Aufgaben:Aufgabe 5.9: Minimierung des MQF - Versionsgeschichte

Guenter am 23. Februar 2022 um 15:24 Uhr

2022-02-23T15:24:20Z

Guenter am 23. Februar 2022 um 15:11 Uhr

2022-02-23T15:11:09Z

Guenter am 10. Dezember 2019 um 11:15 Uhr

2019-12-10T11:15:56Z

Guenter am 10. Dezember 2019 um 11:06 Uhr

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Guenter am 27. August 2018 um 08:45 Uhr

2018-08-27T08:45:08Z

Guenter am 27. August 2018 um 08:34 Uhr

2018-08-27T08:34:01Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:57Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.9 Minimierung des MQF nach Aufgaben:Aufgabe 5.9: Minimierung des MQF

2018-01-03T13:52:45Z

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Guenter am 24. April 2017 um 12:46 Uhr

2017-04-24T12:46:21Z

Guenter am 24. April 2017 um 12:15 Uhr

2017-04-24T12:15:03Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der letzte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>nur der letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Die Aufgabenstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers&rdquo; weist bereits auf das Filter nach Wiener&ndash;Kolmogorow hin.
+*Die Aufgabenstellung &nbsp; &bdquo;Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers&rdquo; weist bereits auf das Filter nach Wiener&ndash;Kolmogorow hin.
-*Das Matched&ndash;Filter verwendet man dagegen, um die Signalenergie zu bündeln und dadurch für einen vorgegebenen Zeitpunkt das S/N&ndash;Verhältnis zu maximieren.
+*Das Matched&ndash;Filter verwendet man dagegen,&nbsp; um die Signalenergie zu bündeln und dadurch für einen vorgegebenen Zeitpunkt das S/N&ndash;Verhältnis zu maximieren.
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 :$${\rm{MQF}} = \frac{{2{\it \Phi} _0 f_0 }}{{\sqrt {1 + Q} }}\left( {\arctan ( \infty  ) - \arctan ( 0 )} \right) = \frac{{{\it \Phi} _0 f_0 {\rm{\pi }}}}{{\sqrt {1 + Q} }}.$$
-*Normiert man MQF auf die Nutzleistung&nbsp; $P_s$, so erhält man für&nbsp; $Q=3$:
+*Normiert man MQF auf die Nutzleistung&nbsp; $P_s$,&nbsp; so erhält man für&nbsp; $Q=3$:
 :$$\frac{\rm{MQF}}{P_s}  = \frac{1}{{\sqrt {1 + Q} }} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.5}.$$
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 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
 *Ein zum Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filter formgleicher Frequenzgang &nbsp; &#8658; &nbsp; $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$&nbsp; mit&nbsp; $K \ne 1$&nbsp; führt stets zu großen Verfälschungen.
-*Dies kann man sich zum Beispiel am rauschfreien Fall&nbsp; $(Q \to \infty)$&nbsp; verdeutlichen.&nbsp; In diesem Fall wäre&nbsp; $d(t) = K \cdot s(t)$&nbsp; und die Optimierungsaufgabe trotz guter Bedingungen extrem schlecht gelöst.
+*Dies kann man am rauschfreien Fall&nbsp; $(Q \to \infty)$&nbsp; zeigen:&nbsp;  $d(t) = K \cdot s(t)$&nbsp; und die Optimierungsaufgabe trotz guter Bedingungen extrem schlecht gelöst.
 *Aus der Gleichung
 :$${\rm{MQF}} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f)}  \cdot \it{\Phi} _n (f)\,\,{\rm{d}}f$$
 :könnte man fälschlicherweise schließen, dass durch ein Filter&nbsp; $H(f) = 2 \cdot H_{\rm WF}(f)$&nbsp; der mittlere quadratische Fehler nur verdoppelt wird.
-*Dem ist jedoch nicht so, da&nbsp; $H(f)$&nbsp; dann kein Wiener-Filter mehr ist und obige Gleichung auch nicht mehr anwendbar.
+*Dem ist jedoch nicht so, da&nbsp; $H(f)$&nbsp; dann kein Wiener-Filter mehr ist und somit obige Gleichung auch nicht mehr anwendbar.
-[[Datei:P_ID651__Sto_A_5_9_e.png|right|frame|Leistungsdichtespektren beim Wiener-Filter]]
+Die zweite Aussage ist zutreffend,&nbsp; wie aus nebenstehender Skizze  hervorgeht.
-Die zweite Aussage ist zutreffend, wie aus der nebenstehenden Skizze  hervorgeht.
+*Die Punkte markieren den Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm WF}(f)$&nbsp; für&nbsp; $Q = 3$&nbsp; bzw. &nbsp; $Q = 10$.
 *Bei größerem&nbsp; $Q (= 10)$&nbsp; werden hohe Anteile weniger gedämpft als bei niedrigerem&nbsp; $Q (= 3)$.
-*Deshalb beinhaltet das  Filterausgangssignal im Fall&nbsp; $Q = 10$&nbsp; auch  mehr höherfrequente Anteile, die auf das Rauschen&nbsp;   $n(t)$&nbsp; zurückgehen.
+*Deshalb beinhaltet das  Filterausgangssignal im Fall&nbsp; $Q = 10$&nbsp; auch  mehr höherfrequente Anteile,&nbsp; die auf das Rauschen&nbsp;   $n(t)$&nbsp; zurückgehen.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID652__Sto_A_5_9.png|right|frame|Leistungsdichtespektren <br>beim Wiener-Filter ]]
+[[Datei:P_ID652__Sto_A_5_9.png|right|frame|Leistungsdichtespektren beim <br>Wiener-Kolmogorow-Filter ]]
-Gegeben ist ein stochastisches Nutzsignal&nbsp; $s(t)$, von dem nur das Leistungsdichtespektrum (LDS) bekannt ist:
+Gegeben ist ein stochastisches Nutzsignal&nbsp; $s(t)$,&nbsp; von dem nur das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; bekannt ist:
 :$${\it \Phi} _s (f) = \frac{\it{\Phi} _{\rm 0} }{1 + ( {f/f_0 } )^2 }.$$
 Dieses Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi} _s (f)$&nbsp; ist in der nebenstehenden Grafik blau dargestellt.
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 *Die mittlere Leistung von&nbsp; $s(t)$&nbsp; ergibt sich durch Integration über das Leistungsdichtespektrum:
 :$$P_s  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\it \Phi} _s (f)}\, {\rm d} f = {\it \Phi} _0  \cdot f_0  \cdot {\rm{\pi }}.$$
-*Additiv überlagert ist dem Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; Weißes Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_n(f) = N_0/2.$
+*Additiv überlagert ist dem Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; weißes Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_n(f) = N_0/2.$
-*Als Abkürzung verwenden wir&nbsp; $Q = 2 \cdot {\it \Phi}_0/N_0$, wobei&nbsp; $Q$&nbsp; als &bdquo;Qualität&rdquo; interpretiert werden könnte.
+*Als Abkürzung verwenden wir&nbsp; $Q = 2 \cdot {\it \Phi}_0/N_0$,&nbsp; wobei&nbsp; $Q$&nbsp; als &bdquo;Qualität&rdquo; interpretiert werden könnte.
-*Zu beachten ist, dass&nbsp; $Q$&nbsp; kein Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis darstellt.
+*Zu beachten ist,&nbsp; dass&nbsp; $Q$&nbsp; kein Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis darstellt.
-In dieser Aufgabe soll der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; eines Filters ermittelt werden, das den mittleren quadratischen Fehler&nbsp; $\rm (MQF)$&nbsp; zwischen dem Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; und dem Filterausgangssignal&nbsp; $d(t)$&nbsp; minimiert:
+In dieser Aufgabe soll der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; eines Filters ermittelt werden,&nbsp; das den mittleren quadratischen Fehler&nbsp; $\rm (MQF)$&nbsp; zwischen dem Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; und dem Filterausgangssignal&nbsp; $d(t)$&nbsp; minimiert:
 :$${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M}  \to \infty } \frac{1}{T_{\rm M} }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{T_{\rm M} /2} {\left| {d(t) - s(t)} \right|^2 \, {\rm{d}}t.}$$
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wiener–Kolmogorow–Filter|Wiener–Kolmogorow–Filter]].
+*Für den optimalen Frequenzgang gilt nach Wiener und Kolmogorow allgemein:
 *Zur Lösung vorgegeben wird das folgende unbestimmte Integral:
 :$$\int {\frac{1}{a^2  + x^2 }} \, {\rm{d}}x ={1}/{a} \cdot \arctan \left( {{x}/{a}} \right).$$
@@ Zeile 49: / Zeile 46: @@
-{Es gelte weiter&nbsp; $Q = 3$.&nbsp; Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler&nbsp; $(\rm MQF)$&nbsp; bezogen auf&nbsp; $P_s$&nbsp; für das bestmögliche Filter.
+{Es gelte weiter&nbsp; $Q = 3$.&nbsp; Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler&nbsp; $(\rm MQF)$&nbsp; bezogen auf die Signalleistung&nbsp; $P_s$&nbsp; für das bestmögliche Filter.
 |type="{}"}
 ${\rm MQF}/P_s \ =  \ $ { 0.5 3% }
-{Wie groß muss der &bdquo;Qualitätsfaktor&rdquo;&nbsp; $Q$&nbsp; mindestens gewählt werden, damit für den Quotienten der Wert&nbsp; ${\rm MQF}/P_s = 0.1$&nbsp; erreicht werden kann?
+{Wie groß muss der &bdquo;Qualitätsfaktor&rdquo;&nbsp; $Q$&nbsp; mindestens gewählt werden,&nbsp; damit für den Quotienten der Wert&nbsp; ${\rm MQF}/P_s = 0.1$&nbsp; erreicht werden kann?
 |type="{}"}
 $Q_\text{min} \ =  \ $ { 99 3% }

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 :$$H(f) = \frac{1}{{1 + {N_0 }/({{2{\it \Phi} _0 })}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}} = \frac{1}{{1 + {1}/{Q}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}}.$$
-*Mit $Q = 3$ folgt daraus:
+*Mit&nbsp;  $Q = 3$&nbsp; folgt daraus:
 :$$H( {f = 0} ) = \frac{1}{{1 + {1}/{Q}}} = \frac{Q}{Q + 1}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75},$$
 :$$H( {f = 2f_0 } ) = \frac{1}{{1 + {5}/{Q}}} = \frac{Q}{Q + 5}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.375}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Für das in der Teilaufgabe '''(2)''' berechnete Filter gilt unter Berücksichtigung der Symmetrie:
 :$${\rm{MQF = }}\int_{-\infty}^{+\infty}  H(f) \cdot {\it \Phi} _n (f) \,\, {\rm{d}}f = \int_{0}^{+\infty}  \frac{N_0}{{1 + {N_0 }/({{2{\it \Phi} _0 })}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}} \,\, {\rm{d}}f .$$
@@ Zeile 96: / Zeile 97: @@
 :$${\rm{MQF}} = \frac{{2{\it \Phi} _0 f_0 }}{{\sqrt {1 + Q} }}\left( {\arctan ( \infty  ) - \arctan ( 0 )} \right) = \frac{{{\it \Phi} _0 f_0 {\rm{\pi }}}}{{\sqrt {1 + Q} }}.$$
-*Normiert man MQF auf die Nutzleistung $P_s$, so erhält man für $Q=3$:
+*Normiert man MQF auf die Nutzleistung&nbsp; $P_s$, so erhält man für&nbsp; $Q=3$:
 :$$\frac{\rm{MQF}}{P_s}  = \frac{1}{{\sqrt {1 + Q} }} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.5}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Aus der Berechnung in in der Teilaufgabe '''(3)''' folgt für ${\rm MQF}/P_s \ge 0.1$ direkt die Bedingung $Q \ge 99$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $Q_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 99}$.
-*Je größer $Q$ ist, desto kleiner wird der mittlere quadratische Fehler.
+'''(4)'''&nbsp; Aus der Berechnung in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; folgt für&nbsp; ${\rm MQF}/P_s \ge 0.1$ direkt die Bedingung&nbsp; $Q \ge 99$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $Q_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 99}$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Ein zum Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filterr formgleicher Frequenzgang &nbsp;&#8658;&nbsp; $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$ mit $K \ne 1$ führt stets zu großen Verfälschungen.
+*Ein zum Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filter formgleicher Frequenzgang &nbsp; &#8658; &nbsp; $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$&nbsp; mit&nbsp; $K \ne 1$&nbsp; führt stets zu großen Verfälschungen.
-*Dies kann man sich zum Beispiel am rauschfreien Fall ($Q \to \infty$) verdeutlichen:
+*Dies kann man sich zum Beispiel am rauschfreien Fall&nbsp; $(Q \to \infty)$&nbsp; verdeutlichen.&nbsp; In diesem Fall wäre&nbsp; $d(t) = K \cdot s(t)$&nbsp; und die Optimierungsaufgabe trotz guter Bedingungen extrem schlecht gelöst.
 *Aus der Gleichung
 :$${\rm{MQF}} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f)}  \cdot \it{\Phi} _n (f)\,\,{\rm{d}}f$$
-:könnte man fälschlicherweise schließen, dass durch ein Filter $H(f) = 2 \cdot H_{\rm WF}(f))$ der mittlere quadratische Fehler nur verdoppelt wird.
+:könnte man fälschlicherweise schließen, dass durch ein Filter&nbsp; $H(f) = 2 \cdot H_{\rm WF}(f)$&nbsp; der mittlere quadratische Fehler nur verdoppelt wird.
-*Dem ist jedoch nicht so, da $H(f)$dann kein Wiener-Filter mehr ist und obige Gleichung auch nicht mehr anwendbar.
+*Dem ist jedoch nicht so, da&nbsp; $H(f)$&nbsp; dann kein Wiener-Filter mehr ist und obige Gleichung auch nicht mehr anwendbar.
 [[Datei:P_ID651__Sto_A_5_9_e.png|right|frame|Leistungsdichtespektren beim Wiener-Filter]]
 Die zweite Aussage ist zutreffend, wie aus der nebenstehenden Skizze  hervorgeht.
-*Die Punkte markieren den Frequenzgang $H_{\rm WF}(f))$ des Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filters für $Q = 3$ bzw. für $Q = 10$.
+*Die Punkte markieren den Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm WF}(f))$&nbsp; des Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filters für&nbsp; $Q = 3$&nbsp; bzw. für&nbsp; $Q = 10$.
-*Bei größerem $Q (= 10)$ werden hohe Anteile weniger gedämpft als bei niedrigerem $Q (= 3)$.
+*Bei größerem&nbsp; $Q (= 10)$&nbsp; werden hohe Anteile weniger gedämpft als bei niedrigerem&nbsp; $Q (= 3)$.
-*Deshalb beinhaltet das  Filterausgangssignal im Fall $Q = 10$ auch  mehr höherfrequente Anteile, die auf das Rauschen   $n(t)$ zurückgehen.
+*Deshalb beinhaltet das  Filterausgangssignal im Fall&nbsp; $Q = 10$&nbsp; auch  mehr höherfrequente Anteile, die auf das Rauschen&nbsp;   $n(t)$&nbsp; zurückgehen.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID652__Sto_A_5_9.png|right|frame|Leistungsdichtespektren beim Wiener-Filter ]]
+[[Datei:P_ID652__Sto_A_5_9.png|right|frame|Leistungsdichtespektren <br>beim Wiener-Filter ]]
-Gegeben ist ein stochastisches Nutzsignal $s(t)$, von dem nur das Leistungsdichtespektrum (LDS) bekannt ist:
+Gegeben ist ein stochastisches Nutzsignal&nbsp; $s(t)$, von dem nur das Leistungsdichtespektrum (LDS) bekannt ist:
 :$${\it \Phi} _s (f) = \frac{\it{\Phi} _{\rm 0} }{1 + ( {f/f_0 } )^2 }.$$
-Dieses Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi} _s (f)$ ist in der nebenstehenden Grafik blau dargestellt.
+Dieses Leistungsdichtespektrum&nbsp; ${\it \Phi} _s (f)$&nbsp; ist in der nebenstehenden Grafik blau dargestellt.
-*Die mittlere Leistung von $s(t)$ ergibt sich durch Integration über das Leistungsdichtespektrum:
+*Die mittlere Leistung von&nbsp; $s(t)$&nbsp; ergibt sich durch Integration über das Leistungsdichtespektrum:
 :$$P_s  = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\it \Phi} _s (f)}\, {\rm d} f = {\it \Phi} _0  \cdot f_0  \cdot {\rm{\pi }}.$$
-*Additiv überlagert ist dem Nutzsignal $s(t)$ Weißes Rauschen mit der Rauschleistungsdichte ${\it \Phi}_n(f) = N_0/2.$
+*Additiv überlagert ist dem Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; Weißes Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Rauschleistungsdichte&nbsp; ${\it \Phi}_n(f) = N_0/2.$
-*Als Abkürzung verwenden wir $Q = 2 \cdot {\it \Phi}_0/N_0$, wobei $Q$ als &bdquo;Qualität&rdquo; interpretiert werden könnte.
+*Als Abkürzung verwenden wir&nbsp; $Q = 2 \cdot {\it \Phi}_0/N_0$, wobei&nbsp; $Q$&nbsp; als &bdquo;Qualität&rdquo; interpretiert werden könnte.
-*Zu beachten ist, dass $Q$ kein Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis darstellt.
+*Zu beachten ist, dass&nbsp; $Q$&nbsp; kein Signal&ndash;zu&ndash;Rauschleistungsverhältnis darstellt.
-In dieser Aufgabe soll der Frequenzgang $H(f)$ eines Filters ermittelt werden, das den mittleren quadratischen Fehler $\rm (MQF)$ zwischen dem Nutzsignal $s(t)$ und dem Filterausgangssignal $d(t)$ minimiert:
+In dieser Aufgabe soll der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; eines Filters ermittelt werden, das den mittleren quadratischen Fehler&nbsp; $\rm (MQF)$&nbsp; zwischen dem Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; und dem Filterausgangssignal&nbsp; $d(t)$&nbsp; minimiert:
 :$${\rm{MQF}} = \mathop {\lim }\limits_{T_{\rm M}  \to \infty } \frac{1}{T_{\rm M} }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{T_{\rm M} /2} {\left| {d(t) - s(t)} \right|^2 \, {\rm{d}}t.}$$
@@ Zeile 23: / Zeile 25: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Wiener–Kolmogorow–Filter|Wiener–Kolmogorow–Filter]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wiener–Kolmogorow–Filter|Wiener–Kolmogorow–Filter]].
 *Zur Lösung vorgegeben wird das folgende unbestimmte Integral:
@@ Zeile 36: / Zeile 38: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- $H(f)$ ist ein Gaußtiefpass.
+- $H(f)$&nbsp; ist ein Gaußtiefpass.
-- $H(f)$ stellt ein Matched&ndash;Filter dar.
+- $H(f)$&nbsp; stellt ein Matched&ndash;Filter dar.
-+ $H(f)$ ist ein Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filter.
++ $H(f)$&nbsp; ist ein Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filter.
-{Bestimmen Sie den Frequenzgang $H(f)$ des hierfür optimalen Filters. <br>Welche Werte ergeben sich  mit $Q = 3$ bei $f = 0$ und $f = 2f_0$?
+{Bestimmen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; des hierfür optimalen Filters.&nbsp; Welche Werte ergeben sich  mit&nbsp; $Q = 3$&nbsp; bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 |type="{}"}
 $H(f = 0) \ = \ $ { 0.75 3% }
@@ Zeile 47: / Zeile 49: @@
-{Es gelte weiter $Q = 3$. Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler $(\rm MQF)$ bezogen auf $P_s$ für das bestmögliche Filter.
+{Es gelte weiter&nbsp; $Q = 3$.&nbsp; Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler&nbsp; $(\rm MQF)$&nbsp; bezogen auf&nbsp; $P_s$&nbsp; für das bestmögliche Filter.
 |type="{}"}
 ${\rm MQF}/P_s \ =  \ $ { 0.5 3% }
-{Wie groß muss der &bdquo;Qualitätsfaktor&rdquo; $Q$ mindestens gewählt werden, damit für den Quotienten der Wert ${\rm MQF}/P_s = 0.1$ erreicht werden kann?
+{Wie groß muss der &bdquo;Qualitätsfaktor&rdquo;&nbsp; $Q$&nbsp; mindestens gewählt werden, damit für den Quotienten der Wert&nbsp; ${\rm MQF}/P_s = 0.1$&nbsp; erreicht werden kann?
 |type="{}"}
 $Q_\text{min} \ =  \ $ { 99 3% }
@@ Zeile 59: / Zeile 61: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Ein formgleiches Filter $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$ führt zum gleichen Ergebnis.
+- Ein formgleiches Filter&nbsp; $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$&nbsp; führt zum gleichen Ergebnis.
-+ Das Ausgangssignal $d(t)$ enthält bei größerem $Q$ mehr höherfrequente Anteile.
++ Das Ausgangssignal&nbsp; $d(t)$&nbsp; enthält bei größerem&nbsp; $Q$&nbsp; mehr höherfrequente Anteile.

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist hier <u>nur der letzte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Die Aufgabenstellung (&bdquo;Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers&rdquo;) weist bereits auf das Filter nach Wiener&ndash;Kolmogorow hin.
+*Die Aufgabenstellung  &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers&rdquo; weist bereits auf das Filter nach Wiener&ndash;Kolmogorow hin.
 *Das Matched&ndash;Filter verwendet man dagegen, um die Signalenergie zu bündeln und dadurch für einen vorgegebenen Zeitpunkt das S/N&ndash;Verhältnis zu maximieren.
@@ Zeile 76: / Zeile 77: @@
 :$$H(f) = H_{\rm WF} (f) = \frac{1}{{1 + {\it \Phi} _n (f)/{\it \Phi} _s (f)}}.$$
-Mit den gegebenen Leistungsdichtespektren kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Mit den gegebenen Leistungsdichtespektren kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$H(f) = \frac{1}{{1 + {N_0 }/({{2{\it \Phi} _0 })}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}} = \frac{1}{{1 + {1}/{Q}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}}.$$
-Mit $Q = 3$ folgt daraus:
+*Mit $Q = 3$ folgt daraus:
 :$$H( {f = 0} ) = \frac{1}{{1 + {1}/{Q}}} = \frac{Q}{Q + 1}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75},$$
 :$$H( {f = 2f_0 } ) = \frac{1}{{1 + {5}/{Q}}} = \frac{Q}{Q + 5}  \hspace{0.15cm}\underline {= 0.375}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Für das in der Teilaufgabe (2) berechnete Filter gilt unter Berücksichtigung der Symmetrie:
 :$${\rm{MQF = }}\int_{-\infty}^{+\infty}  H(f) \cdot {\it \Phi} _n (f) \,\, {\rm{d}}f = \int_{0}^{+\infty}  \frac{N_0}{{1 + {N_0 }/({{2{\it \Phi} _0 })}\cdot \left[ {1 + ( {f/f_0 } )^2 } \right]}} \,\, {\rm{d}}f .$$
-Hierfür kann mit $Q = 2 \cdot {\it \Phi}_0/N_0$ und $a^2 = Q + 1$ auch geschrieben werden:<br />
+*Hierfür kann mit &nbsp;$Q = 2 \cdot {\it \Phi}_0/N_0$&nbsp; und &nbsp;$a^2 = Q + 1$&nbsp; auch geschrieben werden:<br />
 :$${\rm{MQF = }}\int_0^\infty  {\frac{{2{\it \Phi} _0 }}{{ Q+1 + ( {f/f_0 })^2 }}} \,\, {\rm{d}}f = 2{\it \Phi} _0  \cdot f_0 \int_0^\infty  {\frac{1}{a^2  + x^2 }}\,\, {\rm{d}}x.$$
-Mit dem angegebenen Integral führt dies zum Ergebnis:
+*Mit dem angegebenen Integral führt dies zum Ergebnis:
 :$${\rm{MQF}} = \frac{{2{\it \Phi} _0 f_0 }}{{\sqrt {1 + Q} }}\left( {\arctan ( \infty  ) - \arctan ( 0 )} \right) = \frac{{{\it \Phi} _0 f_0 {\rm{\pi }}}}{{\sqrt {1 + Q} }}.$$
-Normiert man MQF auf die Nutzleistung $P_s$, so erhält man für $Q=3$:
+*Normiert man MQF auf die Nutzleistung $P_s$, so erhält man für $Q=3$:
 :$$\frac{\rm{MQF}}{P_s}  = \frac{1}{{\sqrt {1 + Q} }} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.5}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Aus der Berechnung in in der Teilaufgabe (3) folgt für ${\rm MQF}/P_s \ge 0.1$ direkt die Bedingung $Q \ge 99$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $Q_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 99}$. Je größer $Q$ ist, desto kleiner wird der mittlere quadratische Fehler.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist <u>nur der zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Ein zum Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filterr formgleicher Frequenzgang &nbsp;&#8658;&nbsp; $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$ mit $K \ne 1$ führt stets zu großen Verfälschungen. Dies kann man sich zum Beispiel am rauschfreien Fall ($Q \to \infty$) verdeutlichen:
+*Ein zum Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filterr formgleicher Frequenzgang &nbsp;&#8658;&nbsp; $H(f) = K \cdot H_{\rm WF}(f)$ mit $K \ne 1$ führt stets zu großen Verfälschungen.
-*In diesem Fall wäre $d(t) = K \cdot s(t)$ und die Optimierungsaufgabe trotz guter Bedingungen extrem schlecht gelöst.
+*Dies kann man sich zum Beispiel am rauschfreien Fall ($Q \to \infty$) verdeutlichen:
 *Aus der Gleichung
 :$${\rm{MQF}} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {H_{\rm WF} (f)}  \cdot \it{\Phi} _n (f)\,\,{\rm{d}}f$$
-könnte man fälschlicherweise schließen, dass durch ein Filter $H(f) = 2 \cdot H_{\rm WF}(f))$ der mittlere quadratische Fehler nur verdoppelt wird. Dem ist jedoch nicht so, da $H(f)$dann kein Wiener-Filter mehr ist und obige Gleichung auch nicht mehr anwendbar.
+:könnte man fälschlicherweise schließen, dass durch ein Filter $H(f) = 2 \cdot H_{\rm WF}(f))$ der mittlere quadratische Fehler nur verdoppelt wird.
-[[Datei:P_ID651__Sto_A_5_9_e.png|right|Leistungsdichtespektren beim Wiener-Filter]]
+[[Datei:P_ID651__Sto_A_5_9_e.png|right|frame|Leistungsdichtespektren beim Wiener-Filter]]
 Die zweite Aussage ist zutreffend, wie aus der nebenstehenden Skizze  hervorgeht.
 *Die Punkte markieren den Frequenzgang $H_{\rm WF}(f))$ des Wiener&ndash;Kolmogorow&ndash;Filters für $Q = 3$ bzw. für $Q = 10$.