Digitalsignalübertragung/Redundanzfreie Codierung - Versionsgeschichte

Guenter am 16. Mai 2022 um 11:55 Uhr

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Guenter am 16. Mai 2022 um 11:54 Uhr

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 :$$r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M_q)}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)}\hspace{0.05cm}.$$
-Genauere Angaben zu den Blockcodes finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes|Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes]].<br>
+Genauere Angaben zu den Blockcodes finden Sie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes|"Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes"]].<br>
 {{GraueBox|TEXT=
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 *Jeweils zwei Binärsymbole werden nach der rot hinterlegten Tabelle zu einem quaternären Amplitudenkoeffizienten zusammengefasst. Die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; des Signals &nbsp;$s_4(t)$&nbsp; ist doppelt so groß wie die Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$&nbsp; $($vorher: &nbsp;$T_q)$&nbsp; des Quellensignals.
-*Ist &nbsp;$q(t)$&nbsp; redundanzfrei, so ergibt sich auch ein redundanzfreies Quaternärsignal, das heißt, die möglichen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$\pm 1$&nbsp; und &nbsp;$\pm 1/3$&nbsp; sind gleichwahrscheinlich und innerhalb der Folge &nbsp;$⟨a_ν⟩$&nbsp;  gibt es keine statistischen Bindungen.
+*Ist &nbsp;$q(t)$&nbsp; redundanzfrei,&nbsp; so ergibt sich auch ein redundanzfreies Quaternärsignal, das heißt, die möglichen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$\pm 1$&nbsp; und &nbsp;$\pm 1/3$&nbsp; sind gleichwahrscheinlich und innerhalb der Folge &nbsp;$⟨a_ν⟩$&nbsp;  gibt es keine statistischen Bindungen.

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−	Details finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes\|Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes]].	+	Details finden Sie im Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes\|"Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes"]].

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 == AKF und LDS eines Mehrstufensignals ==
 <br>
-Bei einem redundanzfrei codierten $M$&ndash;stufigen bipolaren Digitalsignal &nbsp;$s(t)$&nbsp;  gilt für die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals|diskrete Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; (AKF) der Amplitudenkoeffizienten sowie für das entsprechende &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Grundlagen_der_codierten_%C3%9Cbertragung#LDS.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; (LDS):
+Bei einem redundanzfrei codierten $M$&ndash;stufigen bipolaren Digitalsignal &nbsp;$s(t)$&nbsp;  gilt für die &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung#AKF.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals|diskrete Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp;$T = 3/2 \cdot T_{\rm B}$ der Amplitudenkoeffizienten sowie für das entsprechende &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Grundlagen_der_codierten_%C3%9Cbertragung#LDS.E2.80.93Berechnung_eines_Digitalsignals|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; (LDS):
 :$$\varphi_a(\lambda)   =   \left\{ \begin{array}{c} \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}    \\
   \\ 0  \\  \end{array} \right.\quad

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 Für &nbsp;$M = 2$&nbsp; ist &nbsp;$K_1 = K_2 = 1$&nbsp; zu setzen. Für größere Stufenzahlen erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$, die sich mit &nbsp;$M$&ndash;stufiger redundanzfreier Codierung erreichen lässt:
 [[Datei:P_ID2191__Dig_T_2_2_S5_v3.png|right|frame|Symbolfehlerwahrscheinlichkeitskurven für verschiedene Stufenzahlen &nbsp;$M$]]
-:$$M = 3\text{:} \ \ K_1 = 1.333, \ K_2 = 0.594;\hspace{1cm}M = 4\text{:} \ \ K_1 = 1.500, \ K_2 = 0.400;$$
+:$$M = 3\text{:} \ \ K_1 = 1.333, \ K_2 = 0.594;\hspace{0.5cm}M = 4\text{:} \ \ K_1 = 1.500, \ K_2 = 0.400;$$
-:$$M = 5\text{:} \ \ K_1 = 1.600, \ K_2 = 0.290;\hspace{1cm}M = 6\text{:} \ \ K_1 = 1.666, \ K_2 = 0.221;$$
+:$$M = 5\text{:} \ \ K_1 = 1.600, \ K_2 = 0.290;\hspace{0.5cm}M = 6\text{:} \ \ K_1 = 1.666, \ K_2 = 0.221;$$
-:$$M = 7\text{:} \ \ K_1 = 1.714, \ K_2 = 0.175;\hspace{1cm}M = 8\text{:} \ \ K_1 = 1.750, \ K_2 = 0.143.$$
+:$$M = 7\text{:} \ \ K_1 = 1.714, \ K_2 = 0.175;\hspace{0.5cm}M = 8\text{:} \ \ K_1 = 1.750, \ K_2 = 0.143.$$
@@ Zeile 217: / Zeile 217: @@
 <br>
 Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss man zwischen der &nbsp;''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''&nbsp; und der &nbsp;''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''&nbsp; unterscheiden, die hier sowohl als Scharmittelwerte als auch als Zeitmittelwerte angegeben werden:
 *Die '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''' bezieht sich auf die &nbsp;$M$&ndash;stufigen und eventuell redundanten Folgen  &nbsp;$\langle c_\nu \rangle$&nbsp; und  &nbsp;$\langle w_\nu \rangle$:
@@ Zeile 232: / Zeile 230: @@
 * im &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes|letzten Kapitel]]&nbsp; die symbolweise Codierung mit  Pseudoternärcodes.
 {{BlaueBox|TEXT=

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 *Codiert man einen Block von &nbsp;$128$&nbsp; Binärsymbolen mit &nbsp;$81$&nbsp; Ternärsymbolen, so ergibt sich eine relative Coderedundanz von weniger als &nbsp;$r_c = 0.3\%$.<br><br>
-Zur Vereinfachung der Schreibweise und zur Nomenklaturanpassung an das &nbsp;[[Digitalsignalübertragung| erste Hauptkapitel]]&nbsp; verwenden wir im Folgenden
+Zur Vereinfachung der Schreibweise und zur Nomenklaturanpassung an das [[Digitalsignalübertragung| erste Hauptkapitel]]&nbsp; verwenden wir im Folgenden
 *die Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B} = T_q$&nbsp; des redundanzfreien binären Quellensignals,
 *die Symboldauer &nbsp;$T = T_c$&nbsp; von Codersignal und Sendesignal, sowie

@@ Zeile 216: / Zeile 216: @@
 == Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit==
 <br>
-Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss man zwischen der ''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit'' und der ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'' unterscheiden, die hier sowohl als Scharmittelwerte als auch als Zeitmittelwerte angegeben werden:
+Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss man zwischen der &nbsp;''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''&nbsp; und der &nbsp;''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''&nbsp; unterscheiden, die hier sowohl als Scharmittelwerte als auch als Zeitmittelwerte angegeben werden:
-*Die '''Symbolfehlerwahrscheinlichkeit''' bezieht sich auf die $M$&ndash;stufigen und eventuell redundanten Folgen  $\langle c_\nu \rangle$ und  $\langle w_\nu \rangle$:
+[[Datei:P_ID1333__Dig_T_2_2_S6a_v1.png|right|frame|Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und Bitfehlerwahrscheinlichkeit|class=fit]]
 :$$p_{\rm S}  = \overline{{\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu)} =
   \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu) \hspace{0.05cm}.$$
-*Die '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' beschreibt die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen  $\langle q_\nu \rangle$ und  $\langle v_\nu \rangle$ von Quelle und Sinke:
+*Die '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' beschreibt die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen  &nbsp;$\langle q_\nu \rangle$&nbsp; und  &nbsp;$\langle v_\nu \rangle$&nbsp; von Quelle und Sinke:
 :$$p_{\rm B}  = \overline{{\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu)} =
   \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu) \hspace{0.05cm}.$$
 Die Grafik veranschaulicht diese beiden Definitionen und ist auch für die nächsten Kapitel gültig. Der Block &bdquo;Coder&rdquo; bewirkt
 *im vorliegenden Kapitel eine redundanzfreie Codierung,
-*im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes|anschließendem Kapitel]] eine blockweise Übertragungscodierung, und schließlich
+*im &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes|anschließendem Kapitel]]&nbsp; eine blockweise Übertragungscodierung, und schließlich
-* im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes|letzten Kapitel]] die symbolweise Codierung mit  Pseudoternärcodes.
+* im &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudotern%C3%A4rcodes|letzten Kapitel]]&nbsp; die symbolweise Codierung mit  Pseudoternärcodes.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Bei mehrstufiger und(oder codierter Übertragung muss zwischen der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$ und der  Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$ unterschieden werden. Nur beim redundanzfreien Binärsystem gilt  $p_{\rm B} = p_{\rm S}$.
+*Bei mehrstufiger und(oder codierter Übertragung muss zwischen der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; und der  Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; unterschieden werden. Nur beim redundanzfreien Binärsystem gilt  &nbsp;$p_{\rm B} = p_{\rm S}$.
-*Im allgemeinen kann bei redundanzbehafteten Mehrstufensystem die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ etwas einfacher berechnet werden als die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$.
+*Im allgemeinen kann bei redundanzbehafteten Mehrstufensystem die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; etwas einfacher berechnet werden als die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  &nbsp;$p_{\rm B}$.
-* Ein Vergleich von Systemen mit unterschiedlicher Stufenzahl oder verschiedenartiger Codierung sollte aber aus Fairnisgründen stets auf der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ basieren.
+* Ein Vergleich von Systemen mit unterschiedlicher Stufenzahl oder verschiedenartiger Codierung sollte aber aus Fairnisgründen stets auf der Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; basieren.
 *Dabei muss auch die Zuordnung zwischen den Quellen&ndash; und Codesymbolen berücksichtigt werden, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird.}}<br>
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 4:}$&nbsp; Wir betrachten ein quaternäres Übertragungssystem, dessen Übertragungsverhalten wie folgt charakterisiert werden kann (siehe linke Grafik):
-*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit zu einem benachbarten Symbol ist $p={\rm Q}\big [s_0/(3\sigma_d)\big ]$.<br>
+*Die Verfälschungswahrscheinlichkeit zu einem benachbarten Symbol ist &nbsp;$p={\rm Q}\big [s_0/(3\sigma_d)\big ]$.<br>
 *Eine Verfälschung zu einem nicht benachbarten Symbol wird ausgeschlossen.<br>
 *Das Modell berücksichtigt die doppelten Verfälschungsmöglichkeiten der inneren Symbole.<br>
-Bei gleichwahrscheinlichen binären Quellensymbolen $q_\nu$ treten auch die quaternären Codesymbole $c_\nu$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Damit erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
+[[Datei:P_ID1322__Dig_T_2_2_S6b_v2.png|right|frame|Gegenüberstellung von Graycode und Dualcode|class=fit]]
 :$$p_{\rm S}  ={1}/{4}\cdot (2 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot  p) =  {3}/{2} \cdot p\hspace{0.05cm}.$$
 Zur Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit muss man auch die Zuordnung zwischen den Binär&ndash; und den Quaternärsymbolen berücksichtigen:
-*Bei der ''Dualcodierung'' gemäß der gelb hinterlegten Tabelle kann ein Symbolfehler $(w_\nu \ne c_\nu)$ ein oder zwei Bitfehler $(v_\nu \ne q_\nu)$ zur Folge haben. Von den sechs Verfälschungsmöglichkeiten auf Quaternärsymbolebene führen vier zu jeweils einem und nur die beiden inneren zu zwei Bitfehlern. Daraus folgt:
+*Bei der &nbsp;''Dualcodierung''&nbsp; gemäß der gelb hinterlegten Tabelle kann ein Symbolfehler &nbsp;$(w_\nu \ne c_\nu)$&nbsp; ein oder zwei Bitfehler &nbsp;$(v_\nu \ne q_\nu)$&nbsp; zur Folge haben. Von den sechs Verfälschungsmöglichkeiten auf Quaternärsymbolebene führen vier zu jeweils einem und nur die beiden inneren zu zwei Bitfehlern. Daraus folgt:
 :$$p_{\rm B}  = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = p\hspace{0.05cm}.$$
-:Der Faktor 1/2 berücksichtigt, dass ein Quaternärsymbol zwei Binärsymbole beinhaltet.
+:Der Faktor &nbsp;$1/2$&nbsp; berücksichtigt, dass ein Quaternärsymbol zwei Binärsymbole beinhaltet.
-*Dagegen ist bei der so genannten ''Graycodierung'' gemäß der grün hinterlegten Tabelle die Zuordnung zwischen den Binärsymbolen und den Quaternärsymbolen so gewählt, dass jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler zur Folge hat. Daraus folgt:
+*Dagegen ist bei der so genannten &nbsp;''Graycodierung''&nbsp; gemäß der grün hinterlegten Tabelle die Zuordnung zwischen den Binärsymbolen und den Quaternärsymbolen so gewählt, dass jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler zur Folge hat. Daraus folgt:
 :$$p_{\rm B}  = {1}/{4}\cdot  (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 1 \cdot p ) \cdot {1}/{2} =   {3}/{4} \cdot p\hspace{0.05cm}.$$