Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung - Versionsgeschichte

Guenter am 21. Februar 2019 um 13:31 Uhr

2019-02-21T13:31:34Z

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Guenter am 21. Februar 2019 um 11:20 Uhr

2019-02-21T11:20:08Z

Guenter am 21. Februar 2019 um 11:06 Uhr

2019-02-21T11:06:27Z

Guenter am 10. Juni 2018 um 12:31 Uhr

2018-06-10T12:31:00Z

Guenter am 10. Juni 2018 um 12:19 Uhr

2018-06-10T12:19:55Z

Guenter am 10. Juni 2018 um 11:55 Uhr

2018-06-10T11:55:24Z

Guenter am 29. Oktober 2017 um 15:44 Uhr

2017-10-29T15:44:32Z

Guenter am 29. Oktober 2017 um 15:42 Uhr

2017-10-29T15:42:45Z

Guenter am 29. Oktober 2017 um 15:41 Uhr

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Guenter am 29. August 2017 um 15:04 Uhr

2017-08-29T15:04:02Z

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 :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}= 2 \cdot (g_0 - 2 \cdot g_1) \approx 1.5 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.$$
+*Bei den Mehrstufensystemen ist die Augenöffnung per se um den Faktor &nbsp;$1/(M-1)$&nbsp; kleiner. Die Augenöffnung wird also durch die (gleich großen) Vor&ndash; und Nachläufer (relativ gesehen) stärker verringert als beim Binärsystem. Man erhält bei gleichen Grundimpulswerten für
 :$$M = 3\text{:} \hspace{0.2cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}  =  2 \cdot (g_0/2 - 2 \cdot g_1) \approx 0.6 \cdot s_0
   \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 53: / Zeile 51: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Anzumerken ist, dass auch für diese beiden Mehrstufensysteme jeweils die normierte Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.6$ zugrundeliegt.
+Anzumerken ist, dass auch für diese beiden Mehrstufensysteme jeweils die normierte Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.6$&nbsp; zugrundeliegt.
 *Bei einem Systemvergleich ist allerdings zu beachten, dass sich durch die größere Stufenzahl auch der Informationsfluss erhöht.
 *Das heißt, dass die Mehrstufensysteme besser sind, als es diese Grafiken aussagen. Mehr darüber auf der nächsten Seite.}}<br>
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 == Vergleich zwischen Binär– und Quaternärsystem==
 <br>
-Der auf der letzten Seite angestellte Vergleich ist nicht fair, da nicht von gleichem Informationsfluss ausgegangen wurde. Ein Systemvergleich bei konstanter äquivalenter Bitrate $R_{\rm B}$ muss vielmehr auch berücksichtigen, dass bei den (redundanzfreien) Mehrstufensystemen die Symboldauer $T$ um den Faktor $\log_2 \ (M)$ größer ist als beim Binärsystem, was sich günstig auf die Impulsinterferenzen auswirkt.<br>
+[[Datei:P ID3140 Dig T 3 4 S2 version1.png|right|frame|Halbe normierte Augenöffung für &nbsp;$M = 2$, &nbsp;$M = 3$&nbsp;$M = 2$ und &nbsp;$M = 4$|class=fit]]
+Der auf der letzten Seite angestellte Vergleich ist nicht fair, da nicht von gleichem Informationsfluss ausgegangen wurde. Ein Systemvergleich bei konstanter äquivalenter Bitrate &nbsp;$R_{\rm B}$&nbsp; muss vielmehr auch berücksichtigen, dass bei den (redundanzfreien) Mehrstufensystemen die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; um den Faktor &nbsp;$\log_2 \ (M)$&nbsp; größer ist als beim Binärsystem, was sich günstig auf die Impulsinterferenzen auswirkt.<br>
-[[Datei:P ID3140 Dig T 3 4 S2 version1.png|center|frame|Halbe normierte Augenöffung für <i>M</i> = 2, <i>M</i> = 3 und <i>M</i> = 4|class=fit]]
+<br clear=all>
+Die Grafik zeigt die (auf &nbsp;$s_0$&nbsp; normierte) halbe Augenöffnung in Abhängigkeit des Quotienten &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B}$&nbsp; des gaußförmigen Empfangsfilters. In der &nbsp;[[Aufgaben:Aufgabe_3.4Z:_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp; wird diese in analytischer Form wie folgt berechnet:
 :$$\ddot{o}_{\rm norm} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0}  =  \frac{M}{ M-1}\cdot \frac{g_0}{
   s_0} -1  =  \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(
@@ Zeile 72: / Zeile 69: @@
 Man erkennt aus obiger Grafik:
-*Bei breitbandigem Filter (das heißt: für großes $f_{\rm G}$) ist das Binärsystem den Mehrstufensystemen deutlich überlegen. Die normierte halbe Augenöffnung beträgt im Grenzfall $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1$ (für $M = 2$), $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1/2$ (für $M = 3$) bzw. $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1/3$ (für $M = 4$).<br>
+*Bei breitbandigem Filter $($das heißt: &nbsp; für großes &nbsp;$f_{\rm G})$&nbsp; ist das Binärsystem den Mehrstufensystemen deutlich überlegen. Die normierte halbe Augenöffnung beträgt im Grenzfall &nbsp;$\ddot{o}_{\rm norm}  = 1$&nbsp; (für &nbsp;$M = 2$), &nbsp;$\ddot{o}_{\rm norm}  = 1/2$&nbsp; (für &nbsp;$M = 3$)&nbsp; bzw. &nbsp;$\ddot{o}_{\rm norm}  = 1/3$&nbsp; (für &nbsp;$M = 4$).<br>
-*Wie aus der Grafik hervorgeht, führt für Grenzfrequenzen $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.35$  die Stufenzahl $M=4$ (rote Kurve) zu einer größeren Augenöffnung als $M=2$ (blaue Kurve). Das Ternärsystem ($M=3$, violette Kurve) liegt fast im gesamten Bereich zwischen Binär&ndash; und Quaternärsystem.<br>
+*Wie aus der Grafik hervorgeht, führt für Grenzfrequenzen &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.35$&nbsp;  die Stufenzahl &nbsp;$M=4$&nbsp; (rote Kurve) zu einer größeren Augenöffnung als &nbsp;$M=2$&nbsp; (blaue Kurve). Das Ternärsystem &nbsp;$(M=3$, violette Kurve$)$ liegt fast im gesamten Bereich zwischen Binär&ndash; und Quaternärsystem.<br>
-*Zu erwähnen ist auch, dass sich beim Quaternärsystem erst mit einer Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.23$ ein geschlossenes Auge ergibt (was zu sehr großen Fehlerwahrscheinlichkeiten führt), während eine praxisrelevante Binärübertragung bereits für $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.27$ nicht mehr möglich ist.<br>
+*Zu erwähnen ist auch, dass sich beim Quaternärsystem erst mit einer Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.23$&nbsp; ein geschlossenes Auge ergibt (was zu sehr großen Fehlerwahrscheinlichkeiten führt), während eine praxisrelevante Binärübertragung bereits für &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.27$&nbsp; nicht mehr möglich ist.<br>
 == Gegenüberstellung der optimalen Grenzfrequenzen ==

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 == Augenöffnung bei redundanzfreien Mehrstufensystemen==
 <br>
 Wir gehen weiterhin von folgenden Voraussetzungen aus:
 *NRZ&ndash;Rechteck&ndash;Sendeimpulse,<br>
@@ Zeile 14: / Zeile 16: @@
 *ein Gaußtiefpass zur Rauschleistungsbegrenzung.<br><br>
-Im Unterschied zum [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|letzten Kapitel]] ist das weiterhin redundanzfreie Sendesignal $s(t)$ nun nicht mehr binär, sondern $M$&ndash;stufig, was sich nur im Wertevorrat der Amplitudenkoeffizienten auswirkt:
+Im Unterschied zum &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|letzten Kapitel]]&nbsp; ist das weiterhin redundanzfreie Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; nun nicht mehr binär, sondern &nbsp;$M$&ndash;stufig, was sich nur im Wertevorrat der Amplitudenkoeffizienten auswirkt:
 :$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
   a_\nu \in \{ a_1,\ \text{ ...} \  , a_\mu , \ \text{ ...} \  , a_{M}\}\hspace{0.05cm}.$$
-Dementsprechend besitzt der Entscheider nun nicht mehr nur eine, sondern $M-1$ Entscheiderschwellen und im Augendiagramm sind bei geöffnetem Auge $M-1$ Augenöffnungen erkennbar.<br>
+Dementsprechend besitzt der Entscheider nun nicht mehr nur eine, sondern &nbsp;$M-1$&nbsp; Entscheiderschwellen und im Augendiagramm sind bei geöffnetem Auge &nbsp;$M-1$&nbsp; Augenöffnungen erkennbar.<br>
 Vergleicht man die Augendiagramme (ohne Rauschen)
-*eines binären $(M = 2)$,<br>
+*eines binären &nbsp;$(M = 2)$,<br>
-*eines ternären $(M = 3)$, und<br>
+*eines ternären &nbsp;$(M = 3)$, und<br>
-*eines quaternären $(M = 4)$
+*eines quaternären &nbsp;$(M = 4)$
-Übertragungssystems bei gleichem vorgegebenen Detektionsgrundimpuls $g_d(t)$ und gleicher Symboldauer $T$, so erhält man für die halbe vertikale Augenöffnung allgemein:
+Übertragungssystems bei gleichem Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; und gleicher Symboldauer &nbsp;$T$, so erhält man für die halbe vertikale Augenöffnung allgemein:
 :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet $g_0 = g_d(t= 0)$ wie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]] den ''Hauptwert''. Die beiden Summen in obiger Gleichung  berücksichtigen
+Hierbei bezeichnet &nbsp;$g_0 = g_d(t= 0)$&nbsp; wie im Kapitel &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]]&nbsp; den ''Hauptwert''. Die beiden Summen in obiger Gleichung  berücksichtigen
-*die ''Vorläufer'' $g_1$, $g_2$, ... der nachfolgenden Impulse (zweiter Term), und
+*die ''Vorläufer''&nbsp; $g_1$, &nbsp;$g_2$, ... der nachfolgenden Impulse (zweiter Term), und
-*die ''Nachläufer'' $g_{-1}$, $g_{-2}$, ... der vorherigen Impulse.
+*die ''Nachläufer''&nbsp; $g_{-1}$, $g_{-2}$, ... der vorherigen Impulse (letzter Term).
-Dabei gilt stets $g_\nu = g_d(t = \nu \cdot T)$.
+Dabei gilt stets &nbsp;$g_\nu = g_d(t = \nu \cdot T)$.
-Bei den Mehrstufensystemen ist die Augenöffnung per se um den Faktor $1/(M-1)$ kleiner. Dadurch wird hier die Augenöffnung durch die (gleich großen) Vor&ndash; und Nachläufer (relativ gesehen) stärker verringert als beim Binärsystem. Man erhält bei gleichen Grundimpulswerten für
+*Bei den Mehrstufensystemen ist die Augenöffnung per se um den Faktor $1/(M-1)$ kleiner. Dadurch wird hier die Augenöffnung durch die (gleich großen) Vor&ndash; und Nachläufer (relativ gesehen) stärker verringert als beim Binärsystem. Man erhält bei gleichen Grundimpulswerten für
 :$$M = 3\text{:} \hspace{0.2cm}{\ddot{o}(T_{\rm D})}  =  2 \cdot (g_0/2 - 2 \cdot g_1) \approx 0.6 \cdot s_0
   \hspace{0.05cm},$$

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 <br>
 Wir vergleichen nun die optimalen Grenzfrequenzen des Gaußfilters, die sich für $M=2$ bzw. $M=4$ ergeben. Dem Vergleich liegt ein koaxialer Übertragungskanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star$ zugrunde. Je größer dieser Kanalparameter ist (das heißt auch: wie länger das Kabel ist), desto stärker wird das Rauschen durch die erforderliche Entzerrung beim Empfänger verstärkt.<br>
 Interpretieren wir zunächst die linke Grafik:
-*Bei verzerrungsfreiem Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$ ergeben sich die (normierten) optimalen Grenzfrequenzen zu $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.8$ (für $M=2$) bzw. $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.48$ (für $M=4$). Entsprechend dem [[Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_Übertragung#Vergleich_zwischen_Bin.C3.A4r.E2.80.93_und_Quatern.C3.A4rsystem| Kurvenverlauf <i>ö</i>(<i>T</i><sub>D</sub>)/(2<i>s</i><sub>0</sub>)]] auf der letzten Seite ist hier das Binärsystem dem Quaternärsystem deutlich überlegen.<br>
+*Bei verzerrungsfreiem Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$ ergeben sich die (normierten) optimalen Grenzfrequenzen zu $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.8$ (für $M=2$) bzw. $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.48$ (für $M=4$). Entsprechend dem [[Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_Übertragung#Vergleich_zwischen_Bin.C3.A4r.E2.80.93_und_Quatern.C3.A4rsystem| Kurvenverlauf &bdquo;halbe normierte Augenöffnung&rdquo;]] auf der letzten Seite ist hier das Binärsystem dem Quaternärsystem deutlich überlegen.<br>
 *Mit der charakteristischen Kabeldämpfung $(a_\star = 80 \ \rm dB)$ erhält man für das Binärsystem ($M=2$) die  optimale Grenzfrequenz $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.33$. Für das Quaternärsystem ($M=4$) ergibt sich ein kleinerer Wert:  $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.28$.
-[[Datei:P ID1414 Dig T 3 4 S3 version1.png|center|frame|Optimale Grenzfrequenz bei quaternärer Übertragung und Störabstandsgewinn|class=fit]]
 Das optimierte Binärsystem ist aber trotz größerer Augenöffnung nicht immer besser als das optimierte Quaternärsystem, da auch die Rauschleistung zu berücksichtigen ist. Diese wird mit kleiner werdenden Grenzfrequenz ebenfalls kleiner.<br>

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 == Gegenüberstellung der optimalen Grenzfrequenzen ==
 <br>
-Vergleichen wir nun die optimalen Grenzfrequenzen des Gaußfilters, die sich für $M=2$ bzw. $M=4$ ergeben. Dem Vergleich liegt ein koaxialer Übertragungskanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star$ zugrunde. Je größer dieser Kanalparameter ist (das heißt auch: wie länger das Kabel ist), desto stärker wird das Rauschen durch die erforderliche Entzerrung beim Empfänger verstärkt.<br>
+Wir vergleichen nun die optimalen Grenzfrequenzen des Gaußfilters, die sich für $M=2$ bzw. $M=4$ ergeben. Dem Vergleich liegt ein koaxialer Übertragungskanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_\star$ zugrunde. Je größer dieser Kanalparameter ist (das heißt auch: wie länger das Kabel ist), desto stärker wird das Rauschen durch die erforderliche Entzerrung beim Empfänger verstärkt.<br>
 Interpretieren wir zunächst die linke Grafik:
-*Bei verzerrungsfreiem Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$ ergeben sich die (normierten) optimalen Grenzfrequenzen zu $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.8$ (für $M=2$) bzw. $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.48$ (für $M=4$). Entsprechend dem Kurvenverlauf [[Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_Übertragung#Vergleich_zwischen_Bin.C3.A4r.E2.80.93_und_Quatern.C3.A4rsystem| <i>ö</i>(<i>T</i><sub>D</sub>)/(2<i>s</i><sub>0</sub>)]] auf der letzten Seite ist hier das Binärsystem dem Quaternärsystem deutlich überlegen.<br>
+*Bei verzerrungsfreiem Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$ ergeben sich die (normierten) optimalen Grenzfrequenzen zu $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.8$ (für $M=2$) bzw. $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.48$ (für $M=4$). Entsprechend dem [[Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_Übertragung#Vergleich_zwischen_Bin.C3.A4r.E2.80.93_und_Quatern.C3.A4rsystem| Kurvenverlauf <i>ö</i>(<i>T</i><sub>D</sub>)/(2<i>s</i><sub>0</sub>)]] auf der letzten Seite ist hier das Binärsystem dem Quaternärsystem deutlich überlegen.<br>
 *Mit der charakteristischen Kabeldämpfung $(a_\star = 80 \ \rm dB)$ erhält man für das Binärsystem ($M=2$) die  optimale Grenzfrequenz $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.33$. Für das Quaternärsystem ($M=4$) ergibt sich ein kleinerer Wert:  $f_\text{G, opt}/R_{\rm B}  = 0.28$.
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 *Für $a_\star <50 \ \rm dB$ ist das Binärsystem optimal. Beim verzerrungsfreien Kanal ($a_\star = 0 \ \rm dB$) ergibt sich ein um ca. $7 \ \rm dB$ größeres SNR als mit $M=4$.<br>
-*Dagegen ergeben sich für $a_\star >50 \ \rm dB$ günstigere Verhältnisse für die Quaternärübertragung. Bei $a_\star = 80 \ \rm dB$ ist der Störabstandsgewinn gegenüber $M=2$ größer als $3 \ \rm dB$.<br>
+*Dagegen ergeben sich für $a_\star >50 \ \rm dB$ günstigere Verhältnisse mit $M=4$. Bei $a_\star = 80 \ \rm dB$ ist der Störabstandsgewinn gegenüber $M=2$ größer als $3 \ \rm dB$.<br>
 == Augenöffnung bei den Pseudoternärcodes==
 <br>
 Im Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|Symbolweise Codierung]] wurden die '''Pseudoternärcodes''' allgemein beschrieben und es wurden für diese die Augendiagramme bei Nyquistimpulsformung angegeben.
-In der folgenden Grafik sehen Sie die Augendiagramme &ndash; jeweils ohne Rauschen &ndash; für
+In der nebenstehenden Grafik sehen Sie die Augendiagramme &ndash; jeweils ohne Rauschen &ndash; für
 *den [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes#Eigenschaften_des_AMI-Codes|AMI&ndash;Code]] (links),
 *den [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes#Eigenschaften_des_Duobin.C3.A4rcodes|Duobinärcode]] (rechts)
-im Vergleich zum redundanzfreien Binärcode (Mitte). Die Amplitude ist jeweils zu $s_0 = 1$ normiert.<br>
+im Vergleich zum redundanzfreien Binärcode (Mitte).
 Alle Augendiagramme gelten für ein gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz $f_\text{G} \cdot T = 0.4$, woraus sich folgende (normierte) Grundimpulswerte ergeben:
 :$$g_{0} \approx 0.68, \hspace{0.2cm} g_{1}= g_{-1}  \approx 0.16, \hspace{0.2cm}\hspace{0.2cm} g_{2}= g_{-2}= \text{...}   \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
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 im Vergleich zu $\ddot{o}(T_{\rm D}) = 2$ bzw. $\ddot{o}_{\rm norm} = 1$ beim binären Nyquistsystem.<br>
-Bei den Pseudoternärcodes gibt es jeweils zwei Augenöffnungenn und man benötigt für die ternäre Entscheidung zwei Schwellenwerte $E_1$  und $E_2$. <br>Da alle Pseudoternärcodes zudem mit der gleichen Symbolrate arbeiten wie das redundanzfreie Binärsystem,
 *sind die Detektionsgrundimpulswerte $g_\nu$ und auch der Rauscheffektivwert $\sigma_d$ in allen Fällen gleich,<br>
@@ Zeile 144: / Zeile 146: @@
-''Hinweis:'' Augendiagramm und Augenöffnung bei AMI&ndash; und Duobinärcodierung können ebenfalls mit dem Interaktionsmodul [[Augendiagramm und Augenöffnung]] angezeigt werden. Die angegebenen Fehlerwahrscheinlichkeiten gelten nur für den verzerrungsfreien Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$.<br>
+''Hinweis:'' Die Degradationen durch Impulsinterferenzen bei AMI&ndash; und Duobinärcodierung können ebenfalls mit dem interaktiven Applet [[Applets:Augendiagramm|Augendiagramm und Augenöffnung]] angezeigt werden. Die angegebenen Fehlerwahrscheinlichkeiten gelten allerdings nur für den verzerrungsfreien Kanal $(a_\star = 0 \ \rm dB)$.<br>
 == Grenzfrequenzoptimierung bei Pseudoternärcodierung ==
@@ Zeile 155: / Zeile 157: @@
-*Dagegen ergibt sich beim Duobinärcode ein geschlossenes Auge erst ab $f_\text{G} \cdot T  < 0.22$. Dadurch ist auch die optimale Grenzfrequenz kleiner als beim redundanzfreien Binärsystem. Bei 80 dB Kabeldämpfung ist der Duobinärcode in Kombination mit $f_\text{G} \cdot T  =0.28$ um $3.3 \ \rm dB$ besser.<br>
+*Dagegen ergibt sich beim Duobinärcode ein geschlossenes Auge erst ab $f_\text{G} \cdot T  < 0.22$. Dadurch ist auch die optimale Grenzfrequenz kleiner als beim Binärsystem. Bei 80 dB Kabeldämpfung ist der Duobinärcode in Kombination mit $f_\text{G} \cdot T  =0.28$ um $3.3 \ \rm dB$ besser als der beste Wert bei redundanzfreier Binärcodierung.<br>

@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 Im Unterschied zum [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|letzten Kapitel]] ist das weiterhin redundanzfreie Sendesignal $s(t)$ nun nicht mehr binär, sondern $M$&ndash;stufig, was sich nur im Wertevorrat der Amplitudenkoeffizienten auswirkt:
 :$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
-  a_\nu \in \{ a_1, ... , a_\mu , ... , a_{M}\}\hspace{0.05cm}.$$
+  a_\nu \in \{ a_1,\ \text{ ...} \  , a_\mu , \ \text{ ...} \  , a_{M}\}\hspace{0.05cm}.$$
 Dementsprechend besitzt der Entscheider nun nicht mehr nur eine, sondern $M-1$ Entscheiderschwellen und im Augendiagramm sind bei geöffnetem Auge $M-1$ Augenöffnungen erkennbar.<br>
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} = \frac{g_0}{ M-1} - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{-\nu} | - \sum_{\nu = 1}^{\infty} |g_{\nu} |\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet $g_0 = g_d(t= 0)$ wie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]] den ''Hauptwert'', während die beiden Summen in obiger Gleichung die ''Vorläufer'' $g_1$, $g_2$, ... (zweiter Term), und die ''Nachläufer'' $g_{-1}$, $g_{-2}$, ... berücksichtigen. Dabei gilt stets $g_\nu = g_d(t = \nu \cdot T)$.
+Hierbei bezeichnet $g_0 = g_d(t= 0)$ wie im Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung]] den ''Hauptwert''. Die beiden Summen in obiger Gleichung  berücksichtigen
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Nachfolgend sehen Sie drei Augendiagramme für die Stufenzahlen $M = 2$, $M = 3$ und $M = 4$. Das binäre Augendiagramm gilt für einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.6$. Mit dem Hauptwert $g_0 = 0.867 \cdot s_0$ und den beiden Ausläufern $g_{-1} = 0.067 \cdot s_0$ ergibt sich in diesem Fall für die vertikale Augenöffnung (Rundung auf eine Nachkommastelle):
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Nachfolgend sehen Sie drei Augendiagramme für die Stufenzahlen $M = 2$, $M = 3$ und $M = 4$. Das binäre Augendiagramm gilt für einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.6$. Mit dem Hauptwert $g_0 = 0.867 \cdot s_0$ und den beiden Ausläufern $g_{1} = 0.067 \cdot s_0$ und $g_{-1} = g_{1}$ ergibt sich in diesem Fall für die vertikale Augenöffnung (Rundung auf eine Nachkommastelle): &nbsp; &nbsp;${\ddot{o}(T_{\rm D})}= 2 \cdot (g_0 - 2 \cdot g_1) \approx 1.5 \cdot s_0 \hspace{0.05cm}.$
 [[Datei:P ID1412 Dig T 3 4 S1b version1.png|center|frame|Augendiagramme eines binären, ternären und quaternären Systems|class=fit]]
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Anzumerken ist, dass auch für diese beiden Mehrstufensysteme jeweils die normierte Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.6$ zugrundeliegt. Bei einem Systemvergleich ist allerdings zu beachten, dass sich durch die größere Stufenzahl auch der Informationsfluss erhöht. Das heißt, dass die Mehrstufensysteme besser sind, als es diese Grafiken aussagen. Mehr darüber auf der nächsten Seite.}}<br>
+Anzumerken ist, dass auch für diese beiden Mehrstufensysteme jeweils die normierte Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.6$ zugrundeliegt.
 == Vergleich zwischen Binär– und Quaternärsystem==
 <br>
-Der auf der letzten Seite angestellte Vergleich ist nicht fair, da nicht von gleichem Informationsfluss ausgegangen wurde. Ein Systemvergleich bei konstanter äquivalenter Bitrate $R_{\rm B}$ muss vielmehr auch berücksichtigen, dass bei den (redundanzfreien) Mehrstufensystemen die Symboldauer $T$ um den Faktor $log_2 (M)$ größer ist als beim Binärsystem, was sich günstig auf die Impulsinterferenzen auswirkt.<br>
+Der auf der letzten Seite angestellte Vergleich ist nicht fair, da nicht von gleichem Informationsfluss ausgegangen wurde. Ein Systemvergleich bei konstanter äquivalenter Bitrate $R_{\rm B}$ muss vielmehr auch berücksichtigen, dass bei den (redundanzfreien) Mehrstufensystemen die Symboldauer $T$ um den Faktor $\log_2 \ (M)$ größer ist als beim Binärsystem, was sich günstig auf die Impulsinterferenzen auswirkt.<br>
 [[Datei:P ID3140 Dig T 3 4 S2 version1.png|center|frame|Halbe normierte Augenöffung für <i>M</i> = 2, <i>M</i> = 3 und <i>M</i> = 4|class=fit]]
-Die Grafik zeigt die (auf $s_0$ normierte) halbe Augenöffnung in Abhängigkeit des Quotienten $f_{\rm G}/R_{\rm B}$ des gaußförmigen Empfangsfilters. In der [[Aufgabe 3.4Z] wird diese in analytischer Form wie folgt berechnet:
+Die Grafik zeigt die (auf $s_0$ normierte) halbe Augenöffnung in Abhängigkeit des Quotienten $f_{\rm G}/R_{\rm B}$ des gaußförmigen Empfangsfilters. In der [[Aufgaben:Aufgabe_3.4Z:_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]] wird diese in analytischer Form wie folgt berechnet:
 :$$\ddot{o}_{\rm norm} = \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0}  =  \frac{M}{ M-1}\cdot \frac{g_0}{
-  s_0} -1  =  \frac{1}{ M-1}\cdot \left [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(
+  s_0} -1  =  \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot {\log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm
 G}}/{R_{\rm B}}
-   \right)\right]
+   \right)\big]
   \hspace{0.05cm}.$$
 Man erkennt aus obiger Grafik:
-*Bei breitbandigem Filter (das heißt: für großes $f_{\rm G}$ ist das Binärsystem den Mehrstufensystemen deutlich überlegen. Die normierte halbe Augenöffnung beträgt im Grenzfall $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1$ (für $M = 2$), $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1/2$ (für $M = 3$) bzw. $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1/3$ (für $M = 4$).<br>
+*Bei breitbandigem Filter (das heißt: für großes $f_{\rm G}$) ist das Binärsystem den Mehrstufensystemen deutlich überlegen. Die normierte halbe Augenöffnung beträgt im Grenzfall $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1$ (für $M = 2$), $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1/2$ (für $M = 3$) bzw. $\ddot{o}_{\rm norm}  = 1/3$ (für $M = 4$).<br>
 *Wie aus der Grafik hervorgeht, führt für Grenzfrequenzen $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.35$  die Stufenzahl $M=4$ (rote Kurve) zu einer größeren Augenöffnung als $M=2$ (blaue Kurve). Das Ternärsystem ($M=3$, violette Kurve) liegt fast im gesamten Bereich zwischen Binär&ndash; und Quaternärsystem.<br>
-*Zu erwähnen ist auch, dass sich beim Quaternärsystem erst mit einer Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.23$ ein geschlossenes Auge ergibt (was zu sehr großen Fehlerwahrscheinlichkeiten führt), während die Binärübertragung bereits für $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.27$ nicht mehr möglich ist.<br>
+*Zu erwähnen ist auch, dass sich beim Quaternärsystem erst mit einer Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.23$ ein geschlossenes Auge ergibt (was zu sehr großen Fehlerwahrscheinlichkeiten führt), während eine praxisrelevante Binärübertragung bereits für $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.27$ nicht mehr möglich ist.<br>
 == Gegenüberstellung der optimalen Grenzfrequenzen ==

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 [[Aufgaben:3.4Z  Augenöffnung und Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z: Augenöffnung und Stufenzahl]]
-[[Aufgaben:3.5 Auge bei Pseudoternärcodierung|A3.5 Auge bei Pseudoternärcodierung]]
+[[Aufgaben:3.5_Augenöffnung_bei_Pseudoternärcodierung|Aufgabe 3.5: Augenöffnung bei Pseudoternärcodierung]]
 ==Quellenverzeichnis==

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:3.4 Grenzfrequenzoptimierung|Aufgabe A3.4: Grenzfrequenzoptimierung]]
+[[Aufgaben:3.4 Grenzfrequenzoptimierung|Aufgabe 3.4: Grenzfrequenzoptimierung]]
-[[ZAufgaben:3.4  Augenöffnung und Stufenzahl|Aufgabe A3.4: Augenöffnung und Stufenzahl]]
+[[Aufgaben:3.4Z  Augenöffnung und Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z: Augenöffnung und Stufenzahl]]
 [[Aufgaben:3.5 Auge bei Pseudoternärcodierung|A3.5 Auge bei Pseudoternärcodierung]]

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−	*Dagegen ergibt sich beim Duobinärcode ein geschlossenes Auge erst ab $f_\text{G} \cdot T < 0.36$. Dadurch ist auch die optimale Grenzfrequenz kleiner als beim redundanzfreien Binärsystem. Bei 80 dB Kabeldämpfung ist der Duobinärcode in Kombination mit $f_\text{G} \cdot T =0.28$ um $3.3 \ \rm dB$ besser.<br>	+	*Dagegen ergibt sich beim Duobinärcode ein geschlossenes Auge erst ab $f_\text{G} \cdot T < 0.22$. Dadurch ist auch die optimale Grenzfrequenz kleiner als beim redundanzfreien Binärsystem. Bei 80 dB Kabeldämpfung ist der Duobinärcode in Kombination mit $f_\text{G} \cdot T =0.28$ um $3.3 \ \rm dB$ besser.<br>