Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: Rechenaufwand für die FFT - Versionsgeschichte

Guenter am 22. Mai 2021 um 08:21 Uhr

2021-05-22T08:21:49Z

Guenter am 16. Oktober 2019 um 12:27 Uhr

2019-10-16T12:27:11Z

Guenter am 16. Oktober 2019 um 09:05 Uhr

2019-10-16T09:05:27Z

Guenter am 29. Juli 2018 um 17:30 Uhr

2018-07-29T17:30:39Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:56Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 3. Februar 2018 um 15:56 Uhr

2018-02-03T15:56:19Z

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2018-02-03T15:39:24Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:5.5Z Rechenaufwand für die FFT nach Aufgaben:Aufgabe 5.5Z: Rechenaufwand für die FFT

2018-01-03T13:09:14Z

Guenter verschob die Seite 5.5Z Rechenaufwand für die FFT nach Aufgabe 5.5Z: Rechenaufwand für die FFT

Guenter am 4. April 2017 um 12:39 Uhr

2017-04-04T12:39:15Z

Guenter am 4. April 2017 um 11:18 Uhr

2017-04-04T11:18:01Z

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 }}
-[[Datei:P_ID1179__Sig_Z_5_5.png|right|frame|Letzte Stufe der FFT für $N=8$]]
+[[Datei:P_ID1179__Sig_Z_5_5.png|right|frame|Letzte Stufe der FFT für&nbsp; $N=8$]]
-Der FFT–Algorithmus&nbsp; (''Fast Fourier Transform'')&nbsp; realisiert eine&nbsp; ''Diskrete Fouriertransformation''&nbsp; mit dem kleinstmöglichen Rechenaufwand, wenn der Parameter&nbsp; $N$&nbsp; eine Zweierpotenz ist. Im Einzelnen sind zur Durchführung einer FFT folgende Rechenschritte notwendig:
+Der FFT–Algorithmus&nbsp; (Fast Fourier Transform)&nbsp; realisiert eine&nbsp; &bdquo;Diskrete Fouriertransformation&rdquo;&nbsp; mit dem kleinstmöglichen Rechenaufwand, wenn der Parameter&nbsp; $N$&nbsp; eine Zweierpotenz ist.
 *Die FFT geschieht in&nbsp; ${\rm log_2} \ N$&nbsp; Stufen, wobei in jeder Stufe die genau gleiche Anzahl an Rechenoperationen durchzuführen ist.
-*Die Grafik zeigt die dritte und letzte Stufe für das Beispiel&nbsp; $N = 8$. Man erkennt, dass in dieser und auch den anderen Stufen jeweils&nbsp; $N/2$&nbsp; Basisoperationen durchzuführen sind.
+*Die Grafik zeigt die dritte und letzte Stufe für das Beispiel&nbsp; $N = 8$.&nbsp; Man erkennt, dass in dieser und auch den anderen Stufen jeweils&nbsp; $N/2$&nbsp; Basisoperationen durchzuführen sind.
 *In jeder Basisoperation, die man häufig auch als&nbsp; '''Butterfly'''&nbsp; bezeichnet, werden aus den beiden komplexen Eingangsgrößen&nbsp; $E_1$&nbsp; und&nbsp; $E_2$&nbsp; zwei komplexe Ausgänge berechnet:
 :$$ A_1  = E_1 + E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm}\mu}, $$
 :$$ A_2 = E_1 - E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm} \mu}\hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei bezeichnet&nbsp; $w =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi/N}$&nbsp; den komplexen Drehfaktor. Für&nbsp;  $N = 8$&nbsp; ergibt sich der Wert&nbsp; $w =  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi/4} = \cos(45^\circ) - {\rm j} \cdot \sin(45^\circ)\hspace{0.05cm}.$
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; $w =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi/N}$&nbsp; den komplexen Drehfaktor.&nbsp; Für&nbsp;  $N = 8$&nbsp; ergibt sich der Wert&nbsp; $w =  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi/4} = \cos(45^\circ) - {\rm j} \cdot \sin(45^\circ)\hspace{0.05cm}.$
-*Der Exponent&nbsp; $\mu$&nbsp; für diesen komplexen Drehfaktor kann alle ganzzahligen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $N/2-1$&nbsp; annehmen. Für&nbsp; $N = 8$&nbsp; gilt:
+*Der Exponent&nbsp; $\mu$&nbsp; für diesen komplexen Drehfaktor kann alle ganzzahligen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $N/2-1$&nbsp; annehmen.&nbsp; Für&nbsp; $N = 8$&nbsp; gilt:
 :$$w^0 = 1,\hspace{0.2cm}w^1 = {1}/{\sqrt{2}}- {\rm j}
 \cdot{1}/{\sqrt{2}},\hspace{0.2cm}w^2 = - {\rm
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 Zu beachten ist:
-*Sinnvollerweise werden die Potenzen von&nbsp; $w$&nbsp; vor dem eigentlichen Algorithmus berechnet und in einer Lookup–Tabelle abgelegt.
+*Sinnvollerweise werden die Potenzen von&nbsp; $w$&nbsp; vor dem eigentlichen Algorithmus berechnet und in einer Lookup–Tabelle abgelegt.&nbsp; Die hierfür notwendigen Operationen sollen hier unberücksichtigt bleiben.
 *Die Bitumkehroperation – eine Umsortierung, die vor der ersten Stufe durchzuführen ist – soll bei dieser Abschätzung ebenfalls nicht berücksichtigt werden.
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 $\mathcal{O}_{\rm B} \ = \ $  { 10 }
-{Wieviele reelle Operationen&nbsp; $(\mathcal{O}_{\rm FFT})$&nbsp; erfordert der gesamte FFT&ndash;Algorithmus? Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $N = 16$&nbsp; und&nbsp; $N = 1024$?
+{Wieviele reelle Operationen&nbsp; $(\mathcal{O}_{\rm FFT})$&nbsp; erfordert der gesamte FFT&ndash;Algorithmus?&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $N = 16$&nbsp; und&nbsp; $N = 1024$?
 |type="{}"}
 $N = 16\text{:} \hspace{0.65cm} \mathcal{O}_{\rm FFT} \ = \ $ { 320 3% }

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-'''(3)'''&nbsp; Die Basisoperationen lauten mit den komplexen Eingangsgrößen $E_1$, $E_2$ und $w^{\hspace{0.04cm}\mu}$:
+'''(3)'''&nbsp; Die Basisoperationen lauten mit den komplexen Eingangsgrößen&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $w^{\hspace{0.04cm}\mu}$:
 :$$ A_1  = E_1 + E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm}\mu},\hspace{0.5cm}  A_2 = E_1 - E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm} \mu}\hspace{0.05cm}.$$
-Dies bedeutet eine komplexe Multiplikation und zwei komplexe Additionen: &nbsp; $\hspace{0.15 cm}\underline{a_{\rm B} = 2, \hspace{0.2cm}m_{\rm B} = 1}
+*Dies bedeutet eine komplexe Multiplikation und zwei komplexe Additionen: &nbsp; $\hspace{0.15 cm}\underline{a_{\rm B} = 2, \hspace{0.2cm}m_{\rm B} = 1}
   \hspace{0.05cm}.$
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 '''(4)'''&nbsp; Im Gegensatz zu den ersten Computern nimmt heute eine Multiplikation keine wesentlich größere Rechenzeit in Anspruch als eine Addition bzw. Subtraktion.
-Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(1)''', '''(2)''' und '''(3)''' erhält man für die Gesamtzahl der Rechenoperationen:
+*Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben&nbsp; '''(1)''',&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; erhält man für die Gesamtzahl der Rechenoperationen:
 :$$ \mathcal{O}_{\rm B} = a_{\rm B}\cdot A_{\rm A} + a_{\rm B}\cdot (A_{\rm M}
 +M_{\rm M} ) = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 6\hspace{0.15 cm}\underline{ = 10}
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-'''(5)'''&nbsp; Insgesamt gibt es ${\rm log_2} \ N$ Stufen, in denen jeweils $N/2$ Basisoperationen auszuführen sind:
+'''(5)'''&nbsp; Insgesamt gibt es&nbsp; ${\rm log_2} \ N$ Stufen, in denen jeweils&nbsp; $N/2$&nbsp; Basisoperationen auszuführen sind:
 :$$\mathcal{O}_{\rm FFT} = {\rm log_2}\hspace{0.1cm}N \cdot \frac{N}{2}\cdot
 \mathcal{O}_{\rm B} = 5 \cdot N \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}N$$

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 [[Datei:P_ID1179__Sig_Z_5_5.png|right|frame|Letzte Stufe der FFT für $N=8$]]
-Der FFT–Algorithmus (''Fast Fourier Transform'') realisiert eine ''Diskrete Fouriertransformation'' mit dem kleinstmöglichen Rechenaufwand, wenn der Parameter $N$ eine Zweierpotenz ist. Im Einzelnen sind zur Durchführung einer FFT folgende Rechenschritte notwendig:
+Der FFT–Algorithmus&nbsp; (''Fast Fourier Transform'')&nbsp; realisiert eine&nbsp; ''Diskrete Fouriertransformation''&nbsp; mit dem kleinstmöglichen Rechenaufwand, wenn der Parameter&nbsp; $N$&nbsp; eine Zweierpotenz ist. Im Einzelnen sind zur Durchführung einer FFT folgende Rechenschritte notwendig:
-*Die FFT geschieht in ${\rm log_2} \ N$ Stufen, wobei in jeder Stufe die genau gleiche Anzahl an Rechenoperationen durchzuführen ist.
+*Die FFT geschieht in&nbsp; ${\rm log_2} \ N$&nbsp; Stufen, wobei in jeder Stufe die genau gleiche Anzahl an Rechenoperationen durchzuführen ist.
-*Die Grafik zeigt die dritte und letzte Stufe für das Beispiel $N = 8$. Man erkennt, dass in dieser und auch den anderen Stufen jeweils $N/2$ Basisoperationen durchzuführen sind.
+*Die Grafik zeigt die dritte und letzte Stufe für das Beispiel&nbsp; $N = 8$. Man erkennt, dass in dieser und auch den anderen Stufen jeweils&nbsp; $N/2$&nbsp; Basisoperationen durchzuführen sind.
-*In jeder Basisoperation, die man häufig auch als '''Butterfly''' bezeichnet, werden aus den beiden komplexen Eingangsgrößen $E_1$ und $E_2$ zwei komplexe Ausgänge berechnet:
+*In jeder Basisoperation, die man häufig auch als&nbsp; '''Butterfly'''&nbsp; bezeichnet, werden aus den beiden komplexen Eingangsgrößen&nbsp; $E_1$&nbsp; und&nbsp; $E_2$&nbsp; zwei komplexe Ausgänge berechnet:
 :$$ A_1  = E_1 + E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm}\mu}, $$
 :$$ A_2 = E_1 - E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm} \mu}\hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei bezeichnet $w =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi/N}$ den komplexen Drehfaktor. Für  $N = 8$ ergibt sich der Wert $w =  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi/4} = \cos(45^\circ) - {\rm j} \cdot \sin(45^\circ)\hspace{0.05cm}.$
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; $w =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi/N}$&nbsp; den komplexen Drehfaktor. Für&nbsp;  $N = 8$&nbsp; ergibt sich der Wert&nbsp; $w =  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi/4} = \cos(45^\circ) - {\rm j} \cdot \sin(45^\circ)\hspace{0.05cm}.$
-*Der Exponent $\mu$ dieses komplexen Drehfaktors kann alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $N/2-1$ annehmen. Für $N = 8$ gilt:
+*Der Exponent&nbsp; $\mu$&nbsp; für diesen komplexen Drehfaktor kann alle ganzzahligen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $N/2-1$&nbsp; annehmen. Für&nbsp; $N = 8$&nbsp; gilt:
 :$$w^0 = 1,\hspace{0.2cm}w^1 = {1}/{\sqrt{2}}- {\rm j}
 \cdot{1}/{\sqrt{2}},\hspace{0.2cm}w^2 = - {\rm
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 \cdot{1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$
-Mit dieser Aufgabe sollen die für die FFT erforderliche Anzahl von Rechenoperationen $(\mathcal{O}_{\rm FFT})$ ermittelt und mit dem für die DFT angebbaren Wert $\mathcal{O}_{\rm DFT} ≈ 8\cdot N^2$ verglichen werden.
+Mit dieser Aufgabe sollen die für die FFT erforderliche Anzahl von Rechenoperationen&nbsp; $(\mathcal{O}_{\rm FFT})$&nbsp; ermittelt und mit dem für die DFT angebbaren Wert&nbsp; $\mathcal{O}_{\rm DFT} ≈ 8\cdot N^2$&nbsp; verglichen werden.
 Zu beachten ist:
-*Sinnvollerweise werden die Potenzen von $w$ vor dem eigentlichen Algorithmus berechnet und in einer Lookup–Tabelle abgelegt.
+*Sinnvollerweise werden die Potenzen von&nbsp; $w$&nbsp; vor dem eigentlichen Algorithmus berechnet und in einer Lookup–Tabelle abgelegt.
 *Die hierfür notwendigen Operationen sollen deshalb unberücksichtigt bleiben.
 *Die Bitumkehroperation – eine Umsortierung, die vor der ersten Stufe durchzuführen ist – soll bei dieser Abschätzung ebenfalls nicht berücksichtigt werden.
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-''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Fast-Fouriertransformation_(FFT)|Fast-Fouriertransformation (FFT)]].
+''Hinweis:''
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 <quiz display=simple>
-{Wieviele reelle Additionen $(A_{\rm A})$ erfordert eine komplexe Addition?
+{Wieviele reelle Additionen&nbsp; $(A_{\rm A})$&nbsp; erfordert eine komplexe Addition?
 |type="{}"}
 $A_{\rm A} \hspace{0.3cm} = \ $ { 2 }
-{Wieviele reelle Additionen $(A_{\rm M})$ und Multiplikationen $(M_{\rm M})$ sind für eine komplexe Multiplikation erforderlich?
+{Wieviele reelle Additionen&nbsp; $(A_{\rm M})$&nbsp; und Multiplikationen&nbsp; $(M_{\rm M})$&nbsp; sind für eine komplexe Multiplikation erforderlich?
 |type="{}"}
 $A_{\rm M} \hspace{0.3cm} = \  $ { 2 }
 $M_{\rm M} \hspace{0.2cm} = \  $ { 4 }
-{Wieviele komplexe Additionen/Subtraktionen $(a_{\rm B})$ erfordert eine einzige Basisoperation (&bdquo;Butterfly&rdquo;)?
+{Wieviele komplexe Additionen/Subtraktionen&nbsp; $(a_{\rm B})$&nbsp; erfordert eine einzige Basisoperation (&bdquo;Butterfly&rdquo;)?
-<br>Wieviele komplexe Multiplikationen $(m_{\rm B})$ sind pro Basisoperation notwendig?
+<br>Wieviele komplexe Multiplikationen&nbsp; $(m_{\rm B})$&nbsp; sind pro Basisoperation notwendig?
 |type="{}"}
 $a_{\rm B} \hspace{0.32cm} = \ $  { 2 }
 $m_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \ $  { 1 }
-{Wieviele Rechenoperationen (Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen gleichermaßen) erfordert eine Basisoperation?
+{Wieviele Rechenoperationen&nbsp; (Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen gleichermaßen)&nbsp; erfordert eine Basisoperation?
 |type="{}"}
 $\mathcal{O}_{\rm B} \ = \ $  { 10 }
-{Wieviele reelle Operationen $(\mathcal{O}_{\rm FFT})$ erfordert der gesamte FFT&ndash;Algorithmus? Welche Werte ergeben sich für $N = 16$ und $N = 1024$?
+{Wieviele reelle Operationen&nbsp; $(\mathcal{O}_{\rm FFT})$&nbsp; erfordert der gesamte FFT&ndash;Algorithmus? Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $N = 16$&nbsp; und&nbsp; $N = 1024$?
 |type="{}"}
 $N = 16\text{:} \hspace{0.65cm} \mathcal{O}_{\rm FFT} \ = \ $ { 320 3% }
 $N = 1024\text{:} \hspace{0.2cm} \mathcal{O}_{\rm FFT} \ = \ $ { 51200 3% }
-{Wie groß ist der Zeitgewinn $G_{\rm FFT} = \mathcal{O}_{\rm DFT} - \mathcal{O}_{\rm FFT}$ für $N = 16$ und $N = 1024$?
+{Wie groß ist der Zeitgewinn&nbsp; $G_{\rm FFT} = \mathcal{O}_{\rm DFT} - \mathcal{O}_{\rm FFT}$&nbsp; für&nbsp; $N = 16$&nbsp; und&nbsp; $N = 1024$?
 |type="{}"}
 $N = 16\text{:} \hspace{0.65cm} G_{\rm FFT} \ = \ $ { 6.4 3% }

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 :$$ A_1  = E_1 + E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm}\mu}, $$
 :$$ A_2 = E_1 - E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm} \mu}\hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei bezeichnet $w =  {\rm e}^{-{\rm j} 2\pi/N}$ den komplexen Drehfaktor. Für das Beispiel $N = 8$ hat dieser den Wert $w =  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi/4} = \cos(45^\circ) - {\rm j} \cdot \sin(45^\circ)\hspace{0.05cm}.$
+*Hierbei bezeichnet $w =  {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi/N}$ den komplexen Drehfaktor. Für  $N = 8$ ergibt sich der Wert $w =  {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi/4} = \cos(45^\circ) - {\rm j} \cdot \sin(45^\circ)\hspace{0.05cm}.$
 *Der Exponent $\mu$ dieses komplexen Drehfaktors kann alle ganzzahligen Werte zwischen $0$ und $N/2-1$ annehmen. Für $N = 8$ gilt:
 :$$w^0 = 1,\hspace{0.2cm}w^1 = {1}/{\sqrt{2}}- {\rm j}
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 Zu beachten ist:
-*Sinnvollerweise werden die Potenzen von $w$ vor dem eigentlichen Algorithmus berechnet und in einer Lookup–Tabelle abgelegt. Die hierfür notwendigen Operationen sollen deshalb unberücksichtigt bleiben.
+*Sinnvollerweise werden die Potenzen von $w$ vor dem eigentlichen Algorithmus berechnet und in einer Lookup–Tabelle abgelegt.
 *Die Bitumkehroperation – eine Umsortierung, die vor der ersten Stufe durchzuführen ist – soll bei dieser Abschätzung ebenfalls nicht berücksichtigt werden.
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-'''(3)'''&nbsp; Die Basisoperationen lauten mit den komplexen Eingangsgrößen $E_1$, $E_2$ und $w^\mu$:
+'''(3)'''&nbsp; Die Basisoperationen lauten mit den komplexen Eingangsgrößen $E_1$, $E_2$ und $w^{\hspace{0.04cm}\mu}$:
 :$$ A_1  = E_1 + E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm}\mu},\hspace{0.5cm}  A_2 = E_1 - E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm} \mu}\hspace{0.05cm}.$$
 Dies bedeutet eine komplexe Multiplikation und zwei komplexe Additionen: &nbsp; $\hspace{0.15 cm}\underline{a_{\rm B} = 2, \hspace{0.2cm}m_{\rm B} = 1}
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 '''(4)'''&nbsp; Im Gegensatz zu den ersten Computern nimmt heute eine Multiplikation keine wesentlich größere Rechenzeit in Anspruch als eine Addition bzw. Subtraktion.
-Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1), (2) und (3) erhält man für die Gesamtzahl der Rechenoperationen:
+Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben '''(1)''', '''(2)''' und '''(3)''' erhält man für die Gesamtzahl der Rechenoperationen:
 :$$ \mathcal{O}_{\rm B} = a_{\rm B}\cdot A_{\rm A} + a_{\rm B}\cdot (A_{\rm M}
 +M_{\rm M} ) = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 6\hspace{0.15 cm}\underline{ = 10}

@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Fast-Fouriertransformation_(FFT)|Fast-Fouriertransformation (FFT)]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-<b>a)</b>&nbsp;&nbsp;Jede komplexe Addition erfordert zwei reelle Additionen:
+'''(1)'''&nbsp; Jede komplexe Addition erfordert zwei reelle Additionen:
-$$(R_1 + {\rm j} \cdot I_1) + (R_2 + {\rm j} \cdot I_2) = (R_1 +
+:$$(R_1 + {\rm j} \cdot I_1) + (R_2 + {\rm j} \cdot I_2) = (R_1 +
 R_2) + {\rm j} \cdot (I_1 + I_2)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 \hspace{0.15 cm}\underline{ A_{\rm A} =
 }\hspace{0.05cm}.$$
-<b>b)</b>&nbsp;&nbsp;Eine jede komplexe Multiplikation benötigt vier reelle Multiplikationen und zwei reelle Additionen:
+'''(2)'''&nbsp; Eine jede komplexe Multiplikation benötigt vier reelle Multiplikationen und zwei reelle Additionen:
-$$(R_1 + {\rm j} \cdot I_1)  (R_2 + {\rm j} \cdot I_2) = (R_1 \cdot
+:$$(R_1 + {\rm j} \cdot I_1)  (R_2 + {\rm j} \cdot I_2) = (R_1 \cdot
 R_2 - I_1 \cdot I_2) + {\rm j} \cdot (R_1 \cdot I_2 + R_2 \cdot
-I_1)$$
+I_1)\hspace{0.3cm}
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{A_{\rm M} = 2,\hspace{0.3cm}M_{\rm M} =
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15 cm}\underline{A_{\rm M} = 2,\hspace{0.3cm}M_{\rm M} =
 } \hspace{0.05cm}.$$
-<b>c)</b>&nbsp;&nbsp;Die Basisoperationen lauten mit den komplexen Eingangsgrößen <i>E</i><sub>1</sub>, <i>E</i><sub>2</sub> und <i>w</i><sup><i>&mu;</i></sup>:
+'''(3)'''&nbsp; Die Basisoperationen lauten mit den komplexen Eingangsgrößen $E_1$, $E_2$ und $w^\mu$:
-$$ A_1  = E_1 + E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm}\mu}, $$
+:$$ A_1  = E_1 + E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm}\mu},\hspace{0.5cm}  A_2 = E_1 - E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm} \mu}\hspace{0.05cm}.$$
-$$ A_2 = E_1 - E_2 \cdot w^{\hspace{0.04cm} \mu}\hspace{0.05cm}.$$
+Dies bedeutet eine komplexe Multiplikation und zwei komplexe Additionen: &nbsp; $\hspace{0.15 cm}\underline{a_{\rm B} = 2, \hspace{0.2cm}m_{\rm B} = 1}
-Dies bedeutet eine komplexe Multiplikation und zwei komplexe Additionen:
+  \hspace{0.05cm}.$
-$$\hspace{0.15 cm}\underline{a_{\rm B} = 2, \hspace{0.2cm}m_{\rm B} = 1}
+'''(4)'''&nbsp; Im Gegensatz zu den Computern in der Anfangszeit nimmt heute eine Multiplikation keine wesentlich größere Rechenzeit in Anspruch als eine Addition bzw. Subtraktion. Mit den Ergebnissen der Teilaufgaben (1), (2) und (3) erhält man für die Gesamtzahl der Rechenoperationen:
-  \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ O_{\rm B} = a_{\rm B}\cdot A_{\rm A} + a_{\rm B}\cdot (A_{\rm M}
 +M_{\rm M} ) = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 6\hspace{0.15 cm}\underline{ = 10}
   \hspace{0.05cm}.$$
-<b>e)</b>&nbsp;&nbsp;Insgesamt gibt es ld <i>N</i> Stufen, in denen jeweils <i>N</i>/2 Basisoperationen auszuführen sind:
+'''(5)'''&nbsp; Insgesamt gibt es ${\rm ld} N$ Stufen, in denen jeweils $N/2$ Basisoperationen auszuführen sind:
-$$O_{\rm FFT} = {\rm ld}\hspace{0.1cm}N \cdot \frac{N}{2}\cdot
+:$$O_{\rm FFT} = {\rm ld}\hspace{0.1cm}N \cdot \frac{N}{2}\cdot
 O_{\rm B} = 5 \cdot N \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}N$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}O_{\rm FFT}\hspace{0.1cm}(N=16)  =  5\cdot 16 \cdot
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}O_{\rm FFT}\hspace{0.1cm}(N=16)  =  5\cdot 16 \cdot
-\hspace{0.15 cm}\underline{= 320}, $$ $$\hspace{0.3cm}O_{\rm FFT}\hspace{0.1cm}(N=1024)  =  5\cdot 1024
+\hspace{0.15 cm}\underline{= 320}, \hspace{0.5cm}O_{\rm FFT}\hspace{0.1cm}(N=1024)  =  5\cdot 1024
 \cdot 10 \hspace{0.15 cm}\underline{= 51200}
   \hspace{0.05cm}.$$
-<b>f)</b>&nbsp;&nbsp; Der Rechenzeitgewinn der FFT gegenüber der herkömmlichen DFT ergibt sich zu:
+'''(6)'''&nbsp; Der Rechenzeitgewinn der FFT gegenüber der herkömmlichen DFT ergibt sich zu:
-$$G_{\rm FFT} = \frac{O_{\rm DFT}}{O_{\rm FFT}} = \frac{8 \cdot N^2} {5 \cdot
+:$$G_{\rm FFT} = \frac{O_{\rm DFT}}{O_{\rm FFT}} = \frac{8 \cdot N^2} {5 \cdot
 N \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm}N }= 1.6 \cdot \frac{N}{ {\rm
 ld}\hspace{0.1cm}N}$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_{\rm FFT} \hspace{0.1cm}(N=16)  =  1.6 \cdot
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_{\rm FFT} \hspace{0.1cm}(N=16)  =  1.6 \cdot
-\frac{16}{ 4} \hspace{0.15 cm}\underline{= 6.4},$$ $$ \hspace{0.3cm}G_{\rm FFT} \hspace{0.1cm}(N=1024)  =  1.6 \cdot\frac{1024}{ 10}\hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 164}
+\frac{16}{ 4} \hspace{0.15 cm}\underline{= 6.4}, \hspace{0.5cm}G_{\rm FFT} \hspace{0.1cm}(N=1024)  =  1.6 \cdot\frac{1024}{ 10}\hspace{0.15 cm}\underline{ \approx 164}
   \hspace{0.05cm}.$$

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 Wieviele komplexe Multiplikationen $(m_{\rm B})$ sind pro Basisoperation notwendig?
 |type="{}"}
-$(a_{\rm B}) \ = $ { 2 }
+$a_{\rm B} \ = $ { 2 }
-$(m_{\rm B}) \ = $ { 1 }
+$m_{\rm B} \ = $ { 1 }
 {Wieviele Rechenoperationen (Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen gleichermaßen) erfordert eine Basisoperation?
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 $O_{\rm B}$ = { 10 }
-{Wieviele reelle Operationen erfordert der gesamte FFT&ndash;Algorithmus? Welche Zahlenwerte ergeben sich für <i>N</i> = 16 und <i>N</i> = 1024?
+{Wieviele reelle Operationen $(O_{\rm FFT})$ erfordert der gesamte FFT&ndash;Algorithmus? Welche Werte ergeben sich für $N = 16$ und $N = 1024$?
 |type="{}"}
-$O_{\rm FFT} (N = 16 )$ = { 320 3% }
+$N = 16\text{:} \hspace{0.6cm} O_{\rm FFT} \ = $ { 320 3% }
-$O_{\rm FFT} (N = 1024 )$ = { 51200 3% }
+$N = 1024\text{:} \hspace{0.2cm} O_{\rm FFT} \ = $ { 51200 3% }
-{Wie groß ist der Zeitgewinn <i>G</i><sub>FFT</sub> = <i>O</i><sub>DFT</sub>/<i>O</i><sub>FFT</sub> für <i>N</i> = 16 und <i>N</i> = 1024?
+{Wie groß ist der Zeitgewinn $G_{\rm FFT} = O_{\rm DFT} - O_{\rm FFT}$ für $N = 16$ und $N = 1024$?
 |type="{}"}
-$G_{\rm FFT} (N = 16 )$ = { 6.4 3% }
+$N = 16\text{:} \hspace{0.6cm} G_{\rm FFT} \ = $ { 6.4 3% }
+$N = 1024\text{:} \hspace{0.2cm} G_{\rm FFT} \ = $ { 164 3% }
 </quiz>