Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

Guenter am 27. Juli 2022 um 14:24 Uhr

2022-07-27T14:24:24Z

Guenter am 27. Juli 2022 um 14:21 Uhr

2022-07-27T14:21:02Z

Guenter am 27. Juli 2022 um 12:52 Uhr

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Guenter am 12. März 2019 um 16:45 Uhr

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Guenter am 12. März 2019 um 16:38 Uhr

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Guenter am 12. März 2019 um 16:29 Uhr

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Guenter am 12. März 2019 um 15:56 Uhr

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Guenter am 12. Juni 2018 um 16:30 Uhr

2018-06-12T16:30:12Z

Guenter am 12. Juni 2018 um 16:28 Uhr

2018-06-12T16:28:32Z

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 *Die beiden Nachrichten&nbsp; $m_0 \ \Leftrightarrow \ \boldsymbol{ s_0}$&nbsp; und &nbsp;$m_1 \ \Leftrightarrow \ \boldsymbol{ s_1}$&nbsp; sind nicht notwendigermaßen gleichwahrscheinlich.<br>
-*Aufgabe des Entscheiders ist es,&nbsp; einen Schätzwert für den Empfangsvektor&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; nach der&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Struktur_des_optimalen_Empf%C3%A4ngers#Fundamentaler_Ansatz_zum_optimalen_Empf.C3.A4ngerentwurf_.281.29 |"MAP&ndash;Entscheidungsregel"]]&nbsp; anzugeben.&nbsp; Diese lautet im vorliegenden Fall mit&nbsp; $\boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \hspace{0.05cm}\rho_2)
+*Aufgabe des Entscheiders ist es,&nbsp; einen Schätzwert für den Empfangsvektor&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; nach der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Struktur_des_optimalen_Empfängers#Fundamentaler_Ansatz_zum_optimalen_Empf.C3.A4ngerentwurf |"MAP&ndash;Entscheidungsregel"]]&nbsp; anzugeben.&nbsp; Diese lautet im vorliegenden Fall mit&nbsp; $\boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \hspace{0.05cm}\rho_2)
 \hspace{0.05cm}$:
 :$$\hat{m} = {\rm arg} \max_i \hspace{0.1cm} \big[ {\rm Pr}( m_i) \cdot p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\boldsymbol{ \rho } \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i )\big ]

@@ Zeile 310: / Zeile 310: @@
 == Union Bound - Obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit==
 <br>
-Bei beliebigen Werten von&nbsp; $M$&nbsp; gilt für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht&nbsp; $m_i$&nbsp; $($bzw. das Signal &nbsp;$\boldsymbol{s}_i)$&nbsp; gesendet wurde:
+Bei beliebigen Werten von&nbsp; $M$&nbsp; gilt für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung,&nbsp; dass die Nachricht&nbsp; $m_i$&nbsp; $($bzw. das Signal &nbsp;$\boldsymbol{s}_i)$&nbsp; gesendet wurde:
 ::<math>{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = {\rm Pr} \left [ \bigcup_{k \ne i} { \cal E}_{ik}\right ]
@@ Zeile 317: / Zeile 317: @@
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Für diesen Ausdruck lässt sich mit einer Booleschen Ungleichung &ndash; der so genannten &nbsp;'''Union Bound''' &ndash; eine obere Schranke angeben:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Für diesen Ausdruck lässt sich mit einer Booleschen Ungleichung&nbsp; &ndash; der so genannten &nbsp;'''Union Bound''' &ndash;&nbsp; eine obere Schranke angeben:
 ::<math>{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_i ) \le \sum\limits_{k = 0, \hspace{0.1cm}k \ne i}^{M-1}
   {\rm Pr}({ \cal E}_{ik}) =  \sum\limits_{k = 0, \hspace{0.1cm}k \ne i}^{M-1}{\rm Q} \big [ d_{ik}/(2{\sigma_n}) \big ]\hspace{0.05cm}. </math>
-''Anmerkungen'':
+<u>Anmerkungen:</u>
-*$d_{ik} = \vert \hspace{-0.05cm} \vert \boldsymbol{s}_i - \boldsymbol{s}_k \vert \hspace{-0.05cm} \vert$&nbsp; ist der Abstand der Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$.
+#$d_{ik} = \vert \hspace{-0.05cm} \vert \boldsymbol{s}_i - \boldsymbol{s}_k \vert \hspace{-0.05cm} \vert$&nbsp; ist der Abstand der Signalraumpunkte&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_k$.
-*$\sigma_n$&nbsp; gibt den Effektivwert des AWGN&ndash;Rauschens an.<br>
+#$\sigma_n$&nbsp; gibt den Effektivwert des AWGN&ndash;Rauschens an.<br>
-*Die Union Bound ist nur bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(m_i) = 1/M$&nbsp; anwendbar.
+#Die&nbsp; "Union Bound"&nbsp; ist nur bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(m_i) = 1/M$&nbsp; anwendbar.
-*Auch dann muss zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit über alle&nbsp; $m_i$&nbsp; gemittelt werden.}}
+#Auch dann muss zur Berechnung der&nbsp; (mittleren)&nbsp; Fehlerwahrscheinlichkeit über alle&nbsp; $m_i$&nbsp; gemittelt werden.}}
@@ Zeile 332: / Zeile 332: @@
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Die Grafik verdeutlicht die &nbsp;<b>Union Bound</b>&nbsp; am Beispiel &nbsp;$M = 3$&nbsp; mit gleichwahrscheinlichen Symbolen: &nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) =  {\rm Pr}(m_2) =1/3$.<br>
-[[Datei:P ID2041 Dig T 4 3 S6 version1.png|center|frame|Zur Verdeutlichung der „Union Bound”|class=fit]]
+[[Datei:P ID2041 Dig T 4 3 S6 version1.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der „Union Bound”|class=fit]]
 Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:
-*Für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit gilt:
+:$${\rm Pr}({ \cal E} ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal C} )  \hspace{0.05cm},$$
-::<math>{\rm Pr}({ \cal E} ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal C} )  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm Pr}({ \cal C} ) = {1}/{3} \cdot
+:$${\rm Pr}({ \cal C} ) = {1}/{3} \cdot
-  \big [ {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0 ) + {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_1 ) + {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_2 ) \big ]\hspace{0.05cm}.</math>
+  \big [ {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0 ) + {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_1 ) + {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_2 ) \big ]\hspace{0.05cm}.$$
 *Der erste Term&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{r} \in I_0\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0)$&nbsp; im Klammerausdruck unter der Voraussetzung&nbsp; $m = m_0 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_0$&nbsp; ist in der linken Grafik durch die rote Region&nbsp; $I_0$&nbsp; visualisiert.
@@ Zeile 342: / Zeile 342: @@
 *Die Komplementärregion&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{r} \not\in I_0\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0)$&nbsp; ist links entweder blau oder grün oder blau&ndash;grün schraffiert markiert. Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0 )$&nbsp; mit
 :$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 )  =
-    {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1  \hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ r } \in I_2 \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) \le {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1   \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) +
+    {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1  \hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ r } \in I_2 \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) $$
-    {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_2   \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) ={\rm Q} \big [ d_{01}/(2{\sigma_n}) \big ]+
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 )  \le {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1   \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) +
     {\rm Q} \big [ d_{02}/(2{\sigma_n}) \big ]
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Das &bdquo;$\le$&rdquo;&ndash;Zeichen berücksichtigt hier, dass die blau&ndash;grün schraffierte Fläche sowohl zum Gebiet &nbsp;&bdquo;$\boldsymbol{r} \in I_1$&rdquo;&nbsp; als auch zum Gebiet &nbsp;&bdquo;$\boldsymbol{r} \in I_2$&rdquo;&nbsp; gehört, so dass die Summe einen zu großen Wert liefert. Das heißt: &nbsp; Die Union Bound liefert stets eine obere Schranke.<br>
+*Das &bdquo;$\le$&rdquo;&ndash;Zeichen berücksichtigt hier,&nbsp; dass die blau&ndash;grün schraffierte Fläche sowohl zum Gebiet &nbsp;&bdquo;$\boldsymbol{r} \in I_1$&rdquo;&nbsp; als auch zum Gebiet &nbsp;&bdquo;$\boldsymbol{r} \in I_2$&rdquo;&nbsp; gehört,&nbsp; so dass die Summe einen zu großen Wert liefert.&nbsp; Das heißt: &nbsp; Die Union Bound liefert stets eine obere Schranke.<br>
-*Die mittlere Grafik verdeutlicht die Berechnung der Union Bound unter der Voraussetzung, dass&nbsp; $m = m_1 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_1$&nbsp; gesendet wurde.
+*Die mittlere Grafik verdeutlicht die Berechnung der Union Bound unter der Voraussetzung,&nbsp; dass&nbsp; $m = m_1 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_1$&nbsp; gesendet wurde.
 *Dem rechten Bild liegt&nbsp; $m = m_2 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_2$&nbsp; zugrunde.}}<br>
@@ Zeile 356: / Zeile 359: @@
 == Weitere Aufwandsreduzierung bei der Union Bound==
 <br>
 [[Datei:P ID2032 Dig T 4 3 S6b version1.png|right|frame|Zur Definition der Nachbarmengen &nbsp;$N(i)$]]
 ::<math>{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) =  \sum\limits_{k = 0,  \hspace{0.1cm} k \ne i}^{M-1}{\rm Q}\big [ d_{ik}/(2{\sigma_n}) \big ]
@@ Zeile 367: / Zeile 370: @@
 ::<math>N(i) = \left \{ k \in \left \{ i = 0, 1, 2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, M-1   \right \}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} I_i  {\rm \hspace{0.15cm}grenzt \hspace{0.15cm}direkt \hspace{0.15cm}an \hspace{0.15cm}}I_k \right \}
   \hspace{0.05cm}. </math>
-Die Grafik verdeutlicht diese Definiton am Beispiel&nbsp; $M = 5$. Die Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; und&nbsp; $I_3$&nbsp; haben jeweils nur zwei direkte Nachbarn, während&nbsp; $I_4$&nbsp; an alle anderen Entscheidungsregionen angrenzt.
+Die Grafik verdeutlicht diese Definiton am Beispiel&nbsp; $M = 5$.
 Durch die Einführung der Nachbarmengen&nbsp; $N(i)$&nbsp; wird die Qualität der Union Bound&ndash;Approximation verbessert, das heißt, die Schranke liegt dann näher an der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wird also nach unten verschoben.
-<br clear=all>
+Durch die Einführung der Nachbarmengen&nbsp; $N(i)$&nbsp; wird die Qualität der Union Bound&ndash;Approximation verbessert,&nbsp; das heißt,&nbsp; die Schranke liegt dann näher an der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit,&nbsp; wird also nach unten verschoben.
-Eine weitere und häufig verwendete Schranke benutzt nur den minimalen Abstand&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; zwischen zwei Signalraumpunkten. Im obigen Beispiel tritt dieser zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; auf. Für gleichwahrscheinliche Symbole &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(m_i) =1/M$&nbsp; gilt dann die folgende Abschätzung:
 ::<math>{\rm Pr}({ \cal E} )  \le    \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} \left [ {\rm Pr}(m_i) \cdot \sum\limits_{k \ne i }{\rm Q} \big [d_{ik}/(2{\sigma_n})\big ] \right ]
@@ Zeile 379: / Zeile 389: @@
 Hierzu ist anzumerken:
-*Diese Schranke ist auch für große&nbsp; $M$&ndash;Werte sehr einfach zu berechnen. Bei vielen Anwendungen ergibt sich jedoch damit  für die Fehlerwahrscheinlichkeit ein viel zu großer Wert.<br>
+#Diese Schranke ist auch für große&nbsp; $M$&nbsp; sehr einfach zu berechnen.&nbsp; Bei vielen Anwendungen ergibt sich jedoch damit  eine viel zu große Fehlerwahrscheinlichkeit.<br>
+#Die Schranke ist nur dann gleich der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit,&nbsp; wenn die Distanzen aller&nbsp; $M$&nbsp; Signalpunkte zueinander gleich&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; sind.<br>
-*Die Schranke ist nur dann gleich der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn alle Regionen an alle anderen direkt angrenzen und die Distanzen aller&nbsp; $M$&nbsp; Signalpunkte zueinander gleich&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; sind.<br>
+#Im Sonderfall&nbsp; $M = 2$&nbsp; ist diese Voraussetzung häufig  erfüllt,&nbsp; so dass die Schranke exakt mit der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit übereinstimmt.<br>
 == Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 349: / Zeile 349: @@
 == Weitere Aufwandsreduzierung bei der Union Bound==
 <br>
-[[Datei:P ID2032 Dig T 4 3 S6b version1.png|right|frame|Zur Definition der Nachbarmengen $N(i)$]]
+[[Datei:P ID2032 Dig T 4 3 S6b version1.png|right|frame|Zur Definition der Nachbarmengen &nbsp;$N(i)$]]
-Die Abschätzung nach der &bdquo;Union Bound&rdquo; lässt sich weiter verbessern, indem man nur solche Signalraumpunkte berücksichtigt, die direkte Nachbarn des aktuellen Sendevektors $\boldsymbol{s}_i$ sind:
+Die Abschätzung nach der &bdquo;Union Bound&rdquo; lässt sich weiter verbessern, indem man nur solche Signalraumpunkte berücksichtigt, die direkte Nachbarn des aktuellen Sendevektors&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; sind:
 ::<math>{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) =  \sum\limits_{k = 0,  \hspace{0.1cm} k \ne i}^{M-1}{\rm Q}\big [ d_{ik}/(2{\sigma_n}) \big ]
@@ Zeile 356: / Zeile 356: @@
   \hspace{0.05cm}. </math>
-Dazu definieren wir die Nachbarn von $\boldsymbol{s}_i$ als
+Dazu definieren wir die Nachbarn von&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$ als
 ::<math>N(i) = \left \{ k \in \left \{ i = 0, 1, 2, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, M-1   \right \}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} I_i  {\rm \hspace{0.15cm}grenzt \hspace{0.15cm}direkt \hspace{0.15cm}an \hspace{0.15cm}}I_k \right \}
   \hspace{0.05cm}. </math>
-Die Grafik verdeutlicht diese Definiton am Beispiel $M = 5$. Die Regionen $I_0$ und $I_3$ haben jeweils nur zwei direkte Nachbarn, während $I_4$ an alle anderen Entscheidungsregionen angrenzt.
+Die Grafik verdeutlicht diese Definiton am Beispiel&nbsp; $M = 5$. Die Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; und&nbsp; $I_3$&nbsp; haben jeweils nur zwei direkte Nachbarn, während&nbsp; $I_4$&nbsp; an alle anderen Entscheidungsregionen angrenzt.
-Durch die Einführung der Nachbarmengen $N(i)$ wird die Qualität der Union Bound&ndash;Approximation verbessert, das heißt, die Schranke liegt dann näher an der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wird also nach unten verschoben.
+Durch die Einführung der Nachbarmengen&nbsp; $N(i)$&nbsp; wird die Qualität der Union Bound&ndash;Approximation verbessert, das heißt, die Schranke liegt dann näher an der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wird also nach unten verschoben.
+<br clear=all>
+Eine weitere und häufig verwendete Schranke benutzt nur den minimalen Abstand&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; zwischen zwei Signalraumpunkten. Im obigen Beispiel tritt dieser zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; auf. Für gleichwahrscheinliche Symbole &nbsp; &#8658; &nbsp; ${\rm Pr}(m_i) =1/M$&nbsp; gilt dann die folgende Abschätzung:
 ::<math>{\rm Pr}({ \cal E} )  \le    \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} \left [ {\rm Pr}(m_i) \cdot \sum\limits_{k \ne i }{\rm Q} \big [d_{ik}/(2{\sigma_n})\big ] \right ]
@@ Zeile 373: / Zeile 372: @@
 Hierzu ist anzumerken:
-*Diese Schranke ist auch für große $M$&ndash;Werte sehr einfach zu berechnen. Bei vielen Anwendungen ergibt sich jedoch damit  für die Fehlerwahrscheinlichkeit ein viel zu großer Wert.<br>
+*Diese Schranke ist auch für große&nbsp; $M$&ndash;Werte sehr einfach zu berechnen. Bei vielen Anwendungen ergibt sich jedoch damit  für die Fehlerwahrscheinlichkeit ein viel zu großer Wert.<br>
-*Die Schranke ist nur dann gleich der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn alle Regionen an alle anderen direkt angrenzen und die Distanzen aller $M$ Signalpunkte zueinander gleich $d_{\rm min}$ sind.<br>
+*Die Schranke ist nur dann gleich der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn alle Regionen an alle anderen direkt angrenzen und die Distanzen aller&nbsp; $M$&nbsp; Signalpunkte zueinander gleich&nbsp; $d_{\rm min}$&nbsp; sind.<br>
-*Im Sonderfall $M = 2$ sind diese beiden Voraussetzungen häufig  erfüllt, so dass dann die hier angegebene Schranke exakt mit der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit übereinstimmt.<br>
+*Im Sonderfall&nbsp; $M = 2$&nbsp; sind diese beiden Voraussetzungen häufig  erfüllt, so dass die Schranke exakt mit der tatsächlichen Fehlerwahrscheinlichkeit übereinstimmt.<br>
 == Aufgaben zum Kapitel==

@@ Zeile 303: / Zeile 303: @@
 == Union Bound - Obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit==
 <br>
-Bei beliebigen Werten von $M$ gilt für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht $m_i$ (bzw. das Signal $\boldsymbol{s}_i$) gesendet wurde:
+Bei beliebigen Werten von&nbsp; $M$&nbsp; gilt für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht&nbsp; $m_i$&nbsp; $($bzw. das Signal &nbsp;$\boldsymbol{s}_i)$&nbsp; gesendet wurde:
 ::<math>{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) = {\rm Pr} \left [ \bigcup_{k \ne i} { \cal E}_{ik}\right ]
-  \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{ \cal E}_{ik}\hspace{-0.1cm}: \boldsymbol{ r }{\rm \hspace{0.15cm}liegt \hspace{0.15cm}n\ddot{a}her \hspace{0.15cm}bei \hspace{0.15cm}}\boldsymbol{ s }_k {\rm \hspace{0.15cm}als \hspace{0.15cm}beim \hspace{0.15cm}Sollwert \hspace{0.15cm}}\boldsymbol{ s }_i
+  \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \cal E}_{ik}\hspace{-0.1cm}: \boldsymbol{ r }{\rm \hspace{0.15cm}liegt \hspace{0.15cm}n\ddot{a}her \hspace{0.15cm}bei \hspace{0.15cm}}\boldsymbol{ s }_k {\rm \hspace{0.15cm}als \hspace{0.15cm}beim \hspace{0.15cm}Sollwert \hspace{0.15cm}}\boldsymbol{ s }_i
   \hspace{0.05cm}. </math>
 {{BlaueBox|TEXT=
-$\text{Definition:}$&nbsp; Für diesen Ausdruck lässt sich mit einer Booleschen Ungleichung, der so genannten '''Union Bound''', eine obere Schranke angeben:
+$\text{Definition:}$&nbsp; Für diesen Ausdruck lässt sich mit einer Booleschen Ungleichung &ndash; der so genannten &nbsp;'''Union Bound''' &ndash; eine obere Schranke angeben:
 ::<math>{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_i ) \le \sum\limits_{k = 0, \hspace{0.1cm}k \ne i}^{M-1}
@@ Zeile 316: / Zeile 316: @@
 ''Anmerkungen'':
-*$d_{ik} = \vert \hspace{-0.05cm} \vert \boldsymbol{s}_i - \boldsymbol{s}_k \vert \hspace{-0.05cm} \vert$ ist der Abstand der Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$.
+*$d_{ik} = \vert \hspace{-0.05cm} \vert \boldsymbol{s}_i - \boldsymbol{s}_k \vert \hspace{-0.05cm} \vert$&nbsp; ist der Abstand der Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$.
-*$\sigma_n$ gibt den Effektivwert des AWGN&ndash;Rauschens an.<br>
+*$\sigma_n$&nbsp; gibt den Effektivwert des AWGN&ndash;Rauschens an.<br>
-*Die Union Bound ist nur bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(m_i) = 1/M$ anwendbar.
+*Die Union Bound ist nur bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp; &rArr; &nbsp; ${\rm Pr}(m_i) = 1/M$&nbsp; anwendbar.
-*Auch dann muss zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit über alle $m_i$ gemittelt werden.}}
+*Auch dann muss zur Berechnung der (mittleren) Fehlerwahrscheinlichkeit über alle&nbsp; $m_i$&nbsp; gemittelt werden.}}
 {{GraueBox|TEXT=
-$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Die Grafik verdeutlicht die <b>Union Bound</b> am Beispiel $M = 3$ mit gleichwahrscheinlichen Symbolen:  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) =  {\rm Pr}(m_2) =1/3$.<br>
+$\text{Beispiel 5:}$&nbsp; Die Grafik verdeutlicht die &nbsp;<b>Union Bound</b>&nbsp; am Beispiel &nbsp;$M = 3$&nbsp; mit gleichwahrscheinlichen Symbolen: &nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) =  {\rm Pr}(m_2) =1/3$.<br>
 [[Datei:P ID2041 Dig T 4 3 S6 version1.png|center|frame|Zur Verdeutlichung der „Union Bound”|class=fit]]
@@ Zeile 331: / Zeile 331: @@
   \big [ {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0 ) + {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_1 ) + {\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_2 ) \big ]\hspace{0.05cm}.</math>
-*Der erste Term ${\rm Pr}(\boldsymbol{r} \in I_0\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0)$ im Klammerausdruck unter der Voraussetzung $m = m_0 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_0$ ist in der linken Grafik durch die rote Region $I_0$ visualisiert.
+*Der erste Term&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{r} \in I_0\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0)$&nbsp; im Klammerausdruck unter der Voraussetzung&nbsp; $m = m_0 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_0$&nbsp; ist in der linken Grafik durch die rote Region&nbsp; $I_0$&nbsp; visualisiert.
-*Die Komplementärregion ${\rm Pr}(\boldsymbol{r} \not\in I_0\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0)$ ist links entweder blau oder grün oder blau&ndash;grün schraffiert markiert. Es gilt ${\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0 )$ mit
+*Die Komplementärregion&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{r} \not\in I_0\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0)$&nbsp; ist links entweder blau oder grün oder blau&ndash;grün schraffiert markiert. Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}({ \cal C}\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) = 1 - {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}\vert \hspace{0.05cm} m_0 )$&nbsp; mit
 :$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 )  =
     {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1  \hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm} \boldsymbol{ r } \in I_2 \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) \le {\rm Pr}(\boldsymbol{ r } \in I_1   \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} m_0 ) +
@@ Zeile 340: / Zeile 340: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Das &bdquo;$\le$&rdquo;&ndash;Zeichen berücksichtigt hier, dass die blau&ndash;grün schraffierte Fläche sowohl zum Gebiet &bdquo;$\boldsymbol{r} \in I_1$&rdquo; als auch zum Gebiet &bdquo;$\boldsymbol{r} \in I_2$&rdquo; gehört, so dass die Summe einen zu großen Wert liefert. Das heißt: Die Union Bound liefert stets eine obere Schranke.<br>
+*Das &bdquo;$\le$&rdquo;&ndash;Zeichen berücksichtigt hier, dass die blau&ndash;grün schraffierte Fläche sowohl zum Gebiet &nbsp;&bdquo;$\boldsymbol{r} \in I_1$&rdquo;&nbsp; als auch zum Gebiet &nbsp;&bdquo;$\boldsymbol{r} \in I_2$&rdquo;&nbsp; gehört, so dass die Summe einen zu großen Wert liefert. Das heißt: &nbsp; Die Union Bound liefert stets eine obere Schranke.<br>
-*Die mittlere Grafik verdeutlicht die Berechnung der Union Bound unter der Voraussetzung, dass $m = m_1 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_1$ gesendet wurde.
+*Die mittlere Grafik verdeutlicht die Berechnung der Union Bound unter der Voraussetzung, dass&nbsp; $m = m_1 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_1$&nbsp; gesendet wurde.
-*Dem rechten Bild liegt $m = m_2 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_2$ zugrunde.}}<br>
+*Dem rechten Bild liegt&nbsp; $m = m_2 \  \Leftrightarrow  \ \boldsymbol{s} =  \boldsymbol{s}_2$&nbsp; zugrunde.}}<br>

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 [[Aufgaben:4.08Z_Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_drei_Symbolen|Aufgabe 4.8Z: Fehlerwahrscheinlichkeit bei drei Symbolen]]
-[[Aufgaben:4.9 Entscheidungsregionen bei Laplace|Aufgabe 4.9: Entscheidungsregionen bei Laplace]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.09:_Entscheidungsregionen_bei_Laplace|Aufgabe 4.9: Entscheidungsregionen bei Laplace]]
-[[Aufgaben:Aufgabe_4.09:_Entscheidungsregionen_bei_Laplace|Aufgabe 4.9Z: Laplace-verteiltes Rauschen]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.09Z:_Laplace-verteiltes_Rauschen|Aufgabe 4.9Z: Laplace-verteiltes Rauschen]]
 [[Aufgaben:4.10_Union_Bound|Aufgabe 4.10: Union Bound]]

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 [[Aufgaben:4.06Z_Signalraumkonstellationen|Aufgabe 4.6Z: Signalraumkonstellationen]]
-[[Aufgaben:4.7 Nochmals Entscheidungsgrenzen|Aufgabe 4.7: Nochmals Entscheidungsgrenzen]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.07:_Nochmals_Entscheidungsgrenzen|Aufgabe 4.7: Nochmals Entscheidungsgrenzen]]
 [[Aufgaben:4.08_Entscheidungsregionen_bei_drei_Symbolen|Aufgabe 4.8: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen]]
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 [[Aufgaben:4.9 Entscheidungsregionen bei Laplace|Aufgabe 4.9: Entscheidungsregionen bei Laplace]]
-[[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen|Aufgabe 4.9Z: Laplace-verteiltes Rauschen]]
+[[Aufgaben:Aufgabe_4.09:_Entscheidungsregionen_bei_Laplace|Aufgabe 4.9Z: Laplace-verteiltes Rauschen]]
 [[Aufgaben:4.10_Union_Bound|Aufgabe 4.10: Union Bound]]