Digitalsignalübertragung/Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation - Versionsgeschichte

Guenter am 5. Mai 2022 um 14:06 Uhr

2022-05-05T14:06:25Z

Guenter am 5. Mai 2022 um 14:05 Uhr

2022-05-05T14:05:26Z

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Guenter am 5. Mai 2022 um 12:34 Uhr

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2022-05-05T11:32:08Z

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Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:24Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 6. Februar 2019 um 10:06 Uhr

2019-02-06T10:06:17Z

Guenter am 6. Februar 2019 um 10:03 Uhr

2019-02-06T10:03:21Z

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@@ Zeile 250: / Zeile 250: @@
 *ein Quellensignal mit gaußförmigem Spektrum &nbsp;$Q(f)$,
 *die BPSK&ndash;Modulation,
-*ein rechteckförmiger Bandpass&ndash;Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$,
+*ein rechteckiger Bandpass&ndash;Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$,
 *eine phasensynchrone Demodulation,&nbsp; und
 *ein ebenfalls rechteckförmiges Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; mit &nbsp;$\Delta f_{\rm E} > \Delta f_{\rm K}$.

@@ Zeile 217: / Zeile 217: @@
 [[Datei:P_ID1677__Dig_T_4_1_S6_v3.png|right|frame|Blockschaltbild und äquivalentes Basisbandmodell für die kohärente ASK bzw. BPSK|class=fit]]
 *Durch die Multiplikation mit dem Träger &nbsp;$z(t)$&nbsp; wird das Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp;  &ndash; und dementsprechend auch das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; &ndash;&nbsp; beidseitig  um die Trägerfrequenz &nbsp;$(\pm f_{\rm T})$&nbsp; verschoben.
 *Nach dem Kanal wird diese Verschiebung durch den&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]]&nbsp; wieder rückgängig gemacht.

@@ Zeile 120: / Zeile 120: @@
 *Die 4&ndash;QAM kann durch zwei zueinander orthogonale BPSK&ndash;Systeme mit Cosinus&ndash; bzw. Minus&ndash;Sinus&ndash;Träger dargestellt werden.<br>
 *Das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Bitrate $R_{\rm B}$&nbsp; wird in zwei Teilsignale &nbsp;$q_{\rm I}(t)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; "Inphase-Komponente"&nbsp; und &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; "Quadratur-Komponente"&nbsp; mit jeweils halber Rate aufgespaltet&nbsp; ("Seriell&ndash;Parallel&ndash;Wandlung").&nbsp; Die Symboldauer von &nbsp;$q_{\rm I}(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$&nbsp; beträgt jeweils &nbsp;$T = 2\cdot T_{\rm B}$;&nbsp;  die Symbolrate ist  jeweils &nbsp;$R_{\rm B}/2$.<br>
-*Die Amplituden der beiden zueinander orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp;  kleiner gewählt als bei der BPSK,&nbsp; so dass die Hüllkurve des [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM| Sendesignals]] &nbsp;$s(t)$&nbsp; wiederum&nbsp; $s_0$&nbsp; beträgt.
+*Die Amplituden der beiden zueinander orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp;  kleiner gewählt als bei der BPSK,&nbsp; so dass die Hüllkurve des [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM| Sendesignals]] &nbsp; $s(t)$&nbsp; wiederum&nbsp; $s_0$&nbsp; beträgt.

@@ Zeile 182: / Zeile 182: @@
 == Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger ==
 <br>
-Voraussetzung für die Gültigkeit der bisherigen Gleichungen ist eine strenge Synchronität zwischen den bei Sender und Empfänger zugesetzten Trägersignalen. Nun wird ein Phasenversatz &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; zwischen den beiden Trägersignalen &nbsp;$z(t)$&nbsp; und &nbsp;$z_{\rm E} (t)$&nbsp; angenommen, während weiterhin von Frequenzsynchronität ausgegangen wird.
+Voraussetzung für die Gültigkeit der bisherigen Gleichungen ist eine strenge Synchronität zwischen den bei Sender und Empfänger zugesetzten Trägersignalen.&nbsp; Nun wird ein Phasenversatz &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; zwischen den beiden Trägersignalen &nbsp;$z(t)$&nbsp; und &nbsp;$z_{\rm E} (t)$&nbsp; angenommen,&nbsp; während weiterhin von Frequenzsynchronität ausgegangen wird.
 [[Datei:P_ID1676__Dig_T_4_1_S5_v2.png|right|frame|Phasendiagramme bei BPSK und 4–QAM mit  &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 30 ^\circ$.|class=fit]]
-Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ$. Man erkennt:
+Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ$.&nbsp; Man erkennt:
-*Sowohl bei BPSK (links) als auch bei der 4&ndash;QAM (rechts) bewirkt ein Phasenversatz um &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; eine entsprechende  ''Drehung''&nbsp; des Phasendiagramms.<br>
+*Sowohl bei BPSK&nbsp; (links)&nbsp; als auch bei der 4&ndash;QAM&nbsp; (rechts)&nbsp; bewirkt ein Phasenversatz um &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; eine entsprechende  Drehung des Phasendiagramms.<br>
 *Bei BPSK bewirkt der Phasenversatz ein um &nbsp;$\cos\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; kleineres Nutzsignal. Den gleichen Effekt haben wir bereits beim &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Einfluss_eines_Phasenversatzes|Synchrondemodulator]]&nbsp; eines analogen Übertragungssystems festgestellt.<br>
-*Demzufolge wird auch der Abstand des Detektionsnutzsignals von der Entscheiderschwelle um den gleichen Faktor geringer, was zu einer höheren Fehlerwahrscheinlichkeit führt:
+*Bei BPSK bewirkt der Phasenversatz ein um &nbsp;$\cos\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; kleineres Nutzsignal.&nbsp; Den gleichen Effekt haben wir bereits beim &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Einfluss_eines_Phasenversatzes|Synchrondemodulator]]&nbsp; eines analogen Übertragungssystems festgestellt.<br>
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \cos({\rm \Delta} \phi_{\rm T})\right
   ) .$$
-*Mit den hier zugrundeliegenden Zahlenwerten &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$&nbsp; und &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ)$&nbsp;  erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK  (linkes Diagramm) von &nbsp;$p_{\rm B} \approx 0.2\%$&nbsp; auf etwa &nbsp;$p_{\rm B} \approx 0.6\%$.
+*Mit den hier zugrundeliegenden Zahlenwerten &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$&nbsp; und &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ)$&nbsp;  erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK&nbsp;  (linkes Diagramm)&nbsp; von &nbsp;$p_{\rm B} \approx 0.2\%$&nbsp; auf &nbsp;$p_{\rm B} \approx 0.6\%$.
-*Dagegen wird bei der 4&ndash;QAM (rechtes Diagramm) die Fehlerwahrscheinlichkeit bei gleichen Bedingungen nahezu um den Faktor $40$ größer: &nbsp; $p_{\rm B} \approx 8\%$.
+*Dagegen wird bei der 4&ndash;QAM&nbsp; (rechtes Diagramm)&nbsp; die Fehlerwahrscheinlichkeit bei gleichen Bedingungen nahezu um den Faktor&nbsp; $40$&nbsp; größer: &nbsp; $p_{\rm B} \approx 8\%$.
-*Falls &nbsp;$|\Delta \phi_{\rm T}| < 45^\circ$&nbsp; ist,  gilt für die 4&ndash;QAM  folgende allgemeine Gleichung  (siehe &nbsp;[[Aufgaben:1.09_BPSK_und_4-QAM|Aufgabe 1.9]]&nbsp;):
+*Falls &nbsp;$|\Delta \phi_{\rm T}| < 45^\circ$&nbsp; ist,&nbsp;  gilt für die 4&ndash;QAM  folgende allgemeine Gleichung&nbsp;  (siehe &nbsp;[[Aufgaben:1.09_BPSK_und_4-QAM|Aufgabe 1.9]]&nbsp;):
 :$$p_{\rm B} = 1/2 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot
   \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm
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 == Basisbandmodell für ASK und BPSK==
 <br>
-Die Grafik zeigt oben nochmals das '''Gesamtblockschaltbild''' eines Trägerfrequenzsystems mit kohärenter Demodulation, das für ASK (unipolare Amplitudenkoeffizienten) und BPSK (bipolare Koeffizienten) in gleicher Weise gültig ist.
+Die Grafik zeigt oben nochmals das&nbsp; '''Gesamtblockschaltbild'''&nbsp; eines Trägerfrequenzsystems mit kohärenter Demodulation,&nbsp; das für ASK&nbsp; (unipolare Amplitudenkoeffizienten)&nbsp; und BPSK&nbsp; (bipolare Koeffizienten)&nbsp; in gleicher Weise gültig ist.
-*Durch die Multiplikation mit dem Trägersignal &nbsp;$z(t)$&nbsp; wird das Spektrum &nbsp;$Q(f)$&nbsp; des Quellensignals &ndash; und dementsprechend auch das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_q(f)$&nbsp; &ndash; beidseitig  um die Trägerfrequenz &nbsp;$(\pm f_{\rm T})$&nbsp; verschoben.
+[[Datei:P_ID1677__Dig_T_4_1_S6_v3.png|right|frame|Blockschaltbild und äquivalentes Basisbandmodell für die kohärente ASK bzw. BPSK|class=fit]]
 *Nach dem Kanal wird diese Verschiebung durch den &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulator]]&nbsp; wieder rückgängig gemacht.
-[[Datei:P_ID1677__Dig_T_4_1_S6_v3.png|center|frame|Blockschaltbild und äquivalentes Basisbandmodell für die kohärente ASK bzw. BPSK|class=fit]]
+Geht man vom&nbsp; '''äquivalenten Basisbandmodell'''&nbsp; entsprechend der unteren Grafik aus,&nbsp; so lässt sich die Berechnung der Signale nach dem Demodulator vereinfachen:
 *Unter Berücksichtigung einer Phasendifferenz &nbsp;$\Delta \phi_{\rm T}$&nbsp; zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger erhält man für die resultierende Übertragungsfunktion:
 :$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ {\rm e}^{\hspace{0.04cm}-{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm
@@ Zeile 226: / Zeile 229: @@
   T}} \cdot H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ]
   .$$
 *Bei einem reellen und um die Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; symmetrischen Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$ &ndash; also falls &nbsp;$H_{\rm K}(f_{\rm T}-f) = H_{\rm K}(f_{\rm T}+f)$&nbsp; gilt &ndash; kann man diese Gleichung wie folgt vereinfachen:
 :$$H_{\rm MKD}(f) = \frac{\cos({\rm \Delta} \phi_{\rm
   T})}{2} \cdot \big [  H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ]
   .$$
 *Die Signale &nbsp;$b\hspace{0.08cm}'(t)$&nbsp; im unteren Bild und &nbsp;$b(t)$&nbsp; nach dem Demodulator des Bandpass–Systems im oberen Bild sind somit bis auf die &nbsp;$±2f_{\rm T}$–Anteile identisch. Diese Anteile werden jedoch durch das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; eliminiert und müssen nicht weiter berücksichtigt werden.
@@ Zeile 235: / Zeile 240: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK können somit auch mit dem einfacheren Basisbandmodell berechnet werden, und zwar auch dann, wenn ein verzerrender Kanal &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; vorliegt.
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK können somit auch mit dem einfacheren Basisbandmodell berechnet werden,&nbsp; und zwar auch dann,&nbsp; wenn ein verzerrender Kanal &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; vorliegt.
-*Zu beachten ist, dass auch das Rauschsignal $n(t)$ in den Tiefpassbereich transformiert werden muss. Bei &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Rauschbetrachtung_zum_BPSK.E2.80.93System|weißem Rauschen]]&nbsp; muss hierzu &nbsp;${\it \Phi}_n(f) = N_0/2$&nbsp; durch &nbsp;${\it \Phi}_{n,\hspace{0.06cm}{\rm  TP} }(f) = N_0$&nbsp; ersetzt werden.}}
+*Zu beachten ist,&nbsp; dass auch das Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; in den Tiefpassbereich transformiert werden muss.&nbsp; Bei &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Rauschbetrachtung_zum_BPSK.E2.80.93System|"Weißem Rauschen"]]&nbsp; muss hierzu &nbsp;${\it \Phi}_n(f) = N_0/2$&nbsp; durch &nbsp;${\it \Phi}_{n,\hspace{0.06cm}{\rm  TP} }(f) = N_0$&nbsp; ersetzt werden.}}
 [[Datei:P_ID1678__Dig_T_4_1_S6b_v1.png|right|frame|Spektren des BPSK–Systems und des zugehörigen Basisbandmodells|class=fit]]
-{{GraueBox|TEXT=
+*ein Quellensignal mit gaußförmigem Spektrum &nbsp;$Q(f)$,
 *die BPSK&ndash;Modulation,
-*ein rechteckförmiger Bandpasskanal &nbsp;$H_{\rm K}(f)$,
+*ein rechteckförmiger Bandpass&ndash;Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$,
-*eine phasensynchrone Demodulation, und
+*eine phasensynchrone Demodulation,&nbsp; und
 *ein ebenfalls rechteckförmiges Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; mit &nbsp;$\Delta f_{\rm E} > \Delta f_{\rm K}$.
+<br><br><br><br><br><br><br>
 Man erkennt:
-*Das Spektrum &nbsp;$D(f)$&nbsp; des Detektionssignals &nbsp;$d(t)$&nbsp; wird durch das äquivalente Basisbandmodell richtig wiedergegeben, obwohl sich die Spektren &nbsp;$B(f)$&nbsp; bzw. &nbsp;$B\hspace{0.05cm}'(f)$&nbsp; um die doppelte Trägerfrequenz unterscheiden.
+#Das Spektrum &nbsp;$D(f)$&nbsp; vor dem Entscheider wird durch das äquivalente Basisbandmodell richtig wiedergegeben,&nbsp; obwohl sich die beiden Spektren &nbsp;$B(f)$&nbsp; bzw. &nbsp;$B\hspace{0.05cm}'(f)$&nbsp; (um die doppelte Trägerfrequenz)&nbsp; unterscheiden.<br><br>
+#Die resultierende Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; berücksichtigt auch die Bandbegrenzung durch den Kanal,&nbsp; der in diesem Beispiel als rechteckförmig um die Trägerfrequenz angenommen wurde.}}
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 139: / Zeile 139: @@
-[[Datei:P_ID1675__Dig_T_4_1_S4_neu1_v3.png|right|frame|Phasendiagramme bei BPSK mit Cosinusträger (links) bzw. Minus&ndash;Sinusträger (rechts)|class=fit]]
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt zwei verschiedene Phasendiagramme von ''Binary Phase Shift Keying''&nbsp; (BPSK):
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt zwei verschiedene Phasendiagramme von&nbsp; "Binary Phase Shift Keying"&nbsp; $\rm (BPSK)$:
-* Die beiden Diagramme unterscheiden sich allein durch die Trägerphase. In beiden Fällen gilt  &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$.
+[[Datei:P_ID1675__Dig_T_4_1_S4_neu1_v3.png|right|frame|Phasendiagramme bei BPSK mit Cosinusträger&nbsp; (links)&nbsp; bzw.&nbsp; Minus&ndash;Sinusträger (rechts)|class=fit]]
-* In der linken Grafik erkennt man Bitfehler (durch Kreise hervorgehoben) durch gelbe Kreuze rechts von der vertikalen Entscheiderschwelle bzw. durch blaue Kreuze in der linken Halbebene.
+* Die beiden Diagramme unterscheiden sich allein durch die Trägerphase.&nbsp; In beiden Fällen gilt  &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$.
 *In der rechten Grafik weisen gelbe Kreuze oberhalb der horizontalen Schwelle und blaue Kreuze unterhalb auf Bitfehler hin.
 *Der Abstand der Nutzabtastwerte ohne Rauschen (markiert durch  die weißen Punkte) von der jeweiligen Entscheiderschwelle (grün markiert) beträgt jeweils &nbsp;$s_0$.
-*Die Varianz der Detektionsabtastwerte &ndash; erkennbar am Radius der Punktwolken &ndash; ist wegen &nbsp;$E_{\rm B}  = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm
+*Der Abstand der Nutzabtastwerte ohne Rauschen&nbsp; (markiert durch  die weißen Punkte)&nbsp; von der jeweiligen Entscheiderschwelle&nbsp; (grün markiert)&nbsp; beträgt jeweils &nbsp;$s_0$.
- B}$&nbsp; gleich
 :$$\sigma_d^2 = \frac{N_0 }{ T_{\rm B} }= \frac{s_0^2/2 }{ E_{\rm
   B}/N_0}.$$
-*Mit &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$  &nbsp; &#8658; &nbsp;  $E_{\rm B}/N_0 = 10^{0.6} \approx 4$&nbsp; ergibt sich daraus:
 :$$ {\sigma_d^2 }/{ {s_0}^2}= \big [ { 2 \cdot 10^{0.6} }\big ]^{-1}
    \approx 0.125\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 159: / Zeile 164: @@
 [[Datei:P_ID3135__Dig_T_4_1_S4_neu2_v2.png|right|frame|Phasendiagramm bei 4–QAM]]
-*Hier kommt es zu einem Bitfehler, wenn die horizontale oder die vertikale Entscheiderschwelle überschritten wird.
+*Hier gibt es  einen Bitfehler,&nbsp; wenn die horizontale&nbsp; '''oder'''&nbsp; die vertikale Entscheiderschwelle überschritten wird.
 *In der Grafik erkennt man einen solchen Bitfehler, wenn ein Kreuz farblich nicht zu seinem Quadranten passt.
 *Der Abstand der nunmehr vier Nutzabtastwerte ohne Rauschen (weiße Punkte) vom Ursprung beträgt wieder &nbsp;$s_0$.
 *Der Abstand zu den Entscheiderschwellen ist bei  4&ndash;QAM allerdings um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp;  geringer als bei BPSK.
 *Der Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d$&nbsp; ist bei  4&ndash;QAM um den gleichen Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp; kleiner als bei BPSK.
 *Somit sind die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten  von 4&ndash;QAM und BPSK gleich: &nbsp; $p_{\rm B} \approx 2 \cdot 10^{-3}.$
 <br clear=all>}}
 == Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger ==

@@ Zeile 89: / Zeile 89: @@
 == Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen ASK–Systems ==
 <br>
-Wir betrachten nun ein &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying |ASK&ndash;System]]&nbsp; bei gleichen Voraussetzungen wie das BPSK&ndash;System. Hier
+Wir betrachten nun ein &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying |'''ASK&ndash;System''']]&nbsp; bei gleichen Voraussetzungen wie das BPSK&ndash;System.&nbsp; Dann gilt
-*sind alle Detektionsnutzsignalwerte &nbsp;$d_{\rm S}(\nu \cdot T)$&nbsp;  entweder &nbsp;$0$&nbsp; oder &nbsp;$s_0$,
+#Alle Detektionsnutzsignalwerte &nbsp;$d_{\rm S}(\nu \cdot T)$&nbsp;  sind entweder &nbsp;$0$&nbsp; oder &nbsp;$s_0$.&nbsp; Dementsprechend ist deren Abstand von der Schwelle &nbsp;$E = s_0/2$&nbsp; jeweils &nbsp;$s_0/2$.
-*ist dementsprechend deren Abstand von der Schwelle &nbsp;$E = s_0/2$&nbsp; jeweils &nbsp;$s_0/2$,
+#Rer Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d= \sqrt{N_0}/{T_{\rm B}}$&nbsp; ist genau so groß wie bei BPSK.
-*ist der Rauscheffektivwert &nbsp;$\sigma_d= \sqrt{N_0}/{T_{\rm B}}$&nbsp; genau so groß wie bei BPSK,
+#Die Energie pro Bit ist nur halb so groß wie bei BPSK: &nbsp; $E_{\rm B}  = {1}/{4}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$
-{{BlaueBox|TEXT=
+Damit lauten die entsprechenden Gleichungen für die&nbsp; '''ASK&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit'''&nbsp; als Funktion von &nbsp;$s_0$&nbsp; bzw. von &nbsp;$E_{\rm B}$:
-$\text{Fazit:}$&nbsp;
+[[Datei:Dig_T_1_5_S3_version3neu.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK|class=fit]]
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/2}{\sigma_d } \right
   )=  {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{4 \cdot N_0 } } \hspace{0.1cm}\right
-  ),\hspace{1cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B} }{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right
+  ),\hspace{1cm}$$
   ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B} }{2 \cdot N_0 } } \right
-  ).$$}}
+  ).$$
-Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$. Diese Darstellung eignet sich für den Vergleich zwischen diesen binären Modulationsverfahren unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung:
+Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK abhängig vom Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$.&nbsp; Diese Darstellung eignet sich für den Vergleich dieser binären Modulationsverfahren unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.&nbsp;
-[[Datei:Dig_T_1_5_S3_version3neu.png|right|frame|Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK|class=fit]]
+Man erkennt aus dieser doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung:
-Man erkennt aus dieser doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung:
+*Der Systemvergleich beim festen Abszissenwert &nbsp;$10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$&nbsp; liefert für die BPSK &nbsp;$p_{\rm B} = 2 \cdot 10^{-4}$&nbsp; und für die ASK  &nbsp;$p_{\rm B} = 6 \cdot 10^{-3}$.
 <br clear=all>
 == Fehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM und 4–PSK==
 <br>
-Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur–Amplitudenmodulation]]&nbsp; (QAM) wurde im Buch &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo; bereits ausführlich beschrieben. Aus der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung|Signalraumzuordnung]]&nbsp; und den &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|Signalverläufen]]&nbsp; ist zu entnehmen:
+Die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur–Amplitudenmodulation]]&nbsp; $\rm (QAM)$&nbsp; wurde im Buch &bdquo;Modulationsverfahren&rdquo; bereits ausführlich beschrieben.&nbsp; Aus der &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Allgemeine_Beschreibung_und_Signalraumzuordnung|"Signalraumzuordnung"]]&nbsp; und den &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM|"Signalverläufen"]]&nbsp; ist zu entnehmen:
 *Die 4&ndash;QAM kann durch zwei zueinander orthogonale BPSK&ndash;Systeme mit Cosinus&ndash; bzw. Minus&ndash;Sinus&ndash;Träger dargestellt werden.<br>
-*Das binäre Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Bitrate $R_{\rm B}$&nbsp; wird in zwei Teilsignale &nbsp;$q_{\rm I}(t)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Inphase-Komponente''&nbsp; und &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; ''Quadratur-Komponente''&nbsp; mit jeweils halber Rate aufgespaltet (''Seriell&ndash;Parallel&ndash;Wandlung''&nbsp;). Die Symboldauer von &nbsp;$q_{\rm I}(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$&nbsp; beträgt jeweils &nbsp;$T = 2\cdot T_{\rm B}$&nbsp;;  die Symbolrate ist  jeweils &nbsp;$R_{\rm B}/2$.<br>
+*Das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Bitdauer &nbsp;$T_{\rm B}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Bitrate $R_{\rm B}$&nbsp; wird in zwei Teilsignale &nbsp;$q_{\rm I}(t)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; "Inphase-Komponente"&nbsp; und &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; "Quadratur-Komponente"&nbsp; mit jeweils halber Rate aufgespaltet&nbsp; ("Seriell&ndash;Parallel&ndash;Wandlung").&nbsp; Die Symboldauer von &nbsp;$q_{\rm I}(t)$&nbsp; bzw. &nbsp;$q_{\rm Q}(t)$&nbsp; beträgt jeweils &nbsp;$T = 2\cdot T_{\rm B}$;&nbsp;  die Symbolrate ist  jeweils &nbsp;$R_{\rm B}/2$.<br>
-*Die Amplituden der beiden zueinander orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp;  kleiner gewählt als bei der BPSK, so dass die Hüllkurve des [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM| Sendesignals]] &nbsp;$s(t)$&nbsp; wiederum &nbsp;$s_0$&nbsp; beträgt.
+*Die Amplituden der beiden zueinander orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor &nbsp;$\sqrt{2}$&nbsp;  kleiner gewählt als bei der BPSK,&nbsp; so dass die Hüllkurve des [[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Signalverl.C3.A4ufe_der_4.E2.80.93QAM| Sendesignals]] &nbsp;$s(t)$&nbsp; wiederum&nbsp; $s_0$&nbsp; beträgt.
-Die QAM&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit ist die gleiche wie die der zwei orthogonalen BPSK&ndash;Systemen. Wegen der kleineren Signalamplitude und der niedrigeren Symbolrate gilt:
+{{BlaueBox|TEXT=
-:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2}}{\sigma_d } \right
+$\text{4-QAM&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit:}$&nbsp;
-  )  \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot T_{\rm B}}
+*Wegen der im Vergleich zur BPSK kleineren Signalamplitude und gleichzeitig niedrigeren Symbolrate gilt:
-\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} =  {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 }{2} \cdot \frac{2 \cdot T_{\rm B} }{N_0}}\hspace{0.1cm}\right
+:$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2} }{\sigma_d } \right
-  )=  {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right
+  )  \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot T_{\rm B} }
   ).$$
-{{BlaueBox|TEXT=
+*Da sich die &nbsp;[[Modulationsverfahren/Quadratur%E2%80%93Amplitudenmodulation#Offset.E2.80.93Quadraturamplitudenmodulation|quaternäre Phasenmodulation]]&nbsp; $\rm (4&ndash;PSK)$&nbsp; von der 4&ndash;QAM nur um eine Phasenverdrehung von &nbsp;$45^\circ$&nbsp; unterscheidet,&nbsp; ergibt sich  bei Berücksichtigung geeigneter Entscheidungsgebiete auch für die 4&ndash;PSK die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.}}

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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-Damit lautet die '''BPSK&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit''' mit den zwei üblichen &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Gaußschen Fehlerfunktionen]]:
+Damit lautet die '''BPSK&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit''' mit den zwei üblichen &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Gaußschen Fehlerfunktionen]]:
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{N_0 } }\hspace{0.1cm} \right
   ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{2 \cdot N_0 } }\hspace{0.1cm} \right