Guenter am 11. Mai 2020 um 13:15 Uhr

2020-05-11T13:15:49Z

Javier am 1. April 2020 um 09:08 Uhr

2020-04-01T09:08:32Z

Javier: Javier verschob die Seite Exercises:Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum nach Aufgaben:Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum

2020-04-01T08:50:32Z

Javier verschob die Seite Exercises:Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum nach Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum

Javier: Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses}} Datei:P_ID2124__Mob_A_1_5.png|right|frame|Betrachtet…“

2020-03-25T10:59:13Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses}} Datei:P_ID2124__Mob_A_1_5.png|right|frame|Betrachtet…“

Neue Seite

{{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses}}

[[Datei:P_ID2124__Mob_A_1_5.png|right|frame|Betrachtetes Jakes–Spektrum]]
Bei einem Mobilfunksystem macht sich der  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts|Dopplereffekt]]  auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  bemerkbar.

Es ergibt sich das so genannte  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes–Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$  in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  hat nur Anteile innerhalb des Bereichs  $± f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:
:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
\hspace{0.05cm}.$$

Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum (LDS) ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion (AKF). Diese ergibt sich aus  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  durch die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]].

Mit der Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung  $({\rm J}_0)$  erhält man:
:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

Um den Dopplereffekt und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger – bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading|Rayleigh–Kanalmodell]]  zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang  $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.

Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.
*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils  $x(t)$. Für den Imaginärteil  $y(t)$  ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
*Am Eingang des im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading|Rayleigh–Kanalmodell]]  linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen  $n(t)$  mit der Varianz  $\sigma^2 = 0.5$  an.
*Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
:$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$

''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses|Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses]].
* Das digitale Filter wird im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]]  des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie” ausführlich behandelt.

===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Welchen Wert hat das Jakes–Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D} = 0$?
|type="{}"}
${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $ { 1.59 } $\ \cdot 10^{\rm –3} \ 1/{\rm Hz}$

{Welche Dimensionierung ist richtig, wobei  $K$  eine geeignet gewählte Konstante ist?
|type="[]"}
- Es gilt  $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
+ Es gilt  $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$

{Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante  $K$  bestimmen?
|type="[]"}
- $K$  kann beliebig gewählt werden.
- Das Integral über  $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|$  muss  $1$  ergeben.
+ Das Integral über  $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2$  muss  $1$  ergeben.

{Ist  $H_{\rm DF}(f)$  durch die beiden Bedingungen gemäß '''(2)''' und '''(3)''' eindeutig festgelegt?
|type="()"}
- Ja.
+ Nein.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum ${\it \Phi}_z(f)$:
:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} =
\frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}
\hspace{0.05cm}.$$

'''(2)'''  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
*Das Eingangssignal $n(t)$ besitzt ein weißes (konstantes) LDS ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.
*Für das LDS am Ausgang gilt dann:
:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot | H_{\rm DF}(f_{\rm D}|^2
\hspace{0.05cm}.$$

'''(3)'''  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3.
*Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.

'''(4)'''  Richtig ist NEIN:
*Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben (2) und (3) beziehen sich nur auf die Betragsfunktion.
*Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift.
*Diese ist frei wählbar. Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt.
*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.

Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:
[[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png|right|frame|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]

* Das Jakes–Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $± f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.
* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt.
*Für kleine $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).
{{ML-Fuß}}

[[Category:Exercises for Mobile Communications|^1.3 Rayleigh Fading with Memory^]]

← Nächstältere Version		Version vom 11. Mai 2020, 13:15 Uhr
Zeile 82:		Zeile 82:

	The graph shows the result of the approximation. The red curves were determined simulatively over $100\hspace{0.05cm}000$ samples. You can see:		The graph shows the result of the approximation. The red curves were determined simulatively over $100\hspace{0.05cm}000$ samples. You can see:
−	[[File:~~P_ID2125__Mob_A_1_5d~~.png\|right\|frame\|Approximation of the Jakes spectrum and ACF]]	+	[[File:EN_Mob_A_1_5d.png\|right\|frame\|Approximation of the Jakes spectrum and ACF]]

Aufgaben:Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum - Versionsgeschichte

Guenter am 11. Mai 2020 um 13:15 Uhr

Javier am 1. April 2020 um 09:08 Uhr

Javier: Javier verschob die Seite Exercises:Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum nach Aufgaben:Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum

Javier: Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh-Prozesses}} Datei:P_ID2124__Mob_A_1_5.png|right|frame|Betrachtet…“