Digitalsignalübertragung/Optimale Empfängerstrategien - Versionsgeschichte

Guenter am 30. Juni 2022 um 15:17 Uhr

2022-06-30T15:17:50Z

Guenter am 30. Juni 2022 um 15:01 Uhr

2022-06-30T15:01:11Z

Guenter am 30. Juni 2022 um 14:31 Uhr

2022-06-30T14:31:32Z

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2022-06-30T14:11:33Z

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2019-03-07T09:10:56Z

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2018-06-11T12:40:47Z

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Guenter am 5. November 2017 um 15:17 Uhr

2017-11-05T15:17:46Z

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 == Korrelationsempfänger bei unipolarer Signalisierung ==
 <br>
-Bisher sind wir bei der Beschreibung des Korrelationsempfänger stets von binärer ''bipolarer''&nbsp; Signalisierung ausgegangen:
+Bisher sind wir bei der Beschreibung des Korrelationsempfänger stets von binärer&nbsp; '''bipolarer'''&nbsp; Signalisierung ausgegangen:
 :$$a_\nu  =   \left\{ \begin{array}{c} +1  \\
   -1 \\  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 198: / Zeile 198: @@
 q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}.  \\
 \end{array}$$
-Nun betrachten wir den Fall der binären ''unipolaren''&nbsp; Digitalsignalübertragung gilt:
+Nun betrachten wir den Fall der binären&nbsp; '''unipolaren'''&nbsp; Digitalsignalübertragung:
 :$$a_\nu  =   \left\{ \begin{array}{c} 1  \\
 \\  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 207: / Zeile 207: @@
 \end{array}$$
-Die &nbsp;$2^3 = 8$&nbsp; möglichen Quellensymbolfolgen &nbsp;$Q_i$&nbsp; der Länge &nbsp;$N = 3$&nbsp; werden nun durch unipolare rechteckförmige Sendesignale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; repräsentiert. Nachfolgend  aufgeführt sind die Symbolfolgen &nbsp;$Q_0 = \rm LLL$, ... , $Q_7 = \rm HHH$&nbsp; und die  Sendesignale &nbsp;$s_0(t)$, ... , $s_7(t)$.
+[[Datei:P ID1462 Dig T 3 7 S5c version1.png|right|frame|Mögliche unipolare Sendesignale für &nbsp;$N = 3$|class=fit]]
-[[Datei:P ID1462 Dig T 3 7 S5c version1.png|center|frame|Mögliche unipolare Sendesignale für &nbsp;$N = 3$|class=fit]]
+Die &nbsp;$2^3 = 8$&nbsp; möglichen Quellensymbolfolgen &nbsp;$Q_i$&nbsp; der Länge &nbsp;$N = 3$&nbsp; werden nun durch unipolare rechteckförmige Sendesignale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; repräsentiert.
 Durch Vergleich mit der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Darstellung_des_Korrelationsempf.C3.A4ngers_im_Baumdiagramm|entsprechenden Tabelle]]&nbsp; für bipolare Signalisierung erkennt man:
 *Aufgrund der unipolaren Amplitudenkoeffizienten sind nun die Signalenergien &nbsp;$E_i$&nbsp; unterschiedlich, zum Beispiel gilt &nbsp;$E_0 =  0$&nbsp; und  &nbsp;$E_7 = 3 \cdot E_{\rm B}$.
 *Hier führt die auf den Integralendwerten &nbsp;$I_i$&nbsp; basierende Entscheidung nicht zum richtigen Ergebnis.
 *Vielmehr muss nun auf die korrigierten Vergleichswerte &nbsp;$W_i = I_i- E_i/2$&nbsp; zurückgegriffen werden.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; In der Grafik sind die fortlaufenden Integralwerte dargestellt, wobei wieder vom tatsächlich gesendeten Signal &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; und dem rauschfreien Fall ausgegangen wird. Das entsprechende bipolare Äquivalent wurde im [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Darstellung_des_Korrelationsempf.C3.A4ngers_im_Baumdiagramm|Beispiel 2]] betrachtet.
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; In der Grafik sind die fortlaufenden Integralwerte dargestellt,&nbsp;  wobei wieder vom tatsächlich gesendeten Signal &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; und dem rauschfreien Fall ausgegangen wird.&nbsp; Das entsprechende bipolare Äquivalent wurde im&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Darstellung_des_Korrelationsempf.C3.A4ngers_im_Baumdiagramm|"Beispiel 2"]]&nbsp; betrachtet.
 [[Datei:Dig_T_3_7_S5D_version2.png|right|frame|Baumdiagramm des Korrelationsempfängers (unipolar)|class=fit]]
-Für dieses Beispiel ergeben sich folgende Vergleichswerte, jeweils normiert auf &nbsp;$E_{\rm B}$:
+Für dieses Beispiel ergeben sich folgende Vergleichswerte,&nbsp; jeweils normiert auf &nbsp;$E_{\rm B}$:
 :$$I_5 = I_7 = 2, \hspace{0.2cm}I_1 = I_3 = I_4= I_6 = 1 \hspace{0.2cm},
   \hspace{0.2cm}I_0 = I_2 = 0
@@ Zeile 230: / Zeile 236: @@
 Das bedeutet:
 *Bei einem Vergleich hinsichtlich der maximalen &nbsp;$I_i$&ndash;Werte wären die Quellensymbolfolgen &nbsp;$Q_5$&nbsp; und &nbsp;$Q_7$&nbsp; gleichwertig.
 *Berücksichtigt man die unterschiedlichen Energien &nbsp;$(E_5 = 2, \ E_7 = 3)$, so  wird dagegen wegen &nbsp;$W_5 > W_7$&nbsp; eindeutig für die Folge &nbsp;$Q_5$&nbsp; entschieden.
 *Der Korrelationsempfänger gemäß &nbsp;$W_i = I_i- E_i/2$&nbsp; entscheidet also auch bei unipolarer Signalisierung richtig auf &nbsp;$s(t) = s_5(t)$. }}<br>

@@ Zeile 135: / Zeile 135: @@
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Mit großer Wahrscheinlichkeit ist &nbsp;$I_j = I_k$&nbsp; größer als alle anderen Vergleichswerte &nbsp;$I_{j \ne k}$. Ist das Rauschen &nbsp;$n(t)$&nbsp; allerdings zu groß, so wird auch der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung treffen.<br>
+*Mit großer Wahrscheinlichkeit ist dann &nbsp;$I_j = I_k$&nbsp; größer als alle anderen Vergleichswerte &nbsp;$I_{j \ne k}$.&nbsp; Ist das Rauschen &nbsp;$n(t)$&nbsp; allerdings zu groß,&nbsp; so wird auch der Korrelationsempfänger eine Fehlentscheidung treffen.<br>
 == Darstellung des Korrelationsempfängers im Baumdiagramm==
@@ Zeile 141: / Zeile 141: @@
 Verdeutlichen wir uns die Funktionsweise des Korrelationsempfängers im Baumdiagramm, wobei die &nbsp;$2^3 = 8$&nbsp; möglichen Quellensymbolfolgen &nbsp;$Q_i$&nbsp; der Länge &nbsp;$N = 3$&nbsp; durch bipolare rechteckförmige Sendesignale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; repräsentiert werden:
-[[Datei:P ID1458 Dig T 3 7 S5a version1.png|center|frame|Mögliche bipolare Sendesignale für &nbsp;$N = 3$|class=fit]]
+[[Datei:P ID1458 Dig T 3 7 S5a version1.png|right|frame|Alle &nbsp;$2^3 = 8$&nbsp; möglichen bipolaren Sendesignale für &nbsp;$N = 3$|class=fit]]
 Die möglichen Symbolfolgen &nbsp;$Q_0 = \rm LLL$, ... , $Q_7 = \rm HHH$&nbsp; und die zugehörigen Sendesignale &nbsp;$s_0(t)$, ... , $s_7(t)$&nbsp; sind oben aufgeführt.
-*Aufgrund der bipolaren Amplitudenkoeffizienten und der Rechteckform sind alle Signalenergien gleich: &nbsp; $E_0 =  \text{...} = E_7 = N \cdot E_{\rm B}$, wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die Energie eines Einzelimpulses der Dauer $T$ angibt.
+*Aufgrund der bipolaren Koeffizienten und der Rechteckform sind alle Signalenergien gleich: &nbsp; $E_0 =  \text{...} = E_7 = N \cdot E_{\rm B}$,&nbsp; wobei &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; die Energie eines Einzelimpulses der Dauer&nbsp; $T$&nbsp; angibt.
-*Deshalb kann auf die Subtraktion des Terms &nbsp;$E_i/2$&nbsp; in allen Zweigen verzichtet werden &nbsp; &rArr; &nbsp; eine auf den Korrelationswerten &nbsp;$I_i$&nbsp; basierende Entscheidung liefert ebenso zuverlässige Ergebnisse wie die Maximierung der korrigierten Werte &nbsp;$W_i$.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; In der Grafik sind die fortlaufenden Integralwerte dargestellt, wobei vom tatsächlich gesendeten Signal &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; und dem rauschfreien Fall ausgegangen wird. Für diesen Fall gilt für die zeitabhängigen Integralwerte und die Integralendwerte:
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; In der Grafik sind die fortlaufenden Integralwerte dargestellt,&nbsp; wobei vom tatsächlich gesendeten Signal &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; und dem rauschfreien Fall ausgegangen wird.&nbsp; Für diesen Fall gilt für die zeitabhängigen Integralwerte und die Integralendwerte:
-[[Datei:Dig_T_3_7_S5B_version2.png|right|frame|Korrelationsempfänger: &nbsp; Baumdiagramm im rauschfreien Fall|class=fit]]
+[[Datei:Dig_T_3_7_S5B_version2.png|right|frame|Korrelationsempfänger:&nbsp; Baumdiagramm  im rauschfreien Fall|class=fit]]
 :$$i_i(t)  =  \int_{0}^{t} r(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
 \tau =  \int_{0}^{t} s_5(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d}
@@ Zeile 156: / Zeile 157: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}I_i = i_i(3T). $$
 Die Grafik kann wie folgt interpretiert werden::
-*Wegen der Rechteckform der Signale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; sind alle Funktionsverläufe &nbsp;$i_i(t)$&nbsp; geradlinig. Die auf &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; normierten Endwerte sind &nbsp;$+3$, &nbsp;$+1$, &nbsp;$-1$&nbsp; und &nbsp;$-3$.<br>
+*Wegen der Rechteckform der Signale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; sind alle Funktionsverläufe &nbsp;$i_i(t)$&nbsp; geradlinig.&nbsp; Die auf &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; normierten Endwerte sind &nbsp;$+3$, &nbsp;$+1$, &nbsp;$-1$&nbsp; und &nbsp;$-3$.<br>
 *Der maximale Endwert ist &nbsp;$I_5 = 3 \cdot E_{\rm B}$&nbsp; (roter Kurvenverlauf), da tatsächlich das Signal &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; gesendet wurde. Ohne Rauschen trifft der Korrelationsempfänger somit natürlich immer die richtige Entscheidung.<br>
-*Der blaue Kurvenzug &nbsp;$i_1(t)$&nbsp; führt zum Endwert &nbsp;$I_1 = -E_{\rm B} + E_{\rm B}+ E_{\rm B} = E_{\rm B}$, da sich &nbsp;$s_1(t)$&nbsp; von &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; nur im ersten Bit unterscheidet. Die Vergleichswerte &nbsp;$I_4$&nbsp; und &nbsp;$I_7$&nbsp; sind ebenfalls gleich &nbsp;$E_{\rm B}$.<br>
+*Der maximale Endwert ist &nbsp;$I_5 = 3 \cdot E_{\rm B}$&nbsp; (roter Kurvenverlauf),&nbsp; da tatsächlich das Signal &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; gesendet wurde.&nbsp; Ohne Rauschen trifft der Korrelationsempfänger somit natürlich immer die richtige Entscheidung.<br>
 *Da sich &nbsp;$s_0(t)$, &nbsp;$s_3(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_6(t)$&nbsp; vom gesendeten &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; in zwei Bit unterscheiden, gilt &nbsp;$I_0 = I_3 = I_6 =-E_{\rm B}$. Die grüne Kurve zeigt &nbsp;$s_6(t)$, das zunächst ansteigt (erstes Bit stimmt überein) und dann über zwei Bit abfällt.
-*Die violette Kurve führt zum Endwert &nbsp;$I_2 = -3 \cdot E_{\rm B}$. Das zugehörige Signal &nbsp;$s_2(t)$&nbsp; unterscheidet sich von &nbsp;$s_5(t)$&nbsp;  in allen drei Symbolen und es gilt &nbsp;$s_2(t) = -s_5(t)$.}}<br><br>
+*Der blaue Kurvenzug &nbsp;$i_1(t)$&nbsp; führt zum Endwert &nbsp;$I_1 = -E_{\rm B} + E_{\rm B}+ E_{\rm B} = E_{\rm B}$,&nbsp; da sich &nbsp;$s_1(t)$&nbsp; von &nbsp;$s_5(t)$&nbsp; nur im ersten Bit unterscheidet.&nbsp; Die Vergleichswerte &nbsp;$I_4$&nbsp; und &nbsp;$I_7$&nbsp; sind ebenfalls gleich &nbsp;$E_{\rm B}$.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik zu diesem Beispiel beschreibt den gleichen Sachverhalt wie das &nbsp;$\text{Beispiel 2}$, doch es wird nun vom Empfangssignal  &nbsp;$r(t) = s_5(t)+ n(t)$&nbsp; ausgegangen. Die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens &nbsp;$n(t)$&nbsp; beträgt hierbei  &nbsp;$\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm B}/T$.
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Die Grafik zu diesem Beispiel beschreibt den gleichen Sachverhalt wie das &nbsp;$\text{Beispiel 2}$,&nbsp; doch es wird nun vom Empfangssignal  &nbsp;$r(t) = s_5(t)+ n(t)$&nbsp; ausgegangen.&nbsp; Die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens &nbsp;$n(t)$&nbsp; sei  &nbsp;$\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm B}/T$.
 [[Datei:Dig_T_3_7_S5C_version2.png|right|frame|Korrelationsempfänger: Baumdiagramm mit Rauschen |class=fit]]
 Man erkennt aus dieser Grafik im Vergleich zum rauschfreien Fall:
 *Die Funktionsverläufe sind aufgrund des Rauschanteils &nbsp;$n(t)$&nbsp; nun nicht mehr gerade und es ergeben sich auch etwas andere Endwerte als ohne Rauschen.
 *Im betrachteten Beispiel entscheidet der Korrelationsempfänger aber mit großer Wahrscheinlichkeit richtig, da die Differenz zwischen &nbsp;$I_5$&nbsp; und dem zweitgrößeren Wert &nbsp;$I_7$&nbsp; mit &nbsp;$1.65\cdot E_{\rm B}$&nbsp; verhältnismäßig groß ist.<br>
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist im hier betrachteten Beispiel allerdings nicht besser als die des Matched&ndash;Filter&ndash;Empfängers mit symbolweiser Entscheidung.
+*Im betrachteten Beispiel entscheidet der Korrelationsempfänger aber mit großer Wahrscheinlichkeit richtig,&nbsp; da die Differenz zwischen &nbsp;$I_5$&nbsp; und dem zweitgrößeren Wert &nbsp;$I_7$&nbsp; mit &nbsp;$1.65\cdot E_{\rm B}$&nbsp; verhältnismäßig groß ist.<br>
-*Entsprechend dem Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Voraussetzungen_und_Optimierungskriterium|Optimierung der Basisband&ndash;Übertragungssysteme]]&nbsp;  gilt auch hier:
 :$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} }\right)
   = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \sqrt{ { E_{\rm B} }/{N_0} }\right) \hspace{0.05cm}.$$}}
@@ Zeile 176: / Zeile 183: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Weist das Eingangssignal keine statistischen Bindungen auf wie im &nbsp;$\text{Beispiel 2}$, so ist durch die gemeinsame Entscheidung von &nbsp;$N$&nbsp; Symbolen gegenüber der symbolweisen Entscheidung keine Verbesserung zu erzielen.
+#Weist das Eingangssignal keine statistischen Bindungen auf wie im &nbsp;$\text{Beispiel 2}$, so ist durch die gemeinsame Entscheidung von &nbsp;$N$&nbsp; Symbolen gegenüber der symbolweisen Entscheidung keine Verbesserung zu erzielen &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm S} = {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} }\right)$&nbsp;.
-*Bei Vorhandensein von statistischen Bindungen  wird durch die gemeinsame Entscheidung von &nbsp;$N$&nbsp; Symbolen die Fehlerwahrscheinlichkeit  gegenüber &nbsp;$p_{\rm S} = {\rm Q} \left( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0} }\right)$&nbsp; (gültig für symbolweise Entscheidung) merklich verringert, da der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfänger die Bindungen berücksichtigt.
+#Bei Vorhandensein von statistischen Bindungen  wird dagegen durch die gemeinsame Entscheidung von &nbsp;$N$&nbsp; Symbolen die Fehlerwahrscheinlichkeit   merklich verringert,&nbsp; da der Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfänger diese Bindungen berücksichtigt.
-*Solche Bindungen können entweder durch sendeseitige Codierung bewusst erzeugt werden (siehe &nbsp;$\rm LNTwww$-Buch [[Kanalcodierung]]) oder durch (lineare) Kanalverzerrungen ungewollt entstehen.<br>
+#Solche statistische Bindungen können entweder durch sendeseitige Codierung bewusst erzeugt werden&nbsp; $($siehe &nbsp;$\rm LNTwww$&ndash;Buch [[Kanalcodierung|"Kanalcodierung"]]$)$&nbsp; oder durch&nbsp; (lineare)&nbsp; Kanalverzerrungen ungewollt entstehen.<br>
-*Bei Vorhandensein solcher Impulsinterferenzen ist die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich schwieriger. Es können jedoch vergleichbare Näherungen wie beim Viterbi&ndash;Empfänger angegeben werden, die am &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger#Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidung|Ende des nächsten Kapitels ]]&nbsp; angegeben sind.}}<br>
+#Bei Vorhandensein solcher&nbsp; "Impulsinterferenzen"&nbsp; ist die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich schwieriger.&nbsp; Es können jedoch vergleichbare Näherungen wie beim Viterbi&ndash;Empfänger angegeben werden,&nbsp; die am &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Viterbi–Empfänger#Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Maximum.E2.80.93Likelihood.E2.80.93Entscheidung|Ende des nächsten Kapitels]]&nbsp; angegeben sind.}}<br>
 == Korrelationsempfänger bei unipolarer Signalisierung ==

@@ Zeile 113: / Zeile 113: @@
 Es gibt verschiedene schaltungstechnische Implementierungen des Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Empfängers.
-Beispielsweise können die erforderlichen Integrale durch lineare Filterung und anschließender Abtastung gewonnen werden. Man bezeichnet diese Realisierungsform als&nbsp; '''Matched&ndash;Filter&ndash;Empfänger''', da hier die Impulsantworten der &nbsp;$M$&nbsp; parallelen Filter formgleich mit den Nutzsignalen &nbsp;$s_0(t)$, ... , $s_{M-1}(t)$&nbsp; sind.<br>
+&rArr; &nbsp; Beispielsweise können die erforderlichen Integrale durch lineare Filterung und anschließender Abtastung gewonnen werden.&nbsp; Man bezeichnet diese Realisierungsform als&nbsp; '''Matched&ndash;Filter&ndash;Empfänger''',&nbsp; da hier die Impulsantworten der &nbsp;$M$&nbsp; parallelen Filter formgleich mit den Nutzsignalen &nbsp;$s_0(t)$, ... , $s_{M-1}(t)$&nbsp; sind.<br>
-*Die $M$ Entscheidungsgrößen &nbsp;$I_i$&nbsp; sind dann gleich den Faltungsprodukten &nbsp;$r(t) \star s_i(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt &nbsp;$t= 0$.
+*Die&nbsp; $M$&nbsp; Entscheidungsgrößen &nbsp;$I_i$&nbsp; sind dann gleich den Faltungsprodukten &nbsp;$r(t) \star s_i(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt &nbsp;$t= 0$.
-*Beispielsweise erlaubt der im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Voraussetzungen_und_Optimierungskriterium|Optimierung der Basisband&ndash;Übertragungssysteme]]&nbsp; ausführlich beschriebene &bdquo;optimale Binärempfänger&rdquo; eine Maximum&ndash;Likelihood&ndash;Entscheidung mit den ML&ndash;Parametern &nbsp;$M = 2$&nbsp; und &nbsp;$N = 1$.<br>
-Eine zweite Realisierungsform bietet der &nbsp;'''Korrelationsempfänger'''&nbsp; entsprechend der folgenden Grafik.
+&rArr; &nbsp; Eine zweite Realisierungsform bietet der &nbsp;'''Korrelationsempfänger'''&nbsp; entsprechend der Grafik.&nbsp; Man erkennt aus diesem Blockschaltbild für die angegebenen Parameter:
-[[Datei:P ID1457 Dig T 3 7 S4 version1.png|center|frame|Korrelationsempfänger für &nbsp;$N = 3$, &nbsp;$t_1 = 0$, &nbsp;$t_2 = 3T$ &nbsp;sowie&nbsp; $M = 2^3 = 8$ |class=fit]]
+[[Datei:P ID1457 Dig T 3 7 S4 version1.png|right|frame|Korrelationsempfänger für &nbsp;$N = 3$, &nbsp;$t_1 = 0$, &nbsp;$t_2 = 3T$ &nbsp;sowie&nbsp; $M = 2^3 = 8$ |class=fit]]
-Man erkennt aus diesem Blockschaltbild für die angegebenen Parameter:
+*Dieser Korrelationsempfänger bildet &nbsp;$M = 8$&nbsp; Kreuzkorrelationen zwischen dem Empfangssignal &nbsp;$r(t) = s_k(t) + n(t)$&nbsp; und den möglichen Sendesignalen &nbsp;$s_i(t), \ i = 0$, ... , $M-1$.&nbsp; Vorausgesetzt ist für die folgende Beschreibung,&nbsp; dass das Nutzsignal &nbsp;$s_k(t)$&nbsp; gesendet wurde.<br>
-*Der Korrelationsempfänger sucht nun den maximalen Wert &nbsp;$W_j$&nbsp; aller Korrelationswerte und gibt die dazugehörige Folge &nbsp;$Q_j$&nbsp; als Sinkensymbolfolge &nbsp;$V$&nbsp; aus. Formal lässt sich die ML&ndash;Entscheidungsregel wie folgt ausdrücken:
+*Der Korrelationsempfänger sucht den maximalen Korrelationswert  &nbsp;$W_j$&nbsp; und gibt die dazugehörige Folge &nbsp;$Q_j$&nbsp; als Sinkensymbolfolge &nbsp;$V$&nbsp; aus.&nbsp; Formal lässt sich die ML&ndash;Entscheidungsregel wie folgt ausdrücken:
 :$$V = Q_j, \hspace{0.2cm}{\rm falls}\hspace{0.2cm} W_i < W_j
 \hspace{0.2cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.2cm} {\rm
 alle}\hspace{0.2cm} i \ne j \hspace{0.05cm}.$$
-*Setzt man weiter voraus, dass alle Sendesignale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; die genau gleiche Energie besitzen, so kann man auf die Subtraktion von &nbsp;$E_i/2$&nbsp; in allen Zweigen verzichten. In diesem Fall werden folgende Korrelationswerte miteinander verglichen &nbsp;$(i = 0$, ... , $M-1)$:
+*Besitzen alle Sendesignale &nbsp;$s_i(t)$&nbsp; die gleiche Energie,&nbsp; so kann man auf die Subtraktion von &nbsp;$E_i/2$&nbsp; in allen Zweigen verzichten.&nbsp; Man vergleicht dann folgende Korrelationswerte miteinander &nbsp;$(i = 0$, ... , $M-1)$:
 ::<math>I_i  =  \int_{0}^{NT} s_j(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t +
 \int_{0}^{NT} n(t) \cdot s_i(t) \,{\rm d} t

@@ Zeile 230: / Zeile 230: @@
 == Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:3.9_Korrelationsempfänger_für_unipolare_Signalisierung|Aufgabe 3.9: Korrelationsempfänger für unipolare Signalisierung]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.09:_Korrelationsempfänger_für_unipolare_Signalisierung|Aufgabe 3.9: Korrelationsempfänger für unipolare Signalisierung]]
-[[Aufgaben:3.Zehn_Baumdiagramm_bei_Maximum-Likelihood|Aufgabe 3.10: Baumdiagramm bei Maximum-Likelihood]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_3.10:_Baumdiagramm_bei_Maximum-Likelihood|Aufgabe 3.10: Baumdiagramm bei Maximum-Likelihood]]
 {{Display}}

@@ Zeile 212: / Zeile 212: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; In der Grafik sind die fortlaufenden Integralwerte dargestellt, wobei vom tatsächlich gesendeten Signal $s_5(t)$ und dem rauschfreien Fall ausgegangen wird. Das entsprechende bipolare Äquivalent wurde im Beispiel 2 betrachtet.
+$\text{Beispiel 4:}$&nbsp; In der Grafik sind die fortlaufenden Integralwerte dargestellt, wobei vom tatsächlich gesendeten Signal $s_5(t)$ und dem rauschfreien Fall ausgegangen wird. Das entsprechende bipolare Äquivalent wurde im [[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien#Darstellung_des_Korrelationsempf.C3.A4ngers_im_Baumdiagramm|Beispiel 2]] betrachtet.
 [[Datei:Dig_T_3_7_S5D_version2.png|right|frame|Baumdiagramm des Korrelationsempfängers (unipolar)|class=fit]]
@@ Zeile 225: / Zeile 225: @@
 Das bedeutet:
 *Bei einem Vergleich hinsichtlich der maximalen $I_i$&ndash;Werte wären die Quellensymbolfolgen $Q_5$ und $Q_7$ gleichwertig.
-*Bei Berücksichtigung der unterschiedlichen Energien$(E_5 = 2, \ E_7 = 3)$ ist dagegen $W_5 > W_7$.
+*Berücksichtigt man die unterschiedlichen Energien$(E_5 = 2, \ E_7 = 3)$, so  wird dagegen wegen $W_5 > W_7$ eindeutig für die Folge $Q_5$ entschieden.
 *Der Korrelationsempfänger gemäß $W_i = I_i- E_i/2$ entscheidet also auch bei unipolarer Signalisierung richtig auf $s(t) = s_5(t)$. }}<br>