Digitalsignalübertragung/Eigenschaften von Nyquistsystemen - Versionsgeschichte

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Zeile 34:		Zeile 34:

	Der Vollständigkeit halber sei erwähnt,  dass für diese Grafik der Detektionsgrundimpuls		Der Vollständigkeit halber sei erwähnt,  dass für diese Grafik der Detektionsgrundimpuls
	:$$g_{\hspace{0.05cm}\rm Nyq} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \~~cdott~~}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{2 \~~cdotT~~}\right)$$		:$$g_{\hspace{0.05cm}\rm Nyq} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}\right)$$
	mit trapezförmigem Spektrum und dem Rolloff–Faktor  $r = 0.5$  zugrunde liegt,  der schon auf der Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass\|"Trapeztiefpass"]]  des Buches  &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme” behandelt wurde.}}		mit trapezförmigem Spektrum und dem Rolloff–Faktor  $r = 0.5$  zugrunde liegt,  der schon auf der Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass\|"Trapeztiefpass"]]  des Buches  &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme” behandelt wurde.}}

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	<br>		<br>
	Betrachten wir nun die Nyquistimpulse. Beim  '''trapezförmigem Spektrum'''  mit Rolloff–Faktor  $r$  erhält man:		Betrachten wir nun die Nyquistimpulse. Beim  '''trapezförmigem Spektrum'''  mit Rolloff–Faktor  $r$  erhält man:
	:$$g_{_{\rm Trapez}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi\cdot t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot r \~~cdott~~}{T}\right) \hspace{0.5cm}{\rm mit }\hspace{0.5cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$		:$$g_{_{\rm Trapez}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi\cdot t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot r \cdot t}{T}\right) \hspace{0.5cm}{\rm mit }\hspace{0.5cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$
	Dagegen liefert die Fourierrücktransformation des  '''Cosinus–Rolloff–Spektrums'''  (kurz:   CRO–Spektrum):		Dagegen liefert die Fourierrücktransformation des  '''Cosinus–Rolloff–Spektrums'''  (kurz:   CRO–Spektrum):
	:$$g_{_{\rm CRO}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \~~cdott~~}{T}\right)\cdot \frac{\cos(\pi \cdot r \cdot t/T)}{1 - (2 \~~cdotr~~ \cdot t/T)^2 } \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x.$$		:$$g_{_{\rm CRO}} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{T}\right)\cdot \frac{\cos(\pi \cdot r \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot r \cdot t/T)^2 } \hspace{0.3cm}{\rm mit }\hspace{0.3cm}{\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x.$$
	Diese beiden Nyquistimpulse kann man mit dem interaktiven HTML5/JS–Applet  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|"Frequenzgang und Impulsantwort"]]  $($mit der Einstellung  $ \Delta \cdot f = 1)$  betrachten und sich dabei den Einfluss des Rolloff–Faktors  $r$  verdeutlichen.		Diese beiden Nyquistimpulse kann man mit dem interaktiven HTML5/JS–Applet  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort\|"Frequenzgang und Impulsantwort"]]  $($mit der Einstellung  $ \Delta \cdot f = 1)$  betrachten und sich dabei den Einfluss des Rolloff–Faktors  $r$  verdeutlichen.

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2026-02-24T13:37:38Z

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Guenter am 1. Mai 2022 um 12:58 Uhr

2022-05-01T12:58:28Z

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Guenter am 30. Januar 2019 um 15:52 Uhr

2019-01-30T15:52:33Z

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Guenter am 30. Januar 2019 um 15:14 Uhr

2019-01-30T15:14:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 17:14 Uhr
Zeile 133:		Zeile 133:
	== 1/T–Nyquistspektren==		== 1/T–Nyquistspektren==
	<br>		<br>
	Besondere Bedeutung für die Digitalsignalübertragung haben solche Nyquistspektren, die auf den Frequenzbereich $-1/T \le f \le +1/T$ beschränkt und zusammenhängend sind. Die Grafik zeigt mit der Trapez–Charakteristik und der Cosinus–Rolloff–Charakteristik zwei diesbezügliche Varianten.		Besondere Bedeutung für die Digitalsignalübertragung haben solche Nyquistspektren, die auf den Frequenzbereich  $-1/T \le f \le +1/T$  beschränkt und zusammenhängend sind. Die Grafik zeigt mit der Trapez–Charakteristik und der Cosinus–Rolloff–Charakteristik zwei diesbezügliche Varianten.

	[[Datei:P_ID1274__Dig_T_1_3_S3a_v1.png\|center\|frame\|$1/T$-Nyquistspektren\|class=fit]]		[[Datei:P_ID1274__Dig_T_1_3_S3a_v1.png\|center\|frame\|$1/T$-Nyquistspektren\|class=fit]]

	Für beide Nyquistspektren gilt in gleicher Weise:		Für beide Nyquistspektren gilt in gleicher Weise:
	*Der Flankenabfall erfolgt zwischen den zwei Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ punktsymmetrisch um die '''Nyquistfrequenz''' $f_{\rm Nyq} = (f_1+f_2)/2$. Das heißt, dass für $0 \le f \le f_{\rm Nyq}$ gilt:		*Der Flankenabfall erfolgt zwischen den zwei Eckfrequenzen  $f_1$  und  $f_2$  punktsymmetrisch um die '''Nyquistfrequenz'''  $f_{\rm Nyq} = (f_1+f_2)/2$. Das heißt, dass für  $0 \le f \le f_{\rm Nyq}$  gilt:
	:$$G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}+f) + G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}-f) = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$		:$$G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}+f) + G_{\rm Nyq}(f_{\rm Nyq}-f) = g_0 \cdot T \hspace{0.05cm}.$$
	*$G_{\rm Nyq}(f)$ ist für alle Frequenzen $\|f\| \le f_1$ konstant gleich $g_0 \cdot T$ und für$\|f\| \ge f_2$ identisch ~~$0$~~. Im Bereich zwischen $f_1$ und $f_2$ gilt:		*$G_{\rm Nyq}(f)$  ist für alle Frequenzen  $\|f\| \le f_1$  konstant gleich  $g_0 \cdot T$  und für  $\|f\| \ge f_2$  identisch Null. Im Bereich zwischen  $f_1$  und  $f_2$  gilt:
	:$$\frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T } = \left\{ \begin{array}{c} \frac{f_2 - \|f\|}{f_2 -f_1 }		:$$\frac{G_{\rm Nyq}(f)}{g_0 \cdot T } = \left\{ \begin{array}{c} \frac{f_2 - \|f\|}{f_2 -f_1 }
	\\ \\		\\ \\
Zeile 146:		Zeile 146:
	\begin{array}{*{1}c} {\rm{beim \hspace{0.15cm}Trapez}\hspace{0.05cm},}		\begin{array}{*{1}c} {\rm{beim \hspace{0.15cm}Trapez}\hspace{0.05cm},}
	\\ \\ {\rm{\rm{beim \hspace{0.15cm}Cosinus-Rolloff}}\hspace{0.05cm}.} \\ \end{array}$$		\\ \\ {\rm{\rm{beim \hspace{0.15cm}Cosinus-Rolloff}}\hspace{0.05cm}.} \\ \end{array}$$
	*Zur Parametrisierung der Flankensteilheit verwenden wir den '''Rolloff–Faktor''' $r$, der Werte zwischen $0$ und $1$ (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann:		*Zur Parametrisierung der Flankensteilheit verwenden wir den '''Rolloff–Faktor'''  $r$, der Werte zwischen  $0$  und  $1$  (einschließlich dieser Grenzen) annehmen kann:
	:$$r = \frac{f_2 -f_1 }		:$$r = \frac{f_2 -f_1 }
	{f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$		{f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$
	*Für $r = 0$   ⇒   $f_1 = f_2 = f_{\rm Nyq}$ ergibt sich das Rechteck-Nyquistspektrum~~, während der~~ Rolloff-Faktor $r = 1$   ⇒   $f_1 = 0, \ f_2 = 2 f_{\rm Nyq}$ ein dreieckförmiges bzw. $\cos^2$–Spektrum ~~angibt~~ – je nachdem, von welcher der beiden oben abgebildeten Grundstrukturen man ausgeht.~~<br><br>~~		*Für  $r = 0$   ⇒   $f_1 = f_2 = f_{\rm Nyq}$  ergibt sich das (grün–gepunktete) Rechteck-Nyquistspektrum.
	''Hinweis:''   In der Literatur wird der Rolloff–Faktor auch oft mit $\alpha$ (&bdquo;alpha”) bezeichnet.		* Der Rolloff-Faktor  $r = 1$   ⇒   $f_1 = 0, \ f_2 = 2 f_{\rm Nyq}$  steht für ein dreieckförmiges  bzw.  ein $\cos^2$–Spektrum – je nachdem, von welcher der beiden oben abgebildeten Grundstrukturen man ausgeht. Diese Frequenzverläufe sind jeweils rot–gestrichelt eingezeichnet.


			''Hinweis:''   In der Literatur wird der Rolloff–Faktor auch oft mit  $\alpha$  (&bdquo;alpha”) bezeichnet.

Guenter am 30. Januar 2019 um 15:01 Uhr

2019-01-30T15:01:47Z

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Guenter am 6. Juni 2018 um 13:29 Uhr

2018-06-06T13:29:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juni 2018, 15:29 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot		t}{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( \frac{\pi \cdot t}{2 \cdot
	T}\right)$$		T}\right)$$
	mit trapezförmigem Spektrum und dem Rolloff–Faktor $r = 0.5$ zugrunde liegt, der schon auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#~~Trapeztiefpass~~\|Trapeztiefpass]] des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme” behandelt wurde.}}		mit trapezförmigem Spektrum und dem Rolloff–Faktor $r = 0.5$ zugrunde liegt, der schon auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass\|Trapeztiefpass]] des Buches &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme” behandelt wurde.}}

Guenter am 6. Juni 2018 um 13:28 Uhr

2018-06-06T13:28:01Z

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Guenter am 6. November 2017 um 13:32 Uhr

2017-11-06T13:32:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2017, 15:32 Uhr
Zeile 217:		Zeile 217:

	== Aufgaben zum Kapitel ==		== Aufgaben zum Kapitel ==
	[[Aufgaben:1.~~4 Nyquistkriterien~~\|A1.4 Nyquistkriterien]]		[[Aufgaben:1.4_Nyquistkriterien\|Aufgabe 1.4: Nyquistkriterien]]

	[[~~Zusatzaufgaben~~:1.4 Komplexes Nyquistspektrum]]		[[Aufgaben:1.4Z_Komplexes_Nyquistspektrum\|Aufgabe 1.4Z: Komplexes Nyquistspektrum]]

	[[Aufgaben:1.~~5 Cosinus~~-Quadrat-Spektrum\|A1.5 Cosinus-Quadrat-Spektrum]]		[[Aufgaben:1.5_Cosinus-Quadrat-Spektrum\|Aufgabe 1.5: Cosinus-Quadrat-Spektrum]]

	==Quellenverzeichnis==		==Quellenverzeichnis==

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:26 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:
	:$$g_{\hspace{0.05cm}\rm Nyq}(\nuT) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r} }\\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}\nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\\nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\\end{array}$$		:$$g_{\hspace{0.05cm}\rm Nyq}(\nuT) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \\0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r} }\\ {\rm{f\ddot{u}r} } \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}\nu = 0 \hspace{0.05cm}, \\\nu \ne 0 \hspace{0.1cm}. \\\end{array}$$
	'''(2)'''   Aus dem zweiten Fourierintegral erhält man somit für  $\nu \ne 0$:		'''(2)'''   Aus dem zweiten Fourierintegral erhält man somit für  $\nu \ne 0$:
	:$$g_{\hspace{0.05cm}\rm Nyq}(\nuT) = \int_{-\infty}^{+\infty}G_{\rm Nyq}(f) \cdot {\~~rme~~}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f \hspace{0.05cm}\nu\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.$$		:$$g_{\hspace{0.05cm}\rm Nyq}(\nuT) = \int_{-\infty}^{+\infty}G_{\rm Nyq}(f) \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f \hspace{0.05cm}\nu\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.$$
	'''(3)'''   Zerlegt man das Fourierintegral in Teilintegrale der Breite  $1/T$,  so lauten die Bedingungsgleichungen:		'''(3)'''   Zerlegt man das Fourierintegral in Teilintegrale der Breite  $1/T$,  so lauten die Bedingungsgleichungen:
	:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{(k-1/2)/T}^{(k+1/2)/T}G_{\rm Nyq}(f) \cdot {\~~rme~~}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f \hspace{0.05cm}\nu\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{(k-1/2)/T}^{(k+1/2)/T}G_{\rm Nyq}(f) \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}2 \pi f \hspace{0.05cm}\nu\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f = 0 \hspace{0.05cm}.$$
	'''(4)'''   Mit der Substitution  $f\hspace{0.08cm}' = f + k/T$  folgt daraus:		'''(4)'''   Mit der Substitution  $f\hspace{0.08cm}' = f + k/T$  folgt daraus:
	:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}G_{\rm Nyq}(f\hspace{0.08cm}' -\frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (f\hspace{0.08cm}'-k/T) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f \hspace{0.08cm}' = 0 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} \hspace{0.2cm} \int_{-1/(2T)}^{1/(2T)}G_{\rm Nyq}(f\hspace{0.08cm}' -\frac{k}{T} ) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (f\hspace{0.08cm}'-k/T) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\nu\hspace{0.05cm}T}\,{\rm d} f \hspace{0.08cm}' = 0 \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 169:		Zeile 169:
	:$$g_{\rm Nyq-2}( t ) = g_0 \cdot \left [ {\rm si}(\pi \cdot \frac{t + T/2}{T}) + {\rm si}(\pi \cdot \frac{t- T/2}{T}) \right] =\frac{2 \cdot g_0}{\pi} \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$		:$$g_{\rm Nyq-2}( t ) = g_0 \cdot \left [ {\rm si}(\pi \cdot \frac{t + T/2}{T}) + {\rm si}(\pi \cdot \frac{t- T/2}{T}) \right] =\frac{2 \cdot g_0}{\pi} \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Aufgrund der Begrenzung des Spektrums  $G_{\rm Nyq-1}( f)$  auf den Bereich  $\vert f \vert \le f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$  beschränkt sich in der obigen Gleichung  '''(4)'''  die Summe auf den Term mit  $k = 0$  und man erhält:		*Aufgrund der Begrenzung des Spektrums  $G_{\rm Nyq-1}( f)$  auf den Bereich  $\vert f \vert \le f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$  beschränkt sich in der obigen Gleichung  '''(4)'''  die Summe auf den Term mit  $k = 0$  und man erhält:
	:$$G_{\rm Nyq-2}(f) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \cdot T \cdot \cos(\pi/2 \cdot f/f_{\rm Nyq}) \\\\ 0 \\\end{array} \right.\quad\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm} \vert f \vert < f_{\~~rmNyq~~}\hspace{0.05cm},\\ \\ {\rm{sonst} }\hspace{0.05cm}. \\\end{array}$$		:$$G_{\rm Nyq-2}(f) = \left\{ \begin{array}{c} g_0 \cdot T \cdot \cos(\pi/2 \cdot f/f_{\rm Nyq}) \\\\ 0 \\\end{array} \right.\quad\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r} }\hspace{0.15cm} \vert f \vert < f_{\rm Nyq}\hspace{0.05cm},\\ \\ {\rm{sonst} }\hspace{0.05cm}. \\\end{array}$$
	*Dieser Frequenzverlauf und das dazugehörige Augendiagramm ist in in der mittleren Spalte der obigen Grafik skizziert.		*Dieser Frequenzverlauf und das dazugehörige Augendiagramm ist in in der mittleren Spalte der obigen Grafik skizziert.
	*Aus der unteren Grafik erkennt man deutlich die Erfüllung des zweiten Nyquistkriteriums.}}		*Aus der unteren Grafik erkennt man deutlich die Erfüllung des zweiten Nyquistkriteriums.}}
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Digital_Signal_Transmission/Properties_of_Nyquist_Systems]]