Digitalsignalübertragung/Lineare Nyquistentzerrung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:26:46Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:26 Uhr
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	*$H_{\rm TF}(f)$  ist gleichzeitig eine mit der Frequenz  $1/T$  periodische Funktion   ⇒  Koeffizienten des Filters ergeben sich aus der  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|"Fourierreihe"]]  (angewandt auf die Spektralfunktion):		*$H_{\rm TF}(f)$  ist gleichzeitig eine mit der Frequenz  $1/T$  periodische Funktion   ⇒  Koeffizienten des Filters ergeben sich aus der  [[Signaldarstellung/Fourierreihe\|"Fourierreihe"]]  (angewandt auf die Spektralfunktion):
	:$$k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -{\kappa}/{T})\|^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f$$		:$$k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -{\kappa}/{T})\|^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f$$
	:$$ \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) =\sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\~~rme~~}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) =\sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.$$

	In der rechten Grafik ist der Frequenzgang   $20 \cdot \lg \ \|H_{\rm E}(f)\|$   des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt.  Es gilt:		In der rechten Grafik ist der Frequenzgang   $20 \cdot \lg \ \|H_{\rm E}(f)\|$   des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt.  Es gilt:
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	*Die Maxima der Frequenzgänge  $H_{\rm TF}(f)$  und  $\|H_{\rm E}(f)\|$  hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  ab.  Aus dem blauen bzw. roten Funktionsverlauf kann abgelesen werden:		*Die Maxima der Frequenzgänge  $H_{\rm TF}(f)$  und  $\|H_{\rm E}(f)\|$  hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  ab.  Aus dem blauen bzw. roten Funktionsverlauf kann abgelesen werden:
	:$$a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\~~rmTF~~}(f)\big]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\~~rmMax~~}\big[\ \|H_{\rm E}(f)\| \ \big] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$		:$$a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ \|H_{\rm E}(f)\| \ \big] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
	:$$a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big]\approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ \|H_{\rm E}(f)\|\ \big]\approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$		:$$a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big]\approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ \|H_{\rm E}(f)\|\ \big]\approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 164:		Zeile 164:
	*Da die Frequenz in dieser Darstellung auf  $1/T$  normiert wurde,  entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve.  Die numerische Auswertung ergibt:		*Da die Frequenz in dieser Darstellung auf  $1/T$  normiert wurde,  entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve.  Die numerische Auswertung ergibt:

	:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

	*Es kann gezeigt werden,  dass die normierte Störleistung allein mit dem Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  berechnet werden kann,  wie in der rechten Grafik dargestellt:		*Es kann gezeigt werden,  dass die normierte Störleistung allein mit dem Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  berechnet werden kann,  wie in der rechten Grafik dargestellt:
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Digital_Signal_Transmission/Linear_Nyquist_Equalization]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:40Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Guenter am 22. Juni 2022 um 13:09 Uhr

2022-06-22T13:09:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 22. Juni 2022, 15:09 Uhr
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	*einem Transversalfilter  $H_{\rm MF}(f)$  mit unendlich vielen Filterkoeffizienten<br><br>		*einem Transversalfilter  $H_{\rm MF}(f)$  mit unendlich vielen Filterkoeffizienten<br><br>

	zusammensetzt,  folgt aus dem ersten Nyquistkriterium.  Durch Anwendung der  [https://de.wikipedia.org/wiki/"Variationsrechnung"]  erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters – siehe [ST85]<ref name='ST85'> Söder, G.; Tröndle, K.:  "Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme."  Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>:		zusammensetzt,  folgt aus dem ersten Nyquistkriterium.  Durch Anwendung der  [https://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung "Variationsrechnung"]  erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters – siehe [ST85]<ref name='ST85'> Söder, G.; Tröndle, K.:  "Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme."  Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>:
	[[Datei:Dig_T_3_5_S3b_version2.png\|right\|frame\|(Betrags–) Frequenzgang des Transversalfilter (links) und des gesamten optimalen Nyquistentzerrers (rechts)\|class=fit]]		[[Datei:Dig_T_3_5_S3b_version2.png\|right\|frame\|(Betrags–) Frequenzgang des Transversalfilter (links) und des gesamten optimalen Nyquistentzerrers (rechts)\|class=fit]]
	$$H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -		$$H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -

Guenter am 22. Juni 2022 um 13:01 Uhr

2022-06-22T13:01:24Z

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Guenter am 22. Juni 2022 um 12:10 Uhr

2022-06-22T12:10:44Z

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Guenter am 23. Februar 2019 um 17:05 Uhr

2019-02-23T17:05:42Z

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Guenter am 23. Februar 2019 um 16:18 Uhr

2019-02-23T16:18:56Z

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Guenter am 11. Juni 2018 um 09:04 Uhr

2018-06-11T09:04:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juni 2018, 11:04 Uhr
Zeile 187:		Zeile 187:
	*Oberhalb der Frequenz $f_{\rm Nyq} \cdot (1 + r)$ besitzt $H_{\rm Nyq}(f)$ keine Anteile. Bei idealem Kanal   ⇒   $a_\star = 0 \ \rm dB$ (grüne Kurve) reicht $H_{\rm Nyq}(f)= {\rm si}^2(\pi f T)$ allerdings theoretisch bis ins Unendliche.		*Oberhalb der Frequenz $f_{\rm Nyq} \cdot (1 + r)$ besitzt $H_{\rm Nyq}(f)$ keine Anteile. Bei idealem Kanal   ⇒   $a_\star = 0 \ \rm dB$ (grüne Kurve) reicht $H_{\rm Nyq}(f)= {\rm si}^2(\pi f T)$ allerdings theoretisch bis ins Unendliche.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Das ~~Interaktionsmodul~~ [[~~Tiefpässe im Frequenz-~~ und ~~Zeitbereich~~]] verdeutlicht die Eigenschaften des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses.		Das interaktive Applet [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|Frequenzgang und Impulsantwort]] verdeutlicht unter anderem die Eigenschaften des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses.


Zeile 198:		Zeile 198:
	\,{\rm d} f .$$		\,{\rm d} f .$$

	Das linke ~~Bild~~ zeigt $\|H_{\rm E}(f)\|^2$ im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung $a_\star = 80 \ \rm dB$. Beachten Sie, dass $\|H_{\rm E}(f = 0)\|^2 = 1$ ist.		Das linke Diagramm der Grafik zeigt $\|H_{\rm E}(f)\|^2$ im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung $a_\star = 80 \ \rm dB$. Beachten Sie, dass $\|H_{\rm E}(f = 0)\|^2 = 1$ ist.

			Da die Frequenz in dieser Darstellung auf $1/T$ normiert wurde, entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve. Die numerische Auswertung ergibt:

	[[Datei:P ID1429 Dig T 3 5 S5 version1.png\|right\|frame\|Zur Berechnung der normierten Störleistung beim ONE\|class=fit]]		[[Datei:P ID1429 Dig T 3 5 S5 version1.png\|right\|frame\|Zur Berechnung der normierten Störleistung beim ONE\|class=fit]]
	<br>Da die Frequenz in dieser Darstellung auf $1/T$ normiert wurde, entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve. Die numerische Auswertung ergibt:<br>		:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm
	:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7$$
	~~:$$~~\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm
	lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx		lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx
	72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$		72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
	~~<br clear = all>~~
	Es kann gezeigt werden, dass die normierte Störleistung allein mit dem Transversalfilter–Frequenzgang $H_{\rm TF}(f)$ berechnet werden kann, wie in der rechten Grafik dargestellt:		Es kann gezeigt werden, dass die normierte Störleistung allein mit dem Transversalfilter–Frequenzgang $H_{\rm TF}(f)$ berechnet werden kann, wie in der rechten Grafik dargestellt:
	:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot		:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot
Zeile 213:		Zeile 213:

	Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich.		Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich.
			<br clear=all>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Die normierten Störleistung des optimalen Nyquistentzerrers ist gleich dem Fourierkoeffizienten $k_0$, wenn man den reellen, symmetrischen und periodischen Transversalfilter–Frequenzgang $H_{\rm TF}(f)$ als Fourierreihe darstellt.		$\text{Fazit:}$  Die normierten Störleistung des optimalen Nyquistentzerrers ist gleich dem Fourierkoeffizienten $k_0$, wenn man den reellen, symmetrischen und periodischen Transversalfilter–Frequenzgang $H_{\rm TF}(f)$ als Fourierreihe darstellt.

			[[Datei:P ID1430 Dig T 3 5 S5b version3.png\|right\|frame\|Koeffizienten des optimalen Nyquistentzerrers\|class=fit]]
	*In der zweiten Spalte der Tabelle ist $10 \cdot \lg \ (k_0)$ in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star$ eines Koaxialkabels angegeben.		*In der zweiten Spalte der Tabelle ist $10 \cdot \lg \ (k_0)$ in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star$ eines Koaxialkabels angegeben.
	*Aufgrund der gewählten Normierung gilt die Tabelle auch für [[Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_Übertragung#Augen.C3.B6ffnung_bei_redundanzfreien_Mehrstufensystemen\|redundanzfreie Mehrstufensysteme]]; $M$ bezeichnet hierbei die Stufenzahl.<br>		*Aufgrund der gewählten Normierung gilt die Tabelle auch für [[Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_Übertragung#Augen.C3.B6ffnung_bei_redundanzfreien_Mehrstufensystemen\|redundanzfreie Mehrstufensysteme]]; $M$ bezeichnet hierbei die Stufenzahl.<br>
	*Die Koeffizienten $k_1$, $k_2$, $k_3$, ... des Transversalfilters weisen für $a_\star \ne 0 \ \rm dB$ alternierende Vorzeichen auf.		*Die Koeffizienten $k_1$, $k_2$, $k_3$, ... des Transversalfilters weisen für $a_\star \ne 0 \ \rm dB$ alternierende Vorzeichen auf.
	*Für $a_\star = 40 \ \rm dB$ sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als $k_0/10$, für $a_\star = 80 \ \rm dB$ sogar sieben.~~<br>~~		*Für $a_\star = 40 \ \rm dB$ sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als $k_0/10$, für $a_\star = 80 \ \rm dB$ sogar sieben.}}

	~~[[Datei:P ID1430 Dig T 3 5 S5b version3.png\|center\|frame\|Koeffizienten des optimalen Nyquistentzerrers\|class=fit]]~~}}

	== Vergleich anhand des Systemwirkungsgrades ==		== Vergleich anhand des Systemwirkungsgrades ==
Zeile 228:		Zeile 228:
	:$$\eta = \frac{\rho_d}{s_0^2 \cdot T / N_0}=\frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}M}{(M-1)^2 \cdot k_0}.$$		:$$\eta = \frac{\rho_d}{s_0^2 \cdot T / N_0}=\frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}M}{(M-1)^2 \cdot k_0}.$$

	Die (normierte) Störleistung $k_0$ kann aus der [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung#Berechnung_der_normierten_St.C3.B6rleistung\| Tabelle]] auf der letzten Seite abgelesen werden. Beachten Sie die Normierung der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star$ in der ersten Spalte.		Die (normierte) Störleistung $k_0$ kann aus der [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung#Berechnung_der_normierten_St.C3.B6rleistung\| Tabelle]] auf der letzten Seite abgelesen werden. Beachten Sie die Normierung der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star$ in der ersten Spalte. Die folgende Tabelle aus [ST85]<ref name='ST85'/> ermöglicht einen Systemvergleich für die charakteristische Kabeldämpfung $a_\star = 80 \ \rm dB$.

	Die folgende Tabelle aus [ST85]<ref name='ST85'/> ermöglicht einen Systemvergleich für die charakteristische Kabeldämpfung $a_\star = 80 \ \rm dB$.

	[[Datei:P ID1431 Dig T 3 5 S6 version1.png\|right\|frame\|Vergleich binärer und mehrstufiger Ünertragungssysteme gemäß &bdquo;GTP” bzw. &bdquo;ONE”\|class=fit]]		[[Datei:P ID1431 Dig T 3 5 S6 version1.png\|right\|frame\|Vergleich binärer und mehrstufiger Ünertragungssysteme gemäß &bdquo;GTP” bzw. &bdquo;ONE”\|class=fit]]
	~~<br>~~Verglichen werden:		Verglichen werden:

	* der [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|gaußförmige Gesamtfrequenzgang]] (GTP), der auch bei Optimierung zu einem impulsinterferenzbehafteten System führt, <br>		* der [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung\|gaußförmige Gesamtfrequenzgang]] ('''GTP'''), der auch bei Optimierung zu einem impulsinterferenzbehafteten System führt, <br>


	*der [[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung#Struktur_des_optimalen_Nyquistentzerrers\|optimale Nyquistentzerrer]] (ONE), mit dem Impulsinterferenzen per se ausgeschlossen werden.		*der [[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung#Struktur_des_optimalen_Nyquistentzerrers\|optimale Nyquistentzerrer]] ('''ONE'''), mit dem Impulsinterferenzen per se ausgeschlossen werden.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
	$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse dieses Systemvergleichs können wie folgt zusammengefasst werden:		$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse dieses Systemvergleichs können wie folgt zusammengefasst werden:
	*Im binären Fall $(M = 2)$ ist das impulsinterferenzfreie System (ONE) um etwa $6 \ \rm dB$ besser als das impulsinterferenzbehaftete System (GTP).<br>		*Im binären Fall $(M = 2)$ ist das impulsinterferenzfreie System (ONE) um etwa $6 \ \rm dB$ besser als das impulsinterferenzbehaftete System (GTP).<br>
	*Wendet man die optimale Nyquistentzerrung bei Mehrstufensystemen an, so ist gegenüber &bdquo;GTP” ein weiterer, deutlicher Störabstandsgewinn möglich. Für $M =4$ beträgt dieser Gewinn etwa $18.2 \ \rm dB$.<br>		*Wendet man die optimale Nyquistentzerrung bei Mehrstufensystemen an, so ist gegenüber &bdquo;GTP” ein weiterer, deutlicher Störabstandsgewinn möglich.
	*Das schmalbandige GTP–System kann allerdings deutlich verbessert werden, wenn man einen Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung verwendet. Dieser wird im nächsten Kapitel behandelt.}}<br>		*Für $M =4$ beträgt dieser Gewinn etwa $18.2 \ \rm dB$.<br>
			*Das schmalbandige GTP–System kann allerdings deutlich verbessert werden, wenn man einen Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung verwendet.
			*Dieser wird im nächsten Kapitel behandelt.}}<br>

			Wir verweisen an dieser Stelle auf das interaktive Applet [[Applets:Lineare_Nyquistentzerrung\|Lineare Nyquistentzerrung]].


	~~Wir verweisen andieser Stelle auf das Interaktionsmodul [[Lineare Nyquistentzerrung]].~~

	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 11. Juni 2018 um 08:28 Uhr

2018-06-11T08:28:34Z

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Guenter am 5. November 2017 um 15:14 Uhr

2017-11-05T15:14:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 5. November 2017, 17:14 Uhr
Zeile 248:		Zeile 248:
	==Aufgaben zum Kapitel==		==Aufgaben zum Kapitel==
	<br>		<br>
	[[Aufgaben:3.6_Transversalfilter_des_Optimalen_Nyquistentzerrers\| Aufgabe 3.6 Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers]]		[[Aufgaben:3.6_Transversalfilter_des_Optimalen_Nyquistentzerrers\| Aufgabe 3.6: Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers]]

	[[Aufgaben:3.6Z_Optimaler_Nyquistentzerrer_für_Exponentialimpuls\| Aufgabe 3.6Z Optimaler Nyquistentzerrer für Exponentialimpuls]]		[[Aufgaben:3.6Z_Optimaler_Nyquistentzerrer_für_Exponentialimpuls\| Aufgabe 3.6Z: Optimaler Nyquistentzerrer für Exponentialimpuls]]

	[[Aufgaben:3.7_Nochmals_Optimale_Nyquistentzerrung\|Aufgabe 3.7 Nochmals Optimale Nyquistentzerrung]]		[[Aufgaben:3.7_Nochmals_Optimale_Nyquistentzerrung\|Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung]]

	[[Aufgaben:3.7Z_Regeneratorfeldlänge\|Aufgabe 3.7Z Regeneratorfeldlänge]]		[[Aufgaben:3.7Z_Regeneratorfeldlänge\|Aufgabe 3.7Z: Regeneratorfeldlänge]]

	==Quellenverzeichnis==		==Quellenverzeichnis==