Aufgaben:Aufgabe 5.7Z: Nochmals McCullough-Modell - Versionsgeschichte

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	*Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:		*Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:
	:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rmB} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \~~cdotq_~~{\rm G}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q({\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })= \frac{\alpha_{\rmG}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)$$		:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rmB} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q({\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })= \frac{\alpha_{\rmG}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} S = q_{\rm G} \cdot q({\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) + q_{\rm B} \cdot\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = q_{\rm G} \cdot q({\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B }) \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} S = q_{\rm G} \cdot q({\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) + q_{\rm B} \cdot\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = q_{\rm G} \cdot q({\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B }) \hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_{\rm K} =\frac{1}{q_{\rm G} \~~cdotq~~({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \~~cdotq~~({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_{\rm K} =\frac{1}{q_{\rm G} \cdot q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$

	*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Mit den gegebenen Parameterwerten erhält man zum Beispiel:		*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Mit den gegebenen Parameterwerten erhält man zum Beispiel:

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Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png\|right\|frame\|FAV und FKF von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]		[[Datei:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png\|right\|frame\|FAV und FKF von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]
	Wir betrachten wie auch in  [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer\|Aufgabe 5.6]],  [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften\|Aufgabe 5.6Z]]  und  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  das Bündelfehler–Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE–Modell) mit den Kenngrößen		Wir betrachten wie auch in  [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer\|Aufgabe 5.6]],  [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften\|Aufgabe 5.6Z]]  und  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  das Bündelfehler–Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE–Modell) mit den Kenngrößen
	:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,		:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}p(\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \\hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} p(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}
	p(\rm
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \
	\hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} p(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

	Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC–Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich		Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC–Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich
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	Die Wahrscheinlichkeiten des MC–Modells wurden in der  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  wie folgt ermittelt $($Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe 5.7, alle mit  $q$  anstelle von  $p)$:		Die Wahrscheinlichkeiten des MC–Modells wurden in der  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  wie folgt ermittelt $($Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe 5.7, alle mit  $q$  anstelle von  $p)$:
	:$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061,		:$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061,\hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,\hspace{0.2cm}q(\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \\hspace{-0.1cm} 0.5528, \hspace{0.2cm} q(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,\hspace{0.2cm}
	q(\rm
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \
	\hspace{-0.1cm} 0.5528, \hspace{0.2cm} q(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$

	Die obere Grafik zeigt die aus  $N = 10^6$  Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen  $V_a(k)$  und  $\varphi_e(k)$  für das GE– und das MC–Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für  $N → ∞$  stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.		Die obere Grafik zeigt die aus  $N = 10^6$  Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen  $V_a(k)$  und  $\varphi_e(k)$  für das GE– und das MC–Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für  $N → ∞$  stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.
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	* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:		* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:
	:(a) Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind		:(a) Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind
	:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm		:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G}\hspace{0.05cm}.$$
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G
	}\hspace{0.05cm}.$$
	:(b) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE–Modells beträgt		:(b) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE–Modells beträgt
	:$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}		:$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}= \varphi_{e}(k = 0 )\hspace{0.05cm}.$$
	= \varphi_{e}(k = 0 )\hspace{0.05cm}.$$
	:(c) Die Korrelationsdauer des GE–Modells berechnet sich zu		:(c) Die Korrelationsdauer des GE–Modells berechnet sich zu
	:$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}		:$$D_{\rm K} =\frac{1}{{\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )}-1\hspace{0.05cm}.$$
	B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )}-1
	\hspace{0.05cm}.$$


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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells wurde in Aufgabe 5.6Z ermittelt:		'''(1)'''  Für die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells wurde in Aufgabe 5.6Z ermittelt:
	:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm		:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)} = 0.909\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G}= 0.091\hspace{0.05cm}.$$
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)} = 0.909
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G
	}= 0.091\hspace{0.05cm}.$$

	*Dagegen erhält man beim MC–Modell:		*Dagegen erhält man beim MC–Modell:
	:$$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{q(\rm		:$$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{q(\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{q(\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + q(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}= \frac{0.5528}{0.5528 +0.3724}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5975}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \alpha_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 -\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{q(\rm
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + q(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}= \frac{0.5528}{0.5528 +
	0.3724}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5975}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
	\alpha_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 -
	\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$

	*In der Teilaufgabe '''(3)''' der Aufgabe 5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert–Elliott–Modells.		*In der Teilaufgabe '''(3)''' der Aufgabe 5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert–Elliott–Modells.
Zeile 106:		Zeile 79:
	*Der mittlere Fehlerabstand im Zustand &bdquo;BAD” ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$.		*Der mittlere Fehlerabstand im Zustand &bdquo;BAD” ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$.
	*Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC–Modells insgesamt zu		*Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC–Modells insgesamt zu
	:$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rm		:$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rmB}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =97.95 + 2.06\hspace{0.15cm}\underline { = 100.1}\hspace{0.05cm}.$$
	B}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =
	97.95 + 2.06\hspace{0.15cm}\underline { = 100.1}\hspace{0.05cm}.$$

	*Dieser Wert sollte natürlich genau so groß wie beim entsprechenden GE–Modell sein.		*Dieser Wert sollte natürlich genau so groß wie beim entsprechenden GE–Modell sein.
Zeile 122:		Zeile 93:

	'''(4)'''  Beim GE–Modell ist die Korrelationsdauer wie folgt gegeben ($S$ steht für Summe):		'''(4)'''  Beim GE–Modell ist die Korrelationsdauer wie folgt gegeben ($S$ steht für Summe):
	:$$D_{\rm K} = {1}/{S}-1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}S = {\rm		:$$D_{\rm K} = {1}/{S}-1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}S = {\rmPr}(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$
	Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$

	*Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:		*Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:
	:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rm		:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rmB} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdotq_{\rm G}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q({\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })= \frac{\alpha_{\rmG}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)$$
	B} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \~~cdot~~		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} S = q_{\rm G} \cdot q({\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) + q_{\rm B} \cdot\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = q_{\rm G} \cdot q({\rmB\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\rmG\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B }) \hspace{0.05cm}.$$
	q_{\rm G}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q({\rm		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_{\rm K} =\frac{1}{q_{\rm G} \cdotq({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdotq({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })= \frac{\alpha_{\rm
	G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G
	)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} S = q_{\rm G} \cdot q({\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) + q_{\rm B} \cdot
	\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = q_{\rm G} \cdot q({\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\rm
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B }) \hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_{\rm K} =\frac{1}{q_{\rm G} \~~cdot~~
	q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \~~cdot~~
	q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$

	*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Mit den gegebenen Parameterwerten erhält man zum Beispiel:		*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Mit den gegebenen Parameterwerten erhält man zum Beispiel:
	:$$D_{\rm K} =\frac{1}{0.0061 \cdot 0.3724 + 0.1949 \~~cdot~~		:$$D_{\rm K} =\frac{1}{0.0061 \cdot 0.3724 + 0.1949 \cdot0.5528}-1=\frac{1}{0.11}-1 {\approx 8.09}\hspace{0.05cm}.$$
	0.5528}-1=\frac{1}{0.11}-1 {\approx 8.09}\hspace{0.05cm}.$$

	*Es ergibt sich exakt der gleiche Wert wie in der Teilaufgabe '''(3)''' von Aufgabe 5.6.		*Es ergibt sich exakt der gleiche Wert wie in der Teilaufgabe '''(3)''' von Aufgabe 5.6.

Guenter am 26. März 2019 um 14:49 Uhr

2019-03-26T14:49:56Z

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Zeile 90:		Zeile 90:
	}= 0.091\hspace{0.05cm}.$$		}= 0.091\hspace{0.05cm}.$$

	Dagegen erhält man beim MC–Modell:		*Dagegen erhält man beim MC–Modell:
	:$$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{q(\rm		:$$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{q(\rm
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{q(\rm		G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{q(\rm
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	\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$		\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$

	In der Teilaufgabe (3) der Aufgabe 5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert–Elliott–Modells.		*In der Teilaufgabe '''(3)''' der Aufgabe 5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert–Elliott–Modells.


	'''(2)'''  Der mittlere Fehlerabstand im Kanalzustand &bdquo;GOOD” ist gleich dem Kehrwert der dazugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeit $q_{\rm G}$. Der mittlere Fehlerabstand im Zustand &bdquo;BAD” ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$. Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC–Modells insgesamt zu
			'''(2)'''  Der mittlere Fehlerabstand im Kanalzustand &bdquo;GOOD” ist gleich dem Kehrwert der dazugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeit $q_{\rm G}$.
			*Der mittlere Fehlerabstand im Zustand &bdquo;BAD” ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$.
			*Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC–Modells insgesamt zu
	:$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rm		:$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rm
	B}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =		B}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =
	97.95 + 2.06\hspace{0.15cm}\underline { = 100.1}\hspace{0.05cm}.$$		97.95 + 2.06\hspace{0.15cm}\underline { = 100.1}\hspace{0.05cm}.$$

	Dieser Wert sollte natürlich genau so groß wie beim entsprechenden GE–Modell sein. Die kleine Abweichung von $0.1$ ist auf Rundungsfehler zurückzuführen.		*Dieser Wert sollte natürlich genau so groß wie beim entsprechenden GE–Modell sein.
			*Die kleine Abweichung von $0.1$ ist auf Rundungsfehler zurückzuführen.



			'''(3)'''  Auch hier gilt der Zusammenhang $\varphi_e(k = 0) = p_{\rm M}$.
			*Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist aber gleich dem Kehrwert des mittleren Fehlerabstands ${\rm E}[a]$.
			*Daraus folgt $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.

	'''(3)'''  Auch hier gilt der Zusammenhang $\varphi_e(k = 0) = p_{\rm M}$. Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist aber gleich dem Kehrwert des mittleren Fehlerabstands ${\rm E}[a]$. Daraus folgt $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.


Zeile 118:		Zeile 126:
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$		B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$

	Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:		*Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:
	:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rm		:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rm
	B} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot		B} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot
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	q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$		q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$

	Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Mit den gegebenen Parameterwerten erhält man zum Beispiel:		*Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Mit den gegebenen Parameterwerten erhält man zum Beispiel:
	:$$D_{\rm K} =\frac{1}{0.0061 \cdot 0.3724 + 0.1949 \cdot		:$$D_{\rm K} =\frac{1}{0.0061 \cdot 0.3724 + 0.1949 \cdot
	0.5528}-1=\frac{1}{0.11}-1 {\approx 8.09}\hspace{0.05cm}.$$		0.5528}-1=\frac{1}{0.11}-1 {\approx 8.09}\hspace{0.05cm}.$$

	Es ergibt sich exakt der gleiche Wert wie in der Teilaufgabe (3) von Aufgabe 5.6.		*Es ergibt sich exakt der gleiche Wert wie in der Teilaufgabe '''(3)''' von Aufgabe 5.6.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 26. März 2019 um 14:43 Uhr

2019-03-26T14:43:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. März 2019, 16:43 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle}}

	[[Datei:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png\|right\|frame\|~~Fehlerabstandsverteilung~~ und ~~Fehlerkorrelationsfunktion~~ von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]		[[Datei:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png\|right\|frame\|FAV und FKF von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]
	Wir betrachten wie auch in [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer\|Aufgabe 5.6]], [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften\|Aufgabe 5.6Z]] und [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]] das Bündelfehler–Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE–Modell) mit den Kenngrößen		Wir betrachten wie auch in  [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer\|Aufgabe 5.6]],  [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften\|Aufgabe 5.6Z]]  und  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  das Bündelfehler–Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE–Modell) mit den Kenngrößen
	:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,		:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,
	\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}		\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}
Zeile 12:		Zeile 12:

	Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC–Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich		Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC–Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich
	* exakt gleiche Fehlerabstandsverteilung $V_a(k)$,		* exakt gleiche Fehlerabstandsverteilung (FAV)  $V_a(k)$,
	* exakt gleiche Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$.		* exakt gleiche Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)  $\varphi_e(k)$.


	Die Wahrscheinlichkeiten des MC–Modells wurden in der [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]] wie folgt ermittelt (Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe 5.7, alle mit $q$ anstelle von $p$):		Die Wahrscheinlichkeiten des MC–Modells wurden in der  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  wie folgt ermittelt $($Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe 5.7, alle mit  $q$  anstelle von  $p)$:
	:$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061,		:$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061,
	\hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,\hspace{0.2cm}		\hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,\hspace{0.2cm}
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	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$		B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$

	Die obere Grafik zeigt die aus $N = 10^6$ Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen $V_a(k)$ und $\varphi_e(k)$ für das GE– und das MC–Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für $N → ∞$ stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.		Die obere Grafik zeigt die aus  $N = 10^6$  Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen  $V_a(k)$  und  $\varphi_e(k)$  für das GE– und das MC–Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für  $N → ∞$  stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.

	In dieser Aufgabe sollen nun wichtige Beschreibungsgrößen des GE-Modells wie		In dieser Aufgabe sollen nun wichtige Beschreibungsgrößen des GE-Modells wie
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	*mittlere Fehlerwahrscheinlichkeiten, und		*mittlere Fehlerwahrscheinlichkeiten, und
	*Korrelationsdauer		*Korrelationsdauer


	direkt aus den $q$–Parametern des MC–Modells ermittelt werden.		direkt aus den $q$–Parametern des MC–Modells ermittelt werden.







	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le\| Bündelfehlerkanäle]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le\| Bündelfehlerkanäle]].

	* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:		* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:
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	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$, dass sich das MC–Modell im Zustand &bdquo;G” bzw. im Zustand &bdquo;B” befindet.		{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten  $\alpha_{\rm G}$  und  $\alpha_{\rm B}$, dass sich das MC–Modell im Zustand &bdquo;Good” bzw. im Zustand &bdquo;Bad” befindet.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\alpha_{\rm G} \hspace{0.05cm} = \ ${ 0.5975 3% }		$\alpha_{\rm G} \hspace{0.05cm} = \ ${ 0.5975 3% }
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	{Ermitteln Sie den mittleren Fehlerabstand des MC–Modells.		{Ermitteln Sie den mittleren Fehlerabstand des MC–Modells.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm E}[a] \ = \ ${ 100.1 3% }		${\rm E}\big[a\big] \ = \ ${ 100.1 3% }

	{Wie groß ist der Fehlerkorrelationsfunktionswert für $k = 0$?		{Wie groß ist der Fehlerkorrelationsfunktionswert für  $k = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_e(k = 0) \ = \ ${ 0.01 3% }		$\varphi_e(k = 0) \ = \ ${ 0.01 3% }

	{Geben Sie die Fehlerkorrelationsdauer $D_{\rm K}$ als Funktion der MC–Parameter $q_{\rm G}, q_{\rm B}, q(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B)$ und $q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}G)$ an. <br>Welches Ergebnis ist richtig?		{Geben Sie die Fehlerkorrelationsdauer  $D_{\rm K}$  als Funktion der MC–Parameter  $q_{\rm G},  q_{\rm B},  q(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B)$  und  $q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}G)$  an. <br>Welches Ergebnis ist richtig?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $D_{\rm K} = \big [q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}G}) + q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B})\big]^{-1} \ -1$,		- $D_{\rm K} = \big [q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}G}) + q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B})\big]^{-1} \ -1$,
	+ $D_{\rm K} = \big [q_{\rm G} \cdot q({\rm G\|B}) + q_{\rm B} \cdot q({\rm G\|B}) \big]^{-1} \ -1$.		+ $D_{\rm K} = \big [q_{\rm G} \cdot q({\rm G\|B}) + q_{\rm B} \cdot q({\rm G\|B}) \big]^{-1} \ -1$.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:37Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:18 Uhr
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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le\| Bündelfehlerkanäle]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le\| Bündelfehlerkanäle]].
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
	* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:		* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:
	:(a) Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind		:(a) Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.7Z Nochmals McCullough-Modell nach Aufgaben:Aufgabe 5.7Z: Nochmals McCullough-Modell

2018-01-04T06:42:12Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.7Z Nochmals McCullough-Modell nach Aufgaben:Aufgabe 5.7Z: Nochmals McCullough-Modell

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(kein Unterschied)

Guenter: Guenter verschob die Seite 5.7Z Nochmals McCullough-Modell nach Aufgaben:5.7Z Nochmals McCullough-Modell

2017-12-01T13:46:19Z

Guenter verschob die Seite 5.7Z Nochmals McCullough-Modell nach Aufgaben:5.7Z Nochmals McCullough-Modell

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(kein Unterschied)

Guenter am 1. Dezember 2017 um 13:41 Uhr

2017-12-01T13:41:26Z

Guenter am 1. Dezember 2017 um 12:50 Uhr

2017-12-01T12:50:30Z

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Zeile 72:		Zeile 72:
	{Geben Sie die Fehlerkorrelationsdauer $D_{\rm K}$ als Funktion der MC–Parameter $q_{\rm G}, q_{\rm B}, q(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B)$ und $q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}G)$ an. <br>Welches Ergebnis ist richtig?		{Geben Sie die Fehlerkorrelationsdauer $D_{\rm K}$ als Funktion der MC–Parameter $q_{\rm G}, q_{\rm B}, q(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B)$ und $q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}G)$ an. <br>Welches Ergebnis ist richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $D_{\rm K} = [q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}G}) + q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B})]^{-1} \ -1$,		- $D_{\rm K} = \big [q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}G}) + q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B})\big]^{-1} \ -1$,
	+ $D_{\rm K} = [q_{\rm G} \cdot q({\rm G\|B}) + q_{\rm B} \cdot q({\rm G\|B})]^{-1} \ -1$.		+ $D_{\rm K} = \big [q_{\rm G} \cdot q({\rm G\|B}) + q_{\rm B} \cdot q({\rm G\|B}) \big]^{-1} \ -1$.
	</quiz>		</quiz>

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:38 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png\|right\|frame\|FAV und FKF von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]		[[Datei:P_ID1845__Dig_Z_5_7.png\|right\|frame\|FAV und FKF von GE–Modell und äquivalentem MC-Modell]]
	Wir betrachten wie auch in  [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer\|Aufgabe 5.6]],  [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften\|Aufgabe 5.6Z]]  und  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  das Bündelfehler–Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE–Modell) mit den Kenngrößen		Wir betrachten wie auch in  [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer\|Aufgabe 5.6]],  [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften\|Aufgabe 5.6Z]]  und  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  das Bündelfehler–Kanalmodell nach Gilbert und Elliott (GE–Modell) mit den Kenngrößen
	:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}p(\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \\hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} p(\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,\hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \\hspace{-0.1cm} 0.1, \hspace{0.2cm} p(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$

	Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC–Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich		Aus diesen vier Wahrscheinlichkeiten lassen sich die entsprechenden Kenngrößen des Kanalmodells nach McCullough (MC–Modell) so ermitteln, dass beide Modelle die genau gleichen statistischen Eigenschaften besitzen, nämlich
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	Die Wahrscheinlichkeiten des MC–Modells wurden in der  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  wie folgt ermittelt $($Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe 5.7, alle mit  $q$  anstelle von  $p)$:		Die Wahrscheinlichkeiten des MC–Modells wurden in der  [[Aufgaben:5.7_McCullough-Parameter_aus_Gilbert-Elliott-Parameter\|Aufgabe 5.7]]  wie folgt ermittelt $($Bezeichnungen entsprechend der Grafik zur Aufgabe 5.7, alle mit  $q$  anstelle von  $p)$:
	:$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061,\hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,\hspace{0.2cm}q(\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \\hspace{-0.1cm} 0.5528, \hspace{0.2cm} q(\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$		:$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.0061,\hspace{0.2cm}q_{\rm B} = 0.1949,\hspace{0.2cm}q(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)\hspace{-0.1cm} \ = \\hspace{-0.1cm} 0.5528, \hspace{0.2cm} q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G) = 0.3724\hspace{0.05cm}.$$

	Die obere Grafik zeigt die aus  $N = 10^6$  Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen  $V_a(k)$  und  $\varphi_e(k)$  für das GE– und das MC–Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für  $N → ∞$  stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.		Die obere Grafik zeigt die aus  $N = 10^6$  Folgenelementen simulativ ermittelten Funktionen  $V_a(k)$  und  $\varphi_e(k)$  für das GE– und das MC–Modell. Hier ergeben sich noch leichte Abweichungen. Im Grenzfall für  $N → ∞$  stimmen dagegen Fehlerkorrelationsfunktion und Fehlerabstandsverteilung beider Modelle exakt überein.
Zeile 35:		Zeile 35:
	* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:		* Aus den oben genannten Aufgaben können folgende Ergebnisse weiterverwendet werden:
	:(a) Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind		:(a) Die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells sind
	:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G}\hspace{0.05cm}.$$		:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G}\hspace{0.05cm}.$$
	:(b) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE–Modells beträgt		:(b) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit des GE–Modells beträgt
	:$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}= \varphi_{e}(k = 0 )\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}= \varphi_{e}(k = 0 )\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 67:		Zeile 67:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells wurde in Aufgabe 5.6Z ermittelt:		'''(1)'''  Für die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells wurde in Aufgabe 5.6Z ermittelt:
	:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)} = 0.909\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G}= 0.091\hspace{0.05cm}.$$		:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)} = 0.909\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G}= 0.091\hspace{0.05cm}.$$

	*Dagegen erhält man beim MC–Modell:		*Dagegen erhält man beim MC–Modell:
	:$$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{q(\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{q(\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + q(\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}= \frac{0.5528}{0.5528 +0.3724}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5975}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \alpha_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 -\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{q(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{q(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}= \frac{0.5528}{0.5528 +0.3724}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5975}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \alpha_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 -\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$

	*In der Teilaufgabe '''(3)''' der Aufgabe 5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert–Elliott–Modells.		*In der Teilaufgabe '''(3)''' der Aufgabe 5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert–Elliott–Modells.
Zeile 79:		Zeile 79:
	*Der mittlere Fehlerabstand im Zustand &bdquo;BAD” ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$.		*Der mittlere Fehlerabstand im Zustand &bdquo;BAD” ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$.
	*Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC–Modells insgesamt zu		*Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC–Modells insgesamt zu
	:$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\~~rmB~~}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =97.95 + 2.06\hspace{0.15cm}\underline { = 100.1}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rm B}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =97.95 + 2.06\hspace{0.15cm}\underline { = 100.1}\hspace{0.05cm}.$$

	*Dieser Wert sollte natürlich genau so groß wie beim entsprechenden GE–Modell sein.		*Dieser Wert sollte natürlich genau so groß wie beim entsprechenden GE–Modell sein.
Zeile 93:		Zeile 93:

	'''(4)'''  Beim GE–Modell ist die Korrelationsdauer wie folgt gegeben ($S$ steht für Summe):		'''(4)'''  Beim GE–Modell ist die Korrelationsdauer wie folgt gegeben ($S$ steht für Summe):
	:$$D_{\rm K} = {1}/{S}-1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}S = {\~~rmPr~~}(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$		:$$D_{\rm K} = {1}/{S}-1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}S = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B ) + {\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$

	*Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:		*Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:
	:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\~~rmB~~} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q({\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })= \frac{\alpha_{\~~rmG~~}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)$$		:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rm B} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })= \frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} S = q_{\rm G} \cdot q({\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) + q_{\rm B} \cdot\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = q_{\rm G} \cdot q({\~~rmB~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\~~rmG~~\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B }) \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} S = q_{\rm G} \cdot q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) + q_{\rm B} \cdot\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G ) = q_{\rm G} \cdot q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B }) \hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_{\rm K} =\frac{1}{q_{\rm G} \cdot q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}D_{\rm K} =\frac{1}{q_{\rm G} \cdot q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G })+ q_{\rm B} \cdot q({\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B })}-1 \hspace{0.05cm}.$$

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^5.3 Bündelfehlerkanäle^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^5.3 Bündelfehlerkanäle^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_5.7Z:_McCullough_Model_once_more]]

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells wurde in Aufgabe Z5.6 ermittelt:		'''(1)'''  Für die Zustandswahrscheinlichkeiten des GE–Modells wurde in Aufgabe 5.6Z ermittelt:
	:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm		:$$w_{\rm G} = \frac{p(\rm G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B)}{p(\rm
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm		G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + p(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)} = 0.909		B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)} = 0.909
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.~~2cm~~} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G		\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} w_{\rm B} = 1 - w_{\rm G
	}= 0.091\hspace{0.05cm}.$$		}= 0.091\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 90:		Zeile 90:
	G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + q(\rm		G\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) + q(\rm
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}= \frac{0.5528}{0.5528 +		B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G)}= \frac{0.5528}{0.5528 +
	0.3724}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5975}\hspace{0.05cm},$$		0.3724}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5975}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
	~~:$$~~\alpha_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 -		\alpha_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1 -
	\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$		\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.4025}\hspace{0.05cm}.$$

	In der Teilaufgabe (3) der Aufgabe A5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert–Elliott–Modells.		In der Teilaufgabe (3) der Aufgabe 5.7 wurden diese Werte schon einmal ermittelt, allerdings aus den Parametern des äquivalenten Gilbert–Elliott–Modells.


	'''(2)'''  Der mittlere Fehlerabstand im Kanalzustand &bdquo;GOOD” ist gleich dem Kehrwert der dazugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeit $q_{\rm G}$. Der mittlere Fehlerabstand im Zustand &bdquo;B” ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$. Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC–Modells insgesamt zu		'''(2)'''  Der mittlere Fehlerabstand im Kanalzustand &bdquo;GOOD” ist gleich dem Kehrwert der dazugehörigen Fehlerwahrscheinlichkeit $q_{\rm G}$. Der mittlere Fehlerabstand im Zustand &bdquo;BAD” ist dementsprechend $1/q_{\rm B}$. Durch Gewichtung mit den beiden Zustandswahrscheinlichkeiten $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$ ergibt sich der mittlere Fehlerabstand des MC–Modells insgesamt zu
	:$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rm		:$${\rm E}[a] =\frac{\alpha_{\rm G}}{q_{\rm G}} + \frac{\alpha_{\rm
	B}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =		B}}{q_{\rm B}}=\frac{0.5975}{0.0061} + \frac{0.4025}{0.1949} =
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	'''(3)'''  Auch hier gilt der Zusammenhang $\varphi_e(k = 0) = p_{\rm M}$. Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist aber gleich dem Kehrwert des mittleren Fehlerabstands ${\rm E}[a]$. Daraus $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.		'''(3)'''  Auch hier gilt der Zusammenhang $\varphi_e(k = 0) = p_{\rm M}$. Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist aber gleich dem Kehrwert des mittleren Fehlerabstands ${\rm E}[a]$. Daraus folgt $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.


Zeile 113:		Zeile 113:
	B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$		B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$

	Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe A5.7:		Weiter gilt mit den Angaben zur Aufgabe 5.7:
	:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rm		:$$q({\rm B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} G }) = \frac{\alpha_{\rm
	B} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot		B} \cdot S}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm B} + \alpha_{\rm B} \cdot
Zeile 134:		Zeile 134:
	0.5528}-1=\frac{1}{0.11}-1 {\approx 8.09}\hspace{0.05cm}.$$		0.5528}-1=\frac{1}{0.11}-1 {\approx 8.09}\hspace{0.05cm}.$$

	Es ergibt sich exakt der gleiche Wert wie in der Aufgabe A5.6c.		Es ergibt sich exakt der gleiche Wert wie in der Teilaufgabe (3) von Aufgabe 5.6.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}