nach dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine |Wiener&ndash;Chintchine&ndash;Theorem]]&nbsp; ergibt sich die Autokorrelationsfunktion (AKF) als die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral| Fourierrücktransformierte]]&nbsp; von&nbsp; ${\it \Phi_n(f)}$:
+*Nach dem&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine |Wiener&ndash;Chintchine&ndash;Theorem]]&nbsp; ergibt sich die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; als die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral| Fourierrücktransformierte]]&nbsp; von&nbsp; ${\it \Phi_n(f)}$:
 :$${\varphi_n(\tau)} = {\rm E}\big [n(t) \cdot n(t+\tau)\big  ] = {N_0}/{2} \cdot \delta(t)\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm E}\big [n(t) \cdot n(t+\tau)\big  ]  =
 \left\{ \begin{array}{c} \rightarrow \infty \\
   \end{array} \right.\quad
-  \begin{array}{*{1}c} {\rm f{\rm \ddot{u}r}}  \hspace{0.15cm} \tau = 0 \hspace{0.05cm},
+  \begin{array}{*{1}c} {\rm f{\rm \ddot{u}r}}  \hspace{0.25cm} \tau = 0 \hspace{0.05cm},
-\\  {\rm f{\rm \ddot{u}r}}  \hspace{0.15cm} \tau \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array}$$
+\\  {\rm f{\rm \ddot{u}r}}  \hspace{0.25cm} \tau \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array}$$
-*$N_0$&nbsp; gibt dabei die physikalische (nur für &nbsp;$f \ge 0$&nbsp; definierte) Rauschleistungsdichte an. Der konstante LDS&ndash;Wert&nbsp; $(N_0/2)$&nbsp; und das Gewicht der Diracfunktion in der AKF $($ebenfalls &nbsp;$N_0/2)$&nbsp; ergibt sich allein durch die zweiseitige Betrachtungsweise.<br><br>
+*$N_0$&nbsp; gibt dabei die physikalische&nbsp; $($nur für &nbsp;$f \ge 0$&nbsp; definierte$)$&nbsp; Rauschleistungsdichte an.&nbsp; Der konstante LDS&ndash;Wert&nbsp; $(N_0/2)$&nbsp; und das Gewicht der Diracfunktion in der AKF&nbsp; $($ebenfalls &nbsp;$N_0/2)$&nbsp; ergibt sich allein durch die zweiseitige Betrachtungsweise.<br><br>
-Weitere Informationen zu diesem Thema liefert das Lernvideo&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN-Kanal]]&nbsp; im zweiten Teil.<br>
+&rArr; &nbsp; Weitere Informationen zu diesem Thema liefert das Lernvideo&nbsp; [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|"Der AWGN-Kanal"]]&nbsp; im zweiten Teil.<br>
 == Beschreibung des AWGN-Kanals durch orthonormale Basisfunktionen==
 <br>
-Aus dem vorletzten Statement auf der letzten Seite geht hervor, dass
+Aus dem vorletzten Statement auf der letzten Seite geht hervor,&nbsp; dass
 *reines AWGN&ndash;Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; stets eine unendliche Varianz (Leistung) aufweist: &nbsp; $\sigma_n^2 \to \infty$,<br>
 *in der Realität demzufolge nur gefiltertes Rauschen&nbsp; $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \star h_n(t)$&nbsp; auftreten kann.<br><br>
-Mit der Impulsantwort&nbsp; $h_n(t)$&nbsp; und dem&nbsp; Frequenzgang $H_n(f) = {\rm F}\big [h_n(t)\big ]$&nbsp; gelten dann folgende Gleichungen:<br>
+Mit der Impulsantwort&nbsp; $h_n(t)$&nbsp; und dem&nbsp; Frequenzgang&nbsp; $H_n(f) = {\rm F}\big [h_n(t)\big ]$&nbsp; gelten dann folgende Gleichungen:<br>
 :$${\rm E}\big[n\hspace{0.05cm}'(t)  \big] \hspace{0.15cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm E}\big[n(t)  \big] = 0 \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 216: / Zeile 217: @@
   \int_{-\infty}^{+\infty}{\it \Phi}_{n\hspace{0.05cm}'}(f)\,{\rm d} f = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_n(f)|^2\,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$
-Im Folgenden beinhaltet&nbsp; $n(t)$&nbsp; stets implizit eine ''Bandbegrenzung''; auf die Schreibweise&nbsp; $n'(t)$&nbsp; wird also zukünftig verzichtet.<br>
+Im Folgenden beinhaltet&nbsp; $n(t)$&nbsp; stets implizit eine&nbsp; '''Bandbegrenzung''';&nbsp; auf die Schreibweise&nbsp; $n'(t)$&nbsp; wird also zukünftig verzichtet.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Bitte beachten Sie:}$&nbsp; Ähnlich wie das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; lässt sich auch der Rauschprozess&nbsp; $\{n(t)\}$&nbsp; als gewichtete Summe von orthonormalen Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; schreiben.
+$\text{Beachten Sie:}$&nbsp; Ähnlich wie das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; lässt sich auch der Rauschprozess&nbsp; $\{n(t)\}$&nbsp; als gewichtete Summe orthonormaler Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; schreiben.
-*Im Gegensatz zu&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist allerdings nun eine Beschränkung auf eine endliche Anzahl an Basisfunktionen nicht möglich.
+*Im Gegensatz zu&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist nun allerdings eine Beschränkung auf eine endliche Anzahl an Basisfunktionen nicht möglich.
 *Vielmehr gilt bei rein stochastischen Größen für die entsprechende Signaldarstellung stets
@@ Zeile 230: / Zeile 232: @@
-<i>Hinweis:</i> &nbsp;   Um eine Verwechslung mit den Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; zu vermeiden, wird im Folgenden die AKF&nbsp; $\varphi_n(\tau)$&nbsp; des Rauschprozesses stets nur noch als der Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big [n(t) \cdot n(t + \tau)\big ]$&nbsp; ausgedrückt.<br>
+<u>Hinweis:</u> &nbsp;   Um eine Verwechslung mit den Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; zu vermeiden, wird im Folgenden die AKF&nbsp; $\varphi_n(\tau)$&nbsp; des Rauschprozesses stets nur noch als der Erwartungswert&nbsp; &nbsp; ausgedrückt:<br>
 == Optimaler Empfänger für den AWGN-Kanal==
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 [[Datei:P ID2005 Dig T 4 2 S5b version1.png|right|frame|Optimaler Empfänger beim AWGN-Kanal|class=fit]]
 Auch das Empfangssignal&nbsp; $r(t) = s(t) + n(t)$&nbsp; lässt sich in bekannter Weise in Basisfunktionen zerlegen:
 :$$r(t) =  \sum\limits_{j = 1}^{\infty}r_j \cdot \varphi_j(t) \hspace{0.05cm}.$$
 Zu berücksichtigen ist:
-*Die&nbsp; $M$&nbsp; möglichen Sendesignale&nbsp; $\{s_i(t)\}$&nbsp; spannen einen Signalraum mit insgesamt&nbsp;  $N$&nbsp; Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_N(t)$&nbsp; auf.<br><br>
+*Die&nbsp; $M$&nbsp; möglichen Sendesignale&nbsp; $\{s_i(t)\}$&nbsp; spannen einen Signalraum mit insgesamt&nbsp;  $N$&nbsp; Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$, ... , $\varphi_N(t)$&nbsp; auf.<br>
-*Diese&nbsp; $N$&nbsp; Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_j(t)$&nbsp; werden gleichzeitig zur Beschreibung des Rauschsignals&nbsp; $n(t)$&nbsp; und des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; verwendet.<br><br>
+*Zur vollständigen Charakterisierung von&nbsp; $n(t)$&nbsp; bzw.&nbsp; $r(t)$&nbsp; werden nun aber auch noch unendlich viele weitere Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{N+1}(t)$,&nbsp; $\varphi_{N+2}(t)$,&nbsp; ... benötigt.<br>
-Damit ergeben sich die Koeffizienten des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; gemäß folgender Gleichung, wobei berücksichtigt ist, dass die Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; und das Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; voneinander unabhängig sind:
+Damit ergeben sich die Koeffizienten des Empfangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; gemäß folgender Gleichung.&nbsp; Hierbei ist berücksichtigt,&nbsp; dass die  (möglichen) Sendesignale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; und das Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; voneinander unabhängig sind:
 :$$r_j \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm}r(t), \hspace{0.1cm} \varphi_j(t) \hspace{-0.05cm} > \hspace{0.1cm}=\hspace{0.1cm}
@@ Zeile 255: / Zeile 260: @@
 Somit ergibt sich für den optimalen Empfänger die oben skizzierte Struktur.<br>
 <br>
-Betrachten wir  zunächst den &nbsp;'''AWGN&ndash;Kanal'''. Hier kann auf das Vorfilter mit dem Frequenzgang&nbsp; $W(f)$&nbsp; verzichtet werden, das für farbiges Rauschen vorgesehen ist.<br>
+Betrachten wir  zunächst den &nbsp; '''AWGN&ndash;Kanal'''.&nbsp; Hier kann auf das Vorfilter mit dem Frequenzgang&nbsp; $W(f)$&nbsp; verzichtet werden,&nbsp; das für farbiges Rauschen vorgesehen ist.<br>
-Die reellwertigen Koeffizienten&nbsp; $r_j$&nbsp; wurden oben wie folgt berechnet:
+#Der Detektor des optimalen Empfängers bildet die Koeffizienten &nbsp; $r_j \hspace{0.1cm}  =  \hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm}r(t), \hspace{0.1cm} \varphi_j(t)\hspace{-0.05cm} >$ &nbsp; und reicht diese an den Entscheider weiter.
 :$$r_j =
   \left\{ \begin{array}{c}  s_{ij} + n_j\\

@@ Zeile 116: / Zeile 116: @@
 == Das Theorem der Irrelevanz==
 <br>
-Zu beachten ist, dass der auf der letzten Seite beschriebene Empfänger nur dann optimal ist, wenn auch der Detektor bestmöglich implementiert ist, das heißt, wenn durch den Übergang vom kontinuierlichen Signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; zum Vektor&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; keine Information verloren geht.<br>
+[[Datei:P ID2003 Dig T 4 2 S3a version2.png|right|frame|Zum Theorem der Irrelevanz|class=fit]]
-[[Datei:P ID2003 Dig T 4 2 S3a version2.png|center|frame|Zum Theorem der Irrelevanz|class=fit]]
+Um zu klären,&nbsp; welche und wieviele Messungen am Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; nötig sind,&nbsp; um Optimalität zu garantieren,&nbsp; ist das&nbsp; "Theorem der Irrelevanz"&nbsp; hilfreich:&nbsp;
-Um die Frage zu klären, welche und wieviele Messungen am Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; durchzuführen sind, um Optimalität zu garantieren, ist das <i>Theorem der Irrelevanz</i>&nbsp; hilfreich. Dazu betrachten wir den skizzierten Empfänger, dessen Detektor aus dem Empfangssignal&nbsp; $r(t)$&nbsp; die zwei Vektoren&nbsp; $\boldsymbol{r}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{r}_2$&nbsp; ableitet und dem Entscheider zur Verfügung stellt. Diese Größen stehen mit der Nachricht&nbsp; $ m \in \{m_i\}$&nbsp; über die Verbundwahrscheinlichkeitsdichte&nbsp; $p_{\boldsymbol{ r}_1, \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ r}_2\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m }$&nbsp; in Zusammenhang.<br>
+*Die Entscheidungsregel des MAP&ndash;Empfängers lautet mit Anpassung an dieses Beispiel:
 :$$\hat{m}_{\rm MAP} \hspace{-0.1cm}  =  \hspace{-0.1cm} {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big [ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ r}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_1, \hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rho}_2\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} m_i ) \big]=
@@ Zeile 130: / Zeile 132: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Hierzu ist anzumerken:
+*Die Vektoren&nbsp; $\boldsymbol{r}_1$&nbsp; und &nbsp;$\boldsymbol{r}_2$&nbsp; sind Zufallsgrößen.&nbsp; Ihre Realisierungen werden hier und im Folgenden mit&nbsp; $\boldsymbol{\rho}_1$&nbsp; und &nbsp;$\boldsymbol{\rho}_2$&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Zur Hervorhebung sind alle Vektoren in der Grafik rot eingetragen.
-*Die Voraussetzungen für die Anwendung des &bdquo;Theorems der Irrelevanz&rdquo; sind die gleichen wie die an eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Betrachtetes_Szenario| Markovkette]]&nbsp; erster Ordnung. Die Zufallsvariablen&nbsp; $x$,&nbsp; $y$,&nbsp; $z$&nbsp; formen dann eine Markovkette erster Ordnung, falls die Verteilung von&nbsp; $z$&nbsp; bei gegebenem &nbsp;$y$&nbsp; unabhängig von&nbsp; $x$&nbsp; ist:
+*Die Voraussetzungen für die Anwendung des&nbsp; "Theorems der Irrelevanz"&nbsp; sind die gleichen wie die an eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Betrachtetes_Szenario| Markovkette]]&nbsp; erster Ordnung.&nbsp; Die Zufallsvariablen&nbsp; $x$,&nbsp; $y$,&nbsp; $z$&nbsp; formen dann eine Markovkette erster Ordnung,&nbsp; falls die Verteilung von&nbsp; $z$&nbsp; bei gegebenem &nbsp;$y$&nbsp; unabhängig von&nbsp; $x$&nbsp; ist:
 :$$p(x, y, z) = p(x) \cdot p(y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}x) \cdot p(z\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}y) \hspace{0.25cm} {\rm anstelle \hspace{0.15cm}von} \hspace{0.25cm}p(x, y, z) = p(x) \cdot p(y\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}x) \cdot p(z\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}x, y) \hspace{0.05cm}.$$
-*Der optimale Empfänger muss im allgemeinen Fall beide Vektoren&nbsp; $\boldsymbol{r}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{r}_2$&nbsp; auswerten, da in obiger Entscheidungsregel beide Verbundwahrscheinlichkeitsdichten&nbsp; $p_{\boldsymbol{ r}_1\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m }$&nbsp;  und&nbsp; $p_{\boldsymbol{ r}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ r}_1, \hspace{0.05cm}m }$&nbsp;  auftreten.
+*Der optimale Empfänger muss allgemein beide Vektoren&nbsp; $\boldsymbol{r}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{r}_2$&nbsp; auswerten, da in obiger Entscheidungsregel beide Verbunddichten&nbsp; $p_{\boldsymbol{ r}_1\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}m }$&nbsp;  und&nbsp; $p_{\boldsymbol{ r}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ r}_1, \hspace{0.05cm}m }$&nbsp;  auftreten.&nbsp; Dagegen kann der Empfänger ohne Informationseinbuße die zweite Messung vernachlässigen, falls&nbsp; $\boldsymbol{r}_2$&nbsp; bei gegebenem&nbsp; $\boldsymbol{r}_1$&nbsp; unabhängig von der Nachricht&nbsp; $m$&nbsp; ist:
 :$$p_{\boldsymbol{ r}_2\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rho}_1 , \hspace{0.05cm}m_i )=
 p_{\boldsymbol{ r}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ r}_1  } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rho}_1  )
@@ Zeile 157: / Zeile 156: @@
 \big]\hspace{0.05cm}.$$
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Wir betrachten zur Verdeutlichung des soeben vorgestellten Theorems der Irrelevanz zwei verschiedene Systemkonfigurationen mit jeweils zwei Rauschtermen&nbsp; $\boldsymbol{ n}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{ n}_2$. In der Grafik sind alle vektoriellen Größen rot eingezeichnet. Die Größen&nbsp; $\boldsymbol{s}$,&nbsp; $\boldsymbol{ n}_1$&nbsp; und &nbsp;$\boldsymbol{ n}_2$&nbsp; seien zudem jeweils unabhängig voneinander.<br>
+[[Datei:Dig_T_4_2_S3b_version2.png|right|frame|Zwei Beispiele zum Theorem der Irrelevanz|class=fit]]
 Die Analyse dieser beiden Anordnungen liefert folgende Ergebnisse:
 *Der Entscheider muss in beiden Fällen die Komponente&nbsp; $\boldsymbol{ r}_1= \boldsymbol{ s}_i + \boldsymbol{ n}_1$&nbsp; berücksichtigen, da nur diese die Information über das Nutzsignal&nbsp; $\boldsymbol{ s}_i$&nbsp; und damit über die gesendete Nachricht&nbsp; $m_i$&nbsp; liefert.<br>
-*Bei der oberen Konfiguration enthält&nbsp; $\boldsymbol{ r}_2$&nbsp; keine Information über&nbsp; $m_i$, die nicht bereits von &nbsp;$\boldsymbol{ r}_1$&nbsp; geliefert wurde. Vielmehr ist&nbsp; $\boldsymbol{ r}_2= \boldsymbol{ r}_1 + \boldsymbol{ n}_2$&nbsp; nur eine verrauschte Version von&nbsp; $\boldsymbol{ r}_1$&nbsp; und hängt nur vom Rauschen&nbsp; $\boldsymbol{ n}_2$&nbsp; ab, sobald&nbsp; $\boldsymbol{ r}_1$&nbsp; bekannt ist &nbsp; &#8658; &nbsp; $\boldsymbol{ r}_2$&nbsp; ist irrelevant:
+*Bei der oberen Konfiguration enthält&nbsp; $\boldsymbol{ r}_2$&nbsp; keine Information über&nbsp; $m_i$, die nicht bereits von &nbsp;$\boldsymbol{ r}_1$&nbsp; geliefert wurde.&nbsp; Vielmehr ist&nbsp; $\boldsymbol{ r}_2= \boldsymbol{ r}_1 + \boldsymbol{ n}_2$&nbsp; nur eine verrauschte Version von&nbsp; $\boldsymbol{ r}_1$&nbsp; und hängt nur vom Rauschen&nbsp; $\boldsymbol{ n}_2$&nbsp; ab, sobald&nbsp; $\boldsymbol{ r}_1$&nbsp; bekannt ist &nbsp; &#8658; &nbsp; $\boldsymbol{ r}_2$&nbsp; '''ist irrelevant''':
 :$$p_{\boldsymbol{ r}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rho}_1 , \hspace{0.05cm}m_i )=
 p_{\boldsymbol{ r}_2\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ r}_1  } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rho}_1  )=
 p_{\boldsymbol{ n}_2  } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2 - \boldsymbol{\rho}_1  )\hspace{0.05cm}.$$
-*Bei der unteren Konfiguration ist dagegen $\boldsymbol{ r}_2= \boldsymbol{ n}_1 + \boldsymbol{ n}_2$ für den Empfänger hilfreich, da ihm so ein Schätzwert für den Rauschterm $\boldsymbol{ n}_1$ geliefert wird &nbsp; &#8658; &nbsp; $\boldsymbol{ r}_2$ sollte deshalb hier nicht verworfen werden. Formal lässt sich dieses Resultat wie folgt ausdrücken:
+*Bei der unteren Konfiguration ist&nbsp; $\boldsymbol{ r}_2= \boldsymbol{ n}_1 + \boldsymbol{ n}_2$ für den Empfänger hilfreich, da ihm so ein Schätzwert für den Rauschterm $\boldsymbol{ n}_1$ geliefert wird &nbsp; &#8658; &nbsp; $\boldsymbol{ r}_2$ sollte hier nicht verworfen werden.&nbsp; Formal lässt sich dieses Resultat wie folgt ausdrücken:
 :$$p_{\boldsymbol{ r}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ r}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2\hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}  \boldsymbol{\rho}_1 , \hspace{0.05cm}m_i ) = p_{\boldsymbol{ r}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm}  \boldsymbol{ n}_1 , \hspace{0.05cm} m } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rho}_1  - \boldsymbol{s}_i, \hspace{0.05cm}m_i)= p_{\boldsymbol{ n}_2 \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ n}_1 , \hspace{0.05cm} m  } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2- \boldsymbol{\rho}_1  + \boldsymbol{s}_i \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} \boldsymbol{\rho}_1  - \boldsymbol{s}_i, \hspace{0.05cm}m_i) = p_{\boldsymbol{ n}_2  } \hspace{0.05cm} (\boldsymbol{\rho}_2- \boldsymbol{\rho}_1  + \boldsymbol{s}_i )
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Da nun im Argument dieser Funktion die Nachricht $\boldsymbol{ s}_i$ erscheint, ist $\boldsymbol{ r}_2$ &bdquo;nicht irrelevant&rdquo;, sondern durchaus relevant.}}<br>
+*Da nun im Argument dieser Funktion die Nachricht $\boldsymbol{ s}_i$ erscheint, ist $\boldsymbol{ r}_2$&nbsp; '''nicht irrelevant&rdquo;, sondern durchaus relevant'''.}}<br>
 == Einige Eigenschaften des AWGN-Kanals==

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 == Blockschaltbild und Voraussetzungen ==
 <br>
-In diesem Kapitel wird die Struktur des optimalen Empfängers eines digitalen Übertragungssystems sehr allgemein hergeleitet, wobei
+In diesem Kapitel wird die Struktur des optimalen Empfängers eines digitalen Übertragungssystems sehr allgemein hergeleitet,&nbsp; wobei
 *das Modulationsverfahren und weitere Systemdetails nicht weiter spezifiziert werden,<br>
 Zum obigen Blockschaltbild ist anzumerken:
-*Der Symbolumfang der Quelle beträgt&nbsp; $M$&nbsp; und der Symbolvorrat ist&nbsp; $\{m_i\}$ mit $i = 0$, ... , $M-1$. Die zugehörigen Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m = m_i)$&nbsp; seien auch dem Empfänger bekannt.<br>
+*Der Symbolumfang der Quelle beträgt&nbsp; $M$&nbsp; und der Symbolvorrat ist&nbsp; $\{m_i\}$&nbsp; mit&nbsp; $i = 0$, ... , $M-1$.&nbsp;
-*Zur Nachrichtenübertragung stehen&nbsp; $M$&nbsp; verschiedene Signalformen&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; zur Verfügung; für die Laufvariable soll ebenfalls die Indizierung&nbsp; $i = 0$, ... , $M-1$&nbsp; gelten. Es besteht eine feste Beziehung zwischen den Nachrichten&nbsp; $\{m_i\}$&nbsp; und den Signalen&nbsp; $\{s_i(t)\}$. Wird&nbsp; $m =m_i$&nbsp; übertragen, so ist das Sendesignal&nbsp; $s(t) =s_i(t)$.<br>
+*Die zugehörigen Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m = m_i)$&nbsp; seien auch dem Empfänger bekannt.<br>
-*Lineare Kanalverzerrungen sind in der obigen Grafik durch die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; berücksichtigt. Außerdem ist ein (irgendwie geartetes) Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; wirksam. Mit diesen beiden die Übertragung störenden Effekten lässt sich das am Empfänger ankommende Signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; in folgender Weise angeben:
+*Zur Nachrichtenübertragung stehen&nbsp; $M$&nbsp;  Signalformen&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; zur Verfügung;&nbsp; auch für die Laufvariable gelte die Indizierung&nbsp; $i = 0$, ... , $M-1$.
 :$$r(t) = s(t) \star h(t) + n(t) \hspace{0.05cm}.$$
-*Aufgabe des (optimalen) Empfängers ist es, anhand seines Eingangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; herauszufinden, welche der&nbsp; $M$&nbsp; möglichen Nachrichten&nbsp; $m_i$&nbsp; &ndash; bzw. welches der Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; &ndash; gesendet wurde. Der vom Empfänger gefundene Schätzwert für&nbsp; $m$&nbsp; wird durch ein Zirkumflex (französisch: ''Circonflexe'') gekennzeichnet &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\hat{m}$.
+*Aufgabe des&nbsp; (optimalen)&nbsp; Empfängers ist es,&nbsp; anhand seines Eingangssignals&nbsp; $r(t)$&nbsp; herauszufinden,&nbsp; welche der&nbsp; $M$&nbsp; möglichen Nachrichten&nbsp; $m_i$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Signal&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; gesendet wurde.&nbsp; Der vom Empfänger gefundene Schätzwert für&nbsp; $m$&nbsp; wird durch ein&nbsp; "Zirkumflex"&nbsp; gekennzeichnet &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\hat{m}$.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Man spricht von einem '''optimalen Empfänger''', wenn die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit den für die Randbedingungen kleinstmöglichsten Wert annimmt:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Man spricht von einem&nbsp; '''optimalen Empfänger''',&nbsp; wenn die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit den für die Randbedingungen kleinstmöglichen Wert annimmt:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Pr}  ({\cal E}) = {\rm Pr} ( \hat{m} \ne m) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm Minimum}   \hspace{0.05cm}.$$}}
-<i>Hinweise:</i>
+Hinweise:
-#Im Folgenden wird meist der AWGN&ndash;Ansatz &nbsp; &rArr; &nbsp;  $r(t) =  s(t) + n(t)$&nbsp; vorausgesetzt, was bedeutet, dass &nbsp;$h(t) =  \delta(t)$&nbsp; als verzerrungsfrei angenommen wird.
+#Im Folgenden wird meist der AWGN&ndash;Ansatz &nbsp; &rArr; &nbsp;  $r(t) =  s(t) + n(t)$&nbsp; vorausgesetzt,&nbsp; was bedeutet,&nbsp; dass &nbsp;$h(t) =  \delta(t)$&nbsp; als verzerrungsfrei angenommen wird.
-#Andernfalls können wir die Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; als &nbsp;${s_i}'(t) = s_i(t) \star h(t)$&nbsp; neu definieren, also die deterministischen Kanalverzerrungen dem Sendesignal beaufschlagen.<br>
+#Andernfalls können wir die Signale&nbsp; $s_i(t)$&nbsp; als &nbsp;${s_i}'(t) = s_i(t) \star h(t)$&nbsp; neu definieren,&nbsp; also die deterministischen Kanalverzerrungen dem Sendesignal beaufschlagen.<br>
 == Fundamentaler Ansatz zum optimalen Empfängerentwurf==

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 Bei diesem werden die möglicherweise unterschiedlichen Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m = m_i)$&nbsp; für den Entscheidungsprozess nicht herangezogen, zum Beispiel, weil sie dem Empfänger nicht bekannt sind.}}<br>
-Im früheren Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Betrachtetes_Szenario_und_Voraussetzungen|Optimale Empfängerstrategien]]&nbsp; finden Sie andere Herleitungen für diese Empfängertypen.
+Im früheren Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]]&nbsp; finden Sie andere Herleitungen für diese Empfängertypen.
 {{BlaueBox|TEXT=