Digitalsignalübertragung/Optimierung der Basisbandübertragungssysteme - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Mai 2022 um 16:58 Uhr

2022-05-03T16:58:27Z

Guenter am 3. Mai 2022 um 15:18 Uhr

2022-05-03T15:18:00Z

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2022-05-03T15:15:34Z

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Guenter am 3. Mai 2022 um 13:24 Uhr

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Guenter am 2. Mai 2022 um 14:46 Uhr

2022-05-02T14:46:19Z

Guenter am 4. Februar 2019 um 15:40 Uhr

2019-02-04T15:40:16Z

Guenter am 4. Februar 2019 um 15:27 Uhr

2019-02-04T15:27:37Z

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Guenter am 7. Juni 2018 um 08:31 Uhr

2018-06-07T08:31:41Z

Guenter am 7. Juni 2018 um 07:50 Uhr

2018-06-07T07:50:09Z

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 Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Der Sendeimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; erfüllt nicht die Nyquistbedingung: &nbsp; Das Auge am Sender&nbsp; (obere Bildreihe)&nbsp; ist nicht vollständig geöffnet und der Maximalwert des Sendesignals ist größer als sein Effektivwert.
+*Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; erfüllt nicht die Nyquistbedingung: &nbsp; Das Auge am Sender&nbsp; (obere Bildreihe)&nbsp; ist nicht vollständig geöffnet und der Maximalwert von&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist größer als sein Effektivwert.
 *Der Crestfaktor &nbsp;$C_{\rm S} =  s_0/s_{\rm eff}$&nbsp; ist stets größer als&nbsp; $1$&nbsp; und damit der Wirkungsgrad &nbsp;$\eta_{\rm A}<1 $.&nbsp; Für &nbsp;$r = 0.5$:&nbsp; &nbsp;$C_{\rm S} \approx 1.45$&nbsp; &rArr; &nbsp;$\eta_{\rm A} \approx 0.47$.&nbsp; Das Detektions&ndash;SNR ist dann um  &nbsp;$10 \cdot \lg \ \eta_{\rm A} \approx 3.2 \ \rm dB$&nbsp; geringer als bei der Rechteck&ndash;Rechteck&ndash;Konfiguration.<br>
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 *Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; sei NRZ&ndash;rechteckförmig; &nbsp;bei Spitzenwertbegrenzung ist dies optimal.<br>
-*Der Gesamtfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$&nbsp; erfülle die Nyquistbedingung.
+*Der Gesamtfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) ={H_{\rm Nyq}(f)}$&nbsp; erfülle die Nyquistbedingung.
 *Der Nyquistfrequenzgang werde durch einen Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass realisiert: &nbsp;  $H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm CRO}(f)$.

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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Es gelten gleiche Voraussetzungen wie im $\text{Beispiel 1}$.&nbsp; Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; entsprechend den Berechnungen im $\text{Beispiel 1}$
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Es gelten gleiche Voraussetzungen wie im&nbsp; $\text{Beispiel 1}$.&nbsp; Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; gemäß den Berechnungen im&nbsp; $\text{Beispiel 1}$.
 [[Datei:P_ID1288__Dig_T_1_4_S2_v1.png|right|frame|Systemvergleich bei Leistungs- und Spitzenwertbegrenzung|class=fit]]

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 [[Datei:P_ID1288__Dig_T_1_4_S2_v1.png|right|frame|Systemvergleich bei Leistungs- und Spitzenwertbegrenzung|class=fit]]
-Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$
+* in Abhängigkeit vom Verhältnis &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; (linkes Diagramm),
 *als Funktion von &nbsp;$s_0^2 \cdot T /N_0$&nbsp; (rechtes Diagramm).
 Diese beiden Diagramme in doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung sind wie folgt zu interpretieren:<br>
 *Die linke Grafik vergleicht die Systeme bei gleicher mittlerer Leistung &nbsp;$(P_{\rm S})$&nbsp; bzw. bei konstanter Energie pro Bit &nbsp;$(E_{\rm B})$. Da der Abszissenwert zusätzlich auf &nbsp;$N_0$&nbsp; bezogen ist, gibt &nbsp;$p_{\rm B}(E_{\rm B}/N_0)$&nbsp; den Sachverhalt auch für unterschiedliche Rauschleistungsdichten &nbsp;$N_0$&nbsp; richtig wieder.<br>
-*Bei Leistungsbegrenzung sind die Konfigurationen &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp; gleichwertig und stellen jeweils das Optimum dar. Wie auf den nächsten Seiten hergeleitet wird, liegt ein bei Leistungsbegrenzung optimales System immer dann vor, wenn &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; formgleich sind (Matched&ndash;Filter). Die kleinere Leistung von System &nbsp;$\rm C$&nbsp; wird durch die hier gewählte Abszisse ausgeglichen.<br>
 *Dagegen wird bei System &nbsp;$\rm B$&nbsp; die Matched&ndash;Filter&ndash;Bedingung nicht eingehalten &nbsp;$(T_{\rm E} \ne T_{\rm S})$&nbsp; und die Fehlerwahrscheinlichkeitskurve liegt nun um &nbsp;$\text{3 dB}$&nbsp; rechts von der durch die Systeme &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp; vorgegebenen Grenzkurve.<br>
-*Die rechte Grafik beschreibt das Optimierungsergebnis bei Spitzenwertbegrenzung, was an der Abszissenbeschriftung zu erkennen ist. Der Kurvenzug &nbsp;$\rm A$&nbsp; (NRZ&ndash;Impuls, Matched&ndash;Filter) gibt auch hier die Grenzkurve an, die von keinem anderen System unterschritten werden kann.<br>
+*Die Kurve &nbsp;$\rm B$&nbsp; in der rechten Grafik hat den genau gleichen Verlauf wie in der linken Darstellung,&nbsp; da wiederum NRZ&ndash;Sendeimpulse verwendet werden.&nbsp; Der Abstand von &nbsp;$\text{3 dB}$&nbsp; zur Grenzkurve ist wieder auf die Nichteinhaltung der Matched&ndash;Filter&ndash;Bedingung zurückzuführen.<br>
 *Die Kurve &nbsp;$\rm B$&nbsp; in der rechten Grafik hat den genau gleichen Verlauf wie in der linken Darstellung, da wiederum NRZ&ndash;Sendeimpulse verwendet werden. Der Abstand von &nbsp;$\text{3 dB}$&nbsp; zur Grenzkurve ist wieder auf die Nichteinhaltung der Matched&ndash;Filter&ndash;Bedingung zurückzuführen.<br>
-*Im Gegensatz zur linken Grafik liegt nun auch das Matched&ndash;Filter&ndash;System &nbsp;$\rm C$&nbsp; um $\text{3 dB}$ rechts vom Optimum. Der Grund für diese Degradation ist, dass bei gleichem Spitzenwert (gleicher Spitzenleistung) das System &nbsp;$\rm C$&nbsp; nur die halbe mittlere Leistung wie das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; bereitstellt.<br>}}
+*Im Gegensatz zur linken Grafik liegt nun auch das Matched&ndash;Filter&ndash;System &nbsp;$\rm C$&nbsp; um&nbsp; $\text{3 dB}$&nbsp; rechts vom Optimum.&nbsp; Der Grund für diese Degradation ist,&nbsp; dass bei gleichem Spitzenwert&nbsp; (gleicher Spitzenleistung)&nbsp; das System &nbsp;$\rm C$&nbsp; nur die halbe mittlere Leistung wie das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; bereitstellt.<br>}}

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 == Voraussetzungen und Optimierungskriterium ==
 <br>
-Für dieses Kapitel &bdquo;Optimierung der Basisbandübertragungssysteme&rdquo; gilt das folgende Blockschaltbild:
+Für dieses Kapitel &bdquo;Optimierung der Basisbandübertragungssysteme&rdquo; gilt das folgende Blockschaltbild.&nbsp; Wenn nicht explizit anders angegeben, wird im Folgenden von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
-[[Datei:P_ID1286__Dig_T_1_4_S1_v1.png|center|frame|Blockschaltbild eines Basisbandübertragungssystems|class=fit]]
+[[Datei:P_ID1286__Dig_T_1_4_S1_v1.png|right|frame|Blockschaltbild eines Basisbandübertragungssystems|class=fit]]
+*Die Übertragung erfolgt binär,&nbsp; bipolar und redundanzfrei.&nbsp; Der Abstand zwischen den Symbolen ist &nbsp;$T$&nbsp; und die&nbsp; (äquivalente)&nbsp; Bitrate &nbsp;$R = 1/T$.&nbsp; Mehrstufige und/oder redundante Systeme werden erst  im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung|Hauptkapitel 2: &nbsp; "Codierte und mehrstufige Übertragung"]]&nbsp;  dieses Buches behandelt.
-Wenn nicht explizit anders angegeben, wird im Folgenden von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
+*Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ist rechteckförmig und weist die Amplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; sowie die Impulsdauer &nbsp;$T_{\rm S} \le T$&nbsp; auf.&nbsp; Stimmt die Sendeimpulsdauer &nbsp;$T_{\rm S}$&nbsp; mit der Symboldauer $T$ überein,&nbsp; so spricht man von NRZ&ndash;Rechteckimpulsen&nbsp; ("non-return-to-zero").&nbsp; Im Fall &nbsp;$T_{\rm S} < T$&nbsp; liegt das RZ&ndash;Format vor&nbsp; ("return-to-zero").<br>
-*Die Übertragung erfolgt binär, bipolar und redundanzfrei. Der Abstand zwischen den Symbolen ist &nbsp;$T$&nbsp; und die (äquivalente) Bitrate &nbsp;$R = 1/T$. Mehrstufige und/oder redundante Systeme werden erst  im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung|Hauptkapitel 2: &nbsp; Codierte und mehrstufige Übertragung]]&nbsp;  dieses Buches behandelt.
+*Als Übertragungskanal wird das AWGN&ndash;Modell mit der&nbsp; (einseitigen)&nbsp; Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; verwendet,&nbsp; so dass für das Empfangssignal &nbsp;$r(t) = s(t) + n(t)$&nbsp; gilt.&nbsp; Meist arbeitet man mit der  zweiseitigen Rauschleistungsdichte  &nbsp;$N_0/2$.
-*Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; ist rechteckförmig und weist die Amplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; sowie die Impulsdauer &nbsp;$T_{\rm S} \le T$&nbsp; auf. Stimmt die Sendeimpulsdauer &nbsp;$T_{\rm S}$&nbsp; mit der Symboldauer $T$ überein, so spricht man von NRZ&ndash;Rechteckimpulsen. Im Fall &nbsp;$T_{\rm S} < T$&nbsp; liegt ein RZ&ndash;Format vor.<br>
+*Die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; des Empfangsfilters sei ebenfalls rechteckförmig,&nbsp; allerdings mit der Breite &nbsp;$T_{\rm E}$&nbsp; und der Höhe &nbsp;$1/T_{\rm E}$.&nbsp; Der Gleichsignalübertragungsfaktor ist demzufolge &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) = 1$.&nbsp; Nur im Sonderfall &nbsp;$T_{\rm E} = T_{\rm S} $&nbsp; kann man &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; als Matched&ndash;Filter bezeichnen.
-*Als Übertragungskanal wird das AWGN&ndash;Modell mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; verwendet, so dass für das Empfangssignal &nbsp;$r(t) = s(t) + n(t)$&nbsp; gilt. Die für systemtheoretische Untersuchungen besser geeignete zweiseitige Rauschleistungsdichte beträgt somit &nbsp;$N_0/2$.
+*Um Impulsinterferenzen auszuschließen,&nbsp; muss bei der Optimierung stets die Randbedingung &nbsp;$T_{\rm S} + T_{\rm E} \le 2T$&nbsp; eingehalten werden.&nbsp; Impulsinterferenzen werden erst im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung|Hauptkapitel 3: &nbsp; "Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren"]]&nbsp; dieses Buches betrachtet.
-*Die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; des Empfangsfilters sei ebenfalls rechteckförmig, allerdings mit der Breite &nbsp;$T_{\rm E}$&nbsp; und der Höhe &nbsp;$1/T_{\rm E}$. Der Gleichsignalübertragungsfaktor ist demzufolge &nbsp;$H_{\rm E}(f = 0) = 1$. Nur im Sonderfall &nbsp;$T_{\rm E} = T_{\rm S} $&nbsp; kann man &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; als Matched&ndash;Filter bezeichnen.
+*Zur Gewinnung der Sinkensymbolfolge&nbsp; $〈v_ν〉$&nbsp; als bestmögliche Schätzung für die Quellenensymbolfolge&nbsp; $〈q_ν〉$&nbsp; wird ein einfacher Schwellenwertentscheider mit optimaler Entscheiderschwelle &nbsp;$E = 0$&nbsp; und optimalen Detektionszeitpunkten&nbsp; $($unter den gegebenen Voraussetzungen bei &nbsp;$\nu \cdot T)$&nbsp; verwendet.
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Definition:}$&nbsp;
-Unter '''Systemoptimierung''' verstehen wir hier, die Parameter &nbsp;$T_{\rm S}$&nbsp; und &nbsp;$T_{\rm E}$&nbsp; von Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und  Empfangsfilter&ndash;Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; so zu bestimmen, dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; den kleinstmöglichen Wert annimmt.}}
+Unter&nbsp; '''Systemoptimierung'''&nbsp; verstehen wir hier,&nbsp; die Parameter &nbsp;$T_{\rm S}$&nbsp; und &nbsp;$T_{\rm E}$&nbsp; von Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und  Empfangsfilter&ndash;Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; so zu bestimmen,&nbsp; dass die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; den kleinstmöglichen Wert annimmt.}}
 == Leistungs– und Spitzenwertbegrenzung==
 <br>
-Die Optimierung der Systemgrößen wird entscheidend dadurch beeinflusst, ob als Nebenbedingung der Optimierung
+Die Optimierung der Systemvariablen wird entscheidend dadurch beeinflusst,
-&nbsp;''Leistungsbegrenzung''&nbsp; oder &nbsp;''Spitzenwertbegrenzung''&nbsp; des Sendesignals gefordert wird.
+#ob&nbsp; "Leistungsbegrenzung"&nbsp;
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Unter &nbsp;'''Leistungsbegrenzung'''&nbsp; versteht man, dass die (mittlere) Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; einen vorgegebenen Maximalwert &nbsp;$P_\text{S, max}$&nbsp; nicht überschreiten darf:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Unter &nbsp;'''Leistungsbegrenzung'''&nbsp; versteht man,&nbsp; dass die&nbsp; (mittlere)&nbsp; Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; einen vorgegebenen Maximalwert &nbsp;$P_\text{S, max}$&nbsp; nicht überschreiten darf:
 :$$P_{\rm S}= {\rm E}[s(t)^2] = \overline{s(t)^2} \le P_{\rm
 S,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.05cm}.$$
-Um die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit zu erzielen, wird man natürlich die mittlere Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; im erlaubten Bereich möglichst groß wählen. Deshalb wird im Folgenden stets &nbsp;$P_{\rm S} = P_\text{S, max}$&nbsp; gesetzt.}}
+*Um die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit zu erzielen,&nbsp; wird man natürlich die mittlere Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; im erlaubten Bereich möglichst groß wählen.
-Die Frage, ob als Nebenbedingung der Optimierung tatsächlich von Leistungsbegrenzung ausgegangen werden kann, hängt von den technischen Randbedingungen ab. Diese Annahme ist insbesondere bei Funkübertragungssystemen gerechtfertigt, unter Anderem deshalb, weil die als &bdquo;Elektrosmog&rdquo; bekannte Beeinträchtigung von Mensch und Tier in starkem Maße von der (mittleren) Strahlungsleistung abhängt.
+Die Frage, ob als Nebenbedingung der Optimierung tatsächlich von Leistungsbegrenzung ausgegangen werden kann, hängt von den technischen Randbedingungen ab.
-Anzumerken ist, dass ein Funkübertragungssystem natürlich nicht im Basisband arbeitet. Die hier am Beispiel der Basisbandübertragung definierten Beschreibungsgrößen werden aber im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung|Hauptkapitel 4: &nbsp; Verallgemeinerte Beschreibung digitaler Modulationsverfahren]]&nbsp; dieses Buches dahingehend modifiziert, dass sie auch für digitale Trägerfrequenzsysteme anwendbar sind.
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Von &nbsp;'''Spitzenwertbegrenzung'''&nbsp; spricht man immer dann, wenn der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt ist. Bei bipolarer Signalisierung lautet die entsprechende Bedingung:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Von &nbsp;'''Spitzenwertbegrenzung'''&nbsp; spricht man immer dann,&nbsp; wenn der Aussteuerbereich der Sendeeinrichtung begrenzt ist.&nbsp; Bei bipolarer Signalisierung lautet die entsprechende Bedingung:
 :$$\vert s(t) \vert \le s_0\hspace{0.4cm}{\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm}{\rm
 alle}\hspace{0.15cm}t.$$
-Oft verwendet man anstelle von Spitzenwertbegrenzung auch den Begriff ''Amplitudenbegrenzung'', der aber den Sachverhalt nicht ganz richtig wiedergibt.}}
+*Natürlich wird auch bei Spitzenwertbegrenzung die Leistung begrenzt,&nbsp; aber nicht die mittlere Leistung,&nbsp; sondern die Spitzenleistung.
+*Oft verwendet man anstelle von Spitzenwertbegrenzung auch den Begriff&nbsp; "Amplitudenbegrenzung",&nbsp; der aber den Sachverhalt nicht ganz richtig wiedergibt.}}
-Die Nebenbedingung &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo; ist zum Beispiel dann sinnvoll und sogar notwendig, wenn
+Die Nebenbedingung &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo; ist zum Beispiel dann sinnvoll und sogar notwendig,&nbsp; wenn
-*der Aussteuerbereich des Senders wegen Nichtlinearitäten von Bauelementen und Endverstärkern beschränkt ist, oder<br>
+*der Aussteuerbereich des Senders wegen Nichtlinearitäten von Bauelementen und Endverstärkern beschränkt ist,&nbsp; oder<br>
-*die Nebensprechstörung zu keiner Zeit einen Grenzwert überschreiten darf. Hierauf ist insbesondere bei der Kommunikation über Zweidrahtleitungen zu achten.
+*die Nebensprechstörung zu keiner Zeit einen Grenzwert überschreiten darf.&nbsp; Hierauf ist insbesondere bei der Kommunikation über Zweidrahtleitungen zu achten.
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 $\text{System A}$&nbsp; $(T_{\rm S} = T, \  T_{\rm E} = T)$:
-[[Datei:P_ID3132__Dig_T_1_4_S2_A1_v2.png|right|frame|Impulse/Impulsantworten bei &nbsp;$\text{System A}$|class=fit]]
+[[Datei:P_ID3132__Dig_T_1_4_S2_A1_v2.png|right|frame|Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; sowie die Impulse &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; bei &nbsp;$\text{System A}$|class=fit]]
 *NRZ&ndash;Sendegrundimpuls,
 *Matched&ndash;Filter, da &nbsp;$T_{\rm E} = T_{\rm S}$,
@@ Zeile 75: / Zeile 80: @@
 $\text{System B}$&nbsp; $(T_{\rm S} = T, \  T_{\rm E} = T/2)$:
-[[Datei:P_ID3133__Dig_T_1_4_S2_A2_v1.png|right|frame|Impulse/Impulsantworten bei &nbsp;$\text{System B}$|class=fit]]
+[[Datei:P_ID3133__Dig_T_1_4_S2_A2_v1.png|right|frame|Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; sowie die Impulse &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; bei &nbsp;$\text{System B}$|class=fit]]
 *NRZ&ndash;Sendegrundimpuls,
 *Kein Matched&ndash;Filter, da &nbsp;$T_{\rm E} \ne T_{\rm S}$,
@@ Zeile 89: / Zeile 94: @@
 $\text{System C}$&nbsp; $(T_{\rm S} = T/2, \  T_{\rm E} = T/2)$:
-[[Datei:P_ID3134__Dig_T_1_4_S2_A3_v2.png|right|frame|Impulse/Impulsantworten bei &nbsp;$\text{System C}$|class=fit]]
+[[Datei:P_ID3134__Dig_T_1_4_S2_A3_v2.png|right|frame|Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; sowie die Impulse &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; bei &nbsp;$\text{System C}$|class=fit]]
 *RZ&ndash;Sendegrundimpuls,
 *Matched&ndash;Filter, da &nbsp;$T_{\rm E} = T_{\rm S}$,

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 *NRZ&ndash;Sendegrundimpuls,
 *Kein Matched&ndash;Filter, da &nbsp;$T_{\rm E} \ne T_{\rm S}$,
-*Detektionsgrundimpuls: &nbsp; Dreieck,
+*Detektionsgrundimpuls: &nbsp; Trapez,
 *Energie pro Bit:  &nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
 *Rauschleistung: &nbsp; $\sigma_d^2 = N_0/T$,

@@ Zeile 248: / Zeile 248: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wir betrachten wie im &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung_.282.29| $\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; drei unterschiedliche Konfigurationen mit jeweils rechteckförmigen Zeitfunktionen &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; und geben hierfür die Systemwirkungsgrade an:
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wir betrachten wie im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Leistungs.E2.80.93_und_Spitzenwertbegrenzung| $\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; drei unterschiedliche Konfigurationen mit jeweils rechteckförmigen Zeitfunktionen &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_{\rm E}(t)$&nbsp; und geben hierfür die Systemwirkungsgrade an:
 * $\text{System A:}$ &nbsp; &nbsp;$\rho_d =  {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} = { 2 \cdot s_0^2 \cdot
   T}/{N_0}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\eta_{\rm L} = 1.0,\hspace{0.3cm}\eta_{\rm A} =

@@ Zeile 272: / Zeile 272: @@
 Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Der Sendeimpuls $g_s(t)$ erfüllt nicht die Nyquistbedingung: Das Auge am Sender (obere Bildreihe) ist nicht vollständig geöffnet; der Maximalwert des Sendesignals ist größer als sein Effektivwert.
+*Der Sendeimpuls $g_s(t)$ erfüllt nicht die Nyquistbedingung: Das Auge am Sender (obere Bildreihe) ist nicht vollständig geöffnet und der Maximalwert des Sendesignals ist größer als sein Effektivwert.
 *Der Crestfaktor $C_{\rm S} =  s_0/s_{\rm eff}$ wird mit kleinerem $r$ größer und damit der Wirkungsgrad $\eta_{\rm A} $ kleiner. Für $r = 0.5$ ergibt sich  $C_{\rm S} \approx 1.45$ und damit $\eta_{\rm A} \approx 0.47$. Das Detektions&ndash;SNR ist dann um den Betrag $10 \cdot \lg \ \eta_{\rm A} \approx 3.2 \ \rm dB$ geringer als bei der Rechteck&ndash;Rechteck&ndash;Konfiguration.<br>
 *Im Grenzfall $r = 0$ gilt sogar $C_{\rm S} \to \infty$ und $\eta_{\rm A} \to 0$. Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ fällt hier noch langsamer als mit $1/t$ ab, und es gilt:
@@ Zeile 282: / Zeile 282: @@
 == Optimierung des Rolloff–Faktors bei Spitzenwertbegrenzung ==
 <br>
-Es wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
+Für dieses Kapitel wird von folgenden Voraussetzungen ausgegangen:
 *Der Sendegrundimpuls $g_s(t)$ sei NRZ&ndash;rechteckförmig; bei Spitzenwertbegrenzung ist dies optimal.<br>
-*Der Gesamtfrequenzgang $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$ erfülle die Nyquistbedingung und werde durch einen Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass $H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm CRO}(f)$ beschrieben.
+*Der Gesamtfrequenzgang $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm Nyq}(f)}$ erfülle die Nyquistbedingung.
-*Da die Impulsamplitude $g_0$ unabhängig vom Rolloff&ndash;Faktor $r$ ist, lässt sich hier die SNR&ndash;Maximierung auf die Minimierung der Rauschleistung vor dem Entscheider zurückführen:
+*Der Nyquistfrequenzgang werde durch einen Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass realisiert: &nbsp;  $H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm CRO}(f)$.
 :$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum,}
   \hspace{0.5cm}{\rm wobei}\hspace{0.5cm}
   H_{\rm E}(f) =\frac {H_{\rm CRO}(f)}{{\rm si}(\pi f T)}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion $|H_{\rm E}(f)|^2$ für drei verschiedene Rolloff&ndash;Faktoren. Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung vor dem Entscheider.
+Die Grafik zeigt die Leistungsübertragungsfunktion $|H_{\rm E}(f)|^2$ für drei verschiedene Rolloff&ndash;Faktoren. Die Flächen unter diesen Kurven sind jeweils ein Maß für die Rauschleistung $\sigma_d^2$ vor dem Entscheider. Man erkennt aus dieser Darstellung:
 [[Datei:P_ID1291__Dig_T_1_4_S6_v2.png|right|frame|Zur Optimierung des Rolloff-Faktors bei Spitzenwertbegrenzung|class=fit]]
-Man erkennt aus dieser Darstellung:
+*Der Rolloff&ndash;Faktor $r = 0$ (Rechteck&ndash;Frequenzgang) führt trotz des sehr schmalbandigen Empfangsfilters nur zum Wirkungsgrad $\eta_{\rm A} \approx 0.65$, da $H_{\rm E}(f)$ wegen der $\rm si$-Funktion im Nenner mit wachsendem $f$ ansteigt.<br>
 * $r = 1$ bewirkt zwar ein doppelt so breites Spektrum, führt aber zu keiner Anhebung. Da die Fläche unter der roten Kurve kleiner ist als die grüne, ergibt sich ein besserer Wert: &nbsp; $\eta_{\rm A} \approx 0.88$.
-*Der größte Systemwirkungsgrad ergibt sich für$r \approx 0.8$ (flaches Maximum) mit &nbsp; $\eta_{\rm A} \approx 0.89$. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.<br>
+*Der größte Systemwirkungsgrad ergibt sich für $r \approx 0.8$ (flaches Maximum) mit &nbsp; $\eta_{\rm A} \approx 0.89$. Hierfür erreicht man den bestmöglichen Kompromiss zwischen Bandbreite und Überhöhung.<br>
-*Durch Vergleich mit dem optimalen Frequenzgang $H_{\rm E}(f) = {\rm si}(\pi f T$ bei Spitzenwertbegrenzung, der zum Ergebnis $\sigma^2 = N_0/(2T)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\eta_{\rm A}= 1$ führt, erhält man für den Systemwirkungsgrad:
+*Durch Vergleich mit dem optimalen Frequenzgang $H_{\rm E}(f) = {\rm si}(\pi f T)$ bei Spitzenwertbegrenzung, der zum Ergebnis $\sigma_d^2 = N_0/(2T)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\eta_{\rm A}= 1$ führt, erhält man für den Systemwirkungsgrad:
 :$$\eta_{\rm A} = \left  [T \cdot
   \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.15cm} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \right ]^{-1}
    \hspace{0.05cm}.$$
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Das absolute Optimum bei Spitzenwertbegrenzzung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\eta_{\rm A}= 1$ ergibt sich nur mit einem  rechteckförmigen Sendegrundimpuls $g_s(t)$ und einer ebenfalls  rechteckförmige Empfangsfilter&ndash;Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ gleicher Breite $T$.
+*Das absolute Optimum bei Spitzenwertbegrenzzung &nbsp; &#8658; &nbsp; $\eta_{\rm A}= 1$ ergibt sich nur mit einem  rechteckförmigen Sendegrundimpuls $g_s(t)$ und einer ebenfalls  rechteckförmigen Empfangsfilter&ndash;Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ gleicher Breite $T$.
 *Das beste Cosinus-Rolloff-Nyquistspektrum mit $r = 0.8$ (blaue Kurve) ist gegenüber dem Matched-Filter (violett-gestrichelte Kurve) um ca. $0.5 \ \rm  dB$ schlechter, da die Fläche unter der blauen Kurve um ca. $12\%$ größer ist als die Fläche unter der violetten Kurve.
-*Die so genannte [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme|Wurzel&ndash;Wurzel&ndash;Konfiguration]] &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm CRO}(f)}$macht also nur Sinn, wenn man von Leistungsbegrenzung ausgeht.}}
+*Die so genannte [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Wurzel.E2.80.93Nyquist.E2.80.93Systeme|Wurzel&ndash;Wurzel&ndash;Konfiguration]] &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =\sqrt{H_{\rm CRO}(f)}$ macht also nur Sinn, wenn man von Leistungsbegrenzung ausgeht.}}