Aufgaben:Aufgabe 5.5: Mehrteilnehmer–Interferenzen - Versionsgeschichte

Guenter am 17. Dezember 2021 um 15:47 Uhr

2021-12-17T15:47:50Z

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Guenter am 18. Januar 2019 um 13:47 Uhr

2019-01-18T13:47:10Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:58Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:35:37Z

Guenter verschob die Seite 5.5 Mehrteilnehmer–Interferenzen nach Aufgabe 5.5: Mehrteilnehmer–Interferenzen

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 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}(2.515) = {\rm Q}({s_0}/{\sigma_d}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \frac{\sigma_d}{s_0} = \frac{1}{2.515} = 0.398 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.4} \hspace{0.05cm}.$$
 *Man könnte diese Größe aber auch über die allgemeinere Gleichung
-:$$ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty} |H_{\rm I}(f) |^2 \,\,{\rm d} {\it f}\hspace{0.05cm} = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty}{\rm si}^2(\pi f T)\,\,{\rm d} {\it f} = \frac{N_0}{2T } \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty} |H_{\rm I}(f) |^2 \,\,{\rm d} {\it f}\hspace{0.05cm} = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty}{\rm si}^2(\pi f T)\,\,{\rm d} {\it f} = \frac{N_0}{2T } \hspace{0.05cm}$$
-:berechnen.&nbsp; Hierbei beschreibt $H_{\rm I}(f)$ den Integrator im Frequenzbereich.
+:berechnen.&nbsp; Hierbei beschreibt&nbsp; $H_{\rm I}(f)$&nbsp; den Integrator im Frequenzbereich.
-*Mit $E_{\rm B}= s_0^2 · T$ erhält man das gleiche Ergebnis:
+*Mit&nbsp; $E_{\rm B}= s_0^2 · T$&nbsp; erhält man das gleiche Ergebnis:
 :$$\frac{\sigma_d^2}{s_0^2} = \frac{N_0}{2 \cdot s_0^2 \cdot T } = \frac{N_0}{2 E_{\rm B} } = \frac{0.316}{2 } = 0.158\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\sigma_d}/{s_0} = 0.398 \approx 0.4 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Benutzt der interferierende Teilnehmer die gleiche M–Sequenz&nbsp; $(45)$&nbsp; wie der betrachtete Nutzer, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so sind die (normierten) Detektionsnutzabtastwerte gleich&nbsp; $+2$&nbsp; $($zu $25\%)$,&nbsp; $-2$&nbsp; $($zu $25\%)$&nbsp; und&nbsp; $0$&nbsp; $($zu $50\%)$.
+'''(2)'''&nbsp; Benutzt der interferierende Teilnehmer die gleiche M–Sequenz&nbsp; $(45)$&nbsp; wie der betrachtete Nutzer, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so sind die (normierten) Detektionsnutzabtastwerte gleich&nbsp; $+2$&nbsp; $($zu&nbsp; $25\%)$,&nbsp; $-2$&nbsp; $($zu&nbsp; $25\%)$&nbsp; und&nbsp; $0$&nbsp; $($zu&nbsp; $50\%)$.
-*Bei &nbsp;$d(νT) = ±2$&nbsp; wird die Fehlerwahrscheinlichkeit für den betrachteten Teilnehmer signifikant verkleinert.&nbsp; In diesem Fall übertragen beide Nutzer das gleiche Bit $($&bdquo;$+1$&rdquo; oder &bdquo;$-1$&rdquo;$)$ und der Abstand von der Schwelle wird verdoppelt:
+*Bei &nbsp;$d(νT) = ±2$&nbsp; wird die Fehlerwahrscheinlichkeit für den betrachteten Teilnehmer signifikant verkleinert.&nbsp; In diesem Fall übertragen beide Nutzer das gleiche Bit&nbsp; $($&bdquo;$+1$&rdquo; oder &bdquo;$-1$&rdquo;$)$&nbsp; und der Abstand von der Schwelle wird verdoppelt:
 :$$ p_{\rm B}\,\,\big [{\rm falls}\,\, d (\nu T) = \pm 2s_0 \big ] = {\rm Q} \left ( 2 \cdot 2.515 \right ) = {\rm Q} \left ( 5.03 \right ) \approx 2.45 \cdot 10^{-7} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Ist dagegen &nbsp;$d(νT) = 0$&nbsp; (zum Beispiel, wenn&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$&nbsp; und&nbsp; $a_\text{1(i)} = -1$&nbsp; gilt oder umgekehrt), so löschen sich die Signale vollständig aus und man erhält
+*Ist dagegen &nbsp; $d(νT) = 0$&nbsp; (zum Beispiel, wenn&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$&nbsp; und&nbsp; $a_\text{1(i)} = -1$ &nbsp; gilt oder umgekehrt),&nbsp; so löschen sich die Signale vollständig aus und man erhält
 :$$p_{\rm B}\,\,\big[{\rm falls}\,\, d (\nu T) = 0 \big] = {\rm Q} \left ( 0 \right ) = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$
 *Durch Mittelung über diese beiden gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten ergibt sich so für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
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-'''(3)'''&nbsp;  Wir betrachten zunächst nur den Nutzanteil &nbsp; ⇒ &nbsp; $n(t) = 0$,&nbsp; beschränken uns auf das erste Datensymbol und setzen den Koeffizienten $a_\text{1(s)} = +1$ voraus.
+'''(3)'''&nbsp;  Wir betrachten zunächst nur den Nutzanteil &nbsp; ⇒ &nbsp; $n(t) = 0$,&nbsp; beschränken uns auf das erste Datensymbol und setzen den Koeffizienten&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$&nbsp; voraus.
 *Dann gilt innerhalb dieses Datenbits&nbsp; $s(t) = c_{45}(t)$.
-*Ist der Koeffizient&nbsp; $a_\text{1(i)} $&nbsp; des interferierenden Teilnehmers ebenfalls&nbsp; $+1$, so erhält man für die vorne spezifizierten Signale im Zeitintervall von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T$:
+*Ist der Koeffizient&nbsp; $a_\text{1(i)} $&nbsp; des interferierenden Teilnehmers ebenfalls&nbsp; $+1$,&nbsp; so erhält man für die vorne spezifizierten Signale im Zeitintervall von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T$:
 :$$ r(t)  =  c_{45}(t) + c_{75}(t)\hspace{0.05cm},$$
 :$$b(t)  =  r(t) \cdot c_{45}(t) = \left [c_{45}(t) + c_{75}(t) \right ] \cdot c_{45}(t) = 1+ c_{45}(t) \cdot c_{75}(t) \hspace{0.05cm},$$
 :$$ d (T)  =  \frac{1}{T} \cdot \int_{0 }^{ T} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 + {\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}75}(\lambda = 0) \hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei bezeichnet&nbsp; $φ_\text{45, 75}(τ)$&nbsp; die PKKF zwischen den Spreizfolgen mit den Oktalkennungen&nbsp; $(45)$&nbsp; und&nbsp; $(75)$, die in der Tabelle auf der Angabenseite zu finden sind.
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; $φ_\text{45, 75}(τ)$&nbsp; die PKKF zwischen den Spreizfolgen mit den Oktalkennungen&nbsp; $(45)$&nbsp; und&nbsp; $(75)$,&nbsp; die in der Tabelle auf der Angabenseite zu finden sind.
-*Entsprechend gilt für den Detektionsnutzabtastwert unter der Voraussetzung&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$&nbsp; und&nbsp; $a_\text{1(i)} =-1$:
+*Entsprechend gilt für den Detektionsnutzabtastwert unter der Voraussetzung &nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$ &nbsp; und &nbsp; $a_\text{1(i)} =-1$:
 :$$d (T) = 1 - {\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}75}(\lambda = 0) \hspace{0.05cm}.$$
-*Aus Symmetriegründen liefern die Koeffizienten&nbsp; $a_\text{1(s)}&nbsp; = -1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = -1$&nbsp; sowie&nbsp; $a_\text{1(s)} = -1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = +1$&nbsp; die genau gleichen Beiträge für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = +1$&nbsp; bzw.&nbsp; $a_{1(s)} = +1$,&nbsp; $a_{1(i)} = –1$, wenn man zudem das AWGN–Rauschen berücksichtigt.
+*Aus Symmetriegründen liefern die Koeffizienten&nbsp; $a_\text{1(s)}&nbsp; = -1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = -1$&nbsp; sowie&nbsp; $a_\text{1(s)} = -1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = +1$&nbsp; die genau gleichen Beiträge für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = +1$&nbsp; bzw.&nbsp; $a_{1(s)} = +1$,&nbsp; $a_{1(i)} = –1$,&nbsp; wenn man zudem das AWGN–Rauschen berücksichtigt.
 *Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und mit&nbsp; $φ_\text{45, 75}(λ = 0) = 7/31$&nbsp; erhält man somit näherungsweise:
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-'''(4)'''&nbsp; Möglich sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Möglich sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
 * Der PKKF–Wert&nbsp; $φ_\text{45, 57}(λ = 0)$&nbsp; ist betragsmäßig nur&nbsp; $1/31$&nbsp; und damit ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nur geringfügig größer als&nbsp; $0.6\%$.
 *Die Folge mit den Oktalkennung&nbsp; $(67)$&nbsp; führt dagegen zur gleichen PKKF wie die Folge&nbsp; $(75)$.
 *Ohne störenden Teilnehmer gilt entsprechend dem Angabenblatt: &nbsp; $p_{\rm B} = 0.6\%$.
-*Mit Interferenz kann dieser Wert nicht unterschritten werden  &nbsp; ⇒  &nbsp;  Lösungsvorschlag 1 ist nicht möglich.
+*Mit Interferenz kann dieser Wert nicht unterschritten werden  &nbsp; ⇒  &nbsp;  Der Lösungsvorschlag 1 ist nicht möglich.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1887__Mod_A_5_5.png|right|frame|$\rm PAKF$&nbsp; und&nbsp; $\rm PKKF$&nbsp; von M–Sequenzen mit &nbsp;$P = 31$]]
 Wir betrachten die PN–Modulation mit folgenden Parametern:
-* Die Spreizung erfolgt mit der M–Sequenz mit der Oktalkennung &nbsp;$(45)$, ausgehend  vom Grad &nbsp;$G = 5$.&nbsp; Die Periodenlänge ist somit &nbsp;
+* Die Spreizung erfolgt mit der M–Sequenz mit Oktalkennung &nbsp;$(45)$,&nbsp; ausgehend  vom Grad &nbsp;$G = 5$.&nbsp; Die Periodenlänge ist somit &nbsp;
 :$$P = 2^5 –1 = 31.$$
 * Der AWGN–Parameter wird mit &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 5 \ \rm  dB$&nbsp; festgelegt &nbsp; &rArr; &nbsp;  $E_{\rm B}/N_0 = 3.162 = 1/0.316$.
 * Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit beträgt ohne interferierende Teilnehmer im gleichen Frequenzband:
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2\cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\right ) \approx {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \cdot 3.162}\right ) = {\rm Q} \left ( 2.515 \right ) \approx 6 \cdot 10^{-3} \hspace{0.05cm}.$$
-* Da ohne interferierende Teilnehmer alle Nutzabtastwerte gleich &nbsp;$±s_0$&nbsp; sind&nbsp; (Nyquistsystem), ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  mit dem Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_d$&nbsp; vor dem Entscheider&nbsp; $($herrührend vom AWGN–Rauschen$)$&nbsp; wie folgt gegeben: &nbsp;
+* Da ohne interferierende Teilnehmer alle Nutzabtastwerte gleich &nbsp;$±s_0$&nbsp; sind&nbsp; ("Nyquistsystem"),&nbsp; ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  mit dem Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_d$&nbsp; vor dem Entscheider&nbsp; $($herrührend vom AWGN–Rauschen$)$&nbsp; wie folgt gegeben: &nbsp;
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( {s_0}/{\sigma_d}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
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 *Die möglichen Spreizfolgen des interferierenden Teilnehmers seien ebenfalls durch $P = 31$ festgelegt.&nbsp; Zur Verfügung stehen die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen &nbsp;$(45)$, &nbsp;$(51)$, &nbsp;$(57)$, &nbsp;$(67)$, &nbsp;$(73)$ und &nbsp;$(75)$.
-*In der Tabelle sind die PKKF–Werte für &nbsp;$λ = 0$&nbsp; angegeben, desweiteren auch der jeweilige Maximalwert für eine andere Anfangsphase:
+*In der Tabelle sind die PKKF–Werte für &nbsp;$λ = 0$&nbsp; angegeben, desweiteren auch der jeweilige Maximalwert für eine beliebige Anfangsphase:
 :$$ {\rm Max}\,\,|{\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}i}| = \max_{\lambda} \,\,|{\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}i}(\lambda)| \hspace{0.05cm}.$$
 *Der Sonderfall &nbsp;$φ_\text{45, 45}(λ = 0)$&nbsp; gibt den PAKF–Wert der Spreizfolge mit der Oktalkennung &nbsp;&nbsp;$(45)$&nbsp; an.
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 Im Verlauf dieser Aufgabe und in der Musterlösung werden folgende Signale erwähnt:
-:&nbsp;$q(t)$: &nbsp; binäres bipolares Quellensignal, Symboldauer &nbsp;$T$,
+:&nbsp;$q(t)$: &nbsp; binäres bipolares Quellensignal,&nbsp; Symboldauer &nbsp;$T$,
-:&nbsp;$c(t)$:  &nbsp; $±1$–Spreizsignal, Chipdauer &nbsp;$T_c$,
+:&nbsp;$c(t)$:  &nbsp; $±1$–Spreizsignal,&nbsp; Chipdauer &nbsp;$T_c$,
-:&nbsp;$s(t)$:  &nbsp; bandgespreiztes Sendesignal; es gilt  &nbsp;$s(t) = q(t) · c(t)$, Amplitude &nbsp;$±s_0$, Chipdauer &nbsp;$T_c$,
+:&nbsp;$s(t)$:  &nbsp; bandgespreiztes Sendesignal; es gilt  &nbsp;$s(t) = q(t) · c(t)$, Amplitude &nbsp;$±s_0$,&nbsp; Chipdauer &nbsp;$T_c$,
-:&nbsp;$n(t)$:  &nbsp; AWGN–Rauschen, gekennzeichnet durch den Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$,
+:&nbsp;$n(t)$:  &nbsp; AWGN–Rauschen,&nbsp; gekennzeichnet durch den Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$,
 :&nbsp;$i(t)$:  &nbsp; Interferenzsignal des störenden Teilnehmers,
-:&nbsp;$r(t)$:  &nbsp; Empfangssignal; es gilt  &nbsp;$r(t) = s(t) + n(t) + i(t)$,
+:&nbsp;$r(t)$:  &nbsp; Empfangssignal;&nbsp; es gilt  &nbsp;$r(t) = s(t) + n(t) + i(t)$,
-:&nbsp;$b(t)$:  &nbsp;  bandgestauchtes Signal; es gilt  &nbsp;$b(t)= r(t) · c(t)$,
+:&nbsp;$b(t)$:  &nbsp;  bandgestauchtes Signal;&nbsp; es gilt  &nbsp;$b(t)= r(t) · c(t)$,
 :&nbsp;$d(t)$:  &nbsp; Detektionssignal nach Integration von &nbsp;$b(t)$&nbsp; über die Symboldauer &nbsp;$T$,
-:&nbsp;$v(t)$:  &nbsp; Sinkensignal, der Vergleich mit &nbsp;$q(t)$&nbsp; liefert die Fehlerwahrscheinlichkeit.
+:&nbsp;$v(t)$:  &nbsp; Sinkensignal,&nbsp; der Vergleich mit &nbsp;$q(t)$&nbsp; liefert die Fehlerwahrscheinlichkeit.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN%E2%80%93Modulation|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Zwei_Teilnehmer_mit_M.E2.80.93Sequenz.E2.80.93Spreizung |Zwei Teilnehmer mit M&ndash;Sequenz&ndash;Spreizung]].
+*Für die so genannte&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Q-Funktion]]&nbsp; kann von folgenden Näherungen ausgegangen werden:
 :$$ {\rm Q} (2) \approx 0.02275, \hspace{0.2cm}{\rm Q} (3) \approx 0.00135, \hspace{0.2cm}{\rm Q} (5) \approx 2.45 \cdot 10^{-7} \hspace{0.05cm}.$$
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 $σ_d/s_0 \ = \ $  { 0.4 3% }
-{Wie groß ist Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$, wenn der störende Teilnehmer &nbsp;$i(t)$&nbsp; die gleiche M–Sequenz mit Oktalkennung &nbsp;$(45)$&nbsp; nutzt wie der betrachtete Teilnehmer?
+{Wie groß ist Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$,&nbsp; wenn der störende Teilnehmer &nbsp;$i(t)$&nbsp; die gleiche M–Sequenz mit Oktalkennung &nbsp;$(45)$&nbsp; nutzt wie der betrachtete Teilnehmer?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B}\ = \ $ { 25 3% } $\ \%$
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich näherungsweise, wenn der störende Teilnehmer&nbsp;$i(t)$&nbsp;  die M–Sequenz  mit Oktalkennung &nbsp;$(75)$&nbsp;  nutzt?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich näherungsweise,&nbsp; wenn der störende Teilnehmer&nbsp;$i(t)$&nbsp;  die M–Sequenz  mit Oktalkennung &nbsp;$(75)$&nbsp;  nutzt?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B}\ = \ $ { 1.2 3% } $\ \%$

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−	{{quiz-Header\|Buchseite=~~Modulation_Methods~~/~~Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation~~	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation
	}}		}}

← Nächstältere Version		Version vom 17. Dezember 2021, 15:16 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

−	{{quiz-Header\|Buchseite=~~Modulationsverfahren~~/~~BER der PN–Modulation~~	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Modulation_Methods/Error_Probability_of_Direct-Sequence_Spread_Spectrum_Modulation
	}}		}}

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 '''(1)'''&nbsp;  Aus den beiden vorne angegebenen Gleichungen folgt direkt:
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q}(2.515) = {\rm Q}({s_0}/{\sigma_d}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \frac{\sigma_d}{s_0} = \frac{1}{2.515} = 0.398 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.4} \hspace{0.05cm}.$$
-Man könnte diese Größe aber auch über die allgemeinere Gleichung
+*Man könnte diese Größe aber auch über die allgemeinere Gleichung
 :$$ \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty} |H_{\rm I}(f) |^2 \,\,{\rm d} {\it f}\hspace{0.05cm} = \frac{N_0}{2 }\cdot\int^{+\infty}_{-\infty}{\rm si}^2(\pi f T)\,\,{\rm d} {\it f} = \frac{N_0}{2T } \hspace{0.05cm}.$$
-berechnen. Hierbei beschreibt $H_{\rm I}(f)$ den Integrator im Frequenzbereich. Mit $E_{\rm B}= s_0^2 · T$ erhält man das gleiche Ergebnis:
+:berechnen.&nbsp; Hierbei beschreibt $H_{\rm I}(f)$ den Integrator im Frequenzbereich.
 :$$\frac{\sigma_d^2}{s_0^2} = \frac{N_0}{2 \cdot s_0^2 \cdot T } = \frac{N_0}{2 E_{\rm B} } = \frac{0.316}{2 } = 0.158\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\sigma_d}/{s_0} = 0.398 \approx 0.4 \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Benutzt der interferierende Teilnehmer die gleiche M–Sequenz $(45)$ wie der betrachtete Nutzer, so sind die (normierten) Detektionsnutzabtastwerte gleich $+2$ $($zu $25\%)$, $-2$ $($zu $25\%)$ und $0$ $($zu $50\%)$.
-*Bei &nbsp;$d(νT) = ±2$&nbsp; wird die Fehlerwahrscheinlichkeit für den betrachteten Teilnehmer signifikant verkleinert. In diesem Fall übertragen beide Nutzer das gleiche Bit (&bdquo;$+1$&rdquo; oder &bdquo;$-1$&rdquo;) und der Abstand von der Schwelle wird verdoppelt:
+'''(2)'''&nbsp; Benutzt der interferierende Teilnehmer die gleiche M–Sequenz&nbsp; $(45)$&nbsp; wie der betrachtete Nutzer, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so sind die (normierten) Detektionsnutzabtastwerte gleich&nbsp; $+2$&nbsp; $($zu $25\%)$,&nbsp; $-2$&nbsp; $($zu $25\%)$&nbsp; und&nbsp; $0$&nbsp; $($zu $50\%)$.
 :$$ p_{\rm B}\,\,\big [{\rm falls}\,\, d (\nu T) = \pm 2s_0 \big ] = {\rm Q} \left ( 2 \cdot 2.515 \right ) = {\rm Q} \left ( 5.03 \right ) \approx 2.45 \cdot 10^{-7} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Ist dagegen &nbsp;$d(νT) = 0$&nbsp; (zum Beispiel, wenn $a_\text{1(s)} = +1$ und $a_\text{1(i)} = -1$ gilt oder umgekehrt), so löschen sich die Signale vollständig aus und man erhält
+*Ist dagegen &nbsp;$d(νT) = 0$&nbsp; (zum Beispiel, wenn&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$&nbsp; und&nbsp; $a_\text{1(i)} = -1$&nbsp; gilt oder umgekehrt), so löschen sich die Signale vollständig aus und man erhält
 :$$p_{\rm B}\,\,\big[{\rm falls}\,\, d (\nu T) = 0 \big] = {\rm Q} \left ( 0 \right ) = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$
 *Durch Mittelung über diese beiden gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten ergibt sich so für die mittlere Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
@@ Zeile 90: / Zeile 92: @@
-'''(3)'''&nbsp;  Wir betrachten zunächst nur den Nutzanteil &nbsp; ⇒ &nbsp; $n(t) = 0$. Außerdem beschränken wir uns auf das erste Datensymbol und setzen den Amplitudenkoeffizienten $a_\text{1(s)} = +1$ voraus.
-*Dann gilt innerhalb dieses Datenbits $s(t) = c_{45}(t)$.
+'''(3)'''&nbsp;  Wir betrachten zunächst nur den Nutzanteil &nbsp; ⇒ &nbsp; $n(t) = 0$,&nbsp; beschränken uns auf das erste Datensymbol und setzen den Koeffizienten $a_\text{1(s)} = +1$ voraus.
-*Ist der Koeffizient $a_\text{1(i)} $ des interferierenden Teilnehmers ebenfalls $+1$, so erhält man für die vorne spezifizierten Signale im Zeitintervall von $0$ bis $T$:
+*Dann gilt innerhalb dieses Datenbits&nbsp; $s(t) = c_{45}(t)$.
 :$$ r(t)  =  c_{45}(t) + c_{75}(t)\hspace{0.05cm},$$
 :$$b(t)  =  r(t) \cdot c_{45}(t) = \left [c_{45}(t) + c_{75}(t) \right ] \cdot c_{45}(t) = 1+ c_{45}(t) \cdot c_{75}(t) \hspace{0.05cm},$$
 :$$ d (T)  =  \frac{1}{T} \cdot \int_{0 }^{ T} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t = 1 + {\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}75}(\lambda = 0) \hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei bezeichnet $φ_\text{45, 75}(τ)$ die PKKF zwischen den Spreizfolgen mit den Oktalkennungen $(45)$ und $(75)$, die in der Tabelle auf der Angabenseite zu finden sind.
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; $φ_\text{45, 75}(τ)$&nbsp; die PKKF zwischen den Spreizfolgen mit den Oktalkennungen&nbsp; $(45)$&nbsp; und&nbsp; $(75)$, die in der Tabelle auf der Angabenseite zu finden sind.
-*Entsprechend gilt für den Detektionsnutzabtastwert unter der Voraussetzung $a_\text{1(s)} = +1$ und $a_\text{1(i)} =-1$:
+*Entsprechend gilt für den Detektionsnutzabtastwert unter der Voraussetzung&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$&nbsp; und&nbsp; $a_\text{1(i)} =-1$:
 :$$d (T) = 1 - {\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}75}(\lambda = 0) \hspace{0.05cm}.$$
-*Aus Symmetriegründen liefern die Koeffizienten $a_\text{1(s)} = -1$, $a_\text{1(i)} = -1$ sowie $a_\text{1(s)} = -1$, $a_\text{1(i)} = +1$ die genau gleichen Beiträge für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie $a_\text{1(s)} = +1$, $a_\text{1(i)} = +1$ bzw. $a_{1(s)} = +1$, $a_{1(i)} = –1$, wenn man zudem das AWGN–Rauschen berücksichtigt.
+*Aus Symmetriegründen liefern die Koeffizienten&nbsp; $a_\text{1(s)}&nbsp; = -1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = -1$&nbsp; sowie&nbsp; $a_\text{1(s)} = -1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = +1$&nbsp; die genau gleichen Beiträge für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit wie&nbsp; $a_\text{1(s)} = +1$,&nbsp; $a_\text{1(i)} = +1$&nbsp; bzw.&nbsp; $a_{1(s)} = +1$,&nbsp; $a_{1(i)} = –1$, wenn man zudem das AWGN–Rauschen berücksichtigt.
-*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' und mit $φ_\text{45, 75}(λ = 0) = 7/31$ erhält man somit näherungsweise:
+*Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und mit&nbsp; $φ_\text{45, 75}(λ = 0) = 7/31$&nbsp; erhält man somit näherungsweise:
 :$$p_{\rm B}  =  \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1+ 7/31}{0.4} \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1- 7/31}{0.4} \right ) =  \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{1.225}{0.4} \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( \frac{0.775}{0.4} \right ) = \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( 3.06 \right ) + \frac{1}{2} \cdot {\rm Q} \left ( 1.94 \right )$$
-:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}\approx  \frac{1}{2} \cdot \left [{\rm Q} \left ( 3 \right ) + {\rm Q} \left ( 2 \right ) \right ] = \frac{1}{2} \cdot \left [0.00135 + 0.02275 \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.012}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B}\approx  \frac{1}{2} \cdot \left [{\rm Q} \left ( 3 \right ) + {\rm Q} \left ( 2 \right ) \right ] = \frac{1}{2} \cdot \left [0.00135 + 0.02275 \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1.2\%}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Möglich sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-* Der PKKF–Wert $φ_\text{45, 57}(λ = 0)$ ist betragsmäßig nur $1/31$ und damit ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nur geringfügig größer als $0.6\%$.
+* Der PKKF–Wert&nbsp; $φ_\text{45, 57}(λ = 0)$&nbsp; ist betragsmäßig nur&nbsp; $1/31$&nbsp; und damit ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nur geringfügig größer als&nbsp; $0.6\%$.
-*Die Folge mit den Oktalkennung $(67)$ führt dagegen zur gleichen PKKF wie die Folge $(75)$.
+*Die Folge mit den Oktalkennung&nbsp; $(67)$&nbsp; führt dagegen zur gleichen PKKF wie die Folge&nbsp; $(75)$.
 *Ohne störenden Teilnehmer gilt entsprechend dem Angabenblatt: &nbsp; $p_{\rm B} = 0.6\%$.
 *Mit Interferenz kann dieser Wert nicht unterschritten werden  &nbsp; ⇒  &nbsp;  Lösungsvorschlag 1 ist nicht möglich.

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 }}
-[[Datei:P_ID1887__Mod_A_5_5.png|right|frame|PAKF und PKKF von M–Sequenzen mit <i>P</i> = 31]]
+[[Datei:P_ID1887__Mod_A_5_5.png|right|frame|PAKF und PKKF von M–Sequenzen mit &nbsp;$P = 31$]]
 Wir betrachten die PN–Modulation mit folgenden Parametern:
-* Die Spreizung erfolgt mit der M–Sequenz mit der Oktalkennung (45), ausgehend  vom Grad $G = 5$. Die Periodenlänge ist somit $P = 2^5 –1 = 31$.
+* Die Spreizung erfolgt mit der M–Sequenz mit der Oktalkennung &nbsp;$(45)$, ausgehend  vom Grad &nbsp;$G = 5$. Die Periodenlänge ist somit &nbsp;$P = 2^5 –1 = 31$.
-* Der AWGN–Parameter wird mit $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 5 \ \rm  dB$ festgelegt &nbsp; &rArr; &nbsp;  $E_{\rm B}/N_0 = 3.162 = 1/0.316$.
+* Der AWGN–Parameter wird mit &nbsp;$10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 5 \ \rm  dB$&nbsp; festgelegt &nbsp; &rArr; &nbsp;  $E_{\rm B}/N_0 = 3.162 = 1/0.316$.
 * Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit beträgt ohne interferierende Teilnehmer im gleichen Frequenzband:
 :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{ {2E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\right ) \approx {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \cdot 3.162}\right ) = {\rm Q} \left ( 2.515 \right ) \approx 6 \cdot 10^{-3} \hspace{0.05cm}.$$
-* Da ohne interferierende Teilnehmer alle Nutzabtastwerte gleich $±s_0$ sind (Nyquistsystem), kann für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  mit dem Rauscheffektivwert $σ_d$ vor dem Entscheider, herrührend vom AWGN–Rauschen, auch geschrieben werden: &nbsp; $p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( {s_0}/{\sigma_d}\right ) \hspace{0.05cm}.$
+* Da ohne interferierende Teilnehmer alle Nutzabtastwerte gleich &nbsp;$±s_0$&nbsp; sind (Nyquistsystem), kann für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  mit dem Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_d$&nbsp; vor dem Entscheider, herrührend vom AWGN–Rauschen, auch geschrieben werden: &nbsp;
-In dieser Aufgabe soll untersucht werden, wie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit durch einen zusätzlichen Teilnehmer verändert wird. Die möglichen Spreizfolgen des interferierenden Teilnehmers seien ebenfalls durch $P = 31$ festgelegt. Zur Verfügung stehen die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen (45), (51), (57), (67), (73) und (75).
+*Die möglichen Spreizfolgen des interferierenden Teilnehmers seien ebenfalls durch $P = 31$ festgelegt. Zur Verfügung stehen die PN–Generatoren mit den Oktalkennungen &nbsp;$(45)$, &nbsp;$(51)$, &nbsp;$(57)$, &nbsp;$(67)$, &nbsp;$(73)$ und &nbsp;$(75)$.
-In der Tabelle sind die PKKF–Werte für $λ = 0$ angegeben, desweiteren auch der jeweilige Maximalwert für eine andere Anfangsphase:
+*In der Tabelle sind die PKKF–Werte für &nbsp;$λ = 0$&nbsp; angegeben, desweiteren auch der jeweilige Maximalwert für eine andere Anfangsphase:
 :$$ {\rm Max}\,\,|{\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}i}| = \max_{\lambda} \,\,|{\it \varphi}_{45,\hspace{0.05cm}i}(\lambda)| \hspace{0.05cm}.$$
-Der Sonderfall $φ_\text{45, 45}(λ = 0)$ gibt den PAKF–Wert der Spreizfolge mit der Oktalkennung (45) an.
+*Der Sonderfall &nbsp;$φ_\text{45, 45}(λ = 0)$&nbsp; gibt den PAKF–Wert der Spreizfolge mit der Oktalkennung &nbsp;&nbsp;$(45)$&nbsp; an.
 Im Verlauf dieser Aufgabe und in der Musterlösung werden folgende Signale erwähnt:
-* $q(t)$: &nbsp; binäres bipolares Quellensignal, Symboldauer $T$,
+:&nbsp;$q(t)$: &nbsp; binäres bipolares Quellensignal, Symboldauer &nbsp;$T$,
-* $c(t)$:  &nbsp; $±1$–Spreizsignal, Chipdauer $T_c$,
+:&nbsp;$c(t)$:  &nbsp; $±1$–Spreizsignal, Chipdauer &nbsp;$T_c$,
-* $s(t)$:  &nbsp; bandgespreiztes Sendesignal; es gilt  $s(t) = q(t) · c(t)$, Amplitude $±s_0$, Chipdauer $T_c$,
+:&nbsp;$s(t)$:  &nbsp; bandgespreiztes Sendesignal; es gilt  &nbsp;$s(t) = q(t) · c(t)$, Amplitude &nbsp;$±s_0$, Chipdauer &nbsp;$T_c$,
-* $n(t)$:  &nbsp; AWGN–Rauschen, gekennzeichnet durch den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$,
+:&nbsp;$n(t)$:  &nbsp; AWGN–Rauschen, gekennzeichnet durch den Quotienten &nbsp;$E_{\rm B}/N_0$,
-* $i(t)$:  &nbsp; Interferenzsignal des störenden Teilnehmers,
+:&nbsp;$i(t)$:  &nbsp; Interferenzsignal des störenden Teilnehmers,
-* $r(t)$:  &nbsp; Empfangssignal; es gilt  $r(t) = s(t) + n(t) + i(t)$,
+:&nbsp;$r(t)$:  &nbsp; Empfangssignal; es gilt  &nbsp;$r(t) = s(t) + n(t) + i(t)$,
-* $b(t)$:  &nbsp;  bandgestauchtes Signal; es gilt  $b(t)= r(t) · c(t)$,
+:&nbsp;$b(t)$:  &nbsp;  bandgestauchtes Signal; es gilt  &nbsp;$b(t)= r(t) · c(t)$,
-* $d(t)$:  &nbsp; Detektionssignal nach Integration von $b(t)$ über die Symboldauer $T$,
+:&nbsp;$d(t)$:  &nbsp; Detektionssignal nach Integration von &nbsp;$b(t)$&nbsp; über die Symboldauer &nbsp;$T$,
-* $v(t)$:  &nbsp; Sinkensignal, der Vergleich mit $q(t)$ liefert die Fehlerwahrscheinlichkeit.
+:&nbsp;$v(t)$:  &nbsp; Sinkensignal, der Vergleich mit &nbsp;$q(t)$&nbsp; liefert die Fehlerwahrscheinlichkeit.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN%E2%80%93Modulation|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN%E2%80%93Modulation|Fehlerwahrscheinlichkeit der PN-Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Zwei_Teilnehmer_mit_M.E2.80.93Sequenz.E2.80.93Spreizung |Zwei Teilnehmer mit M&ndash;Sequenz&ndash;Spreizung]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Modulationsverfahren/Fehlerwahrscheinlichkeit_der_PN–Modulation#Zwei_Teilnehmer_mit_M.E2.80.93Sequenz.E2.80.93Spreizung |Zwei Teilnehmer mit M&ndash;Sequenz&ndash;Spreizung]].
 *Für die so genannte Q-Funktion kann von folgenden Näherungen ausgegangen werden:
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 $σ_d/s_0 \ = \ $  { 0.4 3% }
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ erhält man, wenn der störende Teilnehmer $i(t)$ die gleiche M–Sequenz mit Oktalkennung (45) nutzt wie der betrachtete Teilnehmer?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; erhält man, wenn der störende Teilnehmer &nbsp;$i(t)$&nbsp; <br>die gleiche M–Sequenz mit Oktalkennung &nbsp;$(45)$&nbsp; nutzt wie der betrachtete Teilnehmer?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B}\ = \ $ { 25 3% } $\ \%$
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ergibt sich näherungsweise, wenn der störende Teilnehmer die M–Sequenz  mit Oktalkennung (75)  nutzt?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm B}$&nbsp; ergibt sich näherungsweise, wenn der störende Teilnehmer&nbsp;$i(t)$&nbsp; <br> die M–Sequenz  mit Oktalkennung &nbsp;$(75)$&nbsp;  nutzt?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B}\ = \ $ { 1.2 3% } $\ \%$
@@ Zeile 55: / Zeile 61: @@
 {Welche Aussagen könnten unter Umständen für eine andere Spreizfolge des interferierenden Teilnehmers möglich sein?
 |type="[]"}
-- Mit der Oktalkennung (51) ist &nbsp; $p_{\rm B} = 0.001$ &nbsp;  möglich.
+- Mit der Oktalkennung &nbsp;$(51)$&nbsp; ist &nbsp; $p_{\rm B} = 0.001$ &nbsp;  möglich.
-+ Mit der Oktalkennung (57) ist &nbsp;  $p_{\rm B} = 0.007$ &nbsp;  möglich.
++ Mit der Oktalkennung &nbsp;$(57)$&nbsp; ist &nbsp;  $p_{\rm B} = 0.007$ &nbsp;  möglich.
-+ Mit der Oktalkennung (67) ist &nbsp; $p_{\rm B} = 0.012$ &nbsp; möglich.
++ Mit der Oktalkennung &nbsp;$(67)$&nbsp; ist &nbsp; $p_{\rm B} = 0.012$ &nbsp; möglich.
 </quiz>

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(kein Unterschied)