Aufgaben:Aufgabe 5.6: OFDM–Spektrum - Versionsgeschichte

Guenter am 10. Januar 2022 um 10:29 Uhr

2022-01-10T10:29:05Z

Guenter am 10. Januar 2022 um 10:23 Uhr

2022-01-10T10:23:52Z

Guenter am 5. Mai 2020 um 12:57 Uhr

2020-05-05T12:57:38Z

Guenter am 5. Mai 2020 um 12:47 Uhr

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Guenter am 18. Januar 2019 um 16:48 Uhr

2019-01-18T16:48:22Z

Guenter am 18. Januar 2019 um 16:25 Uhr

2019-01-18T16:25:33Z

Guenter am 18. Januar 2019 um 16:22 Uhr

2019-01-18T16:22:22Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:58Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:36:09Z

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Hussain am 16. Dezember 2017 um 14:16 Uhr

2017-12-16T14:16:35Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist eine komplexe Exponentialschwingung mit nur einer Frequenz.
+'''(1)'''&nbsp;  Das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist eine komplexe Schwingung mit nur einer Frequenz.
 *Die Amplitude&nbsp; $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm  V}$&nbsp; kann direkt der Grafik entnommen werden.
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 '''(5)'''&nbsp;  Allgemein gilt für das OFDM–Spektrum:
 :$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
-*Die&nbsp; $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf&nbsp; $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
+*Die&nbsp; $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf&nbsp; $T$,&nbsp; der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
 *Durch die Nulldurchgänge der&nbsp; $\rm si$–Funktion im Abstand&nbsp; $f_0$&nbsp; sowie&nbsp; $\rm si(0) = 1$&nbsp; erhält man
 :$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$
-*Mit&nbsp; $s_0 = 5 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$ &nbsp; &nbsp; gilt weiter:
+*Mit&nbsp; $s_0 = 5 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$&nbsp; gilt weiter:
 :$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$
 :$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$

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 [[Datei:P_ID1659__A_5_6.png|right|frame|Real&ndash; und Imaginärteil des OFDM&ndash;Signals]]
 Wir betrachten in dieser Aufgabe ein OFDM–System mit &nbsp;$N = 4$&nbsp; Trägern.
-*Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf ein einziges Zeitintervall $T$.&nbsp;
+*Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf ein einziges Zeitintervall&nbsp; $T$.&nbsp;
 *Die Rahmendauer ist ebenfalls  &nbsp;$T_{\rm R} = T.$
 *Ein Guard–Intervall wird demnach nicht verwendet.
@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 Mit der Zusammenfassung von Impulsformung und Modulation durch die gemeinsame Funktion
 :$$ g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst} \\ \end{array} \right.$$
-ergibt sich das (komplexe) OFDM–Sendesignal im betrachteten Zeitintervall &nbsp;$(0 ≤ t < T)$&nbsp; zu:
+ergibt sich das&nbsp; (komplexe)&nbsp; OFDM–Sendesignal im betrachteten Zeitintervall &nbsp;$(0 ≤ t < T)$&nbsp; zu:
 :$$ s (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu} \cdot g_\mu (t )}.$$
-Alle Trägerkoeffizienten &nbsp;$a_0$, &nbsp;$a_1$, &nbsp;$a_2$&nbsp; und &nbsp;$a_3$&nbsp; sind entweder $0$ oder $\pm 1$.
+Alle Trägerkoeffizienten &nbsp;$a_0$, &nbsp;$a_1$, &nbsp;$a_2$,&nbsp; $a_3$&nbsp; sind entweder&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pm 1$.
 Die Grafik zeigt den Real– und Imaginärteil des Sendesignals&nbsp; $s(t)$&nbsp; für eine gegebene Kombination von&nbsp; $a_0$, ... , $a_3$, <br>die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ermittelt werden soll.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
@@ Zeile 59: / Zeile 56: @@
 - $|s(t)|$&nbsp; besitzt einen sinusförmigen Verlauf.
-{Nun sei &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = +1$.&nbsp; Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die genannten Frequenzen?
+{Nun sei &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$,&nbsp; $a_3 = +1$.&nbsp; Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die genannten Frequenzen?
 |type="{}"}
 $S(f = 0)\ = \ $ { 0. } $\ \rm mV/Hz$

@@ Zeile 74: / Zeile 74: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Das Sendesignal $s(t)$ ist eine komplexe Exponentialschwingung mit nur einer Frequenz. Die Amplitude $s_0 \hspace{0.15cm}\underline { = 5\ \rm  V}$ kann direkt der Grafik entnommen werden.
+'''(1)'''&nbsp;  Das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist eine komplexe Exponentialschwingung mit nur einer Frequenz.
-'''(2)'''&nbsp;  Weiterhin erkennt man aus der Grafik die Symboldauer $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm  ms}$. Daraus ergibt sich die Grundfrequenz zu $f_0 = 1/T = 5\ \rm   kHz$.
+'''(2)'''&nbsp;  Weiterhin erkennt man aus der Grafik die Symboldauer&nbsp; $T\hspace{0.15cm}\underline { = 0.2\ \rm  ms}$.
 '''(3)'''&nbsp;  Im dargestellten Beispiel gibt es nur eine einzige Frequenz, nämlich  &nbsp;$3 · f_0$.
-*Daraus folgt $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$ sowie für den Bereich $0 ≤ t < T$:
+*Daraus folgt&nbsp; $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$&nbsp; sowie für den Bereich&nbsp; $0 ≤ t < T$:
 :$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$
-*Der Vergleich mit der Skizze (Realteil: &nbsp; Minus–Cosinus, Imaginärteil: &nbsp; Minus–Sinus) liefert das folgende Ergebnis: :$$a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$
+*Der Vergleich mit der Skizze&nbsp; $($Realteil: &nbsp; Minus–Cosinus, Imaginärteil: &nbsp; Minus–Sinus$)$&nbsp; liefert das folgende Ergebnis:
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 * Die Betragsfunktion lautet: &nbsp; $ |s(t)| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$
-*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer $T$.
+*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer&nbsp; $T$.
-*Das bedeutet: &nbsp; Das OFDM–Prinzip funktioniert nur bei einer Zeitbegrenzung auf $T$.
+*Das bedeutet: &nbsp; Das OFDM–Prinzip funktioniert nur bei einer Zeitbegrenzung auf&nbsp; $T$.
 '''(5)'''&nbsp;  Allgemein gilt für das OFDM–Spektrum:
 :$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
-*Die $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
+*Die&nbsp; $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf&nbsp; $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
-*Durch die Nulldurchgänge der si–Funktion im Abstand $f_0$ sowie $\rm si(0) = 1$ erhält man
+*Durch die Nulldurchgänge der&nbsp; $\rm si$–Funktion im Abstand&nbsp; $f_0$&nbsp; sowie&nbsp; $\rm si(0) = 1$&nbsp; erhält man
 :$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$
-*Mit $s_0 = 5 \ \rm V$ und $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$ &nbsp; &nbsp; gilt weiter:
+*Mit&nbsp; $s_0 = 5 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$ &nbsp; &nbsp; gilt weiter:
 :$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$
 :$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
 :$$ \mu = 2, \hspace{0.1cm}a_2 = -1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 10\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= -1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
 :$$ \mu = 3, \hspace{0.1cm}a_3 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 15\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}}.$$
 '''(6)'''&nbsp;  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe '''(5)''' gezeigt.
+* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; gezeigt.
-*Die Orthogonalität hinsichtlich des Zeitbereichs ergibt sich aus der Begrenzung der einzelnen Symbole auf die Zeitdauer $T$.
+*Die Orthogonalität hinsichtlich des Zeitbereichs ergibt sich aus der Begrenzung der einzelnen Symbole auf die Zeitdauer&nbsp; $T$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1659__A_5_6.png|right|frame|Real&ndash; und Imaginärteil des OFDM&ndash;Signals]]
-Wir betrachten hier ein OFDM–System mit &nbsp;$N = 4$&nbsp; Trägern. Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf ein einziges Zeitintervall $T$&nbsp; und gehen auch von der Rahmendauer &nbsp;$T_{\rm R} = T$&nbsp; aus. Ein Guard–Intervall wird demnach nicht verwendet.
+Wir betrachten in dieser Aufgabe ein OFDM–System mit &nbsp;$N = 4$&nbsp; Trägern.
 Mit der Zusammenfassung von Impulsformung und Modulation durch die gemeinsame Funktion
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 Alle Trägerkoeffizienten &nbsp;$a_0$, &nbsp;$a_1$, &nbsp;$a_2$&nbsp; und &nbsp;$a_3$&nbsp; sind entweder $0$ oder $\pm 1$.
-Die Grafik zeigt den Real– und Imaginärteil des Sendesignals $s(t)$ für eine gegebene Kombination von $a_0$, ... , $a_3$, die in der Teilaufgabe '''(3)''' ermittelt werden soll.
+Die Grafik zeigt den Real– und Imaginärteil des Sendesignals&nbsp; $s(t)$&nbsp; für eine gegebene Kombination von&nbsp; $a_0$, ... , $a_3$, <br>die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; ermittelt werden soll.
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 |type="[]"}
 - $|s(t)|$&nbsp; ist konstant ohne Begrenzung.
-+ $|s(t)|$&nbsp; ist konstant innerhalb von der Symboldauer &nbsp;$T$.
++ $|s(t)|$&nbsp; ist konstant innerhalb der Symboldauer &nbsp;$T$.
 - $|s(t)|$&nbsp; besitzt einen cosinusförmigen Verlauf.
 - $|s(t)|$&nbsp; besitzt einen sinusförmigen Verlauf.
-{Nun sei &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = +1$. Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S(f)$.
+{Nun sei &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = +1$.&nbsp; Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die genannten Frequenzen?
 |type="{}"}
 $S(f = 0)\ = \ $ { 0. } $\ \rm mV/Hz$
@@ Zeile 60: / Zeile 66: @@
 $S(f = 15 \ \rm kHz) \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm mV/Hz$
-{Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse der Teilaufgaben '''(3)''' und '''(5)'''. Welche Aussagen treffen zu?
+{Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse der Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(5)'''.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + OFDM erfüllt das erste Nyquist–Kriterium im Zeitbereich.

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-'''(3)'''&nbsp;  Im dargestellten Beispiel gibt es nur eine einzige Frequenz $3 · f_0$. Daraus folgt $a_0 = a_1 = a_2 \hspace{0.15cm}\underline { = 0}$ sowie für den Bereich $0 ≤ t < T$:
+'''(3)'''&nbsp;  Im dargestellten Beispiel gibt es nur eine einzige Frequenz, nämlich  &nbsp;$3 · f_0$.
 :$$s(t) = a_3 \cdot s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2 \pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} 3 f_0 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} t}= a_3 \cdot s_0 \cdot \cos ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \rm{j} \cdot a_3 \cdot s_0 \cdot \sin ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t).$$
-Der Vergleich mit der Skizze (Realteil: Minus–Cosinus, Imaginärteil: Minus–Sinus) liefert das folgende Ergebnis: $a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}$.
+*Der Vergleich mit der Skizze (Realteil: &nbsp; Minus–Cosinus, Imaginärteil: &nbsp; Minus–Sinus) liefert das folgende Ergebnis: :$$a_3\hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
 * Die Betragsfunktion lautet: &nbsp; $ |s(t)| = a_3 \cdot s_0 \cdot \sqrt{\cos^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t) + \sin^2 ({\rm{2 \pi}} \cdot 3 f_0 \cdot t)}= a_3 \cdot s_0.$
-*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer $T$. Das OFDM–Prinzip funktioniert nur bei einer Zeitbegrenzung auf +$T$.
+*Allerdings gilt diese Gleichung nur im Bereich der Symboldauer $T$.
 '''(5)'''&nbsp;  Allgemein gilt für das OFDM–Spektrum:
 :$$S (f) = s_0 \cdot T \cdot \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu } \cdot \,} {\rm{si}}(\pi \cdot T \cdot (f - \mu \cdot f_0 )) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}2\pi}} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{T}/{2}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} (f - \mu \cdot f_0 )} .$$
-*Die si–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
+*Die $\rm si$–Funktion ergibt sich aus der zeitlichen Begrenzung auf $T$, der letzte Term in der Summe aus dem Verschiebungssatz.
-*Durch die Nulldurchgänge der si–Funktion im Abstand $f_0$ sowie ${\rm s}i(0) = 1$ erhält man $S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ$.
+*Durch die Nulldurchgänge der si–Funktion im Abstand $f_0$ sowie $\rm si(0) = 1$ erhält man
-*Mit $s_0 = 5 \ \rm V$ und $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp;⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$ gilt weiter:
+:$$S(f = μ · f_0) = s_0 · T · a_μ.$$
-:$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0 : S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$
+*Mit $s_0 = 5 \ \rm V$ und $T = 0.2 \ \rm ms$  &nbsp; ⇒  &nbsp; $s_0 · T = 1\ \rm  mV/Hz$ &nbsp; &nbsp; gilt weiter:
-:$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1 : S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
+:$$ \mu = 0,\hspace{0.1cm} a_0 = 0\text{:}\hspace{0.95cm} S (f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},\hspace{8cm}.$$
-:$$ \mu = 2, \hspace{0.1cm}a_2 = -1 : S (f = 10\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= -1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
+:$$\mu = 1, \hspace{0.1cm}a_1 = +1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 5\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
-:$$ \mu = 3, \hspace{0.1cm}a_3 = +1 : S (f = 15\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= +1\,\,{\rm{mV/Hz}}}.$$
+:$$ \mu = 2, \hspace{0.1cm}a_2 = -1\text{:}\hspace{0.55cm} S (f = 10\,\,{\rm{kHz}}) \hspace{0.15cm}\underline {= -1\,\,{\rm{mV/Hz}}},$$
 '''(6)'''&nbsp;  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe (5) gezeigt.
+* Die Orthogonalität bezüglich des Frequenzbereichs wurde bereits in der Teilaufgabe '''(5)''' gezeigt.
 *Die Orthogonalität hinsichtlich des Zeitbereichs ergibt sich aus der Begrenzung der einzelnen Symbole auf die Zeitdauer $T$.

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;

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 }}
-[[Datei:P_ID1659__A_5_6.png|right|frame|Real- und Imaginärteil des OFDM-Signals]]
+[[Datei:P_ID1659__A_5_6.png|right|frame|Real&ndash; und Imaginärteil des OFDM&ndash;Signals]]
-Wir betrachten hier ein OFDM–System mit $N = 4$ Trägern. Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf ein einziges Zeitintervall $T$ und gehen auch von der Rahmendauer $T_{\rm R} = T$ aus. Ein Guard–Intervall wird demnach nicht verwendet.
+Wir betrachten hier ein OFDM–System mit &nbsp;$N = 4$&nbsp; Trägern. Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf ein einziges Zeitintervall $T$&nbsp; und gehen auch von der Rahmendauer &nbsp;$T_{\rm R} = T$&nbsp; aus. Ein Guard–Intervall wird demnach nicht verwendet.
 Mit der Zusammenfassung von Impulsformung und Modulation durch die gemeinsame Funktion
 :$$ g_\mu (t) = \left\{ \begin{array}{l} s_0 \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j2 \pi}} {\kern 1pt} \mu f_0 t} \quad 0 \le t < T, \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad {\rm sonst} \\ \end{array} \right.$$
-ergibt sich das (komplexe) OFDM–Sendesignal im betrachteten Zeitintervall ($0 ≤ t < T$) zu:
+ergibt sich das (komplexe) OFDM–Sendesignal im betrachteten Zeitintervall &nbsp;$(0 ≤ t < T)$&nbsp; zu:
 :$$ s (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu} \cdot g_\mu (t )}.$$
-Alle Trägerkoeffizienten $a_0$, $a_1$, $a_2$ und $a_3$ sind entweder $0$ oder $\pm 1$.. Die Grafik zeigt den Real– und Imaginärteil des Sendesignals $s(t)$ für eine gegebene Kombination von $a_0$, ... , $a_3$, die in der Teilaufgabe (3) ermittelt werden soll.
+Alle Trägerkoeffizienten &nbsp;$a_0$, &nbsp;$a_1$, &nbsp;$a_2$&nbsp; und &nbsp;$a_3$&nbsp; sind entweder $0$ oder $\pm 1$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM|Allgemeine Beschreibung von OFDM]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten   [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]] sowie [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Das_Prinzip_von_OFDM_.E2.80.93_Systembetrachtung_im_Zeitbereich|OFDM-Systembetrachtung im Zeitbereich]]&nbsp; sowie &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeine_Beschreibung_von_OFDM#Systembetrachtung_im_Frequenzbereich_bei_kausalem_Grundimpuls|OFDM-Systembetrachtung im Frequenzbereich bei kausalem Grundimpuls]].
@@ Zeile 22: / Zeile 28: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Amplitude $s_0$ des Sendesignals?
+{Wie groß ist die Amplitude &nbsp;$s_0$&nbsp; des Sendesignals?
 |type="{}"}
 $s_0 \ = \ $ { 5 3% } $\ \rm V$
-{Wie groß ist die Symboldauer <i>T</i>?
+{Wie groß ist die Symboldauer &nbsp;$T$?
 |type="{}"}
 $T \ = \ $ { 0.2 3%  } $\ \rm ms$
@@ Zeile 37: / Zeile 43: @@
 $a_3 \ = \ ${ -1.01--0.99 }
-{Welche Aussagen sind bezüglich der OFDM&ndash;Betragsfunktion |<i>s</i>(<i>t</i>)| zutreffend?
+{Welche Aussagen sind bezüglich der OFDM&ndash;Betragsfunktion &nbsp;$|s(t)|$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-- $|s(t)|$ ist konstant ohne Begrenzung.
+- $|s(t)|$&nbsp; ist konstant ohne Begrenzung.
-+ $|s(t)|$ ist konstant innerhalb von der Symboldauer $T$.
++ $|s(t)|$&nbsp; ist konstant innerhalb von der Symboldauer &nbsp;$T$.
-- $|s(t)|$ besitzt einen cosinusförmigen Verlauf.
+- $|s(t)|$&nbsp; besitzt einen cosinusförmigen Verlauf.
-- $|s(t)|$ besitzt einen sinusförmigen Verlauf.
+- $|s(t)|$&nbsp; besitzt einen sinusförmigen Verlauf.
-{Nun sei $a_0 = 0$, $a_1 = +1$, $a_2 = -1$ und $a_3 = +1$. Berechnen Sie das Spektrum S(f)$.
+{Nun sei &nbsp;$a_0 = 0$, &nbsp;$a_1 = +1$, &nbsp;$a_2 = -1$&nbsp; und &nbsp;$a_3 = +1$. Berechnen Sie das Spektrum &nbsp;$S(f)$.
 <br>Welche Werte ergeben sich für die nachfolgend genannten Frequenzen?
 |type="{}"}
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 $S(f = 15 \ \rm kHz) \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm mV/Hz$
-{Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse der Teilaufgaben (3) und (5). Welche Aussagen treffen zu?
+{Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse der Teilaufgaben '''(3)''' und '''(5)'''. Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 + OFDM erfüllt das erste Nyquist–Kriterium im Zeitbereich.