Digitalsignalübertragung/Binary Symmetric Channel (BSC) - Versionsgeschichte

Guenter am 5. September 2022 um 13:07 Uhr

2022-09-05T13:07:47Z

Guenter am 5. September 2022 um 13:00 Uhr

2022-09-05T13:00:28Z

Guenter am 25. März 2019 um 11:56 Uhr

2019-03-25T11:56:59Z

Guenter am 15. Juni 2018 um 09:24 Uhr

2018-06-15T09:24:52Z

Guenter am 15. Juni 2018 um 09:22 Uhr

2018-06-15T09:22:33Z

Guenter am 29. November 2017 um 17:04 Uhr

2017-11-29T17:04:59Z

Hussain am 13. November 2017 um 20:25 Uhr

2017-11-13T20:25:52Z

Guenter am 4. Oktober 2017 um 08:56 Uhr

2017-10-04T08:56:38Z

Guenter am 4. Oktober 2017 um 08:54 Uhr

2017-10-04T08:54:33Z

Ayush am 4. Januar 2017 um 10:33 Uhr

2017-01-04T10:33:08Z

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 *ist die Anwendung des BSC&ndash;Modells oft gerechtfertigt,
 *nicht jedoch,&nbsp; wenn Fadingeinflüsse &nbsp; $($[[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_nichtkohärenter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung|"Rayleigh oder Rice"$)$]]&nbsp; eine Rolle spielen
-*oder wenn Echos  auftreten können &nbsp; &#8658; &nbsp;[[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk|Mehrwegeempfang]].<br>
+*oder wenn Echos  auftreten können &nbsp; &#8658; &nbsp;[[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk|"Mehrwegeempfang"]].<br>

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 == Binary Symmetric Channel &ndash; Modell und Fehlerkorrelationsfunktion==
 <br>
-Die linke Grafik zeigt mit dem BSC&ndash;Modell das einfachste Modell eines digitalen Übertragungssystems.
+Die linke Grafik zeigt mit dem BSC&ndash;Modell das einfachste Modell eines digitalen Übertragungssystems.&nbsp;
-[[Datei:P ID1828 Dig T 5 2 S1 version1.png|center|frame|BSC–Modell und zugehörige Fehlerkorrelationsfunktion|class=fit]]
+Der Name steht für&nbsp; "'''Binary Symmetric Channel'''"&nbsp; und besagt,&nbsp; dass dieses Modell nur bei Binärsystemen mit symmetrischen Verfälschungseigenschaften angewendet werden kann.&nbsp; Weiter gilt:
-Der Name steht für&nbsp; '''Binary Symmetric Channel'''&nbsp; und besagt, dass dieses Modell nur bei Binärsystemen mit symmetrischen Verfälschungseigenschaften angewendet werden kann. Weiter gilt:
+[[Datei:P ID1828 Dig T 5 2 S1 version1.png|right|frame|BSC–Modell und zugehörige Fehlerkorrelationsfunktion|class=fit]]
-*Das BSC&ndash;Modell eignet sich für die Untersuchung und Erzeugung einer Fehlerfolge mit statistisch unabhängigen Fehlern. Man nennt einen solchen Kanal auch <i>gedächtnisfrei</i> und es existiert im Unterschied zu den&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle|Bündelfehler&ndash;Kanalmodellen]]&nbsp; nur ein einziger Kanalzustand.<br>
+*Das BSC&ndash;Modell eignet sich für die Untersuchung und Erzeugung einer Fehlerfolge mit statistisch unabhängigen Fehlern.&nbsp;
-Die rechte Grafik zeigt die&nbsp; ''Fehlerkorrelationsfunktion''&nbsp; (FKF) des BSC&ndash;Modells:
+*Man nennt einen solchen Kanal&nbsp; "gedächtnisfrei".&nbsp; Im Unterschied zu den&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle|"Bündelfehler&ndash;Kanalmodellen"]]&nbsp; existiert hier nur ein einziger Kanalzustand.<br>
 ::<math>\varphi_{e}(k) =  {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] =
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Beim BSC&ndash;Modell wird der FKF&ndash;Endwert (Quadrat der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit), der bei anderen Modellen erst für&nbsp; $k \to \infty$&nbsp; gültig ist, bereits bei&nbsp; $k = 1$&nbsp; exakt erreicht und bleibt dann konstant.<br>
+*Beim BSC&ndash;Modell wird der FKF&ndash;Endwert&nbsp; $($Quadrat der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit$)$,&nbsp; der bei anderen Modellen erst für&nbsp; $k \to \infty$&nbsp; gültig ist,&nbsp; bereits bei&nbsp; $k = 1$&nbsp; exakt erreicht und bleibt dann konstant.<br>
-*Das BSC&ndash;Modell gehört zur Klasse der ''erneuernden Kanalmodelle''&nbsp;&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Renewal Channels</i>). Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:
+*Das BSC&ndash;Modell gehört zur Klasse der&nbsp; "erneuernden Kanalmodelle"&nbsp;&nbsp; $($englisch:&nbsp; "renewal channels").&nbsp; Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:
 ::<math>\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot
@@ Zeile 36: / Zeile 39: @@
 == Binary Symmetric Channel &ndash; Fehlerabstandsverteilung==
 <br>
-Wir betrachten nun die&nbsp; <i>Fehlerabstandsverteilung</i>&nbsp; (FAV). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand&nbsp; $a=k$&nbsp; ergibt sich aus der Bedingung von&nbsp; $k-1$&nbsp; fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu +k$, vorausgesetzt, dass der letzte Fehler zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; aufgetreten ist. Man erhält:
+Wir betrachten nun die&nbsp; "Fehlerabstandsverteilung"&nbsp; $\rm (FAV)$.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand&nbsp; $a=k$&nbsp; ergibt sich aus der Bedingung von&nbsp; $k-1$&nbsp; fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu +k$,&nbsp; vorausgesetzt,&nbsp; dass der letzte Fehler zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; aufgetreten ist.&nbsp; Man erhält:
 ::<math>{\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm}.</math>
 Daraus folgt:
-*Der Fehlerabstand&nbsp; $a = 1$&nbsp; tritt beim BSC&ndash;Modell stets mit der größten Wahrscheinlichkeit auf, und zwar für jeden Wert von&nbsp; $p$.<br>
+*Der Fehlerabstand&nbsp; $a = 1$&nbsp; tritt beim BSC&ndash;Modell stets mit der größten Wahrscheinlichkeit auf,&nbsp; und zwar für jeden Wert von&nbsp; $p$.<br>
-*Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Mit&nbsp; $p = 0.01$&nbsp; ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand&nbsp; ${\rm E}\big[a\big] = 100$.
-*Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler&nbsp; $(a = 1)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $0.99^{99} \approx 2.7$&nbsp; wahrscheinlicher als der Fehlerabstand&nbsp; $a = 100$.<br><br>
+*Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend: <br>Mit&nbsp; $p = 0.01$&nbsp; ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand&nbsp; ${\rm E}\big[a\big] = 100$.&nbsp; Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler&nbsp; $(a = 1)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $0.99^{99} \approx 2.7$&nbsp; wahrscheinlicher als der Fehlerabstand&nbsp; $a = 100$.<br>
-Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstandsverteilung|allgemeinen Definition]]&nbsp; durch Summation:
+*Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstandsverteilung|"allgemeinen Definition"]]&nbsp; durch Summation:
 ::<math>V_a(k) =  {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k}  (1-p)^{\kappa-1}\cdot p = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.</math>
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die linke Grafik zeigt&nbsp; $V_a(k)$&nbsp; in linearer Darstellung für
 *$p = 0.1$&nbsp; (blaue Kurve), und&nbsp;
 *$p = 0.02$&nbsp; (rote Kurve).
-Der Abfall erfolgt mit steigendem&nbsp; $k$&nbsp; exponentiell und ist umso steiler, je kleiner&nbsp; $p$&nbsp; ist.<br>
+&rArr; &nbsp; Der Abfall erfolgt mit steigendem&nbsp; $k$&nbsp; exponentiell und ist umso steiler,&nbsp; je kleiner&nbsp; $p$&nbsp; ist.<br>
-Die rechte Grafik zeigt die logarithmische Darstellung. Hier verläuft der Abfall linear entsprechend
+&rArr; &nbsp; Die rechte Grafik zeigt die logarithmische Darstellung.&nbsp; Hier verläuft der Abfall linear entsprechend
 ::<math>{\rm lg} \hspace{0.15cm}V_a(k) =  (k - 1) \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}(1-p)\hspace{0.05cm}.</math>}}<br>
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 == Anwendungen des BSC–Modells ==
 <br>
-Das BSC&ndash;Modell ist das <i>digitale Äquivalent</i>&nbsp; zum einfachsten analogen Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Einige_Eigenschaften_des_AWGN-Kanals|AWGN]]&nbsp; für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik. Einzige Beeinträchtigung ist das Rauschen; es gibt keine Verzerrungen.<br>
+Das BSC&ndash;Modell ist das&nbsp; "digitale Äquivalent"&nbsp; zum einfachsten analogen Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Einige_Eigenschaften_des_AWGN-Kanals|"AWGN"]]&nbsp; für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik.
 [[Datei:P ID1830 Dig T 5 2 S3 version1.png|right|frame|Zur Verwendung des BSC–Modells|class=fit]]
 Um das BSC&ndash;Modell anwenden zu können, muss das Digitalsystem folgende Voraussetzungen erfüllen:
-*redundanzfreie Binärcodierung &nbsp; &#8658; &nbsp; keine Kanalcodierung und &ndash;decodierung,<br>
+Um das BSC&ndash;Modell anwenden zu können,&nbsp; muss das Digitalsystem folgende Voraussetzungen erfüllen:
 *Störung entsprechend dem AWGN&ndash;Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; additiv, weiß und gaußverteilt,<br>
-*keine nichtlinearen oder linearen Verzerrungen durch die Bauteile von <br>Sender und Empfänger,<br>
 *Schwellenwertentscheider mit symmetrischer Entscheiderschwelle,<br>
-Bei&nbsp; ''leitungsgebundener Übertragung''&nbsp; (zum Beispiel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]], aber auch bei optischer Übertragung) sind dagegen nach Aussagen von Netzbetreibern statistisch unabhängige Fehler eher die Ausnahme. Treten bei der Datenübertragung über das Fernsprechnetz Fehler auf, dann meist gehäuft.
+*keine Fremdeinflüsse wie: <br>Nebensprechen,&nbsp; Wählimpulse,&nbsp; elektromagnetische Störfelder ...<br>
-Man spricht in diesem Fall von so genannten&nbsp; <i>Bündelfehlern</i>, die im nächsten Kapitel behandelt werden.<br>
+&rArr; &nbsp; Treten bei der Datenübertragung über das Fernsprechnetz Fehler auf,&nbsp; dann meist gehäuft.&nbsp; Man spricht in diesem Fall von so genannten&nbsp; "Bündelfehlern",&nbsp; die im nächsten Kapitel behandelt werden.<br>
 ==Aufgaben zum Kapitel==

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 [[Datei:P ID1828 Dig T 5 2 S1 version1.png|center|frame|BSC–Modell und zugehörige Fehlerkorrelationsfunktion|class=fit]]
-Der Name steht für '''Binary Symmetric Channel''' und besagt, dass dieses Modell nur bei Binärsystemen mit symmetrischen Verfälschungseigenschaften angewendet werden kann. Weiter gilt:
+Der Name steht für&nbsp; '''Binary Symmetric Channel'''&nbsp; und besagt, dass dieses Modell nur bei Binärsystemen mit symmetrischen Verfälschungseigenschaften angewendet werden kann. Weiter gilt:
-*Das BSC&ndash;Modell eignet sich für die Untersuchung und Erzeugung einer Fehlerfolge mit statistisch unabhängigen Fehlern. Man nennt einen solchen Kanal auch <i>gedächtnisfrei</i> und es existiert im Unterschied zu den [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle|Bündelfehler&ndash;Kanalmodellen]] nur ein einziger Kanalzustand.<br>
+*Das BSC&ndash;Modell eignet sich für die Untersuchung und Erzeugung einer Fehlerfolge mit statistisch unabhängigen Fehlern. Man nennt einen solchen Kanal auch <i>gedächtnisfrei</i> und es existiert im Unterschied zu den&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle|Bündelfehler&ndash;Kanalmodellen]]&nbsp; nur ein einziger Kanalzustand.<br>
-*Die beiden Symbole (zum Beispiel $\rm L$ und $\rm H$) werden jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p$ verfälscht, so dass auch die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = p$ ist, und zwar unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und  $p_{\rm H}$.<br><br>
+*Die beiden Symbole $($zum Beispiel&nbsp; $\rm L$&nbsp; und &nbsp;$\rm H)$&nbsp; werden jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p$&nbsp; verfälscht, so dass auch die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M} = p$&nbsp; ist, und zwar unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm L}$&nbsp; und&nbsp;  $p_{\rm H}$.<br><br>
-Die rechte Grafik zeigt die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) des BSC&ndash;Modells:
+Die rechte Grafik zeigt die&nbsp; ''Fehlerkorrelationsfunktion''&nbsp; (FKF) des BSC&ndash;Modells:
 ::<math>\varphi_{e}(k) =  {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] =
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 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Beim BSC&ndash;Modell wird der FKF&ndash;Endwert (Quadrat der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit), der bei anderen Modellen erst für $k \to \infty$ gültig ist, bereits bei $k = 1$ exakt erreicht und bleibt dann konstant.<br>
+*Beim BSC&ndash;Modell wird der FKF&ndash;Endwert (Quadrat der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit), der bei anderen Modellen erst für&nbsp; $k \to \infty$&nbsp; gültig ist, bereits bei&nbsp; $k = 1$&nbsp; exakt erreicht und bleibt dann konstant.<br>
-*Das BSC&ndash;Modell gehört zur Klasse der erneuernden Kanalmodelle (englisch: <i>Renewal Channels</i>). Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:
+*Das BSC&ndash;Modell gehört zur Klasse der ''erneuernden Kanalmodelle''&nbsp;&nbsp; (englisch:&nbsp; <i>Renewal Channels</i>). Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:
 ::<math>\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot
@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 == Binary Symmetric Channel &ndash; Fehlerabstandsverteilung==
 <br>
-Betrachten wir nun die <i>Fehlerabstandsverteilung</i> (FAV). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand $a=k$ ergibt sich aus der Bedingung von $k-1$ fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt $\nu +k$, vorausgesetzt, dass der letzte Fehler zum Zeitpunkt $\nu$ aufgetreten ist. Man erhält:
+Wir betrachten nun die&nbsp; <i>Fehlerabstandsverteilung</i>&nbsp; (FAV). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand&nbsp; $a=k$&nbsp; ergibt sich aus der Bedingung von&nbsp; $k-1$&nbsp; fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu +k$, vorausgesetzt, dass der letzte Fehler zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; aufgetreten ist. Man erhält:
 ::<math>{\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm}.</math>
 Daraus folgt:
-*Der Fehlerabstand $a = 1$ tritt beim BSC&ndash;Modell stets mit der größten Wahrscheinlichkeit auf, und zwar für jeden Wert von $p$.<br>
+*Der Fehlerabstand&nbsp; $a = 1$&nbsp; tritt beim BSC&ndash;Modell stets mit der größten Wahrscheinlichkeit auf, und zwar für jeden Wert von&nbsp; $p$.<br>
-*Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Mit $p = 0.01$ ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand ${\rm E}[a] = 100$.
+*Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Mit&nbsp; $p = 0.01$&nbsp; ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand&nbsp; ${\rm E}\big[a\big] = 100$.
-*Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler $(a = 1)$ um den Faktor $0.99^{99} \approx 2.7$ wahrscheinlicher als der Fehlerabstand $a = 100$.<br><br>
+*Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler&nbsp; $(a = 1)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $0.99^{99} \approx 2.7$&nbsp; wahrscheinlicher als der Fehlerabstand&nbsp; $a = 100$.<br><br>
-Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstandsverteilung|allgemeinen Definition]] durch Summation:
+Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstandsverteilung|allgemeinen Definition]]&nbsp; durch Summation:
 ::<math>V_a(k) =  {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k}  (1-p)^{\kappa-1}\cdot p = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.</math>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die linke Grafik zeigt $V_a(k)$ in linearer Darstellung für die Parameter $p = 0.1$ (blaue Kurve) und $p = 0.02$ (rote Kurve). Der Abfall erfolgt mit steigendem $k$ exponentiell und ist umso steiler, je kleiner $p$ ist.<br>
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die linke Grafik zeigt&nbsp; $V_a(k)$&nbsp; in linearer Darstellung für
-[[Datei:P ID1829 Dig T 5 2 S2 version1.png|center|frame|Fehlerabstandsverteilung beim BSC–Modell in linearer und logarithmischer Darstellung.|class=fit]]
 Die rechte Grafik zeigt die logarithmische Darstellung. Hier verläuft der Abfall linear entsprechend
@@ Zeile 60: / Zeile 64: @@
 == Anwendungen des BSC–Modells ==
 <br>
-Das BSC&ndash;Modell ist das <i>digitale Äquivalent</i>&nbsp; zum einfachsten analogen Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Einige_Eigenschaften_des_AWGN-Kanals|AWGN]] für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik. Einzige Beeinträchtigung ist Rauschen; es gibt keine Verzerrungen.<br>
+Das BSC&ndash;Modell ist das <i>digitale Äquivalent</i>&nbsp; zum einfachsten analogen Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Einige_Eigenschaften_des_AWGN-Kanals|AWGN]]&nbsp; für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik. Einzige Beeinträchtigung ist das Rauschen; es gibt keine Verzerrungen.<br>
-[[Datei:P ID1830 Dig T 5 2 S3 version1.png|center|frame|Zur Verwendung des BSC–Modells|class=fit]]
+[[Datei:P ID1830 Dig T 5 2 S3 version1.png|right|frame|Zur Verwendung des BSC–Modells|class=fit]]
 Um das BSC&ndash;Modell anwenden zu können, muss das Digitalsystem folgende Voraussetzungen erfüllen:
 *redundanzfreie Binärcodierung &nbsp; &#8658; &nbsp; keine Kanalcodierung und &ndash;decodierung,<br>
 *Störung entsprechend dem AWGN&ndash;Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; additiv, weiß und gaußverteilt,<br>
-*keine nichtlinearen oder linearen Verzerrungen in den Sender&ndash; und Empfängerbauteilen,<br>
+*keine nichtlinearen oder linearen Verzerrungen durch die Bauteile von <br>Sender und Empfänger,<br>
 *Schwellenwertentscheider mit symmetrischer Entscheiderschwelle,<br>
-*keine Fremdeinflüsse wie Nebensprechen, Wählimpulse oder elektromagnetische Störfelder.<br><br>
+*keine Fremdeinflüsse wie Nebensprechen, Wählimpulse oder elektromagnetische Störfelder.<br>
-Bei einem ''Funksystem''  mit einer direkten Sichtverbindung zwischen dem Sender und dem Empfänger ist die Anwendung des BSC&ndash;Modells oft gerechtfertigt, nicht jedoch, wenn Fadingeinflüsse  &nbsp; &#8658; &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Trägerfrequenzsysteme_mit_nichtkohärenter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung|Rayleigh oder Rice]] eine Rolle spielen oder wenn Echos  auftreten können &nbsp; &#8658; &nbsp;[[Mobile_Kommunikation/Mehrwegeempfang_beim_Mobilfunk|Mehrwegeempfang]].<br>
+Bei&nbsp; ''leitungsgebundener Übertragung''&nbsp; (zum Beispiel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]], aber auch bei optischer Übertragung) sind dagegen nach Aussagen von Netzbetreibern statistisch unabhängige Fehler eher die Ausnahme. Treten bei der Datenübertragung über das Fernsprechnetz Fehler auf, dann meist gehäuft.
-Bei ''leitungsgebundener Übertragung'' (zum Beispiel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_DSL|DSL]], aber auch bei optischer Übertragung) sind dagegen nach Aussagen von Netzbetreibern statistisch unabhängige Fehler eher die Ausnahme. Treten bei der Datenübertragung über das Fernsprechnetz Fehler auf, dann meist gehäuft. Man spricht in diesem Fall von so genannten <i>Bündelfehlern</i>, die im nächsten Kapitel behandelt werden.<br>
+Man spricht in diesem Fall von so genannten&nbsp; <i>Bündelfehlern</i>, die im nächsten Kapitel behandelt werden.<br>
 ==Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:5.3:_AWGN-_und_BSC-Modell|Aufgabe 5.3:&nbsp;  AWGN- und BSC-Modell]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_5.3:_AWGN-_und_BSC-Modell|Aufgabe 5.3:&nbsp;  AWGN- und BSC-Modell]]
 [[Aufgaben:5.3Z_Analyse_des_BSC-Modells|Aufgabe 5.3Z:&nbsp;  Analyse des BSC-Modell]]

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 Die linke Grafik zeigt mit dem BSC&ndash;Modell das einfachste Modell eines digitalen Übertragungssystems.
-[[Datei:P ID1828 Dig T 5 2 S1 version1.png|center|frame|BSC–Modell und zugehörige Fehlerkorrelationsfunktion|class=fit]]<br>
+[[Datei:P ID1828 Dig T 5 2 S1 version1.png|center|frame|BSC–Modell und zugehörige Fehlerkorrelationsfunktion|class=fit]]
 Der Name steht für '''Binary Symmetric Channel''' und besagt, dass dieses Modell nur bei Binärsystemen mit symmetrischen Verfälschungseigenschaften angewendet werden kann. Weiter gilt:
@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 Die rechte Grafik zeigt die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) des BSC&ndash;Modells:
-::<math>\varphi_{e}(k) =  {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] =
+::<math>\varphi_{e}(k) =  {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] =
   \left\{ \begin{array}{c} p \\
   p^2 \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 *Beim BSC&ndash;Modell wird der FKF&ndash;Endwert (Quadrat der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit), der bei anderen Modellen erst für $k \to \infty$ gültig ist, bereits bei $k = 1$ exakt erreicht und bleibt dann konstant.<br>
-*Das BSC&ndash;Modell gehört zur Klasse der erneuernden Kanalmodelle (<i>Renewal Channels</i>). Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:
+*Das BSC&ndash;Modell gehört zur Klasse der erneuernden Kanalmodelle (englisch: <i>Renewal Channels</i>). Bei einem erneuernden Kanalmodell sind die Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig und die Fehlerkorrelationsfunktion kann in einfacher Weise iterativ berechnet werden:
 ::<math>\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot
@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 == Binary Symmetric Channel &ndash; Fehlerabstandsverteilung==
 <br>
-Betrachten wir nun die <i>Fehlerabstandsverteilung</i> (FAV). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand $a=k$ ergibt sich aus der Bedingung von $k-1$ fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt $\nu +k$, vorausgesetzt, dass zum Zeitpunkt $\nu$ ein Fehler aufgetreten ist. Man erhält:
+Betrachten wir nun die <i>Fehlerabstandsverteilung</i> (FAV). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehlerabstand $a=k$ ergibt sich aus der Bedingung von $k-1$ fehlerfreien Symbolen und eines Übertragungsfehlers zum Zeitpunkt $\nu +k$, vorausgesetzt, dass der letzte Fehler zum Zeitpunkt $\nu$ aufgetreten ist. Man erhält:
 ::<math>{\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm}.</math>
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 Daraus folgt:
 *Der Fehlerabstand $a = 1$ tritt beim BSC&ndash;Modell stets mit der größten Wahrscheinlichkeit auf, und zwar für jeden Wert von $p$.<br>
-*Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Mit $p = 0.01$ ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand ${\rm E}[a] = 100$. Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler $(a = 1)$ um den Faktor $0.99^{99} \approx 2.7$ wahrscheinlicher als der Fehlerabstand $a = 100$.<br><br>
+*Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Mit $p = 0.01$ ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand ${\rm E}[a] = 100$.
 Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstandsverteilung|allgemeinen Definition]] durch Summation:
@@ Zeile 59: / Zeile 60: @@
 == Anwendungen des BSC–Modells ==
 <br>
-Das BSC&ndash;Modell ist das <i>digitale Äquivalent</i> zum einfachsten analogen Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Einige_Eigenschaften_des_AWGN-Kanals|AWGN]] für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik (einzige Beeinträchtigung ist Rauschen; es gibt keine Verzerrungen).<br>
+Das BSC&ndash;Modell ist das <i>digitale Äquivalent</i>&nbsp; zum einfachsten analogen Modell &nbsp; &#8658; &nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Einige_Eigenschaften_des_AWGN-Kanals|AWGN]] für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik. Einzige Beeinträchtigung ist Rauschen; es gibt keine Verzerrungen.<br>
 [[Datei:P ID1830 Dig T 5 2 S3 version1.png|center|frame|Zur Verwendung des BSC–Modells|class=fit]]

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 ==Aufgaben zum Kapitel==
 <br>
-[[Aufgaben:5.3:_AWGN-_und_BSC-Modell|A5.3 AWGN- und BSC-Modell]]
+[[Aufgaben:5.3:_AWGN-_und_BSC-Modell|Aufgabe 5.3:&nbsp;  AWGN- und BSC-Modell]]
-[[Zusatzaufgaben:5.3 Analyse des BSC-Modells]]
+[[Aufgaben:5.3Z_Analyse_des_BSC-Modells|Aufgabe 5.3Z:&nbsp;  Analyse des BSC-Modell]]
-[[Aufgaben:5.4 Ist das BSC-Modell erneuernd?|A5.4 Ist das BSC-Modell erneuernd?]]
+[[Aufgaben:5.4 Ist das BSC-Modell erneuernd?|Aufgabe 5.4:&nbsp; Ist das BSC-Modell erneuernd?]]
-[[Aufgaben:5.5 Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge|5.5 Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge]]
+[[Aufgaben:5.5 Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge|Aufgabe 5.5:&nbsp; Fehlerfolge und Fehlerabstandsfolge]]
 {{Display}}

@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 *Dieser Sachverhalt ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Mit <i>p</i> = 0.01 ergibt sich zum Beispiel der mittlere Fehlerabstand E[<i>a</i>] = 100. Trotzdem sind zwei aufeinanderfolgende Fehler (<i>a</i> = 1) um den Faktor 0.99<sup>99</sup> &asymp; 2.7 wahrscheinlicher als der Fehlerabstand <i>a</i> = 100.<br><br>
-Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der allgemeinen Definition durch Summation:
+Die Fehlerabstandsverteilung ergibt sich entsprechend der [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstand_und_Fehlerabstandsverteilung_.282.29 allgemeinen Definition] durch Summation:
 :<math>V_a(k) =  {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k}  (1-p)^{\kappa-1}\cdot p = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.</math>
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 == Anwendungen des BSC–Modells ==
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-Das BSC&ndash;Modell ist das <i>digitale Äquivalent</i> zum einfachsten analogen Modell &nbsp;&#8658;&nbsp; AWGN für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik (einzige Beeinträchtigung ist Rauschen; keine Verzerrungen).<br>
+Das BSC&ndash;Modell ist das <i>digitale Äquivalent</i> zum einfachsten analogen Modell &nbsp;&#8658;&nbsp; [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Einige_Eigenschaften_des_AWGN-Kanals_.281.29 AWGN] für ein zeitinvariantes Digitalsystem entsprechend der folgenden Grafik (einzige Beeinträchtigung ist Rauschen; keine Verzerrungen).<br>
 [[Datei:P ID1830 Dig T 5 2 S3 version1.png|Zur Verwendung des BSC–Modells|class=fit]]<br>