Digitalsignalübertragung/Signale, Basisfunktionen und Vektorräume - Versionsgeschichte

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Digital_Signal_Transmission/Signals,_Basis_Functions_and_Vector_Spaces]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Guenter am 7. Juli 2022 um 14:19 Uhr

2022-07-07T14:19:10Z

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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	* Daraus ergibt sich die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm "Euklidische Norm"]  oder  "2–Norm"  (oder kurz  "Norm&"):		* Daraus ergibt sich die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm "Euklidische Norm"]  oder  "2–Norm"  (oder kurz  "Norm"):
	:$$\|\|x(t) \|\| = \sqrt{<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}x(t) \hspace{-0.1cm}>}		:$$\|\|x(t) \|\| = \sqrt{<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}x(t) \hspace{-0.1cm}>}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 7. Juli 2022 um 14:17 Uhr

2022-07-07T14:17:38Z

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Guenter am 7. Juli 2022 um 12:24 Uhr

2022-07-07T12:24:27Z

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	Diese Prozedur wird fortgesetzt,  bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.  Danach hat man alle  $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  gefunden.  Der Sonderfall  $N = M$  ergibt sich nur dann,  wenn alle  $M$  Signale linear voneinander unabhängig sind.<br>		Diese Prozedur wird fortgesetzt,  bis alle  $M$  Signale berücksichtigt wurden.  Danach hat man alle  $N \le M$  orthonormalen Basisfunktionen  $\varphi_j(t)$  gefunden.  Der Sonderfall  $N = M$  ergibt sich nur dann,  wenn alle  $M$  Signale linear voneinander unabhängig sind.<br>

	Dieses Verfahren wird nun an einem Beispiel verdeutlicht.  Wir verweisen auch auf das interaktive HTML5/JavaScript Applet  [[Applets:~~Gram~~-Schmidt-Verfahren\|"Gram–Schmidt–Verfahren"]].		Dieses Verfahren wird nun an einem Beispiel verdeutlicht.  Wir verweisen auch auf das interaktive HTML5/JavaScript Applet  [[Applets:Das_Gram-Schmidt-Verfahren\|"Gram–Schmidt–Verfahren"]].

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

Guenter am 7. Juli 2022 um 11:45 Uhr

2022-07-07T11:45:21Z

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Guenter am 6. Juli 2022 um 10:55 Uhr

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	== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==		== # ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL # ==
	<br>		<br>
	Das vierte Hauptkapitel liefert eine abstrahierte Beschreibung der Digitalsignalübertragung, die auf Basisfunktionen und Signalraumkonstellationen aufbaut. Dadurch ist es möglich, sehr unterschiedliche Konfigurationen – zum Beispiel Bandpass–Systeme und solche für das Basisband – in einheitlicher Form zu behandeln. Der jeweils optimale Empfänger besitzt in allen Fällen die gleiche Struktur.		Das vierte Hauptkapitel liefert eine abstrahierte Beschreibung der Digitalsignalübertragung,  die auf Basisfunktionen und Signalraumkonstellationen aufbaut.  Dadurch ist es möglich,  sehr unterschiedliche Konfigurationen  – zum Beispiel Bandpass–Systeme und solche für das Basisband –  in einheitlicher Form zu behandeln.  Der jeweils optimale Empfänger besitzt in allen Fällen die gleiche Struktur.

	Im Einzelnen werden behandelt:		Im Einzelnen werden behandelt:
	*die Bedeutung von Basisfunktionen und deren Auffinden nach dem Gram–Schmidt–Verfahren,		*die Bedeutung von  »Basisfunktionen«  und deren Auffinden nach dem  »Gram–Schmidt–Verfahren«,
	*die Struktur des optimalen Empfängers für die Basisbandübertragung,		*die  »Struktur des optimalen Empfängers«  für die Basisbandübertragung,
	*das Theorem der Irrelevanz und dessen Bedeutung für die Herleitung optimaler Detektoren,		*das  »Theorem der Irrelevanz«  und dessen Bedeutung für die Herleitung optimaler Detektoren,
	*der optimale Empfänger für den AWGN–Kanal und Implementierungsaspekte,		*der  »optimale Empfänger für den AWGN–Kanal«  und Implementierungsaspekte,
	*die Systembeschreibung durch komplexes bzw.  $N$–dimensionales Gaußsches Rauschen,		*die Systembeschreibung durch  »komplexes bzw.  $N$–dimensionales Gaußsches Rauschen«,
	*die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung und –approximation bei sonst idealen Bedingungen,		*die  »Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung und –approximation bei sonst idealen Bedingungen«,
	*die Anwendung der Signalraumbeschreibung auf Trägerfrequenzsysteme,		*die Anwendung der  »Signalraumbeschreibung auf Trägerfrequenzsysteme«,
	*die unterschiedlichen Ergebnisse für OOK, M–ASK, M–PSK, M–QAM und M–FSK,		*die unterschiedlichen Ergebnisse für  »OOK, M–ASK, M–PSK, M–QAM und M–FSK«,
	*die unterschiedlichen Ergebnisse für kohärente bzw. nichtkohärente Demodulation.		*die unterschiedlichen Ergebnisse für  »kohärente bzw. nichtkohärente Demodulation«.


	Nahezu alle Ergebnisse dieses Kapitels wurden bereits in früheren Abschnitten hergeleitet. Grundlegend neu ist jedoch die Herangehensweise:		Nahezu alle Ergebnisse dieses Kapitels wurden bereits in früheren Abschnitten hergeleitet.  Grundlegend neu ist jedoch die Herangehensweise:
	*Im $\rm LNTwww$–Buch &bdquo;Modulationsverfahren” sowie in den ersten drei Kapiteln dieses Buches wurden bereits bei den Herleitungen die spezifischen Systemeigenschaften berücksichtigt – zum Beispiel, ob die Übertragung des Digitalsignals im Basisband erfolgt oder ob eine digitale Amplituden–, Frequenz– oder Phasenmodulation vorliegt.~~<br>~~		*Im  $\rm LNTwww$–Buch  &bdquo;Modulationsverfahren”  sowie in den ersten drei Kapiteln dieses Buches wurden bereits bei den Herleitungen die spezifischen Systemeigenschaften berücksichtigt – zum Beispiel,  ob die Übertragung des Digitalsignals im Basisband erfolgt oder ob eine digitale Amplituden–, Frequenz– oder Phasenmodulation vorliegt.<br>
	*Hier sollen nun die Systeme dahingehend abstrahiert werden, dass sie einheitlich behandelt werden können. Der jeweils optimale Empfänger besitzt in allen Fällen die gleiche Struktur, und die Fehlerwahrscheinlichkeit lässt sich auch für nichtgaußverteiltes Rauschen angeben.<br><br>

	Anzumerken ist, dass sich durch diese eher globale Vorgehensweise gewisse Systemunzulänglichkeiten nur sehr ungenau erfassen lassen, wie zum Beispiel		*Hier sollen nun die Systeme dahingehend abstrahiert werden,  dass sie einheitlich behandelt werden können.  Der jeweils optimale Empfänger besitzt in allen Fällen die gleiche Struktur,  und die Fehlerwahrscheinlichkeit lässt sich auch für nichtgaußverteiltes Rauschen angeben.<br><br>

			Anzumerken ist, dass sich durch diese eher globale Vorgehensweise gewisse Systemunzulänglichkeiten nur sehr ungenau erfassen lassen,  wie zum Beispiel
	*der Einfluss eines nichtoptimalen Empfangsfilters auf die Fehlerwahrscheinlichkeit,<br>		*der Einfluss eines nichtoptimalen Empfangsfilters auf die Fehlerwahrscheinlichkeit,<br>
	*ein falscher Schwellenwert (Schwellendrift), oder<br>		*ein falscher Schwellenwert  $($Schwellendrift$)$,  oder<br>
	*Phasenjitter (Schwankungen der Abtastzeitpunkte).<br><br>		*Phasenjitter  $($Schwankungen der Abtastzeitpunkte$)$.<br><br>

	Insbesondere bei Vorhandensein von Impulsinterferenzen sollte also weiterhin entsprechend dem  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_DRITTEN_HAUPTKAPITEL_.23\|Hauptkapitel 3]]  vorgegangen werden.<br>		Insbesondere bei Vorhandensein von Impulsinterferenzen sollte also weiterhin entsprechend dem  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_DRITTEN_HAUPTKAPITEL_.23\|Hauptkapitel 3]]  vorgegangen werden.<br>

	Die Beschreibung basiert auf dem Skript [KöZ08]<ref name='KöZ08'>Kötter, R., Zeitler, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> von  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._Ralf_K.C3.B6tter_.282007-2009.29\|Ralf Kötter]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Georg_Zeitler_.28am_LNT_von_2007-2012.29\|Georg Zeitler]], das sich stark an das Lehrbuch [WJ65]<ref name='WJ65'>Wozencraft, J. M.; Jacobs, I. M.: ''Principles of Communication Engineering.'' New York: John Wiley & Sons, 1965.</ref> anlehnt. [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29\|Gerhard Kramer]], Lehrstuhlinhaber des LNT seit 2010, behandelt in seiner Vorlesung [Kra17]<ref>Kramer, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2017.</ref> die gleiche Thematik mit sehr ähnlicher Nomenklatur.~~<br>~~		Die Beschreibung basiert auf dem Skript  [KöZ08]<ref name='KöZ08'>Kötter, R., Zeitler, G.:  Nachrichtentechnik 2.  Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref>  von  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._Ralf_K.C3.B6tter_.282007-2009.29\|Ralf Kötter]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Georg_Zeitler_.28am_LNT_von_2007-2012.29\|Georg Zeitler]],  das sich stark an das Lehrbuch  [WJ65]<ref name='WJ65'>Wozencraft, J. M.; Jacobs, I. M.:  Principles of Communication Engineering.  New York: John Wiley & Sons, 1965.</ref>  anlehnt.  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29\|Gerhard Kramer]],  Lehrstuhlinhaber des LNT seit 2010,  behandelt in seiner Vorlesung  [Kra17]<ref>Kramer, G.:  Nachrichtentechnik 2.  Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2017.</ref> die gleiche Thematik mit sehr ähnlicher Nomenklatur.  Um unseren eigenen Studenten an der TU München das Lesen nicht unnötig zu erschweren,  halten wir uns weitestgehend an diese Nomenklatur,  auch wenn diese von anderen $\rm LNTwww$–Kapiteln abweicht.<br>

	Um unseren eigenen Studenten an der TU München das Lesen nicht unnötig zu erschweren, halten wir uns weitestgehend an diese Nomenklatur, auch wenn diese von anderen $\rm LNTwww$–Kapiteln abweicht.<br>

	== Zur Nomenklatur im vierten Kapitel==		== Zur Nomenklatur im vierten Kapitel==

Guenter am 10. März 2019 um 14:06 Uhr

2019-03-10T14:06:55Z

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	== Aufgaben zum Kapitel ==		== Aufgaben zum Kapitel ==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Zum_Gram-Schmidt-Verfahren\|Aufgabe 4.1: Gram-Schmidt-Verfahren]]		[[Aufgaben:Aufgabe_4.1:_Zum_Gram-Schmidt-Verfahren\|Aufgabe 4.1: Zum Gram-Schmidt-Verfahren]]

	[[Aufgaben:Aufgabe_4.1Z:_Andere_Basisfunktionen\|Aufgabe 4.1Z: Andere Basisfunktionen]]		[[Aufgaben:Aufgabe_4.1Z:_Andere_Basisfunktionen\|Aufgabe 4.1Z: Andere Basisfunktionen]]

Guenter am 10. März 2019 um 13:55 Uhr

2019-03-10T13:55:58Z

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Guenter am 10. März 2019 um 12:27 Uhr

2019-03-10T12:27:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. März 2019, 14:27 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	*das Theorem der Irrelevanz und dessen Bedeutung für die Herleitung optimaler Detektoren,		*das Theorem der Irrelevanz und dessen Bedeutung für die Herleitung optimaler Detektoren,
	*der optimale Empfänger für den AWGN–Kanal und Implementierungsaspekte,		*der optimale Empfänger für den AWGN–Kanal und Implementierungsaspekte,
	*die Systembeschreibung durch komplexes bzw. $N$–dimensionales Gaußsches Rauschen,		*die Systembeschreibung durch komplexes bzw.  $N$–dimensionales Gaußsches Rauschen,
	*die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung und –approximation bei sonst idealen Bedingungen,		*die Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung und –approximation bei sonst idealen Bedingungen,
	*die Anwendung der Signalraumbeschreibung auf Trägerfrequenzsysteme,		*die Anwendung der Signalraumbeschreibung auf Trägerfrequenzsysteme,
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	Anzumerken ist, dass sich durch diese eher globale Vorgehensweise gewisse Systemunzulänglichkeiten nur sehr ungenau erfassen lassen, wie zum Beispiel		Anzumerken ist, dass sich durch diese eher globale Vorgehensweise gewisse Systemunzulänglichkeiten nur sehr ungenau erfassen lassen, wie zum Beispiel
	*der Einfluss eines nichtoptimalen Empfangsfilters auf die Fehlerwahrscheinlichkeit,<br>		*der Einfluss eines nichtoptimalen Empfangsfilters auf die Fehlerwahrscheinlichkeit,<br>
	*ein falscher Schwellenwert (Schwellendrift) oder<br>		*ein falscher Schwellenwert (Schwellendrift), oder<br>
	*Phasenjitter (Schwankungen der Abtastzeitpunkte).<br><br>		*Phasenjitter (Schwankungen der Abtastzeitpunkte).<br><br>

	Insbesondere bei Vorhandensein von Impulsinterferenzen sollte also weiterhin entsprechend dem [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_DRITTEN_HAUPTKAPITEL_.23\|Hauptkapitel 3]] vorgegangen werden.<br>		Insbesondere bei Vorhandensein von Impulsinterferenzen sollte also weiterhin entsprechend dem  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#.23_.C3.9CBERBLICK_ZUM_DRITTEN_HAUPTKAPITEL_.23\|Hauptkapitel 3]]  vorgegangen werden.<br>

	Die Beschreibung basiert auf dem Skript [KöZ08]<ref name='KöZ08'>Kötter, R., Zeitler, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> von [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._Ralf_K.C3.B6tter_.282007-2009.29\|Ralf Kötter]] und [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Georg_Zeitler_.28am_LNT_von_2007-2012.29\|Georg Zeitler]], das sich stark an das Lehrbuch [WJ65]<ref name='WJ65'>Wozencraft, J. M.; Jacobs, I. M.: ''Principles of Communication Engineering.'' New York: John Wiley & Sons, 1965.</ref> anlehnt. [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29\|Gerhard Kramer]], Lehrstuhlinhaber des LNT seit 2010, behandelt in seiner Vorlesung [Kra17]<ref>Kramer, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2017.</ref> die gleiche Thematik mit sehr ähnlicher Nomenklatur.<br>		Die Beschreibung basiert auf dem Skript [KöZ08]<ref name='KöZ08'>Kötter, R., Zeitler, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2008.</ref> von  [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._Ralf_K.C3.B6tter_.282007-2009.29\|Ralf Kötter]]  und  [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Dr.-Ing._Georg_Zeitler_.28am_LNT_von_2007-2012.29\|Georg Zeitler]], das sich stark an das Lehrbuch [WJ65]<ref name='WJ65'>Wozencraft, J. M.; Jacobs, I. M.: ''Principles of Communication Engineering.'' New York: John Wiley & Sons, 1965.</ref> anlehnt. [[Biografien_und_Bibliografien/Lehrstuhlinhaber_des_LNT#Prof._Dr._sc._techn._Gerhard_Kramer_.28seit_2010.29\|Gerhard Kramer]], Lehrstuhlinhaber des LNT seit 2010, behandelt in seiner Vorlesung [Kra17]<ref>Kramer, G.: ''Nachrichtentechnik 2.'' Vorlesungsmanuskript, Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, Technische Universität München, 2017.</ref> die gleiche Thematik mit sehr ähnlicher Nomenklatur.<br>

	Um unseren eigenen Studenten an der TU München das Lesen nicht unnötig zu erschweren, halten wir uns weitestgehend an diese Nomenklatur, auch wenn diese von anderen $\rm LNTwww$–Kapiteln abweicht.<br>		Um unseren eigenen Studenten an der TU München das Lesen nicht unnötig zu erschweren, halten wir uns weitestgehend an diese Nomenklatur, auch wenn diese von anderen $\rm LNTwww$–Kapiteln abweicht.<br>
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	<br>		<br>
	Gegenüber den anderen Kapiteln in $\rm LNTwww$ ergeben sich hier folgende Nomenklaturunterschiede:		Gegenüber den anderen Kapiteln in $\rm LNTwww$ ergeben sich hier folgende Nomenklaturunterschiede:
	*Die zu übertragende [[Signaldarstellung/Prinzip_der_Nachrichtenübertragung#Nachricht_-_Information_-_Signal\|Nachricht]] ist ein ganzzahliger Wert $m \in \{m_i\}$ mit $i = 0$, ... , $M-1$, wobei $M$ den Symbolumfang angibt. Wenn es die Beschreibung vereinfacht, wird $i = 1$, ... , $M$  induziert.<br>		*Die zu übertragende  [[Signaldarstellung/Prinzip_der_Nachrichtenübertragung#Nachricht_-_Information_-_Signal\|Nachricht]]  ist ein ganzzahliger Wert  $m \in \{m_i\}$  mit  $i = 0$, ... , $M-1$, wobei  $M$  den Symbolumfang angibt. Wenn es die Beschreibung vereinfacht, wird  $i = 1$, ... , $M$   induziert.<br>


Zeile 46:		Zeile 46:
	:$$\hat{m} \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} i = 0, 1, \text{...}\hspace{0.05cm} , M-1\hspace{0.2cm} ({\rm bzw.}\,\,i = 1, 2, \text{...}\hspace{0.05cm}, M) \hspace{0.05cm}.$$		:$$\hat{m} \in \{m_i \}, \hspace{0.2cm} i = 0, 1, \text{...}\hspace{0.05cm} , M-1\hspace{0.2cm} ({\rm bzw.}\,\,i = 1, 2, \text{...}\hspace{0.05cm}, M) \hspace{0.05cm}.$$

			*Die  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Symbol.E2.80.93_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit]]  $\rm Pr(Symbolfehler)$  oder auch $p_{\rm S}$  wird in diesem Hauptkapitel meist wie folgt bezeichnet:
	*Die [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Symbol.E2.80.93_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit]] $\rm Pr(Symbolfehler)$ oder auch $p_{\rm S}$ wird in diesem Hauptkapitel meist wie folgt bezeichnet:
	:$${\rm Pr} ({\cal E}) = {\rm Pr} ( \hat{m} \ne m) = 1 - {\rm Pr} ({\cal C}),		:$${\rm Pr} ({\cal E}) = {\rm Pr} ( \hat{m} \ne m) = 1 - {\rm Pr} ({\cal C}),
	\hspace{0.4cm}\text{Komplementärereignis:}\hspace{0.2cm} {\rm Pr} ({\cal C}) = {\rm Pr} ( \hat{m} = m) \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.4cm}\text{Komplementärereignis:}\hspace{0.2cm} {\rm Pr} ({\cal C}) = {\rm Pr} ( \hat{m} = m) \hspace{0.05cm}.$$

	*Bei einer [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (WDF) wird nun entsprechend $p_r(\rho)$ zwischen der ''Zufallsgröße''   ⇒   $r$ und der ''Realisierung''   ⇒   $\rho$ unterschieden. Bisher wurde für eine WDF die Bezeichnung $f_r(r)$ verwendet.<br>		*Bei einer  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]]  (WDF) wird nun entsprechend  $p_r(\rho)$  zwischen der ''Zufallsgröße''   ⇒   $r$  und der ''Realisierung''   ⇒   $\rho$  unterschieden. Bisher wurde für eine WDF die Bezeichnung  $f_r(r)$  verwendet.<br>


	*Mit der Schreibweise $p_r(\rho)$ ~~geben~~ $r$ und $\rho$ Skalare an. Sind dagegen Zufallsgröße und Realisierung Vektoren (geeigneter Länge), so wird dies durch Fettschrift ausgedrückt:     $p_{ \boldsymbol{ r}}(\boldsymbol{\rho})$ mit den Vektoren $ \boldsymbol{ r}$ und $\boldsymbol{\rho}$.		*Mit der Schreibweise  $p_r(\rho)$  sind  $r$  und  $\rho$  Skalare. Sind dagegen Zufallsgröße und Realisierung Vektoren (geeigneter Länge), so wird dies durch Fettschrift ausgedrückt:     $p_{ \boldsymbol{ r}}(\boldsymbol{\rho})$  mit den Vektoren  $ \boldsymbol{ r}$  und  $\boldsymbol{\rho}$.


	*Um Verwechslungen mit Energiewerten zu vermeiden, heißt nun der Schwellenwert $G$ anstelle von $E$ und wird in diesem Kapitel vorwiegend als ''Entscheidungsgrenze'' bezeichnet.		*Um Verwechslungen mit Energiewerten zu vermeiden, heißt nun der Schwellenwert  $G$  anstelle von  $E$  und dieser wird in diesem Kapitel vorwiegend als ''Entscheidungsgrenze'' bezeichnet.


	*Ausgehend von den beiden reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ erhält man für das [https://de.wikipedia.org/wiki/Inneres_Produkt innere Produkt]:		*Ausgehend von den beiden reellen und energiebegrenzten Zeitfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  erhält man für das  [https://de.wikipedia.org/wiki/Inneres_Produkt innere Produkt]:
	:$$<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t		:$$<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}y(t) \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.15cm}= \int_{-\infty}^{+\infty}x(t) \cdot y(t)\,d \it t
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	* Daraus ergibt sich die [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm Euklidische Norm] oder &bdquo;2–Norm” (oder kurz &bdquo;Norm”):		* Daraus ergibt sich die  [https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm Euklidische Norm]  oder &bdquo;2–Norm” (oder kurz &bdquo;Norm”):
	:$$\|\|x(t) \|\| = \sqrt{<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}x(t) \hspace{-0.1cm}>}		:$$\|\|x(t) \|\| = \sqrt{<\hspace{-0.1cm}x(t), \hspace{0.05cm}x(t) \hspace{-0.1cm}>}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	Gegenüber dem Skript [KöZ08]<ref name='KöZ08' /> unterscheidet sich die Bezeichnungsweise hier wie folgt:		Gegenüber dem Skript  $\rm [KöZ08]$<ref name='KöZ08' /> unterscheidet sich die Bezeichnungsweise hier wie folgt:
	*Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E$ ist hier ${\rm Pr}(E)$ anstelle von $P(E)$. Diese Nomenklaturänderung wurde auch deshalb vorgenommen, da Wahrscheinlichkeiten und Leistungen ~~in manchen Gleichungen~~ gemeinsam vorkommen.<br>		*Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses  $E$  ist hier  ${\rm Pr}(E)$  anstelle von  $P(E)$. Diese Nomenklaturänderung wurde auch deshalb vorgenommen, da in manchen Gleichungen Wahrscheinlichkeiten und Leistungen gemeinsam vorkommen.<br>
	*Bandpass–Signale werden weiterhin mit Index &bdquo;BP” gekennzeichnet und nicht wie in [KöZ08]<ref name='KöZ08' /> mit einer Tilde. Das entsprechende Tiefpass–Signal ist (meist) mit dem Index &bdquo;TP” versehen.<br>

			*Bandpass–Signale werden weiterhin mit dem Index &bdquo;BP” gekennzeichnet und nicht wie in [KöZ08]<ref name='KöZ08' /> mit einer Tilde. Das entsprechende Tiefpass–Signal ist (meist) mit dem Index &bdquo;TP” versehen.<br>

	== Orthonormale Basisfunktionen ==		== Orthonormale Basisfunktionen ==