Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:26:41Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:26 Uhr
Zeile 131:		Zeile 131:

	Die obere Grafik zeigt die Fehlerabstandsverteilung (FAV) des GE–Modells (rote Kurve) in linearer und logarithmischer Darstellung für die Parameter		Die obere Grafik zeigt die Fehlerabstandsverteilung (FAV) des GE–Modells (rote Kurve) in linearer und logarithmischer Darstellung für die Parameter
	:$${\rm Pr}(\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) = 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Pr}(\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = 0.01 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm G} = 0.001, \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$		:$${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) = 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = 0.01 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm G} = 0.001, \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$

	Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende  $V_a(k)$–Verlauf für das BSC–Modell mit der gleichen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 4.5\%$  eingezeichnet.<br>		Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende  $V_a(k)$–Verlauf für das BSC–Modell mit der gleichen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 4.5\%$  eingezeichnet.<br>
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Digital_Signal_Transmission/Burst_Error_Channels]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:38Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:37 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	:$$p_{\rm G} = 0.01,$$		:$$p_{\rm G} = 0.01,$$
	:$$p_{\rm B} = 0.4,$$		:$$p_{\rm B} = 0.4,$$
	:$${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B) =		:$${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} B) =0.1, $$
	0.1, $$		:$$ {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
	:$$ {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}
	G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
	Das zugrundeliegende Modell ist am Beispielende mit den hier angegebenen Parametern dargestellt.		Das zugrundeliegende Modell ist am Beispielende mit den hier angegebenen Parametern dargestellt.

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	Die obere Grafik zeigt die Fehlerabstandsverteilung (FAV) des GE–Modells (rote Kurve) in linearer und logarithmischer Darstellung für die Parameter		Die obere Grafik zeigt die Fehlerabstandsverteilung (FAV) des GE–Modells (rote Kurve) in linearer und logarithmischer Darstellung für die Parameter
	:$${\rm Pr}(\rm		:$${\rm Pr}(\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) = 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Pr}(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = 0.01 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm G} = 0.001, \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) = 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Pr}(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = 0.01 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm G} = 0.001, \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$

	Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende  $V_a(k)$–Verlauf für das BSC–Modell mit der gleichen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 4.5\%$  eingezeichnet.<br>		Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende  $V_a(k)$–Verlauf für das BSC–Modell mit der gleichen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 4.5\%$  eingezeichnet.<br>
Zeile 159:		Zeile 155:

	Beim GE–Modell muss  $\varphi_{e}(k)$  stets nach dieser Gleichung berechnet werden. Der nur für &bdquo;erneuernde Modelle” gültige iterative Berechnungsalgorithmus		Beim GE–Modell muss  $\varphi_{e}(k)$  stets nach dieser Gleichung berechnet werden. Der nur für &bdquo;erneuernde Modelle” gültige iterative Berechnungsalgorithmus
	:$$\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot		:$$\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot\varphi_{e}(k - \kappa) $$
	\varphi_{e}(k - \kappa) $$

	kann hier nicht angewendet werden, da das GE–Modell nicht erneuernd ist   ⇒   Die Fehlerabstände sind hier nicht statistisch voneinander unabhängig.		kann hier nicht angewendet werden, da das GE–Modell nicht erneuernd ist   ⇒   Die Fehlerabstände sind hier nicht statistisch voneinander unabhängig.

Guenter am 13. Oktober 2022 um 10:00 Uhr

2022-10-13T10:00:41Z

Guenter am 7. September 2022 um 17:12 Uhr

2022-09-07T17:12:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. September 2022, 19:12 Uhr
Zeile 135:		Zeile 135:
	:$${\rm Pr}(\rm		:$${\rm Pr}(\rm
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) = 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Pr}(\rm		G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) = 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Pr}(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = 0.~~001~~ \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$		B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = 0.01 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm G} = 0.001, \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$

	Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende  $V_a(k)$–Verlauf für das BSC–Modell mit der gleichen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 4.5\%$  eingezeichnet.<br>		Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende  $V_a(k)$–Verlauf für das BSC–Modell mit der gleichen mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = 4.5\%$  eingezeichnet.<br>

Guenter am 26. März 2019 um 13:04 Uhr

2019-03-26T13:04:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2019, 15:04 Uhr
Zeile 531:		Zeile 531:
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 9:}$		$\text{Beispiel 9:}$
	Wie im  [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell\| $\text{Beispiel 7}$]]  gelte  $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für		Wie im  [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell\| $\text{Beispiel 8}$]]  gelte  $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für
	*Grün:    $\alpha = 0.7$   ⇒   starke Bündelung.		*Grün:    $\alpha = 0.7$   ⇒   starke Bündelung.
	*Blau:     $\alpha = 0.95$  ⇒   schwache Bündelung,<br>		*Blau:     $\alpha = 0.95$  ⇒   schwache Bündelung,<br>

Guenter am 26. März 2019 um 12:52 Uhr

2019-03-26T12:52:14Z

Änderungen zeigen

Guenter am 26. März 2019 um 12:28 Uhr

2019-03-26T12:28:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2019, 14:28 Uhr
Zeile 502:		Zeile 502:
	== Fehlerkorrelationsfunktion des Wilhelm–A–Modells ==		== Fehlerkorrelationsfunktion des Wilhelm–A–Modells ==
	<br>		<br>
	Eine weitere Beschreibungsform der digitalen Kanalmodelle ist neben der Fehlerabstandsverteilung $V_a(k)$ die [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerkorrelationsfunktion\|Fehlerkorrelationsfunktion]] $\varphi_{e}(k)$ – abgekürzt FKF. ~~Geht man~~ von der binären Fehlerfolge $\langle e_\nu \rangle$ mit $e_\nu \in \{0, 1\}$ aus, wobei hinsichtlich des $\nu$–ten Bits		Eine weitere Beschreibungsform der digitalen Kanalmodelle ist neben der Fehlerabstandsverteilung  $V_a(k)$  die  [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerkorrelationsfunktion\|Fehlerkorrelationsfunktion]]  $\varphi_{e}(k)$  – abgekürzt FKF. Wir gehen von der binären Fehlerfolge  $\langle e_\nu \rangle$  mit  $e_\nu \in \{0, 1\}$  aus, wobei hinsichtlich des $\nu$–ten Bits
	*$e_\nu = 0$ eine richtige Übertragung bezeichnet, und		*$e_\nu = 0$  eine richtige Übertragung bezeichnet, und
	*$e_\nu = 1$ einen Symbolfehler (Bitfehler)~~, so gilt folgende~~ Definition:		*$e_\nu = 1$  einen Symbolfehler (Bitfehler).


			{{BlaueBox\|TEXT=
			$\text{Definition:}$
			Die  '''Fehlerkorrelationsfunktion'''  $\varphi_{e}(k)$  gibt die (zeitdiskrete)  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen\|Autokorrelationsfunktion]]  der ebenfalls zeitdiskreten Zufallsgröße  $e$  an.

	::<math>\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] =		::<math>\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] =
	\overline{e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}}\hspace{0.05cm}.</math>		\overline{e_{\nu} \cdot e_{\nu + k} }\hspace{0.05cm}.</math>

			Die überstreichende Linie in der rechten Gleichung kennzeichnet die Zeitmittelung.}}

	$\varphi_{e}(k)$ gibt die (zeitdiskrete) [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)#Autokorrelationsfunktion_bei_ergodischen_Prozessen\|Autokorrelationsfunktion]] der ebenfalls zeitdiskreten Zufallsgröße $e$ an. Die überstreichende Linie in der rechten Gleichung kennzeichnet die Zeitmittelung.<br>

	Der Fehlerkorrelationswert $\varphi_{e}(k)$ liefert statistische Aussagen bezüglich zwei um $k$ auseinander liegender Folgenelemente, zum Beispiel über $e_{\nu}$ und $e_{\nu +k}$. Die dazwischen liegenden Elemente $e_{\nu +1}$, ... , $e_{\nu +k-1}$ beeinflussen dagegen den $\varphi_{e}(k)$–Wert nicht.<br>		Der Fehlerkorrelationswert  $\varphi_{e}(k)$  liefert statistische Aussagen bezüglich zwei um  $k$  auseinander liegender Folgenelemente, zum Beispiel über  $e_{\nu}$  und  $e_{\nu +k}$. Die dazwischen liegenden Elemente  $e_{\nu +1}$, ... , $e_{\nu +k-1}$  beeinflussen dagegen den  $\varphi_{e}(k)$–Wert nicht.<br>

	{{BlaueBox\|TEXT=		{{BlaueBox\|TEXT=
Zeile 518:		Zeile 524:
	:<math>\varphi_e\hspace{0.05cm}(k) = p_{\rm S} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \left [ 1 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac{\alpha}{1\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac{\alpha \cdot (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \alpha)}{2\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^2 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac {\alpha \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (k\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) }{k\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^k \right ] </math>		:<math>\varphi_e\hspace{0.05cm}(k) = p_{\rm S} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \left [ 1 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac{\alpha}{1\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac{\alpha \cdot (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \alpha)}{2\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^2 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac {\alpha \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (k\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) }{k\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^k \right ] </math>

	Zur Abkürzung ist ~~hierbei~~ $C = (1-p_{\rm S})^{1/\alpha}$ verwendet. Auf die Herleitung wird hier verzichtet.}}<br>		Zur Abkürzung ist  $C = (1-p_{\rm S})^{1/\alpha}$  verwendet. Auf die Herleitung wird hier verzichtet.}}<br>

	Nachfolgend werden die Eigenschaften der Fehlerkorrelationsfunktion an einem Beispiel aufgezeigt.<br>		Nachfolgend werden die Eigenschaften der Fehlerkorrelationsfunktion an einem Beispiel aufgezeigt.<br>
Zeile 524:		Zeile 530:
	[[Datei:P ID2834 Dig T 5 3 S5korr version2.png\|right\|frame\|\|Fehlerkorrelationsfunktionen des Wilhelm–Modells]]		[[Datei:P ID2834 Dig T 5 3 S5korr version2.png\|right\|frame\|\|Fehlerkorrelationsfunktionen des Wilhelm–Modells]]
	{{GraueBox\|TEXT=		{{GraueBox\|TEXT=
	$\text{Beispiel 9:}$		$\text{Beispiel 9:}$
	Wie im [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell\| Beispiel 7]] gelte $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für		Wie im  [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell\| $\text{Beispiel 7}$]]  gelte  $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für
	*Grün:  $\alpha = 0.7$   ⇒   starke Bündelung.~~<br>~~		*Grün:    $\alpha = 0.7$   ⇒   starke Bündelung.
	*Blau:  $\alpha = 0.95$  ⇒   schwache Bündelung,<br>		*Blau:     $\alpha = 0.95$  ⇒   schwache Bündelung,<br>
	*Rot:   $\alpha = 1$   ⇒   BSC–Modell,<br>		*Rot:       $\alpha = 1$   ⇒   BSC–Modell,<br>


	Die folgenden Aussagen lassen sich weitgehend verallgemeinern, siehe auch [[Digitalsignalübertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_Modell_und_Fehlerkorrelationsfunktion\| GE–Modell]]:		Die folgenden Aussagen lassen sich weitgehend verallgemeinern, siehe auch  [[Digitalsignalübertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_Modell_und_Fehlerkorrelationsfunktion\| GE–Modell]]:
	*Der FKF-Wert an der Stelle $k = 0$ ist bei allen Kanälen gleich $p_{\rm S} = 10^{-2}$ (markiert durch den Kreis mit grauer Füllung) und der Grenzwert für $k \to \infty$ liegt stets bei $p_{\rm S}^2 = 10^{-4}$.<br>		*Der FKF-Wert an der Stelle  $k = 0$  ist bei allen Kanälen gleich  $p_{\rm S} = 10^{-2}$  (markiert durch den Kreis mit grauer Füllung) und der Grenzwert für  $k \to \infty$  liegt stets bei  $p_{\rm S}^2 = 10^{-4}$.<br>

	*Dieser Endwert wird beim BSC–Modell bereits bei $k = 1$ erreicht (rot gefüllte Markierung). Hier kann die FKF also nur die beiden Werte $p_{\rm S}$ und $p_{\rm S}^2$ annehmen.<br>		*Dieser Endwert wird beim BSC–Modell bereits bei  $k = 1$  erreicht (rot gefüllte Markierung). Hier kann die FKF also nur die beiden Werte  $p_{\rm S}$  und  $p_{\rm S}^2$  annehmen.<br>

	*Auch für für $\alpha ~~\ne~~ 1$ (blaue und grüne Kurve) erkennt man einen Knick bei $k = 1$. Danach verläuft die FKF monoton fallend. Der Abfall ist umso langsamer, je kleiner $\alpha$ ist, also je gebündelter die Fehler auftreten.}}<br>		*Auch für für  $\alpha < 1$  (blaue und grüne Kurve) erkennt man einen Knick bei  $k = 1$. Danach verläuft die FKF monoton fallend. Der Abfall ist umso langsamer, je kleiner  $\alpha$  ist, also je gebündelter die Fehler auftreten.}}<br>

	== Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–A–Modell==		== Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–A–Modell==

Guenter am 26. März 2019 um 11:11 Uhr

2019-03-26T11:11:34Z

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Guenter am 26. März 2019 um 10:38 Uhr

2019-03-26T10:38:18Z

Änderungen zeigen

Guenter am 26. März 2019 um 09:20 Uhr

2019-03-26T09:20:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2019, 11:20 Uhr
Zeile 278:		Zeile 278:
	== Bündelfehlerkanalmodell nach Wilhelm ==		== Bündelfehlerkanalmodell nach Wilhelm ==
	<br>		<br>
	Dieses Modell geht auf [[Biografien_und_Bibliografien/Externe_Beteiligte_am_LNTwww#Dr._sc._techn._Claus_Wilhelm\|Claus Wilhelm]] zurück und wurde ab Mitte der 1960er Jahre aus empirischen Messungen zeitlicher Folgen von Bitfehlern entwickelt. Es beruht auf Tausenden von Messstunden in Übertragungskanälen ab 200 bit/s mit analogem Modem bis hin zu 2.048 Mbit/s über [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN\|ISDN]]. Ebenso wurden Seefunkkanäle bis zu 7500 Kilometern im Kurzwellenbereich vermessen.<br>		Dieses Modell geht auf  [[Biografien_und_Bibliografien/Externe_Beteiligte_am_LNTwww#Dr._sc._techn._Claus_Wilhelm\|Claus Wilhelm]]  zurück und wurde ab Mitte der 1960er Jahre aus empirischen Messungen zeitlicher Folgen von Bitfehlern entwickelt. Es beruht auf Tausenden von Messstunden in Übertragungskanälen ab  $\text{200 bit/s}$  mit analogem Modem bis hin zu  $\text{2.048 Mbit/s}$  über  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN\|ISDN]]. Ebenso wurden Seefunkkanäle bis zu  $7500$  Kilometern im Kurzwellenbereich vermessen.<br>

	[[Datei:P ID2778 Dig T 5 3 S5.png\|right\|frame\|Beispielhafte Funktionsverläufe $p_{\rm B}(n)$]]		[[Datei:P ID2778 Dig T 5 3 S5.png\|right\|frame\|Beispielhafte Funktionsverläufe  $p_{\rm B}(n)$]]
	Aufgezeichnet wurden Blöcke der Länge $n$. Daraus wurde die jeweilige Blockfehlerrate $h_{\rm B}(n)$ ermittelt. Ein Blockfehler liegt bereits dann vor, wenn auch nur eines der $n$ Symbole verfälscht wurde. Wohl wissend, dass die Blockfehlerrate $h_{\rm B}(n)$ nur für $n \to \infty$ exakt mit der Blockfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ übereinstimmt, setzen wir bei der folgenden Beschreibung $p_{\rm B}(n) \approx h_{\rm B}(n)$.<br>		Aufgezeichnet wurden Blöcke der Länge  $n$. Daraus wurde die jeweilige Blockfehlerrate  $h_{\rm B}(n)$  ermittelt.
			* Ein Blockfehler liegt bereits dann vor, wenn auch nur eines der  $n$  Symbole verfälscht wurde.
			*Wohl wissend, dass die Blockfehlerrate  $h_{\rm B}(n)$  nur für  $n \to \infty$  exakt mit der Blockfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  übereinstimmt, setzen wir bei der folgenden Beschreibung  $p_{\rm B}(n) \approx h_{\rm B}(n)$.<br>

	Bei einer Vielzahl von Messungen wurde immer wieder die Tatsache bestätigt, dass der Verlauf $p_{\rm B}(n)$ in doppelt–logarithmischer Darstellung im unteren Bereich lineare Anstiege aufweisen (siehe Grafik). Es gilt also für $n \le n^\star$:
			Bei einer Vielzahl von Messungen wurde immer wieder die Tatsache bestätigt, dass der Verlauf  $p_{\rm B}(n)$  in doppelt–logarithmischer Darstellung im unteren Bereich lineare Anstiege aufweisen (siehe Grafik). Es gilt also für  $n \le n^\star$:

	::<math>{\rm lg} \hspace{0.15cm}p_{\rm B}(n) = {\rm lg} \hspace{0.15cm}p_{\rm S} + \alpha \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}n\hspace{0.3cm}		::<math>{\rm lg} \hspace{0.15cm}p_{\rm B}(n) = {\rm lg} \hspace{0.15cm}p_{\rm S} + \alpha \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}n\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot n^{\alpha}\hspace{0.05cm}.</math>		\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot n^{\alpha}\hspace{0.05cm}.</math>

	Hierbei bezeichnet $p_{\rm S} = p_{\rm B}(n=1)$ die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und die empirisch gefundenen Werte von $\alpha$ liegen zwischen $0.5$ und $0.95$. Für $1-\alpha$ wird auch die Bezeichnung <i>Bündelungsfaktor</i>  verwendet.		Hierbei bezeichnet  $p_{\rm S} = p_{\rm B}(n=1)$  die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und die empirisch gefundenen Werte von  $\alpha$  liegen zwischen  $0.5$  und  $0.95$. Für  $1-\alpha$  wird auch die Bezeichnung <i>Bündelungsfaktor</i>  verwendet.

			Beachten Sie bitte, dass  $p_{\rm B}(n)$  die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angibt. In anderem Zusammenhang bezeichnet in unserem Lerntutorial  $p_{\rm B}$  manchmal auch die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
	<br clear = all>		<br clear = all>

← Nächstältere Version		Version vom 13. Oktober 2022, 12:00 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	== Kanalmodell nach Gilbert–Elliott==		== Kanalmodell nach Gilbert–Elliott==
	<br>		<br>
	Dieses auf  [https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_Gilbert E. N. Gilbert]  [Gil60]<ref name='Gil60'>Gilbert, E. N.: ''Capacity of Burst–Noise Channel.'' In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266.</ref>  und  E. O. Elliott  [Ell63]<ref name='Ell63'>Elliott, E.O.: ''Estimates of Error Rates for Codes on Burst–Noise Channels.'' In: Bell Syst. Techn. J., Vol. 42, (1963), pp. 1977 – 1997.</ref>  zurückgehende Kanalmodell eignet sich zur Beschreibung und Simulation von digitalen ''Übertragungssystemen mit Bündelfehlercharakteristik''.		Dieses auf  [https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_Gilbert E. N. Gilbert]  [Gil60]<ref name='Gil60'>Gilbert, E. N.:  Capacity of Burst–Noise Channel.  In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266.</ref>  und  E. O. Elliott  [Ell63]<ref name='Ell63'>Elliott, E.O.:  Estimates of Error Rates for Codes on Burst–Noise Channels.  In: Bell Syst. Techn. J., Vol. 42, (1963), pp. 1977 – 1997.</ref>  zurückgehende Kanalmodell eignet sich zur Beschreibung und Simulation von digitalen ''Übertragungssystemen mit Bündelfehlercharakteristik''.

	[[Datei:P ID1835 Dig T 5 3 S1 version1.png\|center\|frame\|Gilbert–Elliott–Kanalmodell mit zwei Zuständen\|class=fit]]		[[Datei:P ID1835 Dig T 5 3 S1 version1.png\|center\|frame\|Gilbert–Elliott–Kanalmodell mit zwei Zuständen\|class=fit]]
Zeile 83:		Zeile 83:
	<br>		<br>
	[[Datei:P ID1838 Dig T 5 3 S2 version1.png\|right\|frame\|Fehlerabstandsverteilung von GE– und BSC–Modell\|class=fit]]		[[Datei:P ID1838 Dig T 5 3 S2 version1.png\|right\|frame\|Fehlerabstandsverteilung von GE– und BSC–Modell\|class=fit]]
	In  [Hub82]<ref name = 'Hub82'>Huber, J.: ~~<i>~~Codierung für gedächtnisbehaftete Kanäle.~~</i>~~ Dissertation – Universität der Bundeswehr München, 1982.</ref>  finden sich die analytischen Berechnungen		In  [Hub82]<ref name = 'Hub82'>Huber, J.:  Codierung für gedächtnisbehaftete Kanäle.  Dissertation – Universität der Bundeswehr München, 1982.</ref>  finden sich die analytischen Berechnungen

	*der Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstandes  $k$:		*der Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstandes  $k$:
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	Der wesentliche Nachteil des GE–Modells ist, dass damit eine Fehlerabstandssimulation nicht möglich ist. Wie in der  [[Aufgaben:Aufgabe_5.5:_Fehlerfolge_und_Fehlerabstandsfolge\|Aufgabe 5.5]]  herausgearbeitet wird, hat diese gegenüber der symbolweisen Generierung der Fehlerfolge  $\langle e_\nu \rangle$  große Vorteile hinsichtlich Rechengeschwindigkeit und Speicherbedarf.<br>		Der wesentliche Nachteil des GE–Modells ist, dass damit eine Fehlerabstandssimulation nicht möglich ist. Wie in der  [[Aufgaben:Aufgabe_5.5:_Fehlerfolge_und_Fehlerabstandsfolge\|Aufgabe 5.5]]  herausgearbeitet wird, hat diese gegenüber der symbolweisen Generierung der Fehlerfolge  $\langle e_\nu \rangle$  große Vorteile hinsichtlich Rechengeschwindigkeit und Speicherbedarf.<br>

	McCullough  [McC68]<ref name ='McC68'>McCullough, R.H.: ''The Binary Regenerative Channel.'' In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968.</ref>  hat das drei Jahre zuvor von Gilbert und Elliott entwickelte Modell dahingehend modifiziert, dass eine Fehlerabstandssimulation in den beiden Zustände &bdquo;GOOD” und &bdquo;BAD” jeweils für sich anwendbar ist. Die Grafik zeigt unten das Modell von McCullough, im Folgenden als  '''MC–Modell'''  bezeichnet, während oben das GE–Modell nach Umbenennung der Übergangswahrscheinlichkeiten   ⇒   ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,  ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,  usw. dargestellt ist.<br>		McCullough  [McC68]<ref name ='McC68'>McCullough, R.H.:  The Binary Regenerative Channel.  In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968.</ref>  hat das drei Jahre zuvor von Gilbert und Elliott entwickelte Modell dahingehend modifiziert, dass eine Fehlerabstandssimulation in den beiden Zustände &bdquo;GOOD” und &bdquo;BAD” jeweils für sich anwendbar ist. Die Grafik zeigt unten das Modell von McCullough, im Folgenden als  '''MC–Modell'''  bezeichnet, während oben das GE–Modell nach Umbenennung der Übergangswahrscheinlichkeiten   ⇒   ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,  ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,  usw. dargestellt ist.<br>

	[[Datei:P ID1840 Dig T 5 3 S4a version1.png\|center\|frame\|Kanalmodelle nach Gilbert–Elliott (oben) und McCullough (unten)\|class=fit]]		[[Datei:P ID1840 Dig T 5 3 S4a version1.png\|center\|frame\|Kanalmodelle nach Gilbert–Elliott (oben) und McCullough (unten)\|class=fit]]
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	V_a\hspace{0.05cm}(k) = \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \big ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}\hspace{0.05cm}.</math>		V_a\hspace{0.05cm}(k) = \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \big ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}\hspace{0.05cm}.</math>

	Wilhelm bezeichnet diese Darstellung als  '''L–Modell''', siehe  [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>. Die Konstante  $\beta$  ist in Abhängigkeit		Wilhelm bezeichnet diese Darstellung als  '''L–Modell''', siehe  [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.:  A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen.  [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>. Die Konstante  $\beta$  ist in Abhängigkeit
	*der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$, und<br>		*der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$, und<br>
	*des empirisch gefundenen Exponenten  $\alpha$   ⇒   Bündelungsfaktor  $1- \alpha$		*des empirisch gefundenen Exponenten  $\alpha$   ⇒   Bündelungsfaktor  $1- \alpha$
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	\hspace{0.05cm}.</math>		\hspace{0.05cm}.</math>

	In  [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref> wird näherungsweise  $V_a\hspace{0.05cm}(z) = 1/{\left (1- {\rm e}^{- \beta }\cdot z \right )^\alpha}		In  [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.:  A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen.  [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref> wird näherungsweise  $V_a\hspace{0.05cm}(z) = 1/{\left (1- {\rm e}^{- \beta }\cdot z \right )^\alpha}
	$  hergeleitet. Aus der Gleichung für den mittleren Fehlerabstand folgt:		$  hergeleitet. Aus der Gleichung für den mittleren Fehlerabstand folgt:

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	== Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–A–Modell==		== Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–A–Modell==
	<br>		<br>
	Wilhelm hat sein Kanalmodell hauptsächlich deshalb entwickelt, um aus gemessenen Fehlerfolgen Rückschlüsse über die dabei auftretenden Fehler machen zu können. Aus der Vielzahl der Analysen in  [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>  sollen hier nur einige wenige angeführt werden, wobei stets die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} = 10^{-3}$  zugrunde liegt.		Wilhelm hat sein Kanalmodell hauptsächlich deshalb entwickelt, um aus gemessenen Fehlerfolgen Rückschlüsse über die dabei auftretenden Fehler machen zu können. Aus der Vielzahl der Analysen in  [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.:  A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen.  [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>  sollen hier nur einige wenige angeführt werden, wobei stets die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} = 10^{-3}$  zugrunde liegt.
	*In den Grafiken gilt jeweils die rote Kurve für statistisch unabhängige Fehler $($BSC bzw.  $\alpha = 1)$,		*In den Grafiken gilt jeweils die rote Kurve für statistisch unabhängige Fehler $($BSC bzw.  $\alpha = 1)$,
	*die grüne Kurve für einen Bündelfehlerkanal mit  $\alpha = 0.7$. Zudem soll folgende Vereinbarung gelten:<br>		*die grüne Kurve für einen Bündelfehlerkanal mit  $\alpha = 0.7$. Zudem soll folgende Vereinbarung gelten:<br>