Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie Codierung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:26:48Z

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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Digital_Signal_Transmission/Redundancy-Free_Coding]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:41Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	<br>		<br>
	Bei einem redundanzfrei codierten $M$–stufigen bipolaren Digitalsignal  $s(t)$  gilt für die  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals\|diskrete Autokorrelationsfunktion]]  $\rm (AKF)$ $T = 3/2 \cdot T_{\rm B}$ der Amplitudenkoeffizienten sowie für das entsprechende  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Grundlagen_der_codierten_%C3%9Cbertragung#LDS.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals\|Leistungsdichtespektrum]]  (LDS):		Bei einem redundanzfrei codierten $M$–stufigen bipolaren Digitalsignal  $s(t)$  gilt für die  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals\|diskrete Autokorrelationsfunktion]]  $\rm (AKF)$ $T = 3/2 \cdot T_{\rm B}$ der Amplitudenkoeffizienten sowie für das entsprechende  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Grundlagen_der_codierten_%C3%9Cbertragung#LDS.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals\|Leistungsdichtespektrum]]  (LDS):
	:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \\		:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \\\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}\lambda = 0, \\ \\ \lambda \ne 0 \\\end{array}\hspace{0.9cm}\Rightarrow \hspace{0.9cm}{\it \Phi_a(f)} =\frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}= {\rm const.}$$
	\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}
	\begin{array}{*{20}c}\lambda = 0, \\ \\ \lambda \ne 0 \\
	\end{array}
	\hspace{0.9cm}\Rightarrow \hspace{0.9cm}{\it \Phi_a(f)} =
	\frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}= {\rm const.}$$

	Unter Berücksichtigung der spektralen Formung durch den Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  mit Spektrum  $G_s(f)$  erhält man:		Unter Berücksichtigung der spektralen Formung durch den Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  mit Spektrum  $G_s(f)$  erhält man:
	:$$\varphi_{s}(\tau) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet		:$$\varphi_{s}(\tau) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.4cm}{\it \Phi}_{s}(f) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}\cdot \|G_s(f)\|^2\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.4cm}
	{\it \Phi}_{s}(f) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}\cdot \|G_s(f)\|^2
	\hspace{0.05cm}.$$

	Man erkennt aus diesen Gleichungen:		Man erkennt aus diesen Gleichungen:
Zeile 156:		Zeile 147:
	*Dementsprechend wird ein Amplitudenkoeffizient  $a_\nu = 0$  gegenüber  $a_\nu = +1$  bzw.  $a_\nu = -1$  doppelt so oft verfälscht.  Bei AWGN–Rauschen mit dem Effektivwert  $\sigma_d$  sowie gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten ergibt sich gemäß dem Abschnitt  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Definition_der_Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|"Definition der Fehlerwahrscheinlichkeit"]]  für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:		*Dementsprechend wird ein Amplitudenkoeffizient  $a_\nu = 0$  gegenüber  $a_\nu = +1$  bzw.  $a_\nu = -1$  doppelt so oft verfälscht.  Bei AWGN–Rauschen mit dem Effektivwert  $\sigma_d$  sowie gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten ergibt sich gemäß dem Abschnitt  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Definition_der_Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|"Definition der Fehlerwahrscheinlichkeit"]]  für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:

	:$$p_{\rm S} = { 1}/{3} \cdot \left[{\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+		:$$p_{\rm S} = { 1}/{3} \cdot \left[{\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+ {\rm Q} \left(\frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\right]=\frac{ 4}{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+ {\rm Q} \left(
	\frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\right]=
	\frac{ 4}{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$

	*Bitte beachten Sie,  dass mit dieser Gleichung nicht mehr die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$,  sondern die "Symbolfehlerwahrscheinlichkeit"  $p_{\rm S}$  angegeben wird.  Die entsprechenden Aposteriori–Kenngrößen sind  "Bit Error Rate"  $\rm (BER)$  bzw.  "Symbol Error Rate"  $\rm (SER)$.  Näheres hierzu im  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Symbol.E2.80.93_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|letzten Abschnitt]]  dieses Kapitels.<br>		*Bitte beachten Sie,  dass mit dieser Gleichung nicht mehr die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$,  sondern die "Symbolfehlerwahrscheinlichkeit"  $p_{\rm S}$  angegeben wird.  Die entsprechenden Aposteriori–Kenngrößen sind  "Bit Error Rate"  $\rm (BER)$  bzw.  "Symbol Error Rate"  $\rm (SER)$.  Näheres hierzu im  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Symbol.E2.80.93_und_Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|letzten Abschnitt]]  dieses Kapitels.<br>
Zeile 165:		Zeile 153:

	*Beim  '''Quaternärsystem'''  $(M = 4)$  mit den möglichen Amplitudenwerten  $\pm s_0$  und  $\pm s_0/3$  gibt es drei Augenöffnungen und somit auch drei Entscheiderschwellen bei  $E_1 = -2s_0/3$,  $E_2 = 0$  und  $E_3 = +2s_0/3$.  Unter Berücksichtigung der Auftrittswahrscheinlichkeiten  $($bei gleichwahrscheinlichen Symbolen jeweils $1/4)$  und der sechs Verfälschungsmöglichkeiten  $($siehe Pfeile in der Grafik$)$  erhält man nun:		*Beim  '''Quaternärsystem'''  $(M = 4)$  mit den möglichen Amplitudenwerten  $\pm s_0$  und  $\pm s_0/3$  gibt es drei Augenöffnungen und somit auch drei Entscheiderschwellen bei  $E_1 = -2s_0/3$,  $E_2 = 0$  und  $E_3 = +2s_0/3$.  Unter Berücksichtigung der Auftrittswahrscheinlichkeiten  $($bei gleichwahrscheinlichen Symbolen jeweils $1/4)$  und der sechs Verfälschungsmöglichkeiten  $($siehe Pfeile in der Grafik$)$  erhält man nun:
	:$$p_{\rm S} =		:$$p_{\rm S} ={ 6}/{4} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/3}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	{ 6}/{4} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/3}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Allgemein gilt für die  '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'''  bei  $M$–stufiger Digitalsignalübertragung:		$\text{Fazit:}$  Allgemein gilt für die  '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'''  bei  $M$–stufiger Digitalsignalübertragung:
	:$$p_{\rm S} =		:$$p_{\rm S} = \frac{ 2 + 2 \cdot (M-2)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/(M-1)}{\sigma_d(M)}\right) = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d (M)\cdot (M-1)}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	\frac{ 2 + 2 \cdot (M-2)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/(M-1)}{\sigma_d(M)}\right) = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d (M)\cdot (M-1)}\right)\hspace{0.05cm}.$$

	*Die Schreibweise  $\sigma_d(M)$  soll deutlich machen,  dass der Effektivwert des Rauschanteils  $d_{\rm N}(t)$  signifikant von der Stufenzahl  $M$  abhängt.}}<br>		*Die Schreibweise  $\sigma_d(M)$  soll deutlich machen,  dass der Effektivwert des Rauschanteils  $d_{\rm N}(t)$  signifikant von der Stufenzahl  $M$  abhängt.}}<br>
Zeile 184:		Zeile 170:
	::$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}.$$		::$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}.$$
	*Der Vergleich der Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm S}$  erfolgt für  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Leistungsbegrenzung\|Leistungsbegrenzung]].  Die Energie pro Bit beträgt bei  $M$–stufiger Übertragung:		*Der Vergleich der Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm S}$  erfolgt für  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Leistungsbegrenzung\|Leistungsbegrenzung]].  Die Energie pro Bit beträgt bei  $M$–stufiger Übertragung:
	:$$E_{\rm B} = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}		:$$E_{\rm B} = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Setzt man diese Gleichungen in das allgemeine Ergebnis der  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Fehlerwahrscheinlichkeit_eines_Mehrstufensystems\|letzten Seite]]  ein, so erhält man:		Setzt man diese Gleichungen in das allgemeine Ergebnis der  [[Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie_Codierung#Fehlerwahrscheinlichkeit_eines_Mehrstufensystems\|letzten Seite]]  ein, so erhält man:
	:$$p_{\rm S} =		:$$p_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{s_0^2 /(M-1)^2}{\sigma_d^2}}\right) =\frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{3 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M)}{M^2 -1}\cdot\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)$$
	\frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{s_0^2 /(M-1)^2}{\sigma_d^2}}\right) =
	\frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{3 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M)}{M^2 -1}\cdot
	\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)$$
	[[Datei:P_ID2191__Dig_T_2_2_S5_v3.png\|right\|frame\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeitskurven für verschiedene Stufenzahlen  $M$]]		[[Datei:P_ID2191__Dig_T_2_2_S5_v3.png\|right\|frame\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeitskurven für verschiedene Stufenzahlen  $M$]]
	$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} =		$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} = K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot
	\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$

	Für  $M = 2$  ist  $K_1 = K_2 = 1$  zu setzen.  Für größere Stufenzahlen erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$,  die sich mit  $M$–stufiger redundanzfreier Codierung erreichen lässt:		Für  $M = 2$  ist  $K_1 = K_2 = 1$  zu setzen.  Für größere Stufenzahlen erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$,  die sich mit  $M$–stufiger redundanzfreier Codierung erreichen lässt:
Zeile 227:		Zeile 207:

	*Dies erkennt man an dem mit  $M$  abnehmenden Faktor  $K_2$, für den dann gilt:		*Dies erkennt man an dem mit  $M$  abnehmenden Faktor  $K_2$, für den dann gilt:
	:$$p_{\rm S} = K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot		:$$p_{\rm S} = K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot\frac{2 \cdot s_{\rm 0}^2 \cdot T}{N_0} }\right)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}K_2 = \frac{ {\rm log_2}\,(M)}{(M-1)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	\frac{2 \cdot s_{\rm 0}^2 \cdot T}{N_0} }\right)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
	K_2 = \frac{ {\rm log_2}\,(M)}{(M-1)^2}
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Die Konstante  $K_1$  ist gegenüber der obigen Angabe für Leistungsbegrenzung unverändert,  während  $K_2$  um den Faktor  $3$  kleiner ist:		*Die Konstante  $K_1$  ist gegenüber der obigen Angabe für Leistungsbegrenzung unverändert,  während  $K_2$  um den Faktor  $3$  kleiner ist:
Zeile 244:		Zeile 221:

	*Die  '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'''  bezieht sich auf die  $M$–stufigen und eventuell redundanten Folgen  $\langle c_\nu \rangle$  und  $\langle w_\nu \rangle$:		*Die  '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'''  bezieht sich auf die  $M$–stufigen und eventuell redundanten Folgen  $\langle c_\nu \rangle$  und  $\langle w_\nu \rangle$:
	:$$p_{\rm S} = \overline{{\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu)} =		:$$p_{\rm S} = \overline{{\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu)} =\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu) \hspace{0.05cm}.$$
	\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu) \hspace{0.05cm}.$$
	*Die  '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'''  beschreibt die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen  $\langle q_\nu \rangle$  und  $\langle v_\nu \rangle$  von Quelle und Sinke:		*Die  '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'''  beschreibt die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen  $\langle q_\nu \rangle$  und  $\langle v_\nu \rangle$  von Quelle und Sinke:
	:$$p_{\rm B} = \overline{{\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu)} =		:$$p_{\rm B} = \overline{{\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu)} =\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu) \hspace{0.05cm}.$$
	\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu) \hspace{0.05cm}.$$

	Die Grafik veranschaulicht diese beiden Definitionen und ist auch für die nächsten Kapitel gültig. Der Block &bdquo;Coder” bewirkt		Die Grafik veranschaulicht diese beiden Definitionen und ist auch für die nächsten Kapitel gültig. Der Block &bdquo;Coder” bewirkt

Guenter am 16. Mai 2022 um 11:55 Uhr

2022-05-16T11:55:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2022, 13:55 Uhr
Zeile 28:		Zeile 28:
	:$$r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M_q)}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)}\hspace{0.05cm}.$$		:$$r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M_q)}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)}\hspace{0.05cm}.$$

	Genauere Angaben zu den Blockcodes finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes\|Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes]].<br>		Genauere Angaben zu den Blockcodes finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes\|"Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes"]].<br>

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
Zeile 82:		Zeile 82:
	*Jeweils zwei Binärsymbole werden nach der rot hinterlegten Tabelle zu einem quaternären Amplitudenkoeffizienten zusammengefasst. Die Symboldauer  $T$  des Signals  $s_4(t)$  ist doppelt so groß wie die Bitdauer  $T_{\rm B}$  $($vorher:  $T_q)$  des Quellensignals.		*Jeweils zwei Binärsymbole werden nach der rot hinterlegten Tabelle zu einem quaternären Amplitudenkoeffizienten zusammengefasst. Die Symboldauer  $T$  des Signals  $s_4(t)$  ist doppelt so groß wie die Bitdauer  $T_{\rm B}$  $($vorher:  $T_q)$  des Quellensignals.

	*Ist  $q(t)$  redundanzfrei, so ergibt sich auch ein redundanzfreies Quaternärsignal, das heißt, die möglichen Amplitudenkoeffizienten  $\pm 1$  und  $\pm 1/3$  sind gleichwahrscheinlich und innerhalb der Folge  $⟨a_ν⟩$  gibt es keine statistischen Bindungen.		*Ist  $q(t)$  redundanzfrei,  so ergibt sich auch ein redundanzfreies Quaternärsignal, das heißt, die möglichen Amplitudenkoeffizienten  $\pm 1$  und  $\pm 1/3$  sind gleichwahrscheinlich und innerhalb der Folge  $⟨a_ν⟩$  gibt es keine statistischen Bindungen.

Guenter am 16. Mai 2022 um 11:54 Uhr

2022-05-16T11:54:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Mai 2022, 13:54 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:


	Details finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes\|Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes]].		Details finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes\|"Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes"]].

Guenter am 16. Mai 2022 um 11:54 Uhr

2022-05-16T11:54:19Z

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Guenter am 15. Mai 2022 um 12:49 Uhr

2022-05-15T12:49:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2022, 14:49 Uhr
Zeile 94:		Zeile 94:
	== AKF und LDS eines Mehrstufensignals ==		== AKF und LDS eines Mehrstufensignals ==
	<br>		<br>
	Bei einem redundanzfrei codierten $M$–stufigen bipolaren Digitalsignal  $s(t)$  gilt für die  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals\|diskrete Autokorrelationsfunktion]]  (AKF) der Amplitudenkoeffizienten sowie für das entsprechende  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Grundlagen_der_codierten_%C3%9Cbertragung#LDS.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals\|Leistungsdichtespektrum]]  (LDS):		Bei einem redundanzfrei codierten $M$–stufigen bipolaren Digitalsignal  $s(t)$  gilt für die  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals\|diskrete Autokorrelationsfunktion]]  $\rm (AKF)$ $T = 3/2 \cdot T_{\rm B}$ der Amplitudenkoeffizienten sowie für das entsprechende  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Grundlagen_der_codierten_%C3%9Cbertragung#LDS.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals\|Leistungsdichtespektrum]]  (LDS):
	:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \\		:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \\
	\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad		\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad

Guenter am 15. Mai 2022 um 12:38 Uhr

2022-05-15T12:38:06Z

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Guenter am 14. März 2019 um 15:40 Uhr

2019-03-14T15:40:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2019, 17:40 Uhr
Zeile 180:		Zeile 180:
	Für  $M = 2$  ist  $K_1 = K_2 = 1$  zu setzen. Für größere Stufenzahlen erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$, die sich mit  $M$–stufiger redundanzfreier Codierung erreichen lässt:		Für  $M = 2$  ist  $K_1 = K_2 = 1$  zu setzen. Für größere Stufenzahlen erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$, die sich mit  $M$–stufiger redundanzfreier Codierung erreichen lässt:
	[[Datei:P_ID2191__Dig_T_2_2_S5_v3.png\|right\|frame\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeitskurven für verschiedene Stufenzahlen  $M$]]		[[Datei:P_ID2191__Dig_T_2_2_S5_v3.png\|right\|frame\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeitskurven für verschiedene Stufenzahlen  $M$]]
	:$$M = 3\text{:} \ \ K_1 = 1.333, \ K_2 = 0.594;\hspace{~~1cm~~}M = 4\text{:} \ \ K_1 = 1.500, \ K_2 = 0.400;$$		:$$M = 3\text{:} \ \ K_1 = 1.333, \ K_2 = 0.594;\hspace{0.5cm}M = 4\text{:} \ \ K_1 = 1.500, \ K_2 = 0.400;$$
	:$$M = 5\text{:} \ \ K_1 = 1.600, \ K_2 = 0.290;\hspace{~~1cm~~}M = 6\text{:} \ \ K_1 = 1.666, \ K_2 = 0.221;$$		:$$M = 5\text{:} \ \ K_1 = 1.600, \ K_2 = 0.290;\hspace{0.5cm}M = 6\text{:} \ \ K_1 = 1.666, \ K_2 = 0.221;$$
	:$$M = 7\text{:} \ \ K_1 = 1.714, \ K_2 = 0.175;\hspace{~~1cm~~}M = 8\text{:} \ \ K_1 = 1.750, \ K_2 = 0.143.$$		:$$M = 7\text{:} \ \ K_1 = 1.714, \ K_2 = 0.175;\hspace{0.5cm}M = 8\text{:} \ \ K_1 = 1.750, \ K_2 = 0.143.$$


Zeile 217:		Zeile 217:
	<br>		<br>
	Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss man zwischen der  ''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''  und der  ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''  unterscheiden, die hier sowohl als Scharmittelwerte als auch als Zeitmittelwerte angegeben werden:		Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss man zwischen der  ''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''  und der  ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''  unterscheiden, die hier sowohl als Scharmittelwerte als auch als Zeitmittelwerte angegeben werden:

	~~[[Datei:P_ID1333__Dig_T_2_2_S6a_v1.png\|right\|frame\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|class=fit]]~~

	*Die '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''' bezieht sich auf die  $M$–stufigen und eventuell redundanten Folgen  $\langle c_\nu \rangle$  und  $\langle w_\nu \rangle$:		*Die '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''' bezieht sich auf die  $M$–stufigen und eventuell redundanten Folgen  $\langle c_\nu \rangle$  und  $\langle w_\nu \rangle$:
Zeile 232:		Zeile 230:
	* im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes\|letzten Kapitel]]  die symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.		* im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes\|letzten Kapitel]]  die symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.

			[[Datei:P_ID1333__Dig_T_2_2_S6a_v1.png\|center\|frame\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|class=fit]]

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=

Guenter am 11. Februar 2019 um 15:59 Uhr

2019-02-11T15:59:09Z

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	*Codiert man einen Block von  $128$  Binärsymbolen mit  $81$  Ternärsymbolen, so ergibt sich eine relative Coderedundanz von weniger als  $r_c = 0.3\%$.<br><br>		*Codiert man einen Block von  $128$  Binärsymbolen mit  $81$  Ternärsymbolen, so ergibt sich eine relative Coderedundanz von weniger als  $r_c = 0.3\%$.<br><br>

	Zur Vereinfachung der Schreibweise und zur Nomenklaturanpassung an das ~~ ~~[[Digitalsignalübertragung\| erste Hauptkapitel]]  verwenden wir im Folgenden		Zur Vereinfachung der Schreibweise und zur Nomenklaturanpassung an das [[Digitalsignalübertragung\| erste Hauptkapitel]]  verwenden wir im Folgenden
	*die Bitdauer  $T_{\rm B} = T_q$  des redundanzfreien binären Quellensignals,		*die Bitdauer  $T_{\rm B} = T_q$  des redundanzfreien binären Quellensignals,
	*die Symboldauer  $T = T_c$  von Codersignal und Sendesignal, sowie		*die Symboldauer  $T = T_c$  von Codersignal und Sendesignal, sowie

Guenter am 11. Februar 2019 um 15:56 Uhr

2019-02-11T15:56:50Z

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	== Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit==		== Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit==
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	Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss man zwischen der ''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'' und der ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'' unterscheiden, die hier sowohl als Scharmittelwerte als auch als Zeitmittelwerte angegeben werden:		Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss man zwischen der  ''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''  und der  ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''  unterscheiden, die hier sowohl als Scharmittelwerte als auch als Zeitmittelwerte angegeben werden:

	*Die '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''' bezieht sich auf die $M$–stufigen und eventuell redundanten Folgen $\langle c_\nu \rangle$ und $\langle w_\nu \rangle$:		[[Datei:P_ID1333__Dig_T_2_2_S6a_v1.png\|right\|frame\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|class=fit]]

			*Die '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''' bezieht sich auf die  $M$–stufigen und eventuell redundanten Folgen  $\langle c_\nu \rangle$  und  $\langle w_\nu \rangle$:
	:$$p_{\rm S} = \overline{{\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu)} =		:$$p_{\rm S} = \overline{{\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu)} =
	\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu) \hspace{0.05cm}.$$		\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu) \hspace{0.05cm}.$$
	*Die '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' beschreibt die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen $\langle q_\nu \rangle$ und $\langle v_\nu \rangle$ von Quelle und Sinke:		*Die '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' beschreibt die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen  $\langle q_\nu \rangle$  und  $\langle v_\nu \rangle$  von Quelle und Sinke:
	:$$p_{\rm B} = \overline{{\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu)} =		:$$p_{\rm B} = \overline{{\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu)} =
	\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu) \hspace{0.05cm}.$$		\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu) \hspace{0.05cm}.$$

	~~[[Datei:P_ID1333__Dig_T_2_2_S6a_v1.png\|center\|frame\|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und Bitfehlerwahrscheinlichkeit\|class=fit]]~~

	Die Grafik veranschaulicht diese beiden Definitionen und ist auch für die nächsten Kapitel gültig. Der Block &bdquo;Coder” bewirkt		Die Grafik veranschaulicht diese beiden Definitionen und ist auch für die nächsten Kapitel gültig. Der Block &bdquo;Coder” bewirkt
	*im vorliegenden Kapitel eine redundanzfreie Codierung,		*im vorliegenden Kapitel eine redundanzfreie Codierung,
	*im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes\|anschließendem Kapitel]] eine blockweise Übertragungscodierung, und schließlich		*im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes\|anschließendem Kapitel]]  eine blockweise Übertragungscodierung, und schließlich
	* im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes\|letzten Kapitel]] die symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.		* im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes\|letzten Kapitel]]  die symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.


	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$		$\text{Fazit:}$
	*Bei mehrstufiger und(oder codierter Übertragung muss zwischen der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ und der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ unterschieden werden. Nur beim redundanzfreien Binärsystem gilt $p_{\rm B} = p_{\rm S}$.		*Bei mehrstufiger und(oder codierter Übertragung muss zwischen der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  und der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  unterschieden werden. Nur beim redundanzfreien Binärsystem gilt  $p_{\rm B} = p_{\rm S}$.
	*Im allgemeinen kann bei redundanzbehafteten Mehrstufensystem die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ etwas einfacher berechnet werden als die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$.		*Im allgemeinen kann bei redundanzbehafteten Mehrstufensystem die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  etwas einfacher berechnet werden als die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$.
	* Ein Vergleich von Systemen mit unterschiedlicher Stufenzahl oder verschiedenartiger Codierung sollte aber aus Fairnisgründen stets auf der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ basieren.		* Ein Vergleich von Systemen mit unterschiedlicher Stufenzahl oder verschiedenartiger Codierung sollte aber aus Fairnisgründen stets auf der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  basieren.
	*Dabei muss auch die Zuordnung zwischen den Quellen– und Codesymbolen berücksichtigt werden, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird.}}<br>		*Dabei muss auch die Zuordnung zwischen den Quellen– und Codesymbolen berücksichtigt werden, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird.}}<br>

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten ein quaternäres Übertragungssystem, dessen Übertragungsverhalten wie folgt charakterisiert werden kann (siehe linke Grafik):		$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten ein quaternäres Übertragungssystem, dessen Übertragungsverhalten wie folgt charakterisiert werden kann (siehe linke Grafik):
	*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit zu einem benachbarten Symbol ist $p={\rm Q}\big [s_0/(3\sigma_d)\big ]$.<br>		*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit zu einem benachbarten Symbol ist  $p={\rm Q}\big [s_0/(3\sigma_d)\big ]$.<br>
	*Eine Verfälschung zu einem nicht benachbarten Symbol wird ausgeschlossen.<br>		*Eine Verfälschung zu einem nicht benachbarten Symbol wird ausgeschlossen.<br>
	*Das Modell berücksichtigt die doppelten Verfälschungsmöglichkeiten der inneren Symbole.<br>		*Das Modell berücksichtigt die doppelten Verfälschungsmöglichkeiten der inneren Symbole.<br>

	~~[[Datei:P_ID1322__Dig_T_2_2_S6b_v2.png\|center\|frame\|Gegenüberstellung von Graycode und Dualcode\|class=fit]]~~

	Bei gleichwahrscheinlichen binären Quellensymbolen $q_\nu$ treten auch die quaternären Codesymbole $c_\nu$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Damit erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:		[[Datei:P_ID1322__Dig_T_2_2_S6b_v2.png\|right\|frame\|Gegenüberstellung von Graycode und Dualcode\|class=fit]]

			Bei gleichwahrscheinlichen binären Quellensymbolen  $q_\nu$  treten auch die quaternären Codesymbole  $c_\nu$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Damit erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm S} ={1}/{4}\cdot (2 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p) = {3}/{2} \cdot p\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} ={1}/{4}\cdot (2 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p) = {3}/{2} \cdot p\hspace{0.05cm}.$$

	Zur Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit muss man auch die Zuordnung zwischen den Binär– und den Quaternärsymbolen berücksichtigen:		Zur Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit muss man auch die Zuordnung zwischen den Binär– und den Quaternärsymbolen berücksichtigen:
	*Bei der ''Dualcodierung'' gemäß der gelb hinterlegten Tabelle kann ein Symbolfehler $(w_\nu \ne c_\nu)$ ein oder zwei Bitfehler $(v_\nu \ne q_\nu)$ zur Folge haben. Von den sechs Verfälschungsmöglichkeiten auf Quaternärsymbolebene führen vier zu jeweils einem und nur die beiden inneren zu zwei Bitfehlern. Daraus folgt:		*Bei der  ''Dualcodierung''  gemäß der gelb hinterlegten Tabelle kann ein Symbolfehler  $(w_\nu \ne c_\nu)$  ein oder zwei Bitfehler  $(v_\nu \ne q_\nu)$  zur Folge haben. Von den sechs Verfälschungsmöglichkeiten auf Quaternärsymbolebene führen vier zu jeweils einem und nur die beiden inneren zu zwei Bitfehlern. Daraus folgt:
	:$$p_{\rm B} = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = p\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = p\hspace{0.05cm}.$$

	:Der Faktor 1/2 berücksichtigt, dass ein Quaternärsymbol zwei Binärsymbole beinhaltet.		:Der Faktor  $1/2$  berücksichtigt, dass ein Quaternärsymbol zwei Binärsymbole beinhaltet.

	*Dagegen ist bei der so genannten ''Graycodierung'' gemäß der grün hinterlegten Tabelle die Zuordnung zwischen den Binärsymbolen und den Quaternärsymbolen so gewählt, dass jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler zur Folge hat. Daraus folgt:		*Dagegen ist bei der so genannten  ''Graycodierung''  gemäß der grün hinterlegten Tabelle die Zuordnung zwischen den Binärsymbolen und den Quaternärsymbolen so gewählt, dass jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler zur Folge hat. Daraus folgt:

	:$$p_{\rm B} = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 1 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = {3}/{4} \cdot p\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 1 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = {3}/{4} \cdot p\hspace{0.05cm}.$$