Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung - Versionsgeschichte

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	*Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung,  also der Varianz des Signals  $d_{\rm N}(t)$  – herrührend vom Störsignal  $n(t)$:		*Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung,  also der Varianz des Signals  $d_{\rm N}(t)$  – herrührend vom Störsignal  $n(t)$:
	:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}		:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}\|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\|H_{\rm K}(f)\|^2}\cdot\|H_{\rm G}(f)\|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$
	\|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot
	\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\|H_{\rm K}(f)\|^2}\cdot
	\|H_{\rm G}(f)\|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

	*Voraussetzung für eine endliche Störleistung  $\sigma_d^2$  ist allerdings,  dass der Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  das Rauschen  $n(t)$  bei  (sehr)  hohen Frequenzen stärker abschwächt,  als es vom idealen Entzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  angehoben wird.<br><br>		*Voraussetzung für eine endliche Störleistung  $\sigma_d^2$  ist allerdings,  dass der Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  das Rauschen  $n(t)$  bei  (sehr)  hohen Frequenzen stärker abschwächt,  als es vom idealen Entzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  angehoben wird.<br><br>
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	:$$H_{\rm K}(f) = 1 \ \ ⇒ \ \ 1/H_{\rm K}(f) = 1.$$		:$$H_{\rm K}(f) = 1 \ \ ⇒ \ \ 1/H_{\rm K}(f) = 1.$$
	Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen,  das aber hier mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$  als sehr klein angenommen wurde.  Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:		Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen,  das aber hier mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$  als sehr klein angenommen wurde.  Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:
	:$$10 \cdot {\rm		:$$10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}<10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}<
	10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$

	⇒   Das rechte Diagramm gilt für ein  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| Koaxialkabel]],  wobei die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  beträgt.  Hier sind die Ergebnisse bei gleichem  $E_{\rm B}/N_0$  deutlich ungünstiger:		⇒   Das rechte Diagramm gilt für ein  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| Koaxialkabel]],  wobei die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  beträgt.  Hier sind die Ergebnisse bei gleichem  $E_{\rm B}/N_0$  deutlich ungünstiger:
	:$$10 \cdot {\rm		:$$10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx0.28\hspace{0.05cm}.$$
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\~~approx~~
	0.28\hspace{0.05cm}.$$

	Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:		Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:
Zeile 62:		Zeile 53:

	*Eine akzeptable worst-case-Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte  $N_0$.  Beispielsweise erhält man mit mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$  $($statt $30 \ \rm dB)$  das folgende Ergebnis:		*Eine akzeptable worst-case-Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte  $N_0$.  Beispielsweise erhält man mit mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$  $($statt $30 \ \rm dB)$  das folgende Ergebnis:
	:$$10 \cdot {\rm		:$$10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4 \approx 0.5 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.$$}}<br>
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4 \approx 0.5 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.$$}}<br>

	== Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung==		== Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung==
Zeile 71:		Zeile 59:
	Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung  $\sigma_d^2$  bei unveränderter vertikaler Augenöffnung,  wenn man den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert.  Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$  nach dem Empfangsfilter  (vor dem Entscheider)  interpretiert werden,  wobei folgende Einstellungen gelten:		Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung  $\sigma_d^2$  bei unveränderter vertikaler Augenöffnung,  wenn man den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert.  Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$  nach dem Empfangsfilter  (vor dem Entscheider)  interpretiert werden,  wobei folgende Einstellungen gelten:
	*Der Kanal sei ein  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| Koaxialkabel]]  mit dem Betragsfrequenzgang		*Der Kanal sei ein  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| Koaxialkabel]]  mit dem Betragsfrequenzgang
	:$$\|H_{\rm K}(f)\| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2 f		:$$\|H_{\rm K}(f)\| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2 fT}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star}= 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm}15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.$$
	T}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star}
	= 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm}
	15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.$$
	[[Datei:P ID1399 Dig T 3 3 S2 version1.png\|right\|frame\|Rauschüberhöhung durch verzerrenden Kanal.     Beachten Sie: Aus Darstellungsgründen ist hier die charakteristische Kabeldämpfung mit  $a_\star = 15 \ \rm dB$   $($entsprechend  $1.7 \ \rm Np)$  deutlich kleiner gewählt ist beim rechten Augendiagramm im  [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer\| Beispiel 1]]  auf der letzten Seite  $($gültig für  $a_\star = 40 \ \rm dB)$.\|class=fit]]		[[Datei:P ID1399 Dig T 3 3 S2 version1.png\|right\|frame\|Rauschüberhöhung durch verzerrenden Kanal.     Beachten Sie: Aus Darstellungsgründen ist hier die charakteristische Kabeldämpfung mit  $a_\star = 15 \ \rm dB$   $($entsprechend  $1.7 \ \rm Np)$  deutlich kleiner gewählt ist beim rechten Augendiagramm im  [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer\| Beispiel 1]]  auf der letzten Seite  $($gültig für  $a_\star = 40 \ \rm dB)$.\|class=fit]]

Zeile 83:		Zeile 68:

	Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:		Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:
	:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{\|H_{\rm G		:$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{\|H_{\rm G}(f)\|^2}{\|H_{\rm K}(f)\|^2} $$
	}(f)\|^2}{\|H_{\rm K}(f)\|^2} $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot
	a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Verlauf ist hier dargestellt für die  (normierten)  Grenzfrequenzen		Dieser Verlauf ist hier dargestellt für die  (normierten)  Grenzfrequenzen
Zeile 120:		Zeile 103:

	*Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch  $\sigma_d$  gleichermaßen verkleinert würde.  Für  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  gilt:		*Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch  $\sigma_d$  gleichermaßen verkleinert würde.  Für  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  gilt:
	:$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow		:$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx14.1\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\~~approx~~
	14.1\,{\rm dB}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

	*Ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G}$  zu groß,  so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt.  Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T =0.8$:		*Ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G}$  zu groß,  so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt.  Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T =0.8$:
	:$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow		:$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx14.2\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\~~approx~~
	14.2\,{\rm dB}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

	*Die optimalen Werte sind mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{d} \approx 16.2 \ \rm dB$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 dB$  deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal.		*Die optimalen Werte sind mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{d} \approx 16.2 \ \rm dB$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 dB$  deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal.
Zeile 152:		Zeile 127:
	[[Datei:Dig_T_3_3_S3b_version2.png\|right\|frame\|Optimale Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung. Insbesondere gilt: <br>$\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ dB;$   $\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 80 \ \rm dB) = -78.2 \ dB;$\|class=fit\|center]]		[[Datei:Dig_T_3_3_S3b_version2.png\|right\|frame\|Optimale Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung. Insbesondere gilt: <br>$\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ dB;$   $\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 80 \ \rm dB) = -78.2 \ dB;$\|class=fit\|center]]
	Ersetzt man  $\rho_d$  durch  $\rho_{\rm U}$, also  $p_{\rm S}$  durch  $p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:		Ersetzt man  $\rho_d$  durch  $\rho_{\rm U}$, also  $p_{\rm S}$  durch  $p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:
	:$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}		:$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$
	A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$

	Man erkennt aus der Anordnung der blauen Kreise:		Man erkennt aus der Anordnung der blauen Kreise:

Guenter am 19. Juni 2022 um 10:19 Uhr

2022-06-19T10:19:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juni 2022, 12:19 Uhr
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	A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$		A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$

			Man erkennt aus der Anordnung der blauen Kreise:
			*Die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$  hängt signifikant von der Stärke der Verzerrungen des Koaxialkabels ab,  genauer gesagt:   ausschließlich von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  bei der halben Bitrate.

	~~Man erkennt aus der Anordnung der blauen Kreise:~~
	*Die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$  hängt signifikant ab von der Stärke der Verzerrungen des Koaxialkabels, genauer gesagt:   ausschließlich von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  bei der halben Bitrate.
	*Je größer die Kabeldämpfung  $a_\star$  und damit der Rauscheinfluss ist, um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$.<br>		*Je größer die Kabeldämpfung  $a_\star$  und damit der Rauscheinfluss ist, um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$.<br>

	*Allerdings ist stets  $f_\text{G, opt} > 0.27/T$. Andernfalls wäre das Auge geschlossen, gleichbedeutend mit der &bdquo;Worst–case”–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 0.5$.		*Allerdings ist stets  $f_\text{G, opt} > 0.27/T$. Andernfalls wäre das Auge geschlossen, gleichbedeutend mit der &bdquo;Worst–case”–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 0.5$.



	Diskutieren wir nun die Abhängigkeit des Systemwirkungsgrads  $\eta$  (rote Quadrate) von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$. Die rechte Ordinate beginnt oben bei  $0 \ \rm dB$  und erstreckt sich nach unten bis  $-100 \ \rm dB$.		Diskutieren wir nun die Abhängigkeit des Systemwirkungsgrads  $\eta$  (rote Quadrate)  von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$.  Die rechte Ordinate beginnt oben bei  $0 \ \rm dB$  und erstreckt sich nach unten bis  $-100 \ \rm dB$.

	Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll, vermeidet die Darstellung  $\eta = \eta\hspace{0.05cm}(a_\star)$  einige Probleme, die sich aus dem großen Wertebereich von S/N–Verhältnissen ergeben:		Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll,  vermeidet die Darstellung  $\eta = \eta\hspace{0.05cm}(a_\star)$  einige Probleme,  die sich aus dem großen Wertebereich von S/N–Verhältnissen ergeben:
	* Der Ordinatenwert  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ \rm dB$  sagt aus, dass der bei idealem Kanal bestmögliche Gaußtiefpass mit Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  um  $1.4 \ \rm dB$  schlechter ist als der optimale (Matched–Filter–) Empfänger.<br>		* Der Ordinatenwert  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ \rm dB$  sagt aus,  dass der bei idealem Kanal bestmögliche Gaußtiefpass mit Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  um  $1.4 \ \rm dB$  schlechter ist als der optimale  (Matched–Filter–)  Empfänger.<br>

			*Gehen wir von idealem Kanal  $(a_\star = 0 \ \rm dB)$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  aus,  so besagt die obige Gleichung auch,  dass diese Konfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:
	*Gehen wir von idealem Kanal  $(a_\star = 0 \ \rm dB)$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  aus, so besagt die obige Gleichung auch, dass diese Konfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:
	:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx \approx 10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx \approx 10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.$$
			*Soll diese  (ungünstigste)  Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 7 \cdot 10^{-5}$   ⇒   $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} = 11.6 \ \rm dB$   beim Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$  nicht überschritten werden,  so muss demnach für das Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$  gelten:
	*Soll diese (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 7 \cdot 10^{-5}$   ⇒   $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} = 11.6 \ \rm dB$  beim Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$  nicht überschritten werden, so muss demnach für das Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$  gelten:

	::<math>10 \cdot {\rm		::<math>10 \cdot {\rm
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	10^{8}\hspace{0.05cm}.</math>		10^{8}\hspace{0.05cm}.</math>

	*Um dies zu erreichen, muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in der Grafik auf  $f_{\rm G}= 0.33/T$  herabgesetzt werden.<br>		*Um dies zu erreichen,  muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in der Grafik auf  $f_{\rm G}= 0.33/T$  herabgesetzt werden.<br>

	== Aufgaben zum Kapitel==		== Aufgaben zum Kapitel==

Guenter am 18. Juni 2022 um 13:35 Uhr

2022-06-18T13:35:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Juni 2022, 15:35 Uhr
Zeile 140:		Zeile 140:
	== Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung==		== Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung==
	<br>		<br>
	[[Datei:Dig_T_3_3_S3b_version2.png\|right\|frame\|Optimale Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung. Insbesondere gilt: <br>$\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ dB;$   $\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 80 \ \rm dB) = -78.2 \ dB;$\|class=fit\|center]]
	Wir betrachten weiter		Wir betrachten weiter
	*ein Binärsystem mit NRZ–Sendeimpulsen   ⇒   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,<br>		*ein Binärsystem mit NRZ–Sendeimpulsen   ⇒   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,<br>
	*ein Koaxialkabel $H_{\rm K}(f)$, charakteristische Dämpfung  $a_\star$,<br>		*ein Koaxialkabel  $H_{\rm K}(f)$,  charakteristische Dämpfung  $a_\star$,<br>
	*einen Gauß–Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.		*einen Gauß–Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.


	Die blauen Kreise (linke Achsenbeschriftung) markieren die optimale Grenzfrequenzen  $f_\text{G, opt}$  für die jeweilige Kabeldämpfung  $a_\star$.		Die blauen Kreise  (linke Achsenbeschriftung)  markieren die optimale Grenzfrequenzen  $f_\text{G, opt}$  für die jeweilige Kabeldämpfung  $a_\star$.

	Zusätzlich ist in der Grafik mit roten Quadraten der  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Spitzenwertbegrenzung\|Systemwirkungsgrad]]  (bei Spitzenwertbegrenzung)  $\eta$  dargestellt, der das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR  $\rho_{d}$  zum maximal möglichen S/N-Verhältnis  $\rho_{d, \ {\rm max}}$  angibt.		Zusätzlich ist in der Grafik mit roten Quadraten der  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Spitzenwertbegrenzung\|Systemwirkungsgrad]]  (bei Spitzenwertbegrenzung)  $\eta$  dargestellt, der das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR  $\rho_{d}$  zum maximal möglichen S/N-Verhältnis  $\rho_{d, \ {\rm max}}$  angibt.

			[[Datei:Dig_T_3_3_S3b_version2.png\|right\|frame\|Optimale Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung. Insbesondere gilt: <br>$\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ dB;$   $\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 80 \ \rm dB) = -78.2 \ dB;$\|class=fit\|center]]
	Ersetzt man  $\rho_d$  durch  $\rho_{\rm U}$, also  $p_{\rm S}$  durch  $p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:		Ersetzt man  $\rho_d$  durch  $\rho_{\rm U}$, also  $p_{\rm S}$  durch  $p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:
	:$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}		:$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}

Guenter am 17. Juni 2022 um 12:43 Uhr

2022-06-17T12:43:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juni 2022, 14:43 Uhr
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	<br>		<br>
	Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.  Dieses Bild gilt für		Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.  Dieses Bild gilt für
	[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png\|right\|frame\|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal  $(a_\star = 15 \ \rm dB)$\|class=fit]]		[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png\|right\|frame\|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal  $(a_\star = 15 \ \rm dB).$<br>
			⇒   Die Kreise zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_d$   ⇒   &bdquo;mittleres” Detektions–SNR $($Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S})$.<br>
			⇒   Die Quadrate zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}$   ⇒   &bdquo;ungünstigstes” SNR  $($Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U})$.\|class=fit]]
	*einen  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| koaxialen Übertragungskanal]]  mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$,<br>		*einen  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| koaxialen Übertragungskanal]]  mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$,<br>

	*AWGN–Rauschen mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  zu setzen ist   ⇒   NRZ–Rechteckimpulse.<br><br>		*AWGN–Rauschen mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  zu setzen ist   ⇒   NRZ–Rechteckimpulse.<br><br>

			Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz\|entsprechenden Grafik]]  im letzten Kapitel,  die für  $H_{\rm K}(f) = 1$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  gegolten hat:
			*Auch bei stark verzerrendem Kanal ist  $\rho_{\rm U}$  eine geeignete untere Schranke für  $\rho_{d} \ge \rho_{\rm U}$. Entsprechend ist auch  $p_{\rm U} \ge p_{\rm S} $  eine sinnvolle obere Schranke für  $p_{\rm S}$.

	~~''Anmerkungen:''~~		*Bei der betrachteten Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$  ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T \approx 0.55$  optimal und es gilt  $\ddot{o}/s_0 \approx 1.327$  sowie  $\sigma_d/s_0 \approx 0.106$.  Daraus ergeben sich der <br>     ungünstigste Störabstand  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 \ dB$  und <br>     die Worst–Case–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2 \cdot 10^{-9}.$<br>
	*~~Die Kreise zeigen die dB–Werte für~~  $10 \~~cdot {~~\rm ~~lg}\hspace{0.1cm} \rho_d~~$   ~~⇒   &bdquo;mittleres” Detektions–SNR (Maß für~~ die ~~mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit~~  $p_{\~~rm S})~~$.
	*Die Quadrate zeigen die dB&~~ndash~~;~~Werte für~~  $10 \~~cdot~~ {~~\rm lg~~}\~~hspace{0~~.~~1cm} \rho_{\rm U}~~$   ~~⇒   &bdquo;ungünstigstes” SNR~~  $($~~Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit~~  ~~$p_{\rm U})$.~~
	<br ~~clear = all~~>
	~~Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der~~  ~~[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz\|entsprechenden Grafik]]~~  ~~im letzten Kapitel, die für  $H_{\rm K}(f) = 1$  und~~  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}~~/N_0 = 13~~ \ \rm dB$  ~~gegolten hat:~~
	*Auch bei stark verzerrendem Kanal ist  ~~$\rho_{\rm U}$~~  ~~eine geeignete untere Schranke für~~ &~~nbsp~~;~~$\rho_d$~~ &~~nbsp~~; ~~⇒   $\rho_{d} \ge \rho_{\rm U}$. Entsprechend ist auch~~  $p_{\rm U} \~~ge p_{~~\~~rm S} $  eine sinnvolle obere Schranke für  $p_~~{~~\rm S~~}$.

	*Bei der betrachteten Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$  ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T \approx 0.55$  optimal und es gilt  $\ddot{o}/s_0 \approx 1.327$  sowie  $\sigma_d/s_0 \approx 0.106$.		*Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch  $\sigma_d$  gleichermaßen verkleinert würde.  Für  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  gilt:
	*Daraus ergeben sich der (ungünstigste) Störabstand  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 \ dB$  und die Worst–Case–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2 \cdot 10^{-9}.$<br>

	*Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch  $\sigma_d$  gleichermaßen verkleinert würde. Für  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  gilt:
	:$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow		:$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx		\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx
Zeile 130:		Zeile 126:
	\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

	*Ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G}$  zu groß, so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt. Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T =0.8$:		*Ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G}$  zu groß,  so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt.  Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T =0.8$:
	:$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow		:$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx		\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx
Zeile 140:		Zeile 136:


	Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$  zugrunde liegt; in der  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz\|entsprechenden Grafik]]  für den idealen Kanal wurde dagegen von  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  ausgegangen.<br>		Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$  zugrunde liegt;  in der  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz\|entsprechenden Grafik]]  für den idealen Kanal wurde dagegen von  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  ausgegangen.<br>

	== Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung==		== Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung==

Guenter am 16. Juni 2022 um 15:05 Uhr

2022-06-16T15:05:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Juni 2022, 17:05 Uhr
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	== Optimierung der Grenzfrequenz==		== Optimierung der Grenzfrequenz==
	<br>		<br>
	Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$. Dieses Bild gilt für		Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.  Dieses Bild gilt für
			[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png\|right\|frame\|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal  $(a_\star = 15 \ \rm dB)$\|class=fit]]
	*einen  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| koaxialen Übertragungskanal]]  mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$,<br>		*einen  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| koaxialen Übertragungskanal]]  mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$,<br>

	*AWGN–Rauschen mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  zu setzen ist   ⇒   NRZ–Rechteckimpulse.<br><br>		*AWGN–Rauschen mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  zu setzen ist   ⇒   NRZ–Rechteckimpulse.<br><br>

	~~[[Datei:P ID1401 Dig T 3 3 S3a version1.png\|right\|frame\|Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal  $(a_\star = 15 \ \rm dB)$\|class=fit]]~~
	''Anmerkungen:''		''Anmerkungen:''
	*Die Kreise zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_d$   ⇒   &bdquo;mittleres” Detektions–SNR (Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S})$.		*Die Kreise zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_d$   ⇒   &bdquo;mittleres” Detektions–SNR (Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S})$.

Guenter am 16. Juni 2022 um 14:32 Uhr

2022-06-16T14:32:08Z

Änderungen zeigen

Guenter am 15. Juni 2022 um 17:00 Uhr

2022-06-15T17:00:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Juni 2022, 19:00 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ–Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$  mit der (normierten) Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$.		$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ–Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$  mit der (normierten) Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$.  Aufgrund dieses ungünstigen Empfangsfilters  $H_{\rm E}(f)$  kommt es bei allen hier dargestellten Varianten zu Impulsinterferenzen  $\rm (ISI)$.

	*Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  – also ohne Berücksichtigung des Rauschens.		*Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  – also ohne Berücksichtigung des Rauschens.

Guenter am 15. Juni 2022 um 15:23 Uhr

2022-06-15T15:23:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Juni 2022, 17:23 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	*Voraussetzung für eine endliche Störleistung  $\sigma_d^2$  ist, dass der Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  das Rauschen  $n(t)$  bei (sehr) hohen Frequenzen stärker abschwächt, als es vom idealen Entzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  angehoben wird.<br><br>		*Voraussetzung für eine endliche Störleistung  $\sigma_d^2$  ist, dass der Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  das Rauschen  $n(t)$  bei (sehr) hohen Frequenzen stärker abschwächt, als es vom idealen Entzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  angehoben wird.<br><br>

	<i>Anmerkung</i>:   Der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  ~~ist~~ nach Betrag und Phase ~~zu entzerren~~, allerdings nur in einem von  $H_{\rm G}(f)$  vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich. Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer (frequenzunabhängigen) Laufzeit möglich, die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.		<i>Anmerkung</i>:   Der Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  muss nach Betrag und Phase entzerrt werden,  allerdings nur in einem von  $H_{\rm G}(f)$  vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich.  Eine vollständige Phasenentzerrung ist aber nur auf Kosten einer  (frequenzunabhängigen)  Laufzeit möglich,  die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.

	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=

Guenter am 19. Februar 2019 um 17:17 Uhr

2019-02-19T17:17:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Februar 2019, 19:17 Uhr
Zeile 90:		Zeile 90:


	Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit  $a_\star = 15 \ \rm dB$   $($entsprechend  $1.7 \ \rm Np)$  deutlich kleiner gewählt ist als beim rechten Augendiagramm  [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer\| im $\text{Beispiel 1}$]]  auf der letzten Seite  $($gültig für  $a_\star = 40 \ \rm dB)$.		Beachten Sie, dass hier aus Darstellungsgründen die charakteristische Kabeldämpfung mit  $a_\star = 15 \ \rm dB$   $($entsprechend  $1.7 \ \rm Np)$  deutlich kleiner gewählt ist als beim rechten Augendiagramm im  [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung#Idealer_Kanalentzerrer\| $\text{Beispiel 1}$]]  auf der letzten Seite  $($gültig für  $a_\star = 40 \ \rm dB)$.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die (normierte) Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$, die nach den Berechnungen im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz\|letzten Kapitel]]  für den idealen Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) = 1$  das Optimum darstellt.		Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die (normierte) Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$, die nach den Berechnungen im  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Ber%C3%BCcksichtigung_von_Impulsinterferenzen#Optimierung_der_Grenzfrequenz\|letzten Kapitel]]  für den idealen Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) = 1$  das Optimum darstellt.

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:26 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	:$$H_{\rm K}(f) = 1 \ \ ⇒ \ \ 1/H_{\rm K}(f) = 1.$$		:$$H_{\rm K}(f) = 1 \ \ ⇒ \ \ 1/H_{\rm K}(f) = 1.$$
	Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen,  das aber hier mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$  als sehr klein angenommen wurde.  Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:		Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen,  das aber hier mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$  als sehr klein angenommen wurde.  Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:
	:$$10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}<10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}<10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$

	⇒   Das rechte Diagramm gilt für ein  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| Koaxialkabel]],  wobei die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  beträgt.  Hier sind die Ergebnisse bei gleichem  $E_{\rm B}/N_0$  deutlich ungünstiger:		⇒   Das rechte Diagramm gilt für ein  [[Digitalsignalübertragung/Ursachen_und_Auswirkungen_von_Impulsinterferenzen#Frequenzgang_eines_Koaxialkabels\| Koaxialkabel]],  wobei die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  beträgt.  Hier sind die Ergebnisse bei gleichem  $E_{\rm B}/N_0$  deutlich ungünstiger:
	:$$10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx0.28\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx0.28\hspace{0.05cm}.$$

	Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:		Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:
Zeile 53:		Zeile 53:

	*Eine akzeptable worst-case-Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte  $N_0$.  Beispielsweise erhält man mit mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$  $($statt $30 \ \rm dB)$  das folgende Ergebnis:		*Eine akzeptable worst-case-Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte  $N_0$.  Beispielsweise erhält man mit mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$  $($statt $30 \ \rm dB)$  das folgende Ergebnis:
	:$$10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4 \approx 0.5 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.$$}}<br>		:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4 \approx 0.5 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.$$}}<br>

	== Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung==		== Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung==
Zeile 166:		Zeile 166:

	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Digital_Signal_Transmission/Consideration_of_Channel_Distortion_and_Equalization]]