Aufgaben:Aufgabe 5.7: McCullough-Parameter aus Gilbert-Elliott-Parameter - Versionsgeschichte

Guenter am 26. März 2019 um 14:32 Uhr

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2019-03-26T14:26:42Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:37Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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@@ Zeile 131: / Zeile 131: @@
 \cdot (1 -0.1) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.81}\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt für die $\beta$&ndash;Hilfsgrößen:
+*Daraus folgt für die $\beta$&ndash;Hilfsgrößen:
 :$$\beta_{\rm G} =\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} -
 u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}
@@ Zeile 145: / Zeile 145: @@
 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.8051} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:
 :$$q_{\rm G} = 1-\beta_{\rm G} =
 - 0.9939 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0061}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}q_{\rm B} = 1-\beta_{\rm B}= 1 - 0.8051 \hspace{0.15cm}\underline {=
 .1949}\hspace{0.05cm}.$$

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
-* In der nachfolgenden&nbsp; [[5.7Z_Nochmals_MC-Modell|Aufgabe 5.7Z]]&nbsp; werden die wichtigsten Beschreibungsgrößen direkt aus den MC&ndash;Parametern berechnet:
+* In der nachfolgenden&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.7Z:_Nochmals_McCullough-Modell|Aufgabe 5.7Z]]&nbsp; werden die wichtigsten Beschreibungsgrößen direkt aus den MC&ndash;Parametern berechnet:
 ** Fehlerkorrelationsfunktion,
 ** Korrelationsdauer,

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID1844__Dig_A_5_7.png|right|frame|Gilbert-Elliott– und McCullough–Modell]]
-In [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer| Aufgabe 5.6]] und [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]] wurden jeweils das GE&ndash;Modell mit den Parameterwerten
+In&nbsp; [[Aufgaben:5.6:_Fehlerkorrelationsdauer| Aufgabe 5.6]]&nbsp; und&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_5.6Z:_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]]&nbsp; wurden jeweils das GE&ndash;Modell mit den Parameterwerten
 :$$p_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.001,
 \hspace{0.2cm}p_{\rm B} = 0.1,\hspace{0.2cm}
@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
-genauer untersucht. Gegenüber diesen Aufgaben werden nun die Übergangswahrscheinlichkeiten umbenannt, beispielsweise wird $p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ anstelle von $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ geschrieben. In der oberen Grafik ist diese Umbenennung bereits vorgenommen.
+genauer untersucht. Gegenüber diesen Aufgaben werden nun die Übergangswahrscheinlichkeiten umbenannt, beispielsweise wird&nbsp; $p(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$&nbsp; anstelle von &nbsp;$\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$&nbsp; geschrieben. In der oberen Grafik ist diese Umbenennung bereits vorgenommen.
-Die untere Grafik zeigt das MC&ndash;Modell von McCullough. Dieses besitzt die genau gleiche Struktur wie das GE&ndash;Modell, doch werden nun alle Wahrscheinlichkeiten mit $q$ anstelle von $p$ bezeichnet.
+Die untere Grafik zeigt das MC&ndash;Modell von McCullough. Dieses besitzt die genau gleiche Struktur wie das GE&ndash;Modell, doch werden nun alle Wahrscheinlichkeiten mit&nbsp; $q$&nbsp; anstelle von&nbsp; $p$&nbsp; bezeichnet.
-Beispielsweise bezeichnet beim MC&ndash;Modell $q\rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ die Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand $\rm G$ in den Zustand$\rm B$ unter der Voraussetzung, dass im Zustand $\rm G$ gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE&ndash;Parameter $p \rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$ kennzeichnet dagegen diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne Zusatzbedingung.
+Beispielsweise bezeichnet beim MC&ndash;Modell&nbsp; $q\rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$&nbsp; die Übergangswahrscheinlichkeit von Zustand&nbsp; $\rm G$&nbsp; in den Zustand&nbsp; $\rm B$&nbsp; unter der Voraussetzung, dass im Zustand&nbsp; $\rm G$&nbsp; gerade ein Fehler aufgetreten ist. Der GE&ndash;Parameter&nbsp; $p \rm (B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$&nbsp; kennzeichnet dagegen diese Übergangswahrscheinlichkeit ohne Zusatzbedingung.
-Die Parameter des GE&ndash;Modells &nbsp; &#8658; &nbsp; $p_{\rm G}, p_{\rm B}, p({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G}), p({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ können so in die entsprechenden MC&ndash;Parameter $q_{\rm G}, q_{\rm B}, q({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G})$ und $q({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE&ndash;Modell erzeugt wird, allerdings nicht die identische Folge.
+Die Parameter des GE&ndash;Modells &nbsp; &#8658; &nbsp; $p_{\rm G}, \hspace{0.1cm} p_{\rm B}, \hspace{0.1cm} p({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G}), \hspace{0.1cm} p({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$ &nbsp; können so in die entsprechenden MC&ndash;Parameter&nbsp; $q_{\rm G}, \hspace{0.1cm} q_{\rm B},\hspace{0.1cm} q({\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G})$&nbsp; und &nbsp;$q({\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B})$&nbsp; umgerechnet werden, dass eine in ihren statistischen Eigenschaften gleiche Fehlerfolge wie beim GE&ndash;Modell erzeugt wird, allerdings nicht die identische Folge.
 Die Umrechnungsgleichungen lauten:
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 B} = 1-\beta_{\rm B}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \hspace{-0.1cm} \ = \
-\hspace{-0.1cm}\frac{\alpha_{\rm B} \cdot[{\rm Pr}(\rm
+\hspace{-0.1cm}\frac{\alpha_{\rm B} \cdot \big [{\rm Pr}(\rm
-B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}(\rm
+B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}(
-G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm
+G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\big ]}{\alpha_{\rm G} \cdot {\it q}_{\rm
-B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
+B} + \alpha_{\rm B} \cdot {\it q}_{\rm G}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
-\hspace{0.2cm}q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\hspace{-0.1cm} \ = \
+\hspace{0.2cm}{\it q}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\hspace{-0.1cm} \ = \
 \hspace{-0.1cm}
-\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm
+\frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot {\it q}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 \hspace{0.2cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.$$
-$w_{\rm G}$ und $w_{\rm B}$ sind die Zustandswahrscheinlichkeiten für &bdquo;GOOD&rdquo; und &bdquo;BAD&rdquo; des GE&ndash;Modells. In der  [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]] wurden diese wie folgt berechnet:
+$w_{\rm G}$&nbsp; und &nbsp;$w_{\rm B}$&nbsp; sind die Zustandswahrscheinlichkeiten für &bdquo;GOOD&rdquo; und &bdquo;BAD&rdquo; des GE&ndash;Modells. In der&nbsp;  [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]]&nbsp; wurden diese wie folgt berechnet:
 :$$w_{\rm G} = {10}/{11}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}w_{\rm B}
 = {1}/{11}\hspace{0.05cm}.$$
-Die entsprechenden Zustandswahrscheinlichkeiten des MC&ndash;Modells sind $\alpha_{\rm G}$ und $\alpha_{\rm B}$.
+Die entsprechenden Zustandswahrscheinlichkeiten des MC&ndash;Modells sind&nbsp; $\alpha_{\rm G}$&nbsp; und &nbsp;$\alpha_{\rm B}$.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
-* In der nachfolgenden [[5.7Z_Nochmals_MC-Modell|Aufgabe 5.7Z]] werden die wichtigsten Beschreibungsgrößen wie
+* In der nachfolgenden&nbsp; [[5.7Z_Nochmals_MC-Modell|Aufgabe 5.7Z]]&nbsp; werden die wichtigsten Beschreibungsgrößen direkt aus den MC&ndash;Parametern berechnet:
 ** Fehlerkorrelationsfunktion,
 ** Korrelationsdauer,
@@ Zeile 78: / Zeile 81: @@
 ** Fehlerabstandsverteilung
-: direkt aus den MC&ndash;Parametern berechnet.

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	: direkt aus den MC–Parametern berechnet.		: direkt aus den MC–Parametern berechnet.
−	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.	+

@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 {Berechnen Sie die folgenden Hilfsgrößen:
 |type="{}"}
-$u_{\rm GG}\ = \ $ { 0.98901 3% }
+$u_{\rm GG}\hspace{0.05cm} = \ $ { 0.98901 3% }
 $u_{\rm BG}\ = \ $ { 0.09 3% }
 $u_{\rm GB}\ = \ $ { 0.00999 3% }
@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
 {Wie lauten die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten des MC&ndash;Modells?
 |type="{}"}
-$q_{\rm G} \ = \ $ { 0.061 3% }
+$q_{\rm G} \hspace{0.08cm} = \ $ { 0.0061 3% }
 $q_{\rm B} \ = \ $ { 0.1949 3% }
@@ Zeile 129: / Zeile 129: @@
 Daraus folgt für die $\beta$&ndash;Hilfsgrößen:
-:$$\beta_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \
+:$$\beta_{\rm G} =\frac{u_{\rm GG} + u_{\rm BB} + \sqrt{(u_{\rm GG} -
 u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}
-\hspace{0.05cm},$$
+=\frac{0.98901 + 0.81 +
 \sqrt{(0.98901 - 0.81)^2 + 4 \cdot 0.00999\cdot 0.09}}{2}
-\hspace{0.05cm},$$
+$$
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{1.79901 + \sqrt{0.03204
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\beta_{\rm G}= \frac{1.79901 + \sqrt{0.03204
 + 0.003596}}{2} = \frac{1.79901 + 0.18877}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9939}
 \hspace{0.05cm},$$
 :$$\beta_{\rm B} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac{u_{\rm
 GG} + u_{\rm BB} - \sqrt{(u_{\rm GG} - u_{\rm BB})^2 + 4 \cdot
-u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}\hspace{0.05cm},$$
+u_{\rm GB}\cdot u_{\rm BG}}}{2}\hspace{0.05cm}, = \ \hspace{-0.1cm}\text{...} =  \frac{1.79901 - 0.18877}{2}
 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.8051} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:
@@ Zeile 161: / Zeile 157: @@
 :$$\alpha_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{(w_{\rm
 G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}\cdot x_{\rm G})(
-x_{\rm B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} = $$
+x_{\rm B}-1)}{p_{\rm M} \cdot( x_{\rm B}-x_{\rm G})} =  \frac{(0.9091 \cdot 0.001 +
 .0909 \cdot 0.1\cdot 0.5432)( -20.388-1)}{0.01 \cdot( -20.388
 -0.5432)} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5975} \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 175: / Zeile 170: @@
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm
-B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm},$$
+B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} =\frac{0.4025 \cdot[0.1 +
 .01]}{0.5975 \cdot 0.1949 + 0.4025 \cdot 0.0061}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3724}
 \hspace{0.05cm},$$

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 :$$q_{\rm G} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1-\beta_{\rm
 G}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q_{\rm
-B} = 1-\beta_{\rm B}\hspace{0.05cm},$$
+B} = 1-\beta_{\rm B}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
-:$$q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \hspace{-0.1cm} \ = \
+q(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) \hspace{-0.1cm} \ = \
 \hspace{-0.1cm}\frac{\alpha_{\rm B} \cdot[{\rm Pr}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G ) + {\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]}{\alpha_{\rm G} \cdot q_{\rm
-B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm},$$
+B} + \alpha_{\rm B} \cdot q_{\rm G}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
-:$$\hspace{0.2cm}q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\hspace{-0.1cm} \ = \
+\hspace{0.2cm}q(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\hspace{-0.1cm} \ = \
 \hspace{-0.1cm}
 \frac{\alpha_{\rm G}}{\alpha_{\rm B}} \cdot q(\rm
@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 \hspace{0.2cm}\alpha_{\rm B} = 1-\alpha_{\rm G}\hspace{0.05cm}.$$
-$w_{\rm G}$ und $w_{\rm B}$ sind die Zustandswahrscheinlichkeiten für &bdquo;GOOD&rdquo; und &bdquo;BAD&rdquo; des GE&ndash;Modells. In der Aufgabe [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]] wurden diese wie folgt berechnet:
+$w_{\rm G}$ und $w_{\rm B}$ sind die Zustandswahrscheinlichkeiten für &bdquo;GOOD&rdquo; und &bdquo;BAD&rdquo; des GE&ndash;Modells. In der  [[Aufgaben:5.6Z_GE-Modelleigenschaften| Aufgabe 5.6Z]] wurden diese wie folgt berechnet:
 :$$w_{\rm G} = {10}/{11}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}w_{\rm B}
 = {1}/{11}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 91: / Zeile 91: @@
 $u_{\rm BB}\ = \ $ { 0.81 3% }
 $\beta_{\rm G}\hspace{0.3cm} = \ $ { 0.9939 3% }
-$\beta_{\rm B}\hspace{0.3cm} = \ $ { 0.8051 3% }
+$\beta_{\rm B}\hspace{0.32cm} = \ $ { 0.8051 3% }
 {Wie lauten die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten des MC&ndash;Modells?
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
 $x_{\rm G} \ = \ $ { 0.5432 3% }
 $x_{\rm B} \ = \ $ { -20.99964--19.77636  }
-$\alpha_{\rm G} \hspace{0.15cm} = \ $ { 0.5975 3% }
+$\alpha_{\rm G} \hspace{0.05cm} = \ $ { 0.5975 3% }
 $\alpha_{\rm B} \ = \ $ { 0.4025 3% }

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(kein Unterschied)