Aufgaben:Aufgabe 5.8Z: Zyklisches Präfix und Guard–Intervall - Versionsgeschichte

Guenter am 24. Januar 2022 um 17:46 Uhr

2022-01-24T17:46:47Z

Guenter am 24. Januar 2022 um 17:33 Uhr

2022-01-24T17:33:50Z

Guenter am 6. Mai 2020 um 12:00 Uhr

2020-05-06T12:00:45Z

Guenter am 6. Mai 2020 um 11:50 Uhr

2020-05-06T11:50:20Z

Guenter am 6. Mai 2020 um 10:47 Uhr

2020-05-06T10:47:30Z

Guenter am 22. Januar 2019 um 15:58 Uhr

2019-01-22T15:58:52Z

Guenter am 22. Januar 2019 um 15:44 Uhr

2019-01-22T15:44:12Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:57Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.8Z Zyklisches Präfix und Guard–Intervall nach Aufgaben:Aufgabe 5.8Z: Zyklisches Präfix und Guard–Intervall

2018-01-03T14:37:33Z

Guenter verschob die Seite 5.8Z Zyklisches Präfix und Guard–Intervall nach Aufgabe 5.8Z: Zyklisches Präfix und Guard–Intervall

Guenter am 8. August 2017 um 11:36 Uhr

2017-08-08T11:36:38Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;   Die Kernsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands:&nbsp;
+'''(1)'''&nbsp;   Die Grundsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands:&nbsp;
 :$$ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm &micro; s}}.$$
-'''(2)'''&nbsp;   Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer&nbsp; $T_{\rm G}$&nbsp;  des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Kanalverzögerung&nbsp; $($hier: $τ_2 = 125\ \rm  &micro; s)$:
+'''(2)'''&nbsp;   Um Interferenzen zu vermeiden,&nbsp; ist die Dauer&nbsp; $T_{\rm G}$&nbsp;  des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Kanalverzögerung&nbsp; $($hier: $τ_2 = 125\ \rm  &micro; s)$:
 :$$ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm &micro; s}}.$$
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-'''(4)'''&nbsp;   Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(4)'''&nbsp;   Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 *Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; vermieden werden.
-*Die Lückendauer&nbsp; $T_{\rm G}$&nbsp; muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
+*Die Lückendauer&nbsp; $T_{\rm G}$&nbsp; muss dabei so groß gewählt werden,&nbsp; dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
 *Im vorliegenden Beispiel muss&nbsp; $T_{\rm G}≥ 125\ \rm  &micro; s$&nbsp; sein.
-'''(5)'''&nbsp;    <u>Beide Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
+'''(5)'''&nbsp;    <u>Beide Lösungsvorschläge</u>&nbsp; sind zutreffend:
 *Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt.
-*Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Kernsymboldauer&nbsp; $T$&nbsp; eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, auch wenn andere Träger aktiv sind.
+*Es wird damit sichergestellt,&nbsp; dass für alle Träger innerhalb der Grundsymboldauer&nbsp; $T$&nbsp; eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt,&nbsp; <br>auch wenn andere Träger aktiv sind.
-'''(6)'''&nbsp;   Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Kernsymbols ist gleich der Anzahl der Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{N=8}$.
+'''(6)'''&nbsp;   Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Grundsymbols ist gleich der Anzahl der Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{N=8}$.
-*Wegen&nbsp; $T_{\rm G}= T/2$&nbsp; gilt&nbsp; $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$&nbsp; und damit&nbsp; $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.
+*Wegen&nbsp; $T_{\rm G}= T/2$&nbsp; gilt&nbsp; $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$&nbsp;
-'''(7)'''&nbsp;   Die Belegung des ersten Trägers&nbsp; $($Frequenz $f_0)$&nbsp; mit dem Koeffizienten &bdquo;–1&rdquo; führt zu den Abtastwerten
+'''(7)'''&nbsp;   Die Belegung des ersten Trägers&nbsp; $($Frequenz $f_0)$&nbsp; mit dem Koeffizienten&nbsp; &bdquo;–1&rdquo;&nbsp; führt zu den Abtastwerten
 :$$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 =  -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$
 :$$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 =  +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$
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-'''(9)'''&nbsp;   Die Bandbreiteneffizienz&nbsp; $β&nbsp; = 2/3$&nbsp; führt zu einem SNR–Verlust von
+'''(9)'''&nbsp;   Diese  Bandbreiteneffizienz&nbsp; $β&nbsp; = 2/3$&nbsp; führt zu einem SNR–Verlust von
 :$$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$

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 [[Datei:P_ID1664__Z_5_8.png|right|frame|OFDM&ndash;Schema mit zyklischem Präfix]]
-Wir gehen in dieser Aufgabe von einem&nbsp; $\rm OFDM$–System mit &nbsp;$N = 8$&nbsp; Trägern und zyklischem Präfix aus.&nbsp; Der Subträgerabstand sei &nbsp;$f_0 = 4 \ \rm kHz$.&nbsp; Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.
+Wir gehen in dieser Aufgabe von einem&nbsp; $\rm OFDM$–System mit &nbsp;$N = 8$&nbsp; Trägern und zyklischem Präfix aus.&nbsp; Der Subträgerabstand sei &nbsp;$f_0 = 4 \ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Grundsymboldauer:&nbsp; $T=1/f_0$.&nbsp; Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.
-*Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind.&nbsp; Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit&nbsp; $τ_1 = \ \rm 50 &micro;s$&nbsp; und &nbsp;$τ_2 = 125\ \rm  &micro;s$:
+*Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal,&nbsp; wobei beide Pfade verzögert sind.&nbsp; Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit&nbsp; $τ_1 = \ \rm 50\ &micro;s$&nbsp; und &nbsp;$τ_2 = 125\ \rm  &micro;s$:
 :$$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$
 *Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz&nbsp; $($Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite$)$&nbsp; um den Faktor
-:$$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}} $$
+:$$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}}, $$
 :und führt auch zu einer Verringerung des Signal&ndash;Rausch&ndash;Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert <i>&beta;</i>.
-*Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR&ndash;Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende&ndash; und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind&nbsp; $($Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatz$)$.
+*Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR&ndash;Verlustes ist allerdings,&nbsp; dass die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende&ndash; und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind&nbsp; $($Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatz$)$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|"Realisierung von OFDM-Systemen"]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix|Zyklisches Präfix]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#OFDM.E2.80.93System_mit_zyklischem_Pr.C3.A4fix|OFDM-System mit zyklischem Präfix]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix|"Zyklisches Präfix"]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#OFDM.E2.80.93System_mit_zyklischem_Pr.C3.A4fix|"OFDM-System mit zyklischem Präfix"]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Kernsymboldauer &nbsp;$T$&nbsp; an.
+{Geben Sie die Grundsymboldauer &nbsp;$T$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $T \ = \ $ { 250 3% } $\ \rm &micro; s$
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 $T_{\rm R}\ = \ $ { 375 3% } $\ \rm &micro; s$
-{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; Durch eine Guardlücke, also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
+{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; Durch eine Guardlücke,&nbsp; also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall,&nbsp; können
 |type="[]"}
 - Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt werden,
 + Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; unterdrückt werden.
-{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
+{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; Durch ein zyklisches Präfix,&nbsp; also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall,&nbsp; können
 |type="[]"}
 + Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt werden,
 + Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; unterdrückt werden.
-{Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol &nbsp;$(N)$,&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; das Guard–Intervall &nbsp;$(N_{\rm G})$&nbsp; und den gesamten Rahmen &nbsp;$(N_{\rm R})$.
+{Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol &nbsp;$(N)$,&nbsp;  das Guard–Intervall &nbsp;$(N_{\rm G})$&nbsp; und den gesamten Rahmen &nbsp;$(N_{\rm R})$.
 |type="{}"}
 $N \hspace{0.35cm} = \ $ { 8 }
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 $N_{\rm R} \ = \ $ { 12 }
-{Geben Sie die Abtastwerte des  Guard–Intervalls an, unter der Voraussetzung, dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten &nbsp;$-1$&nbsp; verwendet wird.
+{Geben Sie die Abtastwerte des  Guard–Intervalls an,&nbsp; unter der Voraussetzung,&nbsp; dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten &nbsp;$-1$&nbsp; verwendet wird.
 |type="{}"}
 $\text{Re}\big[d_{-1}\big] \ = \ $ { -714--0.700 }
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 $\beta\ = \ $ { 0.667 3% }
-{Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust &nbsp;$10 · \lg \ Δ_ρ$&nbsp; (in dB) unter der Voraussetzung des Matched–Filter–Ansatzes?
+{Wie groß ist der damit verbundene SNR–Verlust &nbsp;$10 · \lg \ Δρ$&nbsp; (in dB) unter der Voraussetzung des Matched–Filter–Ansatzes?
 |type="{}"}
-$10 · \lg \ Δ_ρ \ = \ $ { 1.76 3% } $\ \rm dB$
+$10 · \lg \ Δρ \ = \ $ { 1.76 3% } $\ \rm dB$
 </quiz>

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;   Die Kernsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands&nbsp;
+'''(1)'''&nbsp;   Die Kernsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands:&nbsp;
 :$$ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm &micro; s}}.$$
-'''(2)'''&nbsp;   Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer des Guard–Intervalls $T_{\rm G}$ mindestens so groß zu wählen wie die maximale Verzögerung (hier: $τ_2 = 125\ \rm  &micro; s$) des Kanals:
+'''(2)'''&nbsp;   Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer&nbsp; $T_{\rm G}$&nbsp;  des Guard–Intervalls mindestens so groß zu wählen wie die maximale Kanalverzögerung&nbsp; $($hier: $τ_2 = 125\ \rm  &micro; s)$:
 :$$ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm &micro; s}}.$$
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 '''(4)'''&nbsp;   Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden.
+*Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; vermieden werden.
-*Die Lückendauer $T_{\rm G}$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
+*Die Lückendauer&nbsp; $T_{\rm G}$&nbsp; muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
-*Im vorliegenden Beispiel muss $T_{\rm G}≥ 125\ \rm  &micro; s$ sein.
+*Im vorliegenden Beispiel muss&nbsp; $T_{\rm G}≥ 125\ \rm  &micro; s$&nbsp; sein.
 '''(5)'''&nbsp;    <u>Beide Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
-*Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt.
+*Durch ein zyklisches Präfix geeigneter Länge werden zusätzlich auch Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt.
-*Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Kernsymboldauer $T$ eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, auch wenn andere Träger aktiv sind.
+*Es wird damit sichergestellt, dass für alle Träger innerhalb der Kernsymboldauer&nbsp; $T$&nbsp; eine vollständige und unverfälschte Schwingung auftritt, auch wenn andere Träger aktiv sind.
 '''(6)'''&nbsp;   Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Kernsymbols ist gleich der Anzahl der Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{N=8}$.
-*Wegen $T_{\rm G}= T/2$ gilt $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$ und damit $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.
+*Wegen&nbsp; $T_{\rm G}= T/2$&nbsp; gilt&nbsp; $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$&nbsp; und damit&nbsp; $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.
-'''(7)'''&nbsp;   Die Belegung des ersten Trägers (Frequenz $f_0$) mit dem Koeffizienten &bdquo;–1&rdquo; führt zu den Abtastwerten
+'''(7)'''&nbsp;   Die Belegung des ersten Trägers&nbsp; $($Frequenz $f_0)$&nbsp; mit dem Koeffizienten &bdquo;–1&rdquo; führt zu den Abtastwerten
 :$$d_0 = -1, \hspace{0.3cm}d_1 = -0.707 - {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_2 =  -{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_3 = +0.707 -{\rm j} \cdot 0.707, $$
 :$$d_4 = +1, \hspace{0.3cm}d_5 = +0.707 + {\rm j} \cdot 0.707, \hspace{0.3cm}d_6 =  +{\rm j} ,\hspace{0.3cm} d_7 = -0.707 +{\rm j} \cdot 0.707. $$
-Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte $d_{-1} = d_7$, &nbsp; $d_{-2} = d_6$, &nbsp; $d_{-3} = d_5$ und &nbsp; $d_{-4} = d_4$:
+*Die zyklische Erweiterung liefert die zusätzlichen Abtastwerte&nbsp; $d_{-1} = d_7$, &nbsp; $d_{-2} = d_6$, &nbsp; $d_{-3} = d_5$&nbsp; und&nbsp; $d_{-4} = d_4$:
 :$$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$
 :$$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$
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-'''(9)'''&nbsp;   Die Bandbreiteneffizienz $β = 2/3$ führt zu einem SNR–Verlust von
+'''(9)'''&nbsp;   Die Bandbreiteneffizienz&nbsp; $β&nbsp; = 2/3$&nbsp; führt zu einem SNR–Verlust von
 :$$10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}\Delta \rho = 10 \cdot {\rm{lg}}\hspace{0.04cm}(\beta) \hspace{0.15cm}\underline {\approx1.76\,\,{\rm{dB}}}.$$

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 + Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; unterdrückt werden.
-{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
+{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
 |type="[]"}
 + Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt werden,
 + Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; unterdrückt werden.
-{Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol &nbsp;$(N)$, das Guard–Intervall &nbsp;$(N_{\rm G})$&nbsp; und den gesamten Rahmen &nbsp;$(N_{\rm R})$.
+{Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol &nbsp;$(N)$,&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; das Guard–Intervall &nbsp;$(N_{\rm G})$&nbsp; und den gesamten Rahmen &nbsp;$(N_{\rm R})$.
 |type="{}"}
 $N \hspace{0.35cm} = \ $ { 8 }
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 $N_{\rm R} \ = \ $ { 12 }
-{Geben Sie unter der Vorraussetzung, dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten &nbsp;$-1$&nbsp; verwendet wird, die Abtastwerte des Guard&ndash;Intervalls vor der Übertragung über den Kanal an.
+{Geben Sie die Abtastwerte des  Guard–Intervalls an, unter der Voraussetzung, dass lediglich der erste Träger mit dem Trägerkoeffizienten &nbsp;$-1$&nbsp; verwendet wird.
 |type="{}"}
 $\text{Re}\big[d_{-1}\big] \ = \ $ { -714--0.700 }

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 [[Datei:P_ID1664__Z_5_8.png|right|frame|OFDM&ndash;Schema mit zyklischem Präfix]]
-Wir gehen in dieser Aufgabe von einem OFDM–System mit &nbsp;$N = 8$&nbsp; Trägern und zyklischem Präfix aus. Der Subträgerabstand sei &nbsp;$f_0 = 4 \ \rm kHz$. Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.
+Wir gehen in dieser Aufgabe von einem&nbsp; $\rm OFDM$–System mit &nbsp;$N = 8$&nbsp; Trägern und zyklischem Präfix aus.&nbsp; Der Subträgerabstand sei &nbsp;$f_0 = 4 \ \rm kHz$.&nbsp; Die Grafik zeigt das Prinzip des zyklischen Präfixes.
-*Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind. Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit &nbsp;$τ_1 = \ \rm 50 &micro;s$&nbsp; und &nbsp;$τ_2 = 125\ \rm  &micro;s$:
+*Die Übertragung erfolgt über einen Zweiwegekanal, wobei beide Pfade verzögert sind.&nbsp; Die Kanalimpulsantwort lautet somit mit&nbsp; $τ_1 = \ \rm 50 &micro;s$&nbsp; und &nbsp;$τ_2 = 125\ \rm  &micro;s$:
 :$$ h(t) = h_1 \cdot \delta (t- \tau_1) + h_2 \cdot \delta (t- \tau_2).$$
-*Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz (Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite) um den Faktor
+*Der Einsatz eines solchen zyklischen Präfixes vermindert allerdings die Bandbreiteneffizienz&nbsp; $($Verhältnis von Symbolrate zu Bandbreite$)$&nbsp; um den Faktor
 :$$ \beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}} $$
 :und führt auch zu einer Verringerung des Signal&ndash;Rausch&ndash;Verhältnisses um ebenfalls diesen Wert <i>&beta;</i>.
-*Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR&ndash;Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende&ndash; und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind (Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatz).
+*Voraussetzung für die Gültigkeit des hier angegebenen SNR&ndash;Verlustes ist allerdings, dass die Impulsantworten &nbsp;$g_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$g_{\rm E}(t)$&nbsp; von Sende&ndash; und Empfangsfilter an die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; angepasst sind&nbsp; $($Matched&ndash;Filter&ndash;Ansatz$)$.
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 $T_{\rm R}\ = \ $ { 375 3% } $\ \rm &micro; s$
-{Welche Aussagen sind richtig? Durch eine Guardlücke, also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
+{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; Durch eine Guardlücke, also das Nullsetzen des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
 |type="[]"}
-- Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt werden,
+- Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt werden,
-+ Impulsinterferenzen (ISI) unterdrückt werden.
++ Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; unterdrückt werden.
-{Welche Aussagen sind richtig? Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
+{Welche Aussagen sind richtig?&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; Durch ein zyklisches Präfix, also durch eine zyklische Erweiterung des OFDM–Signals im Guard–Intervall, können
 |type="[]"}
-+ Intercarrier–Interferenzen (ICI) unterdrückt werden,
++ Intercarrier–Interferenzen&nbsp; $\rm (ICI)$&nbsp; unterdrückt werden,
-+ Impulsinterferenzen (ISI) unterdrückt werden.
++ Impulsinterferenzen&nbsp; $\rm (ISI)$&nbsp; unterdrückt werden.
 {Nennen Sie die jeweilige Anzahl der Abtastwerte für das Kernsymbol &nbsp;$(N)$, das Guard–Intervall &nbsp;$(N_{\rm G})$&nbsp; und den gesamten Rahmen &nbsp;$(N_{\rm R})$.

@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;   Die Kernsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands&nbsp; ⇒ &nbsp; $ T = {1}/{f_0} \hspace{0.15cm}\underline {= 250\,\,{\rm \mu s}}.$
+'''(1)'''&nbsp;   Die Kernsymboldauer ist gleich dem Kehrwert des Trägerabstands&nbsp;
-'''(2)'''&nbsp;   Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer des Guard–Intervalls $T_{\rm G}$ mindestens so groß zu wählen wie die maximale Verzögerung (hier: $τ_2 = 125\ \rm  μs$) des Kanals &nbsp; ⇒ &nbsp; $ T_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,\,{\rm \mu s}}.$
+'''(2)'''&nbsp;   Um Interferenzen zu vermeiden, ist die Dauer des Guard–Intervalls $T_{\rm G}$ mindestens so groß zu wählen wie die maximale Verzögerung (hier: $τ_2 = 125\ \rm  &micro; s$) des Kanals:
-'''(3)'''&nbsp;   Für die Rahmendauer gilt somit:  &nbsp;$ T_{\rm{R}} = T + T_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 375\,\,{\rm \mu s}}.$
+'''(3)'''&nbsp;   Für die Rahmendauer gilt somit:
@@ Zeile 89: / Zeile 92: @@
 *Durch eine Guardlücke geeigneter Länge können ausschließlich Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden.
 *Die Lückendauer $T_{\rm G}$ muss dabei so groß gewählt werden, dass das aktuelle Symbol durch das Vorgängersymbol nicht beeinträchtigt wird.
-*Im vorliegenden Beispiel muss $T_{\rm G}≥ 125\ \rm  μs$ sein.
+*Im vorliegenden Beispiel muss $T_{\rm G}≥ 125\ \rm  &micro; s$ sein.
@@ Zeile 97: / Zeile 101: @@
-'''(6)'''&nbsp;   Die Anzahl der Abtastwerte innerhalb des Kernsymbols ist gleich der Anzahl der Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{N=8}$. <br>Wegen $T_{\rm G}= T/2$ gilt $N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 4}$ und damit $N_{\rm R} = N + N_{\rm G}\hspace{0.15cm}\underline {= 12}$.
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 :$$\underline{{\rm Re}[d_{-1}] = -0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-1}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-2}] = 0,\hspace{0.3cm} {\rm Im}[d_{-2}] = 1},$$
 :$$\underline{{\rm Re}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Im}[d_{-3}] = +0.707,\hspace{0.3cm}{\rm Re}[d_{-4}] = 1,\hspace{0.3cm} {\rm Im}\{d_{-4}] = 0}.$$
 '''(8)'''&nbsp;   Entsprechend der angegebenen Gleichung ist die Bandbreiteneffizienz gleich
 :$$\beta = \frac{1}{1 + {T_{\rm{G}}}/{T}} = \frac{1}{1 + ({125\,\,{\rm \mu s}})/({250\,\,{\rm \mu s}})} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.667}.$$
 '''(9)'''&nbsp;   Die Bandbreiteneffizienz $β = 2/3$ führt zu einem SNR–Verlust von

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#Zyklisches_Pr.C3.A4fix|Zyklisches Präfix]] sowie [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen#OFDM.E2.80.93System_mit_zyklischem_Pr.C3.A4fix|OFDM-System mit zyklischem Präfix]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.