Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung - Versionsgeschichte

Guenter am 19. Juni 2022 um 10:19 Uhr

2022-06-19T10:19:16Z

Guenter am 18. Juni 2022 um 13:35 Uhr

2022-06-18T13:35:53Z

Guenter am 17. Juni 2022 um 12:43 Uhr

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Guenter am 16. Juni 2022 um 15:05 Uhr

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Guenter am 16. Juni 2022 um 14:32 Uhr

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Guenter am 15. Juni 2022 um 17:00 Uhr

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Guenter am 15. Juni 2022 um 15:23 Uhr

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Guenter am 19. Februar 2019 um 17:17 Uhr

2019-02-19T17:17:25Z

Guenter am 19. Februar 2019 um 17:14 Uhr

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Guenter am 10. Juni 2018 um 11:27 Uhr

2018-06-10T11:27:05Z

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   A}}}=  \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$
 *Je größer die Kabeldämpfung  &nbsp;$a_\star$&nbsp; und damit der Rauscheinfluss  ist,  um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G, opt}$.<br>
 *Allerdings ist stets &nbsp;$f_\text{G, opt} > 0.27/T$. Andernfalls wäre das Auge geschlossen, gleichbedeutend mit der  &bdquo;Worst&ndash;case&rdquo;&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U} = 0.5$.
-Diskutieren wir nun die Abhängigkeit des Systemwirkungsgrads &nbsp;$\eta$&nbsp; (rote Quadrate) von der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$. Die rechte Ordinate beginnt oben bei &nbsp;$0 \ \rm dB$&nbsp; und erstreckt sich nach unten bis &nbsp;$-100 \ \rm dB$.
+Diskutieren wir nun die Abhängigkeit des Systemwirkungsgrads &nbsp;$\eta$&nbsp; (rote Quadrate)&nbsp; von der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$.&nbsp; Die rechte Ordinate beginnt oben bei &nbsp;$0 \ \rm dB$&nbsp; und erstreckt sich nach unten bis &nbsp;$-100 \ \rm dB$.
-Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll, vermeidet die Darstellung &nbsp;$\eta = \eta\hspace{0.05cm}(a_\star)$&nbsp; einige Probleme, die sich aus dem großen Wertebereich von S/N&ndash;Verhältnissen ergeben:
+Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll,&nbsp; vermeidet die Darstellung &nbsp;$\eta = \eta\hspace{0.05cm}(a_\star)$&nbsp; einige Probleme,&nbsp; die sich aus dem großen Wertebereich von S/N&ndash;Verhältnissen ergeben:
-* Der Ordinatenwert &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}  \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ \rm dB$&nbsp; sagt aus, dass der bei idealem Kanal bestmögliche Gaußtiefpass mit Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.8$&nbsp; um &nbsp;$1.4 \ \rm dB$&nbsp; schlechter ist als der optimale (Matched&ndash;Filter&ndash;) Empfänger.<br>
+* Der Ordinatenwert &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}  \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ \rm dB$&nbsp; sagt aus,&nbsp; dass der bei idealem Kanal bestmögliche Gaußtiefpass mit Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.8$&nbsp; um &nbsp;$1.4 \ \rm dB$&nbsp; schlechter ist als der optimale&nbsp; (Matched&ndash;Filter&ndash;)&nbsp; Empfänger.<br>
+*Gehen wir von idealem Kanal &nbsp;$(a_\star = 0 \ \rm dB)$&nbsp; und &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$&nbsp; aus,&nbsp; so besagt die obige Gleichung auch,&nbsp; dass diese Konfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:
 :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}  =  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx  \approx  10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.$$
+*Soll diese&nbsp; (ungünstigste)&nbsp; Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U} =  7 \cdot 10^{-5}$  &nbsp; &#8658; &nbsp; $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} = 11.6  \ \rm dB$ &nbsp; beim Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 80 \ \rm dB$&nbsp; nicht überschritten werden,&nbsp; so muss demnach für das Verhältnis &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$&nbsp; gelten:
 ::<math>10 \cdot {\rm
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 ^{8}\hspace{0.05cm}.</math>
-*Um dies zu erreichen, muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in der Grafik auf   &nbsp;$f_{\rm G}= 0.33/T$&nbsp;  herabgesetzt werden.<br>
+*Um dies zu erreichen,&nbsp; muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in der Grafik auf   &nbsp;$f_{\rm G}= 0.33/T$&nbsp;  herabgesetzt werden.<br>
 == Aufgaben zum Kapitel==

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 == Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung==
 <br>
 Wir betrachten weiter
 *ein Binärsystem mit NRZ&ndash;Sendeimpulsen &nbsp; &rArr; &nbsp; $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,<br>
-*ein Koaxialkabel $H_{\rm K}(f)$, charakteristische Dämpfung &nbsp;$a_\star$,<br>
+*ein Koaxialkabel&nbsp; $H_{\rm K}(f)$,&nbsp; charakteristische Dämpfung &nbsp;$a_\star$,<br>
 *einen Gauß&ndash;Gesamtfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.
-Die blauen Kreise (linke Achsenbeschriftung) markieren die optimale Grenzfrequenzen &nbsp;$f_\text{G, opt}$&nbsp; für die jeweilige Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$.
+Die blauen Kreise&nbsp; (linke Achsenbeschriftung)&nbsp; markieren die optimale Grenzfrequenzen &nbsp;$f_\text{G, opt}$&nbsp; für die jeweilige Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$.
 Zusätzlich  ist in der Grafik mit roten Quadraten  der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Spitzenwertbegrenzung|Systemwirkungsgrad]]&nbsp; (bei Spitzenwertbegrenzung) &nbsp;$\eta$&nbsp; dargestellt, der das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR &nbsp;$\rho_{d}$&nbsp; zum maximal möglichen S/N-Verhältnis &nbsp;$\rho_{d, \ {\rm max}}$&nbsp; angibt.
 Ersetzt man &nbsp;$\rho_d$&nbsp; durch &nbsp;$\rho_{\rm U}$, also  &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; durch &nbsp;$p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:
 :$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}

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 <br>
 Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$&nbsp; des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs &nbsp;$H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.&nbsp; Dieses Bild gilt für
-[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png|right|frame|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal &nbsp;$(a_\star = 15 \ \rm dB)$|class=fit]]
+[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png|right|frame|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal &nbsp;$(a_\star = 15 \ \rm dB).$<br>
 *einen &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels| koaxialen Übertragungskanal]]&nbsp; mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$,<br>
 *AWGN&ndash;Rauschen mit &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei &nbsp;$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$&nbsp; zu setzen ist &nbsp; &rArr; &nbsp; NRZ&ndash;Rechteckimpulse.<br><br>
-''Anmerkungen:''
+*Bei der betrachteten Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$&nbsp; ist die Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T \approx 0.55$&nbsp; optimal und es gilt &nbsp;$\ddot{o}/s_0 \approx 1.327$&nbsp; sowie &nbsp;$\sigma_d/s_0 \approx 0.106$.&nbsp; Daraus ergeben sich der <br> &nbsp; &nbsp; ungünstigste Störabstand  &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 \ dB$&nbsp; und <br> &nbsp; &nbsp; die  Worst&ndash;Case&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U} \approx  2 \cdot  10^{-9}.$<br>
-*Bei der betrachteten Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$&nbsp; ist die Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T \approx 0.55$&nbsp; optimal und es gilt &nbsp;$\ddot{o}/s_0 \approx 1.327$&nbsp; sowie &nbsp;$\sigma_d/s_0 \approx 0.106$.
+*Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch &nbsp;$\sigma_d$&nbsp; gleichermaßen verkleinert würde.&nbsp; Für &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.4$&nbsp; gilt:
 :$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 \hspace{0.3cm}  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx
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 \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
-*Ist die Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G}$&nbsp; zu groß, so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt. Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  &nbsp;$f_\text{G} \cdot T =0.8$:
+*Ist die Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G}$&nbsp; zu groß,&nbsp; so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt.&nbsp; Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  &nbsp;$f_\text{G} \cdot T =0.8$:
 :$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 \hspace{0.3cm}  10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx
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-Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$&nbsp; zugrunde liegt; in der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz|entsprechenden Grafik]]&nbsp; für den idealen Kanal  wurde dagegen  von &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$&nbsp; ausgegangen.<br>
+Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$&nbsp; zugrunde liegt;&nbsp; in der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz|entsprechenden Grafik]]&nbsp; für den idealen Kanal  wurde dagegen  von &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$&nbsp; ausgegangen.<br>
 == Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung==

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 == Optimierung der Grenzfrequenz==
 <br>
-Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$&nbsp; des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs &nbsp;$H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$. Dieses Bild gilt für
+Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$&nbsp; des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs &nbsp;$H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.&nbsp; Dieses Bild gilt für
 *einen &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels| koaxialen Übertragungskanal]]&nbsp; mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$,<br>
 *AWGN&ndash;Rauschen mit &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei &nbsp;$E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$&nbsp; zu setzen ist &nbsp; &rArr; &nbsp; NRZ&ndash;Rechteckimpulse.<br><br>
-[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png|right|frame|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal &nbsp;$(a_\star = 15 \ \rm dB)$|class=fit]]
 ''Anmerkungen:''
 *Die Kreise zeigen die dB&ndash;Werte für  &nbsp;$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_d$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;mittleres&rdquo; Detektions&ndash;SNR  (Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S})$.

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 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ&ndash;Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$&nbsp; mit der (normierten) Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$.
+$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ&ndash;Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$&nbsp; mit der (normierten) Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$.&nbsp; Aufgrund dieses ungünstigen Empfangsfilters&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; kommt es bei allen hier dargestellten Varianten zu Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$.
 *Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals &nbsp;$d_{\rm S}(t)$&nbsp; &ndash; also ohne Berücksichtigung des Rauschens.

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 *Voraussetzung für eine endliche Störleistung &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; ist, dass der Tiefpass &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; das Rauschen &nbsp;$n(t)$&nbsp; bei (sehr) hohen Frequenzen stärker abschwächt, als es vom idealen Entzerrer &nbsp;$1/H_{\rm K}(f)$&nbsp; angehoben wird.<br><br>
-<i>Anmerkung</i>: &nbsp; Der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; ist nach Betrag und Phase zu entzerren, allerdings nur in einem von &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich. Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer (frequenzunabhängigen) Laufzeit möglich, die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.
+<i>Anmerkung</i>: &nbsp; Der Kanalfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm K}(f)$&nbsp; muss nach Betrag und Phase entzerrt werden,&nbsp; allerdings nur in einem von &nbsp;$H_{\rm G}(f)$&nbsp; vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich.&nbsp; Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer&nbsp; (frequenzunabhängigen)&nbsp; Laufzeit möglich,&nbsp; die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.
 {{GraueBox|TEXT=

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-Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$&nbsp; &nbsp;$($entsprechend &nbsp;$1.7 \ \rm Np)$&nbsp; deutlich kleiner gewählt ist als beim  rechten Augendiagramm &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer| im $\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; auf der letzten Seite &nbsp;$($gültig für &nbsp;$a_\star = 40 \ \rm dB)$.
+Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit &nbsp;$a_\star = 15 \ \rm dB$&nbsp; &nbsp;$($entsprechend &nbsp;$1.7 \ \rm Np)$&nbsp; deutlich kleiner gewählt ist als beim  rechten Augendiagramm im &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer| $\text{Beispiel 1}$]]&nbsp; auf der letzten Seite &nbsp;$($gültig für &nbsp;$a_\star = 40 \ \rm dB)$.
 <br clear=all>
 Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die (normierte) Grenzfrequenz &nbsp;$f_\text{G} \cdot T = 0.8$, die nach den Berechnungen im &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz|letzten Kapitel]]&nbsp; für den idealen Kanal &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; das Optimum darstellt.

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
-Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit $a_\star = 15 \ \rm dB$ (entsprechend $1.7 \ \rm Np$) deutlich kleiner gewählt ist als beim [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer| rechten Augendiagramm]] auf der letzten Seite (gültig für $a_\star = 40 \ \rm dB$).
+Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit $a_\star = 15 \ \rm dB$ (entsprechend $1.7 \ \rm Np$) deutlich kleiner gewählt ist als beim  rechten Augendiagramm [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer| im Beispiel 1]] auf der letzten Seite (gültig für $a_\star = 40 \ \rm dB$).
 <br clear=all>
 Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die (normierte) Grenzfrequenz $f_\text{G} \cdot T = 0.8$, die nach den Berechnungen im [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz|letzten Kapitel]] für den idealen Kanal &nbsp; &rArr;&nbsp; $H_{\rm K}(f) = 1$ das Optimum darstellt.