Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung - Versionsgeschichte

Guenter am 22. Juni 2022 um 13:03 Uhr

2022-06-22T13:03:27Z

Guenter am 5. Mai 2022 um 15:44 Uhr

2022-05-05T15:44:30Z

Guenter am 11. März 2022 um 16:24 Uhr

2022-03-11T16:24:24Z

Guenter am 11. März 2022 um 15:17 Uhr

2022-03-11T15:17:06Z

Guenter am 11. März 2022 um 15:06 Uhr

2022-03-11T15:06:18Z

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Guenter am 9. März 2022 um 17:07 Uhr

2022-03-09T17:07:05Z

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Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:12Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 29. Januar 2019 um 11:01 Uhr

2019-01-29T11:01:50Z

Guenter am 29. Januar 2019 um 10:56 Uhr

2019-01-29T10:56:56Z

Guenter am 29. Januar 2019 um 10:53 Uhr

2019-01-29T10:53:26Z

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 *Dann kann man für den Frequenzgang und die Impulsantwort des Empfängerfilters ansetzen:
-:$$H_{\rm E}(f) =  {\rm si}(\pi f T)==  {\rm sinc}(f T),$$
+:$$H_{\rm E}(f) =  {\rm si}(\pi f T)=  {\rm sinc}(f T),$$
 :$$H_{\rm E}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm E}(t)  =   \left\{ \begin{array}{c} 1/T  \\
 /(2T) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad

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 Bei rechteckförmigen NRZ&ndash;Sendeimpulsen kann das Matched&ndash;Filter auch als Integrator&nbsp; $($jeweils über eine Symboldauer &nbsp;$T)$&nbsp; realisiert werden.&nbsp; Damit gilt für das Detektionssignal zu den Detektionszeitpunkten:
-[[Datei:P_ID1263__Dig_T_1_2_S6_v2.png|right|Frame|Signale beim MF– und beim I&E–Empfänger]]
+[[Datei:P ID1263 Dig T 1 2 S6 alt kontrast.png|right|Frame|Signale beim MF– und beim I&E–Empfänger]]
 :$$d(\nu \cdot T + T/2) = \frac {1}{T} \cdot \int^{\nu \cdot T + T/2} _{\nu \cdot T - T/2} r(t)\,{\rm
   d}t \hspace{0.05cm}.$$

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−	Zur Verdeutlichung der hier behandelten Thematik weisen wir auf unser Interaktionsmodul  [[Applets:~~Matched_Filter~~\|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]  hin.	+	Zur Verdeutlichung der hier behandelten Thematik weisen wir auf unser Interaktionsmodul  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_des_Matched-Filters\|Zur Verdeutlichung des Matched-Filters]]  hin.

	== Optimaler Binärempfänger – Realisierungsform „Integrate & Dump” ==		== Optimaler Binärempfänger – Realisierungsform „Integrate & Dump” ==

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 *Die unterschiedlichen Detektionszeitpunkte sind darauf zurückzuführen, dass das Matched&ndash;Filter im Gegensatz zu &bdquo;Integrate & Dump&rdquo; als akausal angesetzt wurde (siehe letzte Seite).
-*Beim Matched&ndash;Filter&ndash;Empfänger ist die Detektionsstörleistung  zu allen Zeiten &nbsp;$t$&nbsp; gleich: &nbsp; ${\rm E}\big[d_{\rm N}^2(t)\big]= {\sigma _d ^2} = {\rm const.}$  Dagegen nimmt beim I&D&ndash;Empfänger die Varianz von Symbolanfang bis Symbolende zu.
+*Beim Matched&ndash;Filter&ndash;Empfänger ist die Detektionsstörleistung  zu allen Zeiten &nbsp;$t$&nbsp; gleich: &nbsp; ${\rm E}\big[d_{\rm N}^2(t)\big]= {\sigma _d ^2} = {\rm const.}$.&nbsp;  Dagegen nimmt beim I&D&ndash;Empfänger diese Varianz vom Symbolanfang bis zum Symbolende zu.
-*Zu den gelb markierten Zeitpunkten ist die Detektionsstörleistung in beiden Fällen gleich, so dass sich die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt. Mit &nbsp;$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$&nbsp; gilt wieder:
+*Zu den gelb markierten Zeitpunkten ist die Detektionsstörleistung in beiden Fällen gleich,&nbsp; so dass sich die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt.&nbsp; Mit &nbsp;$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$&nbsp; gilt wieder:
 :$$\sigma _d ^2  =   \frac{N_0}{2}  \cdot \int_{-
 \infty }^{ +\infty } {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f =
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 == Interpretation des optimalen Empfängers ==
 <br>
-In diesem Abschnitt wurde gezeigt, dass mit einem Empfänger, bestehend aus linearem Empfangsfilter und nichtlinearem Entscheider, die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu erreichen ist:
+In diesem Abschnitt wurde gezeigt,&nbsp; dass mit einem Empfänger,&nbsp; bestehend aus linearem Empfangsfilter und nichtlinearem Entscheider,&nbsp; die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit zu erreichen ist:
 :$$ p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)
   = {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \sqrt{{ E_{\rm B}}/{N_0}}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-Die sich ergebende Konfiguration ist ein Sonderfall des so genannten '''Maximum&ndash;Aposteriori&ndash;Empfängers''' (MAP), der im Abschnitt &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]]&nbsp;  im dritten Hauptkapitel dieses Buches behandelt wird.
+Die sich ergebende Konfiguration ist ein Sonderfall des so genannten&nbsp; '''Maximum&ndash;Aposteriori&ndash;Empfängers'''&nbsp; $\rm (MAP)$,&nbsp; der im Abschnitt &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimale_Empfängerstrategien|Optimale Empfängerstrategien]]&nbsp;  im dritten Hauptkapitel dieses Buches behandelt wird.
 Für die Gültigkeit obiger Gleichung müssen allerdings eine Reihe von Voraussetzungen erfüllt sein:
-*Das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist binär sowie bipolar (antipodisch) und weist pro Bit die (mittlere) Energie &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; auf. Die (mittlere) Sendeleistung ist somit $E_{\rm B}/T$.
+*Das Sendesignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist binär sowie bipolar&nbsp; (antipodisch)&nbsp; und weist pro Bit die&nbsp; (mittlere)&nbsp; Energie &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; auf.&nbsp; Die&nbsp; (mittlere)&nbsp; Sendeleistung ist somit $E_{\rm B}/T$.
-*Es liegt ein AWGN&ndash;Kanal (<i>Additive White Gaussian Noise</i>&nbsp;) mit der konstanten (einseitigen) Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; vor.
-*Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist bestmöglich an das Sendegrundimpulsspektrum &nbsp;$G_s(f)$&nbsp; entsprechend dem &bdquo;Matched&ndash;Filter&ndash;Kriterium&rdquo; angepasst.
+*Es liegt ein AWGN&ndash;Kanal&nbsp; ("Additive White Gaussian Noise")&nbsp; mit der konstanten&nbsp; (einseitigen)&nbsp; Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; vor.
 *Der Entscheider (Schwellenwert, Detektionszeitpunkte) ist optimal. Eine kausale Realisierung des Matched&ndash;Filters kann man durch Verschiebung des Detektionszeitpunktes ausgleichen.
-*Obige Gleichung gilt unabhängig vom Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$. Allein die für die Übertragung eines Binärsymbols aufgewendete Energie &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; ist neben der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; entscheidend für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$.
+*Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist bestmöglich an das Sendegrundimpulsspektrum &nbsp;$G_s(f)$&nbsp; entsprechend dem&nbsp; &bdquo;Matched&ndash;Filter&ndash;Kriterium&rdquo;&nbsp; angepasst.
 *Voraussetzung für die Anwendbarkeit obiger Gleichung ist, dass die Detektion eines Symbols nicht durch andere Symbole beeinträchtigt wird. Solche &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen|Impulsinterferenzen]]&nbsp; vergrößern die Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; enorm.
-*Ist die absolute Sendeimpulsdauer &nbsp;$T_{\rm S}$&nbsp; kleiner oder gleich dem Symbolabstand &nbsp;$T$, so ist obige Gleichung bei Erfüllung des Matched-Filter-Kriteriums immer anwendbar.
+*Der Entscheider&nbsp; (Schwellenwert, Detektionszeitpunkte)&nbsp; ist optimal.&nbsp; Eine kausale Realisierung des Matched&ndash;Filters kann man durch Verschiebung des Detektionszeitpunktes ausgleichen.
 *Die Gleichung gilt auch für Nyquistsysteme, bei denen zwar &nbsp;$T_{\rm S} > T$&nbsp; gilt, es aber aufgrund von äquidistanten Nulldurchgängen des Grundimpulses &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; nicht zu Impulsinterferenzen kommt. Damit beschäftigen wir uns im nächsten Kapitel.

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 x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$
-Beide Funktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.  Sie können zur Berechnung der Funktionswerte von &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;$1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$&nbsp; aber auch unser interaktives Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; benutzen.
+Beide Funktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.  Sie können zur Berechnung der Funktionswerte von &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;$1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$&nbsp; aber auch unser interaktives Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; benutzen.
 {{GraueBox|TEXT=

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   d}t \hspace{0.05cm}.$$
 Die Grafik verdeutlicht die Unterschiede bei der Realisierung des optimalen Binärempfängers
-*mit Matched&ndash;Filter (MF) &nbsp; &#8658; &nbsp; mittlere Skizze, bzw.
+*mit Matched&ndash;Filter $\rm (MF)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; mittlere Skizze, bzw.
-*als &bdquo;Integrate & Dump&rdquo; (I&D) &nbsp; &#8658; &nbsp; untere Skizze.
+*als &bdquo;Integrate & Dump&rdquo; $\rm (I\&D)$ &nbsp; &#8658; &nbsp; untere Skizze.
 Man erkennt aus diesen Signalverläufen:
-*Das Detektionsnutzsignal &nbsp;$d_{\rm S}(t)$&nbsp; ist zu den Detektionszeitpunkten &nbsp; &rArr; &nbsp; gelbe Markierungen $($MF: &nbsp; bei  &nbsp;$\nu \cdot T$, I&D: &nbsp; bei &nbsp;$\nu \cdot T +T/2$&nbsp; in beiden Fällen gleich $\pm s_0$.
+*Das Detektionsnutzsignal &nbsp;$d_{\rm S}(t)$&nbsp; ist zu den Detektionszeitpunkten &nbsp; &rArr; &nbsp; gelbe Markierungen $\rm (MF$: &nbsp; bei  &nbsp;$\nu \cdot T$, $\rm I\&D$: &nbsp; bei &nbsp;$\nu \cdot T +T/2$&nbsp; in beiden Fällen gleich $\pm s_0$.
 *Die unterschiedlichen Detektionszeitpunkte sind darauf zurückzuführen, dass das Matched&ndash;Filter im Gegensatz zu &bdquo;Integrate & Dump&rdquo; als akausal angesetzt wurde (siehe letzte Seite).
 *Beim Matched&ndash;Filter&ndash;Empfänger ist die Varianz des Detektionsstörsignals  zu allen Zeiten &nbsp;$t$&nbsp; gleich: &nbsp; ${\rm E}\big[d_{\rm N}^2(t)\big]= {\sigma _d ^2} = {\rm const.}$  Dagegen nimmt beim I&D&ndash;Empfänger die Varianz von Symbolanfang bis Symbolende zu.