Beispiele von Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:26:08Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:26 Uhr
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	*Um eine einfache Demodulation zu ermöglichen, sollten die beiden Signale mit den Frequenzen  $f_{\rm T} ± Δf$  innerhalb der Symboldauer  $T$  orthogonal zueinander sein. Demzufolge muss gelten:		*Um eine einfache Demodulation zu ermöglichen, sollten die beiden Signale mit den Frequenzen  $f_{\rm T} ± Δf$  innerhalb der Symboldauer  $T$  orthogonal zueinander sein. Demzufolge muss gelten:

	:$$\int^{T} _{0} \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}+ \Delta f_{\rm A} )\big)\cdot \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}- \Delta f_{\rm A} )\big)\,{\~~rmd~~}t= 0\hspace{0.05cm}. $$		:$$\int^{T} _{0} \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}+ \Delta f_{\rm A} )\big)\cdot \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}- \Delta f_{\rm A} )\big)\,{\rm d}t= 0\hspace{0.05cm}. $$

	:Daraus ergibt sich für den  '''Frequenzhub'''  die Anforderung:		:Daraus ergibt sich für den  '''Frequenzhub'''  die Anforderung:

	:$$\Delta f_{\rm A} = \frac{k}{4 \cdot T}\hspace{0.2cm}{\~~rmmit~~}\hspace{0.2cm}k = 1, 2, 3, \text{...}$$		:$$\Delta f_{\rm A} = \frac{k}{4 \cdot T}\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}k = 1, 2, 3, \text{...}$$

	*Da bei FSK–Systemen der  '''Modulationsindex'''  zu  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T$  definiert ist, folgt  $h = k/2$. Der kleinste Wert unter Einhaltung der Orthogonalitätsbedingungen ist somit  $h_{\rm min} = 0.5$.		*Da bei FSK–Systemen der  '''Modulationsindex'''  zu  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T$  definiert ist, folgt  $h = k/2$. Der kleinste Wert unter Einhaltung der Orthogonalitätsbedingungen ist somit  $h_{\rm min} = 0.5$.
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	{{Display}}		{{Display}}
			[[en:Examples_of_Communication_Systems/Radio_Interface]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:37:35Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:36Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Degradation um  $3\ \rm dB$. Das interaktive Applet  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte der hier verwendeten Funktionen  ${\rm Q}(x)$  bzw.  $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$.		*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Degradation um  $3\ \rm dB$. Das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte der hier verwendeten Funktionen  ${\rm Q}(x)$  bzw.  $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$.
	*Ein Vorteil der GMSK gegenüber der QPSK ist, dass sich trotz der spektralen Formung des Grundimpulses eine konstante Hüllkurve ergibt. Deshalb spielen Nichtlinearitäten auf dem Kanal nicht eine so große Rolle als bei anderen Modulationsverfahren. Dies ermöglicht den Einsatz einfacher und kostengünstiger Leistungsverstärker, einen geringeren Leistungsverbrauch und damit auch längere Betriebsdauern akkubetriebener Geräte.		*Ein Vorteil der GMSK gegenüber der QPSK ist, dass sich trotz der spektralen Formung des Grundimpulses eine konstante Hüllkurve ergibt. Deshalb spielen Nichtlinearitäten auf dem Kanal nicht eine so große Rolle als bei anderen Modulationsverfahren. Dies ermöglicht den Einsatz einfacher und kostengünstiger Leistungsverstärker, einen geringeren Leistungsverbrauch und damit auch längere Betriebsdauern akkubetriebener Geräte.

Guenter am 8. August 2019 um 13:04 Uhr

2019-08-08T13:04:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. August 2019, 15:04 Uhr
Zeile 175:		Zeile 175:
	== Minimum Shift Keying (MSK) ==		== Minimum Shift Keying (MSK) ==
	<br>		<br>
	Die Grafik zeigt das Modell zur Erzeugung einer MSK–Modulation und typische Signalverläufe. Man erkennt		Die Grafik zeigt das Modell zur Erzeugung einer MSK–Modulation und typische Signalverläufe.

			[[Datei:P_ID2190__Bei_T_3_2_S6_v1.png\|center\|frame\|Blockschaltbild zur Erzeugung einer MSK und entsprechende Signalverläufe]]
			Man erkennt

	~~[[Datei:P_ID2190__Bei_T_3_2_S6_v1.png\|right\|frame\|Blockschaltbild zur Erzeugung eines MSK–Signals]]~~
	*am Punkt  '''(1)'''  das digitale Quellensignal, bestehend aus einer Folge von Diracimpulsen im Abstand  $T$, gewichtet mit den Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$:		*am Punkt  '''(1)'''  das digitale Quellensignal, bestehend aus einer Folge von Diracimpulsen im Abstand  $T$, gewichtet mit den Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$:

Zeile 192:		Zeile 194:
	:$$\phi(t) = \frac{\pi}{2}\cdot \int_{0}^{t}		:$$\phi(t) = \frac{\pi}{2}\cdot \int_{0}^{t}
	q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$		q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
	~~<br clear=all>~~

	Die Phasenwerte bei der Symboldauer $T$ sind Vielfache von  $π/2 \ (90^\circ)$, wobei der für MSK gültige Modulationsindex  $h = 0.5$  berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich am Punkt  '''(4)'''  des Blockschaltbildes das MSK–Signal zu		Die Phasenwerte bei der Symboldauer $T$ sind Vielfache von  $π/2 \ (90^\circ)$, wobei der für MSK gültige Modulationsindex  $h = 0.5$  berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich am Punkt  '''(4)'''  des Blockschaltbildes das MSK–Signal zu

Zeile 199:		Zeile 202:

	Die Realisierung von  ''Minimum Shift Keying''  (MSK) durch eine spezielle Variante von  ''Offset–QPSK''  wird durch das interaktive Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset–QPSK]]  verdeutlicht.		Die Realisierung von  ''Minimum Shift Keying''  (MSK) durch eine spezielle Variante von  ''Offset–QPSK''  wird durch das interaktive Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset–QPSK]]  verdeutlicht.



Zeile 206:		Zeile 210:
	Ein Vorteil von MSK gegenüber anderen Modulationsarten ist der geringere Bandbreitenbedarf. Durch geringfügige Modifikationen hin zum  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#GMSK_.E2.80.93_Gaussian_Minimum_Shift_Keying\|Gaussian Minimum Shift Keying]]  – abgekürzt GMSK– ergibt sich nochmals eine schmaleres Spektrum.		Ein Vorteil von MSK gegenüber anderen Modulationsarten ist der geringere Bandbreitenbedarf. Durch geringfügige Modifikationen hin zum  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#GMSK_.E2.80.93_Gaussian_Minimum_Shift_Keying\|Gaussian Minimum Shift Keying]]  – abgekürzt GMSK– ergibt sich nochmals eine schmaleres Spektrum.

	[[Datei:~~P_ID2190__Bei_T_3_2_S6_v1~~.png\|center\|frame\|Blockschaltbild zur Erzeugung ~~eines GMSK–Signals~~]]		[[Datei:P_ID1748__Mod_T_4_4_S9_neu.png \|center\|frame\| Blockschaltbild zur Erzeugung einer GMSK und entsprechende Signalverläufe]]

	Man erkennt aus dem Blockschaltbild folgende Unterschiede zum MSK (wir verweisen auf das interaktive Applet  [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation\|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]):		Man erkennt aus dem Blockschaltbild folgende Unterschiede zum MSK (wir verweisen auf das interaktive Applet  [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation\|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]):

Guenter am 8. August 2019 um 12:52 Uhr

2019-08-08T12:52:12Z

Guenter am 8. August 2019 um 12:31 Uhr

2019-08-08T12:31:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. August 2019, 14:31 Uhr
Zeile 225:		Zeile 225:
	==Vor– und Nachteile von GMSK==		==Vor– und Nachteile von GMSK==
	<br>		<br>
	Hier werden die wichtigsten Merkmale des Modulationsverfahren ''Gaussian Minimum Shift Keying'' zusammenfassend aufgeführt. Ein wesentlicher Vorteil von GMSK ist der sehr geringe Bandbreitenbedarf. Die linke Grafik zeigt das logarithmierte Leistungsdichtespektrum $10 · \text{lg} ß {\it Φ}_s(f)/{\it Φ}_0$ des Verfahrens Minimum Shift Keying (MSK) im Vergleich zu ''Quaternary Phase Shift Keying'' (QPSK), wobei ${\it Φ}_0$ „geeignet” gewählt wurde.		Hier werden die wichtigsten Merkmale des Modulationsverfahren  ''Gaussian Minimum Shift Keying''  zusammenfassend aufgeführt.

	~~[[Datei~~:~~P_ID1200__Bei_T_3_2_S10_v2~~.~~png\|center\|frame\|Leistungsdichtespektren von QPSK und MSK]]~~		{{BlaueBox\|TEXT=
			$\text{Fazit:}$
			Der wesentliche Vorteil von GMSK ist der sehr geringe Bandbreitenbedarf.}}

	Man erkennt aus dieser dem Buch [Kam04]<ref name ='Kam04'>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung''. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref> entnommenen Darstellung. Auf der Abszisse ist die normierte Frequenz $f · T_{\rm B}$ aufgetragen. Bei MSK ist die Bitdauer $T_{\rm B}$ gleich der Symboldauer $T$, während bei QPSK $T_{\rm B} = T/2$ gilt. Im rechten Diagramm, das sich ausschließlich auf (G)MSK bezieht, könnte die Abszisse auch mit $f · T$ beschriftet werden.
	*Betrachten wir zunächst die linke Grafik: Die erste Nullstelle im Leistungsdichtespektrum (LDS) tritt bei der QPSK (gestrichelte Kurve) beim normierten Abszissenwert $f · T_{\rm B} = 0.5$ auf, bei der MSK dagegen erst bei $f · T_{\rm B} = 0.75$.
	*Im weiteren Verlauf ergibt sich jedoch bei MSK ein deutlich schnellerer LDS–Abfall als der asymptotische $f^{-2}$–Abfall bei QPSK. Zu beachten ist, dass für die MSK ein Cosinusimpuls zur Spektralformung zugrunde liegt und für die QPSK ein Rechteckimpuls.

			[[Datei:P_ID1200__Bei_T_3_2_S10_v2.png\|right\|frame\|Leistungsdichtespektren von QPSK und MSK]]
			Die folgende Grafik wurde dem Buch  [Kam04]<ref name ='Kam04'>Kammeyer, K.D.: ''Nachrichtenübertragung''. Stuttgart: B.G. Teubner, 4. Auflage, 2004.</ref>  entnommen.
			*Die linke Grafik zeigt das logarithmierte Leistungsdichtespektrum  $10 · \text{lg} \ {\it Φ}_s(f)/{\it Φ}_0$  des Verfahrens  ''Minimum Shift Keying''  (MSK) im Vergleich zu  ''Quaternary Phase Shift Keying''  (QPSK), wobei  ${\it Φ}_0$  „geeignet” gewählt wurde.
			*Auf der Abszisse ist die normierte Frequenz  $f · T_{\rm B}$  aufgetragen. Bei MSK ist die Bitdauer  $T_{\rm B}$  gleich der Symboldauer  $T$, während bei QPSK  $T_{\rm B} = T/2$  gilt.
			*Im rechten Diagramm, das sich ausschließlich auf  (G)MSK  bezieht, könnte die Abszisse auch mit  $f · T$  beschriftet werden.
			<br clear=all>
			Man erkennt aus der linken Darstellung:
			*Die erste Nullstelle im Leistungsdichtespektrum (LDS) tritt bei der QPSK (gestrichelte Kurve) beim normierten Abszissenwert  $f · T_{\rm B} = 0.5$  auf, bei der MSK dagegen erst bei  $f · T_{\rm B} = 0.75$.
			*Im weiteren Verlauf ergibt sich jedoch bei MSK ein deutlich schnellerer LDS–Abfall als der asymptotische  $f^{-2}$–Abfall bei QPSK.
			*Zu beachten ist, dass für die MSK ein Cosinusimpuls zur Spektralformung zugrunde liegt und für die QPSK ein Rechteckimpuls.

	Die rechte Darstellung zeigt den Einfluss der gaußförmigen Impulsformung bei GMSK auf das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_s(f)$, wobei als Parameter die normierte 3dB–Grenzfrequenz verwendet wird.
	*Je kleiner $f_{\rm 3\ dB}$ ist, desto schmalbandiger ist das Leistungsdichtespektrum. Im GSM–Standard wurde $f_{\rm 3\ dB} · T$ = 0.3 festgelegt. Mit diesem Wert wird die Bandbreite bereits entscheidend reduziert, was zu geringeren ''Nachbarkanalinterferenzen'' führt.		Die rechte Darstellung zeigt den Einfluss der gaußförmigen Impulsformung bei GMSK auf das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_s(f)$, wobei als Parameter die normierte 3dB–Grenzfrequenz verwendet wird.
	*Andererseits wirken sich mit dieser Grenzfrequenz die ''Impulsinterferenzen'' schon gravierend aus. Die Augenöffnung ist kleiner als $50\%$ und es ist eine geeignete Entzerrung vorzusehen.		*Je kleiner  $f_{\rm 3\ dB}$  ist, desto schmalbandiger ist das Leistungsdichtespektrum. Im GSM–Standard wurde  $f_{\rm 3\ dB} · T$ = 0.3  festgelegt. Mit diesem Wert wird die Bandbreite bereits entscheidend reduziert, was zu geringeren  ''Nachbarkanalinterferenzen''  führt.
			*Andererseits wirken sich mit dieser Grenzfrequenz die  ''Impulsinterferenzen''  schon gravierend aus. Die Augenöffnung ist kleiner als  $50\%$  und es ist eine geeignete Entzerrung vorzusehen.


	Des Weiteren ist zu vermerken:		Des Weiteren ist zu vermerken:
	*Die binäre FSK stellt – auch bei kontinuierlicher Phasenanpassung – allgemein ein nichtlineares Modulationsverfahren dar. Deshalb ist eine kohärente Demodulation eigentlich nicht möglich.		*Die binäre FSK stellt – auch bei kontinuierlicher Phasenanpassung – allgemein ein nichtlineares Modulationsverfahren dar. Deshalb ist eine kohärente Demodulation eigentlich nicht möglich.
	*Eine Ausnahme bildet die MSK als Sonderfall für den Modulationsindex $h = 0.5$, die sich als ''Offset–QPSK'' linear realisieren lässt und somit auch kohärent demoduliert werden kann.		*Eine Ausnahme bildet die MSK als Sonderfall für den Modulationsindex  $h = 0.5$, die sich als  ''Offset–QPSK''  linear realisieren lässt und somit auch kohärent demoduliert werden kann.
	*Ohne Berücksichtigung der Impulsinterferenzen beträgt die ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''		*Ohne Berücksichtigung der Impulsinterferenzen beträgt die  ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left(\sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\hspace{0.09cm}\right) =		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left(\sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\hspace{0.09cm}\right) =
	{1}/{2}\cdot{\rm erfc} \left(\sqrt{{E_{\rm B}}/{2N_0}}\hspace{0.09cm}\right)		{1}/{2}\cdot{\rm erfc} \left(\sqrt{{E_{\rm B}}/{2N_0}}\hspace{0.09cm}\right)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Degradation um $3\ \rm dB$. Das interaktive Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(~~Applet~~)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] liefert die Zahlenwerte der hier verwendeten Funktionen ${\rm Q}(x)$ bzw. $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$.		*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Degradation um  $3\ \rm dB$. Das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte der hier verwendeten Funktionen  ${\rm Q}(x)$  bzw.  $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$.
	*Ein Vorteil der GMSK gegenüber der QPSK ist, dass sich trotz der spektralen Formung des Grundimpulses eine konstante Hüllkurve ergibt. Deshalb spielen Nichtlinearitäten auf dem Kanal nicht eine so große Rolle als bei anderen Modulationsverfahren. Dies ermöglicht den Einsatz einfacher und kostengünstiger Leistungsverstärker, einen geringeren Leistungsverbrauch und damit auch längere Betriebsdauern akkubetriebener Geräte.		*Ein Vorteil der GMSK gegenüber der QPSK ist, dass sich trotz der spektralen Formung des Grundimpulses eine konstante Hüllkurve ergibt. Deshalb spielen Nichtlinearitäten auf dem Kanal nicht eine so große Rolle als bei anderen Modulationsverfahren. Dies ermöglicht den Einsatz einfacher und kostengünstiger Leistungsverstärker, einen geringeren Leistungsverbrauch und damit auch längere Betriebsdauern akkubetriebener Geräte.

Guenter am 8. August 2019 um 11:52 Uhr

2019-08-08T11:52:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. August 2019, 13:52 Uhr
Zeile 215:		Zeile 215:
	h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm G}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm}.$$		h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm G}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm}.$$

	*Bei GSM ist die 3dB–Grenzfrequenz zu  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  festgelegt. Wie in Aufgabe  [[/Aufgaben:~~Aufgabe_3~~.~~4:_GMSK–Modulation~~\|A3.4]]  gezeigt wird, gilt somit für die systemtheoretische Grenzfrequenz~~ ~~ $f_{\rm G} ≈ 1.5 · f_{\rm 3dB} = 0.45/T$.		*Bei GSM ist die 3dB–Grenzfrequenz zu  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  festgelegt. Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4_GMSK–Modulation\|Aufgabe 3.4]]  gezeigt wird, gilt somit für die systemtheoretische Grenzfrequenz:
	*Der resultierende Frequenzimpuls  $g(t)$  am Punkt  '''(2)'''  des Blockschaltbildes ergibt sich aus der Faltung des ~~Recheckimpulses~~  $g_{\rm R}(t)$  mit der Impulsantwort  $h_{\rm G}(t)$  des Gaußtiefpasses zu		:$$f_{\rm G} ≈ 1.5 · f_{\rm 3dB} = 0.45/T.$$
			*Der resultierende Frequenzimpuls  $g(t)$  am Punkt  '''(2)'''  des Blockschaltbildes ergibt sich aus der Faltung des Rechteckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  mit der Impulsantwort  $h_{\rm G}(t)$  des Gaußtiefpasses zu

	:$$g(t) = g_{\rm R}(t) \star h_{\rm G}(t)\hspace{0.05cm}. $$		:$$g(t) = g_{\rm R}(t) \star h_{\rm G}(t)\hspace{0.05cm}. $$

	*Das GMSK–modulierte Signal  $s(t)$  weist nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf. Diesen Unterschied zur MSK kann man allerdings aus dem Signalverlauf am Punkt  '''(4)'''  des Blockschaltbildes nur schwer erkennen.		*Das GMSK–modulierte Signal  $s(t)$  weist nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf. <br>Diesen Unterschied zur MSK kann man allerdings aus dem Signalverlauf am Punkt  '''(4)'''  des Blockschaltbildes nur schwer erkennen.

	==Vor– und Nachteile von GMSK==		==Vor– und Nachteile von GMSK==

Guenter am 8. August 2019 um 11:47 Uhr

2019-08-08T11:47:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. August 2019, 13:47 Uhr
Zeile 178:		Zeile 178:

	[[Datei:P_ID2190__Bei_T_3_2_S6_v1.png\|right\|frame\|Blockschaltbild zur Erzeugung eines MSK–Signals]]		[[Datei:P_ID2190__Bei_T_3_2_S6_v1.png\|right\|frame\|Blockschaltbild zur Erzeugung eines MSK–Signals]]
	*am Punkt '''1''' das digitale Quellensignal, bestehend aus einer Folge von Diracimpulsen im Abstand $T$, gewichtet mit den Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{-1, +1\}$:		*am Punkt  '''(1)'''  das digitale Quellensignal, bestehend aus einer Folge von Diracimpulsen im Abstand  $T$, gewichtet mit den Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$:

	:$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu		:$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu
	\cdot T)\hspace{0.05cm}, $$		\cdot T)\hspace{0.05cm}; $$

	*am Punkt '''2''' das Rechtecksignal $q_{\rm R}(t)$ nach Faltung mit dem Rechteckimpuls $g(t)$ der Dauer $T$ und der Höhe $1/T$ (die Amplitude wurde aus Kompatibilitätsgründen zu späteren Seiten so gewählt):		*am Punkt  '''(2)'''  das Rechtecksignal  $q_{\rm R}(t)$  nach Faltung mit dem Rechteckimpuls  $g(t)$  der Dauer  $T$  und der Höhe  $1/T$  (die Amplitude wurde aus Kompatibilitätsgründen zu späteren Seiten so gewählt):

	:$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu		:$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu
	\cdot T)\hspace{0.05cm}, $$		\cdot T)\hspace{0.05cm}; $$

	*den Frequenzmodulator, der sich gemäß ~~dem~~ Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation\|Signalverläufe bei FM]] als Integrator und nachgeschalteten Phasenmodulator realisieren lässt. Für das Signal am Punkt '''3''' gilt dann:		*den Frequenzmodulator, der sich gemäß der Beschreibung im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation\|Signalverläufe bei FM]]  als Integrator und nachgeschalteten Phasenmodulator realisieren lässt. Für das Signal am Punkt  '''(3)'''  gilt dann:

	:$$\phi(t) = \frac{\pi}{2}\cdot \int_{0}^{t}		:$$\phi(t) = \frac{\pi}{2}\cdot \int_{0}^{t}
	q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$		q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
			<br clear=all>
			Die Phasenwerte bei der Symboldauer $T$ sind Vielfache von  $π/2 \ (90^\circ)$, wobei der für MSK gültige Modulationsindex  $h = 0.5$  berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich am Punkt  '''(4)'''  des Blockschaltbildes das MSK–Signal zu

	~~Die Phasenwerte bei der Symboldauer~~ $T$ ~~sind Vielfache von $π/~~2 \ (~~90^~~\~~circ~~)~~$, wobei der für MSK gültige Modulationsindex $h~~ = 0.5$ ~~berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich am Punkt '''4''' des Blockschaltbildes das MSK–Signal zu~~		:$$s(t) = s_0 \cdot \cos \big(2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t +
			\phi(t)\big) = s_0 \cdot \cos \big(2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )\big) \hspace{0.05cm}.$$

	~~:$$s(t) = s_0 \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t +~~		Die Realisierung von  ''Minimum Shift Keying''  (MSK) durch eine spezielle Variante von  ''Offset–QPSK''  wird durch das interaktive Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset–QPSK]]  verdeutlicht.
	~~\phi(t)) = s_0 \cdot \cos (2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )) \hspace{0.05cm}.$$~~

	Die Realisierung von ''Minimum Shift Keying'' (MSK) durch eine spezielle Variante von ''Offset–QPSK'' wird durch das interaktive Applet [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset–QPSK]] verdeutlicht:


Zeile 204:		Zeile 204:
	==Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK)==		==Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK)==
	<br>		<br>
	Ein Vorteil von MSK gegenüber anderen Modulationsarten ist der geringere Bandbreitenbedarf. Durch geringfügige Modifikationen hin zum [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#GMSK_.E2.80.93_Gaussian_Minimum_Shift_Keying\|Gaussian Minimum Shift Keying – abgekürzt GMSK– ergibt sich nochmals eine schmaleres Spektrum.		Ein Vorteil von MSK gegenüber anderen Modulationsarten ist der geringere Bandbreitenbedarf. Durch geringfügige Modifikationen hin zum  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#GMSK_.E2.80.93_Gaussian_Minimum_Shift_Keying\|Gaussian Minimum Shift Keying]]  – abgekürzt GMSK– ergibt sich nochmals eine schmaleres Spektrum.

			[[Datei:P_ID2190__Bei_T_3_2_S6_v1.png\|center\|frame\|Blockschaltbild zur Erzeugung eines GMSK–Signals]]

	Man erkennt aus dem Blockschaltbild folgende Unterschiede zum MSK (wir verweisen ~~wieder~~ auf das interaktive Applet [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation\|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]):		Man erkennt aus dem Blockschaltbild folgende Unterschiede zum MSK (wir verweisen auf das interaktive Applet  [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation\|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]):
	*Der Frequenzimpuls g(t) ist nun nicht mehr rechteckförmig wie der Impuls $g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf. Demzufolge ergibt sich auch ein weicherer Phasenverlauf (~~Punkt~~ 3) als beim MSK–Verfahren (siehe letzte Seite), bei dem $ϕ(t)$ symbolweise linear ansteigt bzw. abfällt.		*Der Frequenzimpuls  $g(t)$  ist nun nicht mehr rechteckförmig wie der Impuls  $g_{\rm R}(t)$, sondern weist flachere Flanken auf. Demzufolge ergibt sich auch ein weicherer Phasenverlauf am Punkt  '''(3)'''  als beim MSK–Verfahren (siehe letzte Seite), bei dem  $ϕ(t)$  symbolweise linear ansteigt bzw. abfällt.
	*Man erreicht diese sanfteren Phasenübergänge bei GMSK durch ein '''Gaußtiefpassfilter''' mit dem Frequenzgang bzw. der Impulsantwort		*Man erreicht diese sanfteren Phasenübergänge bei GMSK durch ein  '''Gaußtiefpassfilter'''  mit dem Frequenzgang bzw. der Impulsantwort

	:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot (~~\frac~~{f}{2 \cdot f_{\rm G}})^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}		:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \big({f}/(2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm G})\big)^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}
	h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm}.$$		h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm G}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm}.$$

	*Bei GSM ist die 3dB–Grenzfrequenz zu $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ festgelegt. Wie in Aufgabe A3.4 gezeigt wird, gilt somit für die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G} ≈ 1.5 · f_{\rm 3dB} = 0.45/T$.		*Bei GSM ist die 3dB–Grenzfrequenz zu  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  festgelegt. Wie in Aufgabe  [[/Aufgaben:Aufgabe_3.4:_GMSK–Modulation\|A3.4]]  gezeigt wird, gilt somit für die systemtheoretische Grenzfrequenz  $f_{\rm G} ≈ 1.5 · f_{\rm 3dB} = 0.45/T$.
	*Der resultierende Frequenzimpuls $g(t)$ am Punkt 2 des Blockschaltbildes ergibt sich aus der Faltung des Recheckimpulses $g_{\rm R}(t)$ mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ des Gaußtiefpasses zu		*Der resultierende Frequenzimpuls  $g(t)$  am Punkt  '''(2)'''  des Blockschaltbildes ergibt sich aus der Faltung des Recheckimpulses  $g_{\rm R}(t)$  mit der Impulsantwort  $h_{\rm G}(t)$  des Gaußtiefpasses zu

	:$$g(t) = g_{\rm R}(t) \star h_{\rm G}(t)\hspace{0.05cm}. $$		:$$g(t) = g_{\rm R}(t) \star h_{\rm G}(t)\hspace{0.05cm}. $$

	*Das GMSK–modulierte Signal $s(t)$ weist nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf. Diesen Unterschied zur MSK kann man allerdings aus dem Signalverlauf am Punkt '''4''' des Blockschaltbildes nur schwer erkennen.		*Das GMSK–modulierte Signal  $s(t)$  weist nun nicht mehr abschnittsweise (je Symboldauer) eine konstante Frequenz auf. Diesen Unterschied zur MSK kann man allerdings aus dem Signalverlauf am Punkt  '''(4)'''  des Blockschaltbildes nur schwer erkennen.

	==Vor– und Nachteile von GMSK==		==Vor– und Nachteile von GMSK==

Guenter am 8. August 2019 um 11:14 Uhr

2019-08-08T11:14:58Z

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	==Modulation bei GSM–Systemen==		==Modulation bei GSM–Systemen==
	<br>		<br>
	Entsprechend den Aussagen der letzten ~~Seite~~ müssen in einem Frequenzkanal $156.25$ Bit pro Zeitschlitz $(0.5769 \ \rm ms)$ übertragen werden. Dies entspricht einer Gesamtbitrate (für acht TDMA–Nutzer inkl. Kanalcodierung, Signalisierungs– und Synchronisationsinformation, etc.) von $R_{\rm ges} = 270\hspace{0.08cm}833 \ \rm bit/s$. Für diese Bitrate steht bei GSM eine Bandbreite von $B = 200 \ \rm kHz$ zur Verfügung. Man benötigt deshalb ein Modulationsverfahren mit einer Bandbreiteneffizienz von mindestens $β$ = $R_{\rm ges}/B = 1.35$.		Entsprechend den Aussagen der letzten Seiten müssen in einem Frequenzkanal  $156.25$  Bit pro Zeitschlitz  $(0.5769 \ \rm ms)$  übertragen werden. Dies entspricht einer Gesamtbitrate (für acht TDMA–Nutzer inkl. Kanalcodierung, Signalisierungs– und Synchronisationsinformation, etc.) von  $R_{\rm ges} = 270\hspace{0.08cm}833 \ \rm bit/s$.

	Beim GSM–Mobilfunk findet das Modulationsverfahren '''Gaussian Minimum Shift Keying''' (GMSK) Anwendung. Dieses wurde schon im Kapitel [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#GMSK_.E2.80.93_Gaussian_Minimum_Shift_Keying\|Nichtlineare digitale Modulation]] des Buches &~~bdquo;Modulationsverfahren&rdquo~~; ~~ausführlich behandelt. Hier folgt eine kurze, stichpunktartige Beschreibung:~~		Für diese Bitrate steht bei GSM eine Bandbreite von  $B = 200 \ \rm kHz$  zur Verfügung. Man benötigt deshalb ein Modulationsverfahren mit einer Bandbreiteneffizienz von mindestens  $β =R_{\rm ges}/B = 1.35$.
	*GMSK ist eine abgewandelte Form von '''Frequency Shift Keying''' (FSK). Diese ergibt sich, wenn man einen [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Realisierung_eines_FM.E2.80.93Modulators\|Frequenzmodulator]] mit einem binären bipolaren rechteckförmigen Eingangssignal betreibt.
	*Ein solches FSK-Signal $s(t)$ ~~beinhaltet innerhalb einer jeden Symboldauer $T$ jeweils nur eine einzige Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)~~ = \~~rm const.$ Ist das (normierte) Eingangssignal gleich $+1$, so ist $f_{\rm A}(t)$ gleich der Summe aus der Trägerfrequenz $f_{~~\rm ~~T}$ und dem Frequenzhub $Δf_{\rm A}~~$. ~~Entsprechend gilt für den Amplitudenwert $-1$:~~   $f_{\rm A}~~(t)~~ = ~~f_{\rm T} - Δf_A$~~.
	*Um eine einfache Demodulation zu ermöglichen, sollten die beiden Signale mit den Frequenzen $f_{\rm T} ± Δf$ innerhalb der Symboldauer $T$ ~~orthogonal zueinander sein~~. ~~Demzufolge muss gelten:~~

	:$$\int^{T} _{0} \cos (2 \pi t \cdot (f_{\rm T}+ \Delta f_{\rm A} ))\cdot \cos (2 \pi t \cdot (f_{\rm T}- \Delta f_{\rm A} ))\,{\rm		Beim GSM–Mobilfunk findet das Modulationsverfahren  '''Gaussian Minimum Shift Keying'''  (GMSK) Anwendung. Dieses wurde schon im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#GMSK_.E2.80.93_Gaussian_Minimum_Shift_Keying\|Nichtlineare digitale Modulation]]  des Buches &bdquo;Modulationsverfahren” ausführlich behandelt. Hier folgt eine kurze, stichpunktartige Beschreibung:
			*GMSK ist eine abgewandelte Form von  '''Frequency Shift Keying'''  (FSK). Diese ergibt sich, wenn man einen  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Realisierung_eines_FM.E2.80.93Modulators\|Frequenzmodulator]]  mit einem binären bipolaren rechteckförmigen Eingangssignal betreibt.
			*Ein solches FSK-Signal  $s(t)$  beinhaltet innerhalb einer jeden Symboldauer  $T$  jeweils nur eine einzige Augenblicksfrequenz  $f_{\rm A}(t) = \rm const.$ Ist das (normierte) Eingangssignal gleich  $+1$, so ist  $f_{\rm A}(t)$  gleich der Summe aus der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  und dem Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$. Entsprechend gilt für den Amplitudenwert  $-1$:   $f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} - Δf_{\rm A}$.
			*Um eine einfache Demodulation zu ermöglichen, sollten die beiden Signale mit den Frequenzen  $f_{\rm T} ± Δf$  innerhalb der Symboldauer  $T$  orthogonal zueinander sein. Demzufolge muss gelten:

			:$$\int^{T} _{0} \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}+ \Delta f_{\rm A} )\big)\cdot \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}- \Delta f_{\rm A} )\big)\,{\rm
	d}t= 0\hspace{0.05cm}. $$		d}t= 0\hspace{0.05cm}. $$

	:Daraus ergibt sich für den '''Frequenzhub''' die Anforderung:		:Daraus ergibt sich für den  '''Frequenzhub'''  die Anforderung:

	:$$\Delta f_{\rm A} = \frac{k}{4 \cdot T}\hspace{0.2cm}{\rm		:$$\Delta f_{\rm A} = \frac{k}{4 \cdot T}\hspace{0.2cm}{\rm
	mit}\hspace{0.2cm}k = 1, 2, 3, \text{...}$$		mit}\hspace{0.2cm}k = 1, 2, 3, \text{...}$$

	*Da bei FSK–Systemen der '''Modulationsindex''' zu $h = 2 · Δf_{\rm A} · T$ definiert ist, folgt $h = k/2$. Der kleinste Wert unter Einhaltung der Orthogonalitätsbedingungen ist somit $h_{\rm min} = 0.5$.		*Da bei FSK–Systemen der  '''Modulationsindex'''  zu  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T$  definiert ist, folgt  $h = k/2$. Der kleinste Wert unter Einhaltung der Orthogonalitätsbedingungen ist somit  $h_{\rm min} = 0.5$.
	*Ein FSK–System mit $h = 0.5$ bzw. $Δf_{\rm A}$ = $~~\frac~~{1}{4T}$ bezeichnet man als [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying\|Minimum Shift Keying]] – kurz MSK. Dieses wird in allen GSM-Systemen eingesetzt, da ein größerer Modulationindex als $h = 0.5$ eine deutlich größere Bandbreite beanspruchen würde.		*Ein FSK–System mit  $h = 0.5$  bzw.  $Δf_{\rm A}$ = ${1}/{4T}$  bezeichnet man als  [[Modulationsverfahren/Nichtlineare_digitale_Modulation#MSK_.E2.80.93_Minimum_Shift_Keying\|Minimum Shift Keying]]  – kurz MSK. Dieses wird in allen GSM-Systemen eingesetzt, da ein größerer Modulationindex als  $h = 0.5$  eine deutlich größere Bandbreite beanspruchen würde.
	*Ein sehr schmales Spektrum ergibt sich allerdings nur dann, wenn an den Symbolgrenzen Phasensprünge durch Phasenwertanpassung vermieden werden. MSK gehört somit zu den ''Continuous Phase Frequency Shift Keying''–Verfahren (CP–FSK, siehe nächste Seite).		*Ein sehr schmales Spektrum ergibt sich allerdings nur dann, wenn an den Symbolgrenzen Phasensprünge durch Phasenwertanpassung vermieden werden. MSK gehört somit zu den  ''Continuous Phase Frequency Shift Keying''–Verfahren ('''CP–FSK''', siehe nächste Seite).
	*Vor dem Frequenzmodulator wird zusätzlich noch ein Tiefpass mit Gauß–Charakteristik eingefügt, wodurch die GSM–Bandbreite weiter verringert wird. Man nennt diese Modulationsart [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Gaussian_Minimum_Shift_Keying_.28GMSK.29\|Gaussian Minimum Shift Keying]] (GMSK).		*Vor dem Frequenzmodulator wird zusätzlich noch ein Tiefpass mit Gauß–Charakteristik eingefügt, wodurch die GSM–Bandbreite weiter verringert wird. Man nennt diese Modulationsart  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Gaussian_Minimum_Shift_Keying_.28GMSK.29\|Gaussian Minimum Shift Keying]] ('''GMSK''').


	==Kontinuierliche Phasenanpassung bei FSK ==		==Kontinuierliche Phasenanpassung bei FSK ==
	<br>		<br>
	Ausgehend vom Rechtecksignal $q(t)$ und der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 4/T$ betrachten wir die FSK–Signale $s_{\rm A}(t)$, ... , $s_{\rm D}(t)$ bei unterschiedlichem Frequenzhub $Δf_{\rm A}$   ⇒   Modulationindex $h = 2 · Δf_{\rm A} · T$.		Ausgehend vom Rechtecksignal  $q(t)$  und der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 4/T$  betrachten wir die FSK–Signale  $s_{\rm A}(t)$, ... ,  $s_{\rm D}(t)$  bei unterschiedlichem Frequenzhub  $Δf_{\rm A}$   ⇒   Modulationindex $h = 2 · Δf_{\rm A} · T$.

	[[Datei:P_ID1197__Bei_T_3_2_S7_v2.png\|center\|frame\|Beispielhafte Signale zur kontinuierlichen Phasenanpassung]]		[[Datei:P_ID1197__Bei_T_3_2_S7_v2.png\|center\|frame\|Beispielhafte Signale zur kontinuierlichen Phasenanpassung]]

	Zu den Signalverläufen ist anzumerken (wir verweisen auch auf das interaktive Applet [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation\|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]):		Zu den Signalverläufen ist anzumerken (wir verweisen auch auf das interaktive Applet  [[Applets:Frequency_Shift_Keying_%26_Continuous_Phase_Modulation\|Frequency Shift Keying & Continuous Phase Modulation]]):
	*Das Signal $s_{\rm A}(t)$ ergibt sich mit $Δf_{\rm A} = 1/T$ ⇒ Modulationsindex $h = 2$. Man erkennt die höhere Frequenz $f_1 = 5/T$ (für $a_ν = +1$) gegenüber der Frequenz $f_2 = 3/T$ (für $a_ν = -1$).		*Das Signal  $s_{\rm A}(t)$  ergibt sich mit  $Δf_{\rm A} = 1/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 2$. Man erkennt die höhere Frequenz  $f_1 = 5/T$  $($für $a_ν = +1)$  gegenüber der Frequenz  $f_2 = 3/T$  $($für $a_ν = -1)$.
	*Mit $Δf_{\rm A} = 0.5/T$ (Signal $s_{\rm {\rm B}}(t)$, $h = 1$) gilt $f_1 = 4.5/T$ und $f_2 = 3.5/T$. An jeder Symbolgrenze tritt ein Phasensprung um $π$ auf, wenn keine Phasenanpassung wie ~~bei~~ $s_{\rm C}(t)$ vorgenommen wird.		*Mit  $Δf_{\rm A} = 0.5/T$  $($Signal  $s_{\rm {\rm B}}(t)$,  $h = 1)$  gilt  $f_1 = 4.5/T$  und  $f_2 = 3.5/T$. An jeder Symbolgrenze tritt ein Phasensprung um  $π$  auf, wenn keine Phasenanpassung wie beim Signal  $s_{\rm C}(t)$  vorgenommen wird.
	*Bei $s_{\rm C}(t)$ wird im Bereich $0$ ... $T$ der Koeffizient $a_1 = +1$ durch $\cos(2π·f_1·t)$ repräsentiert, während der ebenfalls positive Koeffizient $a_2 = +1$ im Bereich $T$ ... $2T$ zum Signal $-\cos(2π·f_1\hspace{0.01cm}·\hspace{0.01cm}(t-T))$ führt. Durch diese Anpassung werden somit Phasensprünge vermieden.		*Bei  $s_{\rm C}(t)$  wird im Bereich  $0$ ... $T$  der Koeffizient  $a_1 = +1$  durch  $\cos(2π·f_1·t)$  repräsentiert, während der ebenfalls positive Koeffizient  $a_2 = +1$  im Bereich  $T$ ... $2T$  zum Signal  $-\cos(2π·f_1\hspace{0.01cm}·\hspace{0.01cm}(t-T))$  führt. Durch diese Anpassung werden somit Phasensprünge vermieden.
	*Das Signal $s_{\rm D}(t)$ beschreibt das MSK-Signal (Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 0.25/T$   ⇒   Modulationsindex $h = 0.5$), ebenfalls mit Phasenanpassung. Hier sind bei jeder Symbolgrenze – je nach den vorherigen Symbolen – vier unterschiedliche Anfangsphasen möglich.		*Das Signal  $s_{\rm D}(t)$  beschreibt das MSK-Signal  $($Frequenzhub  $Δf_{\rm A} = 0.25/T$   ⇒   Modulationsindex  $h = 0.5)$, ebenfalls mit Phasenanpassung. Hier sind bei jeder Symbolgrenze – je nach den vorherigen Symbolen – vier unterschiedliche Anfangsphasen möglich.
	*Bei $\rm GSM \ 900$ beträgt die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ = 900 MHz und die Symboldauer ist $T ≈ 3.7 \rm µ s$. Mit dem Modulationsindex $h = 0.5$ ergibt sich ~~daraus~~ $Δf_{\rm A} ≈ 68 \ \rm kHz$. Die beiden Frequenzen $f_1 = 900.068\ \rm MHz$ und $f_2 = 899.932 \ \rm MHz$ liegen somit sehr eng beieinander.		*Bei  $\rm GSM \ 900$  beträgt die Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 900\ \rm MHz$  und die Symboldauer ist  $T ≈ 3.7 \ \rm µ s$. Mit dem Modulationsindex  $h = 0.5$  ergibt sich  $Δf_{\rm A} ≈ 68 \ \rm kHz$. Die beiden Frequenzen  $f_1 = 900.068\ \rm MHz$  und  $f_2 = 899.932 \ \rm MHz$  liegen somit sehr eng beieinander.

Guenter am 8. August 2019 um 10:12 Uhr

2019-08-08T10:12:57Z

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	<br>		<br>
	Durch die GSM–Rahmenstruktur erfolgt die Abbildung der logischen Kanäle auf physikalische Kanäle. Hierbei wird unterschieden zwischen		Durch die GSM–Rahmenstruktur erfolgt die Abbildung der logischen Kanäle auf physikalische Kanäle. Hierbei wird unterschieden zwischen
	*der '''Abbildung in der Frequenz''', basierend auf ''Cell Allocation'' (CA), ''Mobile Allocation'' (MA), ~~die~~ TDMA–Rahmennummer (FN) und den Vorschriften für das (optionale) ''Frequency Hopping'',		*der  '''Abbildung in der Frequenz''', basierend auf  ''Cell Allocation''  (CA), ''Mobile Allocation''  (MA), der TDMA–Rahmennummer (FN) und den Vorschriften für das (optionale)  ''Frequency Hopping'',
	*der '''Abbildung in der Zeit''', wobei die TDMA–Rahmen mit jeweils acht Zeitschlitzen zur Übertragung der Bursts in Multiframes, Superframes und Hyperframes zusammengefasst werden.		*der  '''Abbildung in der Zeit''', wobei die TDMA–Rahmen mit jeweils acht Zeitschlitzen zur Übertragung der Bursts in Multiframes, Superframes und Hyperframes zusammengefasst werden.


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	Entsprechend diesem Bild gelten folgende Aussagen:		Entsprechend diesem Bild gelten folgende Aussagen:
	'''Multiframes''' werden für die Abbildung von logischen Kanälen auf physikalische Kanäle genutzt. Hierbei sind zwei Arten zu unterscheiden, solche mit $26$ TDMA–Rahmen und einer Zyklusdauer von $120 \ \rm ms$ und solche mit $51$ TDMA–Rahmen und einer Dauer von $235.4 \ \rm ms$.
	*Die Bursts der Verkehrskanäle (TCH) und der zugeordneten Steuerungskanäle (SACCH, FACCH) werden in jeweils 26 aufeinander folgenden TDMA-Rahmen übertragen. Dabei wird stets nur ein Zeitschlitz je TDMA-Rahmen für den jeweiligen Multiframe berücksichtigt.
	*Von der Brutto–Datenrate pro Nutzer (≈ 33.9 kbit/s) sind 9.2 kbit/s für Synchronisierung, Signalisierung und ''Guard Period'' reserviert und 1.9 kbit/s für SACCH und IDLE. Die (codierten und verschlüsselten) Nutzdaten belegen bei Multiframe-Struktur mit 26 Rahmen nur 22.8 kbit/s.
	*Die Multiframe-Struktur mit 51 Rahmen (rechte Bildhälfte) dient dazu, mehrere logische Kanäle auf einen physikalischen Kanal zu multiplexen. In 51 aufeinander folgenden TDMA–Rahmen werden jeweils alle Daten der Signalisierungskanäle (außer FACCH und SACCH) übertragen.

			*'''Multiframes'''  werden für die Abbildung von logischen Kanälen auf physikalische Kanäle genutzt. Hierbei sind zwei Arten zu unterscheiden, solche mit  $26$  TDMA–Rahmen und einer Zyklusdauer von  $120 \ \rm ms$ und solche mit  $51$  TDMA–Rahmen und einer Dauer von  $235.4 \ \rm ms$.

	Ein '''Superframe''' besteht aus $1326$ aufeinander folgenden TDMA-Rahmen ($51$ Multiframes mit je $26$ bzw. aus $26$ Multiframes mit je $51$ TDMA–Rahmen) und dauert ca. $6.12$ Sekunden.		*Die Bursts der Verkehrskanäle (TCH) und der zugeordneten Steuerungskanäle (SACCH, FACCH) werden in jeweils  $26$  aufeinander folgenden TDMA-Rahmen übertragen. Dabei wird stets nur ein Zeitschlitz je TDMA-Rahmen für den jeweiligen Multiframe berücksichtigt.
			*Von der Brutto–Datenrate pro Nutzer  $\text{(ca. 33.9 kbit/s)}$  sind   $\text{9.2 kbit/s}$  für Synchronisierung, Signalisierung und ''Guard Period'' reserviert und  $\text{1.9 kbit/s}$  für SACCH und IDLE. Die (codierten und verschlüsselten) Nutzdaten belegen bei Multiframe-Struktur mit  $26$  Rahmen nur  $\text{22.8 kbit/s}$.
			*Die Multiframe-Struktur mit  $51$  Rahmen (rechte Bildhälfte) dient dazu, mehrere logische Kanäle auf einen physikalischen Kanal zu multiplexen. In 51 aufeinander folgenden TDMA–Rahmen werden jeweils alle Daten der Signalisierungskanäle (außer FACCH und SACCH) übertragen.
			*Ein  '''Superframe'''  besteht aus  $1326$  aufeinander folgenden TDMA-Rahmen  $(51$  Multiframes mit je  $26$ TDMA–Rahmen bzw. aus  $26$  Multiframes mit je  $51$  TDMA–Rahmen$)$ und dauert ca.  $6.12$  Sekunden.

	Ein '''Hyperframe''' fasst jeweils $2048$ Superframes (bzw. $2\hspace{0.08cm}715{0.08cm}648$ TDMA–Rahmen) zusammen und wird mit seiner langen ~~Zyklusdauer von~~ $\text{3 Stunden, 28 Minuten und 53.760 Sekunden}$ ~~zur Synchronisierung der Nutzdatenverschlüsselung verwendet.~~		*Ein  '''Hyperframe'''  fasst jeweils  $2048$  Superframes  (bzw.  $2\hspace{0.08cm}715{\hspace0.08cm}648$  TDMA–Rahmen)  zusammen und wird mit seiner langen Zyklusdauerzur Synchronisierung der Nutzdatenverschlüsselung verwendet. Diese beträgt      $\text{3 Stunden, 28 Minuten und 53.760 Sekunden}.$

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	*Um eine einfache Demodulation zu ermöglichen, sollten die beiden Signale mit den Frequenzen  $f_{\rm T} ± Δf$  innerhalb der Symboldauer  $T$  orthogonal zueinander sein. Demzufolge muss gelten:		*Um eine einfache Demodulation zu ermöglichen, sollten die beiden Signale mit den Frequenzen  $f_{\rm T} ± Δf$  innerhalb der Symboldauer  $T$  orthogonal zueinander sein. Demzufolge muss gelten:

	:$$\int^{T} _{0} \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}+ \Delta f_{\rm A} )\big)\cdot \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}- \Delta f_{\rm A} )\big)\,{\rm		:$$\int^{T} _{0} \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}+ \Delta f_{\rm A} )\big)\cdot \cos \big(2 \pi t \cdot (f_{\rm T}- \Delta f_{\rm A} )\big)\,{\rmd}t= 0\hspace{0.05cm}. $$
	d}t= 0\hspace{0.05cm}. $$

	:Daraus ergibt sich für den  '''Frequenzhub'''  die Anforderung:		:Daraus ergibt sich für den  '''Frequenzhub'''  die Anforderung:

	:$$\Delta f_{\rm A} = \frac{k}{4 \cdot T}\hspace{0.2cm}{\rm		:$$\Delta f_{\rm A} = \frac{k}{4 \cdot T}\hspace{0.2cm}{\rmmit}\hspace{0.2cm}k = 1, 2, 3, \text{...}$$
	~~mit~~}\hspace{0.2cm}k = 1, 2, 3, \text{...}$$

	*Da bei FSK–Systemen der  '''Modulationsindex'''  zu  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T$  definiert ist, folgt  $h = k/2$. Der kleinste Wert unter Einhaltung der Orthogonalitätsbedingungen ist somit  $h_{\rm min} = 0.5$.		*Da bei FSK–Systemen der  '''Modulationsindex'''  zu  $h = 2 · Δf_{\rm A} · T$  definiert ist, folgt  $h = k/2$. Der kleinste Wert unter Einhaltung der Orthogonalitätsbedingungen ist somit  $h_{\rm min} = 0.5$.
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	*am Punkt  '''(1)'''  das digitale Quellensignal, bestehend aus einer Folge von Diracimpulsen im Abstand  $T$, gewichtet mit den Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$:		*am Punkt  '''(1)'''  das digitale Quellensignal, bestehend aus einer Folge von Diracimpulsen im Abstand  $T$, gewichtet mit den Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$:

	:$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu		:$$q_\delta(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot \delta (t - \nu\cdot T)\hspace{0.05cm}; $$
	\cdot T)\hspace{0.05cm}; $$

	*am Punkt  '''(2)'''  das Rechtecksignal  $q_{\rm R}(t)$  nach Faltung mit dem Rechteckimpuls  $g(t)$  der Dauer  $T$  und der Höhe  $1/T$  (die Amplitude wurde aus Kompatibilitätsgründen zu späteren Seiten so gewählt):		*am Punkt  '''(2)'''  das Rechtecksignal  $q_{\rm R}(t)$  nach Faltung mit dem Rechteckimpuls  $g(t)$  der Dauer  $T$  und der Höhe  $1/T$  (die Amplitude wurde aus Kompatibilitätsgründen zu späteren Seiten so gewählt):

	:$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu		:$$q_{\rm R}(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_{ \nu} \cdot g (t - \nu\cdot T)\hspace{0.05cm}; $$
	\cdot T)\hspace{0.05cm}; $$

	*den Frequenzmodulator, der sich gemäß der Beschreibung im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation\|Signalverläufe bei FM]]  als Integrator und nachgeschalteten Phasenmodulator realisieren lässt. Für das Signal am Punkt  '''(3)'''  gilt dann:		*den Frequenzmodulator, der sich gemäß der Beschreibung im Kapitel  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation\|Signalverläufe bei FM]]  als Integrator und nachgeschalteten Phasenmodulator realisieren lässt. Für das Signal am Punkt  '''(3)'''  gilt dann:

	:$$\phi(t) = \frac{\pi}{2}\cdot \int_{0}^{t}		:$$\phi(t) = \frac{\pi}{2}\cdot \int_{0}^{t}q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
	q_{\rm R}(\tau)\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$


	Die Phasenwerte bei der Symboldauer $T$ sind Vielfache von  $π/2 \ (90^\circ)$, wobei der für MSK gültige Modulationsindex  $h = 0.5$  berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich am Punkt  '''(4)'''  des Blockschaltbildes das MSK–Signal zu		Die Phasenwerte bei der Symboldauer $T$ sind Vielfache von  $π/2 \ (90^\circ)$, wobei der für MSK gültige Modulationsindex  $h = 0.5$  berücksichtigt ist. Der Phasenverlauf ist linear. Daraus ergibt sich am Punkt  '''(4)'''  des Blockschaltbildes das MSK–Signal zu

	:$$s(t) = s_0 \cdot \cos \big(2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t +		:$$s(t) = s_0 \cdot \cos \big(2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm}t +\phi(t)\big) = s_0 \cdot \cos \big(2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )\big) \hspace{0.05cm}.$$
	\phi(t)\big) = s_0 \cdot \cos \big(2 \pi \cdot t \cdot (f_{\rm T}+a_{ \nu} \cdot {\rm \Delta}f_{\rm A} )\big) \hspace{0.05cm}.$$

	Die Realisierung von  ''Minimum Shift Keying''  (MSK) durch eine spezielle Variante von  ''Offset–QPSK''  wird durch das interaktive Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset–QPSK]]  verdeutlicht.		Die Realisierung von  ''Minimum Shift Keying''  (MSK) durch eine spezielle Variante von  ''Offset–QPSK''  wird durch das interaktive Applet  [[Applets:QPSK_und_Offset-QPSK_(Applet)\|QPSK und Offset–QPSK]]  verdeutlicht.
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	*Man erreicht diese sanfteren Phasenübergänge bei GMSK durch ein  '''Gaußtiefpassfilter'''  mit dem Frequenzgang bzw. der Impulsantwort		*Man erreicht diese sanfteren Phasenübergänge bei GMSK durch ein  '''Gaußtiefpassfilter'''  mit dem Frequenzgang bzw. der Impulsantwort

	:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \big({f}/(2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm G})\big)^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}		:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \big({f}/(2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm G})\big)^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm G}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} (2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f_{\rm G}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm}.$$

	*Bei GSM ist die 3dB–Grenzfrequenz zu  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  festgelegt. Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4_GMSK–Modulation\|Aufgabe 3.4]]  gezeigt wird, gilt somit für die systemtheoretische Grenzfrequenz:		*Bei GSM ist die 3dB–Grenzfrequenz zu  $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$  festgelegt. Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4_GMSK–Modulation\|Aufgabe 3.4]]  gezeigt wird, gilt somit für die systemtheoretische Grenzfrequenz:
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	*Eine Ausnahme bildet die MSK als Sonderfall für den Modulationsindex  $h = 0.5$, die sich als  ''Offset–QPSK''  linear realisieren lässt und somit auch kohärent demoduliert werden kann.		*Eine Ausnahme bildet die MSK als Sonderfall für den Modulationsindex  $h = 0.5$, die sich als  ''Offset–QPSK''  linear realisieren lässt und somit auch kohärent demoduliert werden kann.
	*Ohne Berücksichtigung der Impulsinterferenzen beträgt die  ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''		*Ohne Berücksichtigung der Impulsinterferenzen beträgt die  ''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left(\sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\hspace{0.09cm}\right) =		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left(\sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\hspace{0.09cm}\right) ={1}/{2}\cdot{\rm erfc} \left(\sqrt{{E_{\rm B}}/{2N_0}}\hspace{0.09cm}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	{1}/{2}\cdot{\rm erfc} \left(\sqrt{{E_{\rm B}}/{2N_0}}\hspace{0.09cm}\right)
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Degradation um  $3\ \rm dB$. Das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte der hier verwendeten Funktionen  ${\rm Q}(x)$  bzw.  $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$.		*Gegenüber der QPSK ergibt sich eine Degradation um  $3\ \rm dB$. Das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  liefert die Zahlenwerte der hier verwendeten Funktionen  ${\rm Q}(x)$  bzw.  $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$.

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	==Radio Subsystem Link Control==		==Radio Subsystem Link Control==
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	Eine weitere Funktion der Funkschnittstelle ist die Steuerung der Funkverbindung. So übernimmt das so genannte ''Radio Subsystem Link Control'' folgende Aufgaben:		Eine weitere Funktion der Funkschnittstelle ist die Steuerung der Funkverbindung. So übernimmt das so genannte  ''Radio Subsystem Link Control''  folgende Aufgaben:

	Es ist für die Messung der Empfangsqualität zuständig. Während einer aufgebauten Verkehrs– oder Signalisierungsverbindung erfolgt in regelmäßigen Abständen die Kanalvermessung der Mobilstation hinsichtlich Empfangsfeldstärke und Bitfehlerrate ⇒ '''Quality Monitoring'''. Diese Werte werden in einem Messreport zur Basisstation über den Signalisierungskanal SACCH übertragen und von dieser für die Leistungsregelung und das Handover verwendet.		Es ist für die Messung der Empfangsqualität zuständig. Während einer aufgebauten Verkehrs– oder Signalisierungsverbindung erfolgt in regelmäßigen Abständen die Kanalvermessung der Mobilstation hinsichtlich Empfangsfeldstärke und Bitfehlerrate   ⇒   '''Quality Monitoring'''. Diese Werte werden in einem Messreport zur Basisstation über den Signalisierungskanal SACCH übertragen und von dieser für die Leistungsregelung und das Handover verwendet.

	Die '''Power Control''' (deutsch: Leistungsregelung) ist erforderlich, damit alle Mobilstationen nur mit der minimal erforderlichen Energie abstrahlen. Die Sendeleistung kann adaptiv in Schritten von $2 \ \rm dBm$ zwischen $43 \ \rm dBm$ (Stufe $0$: $20\ \rm W$) und $13 \ \rm dBm$ (Stufe $15$: $20\ \rm mW$) geregelt werden. Auch die Sendeleistung der Basisstationen wird in Schritten von $2 \ \rm dBm$, um optimale Netzkapazität zu erzielen. Eine Ausnahme bildet der BCCH–Träger mit konstanter Sendeleistung, um den Mobilstationen eine vergleichende Messung benachbarter BCCH–Träger zu ermöglichen.		Die  '''Power Control'''  (deutsch:  Leistungsregelung)  ist erforderlich, damit alle Mobilstationen nur mit der minimal erforderlichen Energie abstrahlen. Die Sendeleistung kann adaptiv in Schritten von  $2 \ \rm dBm$  zwischen  $43 \ \rm dBm$  $\text{(Stufe 0:}$  $20\ \rm W$)  und  $13 \ \rm dBm$  $\text{(Stufe 15:}$  $20\ \rm mW$)  geregelt werden. Auch die Sendeleistung der Basisstationen wird in Schritten von  $2 \ \rm dBm$  angepasst, um optimale Netzkapazität zu erzielen. Eine Ausnahme bildet der BCCH–Träger mit konstanter Sendeleistung, um den Mobilstationen eine vergleichende Messung benachbarter BCCH–Träger zu ermöglichen.

	[[Datei:P_ID3110__Bei_T_3_2_S11_v2.png\|right\|frame\|Adaptive Frame Alignment]]		[[Datei:P_ID3110__Bei_T_3_2_S11_v2.png\|right\|frame\|Adaptive Frame Alignment]]

	Das '''Adaptive Frame Alignment''' – also die adaptive Rahmensynchronisation – dient dazu, Kollisionen zwischen Uplink– und Downlinkdaten zu vermeiden, die von der Mobilstation um drei Zeitschlitze versetzt gesendet bzw. empfangen werden sollen. Dies zeigt nebenstehende Grafik.		Das  '''Adaptive Frame Alignment'''  – also die adaptive Rahmensynchronisation – dient dazu, Kollisionen zwischen Uplink– und Downlinkdaten zu vermeiden, die von der Mobilstation um drei Zeitschlitze versetzt gesendet bzw. empfangen werden sollen. Dies zeigt nebenstehende Grafik.

	Im mittleren, gelb hinterlegten Bereich ist der Downlink dargestellt, wobei die Daten um die Zeit $T_{\rm R}$ (''Round Trip Delay Time'') später bei der Mobilstation (MS) ankommen, als sie von der ''Base Transceiver Station'' (BTS) gesendet wurden (grüne Markierung).		Im mittleren, gelb hinterlegten Bereich ist der Downlink dargestellt, wobei die Daten um die Zeit  $T_{\rm R}$  (''Round Trip Delay Time'')  später bei der Mobilstation (MS) ankommen, als sie von der  ''Base Transceiver Station''  (BTS) gesendet wurden (grüne Markierung).

	Im oberen Bereich ist der Uplink ohne ''Timing Advance'' dargestellt.		Im oberen Bereich ist der Uplink ohne ''Timing Advance''  dargestellt.
	*Die MS beginnt genau drei Zeitschlitze nach dem Empfang mit dem Senden (blaue Markierung).		*Die MS beginnt genau drei Zeitschlitze nach dem Empfang mit dem Senden (blaue Markierung).
	*Aufgrund der Verzögerungen im Downlink und Uplink erreicht der Zeitschlitz $0$ die BTS nicht wie gefordert zu der Zeit $3T_{\rm Z}$, sondern um $2T_{\rm Z}$ später (rote Markierung).		*Aufgrund der Verzögerungen im Downlink und Uplink erreicht der Zeitschlitz  $0$  die BTS nicht wie gefordert zu der Zeit  $3T_{\rm Z}$, sondern um  $2T_{\rm Z}$  später (rote Markierung).
	*Beim ''Timing Advance'' Uplink (untere Skizze) wird diese Verzögerung bereits von der Mobilstation kompensiert, indem die Daten um die Zeit $T_{\rm A} = 2T_{\rm R}$ früher versandt werden und diese somit genau zeitsynchron bei der BTS ankommen.		*Beim ''Timing Advance'' Uplink (untere Skizze) wird diese Verzögerung bereits von der Mobilstation kompensiert, indem die Daten um die Zeit  $T_{\rm A} = 2T_{\rm R}$  früher versandt werden und diese somit genau zeitsynchron bei der BTS ankommen.


			Für das  ''Timing Advance''  stehen die Stufen $0 – 63$ zur Verfügung, wobei jede Stufe einer Bitdauer  $T_{\rm B}$  entspricht.

	~~Für das ''Timing Advance'' stehen $64$ Stufen $(0 – 63)$ zur Verfügung, wobei jede Stufe einer Bitdauer $T_{\rm B}$ entspricht.~~		*Das maximale  ''Timing Advance''  beträgt somit  $\rm 63 · 3.7 \ µ s ≈ 233 \ µs$, so dass sich die maximale zulässige Laufzeit in einer Richtung zu  $T_{\rm R} ≈ 116\ {\rm µ s}$ ergibt.
			*Daraus kann der erlaubte Zellenradius von GSM (Entfernung zwischen BTS und MS) berechnet werden:
	Das maximale ''Timing Advance'' beträgt somit $\rm 63 · 3.7 \ µ s ≈ 233 \ µs$, so dass sich die maximale zulässige Laufzeit in einer Richtung zu $T_{\rm R} ≈ 116\ {\rm µ s}$ ergibt. Daraus ~~ergibt sich~~ der erlaubte Zellenradius von GSM (Entfernung zwischen BTS und MS) zu $116\ \rm µ s · 3 · 10^8 \ m/s ≈ 35 \ km$.		:$$116\ \rm µ s · 3 · 10^8 \ m/s ≈ 35 \ km.$$