Aufgaben:Aufgabe 5.6Z: GE-Modelleigenschaften - Versionsgeschichte

Guenter am 26. März 2019 um 13:48 Uhr

2019-03-26T13:48:10Z

Guenter am 26. März 2019 um 13:39 Uhr

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Guenter am 26. März 2019 um 13:37 Uhr

2019-03-26T13:37:47Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:36Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:41:36Z

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Guenter am 1. Dezember 2017 um 10:59 Uhr

2017-12-01T10:59:10Z

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Hussain am 21. November 2017 um 16:32 Uhr

2017-11-21T16:32:02Z

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-'''(2)'''&nbsp; Das GE&ndash;Modell ist eine stationäre Markovkette. Für die Wahrscheinlichkeit, dass sich diese im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; befindet, gilt unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe (1):
+'''(2)'''&nbsp; Das GE&ndash;Modell ist eine stationäre Markovkette.
 :$$w_{\rm G} = {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot
 w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) \cdot
@@ Zeile 82: / Zeile 83: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Weiter gilt $w_{\rm B} = 1 \, &ndash;w_{\rm G}$:
+*Weiter gilt $w_{\rm B} = 1 \, &ndash;w_{\rm G}$:
 :$${\rm Pr}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) \cdot w_{\rm G} + {\rm Pr}(\rm
@@ Zeile 93: / Zeile 94: @@
 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.909} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} w_{\rm B} = 1 -
 w_{\rm G }\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.091}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 98: / Zeile 100: @@
 :$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}
 = \frac{10}{11} \cdot 10^{-3} + \frac{1}{11} \cdot 10^{-1}= \frac{10+100}{11} \cdot 10^{-3}\hspace{0.15cm}\underline { =
-.01}\hspace{0.05cm}.$$
+\%}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 127: / Zeile 129: @@
 p_{\rm M} \hspace{0.05cm}.$$
-Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) ergibt sich für den vorliegenden Fall $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.
+Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(3)''' ergibt sich für den vorliegenden Fall $\varphi_e(k = 0) \ \underline {= 0.01}$.
-'''(6)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe (3) gilt
+'''(6)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe '''(3)''' gilt:
 :$$p_{\rm M} = {10}/{11} \cdot p_{\rm G} + {1}/{11} \cdot
 p_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$
-Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand &bdquo;G&rdquo;) die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$. Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$
+*Bei vorgegebenem $p_{\rm B} = 0.1$ ergibt sich selbst für $p_{\rm G} = 0$ (kein Fehler im Zustand &bdquo;G&rdquo;) die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit zu $p_{\rm M} \approx 0.009$.
-erreichbar:
+*Dagegen ist mit festem $p_{\rm G} = 0.001$ der Wert $p_{\rm M} = 0.005$ erreichbar:
 :$$0.005 = {10}/{11} \cdot 10^{-3} + {1}/{11} \cdot p_{\rm B}
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} \le 0.055 - 0.1
 = 4.5\%\hspace{0.05cm}.$$
-Weiterhin kann die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (mit vorgegebenem $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$) auch wie folgt dargestellt werden:
+*Weiterhin kann die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit (mit vorgegebenem $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$) auch wie folgt dargestellt werden:
 :$$p_{\rm M} = \frac{p_{\rm G} \cdot {\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ p_{\rm B} \cdot {\rm Pr}(\rm
@@ Zeile 151: / Zeile 154: @@
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $\rm Pr(B|G) = 0.01$ bzw. mit $\rm Pr(G|B) = 0.1$ erhält man folgende Gleichungen:
+*Mit $\rm Pr(B|G) = 0.01$ bzw. mit $\rm Pr(G|B) = 0.1$ erhält man folgende Gleichungen:
 :$${\rm Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) =
 .01\hspace{-0.15cm}:\hspace{0.2cm} {\it p}_{\rm M} \hspace{-0.1cm} \ = \
@@ Zeile 164: / Zeile 167: @@
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) }\hspace{0.05cm}.$$
-Aus der oberen Gleichung ist zu erkennen, dass mit keinem $\rm Pr(G|B)$&ndash;Wert das Ergebnis $p_{\rm M} = 0.005$ möglich ist. Dagegen lässt sich durch ein kleineres $\rm Pr(B|G)$ die Bedingung erfüllen:
+*Aus der letzten Gleichung ist zu erkennen, dass mit keinem $\rm Pr(G|B)$&ndash;Wert das Ergebnis $p_{\rm M} = 0.005$ möglich ist.
 :$$0.005 = \frac{0.0001 + 0.1 \cdot {\rm Pr}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G)}{0.1 +{\rm Pr}(\rm
@@ Zeile 171: / Zeile 175: @@
 \frac{0.0004}{0.095} \approx 0.0042\hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
+*Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^5.3 Bündelfehlerkanäle^]]

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 {Berechnen Sie die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M}$.
 |type="{}"}
-$p_{\rm M} \ = \ $ { 0.01 3% }
+$p_{\rm M} \ = \ $ { 1 3% } $\ \%$
 {Berechnen Sie die folgenden FKF&ndash;Werte:

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle}}
-[[Datei:P_ID1843__Dig_Z_5_6.png|right|frame|GE–Modell]]
+[[Datei:P_ID1843__Dig_Z_5_6.png|right|frame|Vorgegebenes Gilbert&ndash;Elliott–Modell]]
-Wir betrachten das <i>Bündelfehler&ndash;Kanalmodell</i> nach [https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_Gilbert E.N. Gilbert] und E.O. Elliott (siehe Skizze). Für die Übergangswahrscheinlichkeiten soll dabei gelten:
+Wir betrachten das <i>Bündelfehler&ndash;Kanalmodell</i>&nbsp; nach &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Edgar_Gilbert E.N. Gilbert]&nbsp; und E.O. Elliott (siehe Skizze). Für die Übergangswahrscheinlichkeiten soll dabei gelten:
 :$${\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)=  0.1, \hspace{0.2cm} {\rm
 Pr}(\rm B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G) = 0.01\hspace{0.05cm}.$$
-Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; betrage $p_{\rm G} = 0.1\%$ und für die im Zustand &bdquo;BAD&rdquo; gelte $p_{\rm B} = 10\%$.
+Die Fehlerwahrscheinlichkeit im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; betrage&nbsp; $p_{\rm G} = 0.1\%$. Für den Zustand &bdquo;BAD&rdquo; gelte&nbsp; $p_{\rm B} = 10\%$.
 Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen weitere Kenngrößen ermittelt werden:
-* die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$,
+* die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M}$,
-* die Zustandswahrscheinlichkeiten $w_{\rm G} = \rm Pr(Z = G)$ und $w_{\rm B} = \rm Pr(Z = B)$,
+* die Zustandswahrscheinlichkeiten&nbsp; $w_{\rm G} = \rm Pr(Z = G)$&nbsp; und&nbsp; $w_{\rm B} = \rm Pr(Z = B)$,
-* die Werte der Korrelationsfunktion, die für $k > 0$ analytisch wie folgt gegeben ist:
+* die Werte der Korrelationsfunktion, die für&nbsp; $k > 0$&nbsp; analytisch wie folgt gegeben ist:
 :$$\varphi_{e}(k) = p_{\rm M}^2 + (p_{\rm B} -
 p_{\rm M}) \cdot (p_{\rm M} - p_{\rm G}) \cdot
-  [1 - {\rm Pr}(\rm
+  \big [1 - {\rm Pr}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )- {\rm Pr}(\rm
-G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^{\it k} \hspace{0.05cm}.$$
+G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )\big ]^{\it k} \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten| Markovketten]] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;. und insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]] im Buch &bdquo;Kanalcodierung&rdquo;.
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten| Markovketten]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo; und insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]]&nbsp; im Buch &bdquo;Kanalcodierung&rdquo;.
@@ Zeile 37: / Zeile 40: @@
 $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \hspace{0.2cm} = \ ${ 0.9 3% }
-{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE&ndash;Modell im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; ($w_{\rm G}$) bzw. im Zustand &bdquo;BAD&rdquo; ($w_{\rm B}$)?
+{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten befindet sich das GE&ndash;Modell im Zustand &bdquo;GOOD&rdquo; &nbsp;$(w_{\rm G})$&nbsp; bzw. im Zustand &bdquo;BAD&rdquo; &nbsp;$(w_{\rm B})$?
 |type="{}"}
 $w_{\rm G} \ = \ $ { 0.909 3% }
 $w_{\rm B} \ = \ $ { 0.091 3% }
-{Berechnen Sie die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$.
+{Berechnen Sie die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M}$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm M} \ = \ $ { 0.01 3% }
@@ Zeile 53: / Zeile 56: @@
 $\varphi_e(k = 50) \ = \ ${ 1.024 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
-{Wie groß ist der FKF&ndash;Wert $\varphi_e(k = 0)$?
+{Wie groß ist der FKF&ndash;Wert&nbsp; $\varphi_e(k = 0)$?
 |type="{}"}
 $\varphi_e(k = 0) \ = \ ${ 1 3% } $\ \cdot 10^{-2}$
-{Lässt sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M} = 0.005$ erreichen durch
+{Lässt sich die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M} = 0.005$&nbsp; erreichen durch
 |type="[]"}
-- alleinige Änderung von $p_{\rm G}$,
+- alleinige Änderung von&nbsp; $p_{\rm G}$,
-+ alleinige Änderung von $p_{\rm B}$,
++ alleinige Änderung von&nbsp; $p_{\rm B}$,
-- alleinige Änderung von $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)$,
+- alleinige Änderung von&nbsp; $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)$,
-+ alleinige Änderung von $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$?
++ alleinige Änderung von&nbsp; $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G)$?
 </quiz>

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanäle]].
 *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten| Markovketten]] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;. und insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]] im Buch &bdquo;Kanalcodierung&rdquo;.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 26: / Zeile 26: @@
 *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten| Markovketten]] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;. und insbesondere auf die Seite [[Digitalsignalübertragung/Bündelfehlerkanäle#Fehlerkorrelationsfunktion_des_GE.E2.80.93Modells|Fehlerkorrelationsfunktion des GE&ndash;Modells]] im Buch &bdquo;Kanalcodierung&rdquo;.
 * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Es gilt $\rm Pr(G|G) = 1 \, &ndash;Pr(B|G) \ \underline {= 0.99}$ sowie $\rm Pr(B|B) = 1 \, &ndash;Pr(G|B) \ \underline {= 0.9}$.
+'''(1)'''&nbsp; Es gilt $\rm Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) = 1 \, &ndash;Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}G) \ \underline {= 0.99}$ sowie $\rm Pr(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 \, &ndash;Pr(G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) \ \underline {= 0.9}$.
@@ Zeile 93: / Zeile 94: @@
 '''(3)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ ergibt sich aus den Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm G}$ und $p_{\rm B}$, gewichtet mit $w_{\rm G}$  und $w_{\rm B}$:
 :$$p_{\rm M} = w_{\rm G} \cdot p_{\rm G} + w_{\rm B} \cdot p_{\rm B}
-= \frac{10}{11} \cdot 10^{-3} + \frac{1}{11} \cdot 10^{-1}\hspace{0.15cm}\underline { =
+= \frac{10}{11} \cdot 10^{-3} + \frac{1}{11} \cdot 10^{-1}= \frac{10+100}{11} \cdot 10^{-3}\hspace{0.15cm}\underline { =
 .01}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 102: / Zeile 103: @@
   [1 - {\rm Pr}(\rm
 B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} G )- {\rm Pr}(\rm
-G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^{\it k} =$$
+G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^{\it k} = 10^{-4} + 0.09 \cdot 0.009
 \cdot  0.89^{\it k} = 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot
 .89^{\it k} \right )\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 109: / Zeile 109: @@
 \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4} \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 1}
 \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 8.209 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$
-:$$\varphi_{e}(k = 2 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{e}(k = 2 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4}
 \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 2}
 \right )\hspace{0.15cm}\underline { = 7.416 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$
-:$$\varphi_{e}(k = 5 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{e}(k = 5 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4}
 \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 5}
 \right )\hspace{0.15cm}\underline {= 5.523 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm},$$
-:$$\varphi_{e}(k = 50 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\varphi_{e}(k = 50 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 10^{-4}
 \cdot \left ( 1 + 8.1 \cdot 0.89^{ 50} \right ) \hspace{0.15cm}\underline {= 1.024 \cdot
 ^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 154: / Zeile 154: @@
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B)+ 0.001 }{{\rm Pr}(\rm
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) +
-.01}\hspace{0.05cm},$$
+.01}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
 {\rm Pr}(\rm G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) =
 .1\hspace{-0.15cm}:\hspace{0.2cm}{\it p}_{\rm M} \hspace{-0.1cm} \ = \

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(kein Unterschied)

@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 G\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B )]^{\it k} \hspace{0.05cm}.$$
-''Hinweis:''
+''Hinweise:''
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/B%C3%BCndelfehlerkan%C3%A4le| Bündelfehlerkanal]] des vorliegenden Buches sowie auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten| Markovketten]] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.