Digitalsignalübertragung/Blockweise Codierung mit 4B3T-Codes - Versionsgeschichte

Guenter am 18. Mai 2022 um 14:13 Uhr

2022-05-18T14:13:37Z

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Guenter am 12. Februar 2019 um 09:54 Uhr

2019-02-12T09:54:52Z

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2018-06-08T10:10:24Z

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2017-11-18T15:50:16Z

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2017-11-18T15:49:16Z

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2017-08-24T16:09:49Z

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2017-08-24T10:39:59Z

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Guenter am 24. August 2017 um 10:14 Uhr

2017-08-24T10:14:35Z

Guenter am 24. August 2017 um 09:34 Uhr

2017-08-24T09:34:36Z

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 [[Aufgaben:2.6 Modifizierter MS43-Code|Aufgabe 2.6: Modifizierter MS43-Code]]
-[[Zusatzaufgaben:2.6 4B3T-Code nach Jessop und Waters|Aufgabe 2.6Z: 4B3T-Code nach Jessop und Waters]]
+[[Aufgaben:2.6Z_4B3T-Code_nach_Jessop_und_Waters|Aufgabe 2.6Z: 4B3T-Code nach Jessop und Waters]]
 ==Quellenverzeichnis==

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 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:2.6 Modifizierter MS43-Code|A2.6 Modifizierter MS43-Code]]
+[[Aufgaben:2.6 Modifizierter MS43-Code|Aufgabe 2.6: Modifizierter MS43-Code]]
-[[Zusatzaufgaben:2.6 4B3T-Code nach Jessop und Waters]]
+[[Zusatzaufgaben:2.6 4B3T-Code nach Jessop und Waters|Aufgabe 2.6Z: 4B3T-Code nach Jessop und Waters]]
 ==Quellenverzeichnis==

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 :$$\sigma_d^2 = 1.12 \cdot  {N_0}/({2 \cdot T}) =  0.56 \cdot  {N_0}/{T} = \sigma_1^2 \hspace{0.05cm}.$$
-Für das Augendiagramm und die nachfolgenden Berechnungen ist jeweils ein &bdquo;Störabstand&rdquo; von $13 \ \rm dB$ zugrunde gelegt. Damit erhält man:
+Für das Augendiagramm und die nachfolgenden Berechnungen ist jeweils ein &bdquo;Störabstand&rdquo; von $10 \cdot \lg \hspace{0.05cm}(s_0^2 \cdot T/N_0) = 13 \ \rm dB$ zugrunde gelegt. Damit erhält man:
 :$$10 \cdot {\rm lg } \hspace{0.1cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 13 \, {\rm dB } \hspace{0.3cm}
   \Rightarrow \hspace{0.3cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 10^{1.3} \approx 20 \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 108: / Zeile 108: @@
 :$$\frac{ \sigma_2}{s_0}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{{\rm log_2} (3)}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}\frac{ 0.167}{1.259}
   \approx 0.133 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S}\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} {4}/{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.133}\right)\approx
-  \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.76) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}1.1 \cdot 10^{-4} .$$
+  {4}/{3} \cdot {\rm Q}(3.76) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}1.1 \cdot 10^{-4} .$$
 *Der 4B3T&ndash;Code liefert noch etwas ungünstigere Ergebnisse, da hier bei gleicher Augenöffnung die Rauschleistung $(\sigma_3^2)$ weniger stark vermindert wird als beim redundanzfreien Ternärcode  $(\sigma_2^2)$:
 :$$\frac{ \sigma_3}{s_0} = \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{4/3}} =\frac{ 0.167}{1.155}
   \approx 0.145  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S}= {4}/{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.145}\right)\approx
-  \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.45) =  3.7 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$
+  {4}/{3} \cdot {\rm Q}(3.45) =  3.7 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$
 Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten bei Leistungsbegrenzung sind für $10 \cdot \lg \hspace{0.05cm}(E_{\rm B}/N_0) = 13 \ \rm dB$ in der Zeile &bdquo;C&rdquo; angegeben.

@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
 *Der Faktor $4/3$ vor der Q&ndash;Funktion berücksichtigt, dass die ternäre &bdquo;0&rdquo; in beiden Richtungen verfälscht werden kann. Damit ergeben sich folgende Zahlenwerte:
 :$$\frac{ \sigma_2}{s_0}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{{\rm log_2} (3)}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}\frac{ 0.167}{1.259}
-  \approx 0.133 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S}\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.133}\right)\approx
+  \approx 0.133 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S}\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} {4}/{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.133}\right)\approx
   \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.76) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}1.1 \cdot 10^{-4} .$$
 *Der 4B3T&ndash;Code liefert noch etwas ungünstigere Ergebnisse, da hier bei gleicher Augenöffnung die Rauschleistung $(\sigma_3^2)$ weniger stark vermindert wird als beim redundanzfreien Ternärcode  $(\sigma_2^2)$:
 :$$\frac{ \sigma_3}{s_0} = \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{4/3}} =\frac{ 0.167}{1.155}
-  \approx 0.145  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S}= \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.145}\right)\approx
+  \approx 0.145  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S}= {4}/{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.145}\right)\approx
   \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.45) =  3.7 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 121: / Zeile 121: @@
 :$$p_\text{S, Leistungsbegrenzung} = 4/3 \cdot  {\rm Q}(1.225 \cdot 3.76) \approx 2.9 \cdot 10^{-5}  \approx 0.26 \cdot p_\text{S, Spitzenwertbegrenzung} .$$
 *Ähnliches (und sogar noch verstärkt)gilt auch für den 4B3T-Code:
-:$$p_{\rm S} = 4/3 \cdot  {\rm Q}(1.225 \cdot 3.45) \approx 1.5 \cdot 10^{-5} \approx 0.04 \cdot p_\text{S, Spitzenwertbegrenzung}.$$
+:$$p_\text{S, Leistungsbegrenzung} = 4/3 \cdot  {\rm Q}(1.225 \cdot 3.45) \approx 1.5 \cdot 10^{-5} \approx 0.04 \cdot p_\text{S, Spitzenwertbegrenzung}.$$

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-== Symbolfehlerwahrscheinlichkeit der 4B3T-Codes==
+== Fehlerwahrscheinlichkeit der 4B3T-Codes==
 <br>
 Betrachten wir nun die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bei Verwendung des 4B3T&ndash;Codes im Vergleich zu redundanzfreier Binär&ndash; und Ternärcodierung, wobei folgende Voraussetzungen gelten sollen:
 *Der Systemvergleich erfolgt zunächst unter der Nebenbedingung der &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo;. Deshalb verwenden wir den rechteckförmigen Sendegrundimpuls, der hierfür optimal ist.<br>
-*Der Gesamtfrequenzgang zeigt einen Cosinus&ndash;Rolloff mit bestmöglichem Rolloff&ndash;Faktor $r = 0.8$. Die Rauschleistung $\sigma_d^2$ ist somit um $12\%$ größer als beim Matched-Filter (globales Optimum), siehe Grafik auf der SDeite [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Optimierung_des_Rolloff.E2.80.93Faktors_bei_Spitzenwertbegrenzung| Optimierung des Rolloff-Faktor bei Spitzenwertbegrenzung]] im dritten Hauptkapitel.
+*Der Gesamtfrequenzgang zeigt einen Cosinus&ndash;Rolloff mit bestmöglichem Rolloff&ndash;Faktor $r = 0.8$. Die Rauschleistung $\sigma_d^2$ ist somit um $12\%$ größer als beim Matched-Filter (globales Optimum), siehe Grafik auf der Seite [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Optimierung_der_Basisband%C3%BCbertragungssysteme#Optimierung_des_Rolloff.E2.80.93Faktors_bei_Spitzenwertbegrenzung| Optimierung des Rolloff-Faktor bei Spitzenwertbegrenzung]] im dritten Hauptkapitel.
-[[Datei:P_ID1338__Dig_T_2_3_S4_v2.png|center|frame|Augendiagramm bei redundanzfreier bzw. 4B3T-Codierung|class=fit]]<br><br>
+Die folgende Grafik zeigt die [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Definition_und_Aussagen_des_Augendiagramms|Augendiagramme]] (mit Rauschen) der drei zu vergleichenden Systeme und enthält zusätzlich in Zeile &bdquo;A&rdquo; die Gleichungen zur Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung. Bei jedem Diagramm sind ca. 2000 Augenlinien gezeichnet.
 Die beiden ersten Zeilen der Tabelle beschreiben den Systemvergleich bei Spitzenwertbegrenzung. Für das Binärsystem ergibt sich die Rauschleistung (unter Berücksichtigung der 12%&ndash;Erhöhung) zu
-:<math>\sigma_d^2 = 1.12 \cdot  {N_0}/({2 \cdot T}) =  0.56 \cdot  {N_0}/{T} = \sigma_1^2 \hspace{0.05cm}.</math>
+Für das Augendiagramm und die nachfolgenden Berechnungen ist jeweils ein &bdquo;Störabstand&rdquo; von $13 \ \rm dB$ zugrunde gelegt. Damit erhält man:
+:$$10 \cdot {\rm lg } \hspace{0.1cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 13 \, {\rm dB } \hspace{0.3cm}
-Für das Augendiagramm und die nachfolgenden Berechnungen ist jeweils ein &bdquo;Störabstand&rdquo; von 13 dB zugrunde gelegt. Damit erhält man:
+  \Rightarrow \hspace{0.3cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 10^{1.3} \approx 20 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_1^2 = 0.56 \cdot {s_0^2}/{20} \approx 0.028 \cdot s_0^2 \hspace{0.3cm}
-:<math>10 \cdot {\rm lg } \hspace{0.1cm}{s_0^2 \cdot T}/{N_0} = 13 \, {\rm dB } \hspace{0.3cm}
+  \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ \sigma_1}/{s_0}\approx 0.167 \hspace{0.05cm}.$$
 In der Zeile &bdquo;B&rdquo; ist die dazugehörige Symbolfehlerwahrscheinlichkeit
-<i>p</i><sub>S</sub> &asymp; Q(<i>s</i><sub>0</sub>/<i>&sigma;</i><sub>1</sub>) &asymp; Q(6) = 10<sup>&ndash;9</sup> angegeben. &ndash; Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.<br>
+$p_{\rm S} \approx {\rm Q}(s_0/\sigma_1) \approx {\rm Q}(6) = 10^{-9}$.
 Die beiden weiteren Augendiagramme lassen sich wie folgt interpretieren:
-*Beim redundanzfreien Ternärsystem ist die Augenöffnung nur halb so groß wie beim Binärsystem und die Rauschleistung <i>&sigma;</i><sub>2</sub><sup>2</sup> ist um den Faktor log<sub>2</sub>(3) kleiner als <i>&sigma;</i><sub>1</sub><sup>2</sup>.<br>
+*Beim redundanzfreien Ternärsystem ist die Augenöffnung nur halb so groß wie beim Binärsystem und die Rauschleistung $\sigma_2^2$ ist um den Faktor $\log_2 \hspace{0.05cm}(3)$ kleiner als $\sigma_1^2$.
+*Der Faktor $4/3$ vor der Q&ndash;Funktion berücksichtigt, dass die ternäre &bdquo;0&rdquo; in beiden Richtungen verfälscht werden kann. Damit ergeben sich folgende Zahlenwerte:
-*Der Faktor 4/3 vor der Q&ndash;Funktion berücksichtigt, dass die ternäre &bdquo;0&rdquo; in beiden Richtungen verfälscht werden kann. Damit ergeben sich folgende Zahlenwerte:
+:$$\frac{ \sigma_2}{s_0}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{{\rm log_2} (3)}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}\frac{ 0.167}{1.259}
+  \approx 0.133 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S}\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.133}\right)\approx
-::<math>\frac{ \sigma_2}{s_0}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm} \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{{\rm log_2} (3)}}\hspace{-0.05cm} =\hspace{-0.05cm}\frac{ 0.167}{1.259}
+  \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.76) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}1.1 \cdot 10^{-4} .$$
-  \approx 0.133 \hspace{0.05cm} \Rightarrow \hspace{0.05cm}p_{\rm S}\hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.133}\right)\approx
+*Der 4B3T&ndash;Code liefert noch etwas ungünstigere Ergebnisse, da hier bei gleicher Augenöffnung die Rauschleistung $(\sigma_3^2)$ weniger stark vermindert wird als beim redundanzfreien Ternärcode  $(\sigma_2^2)$:
-  \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.76) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}1.1 \cdot 10^{-4} .</math>
+:$$\frac{ \sigma_3}{s_0} = \frac{ \sigma_1/s_0}{\sqrt{4/3}} =\frac{ 0.167}{1.155}
+ \approx 0.145  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm S}= \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}\left (\frac{ 0.5}{0.145}\right)\approx
-*Der 4B3T&ndash;Code liefert noch etwas ungünstigere Ergebnisse, da hier bei gleicher Augenöffnung die Rauschleistung (<i>&sigma;</i><sub>3</sub><sup>2</sup>) weniger stark vermindert wird als beim redundanzfreien Ternärcode:
+ \frac{4}{3} \cdot {\rm Q}(3.45) =  3.7 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeiten bei Leistungsbegrenzung sind für <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 13 dB in der Zeile &bdquo;C&rdquo; angegeben. Beim Binärsystem wird <i>p</i><sub>S</sub> gegenüber der Zeile &bdquo;B&rdquo; nicht verändert.<br>
+Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten bei Leistungsbegrenzung sind für <i>E</i><sub>B</sub>/<i>N</i><sub>0</sub> = 13 dB in der Zeile &bdquo;C&rdquo; angegeben. Beim Binärsystem wird <i>p</i><sub>S</sub> gegenüber der Zeile &bdquo;B&rdquo; nicht verändert.<br>
 *Für die beiden Ternärcodes gilt E[<i>a<sub>&nu;</sub></i><sup>2</sup>] &asymp; 2/3. Deshalb kann hier die Amplitude um den Faktor &bdquo;Wurzel aus 3/2&rdquo; &asymp; 1.225 vergrößert werden und man erhält für den redundanzfreien Ternärcode mit <i>p</I><sub>S</sub> = 4/3 &middot; Q(1.225 &middot; 3.76) &asymp; 2.9 &middot; 10<sup>&ndash;5</sup> eine signifikant kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als bei Spitzenwertbegrenzung (vgl. die Zeilen &bdquo;B&rdquo; und &bdquo;C&rdquo; in obiger Tabelle). Ähnliches gilt auch für den 4B3T-Code: <i>p</I><sub>S</sub> = 4/3 &middot; Q(1.225 &middot; 3.45) &asymp; 1.5 &middot; 10<sup>&ndash;5</sup>.<br>