Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Oktober 2022 um 10:00 Uhr

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Guenter am 7. September 2022 um 17:12 Uhr

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Guenter am 26. März 2019 um 13:04 Uhr

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Guenter am 25. März 2019 um 16:57 Uhr

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Guenter am 25. März 2019 um 16:19 Uhr

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 == Kanalmodell nach Gilbert–Elliott==
 <br>
-Dieses auf&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_Gilbert E.&nbsp;N. Gilbert] &nbsp;[Gil60]<ref name='Gil60'>Gilbert, E. N.: ''Capacity of Burst–Noise Channel.'' In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266.</ref>&nbsp; und &nbsp;E.&nbsp;O. Elliott&nbsp; [Ell63]<ref  name='Ell63'>Elliott, E.O.: ''Estimates of Error Rates for Codes on Burst–Noise Channels.'' In: Bell Syst. Techn. J., Vol. 42, (1963), pp. 1977 – 1997.</ref>&nbsp; zurückgehende Kanalmodell eignet sich zur Beschreibung und Simulation von digitalen ''Übertragungssystemen mit Bündelfehlercharakteristik''.
+Dieses auf&nbsp; [https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_Gilbert E.&nbsp;N. Gilbert] &nbsp;[Gil60]<ref name='Gil60'>Gilbert, E. N.:&nbsp; Capacity of Burst–Noise Channel.&nbsp; In: Bell Syst. Techn. J. Vol. 39, 1960, pp. 1253–1266.</ref>&nbsp; und &nbsp;E.&nbsp;O. Elliott&nbsp; [Ell63]<ref  name='Ell63'>Elliott, E.O.:&nbsp; Estimates of Error Rates for Codes on Burst–Noise Channels.&nbsp; In: Bell Syst. Techn. J., Vol. 42, (1963), pp. 1977 – 1997.</ref>&nbsp; zurückgehende Kanalmodell eignet sich zur Beschreibung und Simulation von digitalen ''Übertragungssystemen mit Bündelfehlercharakteristik''.
 [[Datei:P ID1835 Dig T 5 3 S1 version1.png|center|frame|Gilbert–Elliott–Kanalmodell mit zwei Zuständen|class=fit]]
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 <br>
 [[Datei:P ID1838 Dig T 5 3 S2 version1.png|right|frame|Fehlerabstandsverteilung von GE– und BSC–Modell|class=fit]]
-In&nbsp; [Hub82]<ref name = 'Hub82'>Huber, J.: <i>Codierung für gedächtnisbehaftete Kanäle.</i> Dissertation – Universität der Bundeswehr München, 1982.</ref>&nbsp; finden sich die analytischen Berechnungen
+In&nbsp; [Hub82]<ref name = 'Hub82'>Huber, J.:&nbsp; Codierung für gedächtnisbehaftete Kanäle.&nbsp; Dissertation – Universität der Bundeswehr München, 1982.</ref>&nbsp; finden sich die analytischen Berechnungen
 *der Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstandes&nbsp; $k$:
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 Der wesentliche Nachteil des GE&ndash;Modells ist, dass damit eine Fehlerabstandssimulation nicht möglich ist. Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.5:_Fehlerfolge_und_Fehlerabstandsfolge|Aufgabe 5.5]]&nbsp; herausgearbeitet wird, hat diese gegenüber der symbolweisen Generierung der Fehlerfolge&nbsp; $\langle e_\nu \rangle$&nbsp; große Vorteile hinsichtlich Rechengeschwindigkeit und Speicherbedarf.<br>
-McCullough &nbsp;[McC68]<ref name ='McC68'>McCullough, R.H.: ''The Binary Regenerative Channel.'' In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968.</ref>&nbsp; hat das drei Jahre zuvor von Gilbert und Elliott entwickelte Modell dahingehend modifiziert, dass eine Fehlerabstandssimulation in den beiden Zustände &bdquo;GOOD&rdquo; und &bdquo;BAD&rdquo; jeweils für sich anwendbar ist. Die Grafik zeigt unten das Modell von McCullough, im Folgenden als &nbsp;'''MC&ndash;Modell'''&nbsp; bezeichnet, während oben das GE&ndash;Modell nach Umbenennung der Übergangswahrscheinlichkeiten &nbsp; &rArr; &nbsp;   ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,&nbsp; ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,&nbsp; usw. dargestellt ist.<br>
+McCullough &nbsp;[McC68]<ref name ='McC68'>McCullough, R.H.:&nbsp; The Binary Regenerative Channel.&nbsp; In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968.</ref>&nbsp; hat das drei Jahre zuvor von Gilbert und Elliott entwickelte Modell dahingehend modifiziert, dass eine Fehlerabstandssimulation in den beiden Zustände &bdquo;GOOD&rdquo; und &bdquo;BAD&rdquo; jeweils für sich anwendbar ist. Die Grafik zeigt unten das Modell von McCullough, im Folgenden als &nbsp;'''MC&ndash;Modell'''&nbsp; bezeichnet, während oben das GE&ndash;Modell nach Umbenennung der Übergangswahrscheinlichkeiten &nbsp; &rArr; &nbsp;   ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,&nbsp; ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,&nbsp; usw. dargestellt ist.<br>
 [[Datei:P ID1840 Dig T 5 3 S4a version1.png|center|frame|Kanalmodelle nach Gilbert–Elliott (oben) und McCullough (unten)|class=fit]]
@@ Zeile 368: / Zeile 368: @@
 V_a\hspace{0.05cm}(k) =  \big [k^{\alpha}-(k-1)^{\alpha} \big ] \cdot {\rm e}^{- \beta \cdot (k-1)}\hspace{0.05cm}.</math>
-Wilhelm bezeichnet diese Darstellung als&nbsp; '''L&ndash;Modell''', siehe&nbsp; [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>. Die Konstante&nbsp; $\beta$&nbsp; ist  in Abhängigkeit
+Wilhelm bezeichnet diese Darstellung als&nbsp; '''L&ndash;Modell''', siehe&nbsp; [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.:&nbsp; A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen.&nbsp; [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>. Die Konstante&nbsp; $\beta$&nbsp; ist  in Abhängigkeit
 *der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S}$, und<br>
 *des empirisch gefundenen Exponenten&nbsp; $\alpha$ &nbsp; &#8658; &nbsp; Bündelungsfaktor&nbsp; $1- \alpha$
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 \hspace{0.05cm}.</math>
-In&nbsp; [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref> wird näherungsweise&nbsp; $V_a\hspace{0.05cm}(z) = 1/{\left (1- {\rm e}^{- \beta }\cdot z \right )^\alpha}
+In&nbsp; [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.:&nbsp; A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen.&nbsp; [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref> wird näherungsweise&nbsp; $V_a\hspace{0.05cm}(z) = 1/{\left (1- {\rm e}^{- \beta }\cdot z \right )^\alpha}
 $&nbsp; hergeleitet. Aus der Gleichung für den mittleren Fehlerabstand folgt:
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 == Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–A–Modell==
 <br>
-Wilhelm hat sein Kanalmodell hauptsächlich deshalb entwickelt, um aus gemessenen Fehlerfolgen Rückschlüsse über die dabei auftretenden Fehler machen zu können. Aus der Vielzahl der Analysen in&nbsp; [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>&nbsp; sollen hier nur einige wenige angeführt werden, wobei stets die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S} = 10^{-3}$&nbsp; zugrunde liegt.
+Wilhelm hat sein Kanalmodell hauptsächlich deshalb entwickelt, um aus gemessenen Fehlerfolgen Rückschlüsse über die dabei auftretenden Fehler machen zu können. Aus der Vielzahl der Analysen in&nbsp; [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.:&nbsp; A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen.&nbsp; [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>&nbsp; sollen hier nur einige wenige angeführt werden, wobei stets die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S} = 10^{-3}$&nbsp; zugrunde liegt.
 *In den Grafiken gilt jeweils die rote Kurve für statistisch unabhängige Fehler $($BSC bzw.&nbsp; $\alpha = 1)$,
 *die grüne Kurve für einen Bündelfehlerkanal mit&nbsp; $\alpha = 0.7$. Zudem soll folgende Vereinbarung gelten:<br>

@@ Zeile 135: / Zeile 135: @@
 :$${\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) = 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Pr}(\rm
-B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) = 0.001 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$
+B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) = 0.01 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm G} = 0.001, \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$
 Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende&nbsp; $V_a(k)$&ndash;Verlauf für das BSC&ndash;Modell mit der gleichen mittleren  Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M} = 4.5\%$&nbsp; eingezeichnet.<br>

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 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 9:}$&nbsp;
-Wie im&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell| $\text{Beispiel 7}$]]&nbsp; gelte&nbsp; $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für
+Wie im&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell| $\text{Beispiel 8}$]]&nbsp; gelte&nbsp; $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für
 *Grün:&nbsp;&nbsp;&nbsp;  $\alpha = 0.7$ &nbsp; &#8658; &nbsp; starke Bündelung.
 *Blau:&nbsp;&nbsp; &nbsp; $\alpha = 0.95$ &nbsp;&#8658; &nbsp;  schwache Bündelung,<br>

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 == Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–A–Modell==
 <br>
-Wilhelm hat sein Kanalmodell hauptsächlich deshalb entwickelt, um aus gemessenen Fehlerfolgen Rückschlüsse über die dabei auftretenden Fehler machen zu können. Aus der Vielzahl der Analysen in [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref> sollen hier nur einige wenige angeführt werden, wobei stets die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 10^{-3}$ zugrunde liegt.
+Wilhelm hat sein Kanalmodell hauptsächlich deshalb entwickelt, um aus gemessenen Fehlerfolgen Rückschlüsse über die dabei auftretenden Fehler machen zu können. Aus der Vielzahl der Analysen in&nbsp; [Wil11]<ref name='Wil11'>Wilhelm, C.: ''A-Model and L-Model, New Channel Models with Formulas for Probabilities of Error Structures. Neue Kanalmodelle mit Formeln für die Wahrscheinlichkeit von Fehlerstrukturen''. [http://www.channels-networks.net/ Internet-Veröffentlichungen zu Channels-Networks,] 2011ff.</ref>&nbsp; sollen hier nur einige wenige angeführt werden, wobei stets die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S} = 10^{-3}$&nbsp; zugrunde liegt.
-*In den Grafiken gilt jeweils die rote Kurve für statistisch unabhängige Fehler (BSC bzw. $\alpha = 1$),
+*In den Grafiken gilt jeweils die rote Kurve für statistisch unabhängige Fehler $($BSC bzw.&nbsp; $\alpha = 1)$,
-*die grüne Kurve für einen Bündelfehlerkanal mit $\alpha = 0.7$. Zudem soll folgende Vereinbarung gelten:<br>
+*die grüne Kurve für einen Bündelfehlerkanal mit&nbsp; $\alpha = 0.7$. Zudem soll folgende Vereinbarung gelten:<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp;   Ein '''Fehlerburst''' (oder kurz <i>Burst</i>) beginnt stets mit einem Symbolfehler und endet, wenn $k_{\rm Burst}- 1$ fehlerfreie Symbole aufeinanderfolgen.
+$\text{Definition:}$&nbsp;   Ein&nbsp; '''Fehlerburst'''&nbsp; (oder kurz <i>Burst</i>) beginnt stets mit einem Symbolfehler und endet, wenn&nbsp; $k_{\rm Burst}- 1$&nbsp; fehlerfreie Symbole aufeinanderfolgen.
-*$k_{\rm Burst}$ bezeichnet den <i>Burst&ndash;Endeparameter</i>.
+*$k_{\rm Burst}$&nbsp; bezeichnet den <i>Burst&ndash;Endeparameter</i>.
-*Das <i>Burstgewicht</i> $G_{\rm Burst}$&nbsp; entspricht der Anzahl aller Symbolfehler im Burst.
+*Das <i>Burstgewicht</i> &nbsp; $G_{\rm Burst}$&nbsp; entspricht der Anzahl aller Symbolfehler im Burst.
-*Bei einem <i>Einzelfehler</i>&nbsp; gilt $G_{\rm Burst}= 1$ und die <i>Burstlänge</i> (bestimmt durch den ersten und letzten Fehler) ist ebenfalls $L_{\rm Burst}= 1$.}}<br>
+*Bei einem <i>Einzelfehler</i>&nbsp; gilt &nbsp;$G_{\rm Burst}= 1$&nbsp; und die <i>Burstlänge</i> (bestimmt durch den ersten und letzten Fehler) ist ebenfalls&nbsp; $L_{\rm Burst}= 1$.}}<br>
-[[Datei:P ID2835 Dig T 5 3 S5 Analyse1 kleiner.png|right|frame|Einzelfehlerwahrscheinlichkeit in einem Block der Länge $n$]]
+[[Datei:P ID2835 Dig T 5 3 S5 Analyse1 kleiner.png|right|frame|Einzelfehlerwahrscheinlichkeit in einem Block der Länge&nbsp; $n$]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 10:}\ \text{Wahrscheinlichkeit }p_1\text{ eines Einzelfehlers in einer Probe der Länge} \ n$
-Für den BSC&ndash;Kanal $(\alpha = 1)$ gilt $p_1 = n \cdot  0.001 \cdot 0.999^{n-1}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; rote Kurve. Aufgrund der doppel&ndash;logarithmischen Darstellung ergibt sich mit diesen Zahlenwerten ein (nahezu) linearer Verlauf. Beim BSC&ndash;Modell treten also Einzelfehler in einer Probe der Länge $n = 100$ mit etwa $9\%$ Wahrscheinlichkeit auf.<br>
+Für den BSC&ndash;Kanal&nbsp; $(\alpha = 1)$&nbsp; gilt&nbsp; $p_1 = n \cdot  0.001 \cdot 0.999^{n-1}$ &nbsp; &#8658; &nbsp; rote Kurve. Aufgrund der doppel&ndash;logarithmischen Darstellung ergibt sich mit diesen Zahlenwerten ein (nahezu) linearer Verlauf. Beim BSC&ndash;Modell treten also Einzelfehler in einer Probe der Länge&nbsp; $n = 100$&nbsp; mit etwa&nbsp; $9\%$&nbsp; Wahrscheinlichkeit auf.<br>
-Beim Bündelfehlerkanal mit $\alpha = 0.7$ (grüne Kurve) beträgt die entsprechende Wahrscheinlichkeit nur etwa $0.7\%$ und der Kurvenverlauf ist hier leicht gekrümmt. Bei der folgenden Rechnung gehen wir zunächst von der Annahme aus, dass der Einzelfehler  in der Probe der Länge $n$ an der Position $b$ auftritt:
+Bei der folgenden Rechnung gehen wir zunächst von der Annahme aus, dass der Einzelfehler  in der Probe der Länge&nbsp; $n$&nbsp; an der Position&nbsp; $b$&nbsp; auftritt:
-*Bei einem Einzelfehler müssen dann noch $n-b$ fehlerfreie Symbole folgen.  Nach Mittelung über die möglichen Fehlerpositionen $b$ erhält man somit:
+*Bei einem Einzelfehler müssen dann noch&nbsp; $n-b$&nbsp; fehlerfreie Symbole folgen.  Nach Mittelung über die möglichen Fehlerpositionen&nbsp; $b$&nbsp; erhält man somit:
 ::<math>p_1 =  p_{\rm S} \cdot \sum_{b = 1}^{n} \hspace{0.15cm}V_a (b) \cdot V_a (n+1-b)
 \hspace{0.05cm}.</math>
-*Wegen der Ähnlichkeit mit der Signaldarstellung eines [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitalen Filters]] kann man die Summe als Faltung von $V_a(b)$ mit sich selbst bezeichnen. Für die erzeugende Funktion  $V_a(z)$ wird aus der Faltung ein Produkt (bzw. wegen $V_a(b) \star V_a(b)$ das Quadrat) und man erhält folgende Gleichung:
+*Wegen der Ähnlichkeit mit der Signaldarstellung eines&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitalen Filters]]&nbsp; kann man die Summe als Faltung von&nbsp; $V_a(b)$&nbsp; mit sich selbst bezeichnen. Für die erzeugende Funktion&nbsp;  $V_a(z)$&nbsp; wird aus der Faltung ein Produkt (bzw. wegen&nbsp; $V_a(b) \star V_a(b)$&nbsp; das Quadrat) und man erhält folgende Gleichung:
-::<math>V_a(z=1) \cdot V_a(z=1) = \left [ V_a(z=1) \right ]^2 =
+::<math>V_a(z=1) \cdot V_a(z=1) = \big [ V_a(z=1) \big ]^2 =
-{\left [ 1 -(1- {p_{\rm S} }^{1/\alpha})\right ]^{-2\alpha} } \hspace{0.05cm}.</math>
+{\big [ 1 -(1- {p_{\rm S} }^{1/\alpha})\big ]^{-2\alpha} } \hspace{0.05cm}.</math>
-*Mit der  [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell|spezifischen Fehlerabstandsverteilung]] $V_a(z)$ erhält man somit folgendes Endergebnis:
+*Mit der&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell|spezifischen Fehlerabstandsverteilung]]&nbsp; $V_a(z)$&nbsp; erhält man somit folgendes Endergebnis:
 ::<math>p_1 =  p_{\rm S}
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 (1- {p_{\rm S} }^{1/\alpha})^{n-1} \hspace{0.05cm}.</math>}}<br>
-[[Datei:P ID2836 Dig T 5 3 S5 Analyse2 neu.png|right|frame|Mittlere Fehleranzahl im Burst der Länge $k$]]
+[[Datei:P ID2836 Dig T 5 3 S5 Analyse2 neu.png|right|frame|Mittlere Fehleranzahl im Burst der Länge&nbsp; $k$]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 11:}\ \text{Mittlere Fehleranzahl } {\rm E}[G_{\rm Burst}] \text{ in einem Burst mit Endeparameter }k_{\rm Burst}$
-Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit sei weiterhin $p_{\rm S} = 10^{-3}$, also (relativ) klein.<br>
+Die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit sei weiterhin&nbsp; $p_{\rm S} = 10^{-3}$, also (relativ) klein.<br>
-'''(2) &nbsp; Grüne Kurve für den Wilhelm&ndash;Kanal mit $\alpha = 0.7$''':
+'''(2) &nbsp; Grüne Kurve für den Wilhelm&ndash;Kanal mit &nbsp;$\alpha = 0.7$''':
-Das hier angegebene Verfahren zur numerischen Bestimmung der mittleren Fehleranzahl ${\rm E}[G_{\rm Burst}]$ eines Bursts kann unabhängig vom $\alpha$&ndash;Wert  angewendet werden. Man geht wie folgt vor:
+Das hier angegebene Verfahren zur numerischen Bestimmung der mittleren Fehleranzahl&nbsp; ${\rm E}[G_{\rm Burst}]$&nbsp; eines Bursts kann unabhängig vom&nbsp; $\alpha$&ndash;Wert  angewendet werden. Man geht wie folgt vor:
-*Entsprechend den Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a=k)$ generiert man eine Fehlerfolge $e_1$, $e_2$, ... , $e_i$, ... mit den Fehlerabständen $a_1$, $a_2$, ... , $a_i$, ... <br>
+*Entsprechend den Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(a=k)$&nbsp; generiert man eine Fehlerfolge $e_1$,&nbsp; $e_2$,&nbsp; ... , $e_i$,&nbsp; ...&nbsp; mit den Fehlerabständen&nbsp; $a_1$,&nbsp; $a_2$,&nbsp; ... , $a_i$,&nbsp; ... <br>
-*Ist ein Fehlerabstand $a_i \ge k_{\rm Burst}$, so markiert dieser das Ende eines Bursts.  Ein solches Ereignis tritt mit der Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a \ge k_{\rm Burst}) = V_a(k_{\rm Burst} )$ ein.<br>
+*Ist ein Fehlerabstand&nbsp; $a_i \ge k_{\rm Burst}$, so markiert dieser das Ende eines Bursts.  Ein solches Ereignis tritt mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(a \ge k_{\rm Burst}) = V_a(k_{\rm Burst} )$&nbsp; ein.<br>
-*Wir zählen solche Ereignisse &bdquo;$a_i \ge k_{\rm Burst}$&rdquo; im gesamten Block der Länge $n$. Deren Anzahl ist gleichzeitig die Anzahl $N_{\rm Burst}$ der Bursts im Block. <br>
+*Wir zählen solche Ereignisse &bdquo;$a_i \ge k_{\rm Burst}$&rdquo; im gesamten Block der Länge&nbsp; $n$. Deren Anzahl ist gleichzeitig die Anzahl&nbsp; $N_{\rm Burst}$&nbsp; der Bursts im Block. <br>
-*Gleichzeitig gilt die Beziehung $N_{\rm Burst} = N_{\rm Fehler} \cdot V_a(k_{\rm Burst} )$ , wobei $N_{\rm Fehler}$ die Anzahl aller Fehler im Block angibt.
+*Gleichzeitig gilt die Beziehung&nbsp; $N_{\rm Burst} = N_{\rm Fehler} \cdot V_a(k_{\rm Burst} )$, wobei&nbsp; $N_{\rm Fehler}$&nbsp; die Anzahl aller Fehler im Block angibt.
 *Daraus lässt sich die mittlere Fehlerzahl pro Burst in einfacher Weise berechnen:
 ::<math>{\rm E}[G_{\rm Burst}] =\frac {N_{\rm Fehler} }{N_{\rm Burst} } =\frac {1}{V_a(k_{\rm Burst})}\hspace{0.05cm}.</math>
-Die Markierungen in der Grafik korrespondieren mit folgenden Zahlenwerten der [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell|Fehlerabstandsverteilung]]:
+Die Markierungen in der Grafik korrespondieren mit folgenden Zahlenwerten der&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell|Fehlerabstandsverteilung]]:
-*Die grünen Kreise (Wilhelm&ndash;Kanal, $\alpha = 0.7$) ergeben sich aus $V_a(10) = 0.394$ und $V_a(100) = 0.193$.
+*Die grünen Kreise $($Wilhelm&ndash;Kanal,&nbsp; $\alpha = 0.7)$&nbsp; ergeben sich aus&nbsp; $V_a(10) = 0.394$&nbsp; und&nbsp; $V_a(100) = 0.193$.
-*Die roten Kreise (BSC&ndash;Kanal, $\alpha = 1$) sind die Kehrwerte von $V_a(10) = 0.991$ und $V_a(100)  = 0906$.}}<br>
+*Die roten Kreise $($BSC&ndash;Kanal, &nbsp;$\alpha = 1)$&nbsp; sind die Kehrwerte von&nbsp; $V_a(10) = 0.991$&nbsp; und &nbsp;$V_a(100)  = 0906$.}}<br>
 == Aufgaben zum Kapitel ==

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 == Fehlerkorrelationsfunktion des Wilhelm–A–Modells ==
 <br>
-Eine weitere Beschreibungsform der digitalen Kanalmodelle ist neben der Fehlerabstandsverteilung $V_a(k)$ die [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerkorrelationsfunktion|Fehlerkorrelationsfunktion]] $\varphi_{e}(k)$ &ndash;  abgekürzt FKF. Geht man von der binären Fehlerfolge $\langle e_\nu \rangle$ mit $e_\nu \in  \{0, 1\}$ aus, wobei hinsichtlich des $\nu$&ndash;ten Bits
+Eine weitere Beschreibungsform der digitalen Kanalmodelle ist neben der Fehlerabstandsverteilung&nbsp; $V_a(k)$&nbsp; die&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerkorrelationsfunktion|Fehlerkorrelationsfunktion]]&nbsp; $\varphi_{e}(k)$&nbsp; &ndash;  abgekürzt FKF. Wir gehen von der binären Fehlerfolge&nbsp; $\langle e_\nu \rangle$&nbsp; mit&nbsp; $e_\nu \in  \{0, 1\}$&nbsp; aus, wobei hinsichtlich des $\nu$&ndash;ten Bits
-*$e_\nu = 0$ eine richtige Übertragung  bezeichnet, und
+*$e_\nu = 0$&nbsp; eine richtige Übertragung  bezeichnet, und
-*$e_\nu = 1$ einen Symbolfehler (Bitfehler), so gilt folgende Definition:
+*$e_\nu = 1$&nbsp; einen Symbolfehler (Bitfehler).
 ::<math>\varphi_{e}(k) =  {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] =
-\overline{e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}}\hspace{0.05cm}.</math>
+\overline{e_{\nu} \cdot e_{\nu + k} }\hspace{0.05cm}.</math>
-Der Fehlerkorrelationswert $\varphi_{e}(k)$ liefert statistische Aussagen bezüglich zwei um $k$ auseinander liegender Folgenelemente, zum Beispiel über $e_{\nu}$ und $e_{\nu +k}$. Die dazwischen liegenden Elemente $e_{\nu +1}$, ... , $e_{\nu +k-1}$ beeinflussen dagegen den $\varphi_{e}(k)$&ndash;Wert nicht.<br>
+Der Fehlerkorrelationswert&nbsp; $\varphi_{e}(k)$&nbsp; liefert statistische Aussagen bezüglich zwei um&nbsp; $k$&nbsp; auseinander liegender Folgenelemente, zum Beispiel über&nbsp; $e_{\nu}$&nbsp; und&nbsp; $e_{\nu +k}$. Die dazwischen liegenden Elemente&nbsp; $e_{\nu +1}$, ... , $e_{\nu +k-1}$&nbsp; beeinflussen dagegen den&nbsp; $\varphi_{e}(k)$&ndash;Wert nicht.<br>
 {{BlaueBox|TEXT=
@@ Zeile 518: / Zeile 524: @@
 :<math>\varphi_e\hspace{0.05cm}(k) =  p_{\rm S} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \left [ 1 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}  \frac{\alpha}{1\hspace{0.03cm}!}  \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}   \frac{\alpha \cdot (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \alpha)}{2\hspace{0.03cm}!}  \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^2 \hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm} \frac {\alpha  \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} (1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha)  \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}  (k\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}1\hspace{-0.03cm}-\hspace{-0.03cm}\alpha) }{k\hspace{0.03cm}!} \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} C^k \right ]  </math>
-Zur Abkürzung ist hierbei  $C = (1-p_{\rm S})^{1/\alpha}$ verwendet. Auf die Herleitung wird hier verzichtet.}}<br>
+Zur Abkürzung ist&nbsp;   $C = (1-p_{\rm S})^{1/\alpha}$&nbsp; verwendet. Auf die Herleitung wird hier verzichtet.}}<br>
 Nachfolgend werden die Eigenschaften der Fehlerkorrelationsfunktion an einem Beispiel aufgezeigt.<br>
@@ Zeile 524: / Zeile 530: @@
 [[Datei:P ID2834 Dig T 5 3 S5korr version2.png|right|frame||Fehlerkorrelationsfunktionen des Wilhelm–Modells]]
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 9:}$&nbsp;
-Wie im [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell| Beispiel 7]] gelte $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für
+Wie im&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerabstandsbetrachtung_nach_dem_Wilhelm.E2.80.93A.E2.80.93Modell| $\text{Beispiel 7}$]]&nbsp; gelte&nbsp; $p_{\rm S} = 0.01$. Die hier dargestellten Fehlerkorrelationsfunktionen stehen wieder für
-*Grün:&nbsp; $\alpha = 0.7$ &nbsp; &#8658; &nbsp; starke Bündelung.<br>
+*Grün:&nbsp;&nbsp;&nbsp;  $\alpha = 0.7$ &nbsp; &#8658; &nbsp; starke Bündelung.
-*Blau:&nbsp; $\alpha = 0.95$ &nbsp;&#8658; &nbsp;  schwache Bündelung,<br>
+*Blau:&nbsp;&nbsp; &nbsp; $\alpha = 0.95$ &nbsp;&#8658; &nbsp;  schwache Bündelung,<br>
-*Rot:&nbsp;&nbsp; $\alpha = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; BSC&ndash;Modell,<br>
+*Rot:&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;$\alpha = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; BSC&ndash;Modell,<br>
-Die folgenden Aussagen lassen sich weitgehend verallgemeinern, siehe auch [[Digitalsignalübertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_Modell_und_Fehlerkorrelationsfunktion| GE&ndash;Modell]]:
+Die folgenden Aussagen lassen sich weitgehend verallgemeinern, siehe auch&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_Modell_und_Fehlerkorrelationsfunktion| GE&ndash;Modell]]:
-*Der FKF-Wert an der Stelle $k = 0$ ist bei allen Kanälen gleich $p_{\rm S} = 10^{-2}$ (markiert durch den Kreis mit grauer Füllung) und der Grenzwert für $k \to \infty$ liegt stets bei $p_{\rm S}^2 = 10^{-4}$.<br>
+*Der FKF-Wert an der Stelle&nbsp; $k = 0$&nbsp; ist bei allen Kanälen gleich&nbsp; $p_{\rm S} = 10^{-2}$&nbsp; (markiert durch den Kreis mit grauer Füllung) und der Grenzwert für&nbsp; $k \to \infty$&nbsp; liegt stets bei&nbsp; $p_{\rm S}^2 = 10^{-4}$.<br>
-*Dieser Endwert wird beim BSC&ndash;Modell bereits bei $k = 1$  erreicht (rot gefüllte Markierung). Hier kann die FKF also nur die beiden Werte $p_{\rm S}$  und $p_{\rm S}^2$ annehmen.<br>
+*Dieser Endwert wird beim BSC&ndash;Modell bereits bei&nbsp; $k = 1$&nbsp;  erreicht (rot gefüllte Markierung). Hier kann die FKF also nur die beiden Werte&nbsp; $p_{\rm S}$&nbsp;  und&nbsp; $p_{\rm S}^2$&nbsp; annehmen.<br>
-*Auch für für $\alpha \ne 1$ (blaue und grüne Kurve) erkennt man einen Knick bei $k = 1$. Danach verläuft die FKF monoton fallend. Der Abfall ist umso langsamer, je kleiner $\alpha$ ist, also je gebündelter die Fehler auftreten.}}<br>
+*Auch für für&nbsp; $\alpha < 1$&nbsp; (blaue und grüne Kurve) erkennt man einen Knick bei&nbsp; $k = 1$. Danach verläuft die FKF monoton fallend. Der Abfall ist umso langsamer, je kleiner&nbsp; $\alpha$&nbsp; ist, also je gebündelter die Fehler auftreten.}}<br>
 == Analyse von Fehlerstrukturen mit dem Wilhelm–A–Modell==

@@ Zeile 278: / Zeile 278: @@
 == Bündelfehlerkanalmodell nach Wilhelm ==
 <br>
-Dieses Modell geht auf [[Biografien_und_Bibliografien/Externe_Beteiligte_am_LNTwww#Dr._sc._techn._Claus_Wilhelm|Claus Wilhelm]] zurück und wurde ab Mitte der 1960er Jahre aus empirischen Messungen zeitlicher Folgen von Bitfehlern entwickelt. Es beruht auf Tausenden von Messstunden in Übertragungskanälen ab 200 bit/s mit analogem Modem bis hin zu 2.048 Mbit/s über [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]. Ebenso wurden Seefunkkanäle bis zu 7500 Kilometern im Kurzwellenbereich vermessen.<br>
+Dieses Modell geht auf&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Externe_Beteiligte_am_LNTwww#Dr._sc._techn._Claus_Wilhelm|Claus Wilhelm]]&nbsp; zurück und wurde ab Mitte der 1960er Jahre aus empirischen Messungen zeitlicher Folgen von Bitfehlern entwickelt. Es beruht auf Tausenden von Messstunden in Übertragungskanälen ab &nbsp;$\text{200 bit/s}$&nbsp; mit analogem Modem bis hin zu &nbsp;$\text{2.048 Mbit/s}$&nbsp; über&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|ISDN]]. Ebenso wurden Seefunkkanäle bis zu &nbsp;$7500$&nbsp; Kilometern im Kurzwellenbereich vermessen.<br>
-[[Datei:P ID2778 Dig T 5 3 S5.png|right|frame|Beispielhafte Funktionsverläufe $p_{\rm B}(n)$]]
+[[Datei:P ID2778 Dig T 5 3 S5.png|right|frame|Beispielhafte Funktionsverläufe &nbsp;$p_{\rm B}(n)$]]
-Aufgezeichnet wurden Blöcke der Länge $n$. Daraus wurde die jeweilige Blockfehlerrate $h_{\rm B}(n)$ ermittelt. Ein Blockfehler liegt bereits dann vor, wenn auch nur eines der $n$ Symbole verfälscht wurde. Wohl wissend, dass die Blockfehlerrate $h_{\rm B}(n)$ nur für $n \to \infty$ exakt mit der Blockfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ übereinstimmt, setzen wir bei der folgenden Beschreibung $p_{\rm B}(n) \approx h_{\rm B}(n)$.<br>
+Aufgezeichnet wurden Blöcke der Länge&nbsp; $n$. Daraus wurde die jeweilige Blockfehlerrate&nbsp; $h_{\rm B}(n)$&nbsp; ermittelt.
 Bei einer Vielzahl von Messungen wurde immer wieder die Tatsache bestätigt, dass der Verlauf $p_{\rm B}(n)$ in doppelt&ndash;logarithmischer Darstellung im unteren Bereich lineare Anstiege aufweisen (siehe Grafik). Es gilt also für $n \le n^\star$:
 ::<math>{\rm lg} \hspace{0.15cm}p_{\rm B}(n) = {\rm lg} \hspace{0.15cm}p_{\rm S} + \alpha \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}n\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}  p_{\rm B}(n) = p_{\rm S} \cdot n^{\alpha}\hspace{0.05cm}.</math>
-Hierbei bezeichnet $p_{\rm S} = p_{\rm B}(n=1)$ die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und die empirisch gefundenen Werte von $\alpha$ liegen zwischen $0.5$ und $0.95$. Für $1-\alpha$ wird auch die Bezeichnung <i>Bündelungsfaktor</i>&nbsp; verwendet.
+Hierbei bezeichnet&nbsp; $p_{\rm S} = p_{\rm B}(n=1)$&nbsp; die mittlere Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und die empirisch gefundenen Werte von&nbsp; $\alpha$&nbsp; liegen zwischen&nbsp; $0.5$&nbsp; und&nbsp; $0.95$. Für&nbsp; $1-\alpha$&nbsp; wird auch die Bezeichnung <i>Bündelungsfaktor</i>&nbsp; verwendet.
 <br clear = all>

@@ Zeile 191: / Zeile 191: @@
 == Kanalmodell nach McCullough==
 <br>
-Der wesentliche Nachteil des GE&ndash;Modells ist, dass damit eine Fehlerabstandssimulation nicht möglich ist. Wie in der [[Aufgaben:Aufgabe_5.5:_Fehlerfolge_und_Fehlerabstandsfolge|Aufgabe 5.5]] herausgearbeitet wird, hat diese gegenüber der symbolweisen Generierung der Fehlerfolge $\langle e_\nu \rangle$ große Vorteile hinsichtlich Rechengeschwindigkeit und Speicherbedarf.<br>
+Der wesentliche Nachteil des GE&ndash;Modells ist, dass damit eine Fehlerabstandssimulation nicht möglich ist. Wie in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.5:_Fehlerfolge_und_Fehlerabstandsfolge|Aufgabe 5.5]]&nbsp; herausgearbeitet wird, hat diese gegenüber der symbolweisen Generierung der Fehlerfolge&nbsp; $\langle e_\nu \rangle$&nbsp; große Vorteile hinsichtlich Rechengeschwindigkeit und Speicherbedarf.<br>
-McCullough [McC68]<ref name ='McC68'>McCullough, R.H.: ''The Binary Regenerative Channel.'' In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968.</ref> hat das drei Jahre zuvor von Gilbert und Elliott entwickelte Modell dahingehend modifiziert, dass eine Fehlerabstandssimulation in den beiden Zustände &bdquo;GOOD&rdquo; und &bdquo;BAD&rdquo; jeweils für sich anwendbar ist. Die Grafik zeigt unten das Modell von McCullough, im Folgenden als '''MC&ndash;Modell''' bezeichnet, während oben das GE&ndash;Modell nach Umbenennung der Übergangswahrscheinlichkeiten &nbsp; &rArr; &nbsp;   ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$, ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$, usw. dargestellt ist.<br>
+McCullough &nbsp;[McC68]<ref name ='McC68'>McCullough, R.H.: ''The Binary Regenerative Channel.'' In: Bell Syst. Techn. J. (47), 1968.</ref>&nbsp; hat das drei Jahre zuvor von Gilbert und Elliott entwickelte Modell dahingehend modifiziert, dass eine Fehlerabstandssimulation in den beiden Zustände &bdquo;GOOD&rdquo; und &bdquo;BAD&rdquo; jeweils für sich anwendbar ist. Die Grafik zeigt unten das Modell von McCullough, im Folgenden als &nbsp;'''MC&ndash;Modell'''&nbsp; bezeichnet, während oben das GE&ndash;Modell nach Umbenennung der Übergangswahrscheinlichkeiten &nbsp; &rArr; &nbsp;   ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,&nbsp; ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) \rightarrow {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$,&nbsp; usw. dargestellt ist.<br>
 [[Datei:P ID1840 Dig T 5 3 S4a version1.png|center|frame|Kanalmodelle nach Gilbert–Elliott (oben) und McCullough (unten)|class=fit]]
 Zwischen den beiden Modellen bestehen viele Gemeinsamkeiten und einige wenige Unterschiede:
-*Das McCullough&ndash;Kanalmodell beruht wie das Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell auf einem ''Markovprozess erster Ordnung'' mit den beiden Zuständen &bdquo;GOOD&rdquo; $(\rm G)$ und &bdquo;BAD&rdquo; $(\rm B)$. Hinsichtlich der Modellstruktur ist kein Unterschied feststellbar.<br>
+*Das McCullough&ndash;Kanalmodell beruht wie das Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell auf einem ''Markovprozess erster Ordnung''&nbsp; mit den beiden Zuständen &bdquo;GOOD&rdquo;&nbsp; $(\rm G)$&nbsp; und &bdquo;BAD&rdquo;&nbsp; $(\rm B)$. Hinsichtlich der Modellstruktur ist kein Unterschied feststellbar.<br>
 *Der wesentliche Unterschied zum GE&ndash;Modell besteht darin, dass ein Zustandswechsel zwischen &bdquo;GOOD&rdquo;  und &bdquo;BAD&rdquo; jeweils nur nach einem Fehler &ndash; also einer &bdquo;$1$&rdquo; in der Fehlerfolge &ndash; möglich ist. Dies ermöglicht eine  Fehlerabstandssimulation.<br>
-*Die vier frei wählbaren GE&ndash;Parameter $p_{\rm G}$, $p_{\rm B}$, ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$ und ${\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$ können &ndash; wie auf der nächsten Seite gezeigt &ndash; so in die MC&ndash;Parameter $q_{\rm G}$, $q_{\rm B}$, ${\it q}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$ und ${\it q}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE&ndash;Modell erzeugt wird.<br>
+*Die vier frei wählbaren GE&ndash;Parameter&nbsp; $p_{\rm G}$,&nbsp; $p_{\rm B}$,&nbsp; ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$&nbsp; und&nbsp; ${\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$&nbsp; können &ndash; wie auf der nächsten Seite gezeigt &ndash; so in die MC&ndash;Parameter&nbsp; $q_{\rm G}$,&nbsp; $q_{\rm B}$,&nbsp; ${\it q}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$&nbsp; und&nbsp; ${\it q}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$&nbsp; umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE&ndash;Modell erzeugt wird.<br>
-*Beispielsweise bezeichnet ${\it q}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$ die Übergangswahrscheinlichkeit von dem Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; in den Zustand &bdquo;BAD&rdquo; unter der Voraussetzung, dass im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE&ndash;Parameter ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$ kennzeichnet diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne diese Zusatzbedingung.<br>
+*Beispielsweise bezeichnet&nbsp; ${\it q}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$&nbsp; die Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; in den Zustand &bdquo;BAD&rdquo; unter der Voraussetzung, dass im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE&ndash;Parameter&nbsp; ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G )$&nbsp; kennzeichnet diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne diese Zusatzbedingung.<br>
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Abbildung zeigt oben eine beispielhafte Fehlerfolge des GE&ndash;Modells mit den Parametern $p_{\rm G} = 0.01$, $p_{\rm B} = 0.4$, ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) = 0.01$ und ${\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B ) = 0.1$. Man erkennt, dass ein Zustandswechsel von &bdquo;GOOD&rdquo; (ohne Hinterlegung) nach &bdquo;BAD&rdquo; (graue Hinterlegung) und umgekehrt zu jedem Zeitpunkt $\nu$ möglich ist &ndash; also auch dann, wenn $e_\nu = 0$ ist.<br>
+$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Die Abbildung zeigt oben eine beispielhafte Fehlerfolge des GE&ndash;Modells mit den Parametern&nbsp; $p_{\rm G} = 0.01$,&nbsp; $p_{\rm B} = 0.4$,&nbsp; ${\it p}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) = 0.01$,&nbsp; ${\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B ) = 0.1$. Man erkennt, dass im Gegensatz zur unteren MC&ndash;Folge ein Zustandswechsel von &bdquo;GOOD&rdquo; (ohne Hinterlegung) nach &bdquo;BAD&rdquo; (graue Hinterlegung) und umgekehrt zu jedem Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; möglich ist &ndash; also auch dann, wenn&nbsp; $e_\nu = 0$&nbsp; ist.<br>
 [[Datei:P ID1841 Dig T 5 3 S4 version1.png|center|frame|Fehlerfolge des GE–Modells (oben) und des MC–Modells (unten)|class=fit]]}}
@@ Zeile 215: / Zeile 215: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp; Die Zusammenhänge zwischen den beiden Modellen lassen sich wie folgt zusammenfassen:
-*Bei der im Beispiel unten dargestellten Fehlerfolge des McCullough&ndash;Modells ist im Gegensatz zur oberen Folge ein Zustandswechsel zum Zeitpunkt $\nu$ nur bei $e_\nu = 1$  möglich. Der letzte Fehlerwert vor einer grauen Hinterlegung ist stets eine &bdquo;$1$&rdquo;.<br>
+*Bei der im Beispiel unten dargestellten Fehlerfolge des McCullough&ndash;Modells ist im Gegensatz zur oberen Folge ein Zustandswechsel zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu$&nbsp; nur bei&nbsp; $e_\nu = 1$&nbsp;  möglich. Der letzte Fehlerwert vor einer grauen Hinterlegung ist stets eine &bdquo;$1$&rdquo;.<br>
-*Dies hat den Vorteil, dass man bei einer Fehlerfolgensimulation die Fehler nicht &bdquo;step&ndash;by&ndash;step&rdquo; generieren muss, sondern die schnellere Fehlerabstandssimulation nutzen kann &nbsp; &#8658; &nbsp; siehe [[Aufgabe 5.5]].<br>
+*Dies hat den Vorteil, dass man bei einer Fehlerfolgensimulation die Fehler nicht &bdquo;step&ndash;by&ndash;step&rdquo; generieren muss, sondern die schnellere Fehlerabstandssimulation nutzen kann &nbsp; &#8658; &nbsp; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.5:_Fehlerfolge_und_Fehlerabstandsfolge|Aufgabe 5.5]].<br>
-*Die Parameter des GE&ndash;Modells können derart in entsprechende MC&ndash;Parameter umgerechnet werden, dass beide Modellen äquivalent sind &nbsp; &#8658; &nbsp; siehe nächste Seite.<br>
+*Die Parameter des GE&ndash;Modells kann man derart in entsprechende MC&ndash;Parameter umrechnen, dass die beiden Modelle äquivalent sind &nbsp; &#8658; &nbsp; siehe nächste Seite. Das bedeutet: &nbsp; Die MC&ndash;Fehlerfolge hat ''exakt gleiche statistische Eigenschaften''&nbsp; wie die GE&ndash;Fehlerfolge. Es bedeutet aber '''nicht''', dass beide Fehlerfolgen identisch sind.}}<br><br>
 == Umrechnung der GE&ndash;Parameter in die MC&ndash;Parameter ==
@@ Zeile 250: / Zeile 248: @@
   {\it u}_{\rm BG} ={\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B ) \cdot (1-{\it p}_{\hspace{0.03cm}\rm
-B})\hspace{0.05cm}</math>
+B})</math>
 ::<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} \beta_{\rm G} = \frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} -
 u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}
@@ Zeile 261: / Zeile 258: @@
 ::<math>x_{\rm G} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm G}-u_{\rm BB}}
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
-  x_{\rm B} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm B}-u_{\rm BB}}</math>
+  x_{\rm B} =\frac{u_{\rm BG}}{\beta_{\rm B}-u_{\rm BB}}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_{\rm G} = \frac{(w_{\rm G} \cdot
 p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}\cdot x_{\rm G})( x_{\rm
 B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} \hspace{0.05cm},
@@ Zeile 269: / Zeile 265: @@
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wie im [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Kanalmodell_nach_McCullough|Beispiel 2]] gelte für die GE&ndash;Parameter:
+$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Wie im&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Kanalmodell_nach_McCullough|$\text{Beispiel 2}$]]&nbsp; gelte für die GE&ndash;Parameter:
 :$$p_{\rm G} = 0.01, \hspace{0.5cm} p_{\rm B} = 0.4, \hspace{0.5cm} p(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) = 0.01, \hspace{0.5cm} {\it p}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B ) = 0.1.$$
 Bei Anwendung obiger Gleichungen erhält man dann für die äquivalenten MC&ndash;Parameter:
 :$$q_{\rm G} = 0.0186, \hspace{0.5cm} q_{\rm B} = 0.4613, \hspace{0.5cm} q(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}G ) = 0.3602, \hspace{0.5cm} {\it q}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B ) = 0.2240.$$
-*Vergleicht man im Beispiel 2 die rote Fehlerfolge (GE, Zustandswechsel ist immer möglich) mit der blauen Folge (äquivalentes MC, Zustandswechsel nur bei $e_\nu = 1$), so erkennt man durchaus  gravierende Unterschiede.
+*Vergleicht man im $\text{Beispiel 2}$ die rote Fehlerfolge (GE, Zustandswechsel ist immer möglich) mit der blauen Folge (äquivalentes MC, Zustandswechsel nur bei&nbsp; $e_\nu = 1$), so erkennt man durchaus  gravierende Unterschiede.
 * Aber die blaue Fehlerfolge des äquivalenten McCullough-Modells besitzt exakt gleiche statistische Eigenschaften wie die rote Fehlerfolge des Gilbert–Elliott–Modells.}}
-Die Umrechnung der GE&ndash; in die MC&ndash;Parameter wird in der [[Aufgaben:Aufgabe_5.7:_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter|Aufgabe 5.7]] an einem einfachen Beispiel verdeutlicht. In der [[Aufgaben:Aufgabe_5.7Z:_Nochmals_McCullough-Modell|Aufgabe 5.7Z]] wird weiter gezeigt, wie die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit, die Fehlerabstandsverteilung, die Fehlerkorrelationsfunktion und die Korrelationsdauer des MC&ndash;Modells direkt aus den <i>q</i>&ndash;Parametern ermittelt werden können.<br>
+Die Umrechnung der GE&ndash; in die MC&ndash;Parameter wird in der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.7:_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter|Aufgabe 5.7]]&nbsp; an einem einfachen Beispiel verdeutlicht. In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.7Z:_Nochmals_McCullough-Modell|Aufgabe 5.7Z]]&nbsp; wird weiter gezeigt, wie die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit, die Fehlerabstandsverteilung, die Fehlerkorrelationsfunktion und die Korrelationsdauer des MC&ndash;Modells direkt aus den &nbsp;$q$&ndash;Parametern ermittelt werden können.<br>
 == Bündelfehlerkanalmodell nach Wilhelm ==

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
 == Fehlerabstandsverteilung des GE–Modells ==
 <br>
-In [Hub82]<ref name = 'Hub82'>Huber, J.: <i>Codierung für gedächtnisbehaftete Kanäle.</i> Dissertation – Universität der Bundeswehr München, 1982.</ref> finden sich die analytischen Berechnungen
+[[Datei:P ID1838 Dig T 5 3 S2 version1.png|right|frame|Fehlerabstandsverteilung von GE– und BSC–Modell|class=fit]]
-*der Wahrscheinlichkeit des Fehlerabstandes $k$:
+In&nbsp; [Hub82]<ref name = 'Hub82'>Huber, J.: <i>Codierung für gedächtnisbehaftete Kanäle.</i> Dissertation – Universität der Bundeswehr München, 1982.</ref>&nbsp; finden sich die analytischen Berechnungen
 ::<math>{\rm Pr}(a=k) = \alpha_{\rm G} \cdot \beta_{\rm
@@ Zeile 89: / Zeile 91: @@
 \cdot \beta_{\rm B}^{\hspace{0.05cm}k-1} \cdot (1- \beta_{\rm
 B})\hspace{0.05cm},</math>
-[[Datei:P ID1838 Dig T 5 3 S2 version1.png|right|frame|Fehlerabstandsverteilung von GE– und BSC–Modell|class=fit]]
-*der [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstandsverteilung|Fehlerabstandsverteilung]]:
+*der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerabstandsverteilung|Fehlerabstandsverteilung]]:
 ::<math>V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) =  \alpha_{\rm G} \cdot \beta_{\rm
@@ Zeile 129: / Zeile 131: @@
 Die angegebenen Gleichungen sind das Ergebnis umfangreicher Matrizenoperationen.<br>
 Die obere Grafik zeigt die Fehlerabstandsverteilung (FAV) des GE&ndash;Modells (rote Kurve) in linearer und logarithmischer Darstellung für die Parameter
@@ Zeile 136: / Zeile 137: @@
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) = 0.001 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}p_{\rm B} = 0.4.$$
-Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende $V_a(k)$&ndash;Verlauf für das BSC&ndash;Modell mit der gleichen mittleren  Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 4.5\%$ eingezeichnet.<br>
+Zum Vergleich ist als blaue Kurve auch der entsprechende&nbsp; $V_a(k)$&ndash;Verlauf für das BSC&ndash;Modell mit der gleichen mittleren  Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M} = 4.5\%$&nbsp; eingezeichnet.<br>
 == Fehlerkorrelationsfunktion des GE–Modells ==
 <br>
-Für die [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerkorrelationsfunktion|Fehlerkorrelationsfunktion]] (FKF)  des GE–Modells mit
+Für die&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Beschreibungsgrößen_digitaler_Kanalmodelle#Fehlerkorrelationsfunktion|Fehlerkorrelationsfunktion]]&nbsp; (FKF)  des GE–Modells mit
-*der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$,
+*der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M}$,
-*den Übergangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )$ und ${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )$ sowie
+*den Übergangswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )$ und ${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )$&nbsp; sowie
-*den Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$ in den beiden Zuständen $\rm G$ und $\rm B$
+*den Fehlerwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm G}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; in den beiden Zuständen&nbsp; $\rm G$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$
@@ Zeile 157: / Zeile 158: @@
 \\  f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k > 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}</math>
-Beim GE&ndash;Modell muss $\varphi_{e}(k)$ stets nach dieser Gleichung berechnet werden. Der nur für &bdquo;erneuernde Modelle&rdquo; gültige iterative Berechnungsalgorithmus
+Beim GE&ndash;Modell muss&nbsp; $\varphi_{e}(k)$&nbsp; stets nach dieser Gleichung berechnet werden. Der nur für &bdquo;erneuernde Modelle&rdquo; gültige iterative Berechnungsalgorithmus
 :$$\varphi_{e}(k) = \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa) \cdot
 \varphi_{e}(k - \kappa) $$
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 kann hier nicht angewendet werden,   da das GE&ndash;Modell nicht erneuernd ist &nbsp; &#8658; &nbsp; Die Fehlerabstände sind hier nicht statistisch voneinander unabhängig.
-[[Datei:P ID1839 Dig T 5 3 S3 version1.png|right|frame|Fehlerkorrelationsfunktion von &bdquo;GE&rdquo; (Kreise) und &bdquo;BSC&rdquo; (Kreuze)|class=fit]]<br>
+[[Datei:P ID1839 Dig T 5 3 S3 version1.png|right|frame|Fehlerkorrelationsfunktion von &bdquo;GE&rdquo; (Kreise) und &bdquo;BSC&rdquo; (Kreuze)|class=fit]]
 In der Grafik ist ein beispielhafter FKF&ndash;Verlauf des GE&ndash;Modells mit roten Kreisen markiert eingetragen. Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Während beim gedächtnislosen Kanal (BSC&ndash;Modell, blaue Kurve) alle FKF&ndash;Werte $\varphi_{e}(k \ne 0)= p_{\rm M}^2$ sind, nähern sich die FKF&ndash;Werte beim Bündelfehlerkanal diesem Endwert deutlich langsamer an.<br>
+*Während beim gedächtnislosen Kanal (BSC&ndash;Modell, blaue Kurve) alle FKF&ndash;Werte&nbsp; $\varphi_{e}(k \ne 0)= p_{\rm M}^2$&nbsp; sind, nähern sich die FKF&ndash;Werte beim Bündelfehlerkanal diesem Endwert deutlich langsamer an.<br>
-*Beim Übergang von $k = 0$ nach $k = 1$ tritt eine gewisse Unstetigkeit auf. Während $\varphi_{e}(k = 0)= p_{\rm M}$ ist, ergibt sich mit der für $k > 0$ gültigen zweiten Gleichung für $k = 0$ folgender extrapolierter Wert:
+*Beim Übergang von&nbsp; $k = 0$&nbsp; nach&nbsp; $k = 1$&nbsp; tritt eine gewisse Unstetigkeit auf. Während&nbsp; $\varphi_{e}(k = 0)= p_{\rm M}$&nbsp; ist, ergibt sich mit der für&nbsp; $k > 0$&nbsp; gültigen zweiten Gleichung für&nbsp; $k = 0$&nbsp; folgender extrapolierter Wert:
 ::<math>\varphi_{e0} = p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} - p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm
 M} - p_{\rm G})\hspace{0.05cm}.</math>
-*Ein quantitatives Maß für die Länge der statistischen Bindungen ist die Korrelationsdauer  $D_{\rm K}$, die allgemein als die Breite eines flächengleichen Rechtecks mit der Höhe $\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2$ definiert ist:
+*Ein quantitatives Maß für die Länge der statistischen Bindungen ist die Korrelationsdauer&nbsp;  $D_{\rm K}$, die allgemein als die Breite eines flächengleichen Rechtecks mit der Höhe&nbsp; $\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2$&nbsp; definiert ist:
 ::<math>D_{\rm K} = \frac{1}{\varphi_{e0} - p_{\rm M}^2} \cdot \sum_{k = 1
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 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Fazit:}$&nbsp; Beim Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell erhält man hier die Korrelationsdauer den einfachen, analytisch angebbaren Ausdruck
+$\text{Fazit:}$&nbsp; Beim Gilbert&ndash;Elliott&ndash;Modell erhält man hier die &nbsp;'''Korrelationsdauer'''&nbsp; den einfachen, analytisch angebbaren Ausdruck
 ::<math>D_{\rm K} =\frac{1}{ {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}
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 \hspace{0.05cm}.</math>
-*$D_{\rm K}$ ist umso größer, je kleiner ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}
+*$D_{\rm K}$&nbsp; ist umso größer, je kleiner&nbsp; ${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}
-G )$ und ${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$ sind, also dann, wenn Zustandswechsel selten auftreten.
+G )$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm}B )$&nbsp; sind, also dann, wenn Zustandswechsel selten auftreten.
-*Für das BSC&ndash;Modell &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm B}= p_{\rm G} = p_{\rm M}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $D_{\rm K} = 0$ ist die Gleichung nicht anwendbar.}}<br>
+*Für das BSC&ndash;Modell &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm B}= p_{\rm G} = p_{\rm M}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $D_{\rm K} = 0$ ist diese Gleichung nicht anwendbar.}}<br>
 == Kanalmodell nach McCullough==