Beispiele von Nachrichtensystemen/xDSL als Übertragungstechnik - Versionsgeschichte

Guenter am 11. März 2023 um 15:01 Uhr

2023-03-11T15:01:37Z

Guenter am 5. August 2019 um 10:39 Uhr

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Guenter am 8. Februar 2018 um 16:03 Uhr

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Guenter am 8. Februar 2018 um 12:27 Uhr

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Guenter am 8. Februar 2018 um 09:53 Uhr

2018-02-08T09:53:32Z

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 ==Grundlagen der Quadratur–Amplitudenmodulation==
 <br>
-Die Grafik zeigt das Referenzmodell für ADSL–QAM, wobei wir uns hier nur mit den roten Funktionsblöcken&nbsp; ''QAM–Modulator''&nbsp; und&nbsp; ''QAM–Demodulator''&nbsp; beschäftigen wollen.
+Das Prinzip wurde bereits im Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|Quadratur–Amplitudenmodulation]]&nbsp; des Buches „Modulationsverfahren” ausführlich beschrieben.
-[[Datei:P_ID1940__Bei_T_2_3_S5_v2.png|center|frame|Referenzmodell für ADSL–QAM]]
+Hier folgt nur eine kurze Zusammenfassung anhand der unteren Grafik.
 [[Datei:P_ID1941__Bei_T_2_3_S5a_neu_v2.png|right|frame|Modell der Quadratur–Amplitudenmodulation]]
 *QAM ist ein Einträgermodulationsverfahren um die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$. Zunächst erfolgt eine blockweise Seriell–/Parallelwandlung des Bitstroms und die Signalraumzuordnung.
 *Aus jeweils&nbsp; $b$&nbsp; Binärsymbolen werden zwei mehrstufige Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_{{\rm I}n}$&nbsp; und&nbsp; $a_{{\rm Q}n}$&nbsp; abgeleitet (Inphase– und Quadraturkomponente), wobei beide Koeffizienten jeweils einen von&nbsp; $M = 2^{b/2}$&nbsp; möglichen Amplitudenwerten annehmen können.
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-[[Datei:P_ID3120__Bei_T_2_3_S5b_v1.png|right|frame|Quadratur–Amplitudenmodulation als Bandpass– und Tiefpassmodell]]
+[[Datei:P_ID3120__Bei_T_2_3_S5b_v1.png|right|frame|Quadratur–Amplitudenmodulation als Bandpass– und äquivalentes Tiefpassmodell]]
-Die letzte Grafik zeigt
+'''Äquivalentes Tiefpass–Modell'''
 *oben das Bandpass–Modell,
 *unten das äquivalente Tiefpass–Modell.
 In diesem kombiniert man Inphase– und Quadraturkoeffizient zum komplexen Amplitudenkoeffizienten
-:$$a_n = a_{\text{I}n} + {\rm j} · a_{\text{Q}n}$$
+:$$a_n = a_{\text{I}n} + {\rm j} · a_{\text{Q}n}.$$
-und ersetzt zusätzlich das C–Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; durch das äquivalente Tiefpass–Signal
+Zusätzlich  ersetzt man das physikalische Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; durch das äquivalente Tiefpass–Signal
 :$$s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} · s_{\rm Q}(t).$$
-Die Darstellung des QAM–Senders und des QAM–Empfängers ist Inhalt der Flash–Animation&nbsp;  [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation]].
+Die Darstellung des QAM–Senders und des QAM–Empfängers ist Inhalt der SWF&ndash;Flash–Animation&nbsp;  [[Applets:Prinzip_der_Quadratur-Amplitudenmodulation_(Applet)|"Prinzip der Quadratur–Amplitudenmodulation"]].
-<br clear=all>
 {{BlaueBox|TEXT=
 $\text{Fazit:}$&nbsp;
-*Mit steigendem Bitanzahl&nbsp; $b$&nbsp; und damit größerer Anzahl definierter Symbole&nbsp; $(M^2)$&nbsp; nimmt die Bandbreiteneffizienz zu, aber es steigt auch der Aufwand für die Signalverarbeitung.
+*Mit steigender Bitanzahl&nbsp; $b$&nbsp; und damit größerer Anzahl definierter Symbole&nbsp; $(M=b^2)$&nbsp; nimmt die Bandbreiteneffizienz zu.
 *Außerdem ist zu berücksichtigen, dass eine dichte QAM–Belegung nur bei ausreichend gutem Kanal angemessen ist.}}
 <br clear=all>
 ==Mögliche QAM-Signalraumkonstellationen==

@@ Zeile 361: / Zeile 361: @@
 [[2.4_DSL/DMT_mit_IDFT/DFT|Aufgabe 2.4: DSL/DMT_mit_IDFT/DFT]]
-[[2.4Z_Wiederholung_zur_IDFT|Aufgabe 2.4Z: Wiederholung_zur_IDFT]]
+[[2.4Z_Wiederholung_zur_IDFT|Aufgabe 2.4Z: Wiederholung zur IDFT]]
 {{Display}}

@@ Zeile 204: / Zeile 204: @@
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 3:}$&nbsp;
-Betrachten wir noch für die beschriebene $\rm 16\hspace{0.05cm}&ndash;\hspace{-0.02cm}QAM$ (linke Grafik, hier als ITU-Vorschlag bezeichnet) die sich ergebende Fehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN–Rauschen:
+Wir betrachten noch für die beschriebene&nbsp; $\rm 16\hspace{0.05cm}&ndash;\hspace{-0.02cm}QAM$&nbsp; (linke Grafik, hier als ITU-Vorschlag bezeichnet) die sich ergebende Fehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN–Rauschen:
 *Es kann davon ausgegangen werden, dass ein Fehler zu einem horizontal oder vertikal benachbarten Symbol führt, wie für den linken oberen (grünen) Punkt angedeutet.
-*Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p$ hängt dabei von der euklidischen Distanz der beiden Punkte und der AWGN–Rauschleistungsdichte $N_0$ ab.
+*Die Fehlerwahrscheinlichkeit $p$&nbsp; hängt von der Euklidischen Distanz der beiden Punkte und der AWGN–Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0$&nbsp; ab.
-*Eine Verfälschung zum weiter entfernten blauen Punkt ist bei Gaußschem Rauschen eher unwahrscheinlich.
+*Eine Verfälschung zum weiter entfernten blauen Punkt anstatt zu einem der beiden benachbarten gelben Punkte ist bei Gaußschem Rauschen eher unwahrscheinlich.
-[[Datei:P_ID1944__Bei_T_2_3_S6_v1.png|center|frame|Zur Fehlerwahrscheinlichkeit bei $\rm 16\hspace{0.05cm}&ndash;\hspace{-0.02cm}QAM$]]
+:$$p_{\rm S} =  {1}/{16} \cdot (4 \cdot 2 p + 8 \cdot 3  p +  4 \cdot 4   p) = 3p.$$
-:$$p_{\rm S} =  {1}/{16} \cdot (4 \cdot 2 p + 8 \cdot 3  p +  4 \cdot 4   p) = 3p.$$
+führt. Die Berechnung von&nbsp;  $p_{\rm B} $&nbsp;  ist hier mit einem gewissen Aufwand verbunden.
 Dagegen unterscheidet sich bei einer Gray–Codierung (rechtes Diagramm) jedes Symbol von seinen Nachbarn um genau ein Bit, und jeder Symbolfehler hat somit genau nur einen Bitfehler zur Folge. Da jedes einzelne Symbol vier Bit beinhaltet, gilt  in diesem Fall für die (mittlere) Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

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 Ohne Anspruch auf Vollständigkeit lässt sich dieser Belegungsplan wie folgt charakterisieren:
-*Um höhere Bitraten zu erreichen, werden hier achtmal so viele Bins verwendet als bei ADSL2+. Damit beträgt die Systembandbreite 8 · 2208 MHz = 17664 MHz, womit Übertragungsraten bis zu 100 Mbit/s (abhängig von Kabellänge und –beschaffenheit) ermöglicht werden.
+*Um höhere Bitraten zu erreichen, werden hier achtmal so viele Bins verwendet als bei ADSL2+. Damit beträgt die Systembandbreite&nbsp; $8 · \text{2208 MHz = 17664 MHz}$, womit Übertragungsraten bis zu $\text{100 Mbit/s}$&nbsp; (abhängig von Kabellänge und –beschaffenheit) ermöglicht werden.
 *Auch hier gilt, dass die Frequenzbänder für die Upstream–Subkanäle immer bei den niedrigeren Frequenzen angeordnet sind, da die größere Kabeldämpfung (mit der Frequenz zunehmend) beim Upstream einen prozentual größeren Einfluss auf die Gesamtbitrate hat als beim Downstream.
-*Bei VDSL(2)–Systemen wird stets das so genannte [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#M.C3.B6gliche_Bandbreitenbelegungen_f.C3.BCr_xDSL|Frequenzgetrenntlageverfahren]] verwendet. Eine Überlappung der Upstream– und Downstream–Frequenzbänder ist in der ITU–Spezifikation für VDSL(2) kategorisch ausgeschlossen.
+*Bei VDSL(2)–Systemen wird stets das so genannte&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#M.C3.B6gliche_Bandbreitenbelegungen_f.C3.BCr_xDSL|Frequenzgetrenntlageverfahren]]&nbsp; verwendet. Eine Überlappung der Upstream– und Downstream–Frequenzbänder ist in der ITU–Spezifikation für VDSL(2) kategorisch ausgeschlossen.
 *Bei den VDSL–Systemen in Deutschland sind die unteren Frequenzen wieder für ISDN reserviert. Danach folgen abwechselnd Bereiche für Upstream und Downstream. Aus den angegebenen Bereichsgrenzen erkennt man die gegenüber dem Downstream schmäleren Upstream–Bereiche.
 *Man erkennt eine abwechselnde Anordnung von Upstream– und Downstreambereichen. Ein Grund hierfür ist, dass bei diesem breiten Spektrum vermieden werden soll, dass eine Richtung (zum Beispiel abwärts) nur stark gedämpfte  (also hohe) Frequenzen zugewiesen bekommt.
-*Die VDSL(2)–Spezifikation sieht Belegungspläne bis zu Systembandbreiten von 30 MHz (nach dem Profil 30a) vor, die Übertragungsraten bis etwa 200 Mbit/s auf kurzen Strecken ermöglichen sollen. Dafür wird auch die Bandbreite der einzelnen Subkanäle gegenüber ADSL auf 8.625 kHz verdoppelt.
+*Die VDSL(2)–Spezifikation sieht Belegungspläne bis zu Systembandbreiten von&nbsp; $\text{30 MHz}$&nbsp; (nach dem Profil 30a) vor, die Übertragungsraten bis etwa&nbsp; $\text{ 200 Mbit/s}$&nbsp; auf kurzen Strecken ermöglichen sollen. Dafür wird auch die Bandbreite der einzelnen Subkanäle gegenüber ADSL auf&nbsp; $\text{8.625 kHz}$&nbsp;  verdoppelt.
-*Alle Belegungspläne werden mit verschiedenen Masken für das Leistungsdichtespektrum versehen, um so die maximale Sendeleistung und damit auch die Störung benachbarter Systeme im Kabelbündel (Nebensprechen) zu begrenzen.
+*Alle Belegungspläne werden mit verschiedenen Masken für das Leistungsdichtespektrum versehen, um so die maximale Sendeleistung und damit die Störung benachbarter Systeme im Kabelbündel (Nebensprechen) zu begrenzen.

@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 Die xDSL–Spezifikationen lassen den Betreibern viele Freiheiten hinsichtlich der Belegung.
 Zur notwendigen Richtungstrennung der xDSL–Signalübertragung nach
 *Abwärtsrichtung vom Anbieter zum Kunden (''Downstream'' mit möglichst hoher Datenrate),
@@ Zeile 19: / Zeile 17: @@
 wurden hierfür zwei Varianten standardisiert:
 Die Grafik stellt diese beiden Möglichkeiten vergleichend gegenüber.
 Grundsätzlich überlassen die Spezifikationen den Entwicklern/Betreibern die Entscheidung,
 *xDSL alleine auf der Teilnehmeranschlussleitung zu betreiben, oder
-*einen Mischbetrieb von xDSL mit den Telefondiensten POTS (''Plain Old Telephone Service'') oder ISDN (''Integrated Services Digital Network'') zu ermöglichen, und somit
+*einen Mischbetrieb von xDSL mit den Telefondiensten POTS&nbsp; (''Plain Old Telephone Service'')&nbsp; oder ISDN&nbsp; (''Integrated Services Digital Network'')&nbsp; zu ermöglichen,
-*den von den beiden Telefondiensten belegten unteren Frequenzbereich für xDSL auszuschließen oder auch zu belegen.
+*und somit den von den beiden Telefondiensten belegten unteren Frequenzbereich für xDSL auszuschließen oder auch zu belegen.
+<br clear=all>
 ==ADSL–Bandbreitenbelegung in Deutschland==
 <br>
 Wegen der technisch deutlich einfacheren Realisierbarkeit fiel in Deutschland für ADSL und ADSL2+ die Entscheidung zugunsten
 *des Frequenzgetrenntlageverfahrens,
 *die generelle Reservierung des unteren Frequenzbereichs für ISDN.
@@ Zeile 42: / Zeile 43: @@
 Das Frequenzgleichlageverfahren wird zwar teilweise noch verwendet, aber eher selten.
-[[Datei:P_ID1937__Bei_T_2_3_S2_v1.png|center|frame|ADSL–Bandbreitenbelegung in Deutschland]]
+Bei den Übertragungsverfahren
-Bei den Übertragungsverfahren [[Modulationsverfahren/Quadratur–Amplitudenmodulation|QAM]] (Quadratur–Amplitudenmodulation)  und [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#Carrierless_Amplitude_Phase_Modulation_.28CAP.29|CAP]] (''Carrierless Amplitude Phase Modulation'')  wird die für DSL verfügbare Bandbreite nicht weiter zerlegt. Dagegen werden beim Mehrträgerverfahren  [[Modulationsverfahren/Weitere_OFDM–Anwendungen#Eine_Kurzbeschreibung_von_DSL_.E2.80.93_Digital_Subscriber_Line|DMT]] (''Discrete Multitone Transmission'')  der Aufwärtskanal und der Abwärtskanal in $N_{\rm Up}$ bzw. $N_{\rm Down}$ Subkanäle (englisch: ''Bins'') zu je 4.3125 kHz aufgeteilt.
+wird die für DSL verfügbare Bandbreite nicht weiter zerlegt.
-Außerdem ist zu dieser Grafik anzumerken:
+Dagegen werden beim Mehrträgerverfahren&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Weitere_OFDM–Anwendungen#Eine_Kurzbeschreibung_von_DSL_.E2.80.93_Digital_Subscriber_Line|DMT]]&nbsp; (''Discrete Multitone Transmission'')  der Aufwärtskanal und der Abwärtskanal in&nbsp; $N_{\rm Up}$&nbsp; bzw.&nbsp; $N_{\rm Down}$&nbsp; Subkanäle&nbsp; (englisch: ''Bins'') zu je 4.3125 kHz aufgeteilt.
 *Telefondienste (POTS bzw. ISDN) und xDSL liegen in verschiedenen Frequenzbändern, was die gegenseitigen Störungen im Bündelkabel minimiert. Das signalstärkere ISDN stört somit nicht das parallel laufende xDSL und umgekehrt.
-*Der untere Frequenzbereich bis 120 kHz wurde für ISDN (wahlweise POTS) reserviert. Dieser Wert ergibt sich aus der ersten Nullstelle des [[Digitalsignalübertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes#AKF_und_LDS_der_4B3T.E2.80.93Codes|ISDN–Spektrums mit 4B3T–Codierung]]. Oberhalb von 120 kHz wird das ISDN–Spektrum vollständig unterdrückt.
+*Der untere Frequenzbereich bis $\text{120 kHz}$&nbsp; wurde für ISDN (wahlweise POTS) reserviert. Dieser Wert ergibt sich aus der ersten Nullstelle des&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Blockweise_Codierung_mit_4B3T-Codes#AKF_und_LDS_der_4B3T.E2.80.93Codes|ISDN–Spektrums mit 4B3T–Codierung]]. Oberhalb von $\text{120 kHz}$&nbsp; wird das ISDN–Spektrum vollständig unterdrückt.
-*Zur Trennung von Telefon– und xDSL–Signal wird an beiden Enden der Zweidrahtleitung ein [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL–Systeme#Komponenten_eines_DSL.E2.80.93Internetzugangs|Splitter]] eingesetzt, der je ein Tiefpassfilter und ein Hochpassfilter beinhaltet und auch die folgende Frequenzlücke bis 138 kHz berücksichtigt.
+*Zur Trennung von Telefon– und xDSL–Signal wird an beiden Enden der Zweidrahtleitung ein&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL–Systeme#Komponenten_eines_DSL.E2.80.93Internetzugangs|Splitter]]&nbsp; eingesetzt, der je ein Tiefpassfilter und ein Hochpassfilter beinhaltet und auch die folgende Frequenzlücke bis $\text{138 kHz}$&nbsp; berücksichtigt.
-*Nach dieser Belegungslücke folgt das ADSL–Upstream-Band von 138 kHz bis 276 kHz. Diese Bandbreite erlaubt die Übertragung von $N_{\rm Up} = 32$ Subträgern zu je 4.3125 kHz. Dieser Wert ergibt sich aus der Rahmenübertragungsgeschwindigkeit.
+*Nach dieser Belegungslücke folgt das ADSL–Upstream-Band von $\text{138 kHz}$&nbsp; bis&nbsp;$\text{276 kHz}$. Diese Bandbreite erlaubt die Übertragung von&nbsp; $N_{\rm Up} = 32$&nbsp; Subträgern zu je&nbsp;$\text{4.3125 kHz}$. Dieser Wert ergibt sich aus der Rahmenübertragungsgeschwindigkeit.
-*Der anschließende Downstream–Bereich reicht bei ADSL bis 1104 kHz, womit $N_{\rm Down} = 256$ Subträger realisiert werden können. Die Trennung von Auf– und Abwärtskanal bei xDSL erfolgt über ein Bandpassfilter im Modem.
+*Der anschließende Downstream–Bereich reicht bei ADSL bis $\text{1104 kHz}$, womit&nbsp; $N_{\rm Down} = 256$&nbsp; Subträger realisiert werden können. Die Trennung von Auf– und Abwärtskanal bei xDSL erfolgt über ein Bandpassfilter im Modem.
-*Allerdings dürfen die ersten 64 Subträger (dies entspricht 276 kHz) nicht belegt werden. Beim [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#M.C3.B6gliche_Bandbreitenbelegungen_f.C3.BCr_xDSL|Frequenzgleichlageverfahren]] wären nur 32 Subträger auszusparen, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Trennung von Aufwärts– und Abwärtsrichtung eine aufwändigere Realisierung erfordert.
+*Allerdings dürfen die ersten $64$ Subträger&nbsp; $($dies entspricht $\text{276 kHz)}$&nbsp; nicht belegt werden. Beim&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/xDSL_als_Übertragungstechnik#M.C3.B6gliche_Bandbreitenbelegungen_f.C3.BCr_xDSL|Frequenzgleichlageverfahren]]&nbsp; wären nur $32$ Subträger auszusparen, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Trennung von Aufwärts– und Abwärtsrichtung eine aufwändigere Realisierung erfordert.
-*Bei ADSL2+ ist die Systembandbreite gleich 2208 kHz &nbsp; ⇒ &nbsp; $N_{\rm Down} = 512$ Subträger. Die Anzahl der auszusparenden Bins bleibt gegenüber ADSL unverändert. Berücksichtigt man, dass zwei Bins von Kontrollfunktionen (beispielsweise zur Synchronisation von Sender und Empfänger) belegt werden, so verbleiben $190$ (ADSL) bzw. $446$ (ADSL2+) Downstream–Kanäle für Nutzer.
+*Bei ADSL2+ ist die Systembandbreite gleich $\text{2208 kHz}$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $N_{\rm Down} = 512$&nbsp; Subträger. Die Anzahl der auszusparenden Bins bleibt gegenüber ADSL unverändert. Berücksichtigt man, dass zwei Bins von Kontrollfunktionen (beispielsweise zur Synchronisation von Sender und Empfänger) belegt werden, so verbleiben $190$&nbsp; (ADSL) bzw. $446$&nbsp; (ADSL2+) Downstream–Kanäle für Nutzer.
 *Die in Deutschland vorgeschriebene ISDN–Reservierung hat für xDSL allerdings die Konsequenz, dass die niedrigen Frequenzen, die bei einer Kupferleitung mit Abstand am wenigsten gedämpft werden und damit eigentlich am besten geeignet wären, nicht genutzt werden können.
 *Aus der Frequenzanordnung erkennt man weiterhin, dass die Downstream–Subkanäle stärker gedämpft werden als die Upstream–Subkanäle (höhere Frequenzen) und demzufolge ein kleineres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis (SNR) aufweisen.
-*Die Entscheidung „Upstream unterhalb Downstream” hängt damit zusammen, dass der Ausfall von Downstream–Kanälen nur eine vergleichsweise geringe Auswirkung auf die Übertragungsrate hat. Im Upstream würde sich ein solcher Ausfall prozentual viel stärker bemerkbar machen.
+*Die Entscheidung&nbsp; „Upstream unterhalb Downstream”&nbsp; hängt damit zusammen, dass der Ausfall von Downstream–Kanälen nur eine vergleichsweise geringe Auswirkung auf die Übertragungsrate hat. Im Upstream würde sich ein solcher Ausfall prozentual viel stärker bemerkbar machen.

@@ Zeile 315: / Zeile 315: @@
 [[2.3_QAM–Signalraumbelegung|Aufgabe 2.3: QAM–Signalraumbelegung]]
-[[2.3Z_xDSL–Frequenzband|Zusatzaufgabe 2.3Z: xDSL–Frequenzband]]
+[[2.3Z_xDSL–Frequenzband|Aufgabe 2.3Z: xDSL–Frequenzband]]
 [[2.4_DSL/DMT_mit_IDFT/DFT|Aufgabe 2.4: DSL/DMT_mit_IDFT/DFT]]
-[[2.4Z_Wiederholung_zur_IDFT|Zusatzaufgabe 2.4Z: Wiederholung_zur_IDFT]]
+[[2.4Z_Wiederholung_zur_IDFT|Aufgabe 2.4Z: Wiederholung_zur_IDFT]]
 {{Display}}

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 *Zur Durchführung der DMT–Modulation wird beim Sender ein Block an Eingangsbits in einem Datenpuffer angesammelt, der als ein Rahmen übertragen werden soll.
 *Der QAM–Coder liefert pro Rahmen die komplexwertigen Datensymbole $D_1$, ... , $D_{255}$, die mit $D_0 = D_{256} = 0$ sowie $D_k = D_{512}–k∗ (k = 257,$ ... , $511)$ zum Vektor $\mathbf{D}$ der Länge $512$ erweitert wird. Als Konsequenz [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Finite_Signaldarstellung|finiter Signale]] sind $D_{257}$, ... , $D_{511}$ identisch mit $D_{–255}$, ... , $D_{–1}$.
-*Die Spektralabtastwerte $\mathbf{D}$ werden mittels der [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inversen Diskreten Fouriertransformation]] (IDFT) in den Vektor $\mathbf{s}$ der Zeitsignalabtastwerte umgerechnet, ebenfalls mit Länge $512$. Wegen der konjugiert–komplexen Belegung im Spektralbereich ist $\text{Im}\{\mathbf{s}\} = 0$.
+*Die Spektralabtastwerte $\mathbf{D}$ werden mittels der [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inversen Diskreten Fouriertransformation]] (IDFT) in den Vektor $\mathbf{s}$ der Zeitsignalabtastwerte umgerechnet, ebenfalls mit Länge $512$. Wegen der konjugiert–komplexen Belegung im Spektralbereich ist $\text{Im}[\mathbf{s}] = 0$.
-*Nach Parallel/Seriell– und Digital/Analog–Wandlung und Tiefpassfilterung von $\text{Re}\{\mathbf{s}\}$ ergibt sich das physikalische und damit reelle sowie zeitkontinuierliche Sendesignal $s(t)$. Für dieses gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$ (Faktor 2, da jeweils zwei Koeffizienten zu Cosinus/Sinus beitragen):
+*Nach Parallel/Seriell– und Digital/Analog–Wandlung und Tiefpassfilterung von $\text{Re}[\mathbf{s}]$ ergibt sich das physikalische und damit reelle sowie zeitkontinuierliche Sendesignal $s(t)$. Für dieses gilt im Bereich $0 ≤ t ≤ T$ (Faktor 2, da jeweils zwei Koeffizienten zu Cosinus/Sinus beitragen):
 :$$s(t) = \sum_{k = 1}^{255}  \left [ 2 \cdot{\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k  f_0 \cdot t ) - 2 \cdot{\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k  f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}. $$
-*Das Empfangssignal bei Übertragung über den AWGN–Kanal ist $r(t) = s(t) + n(t)$. Nach A/D– und S/P–Wandlung kann $r(t)$ durch den (reellen) Vektor $\mathbf{r}$ ausgedrückt werden. Die Diskrete Fouriertransformation (DFT) liefert dann Schätzwerte für die gesendeten Spektralkoeffizienten.
+*Das Empfangssignal bei Übertragung über den AWGN–Kanal ist $r(t) = s(t) + n(t)$. Nach A/D– und S/P–Wandlung kann $r(t)$ durch den (reellen) Vektor $\mathbf{r}$ ausgedrückt werden. Die [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Von_der_kontinuierlichen_zur_diskreten_Fouriertransformation|Diskrete Fouriertransformation]] (DFT) liefert dann Schätzwerte für die gesendeten Spektralkoeffizienten.
 {{GraueBox|TEXT=
 $\text{Beispiel 5:}$&nbsp;
-Betrachten wir als Beispiel den ADSL/DMT–Downstream. In der linken Grafik erkennt man die Beträge $|D_k|$ der belegten Subkanäle 64, ... , 255. Die Träger 0, ... , 63 für den reservierten Frequenzbereich von ISDN und Upstream sind auf 0 gesetzt. Rechts daneben sind die Spektralkoeffizienten $D_{64}, ... , D_{255}$ in der komplexen Zahlenebene dargestellt, wobei der Signalraum sehr groß gewählt ist.
+Betrachten wir als Beispiel den ADSL/DMT–Downstream.
 Zusammenfassend lässt sich sagen:
 *DMT ist im Prinzip die parallele Realisierung vieler schmalbandiger QAM–Modems mit unterschiedlichen Trägern und verhältnismäßig geringen Datenübertragungsraten.
-*Die geringe Bandbreite pro Subträger ermöglicht eine lange Symboldauer, vermindert somit den Einfluss von Intersymbolinterferenzen und verringert den Entwicklungsaufwands für Entzerrer.
+*Die geringe Bandbreite pro Subträger ermöglicht eine lange Symboldauer, vermindert somit den Einfluss von Intersymbolinterferenzen und verringert den Entwicklungsaufwand für Entzerrer.
 *Ein wesentlicher Grund für den Erfolg von DMT ist die technisch einfache Realisierung. IDFT und DFT werden mit digitalen Signalprozessoren (DSP) in Echtzeit gebildet.
-*Da die Vektoren die Länge 512 (Zweierpotenz) besitzen, kann hierfür der besonders schnelle FFT–Algorithmus (''Fast Fourier Transformation'') angewendet werden.
+*Da die Vektoren die Länge $512$ (Zweierpotenz) besitzen, kann hierfür der besonders schnelle FFT–Algorithmus (''Fast Fourier Transformation'') angewendet werden.}}
-==Aufgaben zu Kapitel 2.3 ==
+==Aufgaben zum Kapitel ==
 [[2.3_QAM–Signalraumbelegung|Aufgabe 2.3: QAM–Signalraumbelegung]]

@@ Zeile 272: / Zeile 272: @@
 ==DMT–Realisierung mit IDFT/DFT==
 <br>
-Die folgende Grafik zeigt das DMT–Gesamtsystem, wobei wir uns zunächst auf die beiden roten Blöcke konzentrieren. Die blauen Blöcke werden im Kapitel 2.4 behandelt.
+[[Datei:P_ID1949__Bei_T_2_3_S9a_v3.png|thumb|350px|DMT&ndash;Gesamtsystem]]
-In vereinfachter Form lassen sich Sender und Empfänger wie in der unteren Grafik darstellen:
+:$$s(t) = \sum_{k = 1}^{255}  \left [ 2 \cdot{\rm Re}\{D_k\} \cdot \cos(2\pi \cdot k  f_0 \cdot t ) - 2 \cdot{\rm Im}\{D_k\} \cdot \sin(2\pi \cdot k  f_0 \cdot t )\right ] \hspace{0.05cm}. $$
 *Das Empfangssignal bei Übertragung über den AWGN–Kanal ist $r(t) = s(t) + n(t)$. Nach A/D– und S/P–Wandlung kann $r(t)$ durch den (reellen) Vektor $\mathbf{r}$ ausgedrückt werden. Die Diskrete Fouriertransformation (DFT) liefert dann Schätzwerte für die gesendeten Spektralkoeffizienten.
-−
 Betrachten wir als Beispiel den ADSL/DMT–Downstream. In der linken Grafik erkennt man die Beträge $|D_k|$ der belegten Subkanäle 64, ... , 255. Die Träger 0, ... , 63 für den reservierten Frequenzbereich von ISDN und Upstream sind auf 0 gesetzt. Rechts daneben sind die Spektralkoeffizienten $D_{64}, ... , D_{255}$ in der komplexen Zahlenebene dargestellt, wobei der Signalraum sehr groß gewählt ist.
 Die untere Grafik zeigt das Sendesignal $s(t)$ für die Rahmendauer $T$ = $\frac{1}{f_0}$ ≈ 232 μs, das sich durch TP–Filterung der IDFT–Werte $s_0, ... , s_{511}$ ergibt. Dieses Nutzsignal sieht nahezu aus wie Rauschen.
-Das Hauptproblem des DMT–Verfahrens ist der ungünstige Crestfaktor  ⇒  Verhältnis von Maximalwert $s_{\rm max}$ und dem Effektivwert $s_{\rm eff}$ (Wurzel aus der mittleren Leistung) an. Der im beispielhaften Signalverlauf erkennbare große Dynamikbereich stellt hohe Anforderungen an die Linearität der Verstärker. Bei Begrenzung des Aussteuerbereichs werden die Spitzen von $s(t)$ abgeschnitten, was wie eine Impulsstörung wirkt und eine zusätzliche Rauschbelastung für das System darstellt.
+Das Hauptproblem des DMT–Verfahrens ist der ungünstige Crestfaktor  ⇒  Verhältnis von Maximalwert $s_{\rm max}$ und dem Effektivwert $s_{\rm eff}$ (Wurzel aus der mittleren Leistung) an. Der im beispielhaften Signalverlauf erkennbare große Dynamikbereich stellt hohe Anforderungen an die Linearität der Verstärker. Bei Begrenzung des Aussteuerbereichs werden die Spitzen von $s(t)$ abgeschnitten, was wie eine Impulsstörung wirkt und eine zusätzliche Rauschbelastung für das System darstellt.}}
 Zusammenfassend lässt sich sagen: