Digitalsignalübertragung/Grundlagen der codierten Übertragung - Versionsgeschichte

Guenter am 14. Mai 2022 um 13:41 Uhr

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Guenter am 14. Mai 2022 um 13:39 Uhr

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Guenter am 14. Mai 2022 um 13:35 Uhr

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Guenter am 13. Mai 2022 um 13:10 Uhr

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Guenter am 13. Mai 2022 um 12:28 Uhr

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Guenter am 13. Mai 2022 um 12:10 Uhr

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Guenter am 11. Februar 2019 um 10:06 Uhr

2019-02-11T10:06:19Z

Guenter am 11. Februar 2019 um 10:02 Uhr

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Guenter am 11. Februar 2019 um 09:27 Uhr

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 \end{array}$$
-Vorausgesetzt sind gleichwahrscheinliche Amplitudenkoeffizienten &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(a_\nu =0) = {\rm Pr}(a_\nu =1) = 0.5$&nbsp; ohne statistische Bindungen,&nbsp; so dass sowohl das &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Moment_zweiter_Ordnung_.E2.80.93_Leistung_.E2.80.93_Varianz_.E2.80.93_Streuung|zweite Moment]]&nbsp; $m_2$&nbsp; (Leistung)&nbsp; als auch der &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Linearer_Mittelwert_-_Gleichanteil|lineare Mittelwert]]&nbsp; $m_1$&nbsp; (Gleichanteil)&nbsp; jeweils &nbsp;$0.5$&nbsp; sind.<br>
+Vorausgesetzt sind gleichwahrscheinliche Amplitudenkoeffizienten &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(a_\nu =0) = {\rm Pr}(a_\nu =1) = 0.5$&nbsp; ohne statistische Bindungen,&nbsp; so dass sowohl das &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Moment_zweiter_Ordnung_.E2.80.93_Leistung_.E2.80.93_Varianz_.E2.80.93_Streuung|zweite Moment]]&nbsp; $m_2$&nbsp; (Leistung)&nbsp; als auch der &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Moment_erster_Ordnung_.E2.80.93_Linearer_Mittelwert_.E2.80.93_Gleichanteil|lineare Mittelwert]]&nbsp; $m_1$&nbsp; (Gleichanteil)&nbsp; jeweils &nbsp;$0.5$&nbsp; sind.<br>
 Die Grafik zeigt einen Signalausschnitt,&nbsp; die AKF und das LDS mit unipolaren Amplitudenkoeffizienten,

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 \end{array}$$
-Vorausgesetzt sind gleichwahrscheinliche Amplitudenkoeffizienten &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(a_\nu =0) = {\rm Pr}(a_\nu =1) = 0.5$&nbsp; ohne statistische Bindungen,&nbsp; so dass sowohl der &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Quadratischer_Mittelwert_.E2.80.93_Varianz_.E2.80.93_Streuung|quadratische Mittelwert]]&nbsp; $m_2$&nbsp; (Leistung)&nbsp; als auch der &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Linearer_Mittelwert_-_Gleichanteil|lineare Mittelwert]]&nbsp; $m_1$&nbsp; (Gleichanteil)&nbsp; jeweils &nbsp;$0.5$&nbsp; sind.<br>
+Vorausgesetzt sind gleichwahrscheinliche Amplitudenkoeffizienten &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(a_\nu =0) = {\rm Pr}(a_\nu =1) = 0.5$&nbsp; ohne statistische Bindungen,&nbsp; so dass sowohl das &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Moment_zweiter_Ordnung_.E2.80.93_Leistung_.E2.80.93_Varianz_.E2.80.93_Streuung|zweite Moment]]&nbsp; $m_2$&nbsp; (Leistung)&nbsp; als auch der &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße#Linearer_Mittelwert_-_Gleichanteil|lineare Mittelwert]]&nbsp; $m_1$&nbsp; (Gleichanteil)&nbsp; jeweils &nbsp;$0.5$&nbsp; sind.<br>
 Die Grafik zeigt einen Signalausschnitt,&nbsp; die AKF und das LDS mit unipolaren Amplitudenkoeffizienten,

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 == LDS–Berechnung eines Digitalsignals ==
 <br>
-Die Entsprechungsgröße zur Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; eines Zufallssignals &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_s(\tau)$&nbsp; ist im Frequenzbereich das&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; $rm (LDS)$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$,&nbsp; das mit der AKF über das Fourierintegral in einem festen Bezug steht:<br>
+Die Entsprechungsgröße zur Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; eines Zufallssignals &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_s(\tau)$&nbsp; ist im Frequenzbereich das&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)#Theorem_von_Wiener-Chintchine|Leistungsdichtespektrum]]&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\it \Phi}_s(f)$,&nbsp; das mit der AKF über das Fourierintegral in einem festen Bezug steht:<br>
 :$$\varphi_s(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm}
    {\it \Phi}_s(f)  =   \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_s(\tau) \cdot

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 == AKF–Berechnung eines Digitalsignals ==
 <br>
-Zur Vereinfachung der Schreibweise wird im Folgenden &nbsp;$M_c = M$&nbsp; und &nbsp;$T_c = T$&nbsp; gesetzt. Damit kann für das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; bei einer zeitlich unbegrenzten Nachrichtenfolge mit &nbsp;$a_\nu \in \{ a_1,$ ... , $a_M\}$&nbsp; geschrieben werden:
+Zur Vereinfachung der Schreibweise wird im Folgenden &nbsp;$M_c = M$&nbsp; und &nbsp;$T_c = T$&nbsp; gesetzt.&nbsp; Damit kann für das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; bei einer zeitlich unbegrenzten Nachrichtenfolge mit &nbsp;$a_\nu \in \{ a_1,$ ... , $a_M\}$&nbsp; geschrieben werden:
 [[Datei:P_ID1305__Dig_T_2_1_S4_v2.png|right|frame|Zwei verschiedene binäre bipolare Sendesignale|class=fit]]
-Man erkennt aus dieser Darstellung, dass ein Digitalsignal im Allgemeinen nichtstationär ist:
+:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$
-*Beim Sendesignal &nbsp;$s_{\rm G}(t)$&nbsp; mit schmalen Gaußimpulsen ist die &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Station.C3.A4re_Zufallsprozesse|Nichtstationarität]]&nbsp; offensichtlich, da zum Beispiel bei Vielfachen von &nbsp;$T$&nbsp; die Varianz &nbsp;$\sigma_s^2 = s_0^2$&nbsp; ist, während genau dazwischen &nbsp; $\sigma_s^2 \approx 0$&nbsp; gilt.<br>
+Diese Signaldarstellung  beinhaltet sowohl die Quellenstatistik $($Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu$)&nbsp; als auch die Sendeimpulsform &nbsp;$g_s(t)$.&nbsp; Die Grafik zeigt zwei binäre bipolare Sendesignale &nbsp;$s_{\rm G}(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm R}(t)$&nbsp; mit gleichen Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu$,&nbsp; die sich somit  lediglich durch den Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; unterscheiden.
-*Auch das Signal &nbsp;$s_{\rm R}(t)$&nbsp; mit NRZ&ndash;rechteckförmigen Impulsen ist im strengen Sinne nichtstationär, da sich hier die Momente an den Bitgrenzen gegenüber allen anderen Zeitpunkten unterscheiden. Beispielsweise gilt &nbsp;$s_{\rm R}(t = \pm T/2)=0$.
+*Auch das Signal &nbsp;$s_{\rm R}(t)$&nbsp; mit NRZ&ndash;rechteckförmigen Impulsen ist im strengen Sinne nichtstationär,&nbsp; da sich hier die Momente an den Bitgrenzen gegenüber allen anderen Zeitpunkten unterscheiden.&nbsp; Im gezeichneten Beispiel gilt &nbsp;$s_{\rm R}(t = \pm T/2)=0$.
 <br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Einen Zufallsprozess, dessen Momente &nbsp;$m_k(t) =  m_k(t+ \nu \cdot T)$&nbsp; sich periodisch mit &nbsp;$T$&nbsp; wiederholen, bezeichnet man als '''zyklostationär'''; &nbsp;$k$&nbsp; und &nbsp;$\nu$&nbsp; besitzen bei dieser impliziten Definition ganzzahlige Zahlenwerte.}}
+$\text{Definition:}$&nbsp; Einen Zufallsprozess,&nbsp; dessen Momente &nbsp;$m_k(t) =  m_k(t+ \nu \cdot T)$&nbsp; sich periodisch mit &nbsp;$T$&nbsp; wiederholen,&nbsp; bezeichnet man als&nbsp; '''zyklostationär'''; <br>$k$&nbsp; und &nbsp;$\nu$&nbsp; besitzen bei dieser impliziten Definition ganzzahlige Zahlenwerte.}}
-Viele der für &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse |ergodische Prozesse]]&nbsp; gültigen Regeln kann man mit nur geringen Einschränkungen auch auf ''zykloergodische''&nbsp; (und damit auf ''zyklostationäre''&nbsp;) Prozesse anwenden.
+Viele der Regeln für &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Ergodische_Zufallsprozesse |ergodische Prozesse]]&nbsp; kann man mit nur geringen Einschränkungen auch auf&nbsp; "zykloergodische"&nbsp; (und damit&nbsp; "zyklostationäre")&nbsp; Prozesse anwenden.
-Insbesondere gilt für die &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; (AKF) solcher Zufallsprozesse mit Mustersignal &nbsp;$s(t)$:
+*Insbesondere gilt für die &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Zufallsprozesse_.281.29|Autokorrelationsfunktion]]&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; solcher Zufallsprozesse mit Mustersignal &nbsp;$s(t)$:
 :$$\varphi_s(\tau) = {\rm E}\big [s(t) \cdot s(t + \tau)\big ] \hspace{0.05cm}.$$
-Mit obiger Gleichung des Sendesignals kann die AKF als Zeitmittelwert auch wie folgt geschrieben werden:
+*Mit obiger Gleichung des Sendesignals kann die AKF als Zeitmittelwert auch wie folgt geschrieben werden:
 :$$\varphi_s(\tau) =  \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\frac{1}{T}
 \cdot  \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N +1} \cdot \sum_{\nu =
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 \int_{-\infty}^{+\infty}   g_s ( t ) \cdot g_s ( t + \tau -
 \lambda \cdot T)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$
+*Da die Grenzwert&ndash;, Integral&ndash; und Summenbildung miteinander vertauscht werden darf,&nbsp; kann mit den Substitutionen &nbsp;
-Da die Grenzwert&ndash;, Integral&ndash; und Summenbildung miteinander vertauscht werden darf, kann mit den Substitutionen &nbsp;$N = T_{\rm M}/(2T)$, &nbsp;$\lambda = \kappa- \nu$&nbsp; und &nbsp;$t - \nu \cdot T \to T$&nbsp; hierfür auch geschrieben werden:
+:$$N = T_{\rm M}/(2T), \hspace{0.5cm}\lambda = \kappa- \nu,\hspace{0.5cm}t - \nu \cdot T \to T$$
 :$$\varphi_s(\tau) = \lim_{T_{\rm M} \to \infty}\frac{1}{T_{\rm M}}
    \cdot
@@ Zeile 184: / Zeile 184: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Die '''diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten''' liefert Aussagen über die linearen statistischen Bindungen der Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_{\nu}$&nbsp; und &nbsp;$a_{\nu + \lambda}$&nbsp; und besitzt keine Einheit:
+$\text{Definition:}$&nbsp;
 :$$\varphi_a(\lambda) =  \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N +1} \cdot
 \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot a_{\nu + \lambda}
-\hspace{0.05cm}.$$}}
+\hspace{0.05cm}.$$
-{{BlaueBox|TEXT=
+*Die '''Energie&ndash;AKF''' des Grundimpulses ist ähnlich definiert wie die allgemeine&nbsp; (Leistungs&ndash;)&nbsp;AKF.&nbsp; Sie wird mit einem Punkt gekennzeichnet:
 :$$\varphi^{^{\bullet} }_{gs}(\tau) =
 \int_{-\infty}^{+\infty} g_s ( t ) \cdot  g_s ( t +
-\tau)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$}}
+\tau)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$
+*Für die '''Autokorrelationsfunktion eines Digitalsignals''' &nbsp;$s(t)$&nbsp; gilt allgemein:
 :$$\varphi_s(\tau) =  \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T}
 \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot\varphi^{^{\bullet} }_{gs}(\tau -
 \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
-Das Signal &nbsp;$s(t)$&nbsp; kann dabei binär oder mehrstufig, unipolar oder bipolar sowie redundanzfrei oder redundant (leitungscodiert) sein. Die Impulsform wird durch die Energie&ndash;AKF berücksichtigt.}}
+:&rArr; &nbsp;  $s(t)$&nbsp; kann dabei binär oder mehrstufig, unipolar oder bipolar sowie redundanzfrei oder redundant (leitungscodiert) sein.
-Beschreibt das Digitalsignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; einen Spannungsverlauf, so hat die Energie&ndash;AKF des Grundimpulses &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm V^2s$&nbsp; und &nbsp;$\varphi_s(\tau)$&nbsp;  die Einheit &nbsp;$\rm V^2$, jeweils bezogen auf den Widerstand &nbsp;$1 \ \rm \Omega$.
+<u>Anmerkungen:</u>
+*Im strengen Sinne der Systemtheorie müsste man die AKF der Amplitudenkoeffizienten wie folgt definieren:
 :$$\varphi_{a , \hspace{0.08cm}\delta}(\tau) =  \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}
 \varphi_a(\lambda)\cdot \delta(\tau - \lambda \cdot
 T)\hspace{0.05cm}.$$
 Damit würde sich die obige Gleichung wie folgt darstellen:
 :$$\varphi_s(\tau) ={1}/{T} \cdot \varphi_{a , \hspace{0.08cm}
 \delta}(\tau)\star \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda \cdot
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 \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda
 \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
-Zur einfacheren Darstellung wird im Folgenden die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten
+:&rArr; &nbsp; Zur einfacheren Darstellung wird im Folgenden die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten &nbsp; &#8658; &nbsp; $\varphi_a(\lambda)$&nbsp; ohne diese Diracfunktionen geschrieben.<br>

@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
 <br>
 Im Folgenden gehen wir stets von dem unten skizzierten Blockschaltbild und folgenden Vereinbarungen aus:
 *Das digitale Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; sei binär &nbsp;$(M_q = 2)$&nbsp; und redundanzfrei &nbsp;$(H_q = 1 \ \rm bit/Symbol)$.
 *Mit der Symboldauer &nbsp;$T_q$&nbsp; ergibt sich für die Symbolrate der Quelle:
 :$$R_q = {H_{q}}/{T_q}=  {1}/{T_q}\hspace{0.05cm}.$$
-*Wegen &nbsp;$M_q = 2$&nbsp; bezeichnen wir im Folgenden &nbsp;$T_q$&nbsp; auch als die Bitdauer und &nbsp;$R_q$&nbsp; als die Bitrate.
+*Wegen &nbsp;$M_q = 2$&nbsp; bezeichnen wir im Folgenden &nbsp;$T_q$&nbsp; auch als die&nbsp; "Bitdauer" und &nbsp;$R_q$&nbsp; als die&nbsp; "Bitrate".
-*Für den Vergleich von Übertragungssystemen mit unterschiedlicher Codierung werden &nbsp;$T_q$&nbsp; und &nbsp;$R_q$&nbsp;  stets als konstant angenommen. <br>''Hinweis:'' In späteren Kapiteln verwenden wir hierfür &nbsp;$T_{\rm B}$&nbsp; und &nbsp;$R_{\rm B}$.<br>
-*Das Codersignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; und auch das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; nach der Impulsformung mit &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; besitzen die Stufenzahl &nbsp;$M_c$, die Symboldauer &nbsp;$T_c$&nbsp; und die Symbolrate &nbsp;$1/T_c$. Die äquivalente Bitrate beträgt
+*Für den Vergleich von Übertragungssystemen mit unterschiedlicher Codierung werden &nbsp;$T_q$&nbsp; und &nbsp;$R_q$&nbsp;  stets als konstant angenommen.&nbsp; <u>Hinweis:</u>&nbsp; In späteren Kapiteln verwenden wir hierfür &nbsp;$T_{\rm B}$&nbsp; und &nbsp;$R_{\rm B}$.<br>
 :$$R_c = {{\rm log_2} (M_c)}/{T_c} \hspace{0.05cm}.$$
-*Es gilt stets &nbsp;$R_c \ge R_q$, wobei das Gleichheitszeichen nur bei den &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Redundanzfreie_Codierung#Blockweise_und_symbolweise_Codierung|redundanzfreien Codes]]&nbsp; $(r_c = 0)$&nbsp; gültig ist. Andernfalls erhält man für die relative Coderedundanz:
+*Das Codersignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; und nach der Impulsformung mit &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; auch das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; besitzen die Stufenzahl &nbsp;$M_c$, die Symboldauer &nbsp;$T_c$&nbsp; und die Symbolrate &nbsp;$1/T_c$. Die äquivalente Bitrate beträgt
 :$$r_c =({R_c - R_q})/{R_c} = 1 - R_q/{R_c} \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID3136__Dig_T_2_1_S3_v3.png|center|frame|Blockschaltbild zur Beschreibung mehrstufiger und codierter Übertragungssysteme|class=fit]]
+<u>Hinweise zur Nomenklatur:</u>
-{{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Bei den so genannten 4B3T&ndash;Codes werden jeweils vier Binärsymbole &nbsp;$(m_q = 4, \ M_q= 2)$&nbsp; durch drei Ternärsymbole &nbsp;$(m_c = 3, \ M_c= 3)$&nbsp; dargestellt. Wegen &nbsp;$4 \cdot T_q = 3 \cdot T_c$&nbsp; gilt:
+dargestellt.&nbsp; Wegen &nbsp;$4 \cdot T_q = 3 \cdot T_c$&nbsp; gilt:
 :$$R_q = {1}/{T_q}, \hspace{0.1cm} R_c = { {\rm log_2} (3)} \hspace{-0.05cm} /{T_c}
   = {3/4 \cdot {\rm log_2} (3)} \hspace{-0.05cm}/{T_q}\hspace{0.3cm}\Rightarrow

@@ Zeile 131: / Zeile 131: @@
   \hspace{0.3cm}r_c =3/4\cdot {\rm log_2} (3) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1 \approx 15.9\, \%
   \hspace{0.05cm}.$$
-Genauere Informationen zu den 4B3T-Codes finden Sie im &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes#Allgemeine_Beschreibung_von_Blockcodes|gleichnamigen Kapitel ]].}}<br>
+Genauere Informationen zu den 4B3T-Codes finden Sie im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes|gleichnamigen Kapitel ]].}}<br>