Aufgaben:Exercise 2.8: COST Delay Models - Versionsgeschichte

Guenter am 11. Mai 2020 um 14:20 Uhr

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[[Datei:Mob_A_2_8_version2.png|right|frame|COST–Verzögerungsmodelle]]
Rechts sind vier Verzögerungs–Leistungsdichtespektren als Funktion der Verzögerungszeit  $\tau$  logarithmisch aufgetragen:
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} ({{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0}) \hspace{0.05cm},$$

Hierbei ist als Abkürzung  $\phi_0 = \phi_{\rm V}(\tau = 0)$  verwendet. Es handelt sich um die so genannten COST–Verzögerungsmodelle.

Die obere Skizze beinhaltet die beiden Profile  ${\rm RA}$  (Rural Area) und  ${\rm TU}$  (Typical Urban). Für diese gilt folgender Verlauf:
:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.05cm}.$$

Der Wert des Parameters  $\tau_0$  (Zeitkonstante der AKF) soll in der Teilaufgabe '''(1)''' aus der Grafik ermittelt werden. Beachten Sie hierzu die angegebenen  $\tau$–Werte für  $-30 \ \rm dB$:
:$${\rm RA}\text{:}\hspace{0.15cm}\tau_{-30} = 0.75\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
{\rm TU}\text{:}\hspace{0.15cm}\tau_{-30} = 6.9\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}. $$

Die untere Grafik gilt für ungünstigere Verhältnisse in
* städtischen Gebieten (Bad Urban,  ${\rm BU}$):
:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}}
= \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \\
0.5 \cdot {\rm e}^{ (5\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} \hspace{-0.55cm} {\rm Bereich}\hspace{0.15cm}0 < \tau < 5\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm},
\\ \hspace{-0.15cm} {\,\, \,\, \rm Bereich}\hspace{0.15cm}5\,{\rm µ s} < \tau < 10\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}, \end{array}$$

* in ländlichen Gebieten (Hilly Terrain,  ${\rm HT}$):
:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{{\it \Phi}_{\rm 0}}
= \left\{ \begin{array}{c} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \\
{0.04 \cdot \rm e}^{ (15\,{\rm \mu s}-\tau) / \tau_0} \end{array} \right.\quad
\begin{array}{*{1}c} \hspace{-0.55cm} {\rm Bereich}\hspace{0.15cm}0 < \tau < 2\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 0.286\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm},
\\ \hspace{-0.35cm} {\rm Bereich}\hspace{0.15cm}15\,{\rm µ s} < \tau < 20\,{\rm µ s}\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm}\tau_0 = 1\,{\rm µ s} \hspace{0.05cm}. \end{array}$$

Für die Modelle   ${\rm RA}$,  ${\rm TU}$  und   ${\rm BU}$  sollen folgende Kenngrößen ermittelt werden:
* Die  Mehrwegeverbreiterung  $T_{\rm V}$  ist die Standardabweichung der Verzögerungszeit  $\tau$. Hat das Verzögerungs–LDS  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  einen exponentiellen Verlauf wie bei den Profilen  ${\rm RA}$  und  ${\rm TU}$, so gilt  $T_{\rm V} = \tau_0$, siehe  [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].

* Die Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$  ist der  $\Delta f$–Wert, bei dem die Frequenz–Korrelationsfunktion  $\varphi_{\rm F}(\Delta f)$  betragsmäßig erstmals auf die Hälfte abgefallen ist. Bei exponentiellem  ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$  wie bei  ${\rm RA}$  und  ${\rm TU}$  ist das Produkt  $T_{\rm V} \cdot B_{\rm K} \approx 0.276$, siehe  [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]].

''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Mobile_Kommunikation/Das_GWSSUS%E2%80%93Kanalmodell| GWSSUS–Kanalmodell]].
* Vorgegeben sind die folgenden Integrale:
:$$\frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = 1
\hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm}
\frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\tau} \cdot{\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = \tau_0
\hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm}
\frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \hspace{-0.15cm}{\tau^2} \cdot{\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = 2\tau_0^2\hspace{0.05cm}.$$

===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Geben Sie den LDS–Parameter  $\tau_0$  für die Profile  ${\rm RA}$  und  ${\rm TU}$  an.
|type="{}"}
${\rm RA} \text{:} \hspace{0.4cm} \tau_0 \ = \ ${ 0.109 3% } $\ \rm µ s$
${\rm TU} \text{:} \hspace{0.4cm} \tau_0 \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm µ s$

{Wie groß ist die Mehrwegeverbreiterung  $T_{\rm V}$  dieser Kanäle?
|type="{}"}
${\rm RA} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.109 3% } $\ \rm µ s$
${\rm TU} \text{:} \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm µ s$

{Welche Kohärenzbandbreite  $B_{\rm K}$  stellen diese Kanäle bereit?
|type="{}"}
${\rm RA} \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \ = \ ${ 2500 3% } $\ \rm kHz$
${\rm TU} \text{:} \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \ = \ ${ 276 3% } $\ \rm kHz$

{Bei welchem Kanal spielt Frequenzselektivität eine größere Rolle?
|type="[]"}
- Bei &bdquo;Rural Area”  $({\rm RA})$.
+ Bei &bdquo;Typical Urban”  $({\rm TU})$.

{Wie groß ist die (normierte) Leistungsdichte für &bdquo;Bad Urban”  $({\rm BU})$   sowie   $\tau = 5.001 \ \rm µ s$  bzw.  $\tau = 4.999 \ \rm µ s$?
|type="{}"}
${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 5.001 \ \rm µ s) \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \cdot {\it \Phi}_0$
${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 4.999 \ \rm µ s) \ = \ ${ 0.00674 3% } $\ \cdot {\it \Phi}_0$

{Wir betrachten weiterhin  ${\rm BU}$. Wie groß ist der prozentuale Leistungsanteil  $P_1$  der Signalanteile zwischen  $0$  und  $5 \ \rm µ s$?
|type="{}"}
$P_1/(P_1 + P_2) \ = \ ${ 66.7 3% } $\ \rm \%$

{Berechnen Sie die Mehrwegeverbreiterung  $T_{\rm V}$  des Profils  ${\rm BU}$. ''Hinweis'': Die mittlere Laufzeit beträgt  $m_{\rm V} = E[\tau] = 2.667 \ \rm µ s$.
|type="{}"}
$T_{\rm V} \ = \ ${ 2.56 3% } $\ \rm µ s$
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man folgende Eigenschaft:
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} (\frac{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau_{\rm -30})}{{\it \Phi}_0}) =
10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\left [{\rm exp}[ -\frac{\tau_{\rm -30}}{ \tau_{\rm 0}}]\right ] \stackrel {!}{=} -30\,{\rm dB}$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm lg}\hspace{0.1cm}\left [{\rm exp}[ -\frac{\tau_{\rm -30}}{ \tau_{\rm 0}}]\right ] = -3
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln}\hspace{0.1cm}\left [{\rm exp}[ -\frac{\tau_{\rm -30}}{ \tau_{\rm 0}}]\right ] = -3 \cdot
{\rm ln}\hspace{0.1cm}(10)\hspace{0.3cm}
\Rightarrow \hspace{0.3cm} \tau_{\rm 0} = \frac{\tau_{\rm -30}}{ 3 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(10)}\approx \frac{\tau_{\rm -30}}{ 6.9}
\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet $\tau_{-30}$ die Verzögerungszeit, die zum logarithmischen Ordinatenwert $-30 \ \rm dB$ führt. Damit erhält man
* für ländliches Gebiet (Rural Area, RA) mit $\tau_{–30} = 0.75 \ \rm µ s$:
:$$\tau_{\rm 0} = \frac{0.75\,{\rm \mu s}}{ 6.9} \hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.109\,{\rm µ s}}
\hspace{0.05cm},$$
* für Städte und Vorote (Typical Urban, TU) mit $\tau_{–30} = 6.9 \ \rm µ s$:
:$$\tau_{\rm 0} = \frac{6.9\,{\rm \mu s}}{ 6.9} \hspace{0.1cm}\underline {\approx 1\,{\rm µ s}}
\hspace{0.05cm},$$

'''(2)'''  In der [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe 2.7]] wurde gezeigt, dass die Mehrwegeverbreitung $T_{\rm V} =\tau_0$ ist, wenn das Verzögerungs–Leistungsdichtespektrum entsprechend ${\rm e}^{-\tau/\tau_0}$ exponentiell abfällt. Es gilt demnach
* für &bdquo;Rural Area”: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 0.109 \ \rm µ s}$,
* für &bdquo;Typical Urban”: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 1 \ \rm µ s}$.

'''(3)'''  In der [[Aufgaben:2.7_Koh%C3%A4renzbandbreite| Aufgabe A2.7]] wurde auch gezeigt, dass für die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K} \approx 0.276/\tau_0$ gilt. Daraus folgt:
*$B_{\rm K} \ \underline {\approx 2500 \ \rm kHz}$ (&bdquo;Rural Area”),
* $B_{\rm K} \ \underline {\approx 276 \ \rm kHz}$ (&bdquo;Typical Union”).

'''(4)'''  Richtig ist hier der zweite Lösungsvorschlag:
*Frequenzselektivität des Mobilfunkkanals ist immer dann gegeben, wenn die Signalbandbreite $B_{\rm S}$ größer ist als die Kohärenzbandbreite $B_{\rm K}$ (oder zumindest in der gleichen Größenordnung liegt).
*Je kleiner $B_{\rm K}$ ist, um so häufiger ist dies der Fall.

'''(5)'''  Entsprechend der angegebenen Gleichung ist ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 5.001 \ \rm µ s)/{\it \Phi}_0 \hspace{0.15cm}\underline{\approx0.5}$.
*Dagegen gilt für geringfügig kleineres $\tau$ (zum Beispiel $\tau = 4.999 \ \rm µ s$) mit guter Näherung:
:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 4.999\,{\rm \mu s})}/{{\it \Phi}_{\rm 0}} = {\rm e}^{ -{4.999\,{\rm µ s}}/{ 1\,{\rm \mu s}}}
\approx {\rm e}^{-5} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.00674 }\hspace{0.05cm}.$$

'''(6)'''  Für die Leistung $P_1$ aller Signalanteile mit Verzögerungszeiten zwischen $0$ und $5 \ \rm   s$ gilt:
:$$P_1 = {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{5\,{\rm \mu s}} {\rm exp}[ -{\tau}/{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.15cm} \approx \hspace{0.15cm}
{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{ -{\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau
= {\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0 \hspace{0.05cm}.$$

*Für den zweiten Anteil erhält man:
:$$P_2 = \frac{{\it \Phi}_{\rm 0}}{2} \cdot \int_{5\,{\rm µ s}}^{\infty} {\rm exp}[ \frac{5\,{\rm µ s} -\tau}{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.15cm} \approx \hspace{0.15cm}
\frac{{\it \Phi}_{\rm 0}}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm exp}[ -{\tau}/{ \tau_0}] \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau
= \frac{{\it \Phi}_{\rm 0} \cdot \tau_0}{2} \hspace{0.05cm}. $$

*Entsprechend beträgt der prozentuale Anteil des ersten Anteils:
[[Datei:P_ID2184__Mob_A_2_8f.png|right|frame|Verzögerungs–Leistungsdichte der COST–Profile  ${\rm BU}$  und  ${\rm HT}$]]
:$$\frac{P_1}{P_1+ P_2} = \frac{2}{3} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 66.7\%}\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ in linearem Maßstab:
*Eingezeichnet sind die Flächen $P_1$ und $P_2$.
*Die linke Abbildung gilt für  ${\rm BU}$, die rechte für  ${\rm HT}$.
*Bei Letzterem beträgt der Leistungsanteil aller späteren Echos (später als $15 \ \rm µ s$) nur etwa $12\%$.
 
'''(7)'''  Die Fläche über das gesamte Leistungsdichtespektrum ergibt $P = 1.5 \cdot \phi_0 \cdot \tau_0$.
*Normiert man ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau)$ auf diesen Wert, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{\rm V}(\tau)$, wie in der nächsten Grafik dargestellt (linkes Diagramm).

[[Datei:P_ID2185__Mob_A_2_8g.png|right|frame|Verzögerungs–WDF des Profils  ${\rm BU}$]]

*Mit $\tau_0 = 1 \ \rm µ s$,  $\tau_5 = 5 \ \rm µ s$ ergibt sich für den linearen Mittelwert:
:$$m_{\rm V}= \int_{0}^{\infty} f_{\rm V}(\tau) \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V}= \frac{2}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\tau_5} \tau \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \ + $$
:$$ \hspace{1.7cm}+\ \frac{1}{3\tau_0} \cdot \int_{\tau_5}^{\infty} \tau \cdot {\rm e}^{ (\tau_5 -\tau)/\tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}. $$

*Das erste Interal ist nach der angegebenen Gleichung gleich $2\tau_0/3$.

*Mit der Substitution $\tau' = \tau \, -\tau_5$ erhält man schließlich unter Verwendung der vorne angegebenen Integrallösungen:
:$$m_{\rm V} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{2\tau_0}{3} + \frac{1}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} (\tau_5 + \tau') \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' = \frac{2\tau_0}{3} +
\frac{\tau_5}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' +
\frac{1}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \tau' \cdot \cdot{\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V}= \frac{2\tau_0}{3} + \frac{\tau_5}{3}+ \frac{\tau_0}{3} = \tau_0 + \frac{\tau_5}{3}
\hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.667\,{\rm µ s}}
\hspace{0.05cm}. $$

*Die Varianz $\sigma_{\rm V}^2$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert der mittelwertbefreiten Zufallsgröße $\theta = \tau \, –m_{\rm V}$, deren WDF in der rechten Grafik dargestellt ist.
*Daraus lässt sich $T_{\rm V} = \sigma_{\rm V}$ angeben.

*Eine zweite Möglichkeit besteht darin, zunächst den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße $\tau$ zu berechnen und daraus die Varianz $\sigma_{\rm V}^2$ mit dem Satz von Steiner.
*Mit den bereits oben beschriebenen Substitutionen und Näherungen erhält man so:
:$$m_{\rm V2} \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} \frac{2}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \tau^2 \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau + \frac{1}{3\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} (\tau_5 + \tau')^2 \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{\rm V2} = \frac{2}{3} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{\tau^2}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau + \frac{\tau_5^2}{3} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' +\frac{2\tau_5}{3} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{\tau '}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau ' + \frac{1}{3} \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{{\tau '}^2}{\tau_0} \cdot {\rm e}^{ - {\tau}'/{ \tau_0}} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau '
\hspace{0.05cm}. $$

*Mit den vorne angegebenen Integralen folgt daraus:
:$$m_{\rm V2} \approx \frac{2}{3} \cdot 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3} \cdot 1 + \frac{2\tau_5}{3} \cdot \tau_0 +
\frac{1}{3} \cdot 2 \tau_0^2 = 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3} + \frac{2 \cdot \tau_0 \cdot \tau_5}{3} $$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sigma_{\rm V}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} m_{\rm V2} - m_{\rm V}^2 = 2 \tau_0^2 + \frac{\tau_5^2}{3} + \frac{2 \cdot \tau_0 \cdot \tau_5}{3}
- (\tau_0 + \frac{\tau_5}{3})^2 =\tau_0^2 + \frac{2\tau_5^2}{9} = (1\,{\rm µ s})^2 + \frac{2\cdot (5\,{\rm µ s})^2}{9} = 6.55\,({\rm µ s})^2$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} T_{\rm V} = \sigma_{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.56\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$

In obiger Grafik sind die Kenngrößen $T_{\rm V}$ und $\sigma_{\rm V}$ eingezeichnet.
{{ML-Fuß}}

[[Category:Exercises for Mobile Communications|^2.3 The GWSSUS Channel Model^]]

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Das GWSSUS&ndash;Kanalmodell}}
-[[Datei:Mob_A_2_8_version2.png|right|frame|COST–Verzögerungsmodelle]]
+[[Datei:Mob_A_2_8_version2.png|right|frame|COST delay models]]
 On the right, four delay power density spectra are plotted logarithmically as a function of the delay time&nbsp; $\tau$&nbsp;
 :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} ({{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0}) \hspace{0.05cm},$$
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 *Correspondingly, the percentage of power between $0$ and $5 \  \mu\rm &nbsp; s$ is
-[[File:P_ID2184__Mob_A_2_8f.png|right|frame|Delay power density of the COST profiles &nbsp;${\rm BU}$&nbsp; and &nbsp;${\rm HT}$]]
+[[File:EN_Mob_A_2_8.png|right|frame|Delay power density of the COST profiles &nbsp;${\rm BU}$&nbsp; and &nbsp;${\rm HT}$]]
 :$$\frac{P_1}{P_1+ P_2} =  \frac{2}{3} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 66.7\%}\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 109: / Zeile 109: @@
 '''(2)'''&nbsp; In [[Aufgaben:Exercise_2.7:_Coherence_Bandwidth|Exercise 2.7]], it was shown that the delay spread is $T_{\rm V} =\tau_0$ when the delay power density spectrum decreases exponentially according to ${\rm e}^{-\tau/\tau_0}$. Thus the following applies:
 * for &bdquo;Rural Area&rdquo;: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 0.109 \ \rm &micro; s}$,
-* for &bdquo;Typical Urban&rdquo;: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \ \underline {= 1 \ \rm & micro; s}$.
+* for &bdquo;Typical Urban&rdquo;: $\hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ \underline {= 1 \ \rm &micro; s}$.
@@ Zeile 115: / Zeile 115: @@
 '''(3)'''&nbsp; In [[Aufgaben:Exercise_2.7:_Coherence_Bandwidth|Exercise 2.7]] it was also shown that for the coherence bandwidth $B_{\rm K} \approx 0.276/\tau_0$ applies. It follows:
 *$B_{\rm K} \ \underline {\approx 2500 \ \rm kHz}$ (&bdquo;Rural Area&rdquo;),
-* $B_{\rm K} \ \underline {\approx 276 \ \ \rm kHz}$ (&bdquo;Typical Urban&rdquo;)
+*$B_{\rm K} \ \underline {\approx 276 \ \ \rm kHz}$ (&bdquo;Typical Urban&rdquo;)

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 ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 4,999 \ \rm &micro; s) \ = \ ${ 0.00674 3% } $\ \cdot {\it \Phi}_0$
-{We consider&nbsp; ${\rm BU}$ again. Let $P_1$ be the power of the signal between $0$&nbsp; and&nbsp; $5 \ \rm &micro; s$, and let $P_2$ be the remaining signal power. What percentage of the total signal power is $0$&nbsp; and&nbsp; $5 \ \rm &micro; s$? |type="{}"}
+{We consider&nbsp; ${\rm BU}$ again. Let $P_1$ be the power of the signal between $0$&nbsp; and&nbsp; $5 \ \rm &micro; s$, and let $P_2$ be the remaining signal power. What percentage of the total signal power is $0$&nbsp; and&nbsp; $5 \ \rm &micro; s$?
-$P_1/(P_1 + P_2) \ = \ ${ 66.7 3% } $\ \ \rm \%$
+|type="{}"}
 {Calculate the delay spread&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; of the profile&nbsp; ${\rm BU}$. ''Note'': The average delay is&nbsp; $m_{\rm V} = E[\tau] = 2.667 \ \rm &micro; s$.

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau = 4,999 \ \rm &micro; s) \ = \ ${ 0.00674 3% } $\ \cdot {\it \Phi}_0$
-{We consider&nbsp; ${\rm BU}$ again. Let $P_1$ be the power of the signal between $0$&nbsp; and&nbsp; $5 \ \rm &micro; s$, and let $P_2$ be the remaining signal power. What percentage of the total signal power is $0$&nbsp; and&nbsp; $5 \ \rm &micro; s$? |type="{}" }
+{We consider&nbsp; ${\rm BU}$ again. Let $P_1$ be the power of the signal between $0$&nbsp; and&nbsp; $5 \ \rm &micro; s$, and let $P_2$ be the remaining signal power. What percentage of the total signal power is $0$&nbsp; and&nbsp; $5 \ \rm &micro; s$? |type="{}"}
 $P_1/(P_1 + P_2) \ = \ ${ 66.7 3% } $\ \ \rm \%$

@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
 {Specify the parameter&nbsp; $\tau_0$&nbsp; of the delay power density spectrum for the profiles &nbsp;${\rm RA}$&nbsp; and &nbsp;${\rm TU}$&nbsp;.
 |type="{}"}
-${\rm RA} \text \ \hspace{0.4cm} \tau_0 \ = \ ${ 0.109 3% } $\ \rm &micro; s$
+${\rm RA} \text{:} \ \hspace{0.4cm} \tau_0 \ = \ ${ 0.109 3% } $\ \rm &micro; s$
-${\rm TU} \text \ \hspace{0.4cm} \tau_0 \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm &micro; s$
+${\rm TU} \text{:} \ \hspace{0.4cm} \tau_0 \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm &micro; s$
 {How large is the delay spread&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; of these channels?
 |type="{}"}
-${\rm RA} \text \ \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.109 3% } $\ \rm &micro; s$
+${\rm RA} \text{:} \ \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 0.109 3% } $\ \rm &micro; s$
-${\rm TU} \text \ \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm &micro; s$
+${\rm TU} \text{:} \ \hspace{0.4cm} T_{\rm V} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm &micro; s$
 {What is the coherence bandwidth&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; of these channels?

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-===Questionnaire==
+===Questionnaire===
 <quiz display=simple>
 {Specify the parameter&nbsp; $\tau_0$&nbsp; of the delay power density spectrum for the profiles &nbsp;${\rm RA}$&nbsp; and &nbsp;${\rm TU}$&nbsp;.
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 {What is the coherence bandwidth&nbsp; $B_{\rm K}$&nbsp; of these channels?
 |type="{}"}
-${\rm RA} \text \ \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \ = \ ${ 2500 3% } $\ \ \rm kHz$
+${\rm RA} \text{:} \ \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \ = \ ${ 2500 3% } $\ \ \rm kHz$
-${\rm TU} \text \ \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \ = \ ${ 276 3% } $\ \ \rm kHz$
+${\rm TU} \text{:} \ \hspace{0.4cm} B_{\rm K} \ = \ ${ 276 3% } $\ \ \rm kHz$
 {For which channel does frequency selectivity play a greater role?
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 $P_1/(P_1 + P_2) \ = \ ${ 66.7 3% } $\ \ \rm \%$
-{Calculate the delay spread&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; of the profile&nbsp; ${\rm BU}$. ''Note'': The average delay is&nbsp; $m_{\rm V} = E[\rm V} = E[\rm BU] = 2,667 \ \rm &micro; s$.
+{Calculate the delay spread&nbsp; $T_{\rm V}$&nbsp; of the profile&nbsp; ${\rm BU}$. ''Note'': The average delay is&nbsp; $m_{\rm V} = E[\tau] = 2.667 \ \rm &micro; s$.
 |type="{}"}
 $T_{\rm V} \ = \ ${ 2.56 3% } $\ \rm &micro; s$

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 The upper sketch contains the two profiles &nbsp;${\rm RA}$&nbsp; (<i>Rural Area</i>) and &nbsp;${\rm TU}$&nbsp; (<i>Typical Urban</i>). Both of these are exponential:
-$${{{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${{\it \Phi}_{\rm V}(\tau)}/{\it \Phi}_{\rm 0} = {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.05cm}.$$
 The value of the parameter&nbsp; $\tau_0$&nbsp; (time constant of the ACF) should be determined from the graphic in subtask '''(1)'''. Note the specified values of &nbsp; $\tau_{-30}$ for&nbsp; ${\it \Phi}_{\rm V}(\tau_{-30})=-30 \ \rm dB$:
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 :$$\frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\rm e}^{ -\tau / \tau_0} \hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = 1
   \hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm}
-\frac {1}{\frac_0} \cdot \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\tau} \cdot{\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = \tau_0
+\frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\tau} \cdot{\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = \tau_0
   \hspace{0.05cm},\hspace{0.6cm}
-\frac {1}{\frac_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \hspace{-0.15cm}{\tau^2} \cdot{\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = 2\tau_0^2\hspace{0.05cm}.$$
+\frac{1}{\tau_0} \cdot \int_{0}^{\infty} \hspace{-0.15cm}{\tau^2} \cdot{\rm e}^{ -\tau / \tau_0}\hspace{0.15cm}{\rm d} \tau = 2\tau_0^2\hspace{0.05cm}.$$